2019考研数学证明题（共12篇）
来源：智阅网
证明题是数学题型中考生比较头疼的一类。所以，咱们从基础复习开始，就需要大家多多总结，掌握方法技巧。所以，一起来看看冲刺阶段时，应该掌握好哪些证明题的解题技巧吧！
1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如某一年的考研数学一的真题要求考生证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决。
2.借助几何意义寻求证明思路。
一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如某年考研数学一真题涉及到中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。
高等数学是理工类专业的基础课.在研究生入学考试中,高等数学不仅是报考理工类专业的考生的必考科目,也是报考经济学、农学、医学等专业的考生的必考科目,所考查的内容包括微积分、线性代数、空间解析几何(数学二、数学三不要求)、概率论与数理统计(数学二不要求),所考查的题型有选择题、填空题和解答题(包括计算题和证明题)三种,其中解答题所占的比例最大,约占全卷总分的63%.在解答题中,多数问题可以有两种或多种解答方法,若解题时选用的方法恰当,则不仅可以提高解题的准确率,而且可以节省解题所用的时间,从而起到事半功倍的效果.
本文将以历年考题为例,对文中所例举的每个问题均给出两种或多种不同的解法,然后通过对比来分析说明选用合适的方法在解答问题时的重要性.
1.数列的极限
对比分析:解法一运用了两边夹定理的推论.两边夹定理及其推论是求解极限问题的重要工具,但运用两边夹定理或其推论求解极限问题时,需要将所求的问题进行放缩,然而在多数问题中,放缩的尺度较难把握.这时,若所求问题满足Stolz定理或其推广定理[3,4,5,6]的条件,则可以巧用Stolz定理或其推广定理求解.
2.高阶导数
例2求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数.
解法一(利用Leibniz公式)令u=x2,v=ln(1+x),则
u'=2x,u″=2,u(k)=0(k≥3),
所以u(0)=0,u'(0)=0,u″(0)=2,u(k)(0)=0(k≥3).
因此f(n)(0)=C2nu″(0)v(n-2)(0).
3.不等式的证明
令F(x)=f(x)-x,则F'(x)=f'(x)-1,显然F'(0)=f'(0)-1=0.
由于F″(x)=f″(x)>0,则F'(x)单调递增,x=0为F'(x)唯一的零点,
即x=0为F(x)唯一的驻点.
又由于F″(x)=f″(x)>0,
则x=0为F(x)在(-∞,+∞)上唯一的极值点,且在该点取得极小值.
因此F(x)在x=0处取得它在(-∞,+∞)的最小值.
从而F(x)≥F(0)=f(0)-0=0,
即F(x)=f(x)-x≥0,因此f(x)≥x.
(ξ介于0与x之间)
故f(x)≥x.
对比分析:构造法是证明不等式的常用方法.解法一构造了函数F(x)=f(x)-x,然后通过判断其单调性及分析其驻点和极值点的情况得到所需的结论.解法二则是一种巧妙的构思,利用Maclaurin公式将f(x)展开,然后根据题目所给的已知条件即可得到所需的结论,与解法一相比,省略了构造函数、判断单调性以及分析函数的驻点和极值点的过程,从而简化了证明的过程.
4.不定积分
5.定积分
令x-1=t,则dx=dt.
∵当x=0时,t=-1;当x=1时,t=0.
再令t=sinu,则dt=cosudu.
对比分析:解法一运用了换元法.换元法是求无理函数的定积分的常用方法,解法一通过两次不同的换元将所求问题转化为一个求三角函数的定积分问题,从而求出问题的结果.运用换元法求解定积分问题时,每换元一次,都需要变换定积分的下限和上限.若利用定积分的几何意义求解,则可避免用换元法所带来的复杂的变换过程.
证法一(直接法)
对比分析:估值定理是证明积分不等式的重要工具.解法一采用了直接计算不等式中的定积分的方法,不仅计算过程烦琐,而且计算的结果是一个无理数,与不等式左右两端的值的大小关系并不明显.解法二采用了估值定理,不仅避免了直接计算定积分所带来的复杂的运算过程,而且可以较快捷地得出所要证明的结论.
6.多元函数的极值与最值
例7求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0所确定函数z=z(x,y)的极值.
解法一(微分法[8])由x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0得
在上式中令zx=0,zy=0得x=1,y=-1.
将x=1,y=-1代入原方程得z=6和z=-2.
即驻点为(1,-1,6)和(1,-1,-2).
等式2x+2zzx-2-4zx=0两端分别对x,y求导得
2+2(zx)2+2zzxx-4zxx=0,
2zyzx+2zzxy-4zxy=0.
等式2y+2zzy+2-4zy=0两端对y求导得
2+2(zy)2+2zzyy-4zyy=0,
解法二(配方法)将方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0配方得
(x-1)2+(y+1)2+(z-2)2=16.
由此可见,当x=1,y=-1时,z=z(x,y)取得极大值2+4=6,取得极小值2-4=-2.
对比分析:解法一采用了微分法,这是求多元函数极值的常规方法.解法二则巧妙地运用了配方法,将问题化繁为简,方便快捷地求出了问题的结果,与解法一相比,省略了求驻点和高阶偏导数的过程,从而简化了求解的过程.
例8求函数z=x2+y2-12x+16y在x2+y2≤25上的最大值与最小值.
解法一(Lagrange乘数法)
显然点(6,-8)不在区域D内,因此构造Lagrange函数
F(x,y,λ)=x2+y2-12x+16y+λ(x2+y2-25)=25-12x+16y+λ(x2+y2-25).
则z(x,y)在D上最小值为-75,最大值为125.
解法二(几何法)
由于z=x2+y2-12x+16y=(x-6)2+(y+8)2-100,
又z(3,-4)=-75,z(-3,4)=125,
故z(x,y)在x2+y2≤25上的最大值为125,最小值为-75.
对比分析:解法一采用了Lagrange乘数法,这是求多元函数最值的常规方法.解法二则是一种巧妙的方法,它将所求问题与其在几何上的意义相联系,采用几何的方法来分析并确定问题的最值,与解法一相比,省略了求偏导数和构造Lagrange函数的过程,从而简化了计算的过程.
7.二重积分
解法一(在极坐标下化为累次积分)
圆x2+y2=x+y在极坐标下的方程为ρ=cosθ+sinθ,则
解法一(在直角坐标系下化为累次积分)
对比分析:以上两例中的解法一均为计算二重积分的常规方法,即将二重积分化为累次积分.解法二则巧妙地利用了对称性,与解法一相比,不仅避免了用常规方法带来的复杂的计算过程,而且省略了换元和确定累次积分的上下限的过程,从而将问题化繁为简,提高了计算的准确率.
8.线性代数综合题
例11设n阶矩阵
(1)证明:A=(n+1)an.
(2)a为何值时,方程组有唯一解,求x1.
(1)证法一:(化为上三角形)
(2)由(1)可知:当a≠0时,A≠0,则矩阵A可逆,此时方程组有唯一解.
解法一(利用矩阵分块及行初等变换)此时,方程组的唯一解为X=A-1B,现将A-1按列分块,记为A-1=(α1,α2,…,αn),则方程组的解为
于是知x1=a11.
解法二(利用Cramer法则[9])因将A中的第1列换为B时的行列式按第1列展开即得Dn-1,而由(1)可知Dn-1=nan-1,故由Cramer法则得
解法三(利用伴随矩阵)此时,方程组有唯一解
对比分析:问题(1)的证明可有两种不同的方法,即化为上三角形矩阵或展开递推,这两种方法的难易程度相当.问题(2)的求解可有三种不同的方法,即利用矩阵分块及行初等变换、利用Cramer法则和利用伴随矩阵.若利用矩阵分块及行初等变换求解,则需要经过一系列复杂的变换过程,虽然最终可求出问题的结果,但其变换过程极为烦琐.若利用Cramer法则或利用伴随矩阵求解,则可以有效地避免利用矩阵分块及行初等变换求解所带来的一系列复杂的变换过程,从而大大简化求解的过程,可方便快捷地求出问题的结果.
小结
通过以上所举的例子我们可以清楚地看出,在解答考研数学中的计算和证明题时,若选用的方法恰当,则可以达到事半功倍的效果.
参考文献
[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,等.数学分析讲义(第四版)(上册)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]钱吉林,张祖发,刘敏思,等.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.
[3]李俊杰.Stolz定理的推广[J].数学通报,1981,3:22-26.
[4]王婕,朱如恒.Stolz定理的推广及一些应用[J].工科数学,1995,11(1):234-239.
[5]杨姗姗,刘健,马跃超.Stolz定理推广定理的推广[J].数学的实践与认识,2003,33(6):117-120.
[6]张传芳,杨春玲.利用Stolz定理的推广定理求极限[J].高等数学研究,2005,8(5):29-45.
[7]丁莲珍,姚健康.高等数学(上册)[M].南京:河海大学出版社,2010.
[8]刘玉琏,傅沛仁,林玎,等.数学分析讲义(第四版)(下册)[M].北京:高等教育出版社,2003.
关键词：初中数学；几何证明题；提高质效
提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。 对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。 如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。
一、尊重教材
苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。 与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。 要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。
教材是一切教学工作的根源。 教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。 现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。 这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。
二、做好细节的规范书写
初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。 教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。 其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。
有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。 比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。
如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。 其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。 如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。
三、抓好强化训练
初中几何证明题的教学，离不开强化训练。 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。 比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。
要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。 这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。 比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。
通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。
总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。 同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。
考研数学高分秘籍：让证明题迎刃而解
针对考研数学考生证明题得分率低、“谈证明色变”的现状，总结了攻克证明题的基本思路：首先总结证明题的主要考点；然后根据考点要求掌握基本的定理内容，尤其要掌握核心定理的证明过程；最后，再总结出题思路和证明“套路”，专项突破。
证明题是可以说是考研数学中最让考生头疼的题型了，很多考生几乎是“谈证明题色变”，在考试中遇到证明题时甚至会选择主动放弃。而从实际考试情况来看，证明题在每年的考试中也确实起到了“压轴题”的作用，试卷中综合得分率最低的考题往往都是证明题。其实只要方法得当，相较于其他题目，证明题是较容易得分的。下面，我们就简单介绍一下证明题的着手点，供考生们参考。
证明题可以分三步走：
第一步：分析考题，找出证明的主要考点。证明题的考题量较少，出题点相对比较固定，所以首要的任务是总结出题点，明确方向，再进行定向突破。从历年真题来看，高等数学证明题的主要出题点有两个：中值定理证明和不等式证明。
第二步：结合几何意义记住零点存在定理、中值定理等基本原理，包括条件及结论以及核心定理证明过程。了解基本原理是证明的基础，了解的程度不同会导致不同的推理能力。这些定理中，三大中值定理本身的证明过程就是很重要的考点。在2009年真题中就直接考查到了拉格朗日中值定理的证明过程，这道考题的答案在任何一本高等数学的教材上都可以找到，但实际得分率却不足20%。这说明很多时候考生在证明题上的丢分并不是因为题目太难、太刁，而是考生自己没有按照考试要求打好基础，掌握常用的方法和基本的考点。
第三步：分析历年真题，专项突破。对历年真题中的试题进行归类、整理，总结常考的类型和基本的证明思路。考研的证明题往往都是有一定证明“套路”的，只要能分析清楚命题方向，总结出联系不同题目形式背后共通的思路，这类问题就能迎刃而解。例如对不等式证明，尽管题目形式千变万化，但起证明思路大多数却都是统一的：都是根据要证明的不等式构造辅助函数（一般是两边相减或化简后相减），再通过求导分析辅助函数的单调性，进而找到辅助函数在所给区间上的最值。只要掌握了这个基本方向，再通过适量针对性的训练以熟悉常见的处理方法，攻克这类问题并不是难事。
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其实，很多考生并不是做不好证明题，而是在遇到证明题首先心里就怯懦了，希望通过上面的三步走，能够帮助考生建立起自信，一举攻克证明题。
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2018考研数学冲刺：教你三步搞定证明题
考研数学中的证明题是考查的重点，证明题使用的几个基本原理包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等，今天我们来看看如何三步搞定考研数学证明题。
1、结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。
知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。
只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。
这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，单调性 与 有界性 都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。
2、借助几何意义寻求证明思路
一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。
如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。
►下面归纳中值定理常考的几个类型及解法
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再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。
从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。
3、逆推法
从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。
在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*，其中eF(a)就是所要证的不等式
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在初期扎实的学完三本数学教材之后，需要对我们所学的知识结合复习全书加深理解并对其进行运用，而好的复习计划是成功的一半。此复习计划从三月初贯穿到正式考试，以周为时间单位。分为基础期，加强期和冲刺期。所用教材为《考研数学复习大全》、《接力题典1800》、《15年真题解析与方法指导》。希望同学们能够认真地按照计划进行复习，最后，祝你们考上理想的院校。
一、基础期（3月~6月）
该学期因为还有本科课程，故每天分配在数学上的时间应为2~3小时左右，重点在于加深对基础知识的理解并尝试做一些较难习题。基础期使用教材为汤家凤编著的《考研数学复习大全》。由于线性代数为独立部分。复习的顺序按高数、概率论、线性代数进行。每一周看完一章《复习大全》的内容，上面的例题应以看为主，切记不要耗费较多时间去解题。周末完成《复习大全》上的测试题即可。
第一周
复习章节：函数、极限、连续 复习范围：《复习大全》p3-35 1.掌握常用的求极限方法，等价无穷小、两个重要极限、洛必达法则、麦克劳林公式等。
2.重点掌握《复习大全》21-28页七种不定型极限类型的题型。3.了解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念。
4.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则。5.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小量的关系。6.理解函数连续性的概念（含左连续和右连续），会判断函数间断点的类型。周末完成测试题：《复习大全》p35-37，做完后注意看解析，将错题以及不会的题用错题集进行整理。
第二周
复习章节：导数与微分 复习范围：《复习大全》p43-60 1.掌握基本初等函数的导数公式、导数四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。2.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
3.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
4.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程
周末完成测试题：《复习大全》p60-62,并用错题集整理错题
第三、四周
复习章节：中值定理与一元函数微分学的应用 复习范围：《复习大全》p66-102 1.该章节属于重难点章节且证明题题型多样化，因此安排两周的时间进行复习。考生应在该阶段逐步培养证明题的解题思路以及构造辅助函数的方法。
2.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解泰勒定理、柯西中值定理，掌握这四个定理的简单应用。
3.会用洛必达法则求极限。
4.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及应用。
5.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线；会描述简单函数的图形。
6.本章问题的技巧性非常强，如中值等式与不等式的证明、一般不等式的证明、单调性与极值及最值、方程根的讨论等，通过系统的总结掌握完整的方法体系。
周末完成测试题：《复习大全》p103-104，该部分证明题难度较大，若做不出可先参考答案进行理解，同时注意对典型例题的收集。
第五周
复习章节：不定积分 复习范围：《复习大全》p109-124 1.该章节属于纯计算章节，考核主要考生的计算能力，考生应当在该阶段注重提升自身的计算能力，包括准确度和速度两方面。
2.理解函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
3.建议考生对该部分的题目都动手算一遍，对自身的计算能力将会有很大的提升
周末完成测试题：《复习大全》p120-121,并将错题进行二次演算。
第六周
复习章节：定积分及应用 复习范围：《复习大全》p125-161 1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法 2.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。
3.了解反常积分的概念，会计算反常积分。
4.注意与积分中值定理相关的证明题，该部分的证明题具有较高难度，前期考生同样也是以理解例题答案为主。
5.该章节的计算类型的题目同样应当动手计算，以便提高计算能力。周末测试题：《复习大全》p161-164,该章节习题量较大，可适当进行选做。
第七周
复习章节：多元函数微分学 复习范围：《复习大全》p173-203 1.该章节很容易出大题，且难度适中，属于必拿分题目，在平时的练习中应当注重计算的准确性和速度性。
2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分。，会求多元隐函数的偏导数。
4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题。
周末完成测试题：《复习大全》p203-205,该章节题目计算量较大，应在平时通过大量练习提高计算能力，以免在考场上出现时间不够用的情况。
第八周
复习章节：多元函数积分学 复习范围：《复习大全》p209-220 1.了解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上比较简单的反常二重积分并会计算。
2.培养画图解该章节题目的习惯，学会用极坐标变换计算二重积分。3.填空题用容易出改变积分次序类型题目，学会掌握基本解题步骤。4.该章节有出证明题的可能性，考生如有时间应适当关注。周末完成测试题：《复习大全》p220-221,对错题进行二次演算。
第九周
复习章节：级数 复习范围：《复习大全》p225-254 1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
2.了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。
3.了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。
4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
5.了解幂级数在其收敛区间的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
6.熟记e^x，sinx，cosx, ln（1+x）与(1+x)^α的麦克劳林展开式。周末完成测试题：《复习大全》p254-255,该章节必有一道大题出现，题型主要是求幂级数的和函数以及将函数展开成幂级数的形式。题目具有较强的技巧性，平时练习应注意归纳总结。
第十周
复习章节：微分方程、微分学的经济应用 复习范围：《复习大全》p261-286 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。
3.会解二阶常系数齐次线性微分方程。
4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。6.掌握一阶常系数线性差分方程的求阶方法。7.会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。
周末完成测试：《复习大全》p275-276 p287-288，该章节知识点在考试中通常以填空、选择的形式。但也有可能结合其他章节考察其几何，经济方面的应用。而差分方程知识点虽然简单但容易被考生忽略，从而成为失分点。如2018考研试题中就考差了差分方程，只要认真复习了就属于送分题。
第十一周
复习章节：随机事件与事件的概率、随机变量及其分布 复习范围：《复习大全》p421-449 1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握时间的关系及运算。
2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公示等。
3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复事件的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
4.理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P{X≤x}（-∞ 5.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布B（n，p）、几何分布、超几何分布、泊松分布P(λ)及其应用。 6.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。7.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U（a，b）、正态分布N（μ，σ²）、指数分布及其应用。8.会求随机变量函数的分布。 周末完成测试题：《复习大全》p433-434,p450-451，该章主要以选择、填空题的形式出现，掌且属于基础类型题目。 第十二周 复习章节：多维随机变量及其分布 复习范围：《复习大全》p455-473 1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。 2.理解二维离散随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握随机变量的边缘分布和条件分布。 3.掌握随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系。 4.掌握二维均匀分布和二维正态分布N(μ1，μ2，σ1²，σ2²)，理解其中参数的概率意义。 5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布。周末完成测试题：《复习大全》p473-474,该章节知识点在考试中容易出大题，且难度适中，属于必拿分数。考生应在平时对基础题型进行归纳总结，将错题进行整理。 第十三周 复习章节：随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定律 复习范围：《复习大全》p480-502 1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。2.会求一维离散型、连续性随机变量的数学期望，会求二维离散型、连续性随机变量的数学期望。3.了解切比雪夫不等式。 4.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律） 5.了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正太分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理定理近似计算有关随机事件的概率。 周末完成测试题：《复习大全》p493-494,p502。该两章知识点也容易出大题，而且会结合实际问题进行考察，难度中上且计算量偏大。 第十四周 复习章节：数理统计的基本概念 参数估计 复习范围：《复习大全》p505-522 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。2.了解产生χ²变量，t变量和F变量的典型模式，了解标准正太分布，χ²分布，t分布和F分布的上侧α分位数，会查相应的数值表。3.掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布。4了解经验分布函数的概念和性质。 5.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念。6.掌握矩估计（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。 周末完成测试题：《复习大全》p513-514，p522 第十五周 复习章节：行列式、矩阵 复习范围：《复习大全》p291-324 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵的定义和性质。 4.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及他们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。 5.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。 6.了解矩阵初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法。 7.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。 周末完成测试题：《复习大全》p299,p324-326,该两章节为线性代数板块的基础性知识，应当将基础概念和性质掌握牢固。 第十七周 复习章节：向量、线性方程组 复习范围：《复习大全》p328-370 1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。 2.理解向量的线性组合和线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。 3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。 5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法。6.会用克拉默法则解线性方程组。 7.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。 8.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。 9.理解非齐次线性方程组的结构及通解的概念。10.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。 周末完成测试题：《复习大全》p339-340,p363-365,这两章知识点容易结合起来出大题，难度适中，考生认真复习后可以轻松拿到这部分分数，但要注意计算的准确性，避免无故失分。 第十八周 复习章节：特征值与特征向量、二次型及其标准型 复习范围：《复习大全》p371-390,p400-413 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角阵的方法。3.掌握实对称阵的特征值和特征向量的性质。 4.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念。 5.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准型，规范型等概念，了解惯性定理，会用正交变化和配方法花二次型为标准型。 6.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 周末完成测试题：《复习大全》p390-393,p413-414,这两章知识点易出大题，且题目难度较大，计算量庞大。想取得高分的考生应大量练习这两章习题。 基础期的复习到此就告一段落了，可能有些考生觉得题目难，自己独立做题很多不会。请不要灰心，后面还有强化期和冲刺期，有很多问题都会迎刃而解。 二、强化期（7月~10月） 暑期是一块相对完整的时间板块，想要在数学上获得提升就要利用好这一黄金时段，数学离不开大量的演算，因此需要多做题，多做题，多做题，重要的事情说三遍，强化期采用的教材为《接力题典1800》，在使用过程中应结合汤家凤老师的强化班视频进行辅助学习。暑期每天花在数学上的时间应为4小时左右。 第一阶段为7-8月，将《接力题典1800》基础篇完成，一共十九个章节，平均每三天完成一个小节，这一阶段做题可以不要求速度，但一定要保证准确性，要保证会做的题基本上不会出错。同时重要的是在做题过程中一定要注意对错题和不会的题进行收集整理，冲刺将非常有用。 第二阶段为8-10月。将《接力题典1800》综合提高篇完成，同样是每三天完成一个小阶，这一阶段做题在保证正确率的情况下还要将做题的速度提升，因为考试时间非常紧张，因此必须提高自身的运算速度。在做题过程中如果遇到基础性的概念和性质模糊的情况，应当立马查漏补缺，避免遗忘。 三、冲刺期（11-12月） 在经过大量习题的洗礼之后，就需要用真题来检验自身了。后期因为政治需要大量时间进行记忆，因此这一阶段每天花在数学上的时间应为3小时。 在11月建议用《15年真题解析与方法指导》这本书，每两天完成一套真题。第一天抽完整的3小时将真题当作考试来完成，自己模拟考场环境，考场气氛。第二天将前一天的真题进行批改，重在看解析。每一题的解析都要看，即使你做对了的题。因为解析的方法可能与你不同，也能提供一种新的思路。同时解析做错了的题，分析做错了的原因，并将错题进行整理。 陈玉发 郑州职业技术学院基础教育处450121 摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化． 关键词：考研数学不等式中值定理幂级数 （作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121） 微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用． 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下． 例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题） (2)设bae，证明ab ba xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，f(x)ax，f(a)0，然后证明 在xa时，f(x)0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明． 证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna lnblna lna lnblnalna baa 1lna，其中eablnabaa 1 1lna，其中eab． a 原命题得证． 证：Ⅱ 利用微分中值定理，abeblnaalnb blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a 1 lna，（1b）a 原命题得证． 证明Ⅲ 利用幂级数展开： 设bax，原不等式等价于 aaxa (ax)aaaax(a)x xa(1 而 xa)，a ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()()． aa2!an!a a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通过比较以上两个级数可知原na 不等式成立． 对于不等式a(1 一下． 例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a 设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2)． 证：不妨设x1x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1) f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1x2)(x2)x10 f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减．原不等式得证． 例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题） 论证：当x0时,(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx 证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22 (x1)lnx1 x1 (x1)lnx(11)ln11，（柯西中值定理）x1 ln(1) 1，（介于1与x之间） 1ln0． 当1时，上式显然成立；当01时，我们可以证明， 命题得证． 例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题） (15)设eabe2，证明lnblna 22224(ba)． 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e 142ln2，(eabe2)e 1 ln2，2e 因为eabe2，所以，lnelne222． eee 所以，原不等式成立． 例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题） 证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa． 证：令f(x)xsinx2cosxx bsinb2cosbbasina2cosaa f(b)f(a) 0 f(b)f(a)0 ba f()cossin0，0ab 令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0． 原命题得证． 例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题 (1)比较1 0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。01 解：因为lnt[ln(1t)]n tnlnt[ln(1t)]n tn [ln(1t)nln(1t)ln(10)n][]（拉格朗日中值定理）tt0 ()1，0t1，1n 所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1 0lntt)]dtn10tnlnt。 例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题） 1xx2 cosx1，(1x1)．证明：xln1x2 证：原不等式等价于： x2 x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2 xx2 （仅当x0时取等号）x[ln(1x)ln(1x)]2sin222 [ln(1x)ln(1x)]1（当x0时）2xxx2sin222 11111，（柯西中值定理，其中0x1），sinx 21，0x1 2(sin)(1)x 因为(sin)(12)22x，所以不等式成立． 利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立． 综上所述，原不等式成立． xx例8 证明：当x0时，xe1xe． 证：当x0时，ex1xxe1xe1e xxx exe0 1ex，（利用柯西中值定理）x0 1eex，其中0x． 原不等式成立． 例9 证明：当0x 2时，sinxtanx2x． 证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x sinxtanx(sin0tan0)2 x0 cossec22（柯西中值定理）1 cossec22，因为 cossec2所以，原不等式成立． 中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果． 证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论: ⑴b≤a或c≤a ⑵a≤b且a≤c 如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c) 如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c) 无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一次插值) 已知函数f(x)在区间的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=p1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。 1.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照yk和yk+1写成两项: 记 并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表： 从而 p1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) 此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。 解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设 x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010 则插值基函数为： 于是,拉格朗日型一次插值多项式为: 故: 即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式p2(x),使其满足,p2(xk-1)=yk-1,p2(xk)=yk,p2(xk+1)=yk+1.其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。 1.插值基本多项式 有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足： (1)基本多项式为二次多项式;(2)它们的函数值满足下表： 因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设 lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为 lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)= 1得 从而 同理得 基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。 2.拉格朗日型二次插值多项式 由前述,拉格朗日型二次插值多项式: p2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),p2(x) 是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足: p2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。 例2已知： xi101520 yi=lgxi11.17611.3010 利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。 解：设x0=10,x1=15,x2=20,则: 故: 所以 7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。 三、拉格朗日型n次插值多项式 已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为 y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式pn(x),使其满足: pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。 1.插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数 l0(x),l1(x),…,ln(X) 每个插值基本多项式li(x)满足： (1)li(x)是n次多项式; (2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i)。 由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子: (x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) 因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令: li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) 由li(xi)=1,可以定出a,进而得到： 2.n次拉格朗日型插值多项式pn(x) pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn。即: pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),从而pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足 pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).例3求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。 解用4次插值多项式对5个点插值。 所以 四、拉格朗日插值多项式的截断误差 我们在上用多项式pn(x)来近似代替函数f(x),其截断误差记作 Rn(x)=f(x)-pn(x) 当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0,下面来估计截断误差： 定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在上连续，y(n+1)=f(n+1)(x) 在(a,b)上存在;插值结点为: a≤x0 pn(x)是n次拉格朗日插值多项式;则对任意x∈有： 其中ξ∈(a,b),ξ依赖于x：ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) 证明：由插值多项式的要求： Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0，(i=0,1,2,…,n); 设 Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn)=K(x)ωn+1(x) 其中K(x)是待定系数;固定x∈且x≠xk，k=0,1,2,…,n;作函数 H(t)=f(t)-pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)…(t-xn) 则H(xk)=0，(k=0,1,2,…,n),且H(x)=f(x)-pn(x)-Rn(x)=0,所以，H(t)在上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),使;因pn(x)是n次多项式，故p(n+1)(ξ)=0,而 ωn+1(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xn) 是首项系数为1的n+1次多项式，故有 于是 H(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x) 得： 所以 设,则： 易知，线性插值的截断误差为: 二次插值的截断误差为: 下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差： 在例1中，用lg10和lg20计算lg12,p1(12)=1.0602,lg12=1.0792 e=|1.0792-1.0602|=0.0190; 在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。 对不起啊 我不知道怎么把画的.图弄上来 所以可能麻烦大家了 谢谢 1. 过D作DH∥AC交BC与H。∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵DH∥AC，∴∠DHB=∠ACB，∴∠B=∠DHB，∴DB=DH.∵BD=CE，∴DH=CE.∵DH∥AC，∴∠HDF=∠FEC.∵∠DFB=∠CFE，∴△DFH≌△EFC，∴DF=EF. 2. 证明:过E作EG∥AB交BC延长线于G 则∠B=∠G 又AB=AC有∠B=∠ACB 所以∠ACB=∠G 因∠ACB=∠GCE 所以∠G=∠GCE 所以EG=EC 因BD=CE 所以BD=EG 在△BDF和△GEF中 ∠B=∠G，BD=GE，∠BFD=∠GFE 则可视GEF绕F旋转1800得△BDF 故DF=EF 3. 解: 过E点作EM∥AB,交BC的延长线于点M, 则∠B=∠BME, 因为AB=AC,所以∠ACB=∠BME 因为∠ACB=∠MCE,所以∠MCE=∠BME 所以EC=EM,因为BD=EC,所以BD=EM 在△BDF和△MEF中 ∠B=∠BME BD=EM ∠BFD=∠MFE 所以△BDF以点F为旋转中心, 旋转180度后与△MEF重合, 所以DF=EF 4. 已知：a、b、c是正数，且a>b。 求证：b/a 要求至少用3种方法证明。 (1) a>b>0;c>0 1)(a+c)/(b+c)-a/b=[(a+c)b-a(b+c)]/[b(b+c)]=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc) =(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/[b(b+c)] a>b--->a-b>0; a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0 -->c(a-b)/[b(b+c]>0--->(a+c)/(b+c)>a/b 2)a>b>0;c>0--->bc ---ab+bc --->a(b+c) --->a(b+c)/[b(b+c)] --->a/b<(a+c)/(b+c) 3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0 --->c/a --->c/a+1 --->(c+a)/a<(c+b)/b --->(a+c)/(b+c)>a/b (2) make b/a=k<1 b=ka b+c=ka+c (b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-[k-1]c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c) 一实数的计算、整式的化简求值、分式的化简求值、解分式方程、解二元一次方程组、解不等式组并在数轴上表示解集 二画图与计算、圆的证明与计算、三角函数应用题 三统计应用题、用列表法或树形图求某以事件的概率、统计与概率的综合应用题 四一次与反比例函数的数形结合、二次函数的数形结合、列方程或方程组解应用题 五、猜想与证明题 六、综合应用题 七、探索发现应用题 八、动点应用题 1.证明：函数级数f(x)=sinnx n3在（,)上一致收敛。 nx 2.证明函数列fn(x)1在a,b上的极限函数为ex。n 3.证明函数项级数 在R内一致收敛。 4.证明函数 5.证明函数项级数在区间 内连续在R内的一致收敛。第十二章 幂级数 1.证明：幂级数xn，x1的和函数为 n11。1x xn2.证明：幂级数2在（1,1)一致收敛。n1n xn3.证明：幂级数的和函数在R上连续。 n1n! x24.证明：幂级数的和函数在R上连续。2nn1(1x) 5.证明：幂级数n1 3n11xn的收敛域为（-,）33n6.证明：幂级数n!xn的收敛半径为R=0。 n1 (x1)n7.证明：幂级数n的收敛域为[-1，3）。n12n 第十四章多元函数微分学 y2u2u 1.证明函数uarctan满足方程220 xxy 2.证明极限lim(4x3y)19 x2 y1 3.证明：lim(3x22y)14 x2 y1 x2y 4.证明：函数f(x,y)=4((x,y)(0,0))在原点(0,0)不存在极限 2 xy x2y (x,y)(0,0) 5.证明函数fx,yx2y2在原点（0，0）连续.(x,y)(0,0)0 6.验证方程Fx,yxy2x2y0在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数yx xy2 7．证明：lim20． x0xy2y0 第十六章 重积分 1.设f在可求面积的区域D上连续.证明： 若在D上,f(x,y)0,f(x,y)0,则f(x,y)dxdy0.D 2.证明若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且k是常数，则 kf(x,y)dxdykf(x,y)dxdy D D 3.证明：若f(x,y,z)在有界闭体V上连续，则在有界闭体V内至少存在 一点(,,)，使f(x,y,z)dxdydzf(,,)V，其中V是V的体积； V 4.证明 若f(x,y)，g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在区域D上有 f(x,y)g(x,y，则)f(x,y)dxdyg(x,y)dxdy D D 5.证明若f(x,y)1，则f(x,y)dxdydxdyD，其中D是区域D的面积 D D 6.若函数f在R可积,则函数f在R也可积，且 fd R R f.7.若函数f在有界闭区域R连续，则至少存在一点,R，使 fx,ydf,R，其中R表示R的面积.R 8.设f(x,y)在所积分的区域D上连续，adxaf(x,y)dyadyyf(x,y)dx． 9.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明： 若f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,y)f(x,y)，则f(x,y)dxdy0； D bxbb 10.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明：若 f(x,y)关于x为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，则 f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy． D D1 D2 第十七章 曲线积分与曲面积分 1.证明若f(x,y)，g(x,y)在光滑曲线C上可积，且在光滑曲线C上有 f(x,y)g(x,y)，则f(x,y)dsg(x,y)ds c c 2.证明若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且k≠0的常数，则kf(x,y)也在光滑曲线C上可积，且 kf(x,y)dskf(x,y)ds c c 3.若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且C1来表示曲线C的反方向，则 有 c f(x,y)dx1f(x,y)dx 证明： 设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)，若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，也即x∈A∩B 或 x∈A∩C，即 x∈T，所以ST． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C，即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS． 因此T=S． 2、试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)． 证明：设S= A(BC)，T=(AB)(AC)，若x∈S，则x∈A或x∈BC，即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C． 也即x∈AB 且 x∈AC，即 x∈T，所以ST． 反之，若x∈T，则x∈AB 且 x∈AC，即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，也即x∈A或x∈BC，即x∈S，所以TS． 因此T=S． 3、试证明（x）（P（x）∧R（x））（x）P（x）∧（x）R（x）． 证明： （1）（x）（P（x）∧R（x））P（2）P（a）∧R（a）ES(1) （3）P（a）T(2)I（4）（x）P（x）EG(3) （5）R（a）T(2)I（6）（x）R（x）EG(5) （7）（x）P（x）∧（x）R（x）T(5)(6)I4、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B． 证明：设xA，则 5、设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明G与G中的奇数度顶点个数相等(G是G的补图)． 证明：因为n是奇数，所以n阶完全图每个顶点度数为偶数，因此，若G中顶点v的度数为奇数，则在G中v的度数一定也是奇数，所以G与G中的奇数度顶点个数相等． 6．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加 欧拉图． 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加k条边才能使其成为2k条边到图G才能使其成为欧拉图． 2 7．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系． 证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系． aA，bA，使得R，因为R是对称的，故 又R是传递的，即当R， 由元素a的任意性，知R是自反的． 所以，R是等价关系． 8．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RS也是A上的偏序关系． 证明：.① xA,x,xR,x,xSx,xRS，所以RS有自反性；②x,yA,因为R，S是反对称的，x,yRSy,xRS(x,yRx,yS)(y,xRy,xS)(x,yRy,xR)(x,ySy,xS)xyyxxy 所以，RS有反对称性． ③x,y,zA，因为R，S是传递的，x,yRSy,zRS x,yRx,ySy,zRy,zS x,yRy,zRx,ySy,zS x,zRx,zSx,zRS 所以，RS有传递性． 总之，R是偏序关系． 9．试证明命题公式(P(QR))PQ与（PQ）等价． 证明：(P(QR))PQ (P(QR))PQ(PQR)PQ (PPQ)(QPQ)(RPQ) (PQ)(PQ)(PQR)PQ（吸收律） (PQ)（摩根律） 10．试证明（x）（P（x）∧R（x））（x）P（x）∧（x）R（x）． 证明：（1）（x）（P（x）∧R（x））P （2）P（a）∧R（a）ES(1)（3）P（a）T(2)I （4）（x）P（x）EG(3)（5）R（a）T(2)I （6）（x）R（x）EG(5)（7）（x）P（x）∧（x）R（x）T(5)(6)I 11．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的． 证明：用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与定理3.1.2的推论矛盾．因而u和v一定是连通的． 12．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等． 证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于2的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1(2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等． 13．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加 欧拉图． k条边才能使其成为2 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数． 【2019考研数学证明题】推荐阅读： 从考研数学看做题10-27 考研数学做题技巧02-10 【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道09-16 考研数学分类03-19 考研数学难度值07-01 考研数学高频考点07-24 考研数学题型分布03-10 考研数学 高分复习方法05-28 考研数学暑期如何复习06-24 考研数学分析真题07-06考研数学中的不等式证明 篇7
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