分解因式法教学设计

分解因式法教学设计（精选8篇）

分解因式法教学设计篇1

一元二次方程

４．分解因式法

一、教学目标

知识技能、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；

数学思考、通过小组合作交流，体会转化的思想，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。

问题解决、通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态

度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。

二、教学重难点

重点：掌握分解因式法解一元二次方程；

难点：灵活运用分解因式法解一元二次方程；

三、教学方法

探索引导法

四、教具准备

五、教学过程

1、情境创设

1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。

3、选择合适的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。

2、探究新知

（1)

1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？

说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。思路一：设这个数为x，根据题意，可列方程

x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b=-3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

思路二：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴这个数是0或3。

思路三：:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3。

思路四：设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得

∴ x=3 ∴ 这个数是3。

2、同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四种做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么? 说明：小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。可能出现下面几种情况，教师需注意引导：

：认为思路四的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用思路三的做法,但我们一致认为思路三的做法最好,这样做简单又准确.：补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根.3、我们可这样表示：

如果a×b=0,那么a=0或b=0 这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。

我们再来看c同学解方程x2=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用分解因式法来解一元二次方程。

说明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。(2)例题解析

解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例学生自行解决)(2)、X-2=X(X-2)(师生共同解决)(3)、(X+1)2-25=0(师生共同解决)解：（1）原方程可变形为

5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 解：(2)原方程可变形为

（X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0 ∴ X1=2，X2=1 方程(x+1)2-25=0的右边是0，左边(x+1)2-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可变形为

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6，X2=4 这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。

问题：

1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么?(小组合作交流)

2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解?(课下交流完成)

3、你能用分解因式法解方程x240吗？

在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法分解因式。

3、随堂练习

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0(2)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数？

4、课堂小结

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和关键。

2、在应用分解因式法时应注意的问题。

3、分解因式法体现了怎样的数学思想?

5、布置作业

分解因式法教学设计篇2

一、忆公式

看到题目能联想到公式法中的公式,例:2ab-a2- b2+c2.

解:原式=c2-(a2+b2- 2ab)=c2(a-b)2=(c+a-b)(c-a+b).

此类题需先用加法交换律,一、三分组,再连续运用完全平方公式和平方差公式求解.

二、巧配方

将题中的单项式配方,之后用公式. 此类题多可配成完全平方公式,例:x2- y2+2x+4y- 3.

解:原式=(x2+2x+1)-(y2- 4y+4)=(x+1)2(y- 2)2=(x+y- 1)(x-y+3).

此类题需要在分组前,预见到分组后是否可用公式法和所用公式类型.

三、添拆项

在简单或复杂的因式中,添上或拆开某些式子,使其转变为能用公式法解决的问题,例:x4+4.

解:原式=x4+4x2- 4x2+4=(x4+4x2+4)- 4x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x2- 2x+2).

此类题的添拆需要我们做到熟能生巧.

分解因式法教学设计篇3

1．下列从左到右的变形中，是分解因式的是（）

A． m2－2m－3＝mm－2－

B． a2＋2a＋2＝（a＋1）2＋1

C． x2－1＝（x＋1）（x－1）D．（x＋y）（x－y）＝x2－y2

2．（－2）10＋（－2）11的结果是（）

A．－210B．－211C． 210D．－2

3． 20032－2003不能被下列哪个数整除？这个数是（）

A． 2003B． 2002C． 2001D． 1001

4．下面从左边到右边的变形中，不是分解因式的共有（）

①2a2xy＝2aaxy；②x4＋3x2＋1＝x2（x2＋3）＋1；

③3mn2－6m2n＝3mn（n－2m）；④ab－ac＋a＝a（b－c）．

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

5．如果多项式x2－mx－35分解因式为（x－5）（x＋7），则m的值为（）

A．－2B． 2C． 12D．－12

6．观察下列各组式子，其中有公因式的是（）

①a＋b和2a＋b； ②5m（a－b）和－a＋b； ③3（a＋b）和－a－b； ④（a＋b）2和a2＋b2．

A． ①②B． ②③C． ③④D． ①④

7．多项式－2x2n＋4xn分解因式的结果是（）

A． 2（－x2n＋2xn）B．－2xn（xn－2）C．－2（x2n－2xn）D．－2xn（x2－2）

8．对－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一个因式是（）

A． xy＋x2y2－2xzB．－y＋x2y－2zC． y－xy2＋2zD． y＋xy2－2z

二、填空题（每题3分，共24分）

9．若8ax2＋aby2＝（2x＋5y）（2x－5y），则a＝，b＝．

10． 17．8×－28．8×能被整除．

11．若多项式ax2＋bx＋c可以被分解为（x－3）（3x＋5），则a＝，b＝， c＝．

12．多项式21x2y2－7x2y各项的公因式是．

13．（x＋y）（x－1）－xy－y2分解因式为．

14．在4a4b2－6a3b2－2a2b因式分解时，应先提公因式．另一个因式是．

15．若a－5＝b＋c，则代数式a（－b－c＋a）＋b（b＋c－a）＋c（b＋c－a）＝．

16．（1）－16x4－32x3＋56x2＝－8x2（）．

（2） ab2＋b2c＝（2a＋3c）．

（3） 24x2y（a－3b）3－18xy2（3b－a）2＝6xy（a－3b）2（）．

三、解答题（17题20分，18题15分，19题5分，20～21题每题6分，共52分）

17．把下列各式分解因式．

（1） 54a3bc2－9a2b2c－27a4c2；（2） a2b（a－b）－2ab（b－a）；

（3）－8a3b＋16a2b2－4a2b；（4） 5（a＋b）（y－x）－2a（a＋b）（x－y）．

18．利用因式分解计算．

（1） 2 0022－2 002；

（2） 123×0．45＋12．3×4．3＋12．3×1．2；

（3） 37．2×－9．2×．

19．已知a－b＝2 003，ab＝．求a2b－ab2的值．

20．已知a、b互为相反数，2x－3y＝－，求a（2x－3y）3－b（3y－2x）3的值．

21．先分解因式，再求值：（a－2）（a2＋a＋1）－（a2－1）（2－a），其中a＝18．

分解因式法教学设计篇4

因式分解法解一元二次方程教学反思

大布苏中学：杨慧敏

在学习了一元二次方程的四种基本解法后，由于在实际运用中十字相乘法解方程运用确实很广，而且用处之大不可忽视。在解题过程中实际用起来带来很大的方便，也能提高解题效率，所以加上些节课。

在介绍十字相乘法时，先从一元二次方程一般式引入，使学生分清二次项系数、一次项系数、常数项，再进行十字相乘。在对系数的处理上，学生搭配较简单的数时很快，但对系数较大的十字分解还缺乏经验。所以介绍了小学学过的短除法，对常数项进行因式分解，再合理尝试十字交*相乘。学生经过理解后，感觉十分好用，且在经过多个方程的十字相乘后，学生积累了一定的经验对符号的处理上能找到巧妙方法，通过先考虑合系数的绝对值，再确定符号所处位置。

最后出现的问题在交*相乘以后对分解式的书写，部分学生习惯前面的交*相乘从而导致了书写分解式时也交*书写造成错误。正确的应是横向书写，所以要多强调、多指导、多个别指出学生的错误。问题二出现在“历史”遗留问题上：一元一次方程的解法中的最后一个步骤。所以还要用课外时间对这部份知识以前掌握不是很好的学生加以辅导。篇二：因式分解法解一元二次方程反思

《因式分解法解一元二次方程》的教学反思

本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式，教学注重学生的基础，调动了学生学习的积极性、主动性，并激发了学生学习的兴趣，提高了课堂效率。先由学生课外自学，了解用因式分解法解一元二次方程的解法，并会求一些简单的一元二次方程的解；其次，在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法；第三，通过当堂练习、讲评，进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。通过本课的授课情况及听、评课教师的反馈来看，基本上达到了课前设计的教学目的。

结合这些，在上这节课时，我注意了以下方面：

1、突出重点，合理设计

在教学中，各个环节均围绕着利用分解因式解一元二次方程这一重点内容展开，我根据学生的实际情况进行大量的课前预习，把学生在解题过程中容易出现的各种问题及时展现出来，有利于学生迅速掌握基本的解题技能。

2、循序渐进，相得益彰

本节课在设置是层次得当，既有大量的基础计算问题，也设置了符合学生认知实际的应用问题，力争使不同层次的学生都学有所得，提高了课堂的有效性。

3、一题多解，寻求最优根据本节课所处的位置，教学中设置不同的题型，让学生选择最优化的方法，既巩固所学，有训练能力。

4、自主学习，互助提高

成功之处：

1.精心设计习题，强化学生题感。

通过学生有可能出现的问题设计了相关的代表性的习题，让学生总结出用因式分解法解一元二次方程的解题思路：大致常见的有三种类型，提公因式法、公式法（平方差，完全平方公式）、十字相乘法，老师给予适时补充引导，通过见到什么题，就考虑用哪种方法，提高了解题速度，优化了解题方法，增强了学生解题感觉。

2．体现了“教教材”为“用教材教”的课程理念。

这节课的内容教材上给的特别简单，如果不做补充，学生的思维得不到训练，知识得不到拓展，能力得不到提高，所以通过查阅中考资料等，精心设计习题，同时教学关注的焦点没有只停留在教会学生上，而是引导学生如何去学，授之以渔，由学会到会学，以便终身受益。

不足之处：

1．过分关注学生的学习结果，而忽略了过程，处理有些知识点时，给学生留有思考的时间太少，这样使的部分学生不清楚，所以在后继学习中部分学生对于公因式为多项式的提公因式、平方差公式中的第一项和第二项均为多项式的题，部分学生模糊出错。

2．在习题的处理上，由于害怕时间比较紧，有时叫了举手的学生上黑板做题，这样表面上看一节课比较顺畅，而掩盖了那些做错学生的错误，这样教师得不到第一手的真实资料来了解课堂的实效性。篇三：《因式分解法解一元二次方程》教学反思

《因式分解法解一元二次方程》教学反思在课堂复习教学过程中，整节课充满着自主、合作、探究、交流的教学理念，营造了思维驰聘的空间，使学生在主动思考探究的过程中自然的获得了新的知识。

通过堂上练习、课外作业连贯性的训练，既可以巩固基础知识，又可以把学生学习情况的信息反馈，这样可以了解学生的学习动态。

二、控制在3分钟内做，2分钟进行讲评。

三、内容要是基础知识，而且又具有上下节内容连贯，不出现难题。

四、题目应是简练的、明了的题目要有的放矢，针对知识点。好处是知道哪些是会的、哪些是不会的。可以起到查漏补决的作用。

教师固然既备课、又备学生。但学生并是我们想象中这样的，一讲一练就可以了，如果是这样简单就好了。而实际情况并非如此，学生的思维能力及思维方式，都受到其基础知识及各人的智力等的因素所制约和影响的。因此，教师在整个教学过程中，有必要及时掌握学生对各个知识点掌握的情况，以便及时给予补救。而这些情况尤如信息反馈一样，必需要及时才具有意义。

在以后的教学中要把握好的方法，力求“准”、“活”：对所学新知识加以复习、巩固，进一步了解这部分知识在解决问题时所起的作用。

因式分解法法（2）教学反思

22.2.3 一元二次方程的解法（因式分解法）教学反思成功之外：

通过本节课的学习，使学生知道了解一元二次方程的方法不是唯一的，除了以前所学习过的方法我，还有因式分解法，通过例题讲解和课堂中的练习，使学生感受到因式分解法给解题带来的便捷．考虑到学生对“因式分解”有所遗忘，所以在例题前安排了因式分解的方

2法回顾，然后用一个简单的方程x－x = 0引入今天的课题，学生自己思考或者讨论可轻松

得到一个全新的方法—因式分解法，比较自然，符合学生的思维习惯。两条例题展示规范的书写格式，提出要求，几个变题提醒学生经常性的错误。总的来说，教学内容所给出的例题设置典型，问题设置合理，能引起同学们认真思考，容量节奏紧凑．在整个教学过程中同学们能够勇跃地参与课堂活动，积极思考，充分发挥了学生的主观能动性，同学们在轻松而又紧张，严肃而又活泼的课堂气氛中很好地掌握了本节课需要掌握的知识．符合学生们的认知规律．

不足之外：

学生的成长过程中，总会犯这样或那样的错误，但同时也会展示出自己特长，因此在教学过程中要善于发现学生的优点，在教学过程中对学生长处表扬不够．怕学生理解不够充分，自己讲得嫌多，对学生不放心，有些东西完全可以交给学生，互动性不是很强，新课程理念还需实践． 3．需注意的几个问题：

（１）要充分调动学生学习热情，多表扬，对于学生在学习过程中所犯错误反指出时要适当自然，不能挫伤学生学习的积极性．（２）提出的问题要让学生便于回答，要能够引发学生思考并且在学生遇到困难时要能够适时适当加以点拨．（３）对于学生的误区要有相应量的题目加以巩固，难点要重点突破．篇五：用因式分解法解一元二次方程的教学设计与反思

用因式分解法解一元二次方程的教学设计与反思山东省安丘市景芝初级中学王汝建

一、教学目标：

（一）知识目标：

（1）了解用因式分解解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程，了解其他的几种解法。

（2）学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程。

（3）明确用因式分解法解一元二次方程的依据和“降次”转化的数学思想方法。

（二）能力目标：

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标：

（1）结合实际与探索，寻找解决问题的策略和方法。

（2）养成良好的学习习惯。

二、教学的重、难点及教学设计：

（一）教学重点：

用因式分解法解一元二次方程。

（二）教学难点：

选择适当的方法解一元二次方程。

（三）教学设计要点：

1、情景设计：

多媒体出示教材第95页“观察与思考”所提出的问题，设置问题情境，激发学生学习动机，引入新课。

2、教学内容的处理：

（1）补充一组理解一元二次议程相关概念的基本练习。

（2）补充一组解一元二次方程的变形练习。

（3）在作业中，补充思考题ab=1一定有a=1或b=1吗？

3、教学方法：

独立探究，合作交流与老师引导相结合。

三、教具准备：

彩色粉笔、多媒体课件等。

四、小结：

（引导学生按下面的思路进行总结）

1、这堂课的主要任务是什么？

2、解一元二次方程的基本思路是什么？

3、你用什么方法达到“降次”转化的目的？

五、课后反思：

这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到这一目的，我们主要利用了因式分解“降次”。在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法。

在教学过程中，由一个问题引入新方程，要解决这个实际问题需要学习新知识，激发了学生的学习动机，而新知识与有知识一元一次方程有内在联系，引导学生用比较、概括的方法获得新知识。通过补充练习，及时加深理解。在例1的处理上，教师为学习铺路搭桥，即明确了降次的依据，又为用饮食分解溉解一元二次方程作了铺垫，学生能够比较顺利的解答原先的实际问题，从而树立了学习的信心。在此基础上，补充变式练习，训练思维的灵活性，并了解其他几种一元二次方程的方法，从而构件起一元二

次方程的解法的认知结构。在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。

运用公式法分解因式教案篇5

因式分解

2)36a²81= m²-9² =(m + 9)(m25b²=(6a)²-(5b)²=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a²-1 =(2)4x²-m²n²= 2(3)–9x² + m 考考你

144949a  b (a  b)a  b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)²b² =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。

3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。

（五）小结与评价

你的收获是什么？

你还有什么疑惑？

六、作业布置

练习P76 1、2习题8.4

第2题（3）题，第4题（2）（4）题

第5题（1）（2）题

七、板书设计：

运用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 练习1 练习3

例2 练习2 练习4

2.4分解因式法研学案篇6

1、知识与技能：（1）了解分解因式法的概念；（2）会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能力培养：体验解决问题的方法的多样性，灵活选择方程的解法。

3、情感与态度：在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。【学习重点】会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。【学习过程】

一、前置准备：

1、有两个数a、b，如果它们之间满足a•b=0，则a，b的值会是怎样的情况？

2、将下列各式分解因式：（1）5x2-4x(2)x-2-x2

+2x

二、自学提示：会用分解因式法解某些简单的数字系数的一元二次方程。自学教材P.60—61的内容，解答下列问题：

1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？

2、观察小颖、小明、小亮的做法，正确的有，思考错误的原因；小颖的依据是，小亮是如何做的？（说明）由小亮的做法可以得到：如果，那么

3、当一元二次方程的一边为0，而另一边容易时，我们就可以采用的方法求解。这种解一元二次方程的方法称为。

三、合作交流：1.利用分解因式法解一元二次方程的步骤是什么？

2.你能用分解因式法解方程x2-4=0,(x+1)2

-25=0吗？与同学交流一下。

四、归纳总结：（教师寄语：只有不断总结，才能有所提高！）通过上面的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。

五、例题解析：例

1、利用分解因式法解方程（1）5x2

=4x(2)x-2=x(x-2)

分析：解上述两方程时第一步均应作什么变形？

六、必做题：用分解因式法解方程：

（1）x2-6x=0（2）3（x-5）2=2（5-x）

（3）2（x-3）2=x2-9（4）4x2-4x+1=0

（5）4（x-2）2=9（x+3）

2【自我测试】

1、用分解因式法解下列方程：

（1）4x（2x+1）=3（2x+1）（2）（2x+3）2=4（2x+3）

（3）3x（x-1）=2-2x（4）2（x-3）2=x2-9

（5）5（x2-x）=3（x2+x）（6）（x-2）2=（2x+3）

引申提高（7）（x-2）（x-3）=12（8）x2

-52x+8=0

提高分解因式教学效率的几种方法篇7

因式分解是八年级数学上册的教学难点,学习因式分解,既可以复习整式的四则运算,为学习分式打好基础,又可以培养学生的观察、比较、判断、运算能力,还可以提高学生综合分析和解决问题的能力。但学生学起来有困难,教师教起来较费劲。那么,怎样才能提高分解因式的教学效率呢?笔者认为,教师除了认真钻研教材、创造性地应用教材外,还可以从以下几个方面入手。

一、从整式乘法抓起,在根源上解决问题

因式分解与整式乘法互为逆运算,如果学生学不好整式乘法,注定学习因式分解时会困难重重。整式乘法中单项式除以单项式及多项式除以单项式的方法,能为提公因式分解因式打好基础。提公因式时容易出现漏项的错误,检查是否漏项的方法,最好的方法便是用单项式乘多项式的法则乘回去, 进行检验。有些因式分解的结果正确与否需要用多项式乘多项式去检验。因此,教师在教学整式乘法时一定要打好基础, 不能图快,同时还要加强训练,从根源上解决问题。

二、从区分概念入手,在思路上弄清关系

概念不清,寸步难行,处处吃亏。教师需要设计一定量的例题与习题,让学生准确地区分因式分解和整式乘法这两个概念。比如,因式分解的概念是:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫作把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法的关系是:因式分解与整式乘法是相反方向的变形。如,即整式乘法是“积化和”而因式分解则是“和化积”,故从思路上可以用整式乘法来检验因式分解的正确性。

三、从总结方法入手,在教学中总结经验

在教学提取公因式法分解因式时,可以用口诀法帮助学生总结提取公因式的方法:各项有“公”先提“公”,首项有 “负”先提“负”,某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。

例如,用提公因式法分解因式:

动手操作题对学生的能力有更高的要求,有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯,有利于培养学生的创新能力和实践能力。这类题目不仅考查学生裁剪、折叠、拼图等动手操作能力,还能考查学生的想象力。往往与面积、对称性质联系在一起,通过用不同的式子表示图形面积,从而达到把多项式分解因式的目的。

例如,某同学剪出若干个长方形和正方形卡片,如图(1) 所示,请运用拼图的方法,选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+4ab+3b2,并根据你拼成的图形的面积,把此多项式分解因式。

因式分解小议篇8

1．什么是因式分解

我们知道，根据整式乘法的运算法则，单项式乘多项式或者几个多项式相乘，所得的积是一个新的多项式.例如：

2m2（m2+3n）=2m4+6m2n，①

（a+b）（a-b）=a2-b2.②

任何一个等式都可以概括成x=y的形式.由等式x=y自然可以得到等式y=x.于是，由等式①、②可以写出

2m4+6m2n=2m2（m2+3n），③

a2-b2=（a+b）（a-b）.④

比较式子①、②和③、④，你有什么想法？

从形式上可以发现，①、②中“=”之前是几个整式相乘，“=”之后是一个多项式；③、④则恰好相反.从这种形式上的区别可以想到，虽然两者是从不同的方向表示同一相等关系，但前者强调几个整式相乘“合成”为一个多项式的过程，而后者强调一个多项式“分解”为几个整式相乘的形式的过程.

一般地，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式），例如式子③、④.这就是说，因式分解是对多项式进行的一种式子变形，变形后的结果是整式乘积的形式.

2．因式分解是整式乘法的逆运算吗

由上可知，式子①、②属于整式乘法，而式子③、④属于因式分解.它们是相互联系的等式，区别在于①与③、②与④中“=”前后的式子正好位置相反.

整式乘法：几个整式相乘→一个整式.

因式分解：一个多项式→几个整式相乘.

鉴于因式分解与整式乘法的上述区别与联系，有的同学可能会问：能不能说因式分解是整式乘法的逆运算呢？

我们先来看看运算的含义.通常所说的代数运算，是指由两个（或多个）数或式子，按照一定法则，得到一个新的数或式子.整个运算过程可以概括地写成a∗b=c的形式，其中a，b表示参加运算的两个元素（数或式子），∗表示一种运算，c是一个元素，它表示运算结果.例如，整式乘法（x+y）·（x-y）=x2-y2中，整式x+y和x-y是进行运算的两个元素，“·”是运算符号，运算结果是一个整式x2-y2；整式除法（x2-y2）÷（x+y）=x-y中，整式x2-y2和x+y是进行运算的两个元素，“÷”是运算符号，运算结果是一个整式x-y.这也就是说，通常代数运算的过程具有把多个元素合成为一个元素的特征.

因式分解不是把多个元素“合成”为一个元素，而是把一个整式“分解”为多个整式之积，它不具备代数运算的特征.所以它不属于代数运算的范围，而仅是式子的一种分解变形.既然因式分解不属于运算，自然也就不是整式乘法的逆运算了.与数的乘法和除法互为逆运算一样，整式的除法是整式乘法的逆运算.

3．因式分解的基本方法

进行整式的乘法运算时，方法是很明确的，只要按照乘法的法则逐步具体实施，就能得到作为乘积的多项式.把一个多项式进行因式分解，从方法上说，一般要比作乘法运算更有灵活性和多样性.提公因式法和公式法是因式分解的两种最基本的方法.现行初中数学教科书主要涉及这两种因式分解的方法.

提公因式法和公式法本身不难掌握，但要灵活机动地运用它们，还需要认真思考.请看下面几道例题.

例1把a4b2-a2b4因式分解.

解法1：a4b2-a2b4=a2b2（a2-b2）=a2b2（a+b）（a-b）.

解法2：a4b2-a2b4=（a2b+ab2）（a2b-ab2）=ab（a+b）ab（a-b）

=a2b2（a+b）（a-b）.

评注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法.虽然两种解法得到同样的结果，但是解法1更简单.通常情况下，先考虑提公因式可以使解法简化.

有些多项式不能直接使用提公因式法或公式法，这时就需要先把多项式适当整理变形，然后再使用提公因式法或公式法.

例2把a2c+a2+2ab+b2-b2c因式分解.

解：a2c+a2+2ab+b2-b2c=（a2c-b2c）+（a2+2ab+b2）=c（a+b）（a-b）+（a+b）2=（a+b）［c（a-b）+（a+b）］=（a+b）（ac-bc+a+b）.

评注：这样先将多项式的各项进行分组，然后再分解因式的方法叫做分组分解法.

例3把a4+4b4因式分解.

解：a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=（a2+2b2）2-（2ab）2=（a2+2ab+2b2）（a2-2ab+2b2）.

评注：多项式a4+4b4中只有两项，既不能提公因式，也不能直接用公式.但由于这两项再加上4a2b2就是（a2+2b2）2，所以先对a4+4b4加、减4a2b2，再适当分组，然后使用公式法，最终就能因式分解.上面的解法中，把a4+4b4变形为（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2，形式上是由简单变复杂了，但变化后的形式为使用公式法创造了条件.

从上面几道例题可以看出：第一，提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基础作用，它们是因式分解的最基本的方法；第二，因式分解时不都是简单运用基本方法就能解决问题的，有时需要灵活机动地使用基本方法，这就需要认真分析多项式的结构，必要时还需要先对多项式进行适当的式子变形.

4．因式分解要进行到什么程度

对于单纯的因式分解题目，一般要求最终结果中每个因式都不能再继续分解.例如，把a4-b4因式分解时，得到（a2+b2）（a2-b2），并未完全达到要求，还需要继续分解到（a2+b2）（a+b）（a-b）.

在解决计算、化简、解方程等问题的过程中，当因式分解作为中间步骤时，应根据具体问题来决定分解到什么程度合适.

例4已知a2+b2=1，a2-b2=0.5，计算a4-b4.

解：a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）=1×0.5= 0.5.

评注：上面解法中，因式分解只是中间步骤，只要分解到（a2+b2）（a2-b2）问题就解决了，继续分解反而不利于解决问题.

我们知道，代数式中的字母是数的抽象表示.因此，因式分解是在某种数的范围中进行的.对于不同的数的范围，对同一多项式的因式分解，要进行到的程度也可能有所不同.

例5（1）在有理数范围内把a4-4因式分解；

（2）在实数范围内把a4-4因式分解.

解：（1）a4-4=（a2+2）（a2-2）；

（2）a4-4=（a2+2）（a2-2）=（a2+2）（a+）（a-）.