高等数学竞赛极限

高等数学竞赛极限（通用11篇）

高等数学竞赛极限 篇1

一、计算

解：因为

原式

又因为

所以。

二、计算

解：因为

所以。

三、计算

解：设，则

因为，所以。

四、计算

解：因为，所以

五、设数列定义如下

证明：极限。

证明：方法一、考虑函数，因为，当时。

由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以

……

……

……

……

由于，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。显然。

现证明，用反证法证明，设，且，取，因为，所以存在整数，当时有

由此可得正项级数收敛；

另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。

方法二、考虑函数，因为，当时。

由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以

……

……

……

……

由夹逼准则可得，又因为

所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理。

六、设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明：

证明：对于任取的，因为，所以存在当时，有

取，令，则有

因为

……

……

所以

由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有

取，当时有

由此可得。

高等数学竞赛极限 篇2

关键词：数列极限,高等数学,微积分

极限思想是微积分的基本思想, 在微积分学中, 导数是处理均匀量的除法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础是极限;定积分是处理均匀量的乘法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础也是极限。在日常生活、经济建设以及科学研究中, 极限有着非常广泛的应用。早在公元3世纪, 我国古代数学家刘徽利用蕴含极限思想的割圆术推出了圆面积的计算公式。数列极限作为极限的基础, 本文从知识应用的角度对其作一概述。

一、数列极限的定义

定义:如果数列{xn}与常数a有下列关系:对于任意给定的正数ε (无论它怎么小) , 总存在正整数N, 使得对于n>N时的一切xn, 不等式|xn-a|<ε都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为。

二、数列极限的应用

(一) 数列极限在经济中的应用。

1.银行复利问题。例1设银行某种定期储蓄的年利率是r, 本金是N0元, 如果以年为单位计算复利 (即每年计息一次, 并把利息加入下年的本金, 重复计息) , 那么t年后, 本利和应为Nt=N0 (1+r) t元。若以月为单位计算复利, 那么t年后, 本利和应为多少?

(二) 数列极限在工程中的应用。瓦斯爆炸是酿成煤矿事故的主要原因。瓦斯是一种无色无味的气体, 平时靠瓦斯检测仪检测。矿井中含有瓦斯的空气被吸入盛有瓦斯吸收剂的圆柱形过滤检测仪后, 出来的空气浓度会降低, 且这种检测仪吸收的瓦斯量与矿井中瓦斯的浓度及吸收层厚度成正比。

例3对于一个具有特定厚度的检测仪, 若进口处的瓦斯浓度较高, 则其出口出的浓度也会相对较高。假设现有瓦斯含量为8%的空气, 通过厚度为10厘米的吸收层后, 其瓦斯的含量为2%。问: (1) 若吸收层厚度为30厘米, 出口处空气中的瓦斯含量是多少? (2) 若要使出口处空气中瓦斯含量为1%, 其吸收层厚度应为多少?

解:设吸收层厚度为m厘米, 将吸收层分成n小段, 每小段的厚度为m/n厘米。

(1) 根据已知条件m=30, 则出口出处瓦斯的含量为:

(三) 数列极限在数学建模中的应用。例4设有一对幼鼠, 从第二个月成年并具有繁殖能力, 第三个月生下幼鼠一对, 以后每月生下幼鼠一对。而所生的幼鼠亦在第二个月成年, 第三个月生产另一对幼鼠。假定每生产一对幼鼠例必为一雄一雌, 且均无死亡, 试问一年后共有成年与未成年老鼠多少对?二年以后又有多少对?……, t年以后呢?

解:上述老鼠生产繁殖的过程, 即构成金字塔结构:一月份共有老鼠一对;二月份仍有老鼠一对, 从三月份开始, 每月的老鼠总数恰好等于前两个月的老鼠总数之和, 即数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …, 可见一年后共有233对老鼠。

用数学归纳法和极限理论可以证明, 当项数很大时, 其通项为:

t年以后, n=12t, 成年与未成年的老鼠总和为:

当t=2时, a24≈0.447× (1.61825-0.61825) ≈74950

三、结语

高等数学竞赛极限 篇3

摘 要： 本文给出了一道高等数学竞赛题的多种证明方法，并对其做了进一步推广.

关键词： 罗尔定理 根的存在性定理 费尔马引理 导函数介值定理

一、预备知识

2016年江苏省普通高等学校第十三届高等数学竞赛专科组试题中有一道证明题，题目如下：

命题1设函数f（x）在区间[0，1]上二阶可导，f（0）=0，f（1）=0，且f（x）>0，f（x）<0，求证：存在ξ∈（0，1），使得f′′（ξ）=0.

我们将给出命题1的三种证明方法.在这些证明方法中，除了罗尔定理和根的存在性定理之外，还用到了下列定理：

引理1（Fermat）设f（x）在[a，b]上有定义，并且在点c∈（a，b）取得最值，f（x）在点c可导，则f′（c）=0.

引理2（导函数介质定理）若f（x）在区间[a，b]上可导，则对于f′（a）与f′（b）之间的任一数值μ，必有一点c∈（a，b），使得f′（c）=μ.

二、不同证明方法及分析

在这一部分我们给出了命题1的三种不同证明方法.第一种证明方法运用了最值定理、根的存在性定理和罗尔定理，证明方法清晰，思路比较自然.

证法一：因为f（x）在区间[0，1]上可导，所以f（x）在区间[0，1]上连续，由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

因为f（x）在区间[0，1]上可导，在区间[0.c]与[c，1]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（0，c），ξ∈（c，1），使得f′（ξ）=0， f′（ξ）=0.

因为f′（x）在区间[ξ，ξ]上可导，在区间[ξ，ξ]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

证法二运用了Fermat引理，证明方法简洁.

证法二：设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

因为f（x）在区间[0，1]上可导，Fermat引理，可知f′（a）=f′（b）=0.因为f′（x）在区间[a，b]上可导，在区间[a，b]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（a，b）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

方法一与方法二运用的知识都是高职高专高等数学知识体系范围内的.证法三需要用到导函数介质定理.此定理不在高职高专高等数学知识范围内，证明如下：

证法三：由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

由拉格朗日定理可知，存在一点ξ∈（0，a）使得f′（ξ）=>0.同理，存在一点ξ∈（a，c）使得f′（ξ）<0；存在一点ξ∈（c，b）使得f′（ξ）<0；存在一点ξ∈（b，1）使得f′（ξ）>0.

再次利用拉格朗日中值定理可知，存在一点ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）<0；存在一点ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）>0；最后，由导函数介质定理可知，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

三、一些推广

在这一部分，我们对命题1做了一些简单的推广.

命题2：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=f（x）=C，且f（x）>0，f（x）<0求证：存在ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=0.

证明：令f（a）=f（b）=C，令g（x）=f（x）-C，则g（x）满足命题1中的条件，且gs″（x）=f″（x）.

命题3：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=A，f（x）=B，且f（x）>A，f（x）

证明：令f（a）=A，f（b）=B.不妨设0

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]叶建兵.一道高等数学竞赛题的多种方法及推广[J].高师理科学刊，35（2）：18-21.

[3]杨天明，等.高等数学[M].南京：南京大学出版社，2011.

高等数学竞赛极限 篇4

1、理解数列极限与函数极限的定义（ε-Ν，ε-δ等语言），并能用之证明一些简单的极限；

2、理解极限的性质（唯一性、有界性、保号性、夹逼性等），掌握极限的四则运算和常用的求极限方法（利用夹逼性、单调有界准则、二个重要极限等）；

3、理解子数列及其极限的概念和数列与子数列极限的相互关系；4、5、6、理解函数极限与数列极限的关系（归结原理）； 了解确界原理、Weierstrass定理和Cauchy收敛准则； 理解函数连续的定义和初等函数的连续性，掌握函数间断点及类型的判断方法；

7、理解无穷小和无穷大的概念、性质及其相互关系，熟练掌握利用等价无穷小替换求极限的方法；

8、了解闭区间上连续函数的性质：有界性、最值性、介值性（零点存在定理、不动点定理）等；

高等数学竞赛极限 篇5

谷亮

（辽宁铁道职业技术学院 辽宁 锦州 121000 中国）

摘要： 极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学

一、极限的概念

1、数列极限：设{xn}为一个数列，a为一常数，若0，总存在一个正整数N，使得

limxnaxna{x}nNn当时，有，称a是数列的极限。记作n

2、函数极限：设函数f(x)在点a的某去心邻域内有定义，A为一常数，若0，总存在一个正数，使得当的极限。记作xa0xa。

时，有

f(x)A，称A是当x趋向于a时函数f(x)limf(x)Axa,xa,x,x，极限的定义类似。自变量变化过程还包括：在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，„„如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中

1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故

比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n边形的边长代替圆的周长,n越大,正n边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想

在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念

高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子：（1）函数连续的概念中就用到极限式：

xx0limf(x)f(x0)

（2）导数的概念中有极限式：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：abbf()xf(x)dxlim0ii1bbni

（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：af(x)dxlimf(x)dxba，bbf(x)dxlimaf(x)dxa，0af(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxa0

（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数

un1nlimsns{s}n的部分和数列的极限n存在，称级数un1n为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有xalimf(x)0，称f(x)为此自变量的变化过程中的无穷小量。

（7）二元函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分的定义也用到了极限，f(x,y)dlimf(,)Dd0iii1ni

（8）二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：Lf(x,y)dslimf(i,i)sid0i1n

（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，f(x,y)关于x的偏导数为：

f(x0x,y0)f(x0,y0)flimx(x0,y0)x0x，关于y的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想

高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。（1）如何求平面上曲边梯形的面积？

计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题；（2）如何求圆面积？

我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；

除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语

综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：

高等数学竞赛极限 篇6

（2）

（3）

（4）

（5）

x29.设f(x),x0,求下列函数并且作它们的图形x, x0,:(1)yf(x2);(2)y|f(x)|;(3)yf(x);(4)yf(|x|).解(1)yx4,x.(2)y|f(x)|x2,x0，x, x0.(3)yf(x)x2,x0,x2,x0,x, x0x, x0.(4)yf(|x|)x2,x.3

求下列函数的反函数:(1)yx22x(0x);(2)ysinhx(x);(3)ycoshx(0x).解(1)x22xy,x22yx40,xyy24,yxx24(x).exex(2)y,zex,z22yz10,exzyy221,xln(yy21),yln(xx21),(x).(3)exex2y,zex,z22yz10,exzyy21,xln(yy21),yln(xx21),(x1).证明cosh2xsinh2x1.exex2exex2(e2x证coshxsinhxe2x2)(e2xe2x222)2241.下列函数在指定区间内是否是有界函数?(1)yex2,x(,);否(2)yex2x(0,1010);是(3)ylnx,x(0,1);否(4)ylnx,x(r,1),其中r0.是2(5)yex2sinxcos(2x),x(,);是|y|12112.4 10.11.12.(6)yx2sinx,x(,);否.(7)yx2cosx,x(1010,1010).是

浅论极限在高等数学中的作用 篇7

一、极限的产生和发展是高等数学产生的基础

在西方, 极限观点的萌芽起源于对量的可分性的质疑.早在古希腊时代, 一些智者就提出质疑:它是无限可分的, 还是由无穷多个极微小的不可分的部分组成的?对于两种设想, 不同学派有不同的看法, 但无论哪种看法, 都包含了最朴素的极限思想:无穷逼近.如, 古希腊的数学家欧多克索斯所提出的穷竭法, 他认为量是无限可分的, 并建立了下列原理:

“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分, 从余量中再减去不小于它的一半的另一部分, 如此继续下去, 则最后留下一个小于任何给定的同类量的量.”

极限观点在我国古代也有记载, 战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”, 也就是说一根长为一尺的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以无限地进行下去.此外, 《墨经》中“端, 体之无厚而最前者”“端, 无问也”“非半弗斯则不动, 说在端”等都包含了对物体经“化整为零”后的微分思想.随后, 三国时的数学家刘徽在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他用正n边形内接于圆, 随着边数不断增加, 正n边形的面积越来越接近圆面积, 其面积之差也越来越小, 当差为无穷小量时, 与圆面积无限逼近.这种当n无限增大, 用差值趋于零的无限逼近思想, 正是现代微积分中的极限思想的本质.

17世纪上半叶, 解析几何的产生标志着变量数学的开端, 结束了希腊时期形成的数学几何化的一统天下;反过来, 用方程表示曲线, 在一定程度上又使数学代数化.同时, 代数符号体系的形成和发展, 都为微积分的建立奠定了基础.伴随着微积分的建立过程, 对无穷小量的探讨也越来越引起人们的注意.17世纪下半叶, 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作, 创立了一个新的学科——高等数学.这个学科的特点是, 需要运用无限过程运算, 即极限运算.高等数学的核心内容是微分学和积分学, 而微分和积分的概念是通过极限来定义的.

18世纪的许多科学家, 如达兰贝尔、欧拉、拉格朗日等都提出了自己的看法, 都不同程度用极限概念作为微积分基础, 但并不成功, 占优势的还是“无穷小方法”, 至于“无穷小”到底是什么, 没有公认的精确定义.在19世纪20年代以后, 柯西在1821—1823年间出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》两本书, 在这两本书中, 柯西给出了极限的精确定义, 终于解决了“无穷小”问题, 确立了极限论作为微积分的基础.

由上可见, 在极限的整个发展过程中, 我们确定了微积分在高等数学中的基础地位, 也肯定了极限论在微积分中的重要地位.因此, 极限的产生和发展是与高等数学紧密联系在一起的.

二、极限在高等数学各组成部分的研究中起到了工具作用

高等数学研究的对象是函数, 使用的工具是极限.极限方法是用来研究变量问题的基本方法, 是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一, 本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础, 用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的各组成部分进行统一处理.

本文仅以定积分的定义来阐述极限的工具作用:

高等数学竞赛极限 篇8

（数学类）

一、计算题(每小题14分, 满分70分)

ksin2k1、求极限lim[ln(nksin2k)lnn] 2nnk1n2、求异面直线L1:

3、求积分x5y1z1x2y2z4与L2:之间的距离。431292sin(xa)dxsin(xb)，其中a和b是常数

x4、设f(x)ecosx，证明n0f(n)(x)收敛并求和函数。2n

2uu2u|y1cosx，0，5、已知二元函数u(x,y)满足且u|x0y，求u(x,y)xyy的表达式。

6、若f(x)连续且满足f(x)1x

7、计算积分x0tf(xt)dt，求f(n)(0)。4

0min{3(x1)3,8(x4)}dx8、求积分sin(xa)dxsin(xb)，其中a和b是常数

9、设某均匀薄板片由半径为1的半圆下接一个高为h的等腰三角形而成，已知该薄板片的重心位于圆心，求h的值。

二、（满分20分）设fn(x)xlnx，证明极限limn1(n)1fn()存在。nn!n

三、（满分20分）设f在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，f(0)f(1)0，证明：x(0,1)，(0,1)，f()f(x)。

1x

四、（满分20分）证明：f(x)(0)在(0,1)上严格单调增。1x

五、（满分20分）设数列{xn}满足：x11，xn(0,证明：（1）limxn0；（2）数列n2)，sinxnxncosxn1，n1,2,xn1n收敛。

上海高中数学数列的极限 篇9

数列的极限

课标解读：

1、理解数列极限的意义；

2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：

1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：

an的项an无a(即|anna|无限地接近于0)，那么就说数列an以a为极限。

a不一定是a中的项。

1lim0limCCnn2、几个常用的极限：①n(C为常数)；②；③limqn0(|q|1)n；

3、数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当limanan，limbnbn时，nlimlim(anbn)ab；

lim(anbn)abnana(b0)nbbn；

4、两个重要极限：

①c001limc1c0nn不存在c0

|r|10nlimr1r1 ②n不存在|r|1或r1 问题解析：

一、求极限：

例1：求下列极限：

2(1)lim4nn1lim3n3nn2n23

(2)

n2n4n(3)

nlim(n2nn)

例2：求下列极限：(1)nlim(1n24n273n2n2n2)；

(2)lim1n[2515818111(3n1)(3n2)]

例3：求下式的极限：

limcosnsinnncosnsinn,(0,2)

二、极限中的分数讨论：

例4：已知数列an是由正数构成的数列，a13，lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；

且满足2n1an(2)求lim的值。n2nan1

三、极限的应用：

1(1)p1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q2，求lim的值。

n1q(1)1n

知识内化：

1、limn2__________________。

n12n113n2lim[]______________。

2、nn(n1)n(n1)n(n1)2n1n3n___________________。

3、limn1n1n2n3

4、下列四个命题中正确的是（）

2A、若limanA，则limanA

nn2B、若an0，limanA，则A0

n2C、若limanA，则limanA

n2nnnD、若lim(ab)0，则limanlimbn

nnnq，q1，5、已知数列an、公比分别为p、其中pq且p1，bn都是由正数组成的等比数列，设cnanbn，Sn为数列cn的前n项和，求lim

能力迁移：

Sn。

nSn1

1、数列an、bn都是无穷等差数列，其中a13，b12，b2是a2与a3的等差中项，且liman1111)的值。，求极限lim(nnba1b1a2b2anbn2n

基本练习：

一、填空题：

n22n___________________。

1.limnb2n23 2.若lim(2x1)的极限存在，则实数x的取值范围__________________。

nnn21anb)1，则a=______________，b=____________________。

3.lim(nn1 4.数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(an,则liman1)在直线xy30上，an__________________。

n(n1)2f(n2)5.已知f(n)12n，则lim__________________。

n[f(n)]2ann2 6.数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim_________________。

nSn 7.设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim ______________________。

anbb2b2n等于 2，则lim1nbnna3nnn3n1

8、将lim，则实数x的取值范围是__________________。nn(x2)nn3n13n3

9、已知数列an： 112123129，…，那么数列，，，…，2334441010101的所有项的和为________________。anan1

10、已知等比数列an的首项a1，公比q，且有lim(na11qn)，则首项a1的取值范围 1q2 是__________________。

二、选择题

bn2can2c3，则lim211、已知a、b、c是实常数，且lim2的值是（）

ncnbncna A、2 B、3

C、1

2D、6 1,1n100012、a中，annn2，则数列an的极限值（）n2 n22n,n1001 A、等于0

B、等于1

C、等于0或1 13、1111nlim[n(13)(14)(15)(1n2)]等于（）A、0 B、1

C、2

D、3

14、已知lim2nann2nan1，aR，则a的取值范围是（）A、a0 B、a2，a2

C、2a2

a2

三、解答题

15、已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk2550

(1)求a及k的值；(2)求lim11n(S1)1S2Sn16、曲线C:xy1(x0)与直线l:yx相交于A1，作A1B1l交x辆于B1，作B1A2//l交曲线C于A2……依此类推。

D、不存在

D、a2且(1)求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)猜想An的坐标，并加以证明；(3)求lim |BnBn1|

nBBn1n17、已知数列{an}满足(n1)an1(n1)(an1)且a26，设bnann(nN)(1)求{bn}的通项公式；(2)求lim(n 1111)的值。b22b32b42bn23(an1)(nN)。数列{bn}的通项公式为bn4n3(nN)2Tn

18、设Tn为数列{an}前n项的和，(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c{a1,a2,a3,an,}{b1,b2,b3,bn,}，则c称为数列{an}，{bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列{cn}的通项公式为cn32n1(nN)；(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数列{cn}前n项的和，且AnBmDn；求：lim

An。

高等数学竞赛极限 篇10

关键词：信息化教学,高等数学,三元一体化,极限

一、高职数学“三元一体化”教育教学模式的背景

信息化教学是以现代教学理念为指导，以信息技术为支持，将信息技术与教学过程深度融合的现代化教学方法。结合信息化技术手段进行教学改革既是对传统教学的继承，也是对技术环境下教学新模式的探索。在信息化环境下，高职数学教学内容的载体已经不仅仅局限于传统的纸质媒介，网络课程、电子课件、在线题库已经被越来越多地应用于数学教学过程中。信息化教学不仅提高了知识的存储和传递的速度，更提高了使用效率。

数学教师信息化意识淡薄，对信息化教学的理解和认识还停留在比较低的层次，一些教师甚至认为信息化教学就是“PPT”。教育信息化对教师来讲不仅仅是教学资源的便利，更多的是教学能力和自身素质的挑战。如何合理运用信息化手段，拓展师生之间信息交流的渠道，突破高等数学的教学难点，实现教学目标，提高教学质量，是高职院校数学教师面临的一个重要课题。

高职数学“三元一体化”教育教学模式就是充分利用信息化技术，在教师导、学生学、教学资源活用三方面深入挖掘教育教学潜能，激发学生兴趣并提供相应学习资源，以期实现教学目标。文章以高职院校“高等数学”课程中“极限”这一章节为例，探讨“三元一体化”教育教学模式的构建，并给出其教学设计和实施过程。

二、高职数学“三元一体化”教育教学模式的设计

（一）教学目标

知识目标是为专业课的学习提供必要的数学基础知识，保证专业课教学得以顺利进行；能力目标是提高学生的运算能力，为解决专业实际问题提供可靠的论证方法和计算工具；素质目标是提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

（二）教学内容

根据教学目标制定教学内容，通过《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引入极限的概念，学会计算极限以及会使用极限知识解决实际生活中的一些简单问题。

（三）设计思路

采用教师导、学生学、教学资源活用的“三元一体化”信息化教学设计理念，结合任务驱动法、直观演示法、案例教学法、小组讨论法等一系列教学方法，适当的辅以数学实验，引导学生主动参与学习和探究，充分利用各种资源获取知识，发挥学生的主动性和创新性，克服学习高等数学的恐惧心理，让学生成为课堂的主体，教师从课堂的主导者变成引导者。

三、高职数学“三元一体化”教学过程的实施

课前先通过QQ群或者是微信群向学生发布预习提纲，学生可充分利用图书馆或网络资源完成预习提纲上提出的目标任务，对下节课的上课内容有一个感性的认识；课堂上利用动画演示或者带领学生进行数学实验来帮助学生理解和掌握理论知识，在此基础上，也可适当的插入与上课内容相关的数学小模型，让学生分小组对如何解决这些实际问题进行讨论，以达到利用理论知识解决实际问题的目的；课后，学生也可以随时随地通过微课对课上内容进行巩固复习。整个教学实施过程如图1所示。

接下来，对教学实施过程中的每一个步骤进行深入探讨。

（一）课前任务

课前，可先通过QQ群或者微信群向学生下达预习任务，让学生通过图书馆或者互联网查找相关资料，对下一节课的内容预先有一个大概的了解，不至于在上课的时候对所学内容一无所知。如在“极限的定义”这一章节可以设置预习提纲，“了解庄子‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’和刘徽的‘割圆术’这两个概念”。在这之前，学生对这两个概念未必十分了解，出于好奇心，首先就想要知道这两个概念到底是什么意思。要想知道它们的意思，就需要查找资料来翻译这两句文言文。通过一番努力理解了这两个概念，就可以发现这两者存在一个共同之处，就是讲述的都是无限接近的概念，而无限接近这个概念正是理解极限定义的关键所在。课前的预习任务既可以让学生对所学知识印象深刻，有助于理论知识的理解，同时也大大增强了学生参与课堂的意识。

（二）直观演示

信息化教学的目的在于解决传统教学无法解决的问题，高职院校的学生普遍存在数学基础差、逻辑思维能力弱的特点，他们在高等数学的学习过程中对一些抽象概念的理解模糊不清，合理运用信息化手段，可以将复杂的理论用最直观的方式展现出来，能让学生“看得到也看得懂”，对学生理解理论知识有很大的帮助。比如在数列极限中，若存在一个数列，其中，求当时，数列的极限是多少。直接讲解计算，学生可能对结果理解得不是特别清楚，如果将数列各项在平面直角坐标系上用点表示出来，配以动画的形式来表示出整个数列的发展趋势（如图2所示），既吸引住了学生的眼球又很直观地解释了整个题目的意思；既方便了学生的理解，又改变了传统数学课枯燥乏味的讲授方式，使得整堂课变得丰富多彩。

（三）数学实验

教师在讲授的过程中可以适当穿插一些数学实验，围绕高等数学的基本内容，充分利用计算机和MATLAB软件强大的的数值计算、绘图功能展示基本概念与结论。例如在两个重要极限部分，针对第一类重要极限，使用仿真软件可以非常方便而且直观地看出所求函数的发展方向（如图3所示）。在教学过程中插入一些数学实验，可以培养学生学习数学的兴趣，学生在这个过程中既动脑又动手，从以前的被动接受，变成现在的主动参与，这个过程极大地调动起了大家学习的积极性，一改往日数学课堂单纯“老师讲，学生学”的沉闷学习气氛。

（四）合作探究

在整个章节的基础知识全部结束之后，可以尝试在课堂上穿插一些与本章内容相关、能用所学知识解决的与实际生活相贴近的数学模型小插件，让学生自由组合成若干个小组，以小组为单位对这些问题进行互相探讨，最终解决问题。比如在极限章节中，提前准备好与极限知识相关的数学小模型，如“细菌繁殖问题”“药物残留问题”等，在课堂上使用flash动画“砸金蛋”的方式让各小组随机抽取题目，每一组派一位代表来“砸金蛋”，金蛋里的题目就是该组成员需要解决的问题，各小组在课后探讨的结题思路和解决方案必须做成PPT课件的形式，在下一节课堂上向全班同学讲解演示，最后根据效果给该小组成员打分，并且这个分数将成为期末成绩综合评定的一部分。这个过程既能加深学生对知识的理解，又培养了学生将理论知识应用到实际生活的能力，同时还锻炼了学生的语言表达能力，更检验了他们小组合作的效果。

（五）课后自学

“微课”是帮助学生课后自主学习最佳的教学资源。将高等数学课程中每一章节的定义介绍、重难点分析、典型例题详解分别制作成微课，学生在课堂上哪部分知识没能完全消化和理解，课后只需点开相对应的微课就能即时学习。这种随时可取的教学资源，为学生掌握所学知识提供了便捷有效的学习方法，在潜移默化中帮助学生更高效地消化吸收，同时也提高了学生自主学习的能力。

在高职院校的数学教学过程中，教师要做的不是单纯的教，而是有方向性的导，用教师积累的经验和先进的教学方法引导学生如何去学习，培养学生的主动性和主体性；学生则在教师的引导下，主动探究学习的内容，积极参与进来，发现学习的趣味性和内容的实用性；而贯穿于教师的导和学生的学中最重要的就是教学资源，将资源整合、优化活用是提升教学效果的重要途径。

充分发挥信息化教学的优势，提高数学课程的育人水平，争取最佳的教学效果，是高校教师共同努力的方向。将“三元一体化”教学模式应用到实践教学中，使信息技术与学科教学能够有效结合，不失为高职院校数学课程教学改革的一条新思路和新途径。

参考文献

[1]朱鹏华.高职数学信息化教学改革探索与实践[J].职业技术教育,2014,35(32):41-43.

[2]张莉,苗耀华.信息化环境下的高职数学教学设计[J].教育与职业,2014(30):119-120.

高等数学竞赛极限 篇11

教学目标

1．对数学归纳法的认识不断深化．

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系． 教学重点和难点

用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计

（一）复习引入

师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？

生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？

生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．

师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．

（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出

师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．

生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．

师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？ 生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，„分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．

师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．

其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．

学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．

归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．

（三）练习

（四）小结

（引导学生一起归纳小结）

1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明． 2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．

（五）布置作业

1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．

课堂教学设计说明

利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．

在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．

在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．

本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．