数学教案－二次根式的除法

数学教案－二次根式的除法（精选17篇）

数学教案－二次根式的除法 篇1

教学目的：

知识与技能：使学生掌握二次根式的除法；使学生会用商的算术平方根的性质及二次根式的除法化简二次根式；使学生掌握分母有理化知识，并能利用它进行二次根式的化简及近似计算。

过程与方法：通过在学习过程中与二次根式乘法的对比学会类比学习的方法.态度与情感：在对条件讨论的过程中培养学生严谨的学习态度。

教学重点：会利用二次根式的除法及商的算术平方根的性质对一些式子进行化简；会进行分母有理化。

教学难点：分母有两项的二次根式分母有理化

教学过程

一、复习

1、商的算术平方根的性质：

aa=（a≥0，b＞0）。bb2、计算：（1）10.091442424；（2）；（3）1

0.812252525248（1）1；（2）；（3）。

159

5二、新课

1、二次根式的除法：

引导学生把商的算术平方根的性质： 得到

aa=（a≥0，b＞0）反过来，即bb 二次根式的除法。

aba（a≥0，b＞0），运用这个式子，可以进行简b单的二次根式的除法运算。

2、例题 例1 计算：

（1）7211，（2）1。

266解：略

设计这道例题是为了引入分母有理化:如果是计算32时，只写成3，2意义不大，可以把分子与分母都乘以2，最后得出：算。

6，这样完成了除法运2所以二次根式除法运算，通常还采用化去分母中根号的方法来进行。把分母中的根号化去叫分母有理化。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式，如上式中2是2的有理化因式。

例2 把下列各式分母有理化（课本P179例3）： 练习:把下列各式分母有理化：

（1）524；（2）

3m6m。

设计本例是为了说明解题时，要先化简，再分母有理化。这样可使运算量减小.例3把下列各式分母有理化

123

解:1231(23)(23)(23)23

设计这个例题的目的让学生学会利用”平方差公式”对分母有两项的二次根式进行有理化的常用方法。

三、练习：P179 练习：

1、2。

四、小结

1、二次根式的除法分为二种情况：能除尽的直接用公式，不能除尽的用分母有理化。

2、进行分母有理化前，要先化简。

五、作业

数学教案－二次根式的除法 篇2

一、挖掘隐含条件

隐含条件是指没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理.

例1已知，求xy的值.

【解析】本题是已知一个方程含有两个未知数，一般情况下无法解出x,y，只有利用已知的式子有意义的隐含条件是被开方数为非负数.，再将x的值代入原式求出y=-2，∴.

例2已知实数x,y,m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）.

【解析】本题的隐含条件是二次根式和绝对值的非负性，并且几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.根据非负数的性质列出方程（组）求出x,y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围.

解：根据题意，结合非负数的性质，得，|3x+y+m|=0,

解得则6-m<0，解得：m>6.

【答案】A.

二、转化思想

转化思想就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，化复杂为简单，化不熟悉为熟悉，化不规范为规范，或转化成可套用某一模式来解决.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.

二次根式中常用以下两种转化方法：

1. 确定二次根式中字母的取值范围，可用不等式或不等式组解决问题.

例3已知在实数范围内有意义，求x的取值范围.

【解析】本题要考虑两个方面：一是对于二次根式来说被开方数x-1≥0，二是分母x-2≠0，所以得不等式组解得x≥1且x≠2.

2. 利用二次根式的性质或同类二次根式、最简二次根式的有关知识将有关二次根式的问题转化为方程或方程组来解决.

例4已知a,b是有理数，，求a,b的值.

【解析】本题要将二次根式进行化简，根据同类二次根式的系数相等就可以得到方程组.

3. 将某些数学问题转化为逆用二次根式的有关性质或运算公式.

例5在实数范围内分解因式：x2-6.

【解析】本题需要将二次根式的性质(a≥0）逆用为：

当a≥0时，.

三、整体思想

整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理.整体代入、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.

例6已知，求（a-1)(b+1）的值.

【解析】利用乘法法则，并将a-b和ab作为整体得到.

三、分类讨论思想

当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.分类讨论要做到不重复、不遗漏.

例7化简

四、数形结合思想

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，由数思形，以形想数，做好数形转化.数形结合有助于找到解答思路，并使解答简捷.

我们可以利用数形结合将无理数用数轴上的点表示.

例8在数轴上作出表示的点.

【解析】只需要画一个直角边分别为2和1的直角三角形，根据勾股定理可求出斜边为，再用圆规在数轴的负半轴上画出表示的点A.

数学教案－二次根式的除法 篇3

一、二次根式的课标要求：

了解二次根式的概念及其加减乘除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。具体是：

1.了解二次根式的意义；

2.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；

3.掌握二次根式的性质

和，并能灵活应用；

4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；

5.通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美。

二、二次根式内容结构特点

在认识了平方根、算术平方根、立方根的概念和求法，以及实数的有关概念和运算的基础上，本章将进一步学习二次根式的概念、性质和运算。通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加减乘除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解，进一步理解二次根式与整式之间的关系，明确整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性，让学生经历观察、思考、讨论等探究活动归纳出结论的过程，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高归纳概括能力。

三、教材的地位及作用

本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学内容“实数”、“整式”、“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等的探究，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本章内容不论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的。

四、课程学习目标

(1）理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由、理解二次根式的性质。

(2）掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算。

(3)利用逆向思维得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简。

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念；利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。

(5)通过本章的学习，培养学生利用规定准确计算和化简的严谨科学精神。经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力，进一步体会代数式在表示数量关系等方面的作用。

五、内容安排及处理：

(1)第一节研究二次根式的概念和性质

首先教材给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求。教材结合例题对此进行了较详细的分析，并从算术平方根的定义出发，探讨了结论是非负数。接着采用由特殊到一般的方法，归纳出结论，并根据算术平方根的定义对这条结论进行分析，对于结论同样采用让学生通过具体计算、分析运算过程和运算结果，最后归纳出一般结论的方法进行了研究。第一节的内容是学习后面两节内容的直接基础。

(2)第二节研究二次根式的乘除运算

本节首先研究了二次根式的乘法运算。教材通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算。发现之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式的乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对二次根式的除法运算，类似于乘法运算，采用由特殊到一般的方法，归纳得出二次根式的除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教材结合本节例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。

(3)第三节研究二次根式的加减运算

教材首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合已学过的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在二次根式的加、减、乘、除运算的基础上，教材通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。

六、实施本章教学应注意：

(1)注意加强知识的纵向联系

学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数的范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受。因此，教学时要注意与已有的经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。

比如：让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然成立”有所体验，使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性。又如：整式的运算法则和公式在二次根式的运算中继续适用。再如：利用多项式的乘法法则和乘法公式进行二次根式的混合运算，突出二次根式运算的本质。

(2)适当加强练习，为后续学习打好基础。本章内容属于“数与代数”领域中较基础的内容，尤其是二交根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础，也为高中数学中不等式、函数以及解析几何等大部分知识作好准备。另外，本章内容与整式、勾股定理联系紧密，因此加强练习的同时，还要注意强调知识之间相互联系。

二次根式数学教案 篇4

教法：

1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：

1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

知识点

上节课我们认识了什么是二次根式，那么二次根式有什么性质呢？本节课我们一起来学习。

二、展示目标，自主学习：

自学指导：认真阅读课本第3页――4页内容，完成下列任务：

1、请比较与0的大小，你得到的结论是：________________________。

2、完成3页“探究”中的填空，你得到的结论是____________________。

3、看例2是怎样利用性质进行计算的。

4、完成4页“探究”中的填空，你得到的结论是：____________________。

5 、看懂例3，有困难可与同伴交流或问老师。

课时作业

二次根式教案 篇5

代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式

5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)

6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)

7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .

8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.

9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.

10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.

解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以 ≠a-,而应是 =-a.

本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.

在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.

在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.

练习(教材第4页)

1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.

2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.

习题16.1(教材第5页)

1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.

2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.

3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.

4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.

5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.

6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.

7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.

8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.

9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.

10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.

如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.

〔解析〕 根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.

解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,

∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.

[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.

已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .

〔解析〕 根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.

[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.

化简:.

〔解析〕 题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.

解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;

当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.

[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.

5

O

初中数学专题：二次根式 篇6

二次根式

测试1

二次根式

学习要求

掌握二次根式的概念和意义，会根据算术平方根的意义进行二次根式的运算．

课堂学习检验

一、填空题

1．表示二次根式的条件是______．

2．当x______时，有意义，当x______时，有意义．

3．若无意义，则x的取值范围是______．

4．直接写出下列各式的结果：

(1)＝_______；

(2)_______；

(3)_______；

(4)_______；

(5)_______；(6)

_______．

二、选择题

5．下列计算正确的有（）．

①

②

③

④

A．①、②

B．③、④

C．①、③

D．②、④

6．下列各式中一定是二次根式的是（）．

A．

B．

C．

D．

7．当x=2时，下列各式中，没有意义的是（）．

A．

B．

C．

D．

8．已知那么a的取值范围是（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题

9．当x为何值时，下列式子有意义?

(1)

(2)

(3)

(4)

10．计算下列各式：

(1)

(2)

(3)

(4)

综合、运用、诊断

一、填空题

11．表示二次根式的条件是______．

12．使有意义的x的取值范围是______．

13．已知，则xy的平方根为______．

14．当x=－2时，＝________．

二、选择题

15．下列各式中，x的取值范围是x＞2的是（）．

A．

B．

C．

D．

16．若，则x－y的值是（）．

A．－7

B．－5

C．3

D．7

三、解答题

17．计算下列各式：

(1)

(2)

(3)

(4)

18．当a=2，b=－1，c=－1时，求代数式的值．

拓广、探究、思考

19．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

化简：的结果是：______________________．

20．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求△ABC的c边的长．

测试2

二次根式的乘除(一)

学习要求

会进行二次根式的乘法运算，能对二次根式进行化简．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果成立，x，y必须满足条件______．

2．计算：(1)_________；(2)__________；

(3)___________．

3．化简：(1)______；(2)

______；(3)______．

二、选择题

4．下列计算正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

5．如果，那么（）．

A．x≥0

B．x≥3

C．0≤x≤3

D．x为任意实数

6．当x=－3时，的值是（）．

A．±3

B．3

C．－3

D．9

三、解答题

7．计算：(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

8．已知三角形一边长为，这条边上的高为，求该三角形的面积．

综合、运用、诊断

一、填空题

9．定义运算“@”的运算法则为：则(2@6)@6=______．

10．已知矩形的长为，宽为，则面积为______cm2．

11．比较大小：(1)_____；(2)______；(3)－_______－．

二、选择题

12．若成立，则a，b满足的条件是（）．

A．a＜0且b＞0

B．a≤0且b≥0

C．a＜0且b≥0

D．a，b异号

13．把根号外的因式移进根号内，结果等于（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题

14．计算：(1)_______；

(2)_______；

(3)_______；

(4)_______．

15．若(x－y＋2)2与互为相反数，求(x＋y)x的值．

拓广、探究、思考

16．化简：(1)________；

(2)_________．

测试3

二次根式的乘除(二)

学习要求

会进行二次根式的除法运算，能把二次根式化成最简二次根式．

课堂学习检测

一、填空题

1．把下列各式化成最简二次根式：

(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；

(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．

2．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：

与

(1)与______；

(2)与______；

(3)与______；

(4)与______；

(5)与______．

二、选择题

3．成立的条件是（）．

A．x＜1且x≠0

B．x＞0且x≠1

C．0＜x≤1

D．0＜x＜1

4．下列计算不正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

5．把化成最简二次根式为（）．

A．

B．

C．

D．

三、计算题

6．(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

综合、运用、诊断

一、填空题

7．化简二次根式：(1)________(2)_________(3)_________

8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：

(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________

9．已知则______；_________．(结果精确到0．001)

二、选择题

10．已知，则a与b的关系为（）．

A．a=b

B．ab=1

C．a=－b

D．ab=－1

11．下列各式中，最简二次根式是（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题

12．计算：(1)

(2)

(3)

13．当时，求和xy2＋x2y的值．

拓广、探究、思考

14．观察规律：……并求值．

(1)_______；(2)_______；(3)_______．

15．试探究与a之间的关系．

测试4

二次根式的加减(一)

学习要求

掌握可以合并的二次根式的特征，会进行二次根式的加、减运算．

课堂学习检测

一、填空题

1．下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______．

2．计算：(1)________；

(2)__________．

二、选择题

3．化简后，与的被开方数相同的二次根式是（）．

A．

B．

C．

D．

4．下列说法正确的是（）．

A．被开方数相同的二次根式可以合并

B．与可以合并

C．只有根指数为2的根式才能合并

D．与不能合并

5．下列计算，正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

三、计算题

6．7．

8．9．

10．11．

综合、运用、诊断

一、填空题

12．已知二次根式与是同类二次根式，(a＋b)a的值是______．

13．与无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”)

二、选择题

14．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）．

A．

B．

C．

D．

三、计算题

15．16．

17．18．

四、解答题

19．化简求值：，其中，．

20．当时，求代数式x2－4x＋2的值．

拓广、探究、思考

21．探究下面的问题：

(1)判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．

①（）

②（）

③（）

④（）

(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围．

(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．

测试5

二次根式的加减(二)

学习要求

会进行二次根式的混合运算，能够运用乘法公式简化运算．

课堂学习检测

一、填空题

1．当a=______时，最简二次根式与可以合并．

2．若，那么a＋b=______，ab=______．

3．合并二次根式：(1)________；(2)________．

二、选择题

4．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是（）．

A．与

B与

C．与

D．与

5．下列计算正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

6．等于（）．

A．7

B．

C．1

D．

三、计算题(能简算的要简算)

7．8．

9．10．

11．12．

综合、运用、诊断

一、填空题

13．(1)规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a，b为实数，则_______．

(2)设，且b是a的小数部分，则________．

二、选择题

14．与的关系是（）．

A．互为倒数

B．互为相反数

C．相等

D．乘积是有理式

15．下列计算正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

三、解答题

16．17．

18．19．

四、解答题

20．已知求(1)x2－xy＋y2；(2)x3y＋xy3的值．

21．已知，求的值．

拓广、探究、思考

22．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：与，与互为有理化因式．

试写下列各式的有理化因式：

(1)与______；

(2)与______；

(3)与______；

(4)与______；

(5)与______；

(6)与______．

23．已知求．(精确到0.01)

答案与提示

第十六章

二次根式

测试1

1．a≥－1．2．<1，>－3．3．x<－2．

4．(1)7；

(2)7；

(3)7；

(4)－7；

(5)0.7；

(6)49．

5．C．

6．B．

7．D．

8．D．

9．(1)x≤1；(2)x＝0；(3)x是任意实数；(4)x≤1且x≠－2．

10．(1)18；(2)a2＋1；(3)

(4)6．

11．x≤0．

12．x≥0且

13．±1．

14．0．

15．B．

16．D．

17．(1)π－3．14；(2)－9；(3)

(4)36．

18．或1．

19．0．

20．提示：a＝2，b＝3，于是1

测试2

1．x≥0且y≥0．2．(1)

(2)24；(3)－0.18．

3．(1)42；(2)0.45；(3)

4．B．

5．B．

6．B．

7．(1)

(2)45；

(3)24；

(4)

(5)

(6)

(7)49；

(8)12；

(9)

8．9．

10．．

11．(1)>；(2)>；(3)<．

12．B．

13．D．

14．(1)

(2)

(3)

(4)9．

15．1．

16．(1)

(2)

测试3

1．(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)．

2．3．C．

4．C．

5．C．

6．7．

8．9．0.577，5.196．

10．A．

11．C．

12．13．

14．15．当a≥0时，；当a<0时，而无意义．

测试4

1．2．(1)

3．C．

4．A．

5．C．

6．7．

8．9．

10．11．

12．1．

13．错误．

14．C．

15．16．

17．18．0．

19．原式代入得2．

20．1．

21．(1)都画“√”；(2)(n≥2，且n为整数)；

(3)证明：

测试5

1．6．

2．3．(1)

(2)

4．D．

5．D．

6．B．

7．8．

9．10．

11．12．

13．(1)3；(2)

14．B．

15．D．

16．17．2．

18．19．(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．

20．(1)9；

(2)10．

21．4．

22．(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)(答案)不唯一．

23．约7.70．

第十六章

二次根式全章测试

一、填空题

1．已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P(m，n)位于第______象限．

2．的相反数是______，绝对值是______．

3．若，则______．

4．已知直角三角形的两条直角边长分别为5和，那么这个三角形的周长为______．

5．当时，代数式的值为______．

二、选择题

6．当a<2时，式子中，有意义的有（）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7．下列各式的计算中，正确的是（）．

A．

B．

C．

D．

8．若(x＋2)2＝2，则x等于（）．

A．

B．

C．

D．

9．a，b两数满足b<0｜a｜，则下列各式中，有意义的是（）．

A．

B．

C．

D．

10．已知A点坐标为点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，B点坐标（）．

A．(0，0)

B．

C．(1，－1)

D．

三、计算题

11．12．

13．14．

15．16．

四、解答题

17．已知a是2的算术平方根，求的正整数解．

18．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，△BCD为等边三角形，且AD，求梯形ABCD的周长．

附加题

19．先观察下列等式，再回答问题．

①

②

③

(1)请根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果；

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式．

20．用6个边长为12cm的正方形拼成一个长方形，有多少种拼法?求出每种长方形的对角线长(精确到0.1cm，可用计算器计算)．

答案与提示

第十六章

二次根式全章测试

1．三．

2．3．

4．5．

6．B．

7．C．

8．C．

9．C．

10．B．

11．12．

13．14．

15．16．0．

17．x<3；正整数解为1，2．

18．周长为

19．(1)

(2)

20．两种：(1)拼成6×1，对角线

数学教案－二次根式的除法 篇7

二次根式的定义:一般地, 式子 (a≥0) 叫做二次根式.

二次根式的性质:当a≥0时, (二次根式的双重非负性) .

二次根式的计算或化简法则:

1.当a≥0时,

3.二次根式的乘法法则: (a≥0, b≥0) .

逆之得积的算术平方根的化简法则: (a≥0, b≥0) .

4.二次根式的除法法则: (a≥0, b>0) .

0, b>逆0) 之.得商的算术平方根的化简法则:

笔者发现, 二次根式中字母的取值范围是一个重要的知识点, 有时是解决问题的关键, 有时也是学生解题时比较容易出错的地方, 需要引起足够的重视.现举例如下:

一、确定字母的取值范围

例1 能使有意义的实数x的值有 ( ) .

A.0个

B.1个

C.2个

D.无数个

解析由题意得- (x-5) 2≥0, 所以 (x-5) 2≤0, 则x=5, 选择B.

点评根据二次根式的定义得:当二次根式的被开方数为非负数时, 二次根式有意义.很多时候这个知识点经常还与其他知识综合考查.

例2 要使式子有意义, a的取值范围是.

解析由题意得可得a的取值范围是a≥-2且a≠0.

点评此题将二次根式有意义与分式有意义综合在一起考查, 需要对每个知识点的准确把握, 学生经常顾此失彼, 或混淆知识从而出错.

例3 如果, 则 ( ) .

解析 由题意得2m-1≤0, , 选择B.

点评根据上述第2条化简法则, 对比得到此题化简实质为:, 进而推出a≤0解决问题, 许多学生解题时经常会漏考虑a=0的情况从而出错.

例4 式子成立的条件是 ( ) .

A.x≥3

B.x≤1

C.1≤x≤3

D.1

解析 由题意得

解得1

点评 本题根据上述第4条化简法则 (a≥0, b>0) 进行解答, 若忽略对分母的考虑, 和第3条化简法则混淆, 认为a≥0, b≥0就会出错, 所以极易混淆的知识点要多比较, 以提高辨别能力.

二、准确抓住字母的取值范围解决问题

1. 已知字母取值范围

A.7

B.-7

C.2a-15

D.无法确定

解析 由题意得50, a-11<0, 化简得:

原式=|a-4|+|a-11|= (a-4) + (11-a) =7, 故选择A.

点评 本题由实数a在数轴上的位置确定a的取值范围, 从而顺利解决化简问题, 此题字母a的取值范围是化简得以正确进行的关键.

2. 挖掘隐含的字母取值范围

例6 已知, 则2xy的值为 ( ) .

A.-15

B.15

点评 此题所涉及的两个二次根式的被开方数互为相反数, 它们要同时大于或等于0, 只有每一个被开方数都等于0, 从而得出x, y的值解决问题.

例7 已知x, y为实数, 且满足, 那么x2011-y2001=_______.

点评 本题关键是发现条件中第二项的系数与二次根式中的被开方数相同, 利用二次根式所隐含的取值范围得出第二项整体是一个非负数, 再根据“若几个非负数的和为0, 则每一个非负数都为0”顺利解决问题.

点评 此题关键是抓住, 将化简为1-a, 否则将会非常容易出错.

3. 没有字母取值范围时需分类讨论

例9 已知xy=3, 那么的值_______.

解析因为xy=3且, 所以x>0, y>0和x<0, y<0都符合题意.需分两种情况讨论, 现提供两种不同解法:

解法一 直接化简

解法二先平方, 再开方.

所以应填:

点评 此题条件只告诉我们x, y同号, 所以必须分两种情况讨论, 学生往往只注意第一种情况, 从而漏解, 所以解题时思维要缜密谨慎.

解二次根式竞赛题的常用技巧 篇8

一、巧用因式分解

例1计算 - ，最后得到

__________.(第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试)

分析：通过仔细观察我们会发现，若将每个分母先分解因式,分子、分母有公因式，可以约分化简.

解： -

=-

=-

=+

== =- .

说明：解答本题时，若直接进行分母有理化会非常繁琐，甚至会求不出结果，所以当遇到类似的计算题时，先不要急着进行分母有理化，而应仔细观察，看能否对其进行因式分解.

二、巧用字母代数

例2计算 －20062的结果是__________．

（第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试）

分析：若直接计算此题，显然计算量大且过程很复杂，如果用字母代数，则可快速地解决问题.

解：设2006=a，则2005=a－1,2007=a+1,2008=a+2.则有

－20062

=－a2

= -a2

= -a2

= -a2

= -a2

=a2+a-1-a2=a-1=2006-1=2005.

三、巧平方

例3已知m=1+ ，n=1- ，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（ ）.

A.－5B.5 C.－9 D.9（2006年全国初中数学竞赛试题）

分析：将已知条件变形后再平方，然后整体代入，就可快速地求出a的值.

解：m=1+ 可变形为m－1= ，两边平方后整理，得m2－2m=1.

同理，由n=1- 得n2-2n=1 ．

又∵ （7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，即[7（m2－2m）+a][3(n2－2n)－7]=8，

∴ （7+a）（3-7）=8.

解得a=-9．故选C．

四、巧用整体代入

例4已知x= ，y= 则x2－xy+y2的值为_________.

（2005年辽宁省八年级数学竞赛试题）

分析： 由于x、y的值互为倒数，故可先求出xy与x+y的值，再整体代入.

解:∵ x= ，y= ，

∴ xy=1，x+y=（ -1）2+（ +1）2=6.

∴ x2－xy+y2=（x+y）2－3xy=62－3×1=33.

说明：在解题时，若已知条件中的两式（如题中的x、y）互为倒数，且所求的代数式是对称的，这时可采用整体代入的方法来求解（如通常把x+y，xy，x2+y2的值先求出来，再代入代数式求值）.

五、巧用非负性

例5若m满足关系式

+ = × ，试确定m的值.（北京市初二数学竞赛题）

分析：观察方程右边两个根式的被开方数，发现它们恰好互为相反数，这样就找到了解题的突破口.

解： 由题意可知x－199+y≥0及199－x－y≥0，得x+y≥199及x+y≤199.

∴ x+y=199， × = 0.

∴+ =0.

∴ 3x+5y-2-m=0且2x+3y-2－m=0.

由此可得方程组3x+5y-2-m=0 ，2x+3y-2-m=0，x+y=199.

解得m=201.

说明：若两个二次根式中的被开方数（式）互为相反数，则这两个二次根式都为零.

八年级数学《二次根式》教学反思 篇9

第一环节、师生合作，通过复习算术平方根的概念，运用归纳、猜想的思想方法，得出二次根式的第一条性质，随后进行了相关的练习，加强了学生对概念的理解。

第二环节、小组合作学习，运用类比、归纳、猜想的思想方法，得出二次根式的第二条性质。之后，设计了一个“我来考考你的环节”，让学生自己根据性质2，仿照书本课内练习1，给同伴出题，这一简单的举措，激发了学生的学习兴趣，调动了课堂气氛。

第三环节、学生自主完成例1，然后在小组内探讨存在的问题并解决问题。对于例2，在学习过程中，学生对于a是非负数的二次根式没有困难，但是对于根号里面a是负数的二次根式，学习起来还是有困难的，所以在这里应该举例示范，让学生讨论如何解答。这里不要快，要一步步来，等学生都明白其中的道理后，再进行相应的练习，如果出现问题，再进行点评，这样下来，学生就可以掌握二次根式的化简了，但是由于时间关系，我紧紧叫了一个学生上黑板板书，没有做到一题多解，今后多在这方面努力。

第四环节、运用性质化简含有字母的二次根式。这一环节，加深了学生对二次根式两个性质的理解。

数学教案－二次根式的除法 篇10

1.教学目标

1、知识与技能：

（1）理解二次根式的概念，（2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

2、过程与方法 ：

通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。

3、感态度与价值观 ： 培养学生辩证唯物主义观点。

2.教学重点/难点

二次根式中被开方数的取值范围。

3.教学用具

多媒体，白板。

4.标签

教学过程、引入新课

【师】同学们好（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：面积为3的正方形的边长为 ___面积为S的正方形的边长 ．

问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130则他的宽为 __________． 问题3：一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t与开始落下时离地面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表示t，那么t为 _________．

答案：

【板书】

第十六章 二次根式 2、新知介绍

【师】很明显 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“思考:（学生活动）议一议： 1）-1有算术平方根吗？(没有)2）0的算术平方根是多少？（0）3）当a<0，有意义吗？（没有）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

”称为二次根号．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：

不是二次根式的有：

【板演/PPT】

【师】大家刚才都完成了任务，接下来我们一起学习二次根式性质： 我们学过，a≥0的式子叫二次根式，我们知道a≥0那么

呢？因是a的算术平方根所以≥0.下面我们根据二次根式的非负性解决实际问题。

例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥1/3 当x≥1/3时，在实数范围内有意义．

3、巩固训练（生演板）

1、当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

答案：（1）a≥1（2）（3）a≤0（4）a≤5 师点评：针对学生演板情况点评调。思考：

4、巩固训练（生做）

1、求下列各式有意义的x的取值范围。

学生互评，教师实时点评

答案（1）x＞1（2）x≥0且x≠1(3)x≥0

5、应用拓展 例4．

6、能力提升训练

课堂小结

课后习题

1、完成配套课后练习题

2、预习提纲：二次根式性质 板书

类比——学习二次根式的好方法 篇11

一、类比平方根的概念学习二次根式的概念

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,记为.也就是说数a的平方根有两个,它们互为相反数,其中把数a的正的平方根叫做a的算术平方根(规定:0的算术平方根为0),而把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,由此可见二次根式本质上是a的算术平方根.

由于在实数范围内,负数没有平方根,因而也就没有算术平方根,因此二次根式中的被开方数必须是非负数,即a≥0.

由于一个正数的算术平方根是正数,0的算术平方根为0,因此一个数的算术平方根一定是非负数,从而二次根式是一个非负数,即.

另外,根据算术平方根的定义可得公式a(a≥0).

二、类比绝对值的概念学习二次根式的性质

我们知道,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,即可知:一个正数的平方的算术平方根是它本身,0的平方的算术平方根是0.又当a<0时,-a>0,此时,因此一个负数的平方的算术平方根是它的相反数,所以.

可见,绝对值的概念与二次根式的性质非常相似.

三、类比整式的乘法学习二次根式的乘法

二次根式的混合运算过程中,每个根式可以看作一个“单项式”(其中二次根式前面的数可看作“系数”),多个不同的二次根式的和可以看作“多项式”,因此整式中的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.如计算可类比单项式乘以单项式的法则进行计算;计算时,可以类比多项式乘以单项式的法则进行计算;计算,可以类比多项式乘以多项式的法则进行计算;再如计算,可以类比平方差公式进行计算;计算,可以类比完全平方公式进行计算.

四、类比同类项学习同类二次根式

所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.与同类型项类似,我们可以把被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式.同类项可以合并,同样同类二次根式也可以合并.合并同类项的法则是:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变,如果把最简二次根式前面的数看作“系数”,那么合并同类二次根式的法则就是:把同类二次根式的“系数”相加,所得的结果作为“系数”,被开方数和根指数不变.如计算时,可先分别将化成最简二次根式,得的被开方数相同,所以它们是同类二次根式,所以它们可以合并,其中它们的“系数”分别为4,﹣2,12,合并后的“系数”为4-2+12=14,所以.

数学教案－二次根式的除法 篇12

在二次根式这一章的学习中，重点是是掌握二次根式的运算，教学的关键是理解二次根式的性质，这部分教学内容是在第十二章实数的基础上，着重研究二次根式。在本章教学中，存在以下问题：

1、在教学设计中，我对学情分析不足，主要是过高估计学生的学习能力，一方面每节课设计的教学内容过多，经常一节课结束后还有不少内容没有完成，另一方面对以前学过的知识的复习做的不够，导致后续的新知识的学习遇到不少麻烦。如对二次根式的性质的应用时，考虑到以前已经学过，自以为学生不存在困难，就没有重点分析，结果导致不少学生在二次根式的化简过程中因此而出错。

2、在促进学生探索求知和有效学习方面还存在明显不足。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，经常为了完成教学任务而忽视这方面的引导。在本章中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试。如判断二次根式中字母的取值范围、选择不同的运算途径等都可以让学生进行探究和归纳。若能让学生在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高。

数学教案－二次根式的除法 篇13

教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用，反映了数学理论的一贯性，使学生在学习中感到所学并不难。在教学中，充分利用教材内容，结合实际问题提高学生的学习积极性教学中不仅要抓整体，更要注意一些重要细节。在学生做题过程中让学生用心总结一些简单值和特殊值的乘除和化简的方法。教材中淡化计算过程，这里也透露出教材的一个特点：很重视学生思维上的培养，却忽视了基本计算能力的训练,似乎认为每个学生都能达到一学就会的理想境界。基础好和反应快的学生没有问题，但并不是都是这样，教师就要让学生了解计算过程每一步的由来。

“二次根式”教学分析及施教建议 篇14

1. 教材整体感知

本章主要内容是二次根式的概念、运算和最简二次根式, 与实数、整式、勾股定理等内容紧密联系, 旨在拓宽学生对“式”的认识.教学内容的呈现方式遵循从“特殊”到“一般”的原则, 活动设计延续本套教材的体系, 让学生乘坐“观察”、“思考”、“探究”、“讨论”和“归纳”之舟, 去认识数学的本质, 提高学生的合情推理、运算和思辨能力, 培养学生严谨的科学态度.本章也是学生后续学习解直角三角形、一元二次方程等内容的重要基础.

2. 重点与难点分析

教学重点: (1) 二次根式的概念及其运用; (2) 二次根式的化简和运算; (3) 最简二次根式的概念.

教学难点: (1) 对二次根式 (a≥0) 的非负性, 的理解及应用; (2) 理解二次根式的乘、除法的应用条件和二次根式的性质、运算的合理性; (3) 利用最简二次根式的概念进行化简和运算.

二、学情分析

1. 学情基础分析

学生已学习了“整式”“平方根”“算术平方根”“勾股定理”等内容, 这些知识和经验已具备了建构二次根式的知识基础和心理基础, 但值得提出的是, 学生的学习过程是学生对新知识、新技能的内化过程.在这个内化过程中, 要让学生在情感、思想、心理等方面做好接收新知识的准备, 因此, 本章教学应在“实数”和“整式”的基础上进行.

2. 思维障碍分析

二次根式的运算比整式、分式复杂得多, 学生对此会产生一些认知上的思维障碍.主要表现在: (1) 忽略二次根式的被开方数是非负数和二次相式本身的非负性; (2) 对最简二次根式的理解和运用不到位; (3) 对教材备注“在本章中, 如果没有特别说明, 所有的字母都表示正数”会产生字母只表示正数的片面认识; (4) 利用二次根式的运算解决实际问题, 学生会在一开始计算时就取近似值, 造成其结果不准确, 等等.

3. 学习方法探究

数学学习能力包括观察、记忆、思维、想象、注意以及自学、交往、表达等方面.教师在教学中要善于疏通信息渠道, 架设起知识与能力相融合的桥梁. (1) 鼓励自主探索, 引导合作交流.要鼓励学生自主探索与合作交流, 引导学生通过观察、计算、猜想、归纳和交流等数学活动, 提高学习兴趣、积累活动经验、发展思辨能力, 进而提高他们的数学素养; (2) 注意探究归纳, 关注代数推理.对于二次根式的性质, 教材中考虑到学生的年龄特征, 首先, 在“探究”栏目中给出几个具体问题, 让学生根据具体数据进行计算、分析得出结果, 然后再分析这些结果的共同特征, 由特殊到一般, 归纳得出结论, 旨在培养学生利用代数语言进行推理的能力; (3) 重点在于理解, 力求灵活运用.二次根式的性质是后续学习的基础, 因此教学中要注意让学生在理解的基础上加以记忆, 并灵活应用.

三、施教建议

1. 把握教材精髓

(1) 明确编写意图.教材编写意图是: (1) 淡化概念, 突出概念实质.教材对二次根式和代数式等概念, 只要求让学生有所体会, 不必深究, 这样做的目的是为了淡化概念, 突出概念实质; (2) 通过探究活动, 经历认识过程.教材让学生通过观察、思考、讨论等探究活动, 利用发现的规律进行计算, 然后利用计算器进行验证, 最后归纳得出二次根式的运算法则, 这个过程实际是让学生通过探究活动经历一个由特殊到一般的认识过程, 通过这样的探究活动改变了学生的学习方式, 发展了学生的思维能力.

(2) 凸显数学本质.本章的重点是让学生理解和掌握二次根式的性质和运算, 因此教材的重点是说明其性质和法则成立的合理性, 突出其数学本质.如教材在介绍二次根式的性质时;首先让学生通过探究活动感受这个性质, 然后再从算术平方根的意义出发, 结合具体例子对这个性质进行分析, 最后由特殊到一般得出这个性质, 这样就可以使学生对这个性质的数学实质有了较深刻的认识.又如在介绍二次根式的乘除运算时, 没有给出分母有理化的概念, 而是结合具体例子说明了分母有理化的要求.再如对于二次根式的加减运算时, 回避了同类二次根式的概念, 突出强调了运算时先将二次根式化成最简二次根式再进行合并的方法。这样处理的目的是让学生将学习的重点放在理解数学的本质上来, 以提高学生的数学能力.

(3) 注意教材要求.为了把握好教材的精髓, 还必须注意教材要求: (1) 讨论二次根式的被开方数中字母的取值范围, 这样可以加深学生对二次根式定义的理解.但这类问题只限于用在一元一次不等式解决的范围内, 不宜扩充到较复杂的情况; (2) 二次根式的性质中, 教材中仅考虑了a≥0这种情况, 对的情形不做考虑; (3) 本章的重点是二次根式的运算, 主要让学生掌握二次棍式的运算方法, 既要注意到它与有理数、整式之间的关系, 又要注意其自身的特点, 等等.

2. 教法探讨

(1) 注意纵向联系.本套教材将实数内容分为两章, 即第十章“实数”和本章内容.通过第十章的学习, 学生对数的认识已由有理数的范围扩大到实数范围, 并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感知, 实际上在“实数”一章中, 学生对二次根式的加减运算已经有所接触, 本章在此基础上利用分配律给出了加减法的运算法则, 所以教学时要充分在“实数”基础上进行教学, 使学生进一步体会运算律在数的扩充过程中的一致性.同时还要注意与第十五章“整式”的联系, 由于数式通性, 当把二次根式中的实数看成字母时, 二次根式的运算实际上就是整式的运算.因此, 教学中要注意加强知识的纵向联系, 使学生的学习形成正迁移.

(2) 渗透数学思想.掌握好数学思想方法能使学生对数学知识本质的认识不断深化, 使学生在解决问题的过程中避免盲目性, 提高学生分析问题和解决问题的能力.本章中渗透数学思想的方法主要有数形结合法、类比法、分类讨论法和不完全归纳法等.如在“二次根式的加减”中, 教材上的两个提示语“比较二次根式的加减与整式的加减, 你能得出什么结论?”和“例5第 (1) 、 (2) 小题分别利用了多项式乘法法则和公式 (a+b) (a-b) =a2-b2, 在二次根式的运算中, 多项式乘法法则和公式仍然适用”, 这些都用到了类比思想, 又如在介绍二次根式的乘除运算时, 通过探究栏目引导学生从具体数据 (用计算器) 由特殊到一般, 归纳 (不完全归纳法) 得出二次根式乘法 (除法) 的运算法则, 不仅渗透了不完全归纳思想, 同时也提高了学生的合情推理能力.

(3) 开展探究活动.学生的数学活动经验是通过观察、体验、感悟与思考, 从感性向理性飞跃时所产生的.认识和获得解决问题的策略, 是学生发展的基础.为了使学生获得更多的数学活动经验, 在本章的教学中应积极开展探究活动. (1) 开展探究交流.在知识发生发展过程中要针对教学的重点和难点, 开展自主探索与合作交流, 促使学生学习行为的转变; (2) 加强实际应用.以教材中的裁截板材、确定纸张规格、电视塔的传播半径问题为切入点, 加强实际应用, 让学生感受二次根式的应用价值; (3) 亲密数学文化.教材中介绍了海伦公式和秦九韶公式的历史, 教学中还应引导学生阅读有关数学文化史料, 加强爱国主义教育和提高学生的数学素养; (4) 开展数学活动.教材中的“数学活动”有两个:通过测量计算发现书籍、纸张的长与宽之间的关系和做一个长、宽、高都是用二次根式表示的无理数长方形纸盒.教学中, 还应鼓励学生在生活中发现更多地有关二次根式应用的实例.

(4) 弹性设计教学.本章主要内容是二次根式的化简和运算, 需要一定的练习才可以掌握化简方法和运算规律.因此, 教学中可以适当增加教学内容的弹性和灵活性, 使学生更好地理解二次根式的意义, 更好地掌握二次根式的性质和运算, 在加强练习的过程中, 要注意知识之间的相互联系, 使学生养成一种以联系和发展的观点学习数学的习惯, 为后续的学习打下良好的基础.为了加强学生对二次根式的运算与整式运算之间联系的理解, 可补充一些计算题.

解析:让学生认识到可以将看作两个整体, 先用平方差公式, 再用完全平方公式进行计算, 这样加深了二次根式与整式的联系, 拓宽了学生的视野, 深化了学生对“式”的认识.

还可以补充一些开放性的问题:

若 (a、b均为实数) , 请回答下列问题: (1) a=______, b=______; (2) 写出第n个关系式______; (3) 验证你写出的关系式的正确性.

解析:通过本例中三个问题的训练, 不仅使学生学会观察、归纳的学习能力, 而且提高了学生应用二次根式解决问题的能力.

(5) 关注有效生成.学生掌握知识、形成能力是一个厚积薄发的过程, 这就要求我们在平时的教学中应不失时机地对学生进行培养.对于课堂教学, 要十分关注其有效生成, 注意综合运用.二次根式很多时候都是和其他知识联系在一起的, 这一点应让学生了解.

例3若, 求a-19952的值.

解析:先由a-2000≥0, 判断出1995-a的值是负数, 去掉绝对值后便可求得结果.本例主要是让学生看出解决这个问题的“钥匙”是二次根式的被开方数是非负数, 因此应加深对二次根式的被开方数是非负数的认识和应用, 鼓励不同的解法.在二次根式的运算中, 有些算式可以鼓励学生有不同的解法.

但值得注意的是, 鼓励不同解法的目的是为了引导学生注意观察、分析运算式的特点, 选择一种简便的方法进行运算, 培养学生思维的灵活性和合理性.

(6) 加强错误辨析.二次根式在学生已学过的数学知识中是符号感最强的内容之一, 因此学生在二次根式的学习过程中会发生各类错误, 我们要加强思辨训练, 做到防患于未然.如最简二次根式是本章的一个重要概念, 它在二次根式的性质、运算中扮演十分重要的角色, 必须使学生准确理解和正确掌握, 可举一些辨析例题.

例5下列计算正确吗?为什么?

解析:通过这几道辨析题向学生说明: (1) 只有化成最简二次根式后, 被开方数相同的二次根式才能合并; (2) 只有积和商的算术平方根性质, 而没有和差的算术平方根性质, 等等.

二次根式的乘法 篇15

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1. 由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2. 积的算术平方根的性质和 ( )及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1.使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

2.会进行简单的运算.

3.使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题.

4.使学生了解比较二次根式的大小的方法.

二、教学重点和难点

1.重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算.

2.难点：与积的算术平方根的关系及应用.

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法.

四、教学手段

利用投影仪.

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根.

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有 (a≥0，b≥0).

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0.在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积.

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.

例1 把下面各数分解因数：

(1)20; (2)42; (3)63; (4)128.

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础.

解：略.

例2 化简：

(1) (2)

(3) (4)

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法.

解：(1)

(2)

(3)

(4)

说明：① (a≥0，b≥0)可以推广为 (a≥0，b≥0，c≥0).

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题.

③ (4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简.

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简.

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出： ， ， 等结果，于是可以总结出：一般地，有

(a≥0)

关于a<0时， ，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3 化简：

(1) ; (2)

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想.

解：(1)

(2)

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点.

例4 如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm.求AB.

解：∵ AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm.

(三)小结

1.本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0).

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立.

问学生：当a<0，b<0， 也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢?

引导学生说出：若a<0，b<0， ， 在实数范围内没有意义. 公式显然不成立.

2.利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法.

3.结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力.

(四)练习

1. 化简：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ;

(7) ; (8)

2. 计算：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4)

3.已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b=4，求另一条直角边a.

六、作业

教材P.177习题11.2; A组1、2、3、4、5.

二次根式定义的教学反思 篇16

1、教学目标是经历二次根式的概念的发生过程，了解二次根式的概念。在概念的教学上采用了问题导入法比较顺利。但对概念有一点疑惑，形如根号a（a>=o）的式子，那根号前面的系数要不是1呢，难道就不是二次根式了吗？大部分同学不理解取值的意义。

2、新教材特别要求引导学生注意二次根式中字母的取值范围，要求培养学生严谨的学习态度和推断字母取值范围的能力。刚开始对这一要求理解不到位，没有对学生提出明确要求，也没有重视对典型错误的分析。

3、在学生的学习方面，也有值得反思的地方。我班的学生在老师指导下学习数学方面的积极性并不差，但自主学习方面还存在着不足。遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强、作业只求完成率而不讲质量、学习的竞争意识和自我要求明显缺乏。这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导。

数学教案－二次根式的除法 篇17

例1判断下列各式中哪些是二次根式:

【再认识】“二次根式”的概念是形式定义(不是本质定义),只要具备的形式就是二次根式,这里a可以是数,也可以是字母,还可以是完全平方形式,同时a必须大于或等于0.

【分析】抓住二次根式的两个特征:(1)带二次根号,(2)被开方数是非负的.

解:(1)(2)(5)(6)是二次根式.

【分析】(1)由于二次根式与绝对值都是非负数,因此当几个非负数的和为0时,这几个非负数都是0.

(2)化简的关键是确定y的取值范围,从而去掉绝对值符号. 由题设条件可得2x-1≥0,且1-2x≥0,从而有2x-1=0,从而确定y的取值范围.

【再认识】最简二次根式的概念不要刻意去记,一般的二次根式按化简要求化简后的结果都是最简二次根式. 对于最简二次根式可以进一步理解:1被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;2被开方数中不含分母;3分母中不含有根号.