相似三角形练习题（共13篇）
(一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比.
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 强调：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE;
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的
应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”.
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE.
例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.
B
E
F
D
A
判定定理2：如果三角形的两组对应边的.比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.
例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 (1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.
强调：
①有平行线时，用预备定理;
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2;
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.
例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.
例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由
.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB
强调：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛.(直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似)
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD. ④补充射影定理。
(1) 如图：称为“平行线型”的相似三角形
B
C
E
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
A
E
1
B
DC
B
A
4
D
E
DC
A
B
C
A
EDE
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
B
C
二、例题分析
1、下列说法不正确的是( )
A、两对应角相等的三角形是相似三角形; B、两对应边成比例的三角形是相似三角形; C、三边对应成比例的三角形是相似三角形; D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有( )
D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E
3、如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，则下列条件不一定能保证△
ACP的有( ) A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C
、AC?AP D、PC?AC
ABACBCAB
C
4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;ADAB
?③;其中正确的有 ( ) AEAC
A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是
;
7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm
9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
C
10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=
∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A
D
CB
12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。
A
D
E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、
CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N. 求证：(1)AE?CG;(2)AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF
B
F
C
15、有一块三角形的土地，它的底边BC=100米，高AH=80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米(即DE=40米)，求这个矩形的面积。
△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF
，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF. (1)求证：△ABE≌△FDA.
下面所谈到的几道物理题目都有一个共同点, 就是都巧妙运用了相似三角形的知识, 也正是这三角形的知识使题目顺利求解.
例1 如图1所示, A、B是带有等量同种电荷的两个小球, 它们质量都是m, 它们的悬线长度为L, 悬线上端都固定在同一点O, B球悬线竖直且被固定, A球在B球库仑斥力的作用下, 偏离B球x的地方静止.此时A球受到绳的拉力为T, 现在保持其他条件不变, 用改变质量的方法使A球在距B球
解析:A球受到重力G, B球对A球的库仑力F, 绳的拉力T, 如图2所示, 由共点力平衡条件和相似三角形得,
m′=8m, T′=m′g=8mg=8T
例2 如图3所示, 重力为mg的小球B系在长为L的绳上, 绳的上端固定在A点, 小球放在半径为R的光滑球面上, 球面的球心为O, AO为竖直线;A点到球面顶点的距离为d, 求绳的张力和球面对小球的支持力.
解析:作出小球受力示意图, 如图4所示, 从图中可得两个画阴影的三角形相似, 则有
故
例3 如图5所示, 点光源S距离竖直墙MN的水平距离为L, 现在S处以水平初速度v0平抛一个小球P, P在墙上形成的影是P′, 在球做平抛运动的过程中, 其影在墙上的运动速度v′是多少?
解析:△SPD∽△SMP′, 故有
, 则
—— 冯·诺伊曼（美国数学家，1903-1957）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1. 下列说法中正确的是（）.
A. 相似三角形一定全等
B. 不相似的三角形可能全等
C. 全等三角形不一定是相似三角形
D. 全等三角形一定是相似三角形
2. 下列说法中正确的是（）.
①三边对应成比例的两个三角形相似
②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似
A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
3. 已知△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别是1和.如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）.
A.B.C.D.
4. 若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）.
A． 30° B． 50° C． 40° D． 70°
5. 一个三角形三边之比为3∶5∶7.与它相似的另一个三角形最长边是21 cm，则此三角形另两边之和是（）.
A． 15 cm B． 18 cm C． 21 cm D． 24 cm
6. △ABC∽△A１B１C１，相似比为2∶3；△A１B１C１∽△A２B２C２，相似比为5∶4.则△ABC与△A２B２C２的相似比为（）.
A．B．C． 或 D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
7. 相似三角形中，对应边的比叫做或相似系数．
8. 已知一个三角形三边的长分别为3、4、5，另一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这两个三角形是三角形（填“相似”或“不相似”）．
9. 如图1，△ABC中，BD是角平分线.过D点作DE∥AB交BC于点E.AB=5 cm，BE=3 cm，那么EC=.
10. 一个钢筋三角架，三边长分别为20 cm、50 cm、60 cm.现要做一个与其相似的钢筋三角架，但只有长30 cm和50 cm两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有种．
11. 如图2，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5 cm，AB=4 cm.如果图中的两个直角三角形相似，则AD的长是.
12. 如图3，在正方形网格上有6个斜三角形：
①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.
在②～⑥中，与①相似的是（填序号）.
三、解答题
13. （10分）如图4，△ABC∽△ACP，AC=4，AP=2，则AB的长为多少？
14. （10分）△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm.若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.
15. （10分）如图5，分别连接等边△ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.设△ABC的边长为a.
（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）分别求出这两个三角形的面积.
（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
16. （10分）如图6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3 cm，BC=7 cm，∠B=60°.P为BC上一点（不与B、C重合），连接AP.过P点作PE交CD于E，使得∠APE=∠B.
（1）求证：△ABP∽△PCE；
教学目标: 本课为相似三角形专题复习课，是对本章基本内容复习基础上的深化，通过对一个题目的演变，紧紧围绕一线三直角这个基本模型展开，由浅入深对相似三角形进行，同时结合数学中的方程思想，分类思想，模型思想，数形结合思想等拓展深化.教学重点:相似三角形的一些基本图形特别是一线三直（等）角的复习.教学难点: 一线三直（等）角模型的拓展深化.教学过程: 练习:1.如图，AB＞AC，过D点作一直线与AB相交于 点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.2.如图，直角梯形ABCD中，E是BC上的一动点，使△ABE与△ECD相似，则AB、BE、CE、CD之间满足的关系为____________.得到相似中最基本的几种图形，即：
A型 斜A型 一线三直角反射型
在得到上述基本图形后，通过找相似三角形，让学生体会基本图形的应用。并通过对这个题目的演变，将本课内容提要呈现出来.例1：在平面直角坐标系中，两个全等Rt△OAB与Rt △A’OC’如图放置，点A、C’在y轴上，点A’在x轴上，BO 与A’ C’相交于D.你能找出与Rt△OAB相似的三角形吗？ 请简要说明理由 在上述条件下，设点B、C’ 的坐标分别为（1，3），（0，1），将△ A’OC’绕点O逆时针旋转90°至△ AOC，如图所示：
（1）若抛物线过C、A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；
（2）设抛物线的对称轴交x轴与点M，P为对称轴上的一动点，求当∠APC=90°时的点P坐标.本题主要是应用一线三直角这个基本图形，从而利用相似三角形的对应边关系求解，在教学过程中对P点的位置应作说明，可借助于几何画板演示.【变一变】线段BM上是否存在点P，使△ABP和△PMC相似？如存在，求出点P坐标，如不存在，请说明理由.本例让学生进一步应用基本图形，同时体会到数学思想——分类思想的应用.【拓展一】若点N是第一象限内抛物线上的一动点，当
∠NAA’=90°时，求N点坐标.通过添加一条辅助线构造一线三直角来提升对学生的要求。另外利用本题比较特殊的情况，即△AOA为等腰直三角形的 条件，采用一题多解的方法，帮助学生提高解题的能力.【拓展二】点N是抛物线的顶点，点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线绕Q点旋转180°后得到新抛物线的顶点为M，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点M、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
知识目标：
1.使学生进一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性质定理1.
能力目标：
2.进一步培养学生类比的数学思想.
情感目标：
3.通过学习，养成严谨科学的学习品质
二、教学重点、难点、疑点及解析
1.重点是性质定理的应用.
2.难点是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用.
3.疑点是要向学生讲清什么是对应高、对应中线、对应角平分线，它不是一个三角形中两条高、中线、角平分线的比等于相似比.另外，在定理的证明过程中，要向学生讲清由已知两三角形相似(性质)去证另外两个三角形相似(判定)的思维过程，即相似三角形性质与判定的综合运用.
三、教学方法
新授课.
四、教学过程
(一)复习提问
1.三角形中三种主要线段是什么?
2.到目前为止，我们学习了相似三角形的哪些性质?
3.什么叫相似比?
(二)讲解新课
根据相似三角形的定义，我们已经学习了相似三角形的对应角相等，对应边成比例.下面我们研究相似三角形的其他性质(见图5-45，图5-46，图5-47).建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
∵△ABC∽△ABC，
ADBC，ADBC，
教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成.
分析示意图：结论∽(欠缺条件)∽(已知)
∵ △ABC∽△ABC，
BM=MC，BM=MC，
∵ △ABC∽△ABC，
2，4，
以上两种情况的证明可由学生完成.
小结：
本节主要学习了性质定理1的证明，重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.
(三)练习
课后练习节选
(四)作业
教学目标
1.对全章知识有一个系统的认识，掌握知识的结构和内在联系.2.利用基本图形结构的形成过程，掌握本章的重点：平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定及性质定理.3.通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点
重点是掌握本章的主要概念、定理及数学方法.难点是灵活运用以上知识，提高解题能力.教学过程设计
一、掌握本章知识结构
具体内容见课本第258页内容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展 过程，把握本章的两个重点
1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形(如图5－123).要求：
(1)用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比；(2)对图5－123(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行.2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图5－124；
(2)从一般到特殊：如图5－125.要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判 定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.(1)在图5－125(a)中的相似三角形及相似比、面积比；
(2)在图5－125(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；(3)在图5－125(d)中射影定理及面积关系等常用的乘积式.三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法
例1 已知：的值.分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：(1)设比值为k;(2)比例的基本性质；
(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.解法一 由则(a+b):(b－c)=25:3.，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 解法二 ∵
∴, ∴ 解法三 ∵,∴a=, ∴
例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2);(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC.分析：
(1)利用比例证明两线段相等的方法.①若,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)；
②若,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)；
③若，a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.(3)证明时，可将其转化为“”类型后：
①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；
②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长BA，CD交于S，AF∥MC
∴ AF∥MC成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等.例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE.分析：
(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到
结合中点定义得到得到AF⊥BE.,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.进一步可
(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：
(1)掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.①勾股定理：AC+BC=AB.②面积公式：AC·BC=AB·CD.③三个比例中项：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.2
22222
⑤
(2)灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式 两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法.①证明a型：先得到a=bc型，再两边乘方，求出a来，进行化简(证法一).或在a=bc两边乘以同一线段a，再进行化简(证法二).②证明a:b=c:d型问题的常用方法： 22
3242(ⅰ)先证,再利用中间比证明(ⅱ)先证再两边平方：,然后设法将右边降次，得
(ⅲ)先分别求出,两式相乘得,再将右边化简.③证明a3:b3=c:d型问题的常用方法：
(ⅰ)先用有关定理求出，再通过代换变形实现；
(ⅱ)先证,两边平方或立方，再通过代换实现；
(ⅲ)先分别求出第(1)题：
证法一 ∵ CD=AD·BD, 2，然后相乘并化简：
∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)
=(AE·BF)·(AB·CD).422证法二 ∵ CD=AD·BD,CD=2
∴ CD=AD·BD·3=
=AE·BF·AB.第(2)题：
证法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得,命 题得证.证法二 由证法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，∴(相似三角形对应高的比等于对应边的比)∵ DE∥BC，∴第(3)题： ,∴
证法一 ∵, ∴,∴
证法二： ΔADC∽ΔCDB，∴
∴·
证法三 ∵, ∴
四、师生共同小结
在学生思考总结的基础上，教师归纳：
1.本章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业
课本第261～265页复习题五中选取.补充题：
1.利用相似三角形的性质计算.已知：如图5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E为AB上一点，过E作ED∥BC交AC于D，过D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=,求FB的长.(答：2)
2.证明相似三角形的方法.如图5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF为ΔABD的中线.求证：DE=DF.(提示：证明ΔCDE∽ΔCAB，得到.)3.已知：如图5－131，ΔABC内一点O，过O分别作各边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC.求证：
(1)
(2)设SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.则4.构造相似三角形来解决问题.(1)已知：如图5－132，ΔABC中，点E为BC中点，点D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=
100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：)(提示：延长AB至F，使F=AC.作∠BCF平分线交AF于G.—
(2)已知：如图5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求证：.(提示：把变形为，进一步变形为.设法
构造相似三角形，使其对应边的比分别为，作AE=AC,交BC延长线于E，延长AB至D，使BD=AC.)
5.构造基本图形(平行线分线段成比例定理).已知：如图5－134，ΔABC的三边BC，CA，AB上有点D，E，F.若AD，BE，CF三线交于一点O.求证：.(塞瓦定理)
例1：小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米。已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为多少米?
分析：太阳光是平行光，在太阳的照射下, 物体产生的影成为平行投射。
解：根据题意画出图形，如图2所示，△ABC∽△DEF
解得：EF=48m
答：楼房EF的高度为48米。
例2：如图3，花丛中有一路灯杆AB。在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米;沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米。已知小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)。
分析：在灯A的照射下，物体所产生的影，称为中心投影。在中心投影下，可以根据两个不同的位置得到两个相似三角形，根据对应边成比例可以得出两个关系式，列出相应的方程组就能求出路灯的高度。
解：根据题意，得
解得BD=7.5m
所以
答：路灯杆AB的高度约为6.0m。
二、小孔成像问题
例3：小华做小孔成像实验。如图4，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长?(已知蜡烛与成像板间的距离为l)
分析：由相似三角形可知：△ABO∽△A′B′O′, △AEO∽△A′F′O
故小孔纸板应放在距蜡烛处。
三、平面镜问题
例4：如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图, 点P处放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知AB⊥BD, CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是多少?
分析：根据光的反射定律可知反射角等于入射角，则有
解得：AB=8m
答：该古城墙的高度为8米。
四、透镜问题
例5：如图6所示装置可以粗测凹透镜的焦距，平行光束宽度为a，在凹透镜后L远处有一光屏，屏上可得到宽为b的光斑。求凹透镜的焦距大小。
如图7，凹透镜的出射光线的反向延长线的交点是凹透镜的焦点F, FO为焦距f。
分析：AB∥EH, FO⊥AB, FG⊥EH
五、杠杆问题
例6：马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米。
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?
(2)若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上?
分析：本题是一道设计新颖的实际问题，具有创新性和探索性;解决此类问题的关键是从实际问题中画出符合题意的数学图形：(1)根据实际问题画出图形如图9 (1)，只要求出QH的长度，然后判断是否大于2米，即可解决问题。(2)如图9 (2)，由QH=3.6米，并借助相似三角形的性质可求得支点A在PQ上的位置。
解：(1)狮子能将公鸡送到吊环上。
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ,
∵AB为△PHQ的中位线, AB=1.2 (米)
∴QH=2.4>2 (米)
“图形的相似”是初中数学的内容之一，相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容，从历史上看，相似三角形很早就已经为人们所认识. 大约公元前20世纪，在古巴比伦泥版文献中就已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就可能运用了相似三角形的性质；古希腊几何学的鼻祖泰勒斯曾多次利用相似三角形的性质来解决相关测量问题；我国古代数学著作《九章算术》中的远距离测量技术也是以相似三角形的性质为基础的. 下面来讲些实例.
我国明末清初时的“梅氏数学家家族”祖孙四代人，共有十多位数学家. 其主要代表人物是梅文鼎和他的孙子梅珏成.
这里有一则关于梅珏成的记载：一天，他外出游玩时，看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地. 他就走过去，询问起来. 原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的池子，并要求这个正方形的面积尽可能大.
梅珏成问明了两个测量出来的数字（一条直角边长24米，另一条直角边长10尺）以后，说：“这很简单，只要设所求的正方形边长为x，利用两个相似三角形的对应边成比例关系，即可得：24∶x=10∶（10-x），x=（尺），即为所求. ”
几个农民听完后，连声称赞道：“先生真了不起！我们对算术可是一窍不通. ”亲爱的同学，你可听明白了梅珏成的话没有？
我国《九章算术》勾股章有如下两道问题，你能写出解题过程吗？
例1 今有邑方二百步，各开中门.出东门一十五步有木.问：出南门几何步而见木？（如图1）
例2 今有井径五尺，不知其深.立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸. 问：井深几何？（如图2）
古希腊几何学的鼻祖泰勒斯年轻时游历埃及，测得金字塔的高度.请你复原泰勒斯的测量方法.（参见图3）
古希腊第八大岛屿——萨默斯岛上有一条修建于公元前6世纪的供水萨默斯隧道，如图4，隧道长1 036米，横截面宽和高各为1.8米，笔直地穿过了一座小山.为了缩短建成时间，设计者欧帕里诺斯让工程队从小山两边同时开始挖掘，两队在山体中间会合.
试想，在2500多年前，没有任何现代化的仪器，如何保证两支工程队不偏不倚正好在山底的某处相遇？令人惊叹的是，欧帕里诺斯做到了，隧道一线贯通，两支工程队会合得天衣无缝.他是怎么做到的呢？与我们所学的相似三角形有什么关系呢？你想知道其中的奥秘吗？
欧帕里诺斯实质是聪明地运用了相似三角形知识（定义、判定定理），保证了四点共线，才创造了一个水利工程奇迹.
他是这样解决这个问题的：要在两个入口A与B之间挖一条隧道. 从B点处出发任作一直线段BC，过C作BC的垂线CD，然后，依次作垂线DE、EF、FG、GJ，直至接近A点. 在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点. 在最后一条垂线GJ上选取点J，使得AJ垂直GJ. 设AK为CB的垂线，K为垂足，则AK=CD-EF-GJ，BK=DE+FG-BC-AJ. 再在BC和AJ上分别取点L和点N，过点L和点N分别作BC和AJ的垂线，在两垂线上分别取点M和点P，使得，于是有Rt△BLM、Rt△BKA、Rt△ANP为一组相似三角形，因此，点P、A、B、M在一条直线上. 所以，只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见点P和点M的标识即可.
实际上，像这样的生活奇迹有很多，创造者都是那些爱动脑筋、善于思考的人，希望同学们能像他们那样，将学习融入生活，将生活看作学习.
我在上《相似三角形的性质》这节课时，先复习全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等;对应边相等;对应中线、对应角平分线、对应高线相等;周长相等;面积相等。根据全等三角形是特殊的`相似三角形，诱导学生们在类比中，猜想相似三角形的性质，同学们积极性很高，抢着猜，大多数同学猜对了相似三角形的对应角相等;对应边成比例;对应中线、角平分线、高线的比等于相似比;周长的比等于相似比;
可对面积的比有争议，有的说等于相似比，有的说等于相似比的平方。我又及时诱导：猜想并不能代替证明，它只是一个推理，一个假设，你们应该再进一步深入，把你们的猜想结果去证明，看到底是谁的对，让它更有说服力，同学们为了证明自己的猜想是正确的，马上开始证明，这一节课掌握的很好。而且对相似三角形面积的比等于相似比的平方印象非常深刻。因为那是在有争议的情况下，得到的正确结论。这一节课中，引导学生复习全等三角形的性质是“诱”的过程，让学生利用这个思维惯性去“猜想”相似三角形的性质，就是“思”的过程。
这个“猜想”不是凭空瞎猜，而是在原有知识的基础上的一种思维的延伸、拓展，能够培养学生良好的思维习惯。
本节课的教学设计主要从以下三个方面来考虑的：
一、尊重学生主体地位
本课以学生的自主探究为主线：课前学生自己对比例线段的运用进行整理。这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生逐渐学会反思、总结，提高自主学习的能力；课堂上学生亲身体验“实验操作—探索发现—科学论证”获得知识（结论）的过程，体验科学发现的一般规律；解决问题时学生自己提出探索方案，学生的主体地位得到了尊重；课后学有余力的学生继续挖掘题目资源，发展的眼光看问题，观察运动中的“形异实同”，提高学习效率，培养学生思维的深刻性。教师发挥主导作用
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬。备课时思考得更多的是学生学法的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充。教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长。提升学生课堂关注点
学生在体验了“实验操作——探索发现——科学论证”的学习过程后，从单纯地重视知识点的记忆、复习变为有意识关注学习方法的掌握，数学思想的领悟。如在原问题的取点中教师小结了从特殊到一般的归纳，学生在探究矩形的比值时就能意识地把解决特殊问题的策略、方法迁移到解决一般问题中去。在课堂小结中，学生也谈到了这点体会，而且还感悟了一题多解、一题多变等数学学习方法。
例1在△ABC中，∠B=2∠C，试说明AC2=AB2＋AB·BC．
分析：可将结论变形为AC2=AB（AB+BC），故联想到构造一条长等于AB+BC的線段．如图1，延长AB至D，使BD=BC，连接CD，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△ACD，从而使问题得以解决.
解：如图1，延长AB至D，使BD=BC，连接CD，则 ∠BDC=∠BCD．又∠ABC=∠BDC+∠BCD，所以 ∠ABC=2∠BDC．又∠ABC=2∠ACB，所以∠ACB=∠BDC．又∠CAB=∠DAC，所以△ABC∽△ACD，得到AB∶AC=AC∶AD，故AC2=AB·AD＝AB（AB＋BD）＝AB2＋AB·BD＝AB2＋AB·BC．
例2锐角等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，试说明BC2=2AC·CD．
分析：结论可变形为BC2=AC·（2CD），故联想到构造一条长等于2CD的线段，因此可延长CD至E，使DE=CD，连接BE，构成共边共角相似三角形，然后说明△ABC∽△BEC，从而使问题得解.
解：延长CD至E，使DE=CD，连接BE，如图2.由DE=CD，BD⊥AC，得△BCE是等腰三角形，所以∠C=∠E.又∠C=∠CBA，所以∠CBA=∠E.又∠ACB=∠BCE（公共角）,所以△ABC∽△BEC，则BC∶CE=AC∶BC，故BC2=AC·CE＝AC·（2CD）＝2AC·CD．
例3如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．FG垂直平分AD，分别交AB、AD及BC的延长线于点F、E、G，试说明DG2＝CG·BG．
分析：由于DG、CG、BG三条线段在同一条直线上，它们之间的比例关系难以确定．可考虑将线段转移，等量代换．由于题设中有FG是AD的垂直平分线，所以AG=DG，从而连接AG，如图4，可构成共边共角相似三角形．通过△ABG∽△CAG，可使问题获解.
解：如图4，连接AG．因为FG垂直平分AD，所以DG=AG，且∠ADG=∠DAG．又因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC．又因为∠BAG=∠BAD+∠DAG，∠ACG=∠DAC+∠ADG，所以∠BAG=∠ACG．又∠BGA=∠AGC（公共角），所以△ABG∽△CAG，从而AG:CG=BG:AG，故AG2＝CG·BG，而DG=AG，所以DG2＝CG·BG．
例4在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC是对角线，试说明AC2＝AD2＋AB·CD．
分析：如图5，要证AC2＝AD2＋AB·CD，可在AC上适当选择一点P，则AC=AP+PC，若能得到AC·AP＝AB·CD，及AC·PC＝AD2，两式相加，即可获解．而要得到这两个等式，又要有△ABP∽△CAD及△ABC∽△BPC，因而需要构造相似三角形．以点B为顶点，BA为一边作∠ABP=∠CAD，交AC于点P，可使问题获解.
解：如图5，以点B为顶点，BA为一边作∠ABP=∠CAD，交AC于点P．由AB∥CD，得∠BAP=∠ACD，所以△ABP∽△CAD，则AB∶AC=AP∶CD，即AC·AP＝AB·CD ．①
由等腰梯形ABCD得∠DAB=∠CBA，而∠ABP=∠CAD，所以∠BAC=∠PBC．又∠ACB=∠BCP，所以△ABC∽△BPC．所以AC∶BC=BC∶PC，即AC·PC＝BC2．②
①+②，得 AC·AP＋AC·PC＝AB·CD＋BC2．而AC·AP＋AC·PC＝AC（AP＋PC）＝AC2，BC=AD，所以AC2＝AD2＋AB·CD．
例5如图6，△ABC和△ABD在公共边AB的同侧，AC和BD相交于点E，且∠C+∠D=180°，试说明 AB2＝AE·AC＋BE·BD．
分析：要证AB2＝AE·AC＋BE·BD，可在AB边上适当选择一点P，则AB=AP+BP.若能得到AE·AC＝AB·AP及BE·BD＝AB·BP，两式相加，即可获解.而要得到这两个等式，又需有△AEP∽△ABC及△EBP∽△ABD，因而联想到构造相似三角形.
解：以点E为顶点，AE为一边作∠AEP=∠ABC，交AB于点P，如图7.又∠EAP=∠BAC，得△AEP∽△ABC，从而AE∶AB=AP∶AC，即
AE·AC＝AB·AP ．①
因为∠APE+∠BPE=180°，∠C+∠D=180°，而∠APE=∠C，所以∠BPE=∠D．又∠EBP=∠ABD，所以△EBP∽△ABD，从而BE∶AB=BP∶BD，即BE·BD＝AB·BP ．②
①+②，得AE·AC＋BE·BD＝AB·AP＋AB·BP＝AB（AP＋BP）＝AB·AB＝AB2．
A型三角形是我们在开展相似三角形教学工作的时候遇到最多的三角形,且A型三角形相似问题的难度跨越很大,仅仅是正A型三角形都有很多难度系数相差较大的题目.除此之外,斜A型以及由斜A型平移或旋转得到的子母型、垂直型也是非常普遍的A型三角形.代换思想的运用贯穿于整个三角形相似教学过程,在解决A型三角形的问题上代换思想更是尤显重要.因此,我们需在课堂上经常向学生们渗透巧妙代换的思想,帮助他们攻克A型三角形这一难题.
在上面的例子中,我通过引导学生们巧妙运用中间线段的代换而轻松攻克了这道难题,除此之外,等比代换、等积代换也是极为重要的代换思想.因此为了做到有的放矢,我们应在讲解A型三角形问题的时候不断渗透代换思想.
二、构造辅助,巧解X型
X型三角形的教学在三角形相似问题教学中则显得相对容易一些,但是题目依旧具有多样性与复杂性.简单常见的正X型三角形的题目比较简单,斜X型以及由斜X型旋转得到的旋转型则看起来相对复杂一些.但是,学生们在做题的时候经常遇到给出的有效线段不够,甚至于给出多余线段扰乱学生们思维的题目.因此,我们应教导学生们构造辅助,找出题目中的X型三角形,巧妙解决难题.
为了让学生们能够学会构造辅助,我曾经给他们讲解过这样一道题目:如图2,BD=CE,求证:AC·EF=AD·DF.这道题目乍一看会让人觉得找不着北,但其实只要构造辅助将该图转化为X型三角形就会非常简单.在学生们思考完毕后,我给他们介绍了这种思路:过点D作DG∥BF交AC于点G,则由△DGE与△FCE相似,再结合△ADG与△ABC相似即可得出所证结论.这种思路可以让这道看起来找不着北的题目通过构造辅助,转化为X型三角形而显得格外简单,X型三角形的题目本身并不难,只要学生们能够学会准确地构造辅助,就一定可以快速巧妙地解决相关问题,将这一部分知识灵活地掌握.
在上面的例子中,我通过启发学生们构造辅助,可以让他们快速巧妙地解决X型三角形的题目,同时巩固了他们对相关知识的掌握.这种简单高效的方法真正做到了有的放矢,可以切实提高我们的课堂效率,提高学生们的解题能力.
三、综合分析,渗透K型
K型三角形在三角形相似教学中也比较常见,且K型三角形的题目往往是一些难度系数比较大的题目,能够较好考查学生们对这一部分知识的综合掌握程度.常见的K型三角形有双A型、双X型、双垂直型或三垂直型等等.一般来说,K型三角形问题的解决需要代换思想、构造辅助等等方法综合运用,这就要求我们在教学中引导学生们进行综合分析,让他们争取能够做到将每一道K型三角形的题目都渗透.
在上面的案例中,我通过以综合分析的方法向学生们讲解K型三角形的相似问题,并鼓励他们渗透所有的方法与知识,不但可以提高学生们的综合学习素养,也大大升华了我的课堂教学效果,让课堂质量有一个质的飞跃.
纵观全文,要想攻克A型三角形的问题,需要我们传授给学生们代换的思想;而要想巧妙解决X型三角形相似问题,则需要我们启发学生们构造辅助;要想渗透K型三角形的问题,更是需要我们培养学生们综合分析的能力.无论是A型、X型,还是K型三角形的相似问题,都需要我们针对问题,有的放矢,不断提高学生们解决三角形相似问题的能力.唯有如此,学生们的素质才会不断提高,而我们的数学教育也才会不断进步!
摘要：相似三角形是初中数学教学的一大重点,亦是一大难点.因此,为了更好提高学生们巧解三角形相似问题的能力,我们不应盲目教学,而是做到有的放矢.本文中,笔者从A型、K型、X型三种常见的相似三角形出发,逐一分析,提出自己对于三角形相似问题教学的见解.
关键词：初中数学,三角形相似,有的放矢,巧解问题
参考文献
[1]吕志元.探讨初中数学三角形问题解答易错案例剖析[J].数理化学习:初中版,2013(3).
相似三角形的应用教案设计
相似三角形的应用教案设计 木厂口镇中 杨书云 一、教材分析： 教学背景分析 教学内容 本节主要探索的是应用相似三角形的识别、性质等知识去解决某些简单的实际问题(计算不能直接测量物体的长度和高度)。 学情分析 学生已经学过了相似三角形的概念、识别及性质，在次基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。初二学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识。在心理特点上则更依赖于直观形象的认识。 教 学 目 标 知识目标 1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。 2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 能力目标 1、全力培养学生的应用意识，和把实际问题转化为数学问题并用数学方 法去分析、解决实际问题的能力。 2、通过开放的设计题来发展学生的思维，培养创造力。 情感目标 1、 通过如何测量旗杆的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦。 2、 力求培养学生科学，正确的数学观，体现探索精神。 教学 重点 难点 教学重点 1、 引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。 2、 面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。 教学难点 通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。 教学策略 针对以上教学难点、重点的.分析，本节课将应用启发式教学与探究式教学相结合来展开分解难点、突出重点。始终体现以学生自主学习及合作交流为主的新课程理念，从学生的经验、生活实际出发，创设情景，引导学生去发现、分析、解决问题。 教学关键 在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。 二、教学流程： 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 一、创 设 情 景 激 发 兴 趣 ⑴ 创设情景： 给我一个支点我可以撬起整个地球! ---阿基米德 师：(出示图片)著名的科学家阿基米德曾讲过如果给我一个支点我可以撬起整个地球。我们真佩服伟人的大气，其实这个杠杆图中有着一个数学知识，而且这个知识在生活中很常见。 生：观察图片，听教师讲述。 ⒈ 通过图片的展示及教师的娓娓讲述一开始就把学生的视觉、听觉深深的吸引牢了。 2、杠杆原理图中就隐藏着相似三角形的模型，因此可以自然的引出有关的实际问题。 3、 选择学生熟知的生活情景引入，激发兴趣，产生“要学习”的欲望。 二、授 人 以 鱼， 给 出 模 型 ⑴ 如图,铁道口的栏杆短臂长 1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m? ⑵ 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动) 师：给出两个小题，要求学生独立完成，完成后思考两题在解题过程中有何异同? 生：独立完成，并思考异同点。 由学生来讲解过程，并分析异同点。 师：两题都是通过构建相似三角形模型来解决的。 目的在于既可对相似三角形的识别与性质进行有效的复习,又可让学生形成初步应用相似三角形知识来解决实际问题的意识。 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 三、抽 象 模 型， 感 受 过 程 感受建模过程： 小结： 在解决此类实际问题时，可构建相似三角形的模型，再利用对应边成比例建立等式，已知三个量去求第四个量。 师：教师利用电脑课件演示抽模过程。 生：去直观感受过程，留下印象，形成经验。 要想很好的解决实际问题就必须转化为数学问题。具体的就是构建数学模型。本题我先借助电脑来抽象模型让学生感受过程，即授人于鱼。在培养学习兴趣，逐步展开思维的同时，使学生形成将生活问题数学化意识。 四、授 人 于 渔， 动 手 实 践 之 一 1、同学们，若有一瓶牛奶，喝了一部分，如何来测量出剩余牛奶液面的高度呢? 2、若小明在测量时，将木棒一不小心滑到了底面的D处，那又该如何测量呢? 3、如果木棒底端在瓶底上的任意处，是否都可测量呢? 4、在测量和计算时应注意什么? 师： 创设一个有趣的情景给学生，同时，给出实践的目标。这三个问题是呈现递进关系的。并能充分的应用到相似三角形的知识。 生： 以同桌合作的形式动手操作(课前已让学生准备好易拉罐、筷子、刻度尺)，在操作中进行探索和思考。 教师来回巡视，观察学生操作进程，然后由学生上讲台来讲解过程。 师：需测量那几个量?测量时应注意什么? 小结： 在构建好模型后，成比例的四个量中，必须想方设法测出三个量才能解的第四个量。 1、本题是一道操作性强，且是半开放题型，是在前面“授人于鱼”基础上，让学生合作探索以达到“授人于渔”的效果，三个问题层层递进，直至最后规律的得出：无论木棒底端放在那里，都可以通过建立相似三角形模型来测量。 2、充分培养了学生的动手实践能力及数学建模思想。 流程 内容呈现 师生活动 意图设计 五、延 伸 拓 展， 动 手 实 践 之 二 利用所给的工具如何测量零件的内径呢? 师：亮出题目，讲清任务。 生：四人一组进行动手操作，寻求解决问题的方法。 最后，由学生来讲解解决方法的过程。教师与其他同学再补充。 如果前面一题侧重的于对“A”字形相似三角形的应用，那么这一题更侧重于对“X”字形相似三角形的应用。两题相互补充。完善了学生的知识结构。 六、 悟 其 渔 识， 设 计 方 案 流程 小小发明家： 怎样测量旗杆的高度? 测量工具：直尺、卷尺、标杆、镜子 如果给你一根2米高木棒，一把皮尺，一面平面镜。同学们，你能利用所学知识选择适当的工具来测出旗杆吗?(自主设计方案) 内容呈现 师：简单说明。 生：四人一组进行合作探索。 师：教师下讲台与学生一起交流，并汇总方案。 由学生来讲解设计的步骤，并讲清需要测量那些量及在测量时应注意什么? 师生活动 1、本题是一道完全开放的题目，可以让他们的思想插上翅膀，能培养学生的创新意识与探索精神。 2、单凭自己的力量是不够的，遇到困难自然想到要合作，这样可以培养学生的合作交流意识。 3、这是本课的最高境界――悟其渔识。全面引导学生进行开创性的思考和探索 预测说明 七、预 测 学 生 可 能 会 设 计 的 方 案 方案一 方案二 方案三 方案四 1、学生可能首先想到方案一 当方案一应注意的是木棒影子的顶端应该在旗杆影子的外面。 2、测量时，应让木棒顶端影子与旗杆顶端的影子相互重合于一点。 3、测量身高时 应该测量人的目高。 &nb
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