最小公倍数的教案（精选12篇）
生：有把握。
师：为什么？
生：因为通过刚才的例举法我们已经知道4和6的最小公倍数是12，所以我在用短除法找它们的最小公倍数时，试着把它们的商和除数连乘起来正好是12。
师：你知道为什么把所得商和除数连乘起来吗？
生：分解质因数的道理：除了它们公有的质因数外，还有独有质因数，即：4和6的全部公有质因数与各自独有质因数的乘积=它们最小公倍数。
(2)概括:用短除法求两个数的最小公倍数的方法（求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数去除（一般从最小的开始），一直除到商不再有公共的质因数为止，然后把所有的除数和商连乘起来．）
（学生知道了求最大公约数的算理、算法，根据知识的迁移规律可类推出“求最小公倍数”的算理和算法。）
3、质疑：用短除法求两个数的最小公倍数时应注意什么？（强调要把所有的除数和商连乘起来．）
4、试做：求18和30的最小公倍数（注重做法及算理）
(二)、探究特殊特殊的求最小公倍数的方法
1、你能很快的求出下面各组数的最小公倍数吗?
7和5 8和32 12和24
2、学生试做
3交流：说说你是怎么想的？概括方法。
4、质疑：各组数的最小公倍数有什么不同？
三、质疑：通过对最小公倍数的学习你还有什么问题吗？
求最小公倍数有几种方法？分别怎样求？
四、综合训练:
1、填空：
①几个数公有的倍数叫做这几个数的（ ），其中最小的一个叫做这几个数的（ ）。
②两个数，如果较大的数是较小数的倍数，那么（ ）数就是这两个数的最小公倍数；如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数是（ ）。
2、用短除法求下面各组数的最小公倍数
18和24 30和40 36和48
3、直接写出下面各组数的最小公倍数
3和7 ( ) 8和9( ) 72和6( )
5和25 ( ) 9和11（ ）
※4、一箱苹果把它平均分给3个或7个小朋友都会余1个，这箱苹果至少有多少个？
※5、两包糖果一样多，一包平均分给10人，一包平均分给14人，都正好分完而没有剩余。每包糖至少有多少块？
怎样求6和8的最小公倍数?
6和8的公倍数有很多呢。
6的倍数:6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48……
8的倍数:8, 16, 24, 32, 40, 48……
用图表示也很清楚
6的倍数
8的倍数
8的倍数中有哪些是6的倍数呢
8的倍数:8, 16, 24, 32, 40, 48……
学生学习这两种方法后, 我又引导学生学习用短除法求几个数的最小公倍数。而这个学生为什么就只会用第一种呢?本人有些和教材编排不同的观点和看法, 想和大家商榷。
第一, 此例题的结论没有明确表示出来。有问必答, 是一般的逻辑常识。既然是求6和8的最小公倍数, 还在题目的后面加了问号, 就必须有一个明确的回答, 结论就应该是6和8的最小公倍数是24。笔者猜想编者是想要学生在教师的引导下做出结论。可这是五年级的学生, 他们的模仿性很强, 书上怎么做他们就怎么做。因此, 我认为例题没有起到培养学生养成总结的良好习惯。
第二, 例题如此编排, 不但没有很好的开发学生智力, 反而是在诱导学生走弯路, 费时费力。为什么这么说呢?如果要求解8和140的最小公倍数, 那么, 这个学生只会按照例题的第一种方法先分别写出8和140的倍数, 再圈出它们8和140的最小公倍数。
8的倍数:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 62, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128, 136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232, 240, 248, 256, 264, 272, 280
140的倍数:140, 280
假如, 两个数更大呢?或者是求3个数的最小公倍数呢?那他做题的时间就会更久。
为什么不把简捷的短除法编进教材作为重点介绍呢?
怎样求6和8的最小公倍数?
2×3×4=24
6和8的最小公倍数是24。
第一单元“倍数与因数”时，学生学习了利用乘法算式找因数，在第三单元教学最大公因数和最小公倍数时求公因数时课本给出的方法是列举法。以找12和18的公因数为例，先用想乘法算式的方式分别找12和18的因数，列举出来，再找出公有的因数和最大公因数。在此基础上，引出公因数与最大公因数的概念。根据课标要求，我这样安排教学，先让学生分别找出12和18的因数，并交流找因数的方法。再让学生将这些因数填入两个相交的集合。引导学生重点思考的问题是：两个集合相交的部分填哪些因数？教师组织学生展开讨论，引导学生理解“两个数公有的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数”。通过两个习题的尝试，学生初步感知并逐渐理解了如何找公因数的方法以及怎样找到最大公因数。但是，问题是：“（1）用时太长，（2）部分学生在列举因数时有遗漏，还有的在找公因数时有遗漏。课本在课后的“你知道吗？”展示了“短除法”作为一个补充知识，简单进行介绍并不要求学生掌握。这样，找最大公因数和最小公倍数不仅很耗时间而且准确率不高，怎么办？作为教师，应该怎样去教这一部分内容呢？为进一步了解短除法，解决学生问题，我翻阅资料，关于短除法有这样的介绍。
材料一：用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
1.什么是短除法？
短除法是把一般除法竖式中除的过程加以简化，除的时候每次把除数写在被除数的左边，把商写在被除数的下面。如：
28÷2写成2|28的形式。计算过程如下：
2|28
2|14
7
28除以2得到14，14除以2得到7。（7不是余数）
2.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
例如：12和18。
2|12 18…………先同时除以公因数2；
3|6 9…………再同时除以公因数3；
2 3…………除到两个商只有公因数1为止。
把所有的除数连乘，得到：
12和18的最大公因数是2×3=6。
把所有的除数和最后的两个商连乘，得到：
12和18的最小公倍数是2×3×2×3=36。
用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，一般都用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，把所有的除数连乘，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘，就得到这两个数的最小公倍数。
了解了短除法，我发现短除法也有它的有效性，和列举法相比，教材中找“公因数”的列举法看上去比较“原始”；想到学生在后面学习分数加减法时才大量地用到最小公倍数和最大公约数，这就要求学生很快找到几个数的最大公因数和最小公倍数，如果还用列举法一个一个地去列举出来，再寻找最大的公因数或最小公倍数，且不说会出错，就算不出错效率也太低了。
几天后，我的学生已经对列举法充分地掌握，在数学活动课上，我抛出求126和90的最小公倍数和最大公因数，学生用列举法在认真地列举……几分钟后，我问：“怎么样，什么感觉？”学生纷纷说：“太慢……”“那么，还有方法求最大公因数吗？”在设疑中带着各自不同层面的问题进行探究，使学生产生了急于探究求最大公因数和最小公倍数方法的其他方法的想法，接着向学生介绍“分解质因数”“短除法”求最大公因数的方法，从而使学生自主地选择自己喜欢的方法求最大公因数。
所以说，教材只是个引子，至于采用什么方式教，那就依据学生的具体学情，灵活处理。
1、通过教学，学生能理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义，学会求两个数最小公倍数的方法。
2、培养学生用多种方法解决问题的能力。
3、培养学生归纳、概括的能力。
【教学重点】：掌握掌握求两个数的最小公倍数的方法。【教学难点】：灵活选择求两个数的最小公倍数的方法 【教具、学具】：多媒体课件
【教学方法】：讲授法、谈话法、观察法等。【教学过程】：
（一）复习导入
1、举例说一说什么叫倍数。
2、分别写出40以内4和6的倍数。
（二）探究新知
1、学习公倍数、最小公倍数的意义。
（1）请座号是4的倍数的同学起立并报出自己的座号。
请座号是6的倍数的同学起立并报出自己的座号。
（2）师:通过刚才的活动，你发现了什么?为什么有的同学会起立了两次? 你能找出既是4的倍数又是6的倍数的同学的座号吗？（起立了两次的同学再次起立，给学生留下深刻印象）学生初步感受有些数既是4的倍数又是6的倍数。(教师引导学生用“既是…又是…”来表达想法。)4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，…… 6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，……（师板书）我们可以说6、12、18、24……是4和6公有的倍数。其中公有的最小倍数是12。
（3）教师用课件出示4和6的倍数的集合图。
（4）而得出结论：12，24，36，……是4和6公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，12是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。师：想一想两个数有没有最大的公倍数？（同桌相互讨论）
【设计意图】创设了座号是4和6的倍数的同学分别起立并报出自己的座号的情境。既有利于培养学生的数学抽象能力，也有利于揭示数学与现实世界的联系，帮助学生理解公倍数、最小公倍数概念的现实意义。（4）第68页：做一做
2、教学求两个数的最小公倍数。
（1）出示例2，样求6和8的最小公倍数？
学生独立思考，整理解决问题的思路，并在四人小组里交流、讨论。全班汇报，交流想法。
全班交流，汇报。可能出现以下几种方法：
方法一：先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。6的倍数：6，12 , 18，24，30，36，42，48 … 8的倍数：8，16，24，32，40，48 …
方法二：先写出8 的倍数，再从小到大圈出6 的倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。
8的倍数：8 , 16 , 24 , 32 , 40，48 …
方法三：先写出6 的倍数，再看6 的倍数中哪些是8 的倍数，从中找出最小的。方法四：从小到大写出8 的倍数，边写边判断是不是6 的倍数，第一个是6的倍数的，就是8 和6 的最小公倍数。
【设计意图】通过相互交流、启发，开拓思路，达到算法多样化、个性化的教学意图。
（2）师：观察一下，两个数的公倍数和最小公倍数之间有什么关系？（两个数的公倍数是他们的最小公倍数的倍数。）
【设计意图】与前面教学求两个数的最大公因数相类似，是根据《标准》的有关要求，采用“找”的方法，找出两个整数的公倍数和最小公倍数。这一改进，不仅大大降低了学习的难度，因为不再需要讲解两个数的公有质因数、特有质因数与它们的最小公倍数的关系，而且也符合学生学习通分的实际需要。(三)巩固应用
1、基本练习：求下面每组数的最小公倍数。2和8 3和8 6和15 6和9 4和5 1和7 4和10 8和10 学生先独立完成，然后说一说哪几组数属于特殊情况？ 再让学生说一说这几组数的最大公因数是什么？
你能总结一下找两个数的最大公因数和最小公倍数的一般方法与特殊情况分别是什么吗？
学生先互相交流，再汇报，总结：
(1）如果两个数成倍数关系，那么其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。
(2）如果两个数只有公因数1，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的积。
（3）一般情况，可以先写出一个数的因数或倍数，再从中找另一个数的因数或倍数，区别是最大公因数从大到小找，最小公倍数从小到大找。随着学生的总结汇报，老师出示下表。
【设计意图】安排这道题的意图是让学生通过练习，发现求两个数的最小公倍数的两种特殊情况。
2、拓展延伸：36可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？
（四）梳理知识，总结提升
今天你学到了什么？收获最大的是什么？你有什么学习经验介绍给大家？(本节课我们研究了求两个数最小公倍数的方法。一般情况下，我们可以先找出一个数的倍数，再从小到大，找出另一个数的倍数，从而找到两个数的最小公倍数。另外，还有两种特殊情况：一种是两数成倍数关系时，较大数是这两个数的最小公倍数；另一种是两数只有公因数1 时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。我们通过本节课的学习，还对求两个数的最大公因数与最小公倍数进行了对比，并能熟练应用最小公倍数的知识解决生活中的实际问题)【设计意图】为进一步加深学生对这节课学习知识的掌握，让学生共同对这节课的新授知识进行总结。学生在主动感悟知识的发生和发展的同时，感受了学习的快乐和成功的体验。
（五）作业：第71页练习十七，第1题、第2题、第3题、第5题。
《最小公倍数》教学设计
教学目标：
1、让学生通过具体的操作和交流活动,认识公倍数和最小公倍数,会用列举的方法求10以内两个数的最小公倍数。
2、让学生经历探索和发现数学知识的过程,积累数学活动的经验,进一步培养自主探索与合作交流的能力。
3、让学生在参与学习活动的过程中,体验学习和探索活动的乐趣,增强对数学学习的信心。
教学重点：认识公倍数与最小公倍数,会求10以内两个数的最小公倍数。教学难点：求两个数最小公倍数的方法。教学过程：
一、游戏导入,、激发兴趣。
今天我们先来玩一个游戏,我们每个同学都有一个学号,请学号是4的倍数的同学站起来(坐下)；
再请学号是6的倍数的同学站起来(坐下)。（请12号同学站起来），你站了几次？ 还有哪些同学也站了两次？
那么12、24等数与4和6是什么关系呢？今天我们就来继续研究关系倍数的知识。
二、动手操作，认识公倍数
1、动手操作。
在黑板上贴出长3厘米、宽2厘米的长方形纸片和边长6厘米、8厘米的正方形纸片。
谈话：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形,你觉得可以正好铺满哪个正方形? 拿出手中的图形，动手铺一铺 通过刚才的活动，你们发现了什么？
提问：为什么用这样的长方形能正好可以铺满边长6厘米的正方形？ 引导：用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺边长6厘米、8厘米的正方形,每条边各铺了几次？怎样用算式表示？ 铺边长8厘米的正方形呢？每条边都能正好铺完吗？
2、想象延伸
根据刚才铺正方形的过程，想一想，用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片还能正好可以铺满边长多少厘米的正方形？在小组里交流。提问：能说说你的理由吗？
3、揭示概念
提问：6、12、18、24„„这些数与2有什么关系？与3呢？
谈话：只要正方形的边长既是2的倍数，又是3的倍数，这样的正方形纸片就能正好把它铺满。6、12、18、24„„是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。（板书：公倍数）
提问：两个数的公倍数的个数是有限的还是无限的？为什么？ 想一想：8是2和3的公倍数吗？为什么？
二、自主探索，用列举的方法求公倍数和最小公倍数
1、自主探索，掌握求公倍数的一般方法
谈话：6和9的公倍数有哪些？其中最小的是几？你能试着找一找吗？ 引导：这三种方法你觉得哪一种方法简捷一些？
2、揭示最小公倍数的概念
谈话：6和9的公倍数中最小的一个是18，18就是6和9的最小公倍数（板 书：最小公倍数）
3、用集合图表示
我们可以画图表示6的倍数、9的倍数以及6和9的公倍数之间的关系。出示图
提问：你能从中看出哪些是6的倍数吗？哪些是9的倍数吗？6和9的公倍数 又是哪些数？图中的三个省略号表示什么？6和9的最小公倍数是多少？
四、巩固练习
1、完成“练一练” 读题，明确题意
想一想：2和5的公倍数有什么特点？
2、反思游戏中的问题
刚上课时我们做的游戏中两次都站起来的同学，他们的学号与4和6有什么关系？现在能说一说吗？ 4和6的公倍数还有哪些？
它们的个数是有限的还是无限的？最小公倍数是谁？
如果在班级学号这个范围内4和6的公倍数的个数是有限的还是无限的？
3、练习四第1题
讨论：这里在图中要写省略号吗？为什么？ 如果没有这个前提呢？
练习四第2题讨论：4与一个自然数的乘积都是4的什么数？
5、6与一个自然数的乘积呢？怎样找到4和5的公倍数呢？填空时为什么要写省略号？
4、练习四第3题
5、练习四第4题
想一想：如果不走棋能确定要涂色的方格吗？
6、讨论交流：涂色的方格里写的数与3和4有什么关系？
五、全课总结
今天学习了什么内容？
什么是两个数的公倍数和最小公倍数？ 怎样找两个数的最小公倍数？你还有什么疑问？
板书设计：
最小公倍数
1.教学目标
1.1 知识与技能：
通过具体实例理解公倍数和最小公倍数的意义。1.2过程与方法：
掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的基本方法，会用集合圈来进行表示说明。1.3 情感态度与价值观：
通过公倍数的学习进而培养学生基本的推理能力和归纳概括能力。
2.教学重点/难点
2.1 教学重点：
掌握用列举法找出两个数的最小公倍数。2.2 教学难点：
理解公倍数以及最小公倍数的意义。
3.教学用具
ppt、题卡。
4.标签
教学过程
一、复习旧知，揭示课题
师：举例说几个3的倍数（PPT课件出示题目。）生：3的倍数有3、6、9、12、15……。师：2的倍数呢？
生：2的倍数有2、4、6、8、10……。师：3和2的最小倍数都是几？ 生：都是他们本身。
师：那么，为什么在说倍数时要加省略号？ 生：一个数的倍数个数是无限的，所以要加省略号。2．抢答题
求4和6的倍数。(课件出示，学生回答)4的倍数有：4、8、12、16、20、24…… 6的倍数有：6、12、18、24…… 拓展：4和6的公倍数有：
12、24……
3．揭示课题：我们已经会求数的倍数，而最小公倍数是在倍数的基础上，认识两个数的公倍数，它必须符合既是一个数的倍数，又是另一个数的倍数，这就是我们这节课要探究的内容。（板书课题：最小公倍数。）
二、创设情境，自主探究
师：同学们，我们今天认识一位建筑工人，他在施工的过程中遇到了一些麻烦，让我们去帮助他解决问题吧……
已知施工墙砖长3dm，宽2dm；问题：如果用这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小的是多少分米？
1．（1）师：我们先来讨论一下问题里面的几个问题： ①“用的墙砖必须是整块”是什么意思？ ② 墙面的边长与墙砖的长、宽有什么关系？ ③ 正方形的边长可以有多少种？最小的是多少？（2）学生讨论（3）学生汇报
师：哪个小组来展示你们的研究成果？ 生①：用纸条证明，（学生在展台演示）正方形的边长为6dm=墙砖长的几倍（3 dm×2 dm）=墙砖宽的几倍？（2 dm×3 dm）
师：这种方法形象直观，非常好，还有不同的结果和方法吗？ 生②：（学生在展台演示）师：大家认为这种方法怎么样？ 生：结果一样，都组成了正方形
师：是的，大家求的结果都是组成正方形，但是大家知道这种求法是利用了什么方法吗？
已知正方形的边长为6 dm或者12 dm，找倍数的方法证明。正方形的边长是墙砖长的几倍？又是墙砖宽的几倍？
当然，使得最终的结果是正方形的方法还有很多，正方形的边长只要是墙砖长或者墙砖宽的公倍数就能够使得所拼图形是正方形。我们来看一下吧。
（4）师小结：这个正方形的边长必须既是3的倍数，又是2的倍数。（出示课件）可以铺出边长是6dm，12dm，18dm……的正方形，最小的正方形边长为6dm。刚才同学们采用了不同方法，但都是先找出2和3的倍数，从而发现它们有公有的倍数6。
··当然，还可以这样来表示：（显示课件）6，12，18，·是 3 和 2 公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中, 6 是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
总结：几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个,叫做它们的最小公倍数。
【设计意图】：：培养学生的创新精神，首先要张扬学生的个性。教师在为学生提供自主探索空间的同时，鼓励学生个性化的发展，体现了找法的多样性，并注意找法的优化，使学生在体验中不断优化方法。
三、巩固应用，内化方法
例题，求18和30 的最小公倍数。（出示课件）学生验证 学生汇报。
3×3× 5 ＝90 生：18和30 的最小公倍数是：2 ×师：那是不是任意两个数都有公倍数呢？请同学们在小组里交流一下。
生：任意两个数都有公倍数，例如2和3的公倍数就是它们两个数的乘积。18和30的公倍数是利用了公有的质因数除以2，然后用公有的质因数除以3，直到两个商是互质数为止。
师：通过刚才同学们的汇报我们可以看出：任意两个数都有公有的倍数，也就是公倍数。什么是公倍数？
生：两个数公有的倍数就是他们的公倍数。师：公倍数有多少个？
生：有无数个，找到两个数的一个公倍数，用它去乘
2、乘3……所得的积一定是这两个数的公倍数。
师：我们发现任意两个数都有公倍数，而且每组公倍数的个数都是无限的。那么三个数之间是否也有公倍数？四个数呢？五个数呢？
生①：举例:
2、4和5的公倍数是20。
生②：无论几个数，只要相乘，它们的乘积一定是它们的公倍数。师：那你能找出最大的或最小的公倍数吗？（出示课件）生：没有最大的，只有最小的。师：为什么？
生：因为公倍数的个数是无限的，所以没有最大公倍数。大家来总结用短除法求两个数的最小公倍数的方法：求两个数的最小公倍数，先用这两个数 公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。
【设计意图】：：通过引导学生对具体问题作进一步研究，帮助学生加深对公倍数、最小公数意义的理解，使表象更加清晰。由此让学生亲身经历了一个从具体到抽象的数学化的过程。
1.请找出30和42的最小公倍数。
提示：一个数的倍数应当包含这个数所有的质因数，所以求得30和42的最小公倍数就是把这两个数分解质因数。
操作方法：用公有的质因数2和3去除，直到两个商是互质数为止。
思考：他们的公倍数应当含有哪些质因数？ 30的质因数2、3、5；42的质因数2、3、7 它们的最小公倍数应当含有哪些质因数？
必须含有全部公有的质因数2、3和各自独有的质因数5、7 3×5×7=210 所以，30和42的最小公倍数是：2×我们用刚才学习的方法试一试，求18和30的最小公倍数。
练习：
1．先把下面两个数分解质因数，再求出它们的最小公倍数：
2.用你喜欢的方法求10和15的最小公倍数（1）10的倍数：10, 20, 30, 40, 50, 60… 15的倍数：15, 30 ,45, 60, 75…
15和10的最小公倍数是30。(列举法）（2）15的倍数：15, 30 ,45, 60, 75… 15和10的最小公倍数是30。（筛选法）5（3）15=3× 10=2×5 15和10的最小公倍数=5×2×3=30 3.下面的说法对吗? 说一说你的理由。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（错）（2）两个数的积一定是这两个数的公倍数。（对）
（3）4和10的公倍数有20和40。（错）3.判断，并说出理由
28和42的最小公倍数是7×4 × 6 =168（错误）
24和32的最小公倍数是2×2 × 2 =8(错误)5.找出下列每组数的最小公倍数，你发现了什么？
我们发现：当两个数是倍数关系时，这两个数的最小公倍数就是较大的数；
我们发现：当两个数是互质数时，这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。6.下面两个数的最小公倍数是几？
拓展：相信你一定能很快的说出它们的最小公倍数。
7.李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，已知月季每4天浇一次水，君子兰每7天浇一次水。请问：至少多少天以后给这两种花同时浇水？ 和7的最小公倍数是 28。
答: 至少要 28天以后给这两种花同时浇水。
8.应用题：一个班的人数可以分成4人一组，也可以分成6人一组，都正好分完，而这个班的总人数又在40人以内，可能是多少人？（出示课件）4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 6的倍数：6，12，18，24，30，36 由此可以得出，这个班的人数可能是：12、24、36人。
课堂小结
这节课我们学到了什么？有什么收获？
几个数公有的倍数就是它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。如果两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数。如果两个数是互质数，两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
如果两个数既没有倍数关系，又不是互质数，我们可以用（列举法、短除法或分解质因数法等）求两个数的最小公倍数。
板书
最小公倍数 3和2的公倍数……
西兰公国1967年建国, 人口从来没有超过40人, 国家性质一般认为是君主立宪制, 但没有关于该国宪法的报道和传闻。国家元首为建国者、前英国皇家海军退役少校派迪·罗伊·贝茨。第一任“首相”为德国人亚历山大·G·阿亨巴赫教授。但由于其发动政变, 企图武力颠覆公国的政权, 遭到罗伊镇压, 并以叛国罪论处。
“建国”伊始
这个国家的建立颇具喜剧色彩, 它的领土是二战的产物。1942年, 时值第二次世界大战, 作为实行默恩塞尔海洋堡垒计划的一部分, 英国皇家海军开始在英格兰开工建造怒涛堡垒。怒涛堡垒的底部是一艘驳船, 驳船上的两座高塔将驳船与顶部的甲板相连, 建筑物都座落在甲板上。建造完毕后, 驳船被拖拽到萨福克郡外海面上的怒涛沙洲 (Rough Sands sandbar) 的指定区域, 之后被故意凿沉, 以使驳船陷入沙洲的预定位置。因此, 现在看到的怒涛塔只是露出水面的部分。
1967年, 英国皇家海军退役少校罗伊占领了被废弃的英国海军遗留下来的堡垒——怒涛塔, 随后, 罗伊根据自己对于《国际法》的解释, 声称对怒涛塔行使主权, 甚至还宣称怒涛塔周围半径12海里的水域都是该国的领海。有了这些所谓的领土和领海, 西兰公国就正式诞生了。罗伊自封西兰公国亲王, 其妻子琼被封为王妃, 儿子麦克·贝茨 (Michael Bates) 理所当然地做了王子。
罗伊建国之后, 先后给西班牙、葡萄牙、奥地利、德国、法国、芬兰、瑞典等欧洲国家的外交部发出了公函, 陈述了自己领地的位置并征询各国对该领地是否有主权要求。当均得到否定的回答后, 罗伊大喜过望, 他宣称:这实际上证明各国已承认了这一岛国的存在并无权干涉其主权。
对罗伊的建国举动, 英国政府最初并不知道。直到西兰公国建国之后的第二年, 也就是1968年, 一艘英国海军的巡逻船只进入了西兰公国领海。关于该巡逻船人员前往公国附近海域的目的, 有两种说法, 一种是他们要驱逐居住在堡垒上的罗伊等人, 另一种说法是他们为了修理附近的导航浮标。该巡逻船进入西兰公国海域之后, 罗伊和儿子麦克·贝茨鸣枪示警, 并向巡逻船只投掷燃烧瓶, 该工作船由于受到袭击, 立即逃离该海域并迅速报告了政府。这是西兰公国第一次真正意义上维护了“领土”的完整。然而好景不长, 当年10月, 罗伊亲王和王子到英国采购食品, 甫一登岸, 就被等候已久的警方拿下。
然而, 在法庭上, 满以为无需多费口舌就可以把这个“痴汉”送进牢房的检察官却挨了当头一棒。1968年11月25日, 罗伊被法庭判无罪并获释。根据英国法律, 英国的领海是指海岸线以外3海里之内, 而罗伊一家占据的地方却离海岸线7海里, 因此并不算是英国的领海范围。罗伊因此更加嚣张, 因为此次庭审, 至少从法律上证明了这个小领地与英国政府无关。可笑的是, 他却忘记了能证明此结论的恰恰是英国的法律。
建设“国家”
建国之后, 罗伊专门请人设计了西兰公国的国徽和国旗。西兰公国国徽中央是一面象征忠诚的盾, 盾的两侧各有一只挺立的鱼尾狮, 盾的上方是皇冠, 皇冠之上是象征光明和力量的灯塔。国徽设计得很漂亮, 让来此旅游的游客们爱不释手, 罗伊也因此获利不少。
1969年, 西兰公国印制了第一批护照, 不过除了罗伊的家人和几个亲属外没人申领。于是他把护照赠送给一些帮助过他的朋友和到过西兰公国的人。紧接着, 西兰公国以西兰邮政的名义发行了纪念多位著名航海探险家的邮票。由于英国邮政不承认这种邮票的合法性, 罗伊只好在贴好公国邮票的信封上加贴英国邮票。
1974年, 西兰公国的金银币发行了。金币只有一种样式, 而银币分为两种, 这些金属铸币的背面都是公国的国徽, 只是正面有异:金币是线条优美的鲸, 而小银币则是王妃琼的侧面头像;大银币背面是罗伊本人的头像。西兰公国在其《货币法》中宣称, 1西兰元等于1美元。这样看起来倒挺公平, 可是小银币的面值是10西兰元, 大银币的面值是20西兰元, 其实际造价却远远低于其面值。然而但凡到此旅游的游客无不想换几枚稀罕的西兰币回去留作纪念, 这样一来, 可着实让公国收入不菲, 并一度成为该国的主要收入来源。
那么西兰公国究竟有多少公民?除了亲王一家和一些亲友外, 实在是寥寥无几。据西兰公国自已的报道, 到2002年3月, 公国已有近300人拥有了西兰护照, 也就是拥有了西兰国籍。但一些报纸透露, 其中拥有在西兰人工岛上永久居住权的连40人都不到。
政权之争
1978年, 西兰公国发生了一场政变。时任西兰公国首任首相的德国人阿亨巴赫将罗伊夫妇骗到澳大利亚后, 率领一批外国人武装占领了人工岛。他们把王子锁进小铁屋, 还准备把他秘密押往荷兰作为人质, 以强迫罗伊夫妇放弃西兰政权。罗伊得知此事之后, 立即在澳大利亚招募了一支雇佣军, 他们乘直升飞机飞抵西兰上空, 向下不停地猛烈射击, 岛上人立刻抱头鼠窜。不久, 这场以首相为首的政变便被镇压, 阿亨巴赫成为俘虏, 并连同其他俘虏一起被关进了公国的国家战俘营, 而战俘营曾经是作为弹药库使用的。
此次政变在整个欧洲引起了不小的震动, 并惊动了德国以及荷兰两个大国的外交部, 两国外交部致函西兰公国, 请求放人。大国外交部的信函让罗伊亲王颜面大悦, 他亲自签署特赦令, 把荷兰人统统释放, 而阿亨巴赫仍被扣留, 因为他拥有西兰公国的护照, 参与绑架王子, 属叛国罪。
其后, 荷兰和德国政府都曾向英国政府提出要求, 要求英国政府设法推动释放阿亨巴赫。但是英国政府援引1968年的判例, 宣称西兰不在他们的管辖范围内, 他们无权干预此事。于是, 德国政府决定派遣一名外交官前往怒涛塔, 直接与罗伊亲王磋商。在几周的谈判之后, 罗伊的态度明显温和了许多。后来, 他还宣称德国外交官对西兰的访问, 标志着德国政府对西兰公国“事实上”的承认。但德国政府始终没有承认他的这一说法。
在被遣送回国之后, 阿亨巴赫在德国组织了一个流亡政府。为了与罗伊亲王针锋相对, 他自封“枢密院院长”。1989年, 阿亨巴赫因健康原因辞职之后, 原流亡政府“经济合作大臣”约翰内斯·塞格尔接管了流亡政府的控制权, 并自封“首相兼枢密院院长”。之后, 塞格尔继续宣称, 他才是西兰的正统统治者。
由于这场政变及战争被欧洲各大报小报猛炒, 西兰公国因此声名大震, 游客纷纷涌向英格兰东海岸来寻找这个传奇国家。
“国家”现状
很长一段时间, 一家注册在西班牙的公司一直在大量制造和出售西兰公国的护照。据传, 这家公司与塞格尔的流亡政府有关。虽然贝茨家族并不承认这些护照的“合法性”, 但是买家还是趋之若鹜, 甚至牵涉到一些国际上的著名犯罪案件, 例如詹尼·范思哲谋杀案。由于这些护照的流通量相当庞大 (估计在15万张左右) , 1997年, 贝茨家族宣布所有西兰公国护照均为无效, 包括他们自己在之前30年所发行的西兰公国护照。
1999年, 西兰公国历经30多个春秋, 亲王已步入耄耋之年, 且疾病缠身, 因此, 罗伊封王子迈克尔为摄政王以代理国政。
2006年6月23日, 西兰怒涛塔发生大火, 因为海上消防队员只是通过船只发射水柱灭火, 并没有进入塔中, 这次火灾的损坏程度并不清楚。有报道说, 摄政王迈克尔曾经试图进入塔中, 并在计划重建国家。
2007年年初, 贝茨家族于《泰晤士报》刊登广告, 愿意以6500万英镑的价格出售整个国家。不过理论上公国不能出售, 所以实际上只是将西兰公国的“统治权”转让。
西兰公国孤单的日子将不会持续很久, 因为它马上将要迎来新邻居了:西兰公国附近的海面将会被用于建造一批离岸风力发电厂。
法律争论
关于西兰公国是否是一个合法国家的法律争论, 主要集中在国家的构成学说上。其中一个观点认为, 是否为其他国家所承认比其他标准重要得多, 这一点在《国际法》中得到了广泛的体现。由于现在尚未有任何国家承认西兰公国的存在, 因此基于以上标准, 西兰公国还不能成为一个国家。
在国家的构成学说中, “对存在的承认”与“外交承认”是两个不同的概念。举例来说, 尽管英国政府在外交上不承认利比亚, 但是国际社会对利比亚的承认确是公认没有疑义的。而英国政府也会在必要的时候采取特殊措施保护在该国的侨民, 同时它也不承认任何其他国家对利比亚的领土拥有主权。前述的英国法庭在1968年的判例之后, 英国已经将它的领海范围延伸到了12海里。这样一来, 根据1958年之后的《国际法》, 英国便可以在以上区域行使其合法权利。不过, 事实上怒涛塔只是一艘沉船, 并不适用于以上的裁决。
根据1982年签署的《联合国海洋法公约》, 由于没有任何过渡法承认由某个邻近国家建造的建筑物, 其国际法意义上的存在地位并不被承认。这也就是说, 一个人工岛屿既不能在建造完后作为一个主权国家存在, 也不能成为一个国家的领土, 或者是作为计算某国的专属经济区或领海的延伸基点。不过, 由于怒涛塔不是一个人工岛, 而是一艘沉船, 所以这些条款并不能适用, 因此作为物主的英国政府 (因为英国政府是其建造者, 且拥有怒涛塔下大陆棚的主权) 有必要将它拆除。
施家小学到底有多小?炎炎夏日，用两根粗铅丝，穿上四块苇帘子，就能遮盖整个小院。小则小矣，却不乏儿时的欢乐。苇帘遮盖下的小院就是我们欢乐的“大操场”。上体育课时，体育老师王起林只用几个沙包和铁环就能让孩子们玩得意兴阑珊。他用石灰粉在地上画几个白圈，在几米之外让孩子们练习沙包掷准。他在地上等距放几个铁环，让孩子们双脚跳进铁环，然后自脚至头将那环套将出来，先者为胜。记得总有几个“笨家伙”慢如蝉蜕，日子一长，架不住老师的催促和同学们的奚落，慢慢竟變得身手矫捷。
遇有“大操场”施展不开的跳高等项目，就将课桌椅堆在教室一隅，听王老师身体力行地讲跳高、跳远。一次，他费劲巴力地向孩子们讲完跳高的要领后提问：“起跳时，需要什么地方使劲?”一个叫潘增水的同学答曰“脚面使劲”，引来爆堂之笑。后来，为了不使理论和实践脱节，只好向附近的甘井学校借操场用。孩子们排队去那里上体育课时，有点像如今的大企业专门到人民大会堂、钓鱼台去开会，隐含一种炫耀和张扬，走在路上精神头儿十足，口号吼得山响，生怕周围的大人们看不见。雨天，干脆在教室里玩起“捞小鱼”的游戏，“一网不捞鱼，二网不捞鱼，三网捞个小尾巴、尾巴、尾巴鱼……”
施家胡同有一对著名的“夫妻老师”——计武和张立英。他们先后当过我的班主任，夫妻两人截然不同的教学方法都使我受益终身。张立英老师执教严苛，上课时的每一个小动作都难逃她的法眼。放学后经常和其他几个淘气包儿到她的办公桌前枯站，巴巴地望着她批改作业。她与其他老师随意交谈，对旁边站成一排的鼻涕孩子视若无物。倘若她剑眉一竖，对谁开始了劈头盖脑的一通批评，当事人心里马上就会涌起一阵窃喜。因为这预示着他可能会在家长来接之前被勒令“滚蛋”回家。否则，她会连接孩子的家长们一同“教育”一番，弄得淘气包们先挨(老师)批、再挨(家长)揍，身心俱损。时间一长，曾对她心存敌意。但当“文革”初起，眼看着一帮高年级的红卫兵给她剪了阴阳头，撅在台子上斗，心里那点宿怨立时如硫酸泻地，尽失了先前的劲道。细想来，张老师对我的调理还是非常成功的，例如长时间的专心听讲，心无旁骛的潜心做事，就是被她骂将出来的好习惯。
如果说，张老师是对我们生杀予夺的“活阎罗”，那么她的丈夫计武老师简直就是普度众生的活菩萨。他能随时发现每一个同学的优点，一不留神，你就可能被他“抬举”了。我喜欢画画，上图画课时，他总会长时间地站在我的身后。每当感觉他那可爱的身躯就伫立在我的身后，便有一阵阵莫名的亢奋，画得也格外专心。“你们看看，这可是一个三年级的孩子画的哟!后生可畏、后生可畏哟!”听到这些，我总会更加发奋地画画，按照计老师的要求疯狂地为班集体做事情，渐渐变成了一个很乖的孩子。
作为班主任，计武老师颇进行过几次大胆的教育改革尝试。一次，两个学生逃课，他不批不罚，带着两个淘气包来到人民英雄纪念碑前，让他们用了一个上午的时间默诵周总理题写的碑文。有人说这种做法有点“乌托邦”，有点“理想主义”。其实，倘若大环境允许，计武老师的教育思想及其成果是很有一番推广价值的，可惜突然降临的文化大革命断送了这一切。
那年暑假，学校像往年一样，准备了图书和一些玩具向孩子们开放，所不同的是在阅览室旁边开辟出了一间“大字报室”，孩子们可以在那里使用备好的纸墨写批判某老师的大字报。屋子小，贴不了几张，就拉上了几根铁丝，写完的大字报就像晾被单似的一层层叠落在上面翻着。后来，运动升级，小小的施家胡同小学里也充满了血腥。小后院有一个自来水井，一个出身不好的老师曾被禁锢在井中，木盖盖住，只露出头颈，被红卫兵们以热水浇头，死去活来，惨不忍睹。
学生如流水，看门总一人。学校传达室曾有一个常年看门的刘大爷，时年该有六十多岁，没文化，夏天总是忽闪着衣襟，露出半拉大肚子，笑如弥陀。有淘气的高年级小子经常趁他不备弹他的“脑奔儿”，他亦不恼。我有一次迟到，学校的两扇黑漆木门已经关闭，想拍门进去又怕老师说，正犹豫着，刘大爷猛开门把我拉进来说：“你小子又‘晚车’了吧?赶紧喊报告进去，发昏也脱不了死啊!”话糙理不糙，好多年后，我才领悟到它的道理——个人需要自信、果决、坚韧，犹豫和彷徨是会贻误很多人生机遇的啊!就是这样一个好老头儿也受到了“文革”的冲击，运动的时候，他时常挨打，后来就再也看不见他了。
几十年过去了，想当初的施家胡同小学如今变成了一个小旅馆，外地人的南腔北调代替了昔日孩子们的琅琅读书声，从这里走出的孩子有的已经两鬓斑白、步履蹒跚了。前些日子突然得到了计武和张立英老师的消息，说他们现在身体尚好并时时挂念着我们。尽管母校已不在，但儿时的老师和同学，依然是每个人温馨的牵挂。
1、使学生掌握公倍数，最小公倍数的概念。
2、使学生会用找倍数的方法求两个数的最小公倍数。
3、培养学生[此文转于斐斐课件园ffkj.net]观察、迁移、概括的能力和主动探求新知的能力。
教学重点:使学生理解公倍数的有关概念 教学难点:会用找倍数的方法求最小公倍数 教学准备:幻灯片
一、情境引入
1、谈话引入
生活中存在着很多数学问题,今天,我们一起来研究赛车中的有关数学问题。（出示场景：在跑道上有蓝色和黄色两辆赛车。）
2、找出4的倍数
先让我们来了解一下蓝色赛车。（幻灯出示图片及说明：蓝色赛车从起点出发后每隔4分钟会再次经过起点。）
⑴同学们你们认为从起点出发后，蓝色赛车第一次经过起点是几分钟后？（学生回答，师板书：4分钟）；
⑵那第二次经过起点是几分钟后？（学生回答，师板书：8分钟）；
⑶第三次呢？（学生回答，师板书：12分钟）如果蓝色赛车不停的开它经过起点的次数说的完吗? ⑷最后完板书如下：4、8、12、16、20、24„„
⑸看到这一排数你想到了什么？（这些都是4的倍数，板书）
3、找出6的倍数
现在，再让我们了解一下黄色赛车（幻灯出示图片及说明：黄色赛车从起点出发后每隔6分钟会再次经过起点。）
⑴你们认为从起点出发后，黄色赛车第一次经过起点是几分钟后？（学生回答，师板书：6分钟）；
⑵那第二次经过起点是几分钟后？（学生回答，师板书：12分钟）； ⑶第三次呢？（学生回答，师板书：18分钟）„„ ⑷最后完板书如下：6、12、18、24、30„„
⑸看到这一排数你想到了什么？（这些都是6的倍数，板书）
二、理解公倍数和最小公倍数的含义
1、感知4和6的公倍数
提问：如果这两辆赛车同时从起点出发，至少多少分钟后它们才能同时经过起点？(1)学生猜一猜(2)观看课件演示，请同桌的两个人合作看好从开始到第一次同时经过起点,两辆赛车分别跑了几圈。（3）汇报结果
这两辆赛车同时从起点出发后，第一次同时经过起点时，蓝色赛车跑了3圈也就是12分钟后，黄色赛车跑了2圈，也[内容来于斐-斐_课-件_园ffkj.net]是12分钟后，所以至少12分钟后它们才能同时经过起点
那第二次同时经过起点是几分钟后？ 第三次呢？两辆赛车不停地开，他们同时经过起点的次数说得完吗？（板书：12、24、36„„）
2、认识4和6的公倍数 你们发现12这个数有什么特点吗？（指名回答：12既是4的倍数，又是6的倍数。）既是4的倍数，又是6的倍数，我们说12是4和6公有的倍数。也叫做4和6的公倍数 4和6公倍数除了12还有吗？说的完吗？为什么？
3、认识4和6的最小公倍数
在这些公倍数里，最小的是哪个？（学生回答：12）我们给它个名称叫“最小公倍数”（板书：4和6的最小公倍数是12）
4、归纳公倍数和最小公倍数的概念
根据你的理解，说说什么是公倍数？（板书课题：公倍数）（学生回答）出示：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数； 什么是最小公倍数？（完成课题：最小公倍数）其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
5、巩固公倍数的含义
用找倍数的方法求8和12的公倍数 学生完成在作业纸上 集体交流
三、研究互质的两个数的最小公倍数
1、回顾找最小公倍数的方法
你会找两个数的最小公倍数吗？（同桌先互相讨论一下方法）
学生汇报：先分别找出每个数的倍数，再找出它们相同的就是公倍数，其中最小的一个就是最小公倍数
2、用找倍数的方法求下面每组数的公倍数和最小公倍数 ⑴2和3
⑵5和4 学生在作业纸上独立完成，汇报结果
3、发现规律
你发现了什么？（它们的最小公倍数是两个数的乘积）谁能很快说出4和9的最小公倍数？（学生回答）
如果两个数是什么关系，它们的最小公倍数是两个数的乘积？
1、通过练习与对比，使学生发现和掌握求两个数最小公倍数的一些简捷方法，进行有条理的思考。
2、通过练习，使学生建立合理的认识结构，形成解决问题的多样策略。
3、在学生探索与交流的合作过程中，进一步发展学生与同伴合作交流的意识和能力，感受数学与生活的联系。
教学过程：
一、基本训练
1、我们已经掌握了找两个数的公倍数和最小公倍数的方法，这节课我们继续巩固这方面的知识，并能够利用这些知识解决一些实际问题。
（板书课题：公倍数和最小公倍数练习）
2、填空。
5的倍数有：（）
7的倍数有：（）
5和7的公倍数有：（）
5和7的最小公倍数是：（）
3、完成练习四第5题。
（1）理解题意，独立找出每组数的最小公倍数。
（2）汇报结果，集体评讲。
（3）观察第一组中两个数的最小公倍数，看看有什么发现？
每题中的两个数有什么特征呢？（倍数关系）可以得出什么结论？
（4）第二组中两个数的最小公倍数有什么特征？（是这两个数的乘积）
在有些情况下，两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。
4、完成练习四第6题。
你能运用上一题的规律直接写出每题中两个数的最小公倍数吗？
交流，汇报。
说说你是怎么想的？
二、提高训练
1、完成练习四第7题。
（1）理解题意，独立完成填表。
（2）你是怎样找到这两路车第二次同时发车的时间的？
你还有其他方法解决这个问题吗？（7和8的最小公倍数是56）
2、完成练习四第8题。
（1）理解题意。
（2）“每隔6天去一次”是指7月31日去过以后，下一次训练日期是8月6日。“每隔8天去一次”指的是什么呢？
你能说说，他们下次相遇，是在几月几日吗？（8月24日）
你是怎样知道的？
要知道他们下次相遇的日期，其实就是求什么？（6和8的最小公倍数）
三、课堂小结
通过练习，同学们又掌握了一些比较快的求两个数最小公倍数的方法，并能运用这些方法解决一些实际问题。
这台“定时神针”会实现约3000万年误差1s的超高精度，是国际首台在轨运行并开展科学实验的空间冷原子钟，也是目前在空间运行的最高精度的原子钟。那么，它是怎样达到这样的超高精度的呢？它又是用来干什么的呢？
空間冷原子钟是科学家们在地面喷泉原子钟的基础上，将激光冷却原子技术与空间“微重力”环境相结合的喷泉冷原子钟，主要包括物理单元、微波单元、光学单元和控制单元四个组成部分。相比于之前在太空中运行的最高精度为300万年误差1s的热原子钟，这台冷原子钟将时间精度提升了10倍。
机械表1天差不多有1s误差，石英表10天大概有1s误差，氢原子钟数百万年有1s误差，而这台冷原子钟则可以做到3000万年误差1s。
空间冷原子钟达到超高精度的秘诀主要在于“高、冷”，即一方面得益于太空中“天宫二号”的“微重力”环境，另一方面则是因为其自身的“冷”。
在“微重力”环境下，原子团可以做超慢速匀速直线运动，基于对这种运动的精细测量可以获得较地面上更加精密的原子谱线信息，从而可以获得更高精度的原子钟信号，实现在地面上无法实现的性能，这是原子钟和时间基准发展历史上的重要突破。
此外，利用激光冷却技术，将原子气体冷却至极低的温度时，极大地消除了原子的热运动对原子钟性能的影响。
空间冷原子钟可以在太空中对其他卫星上的星载原子钟进行无干扰的时间信号传递和校准，从而避免大气和电离层多变状态的影响，使得基于空间冷原子钟授时的全球卫星导航系统具有更加精确和稳定的运行能力。
同时，冷原子技术的发展大幅度提高了许多实验的精度，使原来不可能进行的实验成为可能。比如在开展深空导航定位方面，若能在空间合适的位置放置高精度原子钟，则可以实现大尺度的高精度导航。
原子钟使计时精度飞速发展，而空间冷原子钟更是人类计时史上的一场革命。
在历史长河中，人们对于时间一直有自己的判断和计量方法，日晷、水钟、沙漏等计时装置标志着人造时钟的出现。随着钟摆等可长时间反复做周期性运动的振荡器的出现，人们发明了真正可持续运转的时钟，如摆钟。在此基础上逐渐发展出日益精密的机械钟表，计时精度达到基本满足人们日常计时需要的水平。随着晶体振荡器的发明，小型化、低能耗的石英晶体钟表代替了机械钟表应用在电子计时器和其他各种计时领域。至今，石英晶体钟还是主要的计时工具之一。
在20世纪40年代，科学家研制出了比晶体钟更高精度的原子钟，随后在此基础上研制出了喷泉冷原子钟。
2016年，经过科学家们近10年的努力，中国第一台空间冷原子钟研制成功并随“天宫二号”进入太空开展工作，不仅为各种量子敏感器奠定了技术基础，而且在不久的将来一定还能在一系列重要领域中作出更大的贡献。
梵蒂冈城
梵蒂冈城位于罗马, 占地约0.44平方千米, 于1929年建立, 城内大约有1490名常住居民, 公民大部分是神职人员, 包括主教、神父、修女, 以及著名的瑞士卫队 (一支教皇的志愿近卫队) , 是一个由罗马主教统治城邦的主权国家。其领土包括圣彼得大教堂、西斯廷教堂、中世纪花园和其他一些建筑及博物馆。
摩纳哥
摩纳哥国土面积1.98平方千米, 是世界上第二小国, 也是世界上第二小的君主制国家。摩纳哥位于欧洲西南部, 被法国和地中海环绕, 人口大约3万, 是世界上人口最密集的国家之一。该国的主要产业是旅游业, 每年都有许多人来这个小国赌博和享受这里舒适的天气。
瑙鲁岛
瑙鲁岛位于南太平洋的密克罗尼西亚, 是一个占地21.3平方千米的岛国。瑙鲁共和国是世界上最小的岛国, 于1968年获得独立, 人口约9000人。
图瓦卢
位于太平洋的图瓦卢也是一个岛国, 占地约25.9平方千米。图瓦卢于1568年被人们发现, 一直处于英国的统治之下, 1978年获得独立。该国人口10472人, 由于没有任何自然资源, 图瓦卢是世界上最不发达的国家 (低度开发国家) 之一。
圣马力诺
圣马力诺占地约62.1平方千米, 是世界上第五小国, 也是欧洲理事会中人口最少的国家。然而, 圣马力诺却是世界上最古老的主权国家, 其历史可以追溯到公元301年的9月3日。该国的宪法于1600年颁布, 是世界上第二古老的宪法共和国。同时, 圣马力诺也是世界上最富裕的国家之一, 有预算盈余, 却没有国债。
列支敦斯登
列支敦斯登位于欧洲, 被瑞士和奥地利环绕, 占地159.8平方千米。列支敦斯登也是最富裕的国家之一。该国是一个非常受欢迎的商务中心, 注册公司比该国的人口还多, 而且这里也是欧洲冬天最受欢迎的旅游地之一。
马绍尔群岛
马绍尔群岛是位于太平洋的岛国, 首都马朱罗, 土地面积181平方千米。群岛大部分由环礁和岛屿组成, 大约有6.2万人口。马绍尔于1986年从美国独立, 自然资源奇缺, 美国给予经济资助。
塞舌尔群岛
塞舌尔群岛占地约450.6平方千米, 是世界第八小国, 人口8.4万。这个群岛包含115个印度洋上的岛屿, 主要产业是旅游业, 重要经济来源系出口肉桂、椰干和香草, 1976年独立。
马尔代夫
位于印度洋的马尔代夫无论从占地面积还是人口来说, 都是亚洲最小的国家。马尔代夫占地约297.8平方千米, 人口约39.5万, 有1192个小岛, 但是只有200个小岛有人口居住, 全国三分之一的人口居住在首都马累。主要经济来源是旅游业。
圣基茨和尼维斯
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最小公倍数练习课01-02
《公倍数和公因数》提高练习10-20
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