分段函数教案

分段函数教案（共8篇）

分段函数教案 篇1

      

一、知识与技能：

通过实例，让学生总结、体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的作用，培养学生数学来源于实际又服务于实践的意识或观念，增强学生运用所学知识解决实际问题的能力。经历映射概念的提出过程，体会由特殊到一般的思维方法，掌握映射的概念，会判断一个对应关系是否是映射。

体会用映射刻画函数的方法，理解函数是一种特殊的映射。

二、过程与方法：

自主学习，了解作图的基本要求。

探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程。会判断一个对应是不是映射。

重视基础知识的教学、基础技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感态度与价值观：

培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想。

使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚韧不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。  

四、重点：分段函数及其表示，映射概念的理解。

五、难点：分段函数解析式的建立及图象的描绘，用映射来定义函数。

六、分段函数的定义：对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

注意：

 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则。

 定义域是各段函数定义域的并集，值域是分段函数值域的并集。 求分段函数值时，应根据函数自变量的值选择相应的解析式求解。

 作分段函数的图象时，应分别分段作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可。

七、例6：思考：

 自变量的范围是怎样得到的？

 自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？  每段上的函数解析式是怎样求出的？  画图象要注意什么？

八、函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系。”如果将数集扩展到任意的集合，会得到什么结论呢？什么是映射？

九、映射的定义：

十、设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x。在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。

象与原象：

y是x在映射f作用下的象，记作f(x),x称做y的原象。

其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).十一、映射要注意什么？

 有三个要素：两个集合，一个对应关系，三者缺一不可。 A中每个元素在B中都有唯一的元素与它对应。 对应可以是“一对一，多对一，”但不能是“一对多”。

十二、练习：判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射哪些不是，为什么？

1．ABN*,对应关系f:xyx3

x0 x01,y0,1,对应关系f:x2．AR,B0,3．ABR,对应关系f:xyx x4．AZ,BQ,对应关系f:xy5．

十三：作业：课本第23页：第3题。第24页第8题。

分段函数教案 篇2

一、分段函数的确定

首先要准确确定分段点并划分自变量的取值区间, 然后根据不同的区间正确确定函数关系式。对于分段函数通过+、-或复合的新分段函数, 关键是确定新分段点, 重新划分区间, 还要注意只有在各分段函数的定义域有公共区间才能进行复合。

二、分段函数定义域

分段函数的定义域各个部分自变量取值的并集。

三、分段函数的函数值

根据x的所在区间, 正确选取相应的表达式, 代入求计算即得。

四、分段函数的反函数

首先判断函数的定义域与值域是否一一对应 (或函数是否有单调性) , 确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的反函数并确定相应自变量的取值范围。

五、分段函数的奇偶性

首先判断定义域是否关于原点对称, 是的话, 分别用-x代替解析式中的x并解出结果。注意自变量的取值范围相应改变, 也可以通过作图判定。

六、分段点的极限

七、分段函数的连续性

由于一切初等函数在它的定义域内是连续的, 因此分段函数的连续性关键是判断分段点的连续性。

八、分段函数的导数

非分段点可利用公式求出导数再代入即可。对于分段点且两侧表达式相同的可根据定义。对于分段点用两侧表达式不同的, 必须求出左导和右导。

九、分段函数的不积分

分别求出各区间段相应函数的不定积分, 再由连续性确定常数。

十、分段函数的定积分

利用定积分的可加性, 分成多个定积分。注意要根据分段区间选取相应被积函数。

十一、结语

在讨论分段函数的有关问题中, 分段点是个特殊点, 一般要分段处理。特别是求分段点极限、导数, 以及判断连续性, 都要“左看右看”, 谨慎处理。

摘要：本文概括了分段函数常见问题的解决方法。

关键词：分段函数,常见问题,解决方法

参考文献

高考热点——分段函数 篇3

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

分段函数是高中数学的热点，也是高考的重要考点，下面就分段函数的概念及热点题型进行解析.

1.分段函数的定义

定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数.

注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数，也不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系.

2.分段函数的定义域及值域

依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集.最大（小）值就是每段函数值中最大（小）的那一个.

3.分段函数的图像

画分段函数的图像，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图像.

考点1分段函数的求值

例1设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，，则f（32）=.

答案：1

解析：f（32）=f（-12）=-4×14+2=1.

点评：本题考查了函数的周期性和分段函数的定义.解决分段函数的关键在于抓住自变量的范围和它对应的解析式.根据自变量的取值分别代入相应的函数解析式求值.

跟踪练习：定义在R上的函数

f（x）=log3（1-x）x≤0

f（x-1）-f（x-2）x>0，则f（2014）=.

答案：log32

解析：因为当x>0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），所以f（x+1）=f（x）-f（x-1），所以f（x+1）=-f（x-2），即f（x+3）=-f（x），所以函数的周期为6，故f（2014）=f（4）=-f（1）=-[f（0）-f（-1）]=-（log31-log32）=log32.

考点2利用分段函数求参数的取值范围

例2设函数f（x）=x2+x，x<0

-x2，x≥0，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是.

答案：a≤2

解析：由题意知f（a）<0

f2（a）+f（a）≤2

或f（a）≥0

-f2（a）≤2，解得-2≤f（a）<0或f（a）≥0，因此，f（a）≥-2.

当a<0

a2+a≥-2或a≥0

-a2≥-2时，解得a≤2.

点评：本题考查了复合函数和分段函数的概念.根据自变量的取值范围的不同分别代入相应的函数解析式，列出不等关系式，求出参数的取值范围.

跟踪练习：

函数f（x）=-x+3a，x<0，

ax，x≥0，（a>0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是 .

答案：[13，1）

解析：据单调性定义，f（x）为减函数应满足：0

3a≥a0，即13≤a<1.

考点3分段函数的性质

例3已知函数f（x）=x2+1，x>0

cosx，x≤0，则下列结论正确的是（）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是增函数

C. f（x）是周期函数

D. f（x）的值域为[-1，+∞）

答案：D

解析：由于分段函数的左右两边的函数图像不关于y轴对称，所以A不正确，由于图像左边不单调，所以B不正确，由于图像x>0部分的图像没有周期性，所以C不正确，故选D.

点评：判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则.

跟踪练习：判断函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x，（x≤0）的奇偶性.

解析：

当x<0时，-x>0，f（-x）=（-x）2-（-x）=x2+x=f（x）；

当x>0时，-x<0，f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x=f（x）；又f（0）=0.

综上所述，在函数定义域内始终有f（-x）=f（x），

∴函数f（x）=x2-x，（x>0）

x2+x（x≤0）为偶函数.

考点4分段函数的图像问题

例4已知函数f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），若直线y=m与函数f（x）的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是.

答案：（0，1）

解析：在坐标系中画出函数

f（x）=2x（x<0），

log2x（x>0），的图像，可见当0

点评：作出分段函数的各段图像，再观察分析.要特别注意x，y的变化范围.必须熟记基本函数的图像.

跟踪练习：已知函数f（x）=

ax2+2x+1，（-2

ax-3，（x>0）有3个零点，则实数a的取值范围是.

答案：（34，1）

解析：因为二次函数最多有两个零点，所以函数y=ax-3（x>0）必有一个零点，从而a>0，所以函数y=ax2+2x+1（-2

-2<-1a<0

f（-2）>0

f（0）>0

Δ=4-4a>0，解得34

考点5求分段函数的解析式

例5已知f（x）=x2-2x+3，将f（x）在[m，m+1]上的最小值记为g（m），试求g（m）的表达式.

分析：以函数f（x）的对称轴x=1与区间[m，m+1]的位置关系分三种情况讨论，g（m）的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m的一个分段函数.

解析：当对称轴在区间左侧，即m>1时，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为增函数，g（m）=f（m）=m2-2m+3；

当对称轴在区间内时，即0≤m≤1时，g（m）=f（1）=2；

当对称轴在区间的右侧时，即m<0，函数f（x）=x2-2x+3在[m，m+1]上为减函数，g（m）=f（m+1）=m2+2.

综上所述，g（m）=m2+2（m<0），

2（0≤m≤1），

m2-2m+3（m>1）.

点评：求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.

跟踪练习：甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y（km）

与时间x（分钟）的关系，试写出y=f（x）的函数解析式.

解析：当x∈[0，30]时，设y=k1x+b1，

由已知得b1=0，

30k1+b1=2，解得k1=115，

b1=0，∴y=115x.

当x∈（30，40）时，y=2；

当x∈[40，60]时，设y=k2x+b2，

由已知得40k2+b2=2，

60k2+b2=4，解得k2=110，

b2=-2，

∴y=110x-2.

综上，f（x）=115x，x∈[0，30]，

2，x∈（30，40），

110x-2，x∈[40，60].

分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它.

解决分段计费问题_教案 篇4

教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第16页例9，练习四第6～9题。教学目标：

1.经历分段计费问题的解决过程，自主探究分段计费问题的数量关系，能运用分段计算的方法正确解答这类实际问题，在解决有关小数的实际问题的过程中，体会小数乘法的应用价值。

2.在解决问题的过程中，学会解决乘加、乘减实际问题的方法，掌握乘加、乘减的运算顺序，并能准确地进行计算。

3.通过回顾与反思，积累解决问题的活动经验，初步体会函数思想。教学重点：运用分段计算的方法正确解答分段计费的实际问题。教学难点：探究分段计费问题的数量关系，初步体会函数思想。教学过程：

一、联系生活，提出问题

1.同学们，你们都乘坐过出租车吧！你知道出租车是怎样收费的吗？（PPT课件演示。）2.出租车的收费标准是采用分段计费的，像出租车这样的计费方式，不同的行程，用不同的价钱算法，我们称之为“分段计费”，那么今天我们就一起来研究研究“分段计费”问题。

3.板书课题：解决分段计费问题

二、引导探究，解决问题

（一）阅读与理解 1．结合情境，获取信息。

（1）出示例9的问题情境。（PPT课件演示，暂不出示收费标准。）

（2）提问：这一情境中要我们解决的问题是什么？解决这个问题还需要知道什么信息？（出租车的收费标准。）出示收费标准（PPT课件演示）。

(学生观察后找出已知条件和所求问题，交流汇报信息)2.集体交流，理解标准。（教师逐步板书或PPT课件适时演示。）(1)谁来说说出租车的收费标准是什么样的？你是怎样理解的？

(出租车行驶的距离在3 km以内就付7元；出租车从起步到行驶3 km里程，应付的车费都是7元。如果超过了3 km，那么除了要付7元之外，超出的每千米还要加付1.5元，不足1 km也按1 km计算)(2)“不足1 km按1 km计算”又是什么意思？王叔叔的乘车里程是6.3 km，应该按多少千米计算呢？(学生根据收费标准明确用“进一法”取整数，应该按7 km计算)3.教师归纳，概括要点。（PPT课件演示。）

（1）问题中的收费标准是分两段计费的，3 km以内是一个收费标准，为一段；超过3 km又是一个收费标准，又为一段。

（2）超过3 km部分，不足1 km要按1 km计算，也就是要用“进一法”取整千米数。（设计意图：解决分段计费问题的关键是理解题意，尤其是理解计费标准。为了帮助学生理解问题中的收费标准，教师采用条件摘录的方式收集信息，引导学生逐条逐句地解释含义，并结合具体数据（学生的举例的和题中的6.3 km）帮助学生切实理解，在此基础上教师再对收费标准的两个要点进行明确的归纳和概括，既促使学生养成认真审题的良好学习习惯，又有效地突破了分段计费问题的教学关键和难点。）

（二）分析与解答 1.引导分析，尝试解答。(1)讨论。

①想一想，按照收费标准，王叔叔的乘车费用应该分成几部分来计算呢？

(学生讨论得出应该分成两部分来计算，即3 km以内应付的钱数和超出3 km应付的钱数)②想一想：如果全部里程都按每千米1.5元来计算的话，比正常收费多了还是少了？为什么？(教师引导学生明确收费变少的原因)(2)尝试

教师启发引导：我们已经理解了题意，也理解了这个问题中的收费标准是分两段计费的，那么同学们能不能尝试用自己的方法进行解答？请大家根据前面的理解尝试解决这个问题。(学生独立解答，教师巡视，汇报结果)2.讨论交流，解决问题。（PPT课件适时演示解答过程。）（1）预设一（分段计算）：

生：我是分两段计算的，前面3 km为一段，应付车费7元；后面4 km为一段，每千米1.5元，应付车费是1.5×4＝6（元）；再把两段应付的车费合起来就是13元。

师（质疑）：后面一段里程为什么是4 km，计算后面一段车费为什么用“1.5×4”？ 生：根据收费标准，6.3 km按7 km计算，前面一段是3 km，后面一段就是4 km，所以计算后面一段的车费就应该用“1.5×4”。

（2）预设二（先假设再调整）：

生：我是用“先假设再调整”的方法解答的，先假设总里程7 km都按每千米1.5元计算，结果是10.5元；而这样前面3 km的费用少算了7－1.5×3＝2.5（元）；再来调整，用10.5元加上少算的2.5元，所以应付车费13元。

3.积累经验，形成模式。

变换例题条件：如果行驶里程是8.4 km，你还能用刚才的方法计算出车费吗？如果行驶里程是9.8 km呢？（PPT课件演示。）

完成书中的表格

（三）回顾与反思

三、巩固新知，拓展延伸

四、全课总结

这节课我们学习了哪些知识？谈一谈本节课的收获。

五、板书

分段函数教案 篇5

湖南省泸溪县第一中学 邓德志

一、教材分析

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础，研究办法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章的知识既是解决实际生产问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础。三角函数是数学中主要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

二、学生学习情况分析

我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

三、设计思想

由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情。在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率。

四、教学目标

知识与技能：1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。

过程与方法：通过简谐运动沙摆实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点。

情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想。

五、教学重点与难点

教学重点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数的图象。教学难点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象。

六、教学方法

讲授、启发、诱导发现教学。

七、教

具

多媒体、实物投影仪。

八、教学过程

活动1【导入】引入

借助多媒体课件让学生观察沙摆实验演示，激起学生的兴趣。指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。

如何作出该曲线呢？

（以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与到课堂活动中）

活动2【导入】描点法作图

1.提出问题：如何画一般函数的图象？

2.学生回答描点法，作图步骤：(Ⅰ)列表；(Ⅱ)描点(Ⅲ)连线。

（描点法在取函数值时，有时不能确定精确值，点的定位不准。如何精确定位呢？）活动3【讲授】几何法作图

1.如何作角α的正弦线、余弦线、正切线？

2.引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，作出y = sin x, x∈[0, 2π] 的图象。（这种方法可以实现点的精确定位。画图时，注意讲清：a、把单位圆分成n等份(这里分12份)；b、找横坐标；c、找纵坐标；d、连线。）

3.依据诱导公式一，平移图象得出 y = sin x, x∈R的图象，即正弦曲线。活动4【讲授】“五点法”作图．

让学生观察已作出的正弦曲线图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤。

观察y = sin x, x∈[0, 2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 关键五点：(0，0)，（2，1)，(π，0)，（32，-1)，(2π，0)。

事实上，只要指出这五个点，y = sin x, x∈[0, 2π] 的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。

（设计意图：通过直观形象的图像，培养学生的观察分析能力，培养学生组建新知识的能力。）要求：

(Ⅰ)掌握正弦曲线的形状；(Ⅱ)注意正弦曲线的弯曲“方向”。活动5【练习】检测训练 画出下列函数的简图：（1）y =sin x + 1 , x∈[0 , 2π ]（2）y =sin x-1 , x∈[0 , 2π ] 活动6【讲授】总结巩固

这节课我们主要是学习了作正弦函数图象的两种基本方法：几何法、五点法。几何法利用三角函数线作正弦函数的图象和“五点法”利用五个关键点作正弦函数的简图。用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用。

活动7【讲授】课后思考

（1）从图像变换角度，如何利用y = sin x, x∈[0, 2π]的图像，得到y = sin x+1, x∈[0, 2π]的图像？（2）以正弦函数图像为基础，如何得出余弦函数图像？（3）利用正弦函数图像研究正弦函数具有哪些性质？

（设计意图：通过思考，一可以巩固所学知识，二可以为后面学习正弦函数、余弦函数的性质打下良好基础。）

九、作业设计

学业分层测评

（六）。

十、板书设计

正弦函数、余弦函数的图像

1、正弦函数y = sin x, x∈[0, 2π]的图像（1）用描点法画y = sin x, x∈[0, 2π]的图像（2）用几何法画y = sin x, x∈[0, 2π]的图像

2、正弦函数y = sin x, x∈R的图像

3、用“五点法”作正弦函数y = sin x, x∈[0, 2π]的简图

函数奇偶性教案 篇6

授课教师——李振明

授课班级——高一（8）

教学目的：

1、使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；

2、进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点和难点： 函数奇偶性的判断

一、引入新课： 题1：已知函数f(x)=3x 画出图形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

题2：已知函数g(x)= 2x2画出图形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)与f(-x)，g(x)与g(-x)之间的关系是什么？

二、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，任

意一个x.①如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

三、例：判断下列函数的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性质：奇函数的图象关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称。

２、如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。

四、巩固练习

（1）如果对于函数f(x)的(任意一个X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)的（任意一个X），都有（f(-x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）奇函数的图象关于（关于原点）对称，偶函数的图象关于（y轴对称）对称。

（3）已知函数y = f(x)是奇函数，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函数中，偶函数是（B）

（5）函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

四、小结

1、定义：对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。

2、性质:奇函数的图象关于原点对称。

偶函数的图象关于y轴对称。如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。

如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函 数是偶函数。

五、课后思考题

已知函数f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，则当m、n为何值时，为奇函数

解析分段函数常见题型 篇7

分段函数在金融、科技、日常生活等方面都具有较为广泛的应用价值, 特别是在新课程改革的背景下, 强调数学的应用以及培养应用数学的意识方面更能凸现其实际意义.在历年的高考和竞赛中也屡见不鲜.现将分段函数常见题型及解法予以介绍, 供大家参考.

一、求函数值问题

例1 已知函数f (x) 是以2为周期的偶函数, 当x∈ (0, 1) 时, f (x) =2x-1, 则f (log212) =__.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{析}:\text{由}\text{条}\text{件}\text{可}\text{知}f(x)=\\ \{\begin{array}{l}2{}^x-1‚x\in (0,1)\\ 2{}^{-x}-1‚x\in (-1,0)\end{array}\end{array}$

因f (x) 是以2为周期, 所以$f(\log {}_{2}12)=f(\log {}_2\frac{3}{4})$, 而$\log {}_2\frac{3}{4}\in (-1,0)$, 所以$f(\log {}_2\frac{3}{4})=\frac{1}{3}$, 即$f(\log {}_{2}12)=\frac{1}{3}.$

评注:一般的分段函数的求值问题, 只需根据相应自变量对应的解析式, 用代入法即可求.而本题既综合了函数的奇偶性、周期性, 还利用了对数的运算性质, 是道求函数值的好题.

练习:1.设则$g[g(\frac{1}{2})]=$.

二、求解析式问题

例2 如图1所示, M、N两点同时从边长为1的正三角形ABC的顶点A出发, 分别以每秒1和$\frac{2}{3}$的单位速度沿AB、AC向B、C点运动, 又分别拐向C、B点.到它们相遇时为止, 试将M、N两点的距离s表示为时间t的函数.

解析: (1) 当M在AB上运动时,

$\begin{array}{l}0\le t\le 1,\\ s=|{\rm M}{\rm N}|=\sqrt{t{}^2+\frac{4}{9}t{}^2-2t\cdot \frac{2}{3}t\text{c}\text{o}\text{s}60°}=\frac{\sqrt{7}}{3}t.\end{array}$

(2) 当M在BC上而N在AC上运动时,

$\begin{array}{l}1<t<\frac{3}{2},\\ s=\sqrt{(2-t){}^2(1-\frac{2}{3}t){}^2-2(2-t)(1-\frac{2}{3}t)\cos 60°}=\sqrt{\frac{7}{9}t{}^2-3t+3}\end{array}$

(3) 当M、N全在BC上运动时, $\frac{3}{2}\le t\le \frac{9}{5},s=3-\frac{5}{3}t$, 综合可得

$|{\rm M}{\rm N}|=s=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{7}}{3}t\hfill & (0\le t\le 1)\hfill \\ \sqrt{\frac{7}{9}t{}^2-3t+3}\hfill & (1<t<\frac{3}{2})\hfill \\ 3-\frac{5}{3}t\hfill & (\frac{3}{2}\le t\le \frac{9}{5})\hfill \end{array}$

评注:本题是以分类讨论的数学思想来求解的一道关于求分段函数解析式的应用问题, 要求分类时要不重不漏, 恰到好处.

练习:2.设函数f (x) =x2-2ax (0≤x≤1) 的最大值为M (a) , 最小值为m (a) , 试求M (a) 、m (a) 的解析式.

三、求值域、最值问题

例3 设a为实数, 已知函数f (x) =x2+

|x-a|+1 (x∈R) , 求f (x) 的最小值.

解析:因函数f (x) 的解析式中含有绝对值符号, 所以先要将绝对值去掉, 即函数可化为:

下面分别求f (x) =x2+x-a+1 (x≥a) 和f (x) =x2-x+a+1 (x≤a) 两种情况的最小值.$(1)f(x)=x{}^2+x-a+1(x\ge a)=(x+\frac{1}{2}){}^2+\frac{3}{4}-a$, 当$a\le -\frac{1}{2}$时, f (x) 的最小值$=f(-\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-a$;当$a>-\frac{1}{2}$时, f (x) 在[a, +∞) 上为增函数, 所以f (x) 在[a, +∞]上的最小值=f (a) =a2+1且

, 当$a\le \frac{1}{2}$时, f (x) 在 (-∞, a]上为单减函数, 所以f (x) 在 (-∞, a]上的最小值=f (a) =a2+1;当$a>\frac{1}{2}$时, f (x) 的最小值$=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}+a$.综合可得:当$a\le -\frac{1}{2}$时, f (x) 的最小值为$(\frac{3}{4}-a)$;当$-\frac{1}{2}<a\le \frac{1}{2}$时, f (x) 的最小值=f (a) =a2+1;当$a>\frac{1}{2}$时, f (x) 的最小值为$(\frac{3}{4}+a).$

评注:本题是求分段函数最值的问题, 同时运用数形结合和分类讨论等数学思想, 是一道综合性较强的求分段函数的最值的问题.

练习:3.定义运算则函数f (x) =3-x⨂3x的值蜮.

四、奇偶性问题

例4 判断函数

的奇偶性.

解析:因为定义域满足关于原点对称, 且即:, 所以函数f (x) 是奇函数.

五、单调性问题

例5 求函数f (x) =- (x-3) |x|的递增区间.

解析:这类问题先分段, 再画出函数图像即可获解.

$f(x)=\{\begin{array}{l}-(x-3)x(x\ge 0)\\ x(x-3)(x<0)\end{array}$

再画出分段函数图像即可得其单调递增区间为

$[0,\frac{3}{2}]$

六、周期性问题

例6 已知函数f (x) 是定义在R的奇函数, 且对任意的x, 都有f (x+4) =f (x) 成立, 当x∈[0, 2]时, f (x) =-x2+2x+1. (1) 当x∈[4k-2, 4k+2] (k∈Z) 时, 求f (x) 的表达式; (2) 求不等式$f(x)>\frac{3}{2}$的解集.

解析: (1) 当x=0时, f (0) =0;当

x∈[-2, 0) 时, -x∈ (0, 2], f (x) =-f (-x) =x2+2x-1;由f (x+4) =f (x) 知f (x) 是以4为周期 的周期函数, 所以当x∈[4k-2, 4k) 时, x-4k∈[-2, 0) , 所以f (x) =f (x-4k) = (x-4k) 2+2 (x-4k) -1;当x∈ (4k, 4k+2]时, x-4k∈ (0, 2], 所以f (x) =f (x-4k) =

- (x-4k) 2+2 (x-4k) +1;当x=4k时, f (x) =f (4k) =f (0) =0, 故当x∈[4k-2, 4k+2]时,

$f(x)=\{\begin{array}{cc}(x-4k){}^2+2(x-4k)-1\hfill & x\in [4k-2,4k)\hfill \\ 0\hfill & x=4k\hfill \\ -(x-4k){}^2+2(x-4k)+1\hfill & x\in (4k,4k+2]\hfill \end{array}$

(2) 当x∈[-2, 2]是, 由$f(x)>\frac{3}{2}$可得

解得$1-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<1+\frac{\sqrt{2}}{2}.$

因f (x) 是以4为周期的函数, 所以$f(x)>\frac{3}{2}$的解集为$\{x|4k+1-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<1+\frac{\sqrt{2}}{2}+4k\}(k\in \mathbf{R})$

评注:此题的关键是先求出x∈[-2, 2]时f (x) 的解析式, 然后根据函数的周期性将

x∈[4k-2, 4k+2] (k∈Z) 合理地分成x∈[4k-2, 4k) 和x∈ (4k, 4k+2]以及x=4k三种情形, 从而充分利用f (x) 在x∈[-2, 0) ,

x∈ (0, 2]和x=0时对应的解析式求解.

七、图像问题

例7 已知函数

$f(x)=\{\begin{array}{l}2{}^x(x\le 1)\\ \log {}_{\frac{1}{2}}x(x>1)\end{array}$

则函数y=f (1-x) 的图像是 ( )

解析:先画出分段函数f (x) 的图像, 再作出f (x) 关于y轴的对称图像得f (-x) 的图像, 将f (-x) 的图像向右平移1个单位即得f (1-x) 的图像.所以选 (D) .

评注:由函数y=f (-x) 的图像得到y=f (-x+1) 的图像时, 应将y=f (-x+1) 化成y=f[- (x-1) ], 从而确定由y=f (-x) 的图像得到y=f (-x+1) 的图像时应向右平移一个单位.

八、求反函数问题

例8 函数的反函数是____.

解析:只需分别求出每段的反函数即可, 所以由反函数的求法可得f (x) 的反函数解析式为:

$f{}^{-1}(x)=\{\begin{array}{cc}-\sqrt{x}\hfill & (x\le 0)\hfill \\ -\log {}_2(x+1)\hfill & (x\in (-1,0))\hfill \end{array}$

九、解不等式问题

例9 已知函数则不等式x+ (x+2) f (x+2) ≤5的解集__.

解析: (1) 当x+2≥0时, 即x≥-2时, 有f (x+2) =1, 于是不等式x+ (x+2) f (x+2) ≤5可化为:x+ (x+2) ≤5, 解得:$x\le \frac{3}{2}$, 所以此时$-2\le x\le \frac{3}{2};$

(2) 当x<-2时, f (x+2) =-1, 此时原不等式可化为:x-x-2≤5, 显然x∈R, 即此时的解为x<-2.

综合 (1) 、 (2) 可得原不等式的解集为

评注:此题在最后取解集时要注意先取每种情况下解的交集, 再取其并集即为原不等式的解集.

练习:4.已知函数

则f (x) >2的解集是__.

十、分段函数的复合函数问题

则当x<0, f[g (x) ]= ( )

(A) -x (B) -x2

(C) x2 (D) x

解析:当x<0时, f[g (x) ]=g (x) =-x2, 所以选 (B) .

练习:5.若f (x) 、g (x) 都是定义在实数集R上的函数, 且方程x-f[g (x) ]=0有实数解, 则g[f (x) ]不可能是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})x{}^2+x-\frac{1}{5}(\text{B})x{}^2+x+\frac{1}{5}\\ (\text{C})x{}^2-\frac{1}{5}(\text{D})x{}^2+\frac{1}{5}\end{array}$

十一、求参数的取值范围问题

例11 已知函数

是R上的减函数, 求实数a的取值范围.

解析:由函数f (x) 在R上为单调减函数可知:0<a<1且3a-1<0, 即$0<a<\frac{1}{3}$, 又f (1) =loga1=0, 所以当x<1时, 总有f (x) ≥0成立, 即3a-1+4a≥0, 解得$a\ge \frac{1}{7}$, 所以实数a的取值范数为$\frac{1}{7}\le a<\frac{1}{3}.$

练习:6.若函数

是R上增函数, 则实数a的取值范围是 ( )

(A) (1, +∞)

(B) (1, 8)

(C) (4, 8)

(D) [4, 8)

从不同视角看分段函数问题 篇8

视角一:求分段函数的解析式

1. 根据图像求分段函数的解析式

例1 函数f(x)的图像如图1所示,其中曲线部分是二次函数图像的一部分,求f(x)的解析式.

解析 当x≤-1时,对应图像为直线,故对应解析式为一次函数式,可设函数解析式为f(x)=kx+b,可得f(-1)=-k+b=0,f(-2)=-2k+b=2,解得k=-2,b=-2,故f(x)=-2x-2;

当x≥1时,同理可得f(x)=3x-3;

当-1≤x≤1时,可设函数解析式为f(x)=ax2+bx+c,可得f(-1)=a-b+c=0,f(0)=c=1,f(1)=a+b+c=0,故a=-1,b=0,c=1,即f(x)=-x2+1.

综上,f(x)=-2x-2,x<-1,-x2+1, -1≤x≤1,3x-3,x>1.

点评 通过本题,我们知道既可用图像法表示分段函数,也可用解析法表示分段函数,而用解析法表示更方便研究函数的有关性质.

2. 利用函数性质求分段函数的解析式

例2 函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+),求f(x)的解析式.

解析 因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x).

当x=0时,有f(0)=0;

当x<0时,有-x>0,则f(-x)=-x(1+),故f(x)=-f(-x)=x(1-).

所以f(x)=x(1+),x>0,0, x=0,x(1-),x<0.

点评 注意这里“(题目要)求什么,(我们就)设什么”这一思路的运用.另外,不要忘记求f(0)的值.本题通过函数的奇偶性,将x<0时的解析式与x>0时的解析式有机地衔接在一起.

视角二:求分段函数的函数值和自变量值

例3 已知函数f(x)=x+2,x≤-1,x2,-1

(1) 求f[f(-2)]的值.

(2) 若f(x)=3,求x的值;

解析 由于函数f(x)在自变量的不同取值范围内,有不同的解析式,故应分类讨论.

(1) 由于-2<-1,所以f(-2)=0,f[f(-2)]=f(0)=0.

(2) ① 当x≤-1时,由x+2=3,得x=1,由于1>-1,故x=1舍去.

② 当-1

③ 当x≥2时,由2x=3,得x=,由于<2,故x=舍去.

综上所述,x的值为.

点评 由分段函数的函数值求自变量值时,应注意检验求出的值是否在与解析式对应的区间内.

视角三:求分段函数的最值

例4 求函数y=的最值.

解析 只有分情况讨论,缩小x的取值范围,才能去掉绝对值符号.

当x<-1时,y==-x-1;当-1≤x<0时,y==x+1;当0≤x≤1时,y==1-x;当x>1时,y==x-1.故函数y=-x-1,x<-1,x+1,-1≤x<0,1-x,0≤x≤1,x-1,x>1.

根据以上解析式作出图像,如图2所示.

由图像可以看出,当x=±1时,函数取得最小值0;函数没有最大值.

点评 这里也可不作出图像,而通过求各分段区间上函数的最值来得到整个函数的最值,只是这样做过程比较繁琐,而且容易出错.实际上,这正是数形结合思想在解题中应用的一个重要体现.

视角四:分段函数模型在实际问题中的应用:看看分段函数是如何形成的

例5 动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,沿正方形的边顺次经过点C,D到达点A.设点P移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).

(1) 求函数y=f(x)的解析式.

(2) 求△ABP面积的取值范围,即函数y=f(x)的值域.

解析 如图3,① 当点P在线段BC上移动时,点P移动的路程x∈[0,4],△ABP的面积y=f(x)=×4x=2x.

② 当点P在线段CD上移动时,点P移动的路程x∈(4,8],△ABP的面积y=f(x)=×4×4=8.

③ 当点P在线段DA上移动时,点P移动的路程x∈(8,12],△ABP的面积y=f(x)=×4×(12-x)=-2x+24.

综上,y=f(x)=2x, x∈[0,4],8,x∈(4,8],-2x+24,x∈(8,12].

(2) 由(1)作出函数y=f(x)的图像,如图4,由图像可知函数y=f(x)的值域为{y|0≤y≤8}.

点评 通过本例可知,使用分段表示是出于实际的需要.把f(0)=0,…,f(0.1)=0.2,…,

f(0.2)=0.4,…,f(1)=2,…,f(2)=4表示成f(x)=2x,x∈[0,2]是简洁而完备的需要.把f(0)=0,…,f(0.1)=

0.2,…,f(0.2)=0.4,…,f(1)=2,…,f(1.1)=2,…,

f(1.2)=2,…,f(2)=2表示成f(x)=2x,x∈[0,1],2,x∈(1,2]是“不得不”的需要,即为了既简洁完备又准确真实描述实际情况.决不是无聊的刁难人的游戏.

1. 函数f(x)的图像如图5所示,求f(x)的解析式.

2. 已知函数f(x)=x2+1, 0≤x≤2,3x-1,24.

(1) 求f(x)的值域.

(2) 若f(x)=8,求x的值;

3. 甲、乙两地间的路程为360 km,一辆车速为100 km/h的车A和一辆车速为80 km/h的车B分别从甲、乙两地同时相向而行(A,B两车先后到达乙、甲两地后,都停车检修).

(1) 试写出两车之间的距离关于车B行驶时间的函数关系式;

(2) 问行驶多长时间,两车之间的距离为270 km?

1. f(x)=-x,x≤0,2x,0