立体几何三视图练习题

立体几何三视图练习题（共8篇）

立体几何三视图练习题篇1

例

1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（）（A）2（B）1（C）2 31（D）

3例

2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

（A）372（B）360（C）292（D）280

例

3、如图1，△ ABC为正三角形，AA//BB //CC , CC ⊥平面ABC且3AA=

（）

例

4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.2

B.4

3BB=CC=AB,则多面体△ABC-ABC的正视图（也称主视图）是

2C.2

练习

D.4 3

3正(主)视

侧(左)视图

俯视图

1.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为 A．

234B．2C．D．

433

2.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为．．



B． 42

C．D．

2A．

侧视图

3.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为

.．．．

2正视图

2侧视图

正视图

侧视图

俯视图

4.已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为

A.C.空间点、直线、平面之间的位置关系 1平面

判定直线在平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这两条直线在此平面内。

确定一个平面：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面推论1：一个直线外的点与一条直线确定一个平面推论2：两条相交直线确定一个平面推论3：两条平行直线确定一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线的位置关系

判断直线与直线平行：平行于同一条直线的两直线互相平行（平行的传递性）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线垂直：如果两条异面直线所成角是直角，那么这两条线互相垂直。·异面直线所成角不大于90度!空间中直线与平面之间的位置关系

·直线与平面的位置关系：在平面内,与平面相交,与平面平行。平面与平面之间的位置关系

·平面与平面的位置关系有且只有两种：相交于平行 2 直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：若两个平面平行，则其中一个面的任意一条直线与另一个面平行。平面与平面平行的判定

定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行定理2,：若两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，则这两个平面平行直线与平面平行的性质

定理1：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与此平面平行。

（·作用：证明线线平行 ·做法：经已知直线做一个平面与已知平面相交）平面与平面平行的性质

定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。

补充：证明线线平行的方法： 1.平行的传递性

2.线面平行的性质定理（·关键：寻找面面的交线）3.证明为第三个平面与两个平行平面的交线

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.b

C.b与α相交D.以上都有可能

3．直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）

A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；

A．4B．3C．2D．1 6．在空间中，下列命题正确的是()． A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α C．若α∥β，b∥α，则b∥β D．若α∥β，a⊂α，则a∥β．β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β，的是（）

A．，β都平行于直线a，b

B．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β

D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β

8．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()． A．平行C．异面

B．相交 D．平行或异面

9．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//bC．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a 10．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）

A.异面B.相交C.平行D.不能确定 11.下列四个命题中，正确的是（）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A．①③B．①②C．②③D．③④ 12．在下列命题中，假命题的是A.若平面α内的任一直线平行于平面β，则α∥βB.若两个平面没有公共点，则两个平面平行

C.若平面α∥平面β，任取直线aα，则必有a∥β

D.若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等，则两条直线平行

二、填空题

13．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

14．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．

15．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ不在平面内，给出六个命题：

a∥ca∥∥c①a∥b;②a∥b;③∥;b∥cb∥∥c④

为三个不重合的平面，直线均

∥c

∥∥

a∥;⑤∥⑥a∥a∥c∥a∥

其中正确的命题是________________.16.如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面

立体几何三视图练习题篇2

一、利用三视图还原几何体

1. 计算面积、体积, 易错把斜高看成边长, 把几何体的高当成了斜高

例1 (2007年10月无锡高三基础测试卷第14题) 一个几何体的三视图及其尺寸, 如图1 (单位:cm) 所示, 则该几何体的表面积为______。

(a) 正视图 (b) 左视图 (c) 俯视图 (正方形)

分析:在这道题中, 学生很容易就判断出该几何体是一个正四棱锥。由此, 很多学生马上还原出了几何体 (图1) 并计算表面积: 。

在这里, 学生虽然判断出了几何体的形状, 但却误把投影当成侧面。由此, 可看出学生对于三视图的理解并不透彻。事实上根据三视图中主视图和左视图高平齐这句话可以马上发现中的4应是几何体的高。而主视图三角形边长5应是投影所得三角形中的边长。因此, 在做题时应注意还原几何体后在标注对应尺寸时先在几何体中找出对应投影, 这样就不会错了。这道题还原的几何体和投影应如图2内部这个虚线三角形才是主视图所对应的三角形。因此主视图中的边长5就是正四棱锥侧面的高即斜高。故该几何体的表面积应是而非84。

从这道题我们可以看到, 学生对于三视图的基本概念理解并不清楚。三视图首先应明确它是物体按正投影 (平行投影的一种) 向投射面投射所得到的, 其次应明确三视图描述的是几何体的哪些尺寸 (主视图表示几何体的长和高, 左视图表示该几何体的宽和高, 俯视图表示该几何体的长和宽) 。与投影面平行的平面图形留下的影子 (视图) 与该平面图形的形状一致, 大小相同, 而与投影面不平行的平面图形留下的影子 (视图) 与原平面图形对应的长度并不全相等。如果学生真正理解了概念, 就不会在这里把斜高误认为边长。

2. 由三视图判断证明几何体中的位置关系

例2 (2008年南通第三次调研卷) 已知三棱锥S—ABC的三视图如图, 3 (a) , (b) , (c) 所示:

在原三棱锥中给出下列命题:

①BC⊥平面SAC;

②平面SBC⊥平面SAB;

③SB⊥AC。

其中所有正确命题的代号是。

该题, 许多学生并不明确SA与底面ABC的位置关系, 从而无从入手。有部分学生把几何体还原成图3。

而事实上该题通过俯视图中发现S的投影即为A, 可得出SA⊥底面ABC, 几何体还原如图4。

通过观察证明几何体中的线线、线面、面面位置关系, 由SA⊥底面ABC得, SA⊥BC, 同时俯视图中还可得出AC⊥BC, 可发现SA⊥BC, AC⊥BC, 由线面垂直判定定理得BC⊥面SAC, 由此①正确。而②③均从图形中直观看出不成立。因此该题选①。

同样这里, 学生若对三视图的概念清楚, 就很明确在正投影中点与其在底面上的投影点的连线应与底面垂直。该题的几何体就能准确的还原。

二、根据几何体画出三视图

例3 (2008年广东高考文科第5题) 将正三棱柱截去三个角 (如图5所示分别是△GHI三边的中点) 得到几何体如图6, 则该几何体按图6所示方向的侧视图 (或称左视图) 为 () 。

分析:这道题如果只看图6, 投影面很难确定, 应结合图5来明确投影面。在这里很多学生由于并不明确投影面, 因此许多同学选C。而通过图5很明确投影面应是与面AIF平行的面, 而三视图又是正投影所得即由一系列的正对着投影面的平行光线投射所得, 因此马上就可以判断出这道题的正确选项应为A。

常见几何体三视图与表面积篇3

一个几何体的主视（正视）图、俯视图和左视图统称三视图. 会判断几何体的三视图并能根据三视图复原立体图，是三视图运用的基本要求.

1. 直观三视图

例1 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）

[①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥]

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④

解析这是直接考查不同空间几何体三视图间的关系，是属于三视图概念的应用问题，如果已经熟练掌握定义，这个问题也就容易把握. 圆锥体三视图都是三角形，而棱锥体的三视图也是三角形.

答案 D

[1][2][3][4][1][2]例2 左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（）

[A B C D]

解析解此类试题，一要看清楚题意，二要对俯视图、主视（正视）图的概念熟悉，三要有一定复原实体图（或直观图）的能力.

答案 C

2. 棱柱三视图

棱柱是多面体中最简单的一种，我们常见的一些物体，例如三棱镜、方砖以及螺杆的头部，它们都呈棱柱的形状.棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱三视图最大特点是棱柱有两个视图是长方形.

例3 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）

[正（主）视图][侧（左）视图][俯视图] [2] [1] [6] [1][8] [2] [2] [6] [6] [2] [2]

A. 372 B. 360 C. 292 D. 280

解析该几何体由两个长方体组成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.

[S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360.]

答案 B

点拨把三视图转化为直观图是解决问题的关键. 又通过三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.

3. 棱锥三视图

一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥.棱锥三视图最大特点是棱锥有两个视图是三角形.

例4 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .

解析由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为[22+22+22=23].

答案 [23]

点拨本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.

4. 棱台三视图

棱台三视图最大特点是棱台有两个视图是梯形.

例5 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）

[2][2][4] [2] [2] [2][2][4][俯视图][侧视图][正视图]

A. [3523] B. [3203]

C. [2243] D. [1603]

解析本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别以及几何体体积的计算. 依据三视图所给各边长分别计算此几何体中四棱台体积与立方体体积是解答的关键所在.

答案 B

例6 如下图为一个几何体的三视图,主视图和左视图为全等的等腰梯形，上、下底边长分别为2、4.俯视图中内，内外为正方形，边长分别为2、4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积.

解析根据题给的三视图，我们可作出如下图的实体直观图.

连接[BD],[BD]，过[B]分别作下底面及[BC]的垂线交[BD]于[E,BC]于[F].

则[BE=2]， [BB=11]， [BF=1，BF=10].

[S全面积=20+1210].

[V台=13(4+4×16+16)×3=28].

立体几何三视图练习题篇4

曲面立体被平面切去部分后的形体称为曲面立体切割体，如图4-11示出了几种常见的曲面立体切割体，平面与曲面立体相交，在立体表面产生了一些交线，这些交线称为截交线，此平面又称为截平面如图4-12所示。由于曲面立体表面的形状不同，以及截平面相对于立体的位置不同，因此所产生的截交线形状也不同。例如图4-12所示截平面与圆柱面相交，交线有直线与曲线之分。无论截交线的形状有何不同，但它们都具有以下两个基本性质：

1)截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。

2)由于立体是占有一定空间的形体，因此截交线必定组成一个封闭的平面图形。

下面分别介绍常见曲面立体切割体及其交线的画法。

图4-11 常见曲面立体切割体

a)切刀 b)顶针 c)六角螺母 d)手把上的球

图4-12 截平面与截交线

图4-13平面截切圆柱的三种情况

(a)截平面垂直圆柱轴线，截交线为圆b)截平面平行圆柱轴线，截交线为矩形 c)截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆

一、平面切割圆柱体

平面切割圆柱有三种情况，如图4-13所示。当截平面垂直于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上所得的交线是与圆柱直径为相同的圆。当截平面平行于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱面上的交线为直线，在圆柱体上得到一矩形，截平面离圆柱轴线越近其矩形越大;反之其矩形越小，如图4-14所示。

图4-14平面切割圆柱体

画出如图4-15所示圆柱切割体的三视图。

该切割体左端中间开一通槽，右端上下对称各切去一块，其截平面分别为水平面和侧平面。水平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为矩形，矩形的V、 W面投影积聚成一直线;其H面的投影反映实形，宽度由W面投影量取。侧平面垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为圆的一部分，其W面投影与圆柱的投影重影;V 、H面投影与侧平面的V、H面投影(直线)重影。三视图画图步骤如图4-16所示。

图4-15 轴块

图4-16 轴块三视图画图步骤

a)画圆柱的三视图 b)画左端通槽及右槽上下切口的V 、W面投影 c)按投影关系完成左右端的H面投影 d)描深

画出如图4-17所示开槽圆柱筒的三视图。

由图可见，圆柱筒的上方中间用与其轴线平行的两个侧平面和一个水平面对称地切出一通槽。侧平面的V、 H面投影具有积聚性，它的W面投影反映实形。由于两侧平面相对于轴线左右对称，所以它们的W面投影重合。侧平面既与外圆柱面相交，又与内圆柱面相交，交线皆为直线，根据投影规律可得交线的W面投影。在左视图中外圆柱面上交线可见，内圆柱面上交线不可见。读者可根据三视图画图步骤进行分析，如图4-18所示。

图4-17 开槽圆筒

图4-18 开槽圆柱筒三视图画图步骤

a) 画圆柱筒的三视图 b)画通槽的V、H面投影c)按投影关系画交线和水平面的W面投影d)描深

当截平面倾斜于圆柱轴线切圆柱时，在圆柱表面上的交线为椭圆，如图4-19所示。画图时，先画椭圆具有积聚性的投影并在其上确定一系列点，利用在圆柱面上作辅助线的方法，求出各点的投影，然后圆滑连接各点的同面投影，即可得到截交线(椭圆)的投影。具体作图步骤如图4-20所示。其中：图4-19平面斜切圆柱

图4-19平面斜切圆柱

1)求特殊点：在主视图中，椭圆的V面投影积聚成一直线,可得最低点(最左点)1′和最高点(最右点)5′; 在俯视图中圆柱面的投影积聚成圆,可得最前点3和最后点7,它们分别位于圆柱面对V面和对W面的转向轮廓线上,根据投影规律可得1、5，1″、5″;3′、7′，3″、7″。

2)求一般点：在H面投影上，将圆等分，得2、4、6、8等点，过各点向上作素线与V面投影交得2′(8′)、4′(6′)点，根据投影规律得2″、4″、6″、8″。

3)圆滑连接各点的W面投影,即为所求交线椭圆的W面投影。由于圆柱的左上部已切去，所以交线的W面投影为可见。用粗实线绘制，注意圆柱对W面转向线画到3″和7″点终止。

图4-20 斜切圆柱三视图的画图步骤

a)画斜切圆柱的主、俯视图，并确定底面及圆柱对侧面转向轮廓线的W面投影位置 b)求特殊点的投影：最低点Ⅰ(1，1′，1″);最高点Ⅴ(5，5′，5″);最前点Ⅲ(3，3′，3″);最后点Ⅶ(7，7′，7″) c) 求一般点的投影(Ⅱ Ⅳ Ⅵ Ⅷ) d)在左视图上圆滑地连接各点，然后描深

第四节曲面立体切割体三视图

曲面立体被平面切去部分后的形体称为曲面立体切割体，如图4-11示出了几种常见的曲面立体切割体。平面与曲面立体相交，在立体表面产生了一些交线，这些交线称为截交线，此平面又称为截平面如图4-12所示。由于曲面立体表面的形状不同，以及截平面相对于立体的位置不同，因此所产生的截交线形状也不同。例如图4-12所示截平面与圆柱面相交，交线有直线与曲线之分。无论截交线的形状有何不同，但它们都具有以下两个基本性质：

1)截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是两相交面的共有点。

2)由于立体是占有一定空间的形体，因此截交线必定组成一个封闭的平面图形。

下面分别介绍常见曲面立体切割体及其交线的画法。

图4-11 常见曲面立体切割体

a)切刀 b)顶针 c)六角螺母 d)手把上的球

图4-12 截平面与截交线

图4-13平面截切圆柱的三种情况

(a)截平面垂直圆柱轴线，截交线为圆b)截平面平行圆柱轴线，截交线为矩形 c)截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆

一、平面切割圆柱体

图4-14平面切割圆柱体

画出如图4-15所示圆柱切割体的三视图。

该切割体左端中间开一通槽，右端上下对称各切去一块，其截平面分别为水平面和侧平面，

水平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为矩形，矩形的V、 W面投影积聚成一直线;其H面的投影反映实形，宽度由W面投影量取。侧平面垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为圆的一部分，其W面投影与圆柱的投影重影;V 、H面投影与侧平面的V、H面投影(直线)重影。三视图画图步骤如图4-16所示。

图4-15 轴块

图4-16 轴块三视图画图步骤

a)画圆柱的三视图 b)画左端通槽及右槽上下切口的V 、W面投影 c)按投影关系完成左右端的H面投影 d)描深

画出如图4-17所示开槽圆柱筒的三视图。

图4-17 开槽圆筒

图4-18 开槽圆柱筒三视图画图步骤

a) 画圆柱筒的三视图 b)画通槽的V、H面投影c)按投影关系画交线和水平面的W面投影d)描深

图4-19平面斜切圆柱

2)求一般点：在H面投影上，将圆等分，得2、4、6、8等点，过各点向上作素线与V面投影交得2′(8′)、4′(6′)点，根据投影规律得2″、4″、6″、8″。

图4-20 斜切圆柱三视图的画图步骤

二.平面切割圆锥

平面切割圆锥有六种切法，可以得到五种不同的表面交线。如图4-21所示列出了圆锥表面交线的六种情况,前两种分别是直线和圆，作图比较简单易画，后四种表面交线分别为椭圆，双曲线和抛物线。下面举例介绍求作圆锥表面交线的方法和步骤。

图4-21 圆锥交线的六种情况

截平面过锥顶，截交线是三角形 b)截平面垂直轴线，截交线是圆 c)截平面与轴线倾斜，截交线是椭圆d)截平面平行轴线，截交线是双曲线 e)截平面与轴线倾斜，截交线是双曲线 f〉截平面与轴线倾斜，截交线是抛物线。

如图4-22a所示为圆锥被平行于圆锥轴线的平面截切，已知主视图和俯视图，补全左视图中所缺交线的投影。截平面平行于圆锥轴线截切圆锥，其表面交线为双曲线，由主俯视图可知截平面为侧平面，它的V面投影和H面投影皆积聚为一条直线。根据这两个投影，利用在圆锥面上作辅助直线或辅助圆的方法，可确定双曲线上各点的W面投影，从而可画出左视图中双曲线的投影。具体作图步骤如下：

1)求特殊点：由主俯视图可知，圆锥底圆与截平面的交点Ⅰ、Ⅶ为最底点;圆锥面对V面转向轮廓线与截平面的交点Ⅳ是双曲线上的顶点，也是最高点。根据投影规律，可直接求得1′ 、7′ 和4′,如图4-22b所示。。

2)求一般点：在Ⅰ、(Ⅶ)和Ⅳ之间取一般点，如Ⅱ、 Ⅵ。作图时先在主视图中的1′ 、(7′) 、4′之间取2′ 、 (6′),并过2′ (6′)作垂直于轴线的辅助圆γ′,在俯视图中画圆γ交侧平面的H面投影于2 6,根据投影规律可得2″ 、6″如图4-22c所示.也可通过2′ 、 (6′)在圆锥面上作素线,然后得到2、 6; 2″ 、6″。

3)圆滑连接各点的W面投影：由于双曲线在左半圆锥面上，所以双曲线的W面投影均为可见，用粗实线绘制如图4-22d所示。

图4-22 圆锥截交线的画法

a) 已知主、俯视图,补全左视图中所缺截交线的投影 b)求特殊点的投影 c)求一般点的投影 d)左视图中圆滑连接各点的投影

三.平面切割球

当平面与球面相交时，其交线一定为圆。截平面离球心距离越近，交线圆的直径就越大，反之越小。截平面平行于投影面时，其交线在该投影面上的投影反映圆的实形。在另外两个投影面上积聚为直线。如图4-23所示列出了三种投影面平行面截切球所得交线圆的投影画法。

如图4-24a所示开槽半球，其顶端由三个平面开一通槽，若已A向为主视图投影方向，那么槽的左、右两侧面为侧平面;与球面相交，交线圆的W面投影反映圆的实形，槽底为水平面;与球面相交;交线圆的H面投影反映圆的实形。具体画图步骤如图4-30 b、c所示。

图4-23 投影面平行面切球交线圆的画法

a)水平面切球 b)正平面切球 c)侧平面切球

图4-24 开槽半球三视图的画法

a)开槽半球 b)画水平面 c)画侧平面

四.综合举例

求如图4-25所示台阶轴的表面交线。

台阶轴由同轴的大小两个圆柱组成，其轴线垂直于H面，两圆柱面的H面投影皆积聚为圆。截平面P为正平面，平行于台阶轴的轴线，与小圆柱相交得小矩形，与大圆柱相交得大矩形;水平面Q垂直于大圆柱轴线，与大圆柱面相交的交线为一部分圆。

因为正平面P的H 、W面投影皆积聚成一直线，其V面投影反

映实形，所以作图时由H面投影可直接求得两矩形的V面投影。由于两个矩形属于同一个平面P，因此其V面投影应为一个封闭线框，主视图中两矩形之间不应该有轮廓线，图中的虚线表示大圆柱顶面后半部分的投影。水平面Q截大圆柱所得圆的H面投影反映实形，V 、W面投影皆积聚成一条直线。

立体几何三视图练习题篇5

教学目标知识与技能

1．了解立体图形的概念．

2．会利用三视图计算立体图形的侧面积和表面积．过程与方法通过观察、探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系．

情感、态度与价值观

1．了解将三视图转换成立体图形的生产生活中的应用，使学生体会到所学知识主要的实用价值．

2．进一步体会三视图的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高空间想象能力．重点难点重点

利用三视图想象立体图形．难点

画出立体图形的展开图并进行有关的计算．教学过程

一、创设情境，导入新课

1．前面我们分别学习了由实物画出的三视图和由三视图想象出实物图形这两个方面的内容，现在我们将应用本节知识解决实际生活中的一些问题．

2．如图，是一个用铁皮做的圆锥形容器(无底)的三视图和圆锥体，你能根据左视图中所给尺寸计算出制造一个这样的圆锥形容器所需的扇形铁皮的面积吗？

教师多媒体出示图片，引导学生思考．

二、合作交流，探究新知

根据下列几何体三视图，画出它们的表面展开图：

解：(1)该物体是：______；画出它的展开图是：(2)该物体是：______；画出它的展开图是：

【合作探究】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．

问题：要想求出每个密封罐所需钢板的面积，应先解决哪些问题？小组讨论．

结论：1.应先由三视图想象出物体的______； 2．画出物体的____________；解：该物体是：______ 画出它的展开图是：它的表面积是：

三、运用新知，深化理解

例1 已知如图为一几何体的三视图：(1)写出这个几何体的名称；

(2)若从正面看长为10 cm，从上面看圆的直径为4 cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．

分析：(1)根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；(2)根据几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．

解：(1)该几何体是圆柱；

(2)∵从正面看长为10 cm，从上面看圆的直径为4 cm，∴该圆柱的底面直径为4 cm，高为10 cm，∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π(cm2)．

方法总结：解题时要明确侧面积的计算方法，即圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高．例2 如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm)，求这个几何体的表面积．

分析：先由三视图得到两个长方体的长，宽，高，再分别表示出每个长方体的表面积，最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面面积即可．

解：根据三视图可得：上面的长方体长6 mm，高6 mm，宽3 mm，下面的长方体长10 mm，宽8 mm，高3 mm，这个几何体的表面积为2×(3×8＋3×10＋8×10)＋2×(3×6＋6×6)＝268＋108＝376(mm2)．答：这个几何体的表面积是376 mm2.方法总结：由三视图求几何体的表面积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律—“长对正，高平齐，宽相等”，确定几何体的长、宽、高等相关数据值，再根据相关公式计算几何体的面积．注意：求解组合体的表面积时重叠部分不应计算在内．

例3 杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8 g/cm3，1 kg防锈漆可以涂4 m2的铁器面，三视图单位为 cm)?

分析：从主视图和左视图可以看出这个几何体是由前后两部分组成的，呈一个T字形状．故可以把该几何体看成两个长方体来计算．

解：∵工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000 cm3，∴重量为8000×7.8＝62400(g)＝62.4(kg)，∴铸造5000件工件需生铁5000×62.4＝312000(kg)＝312(t)．∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800 cm2＝0.28 m2.∴涂完全部工件需防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．

方法总结：本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的体积、面积；关键是由三视图可知几何体的形状，从而得到所求的等量关系的相对应的值．

四、课堂练习，巩固提高 1．教材P100－101练习． 2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．

五、反思小结，梳理新知本节学了哪些内容，你有哪些认识和收获？还有什么疑惑？说给老师和同学听听．学生归纳、总结、发言、体会、反思．

六、布置作业

立体几何三视图练习题篇6

(一)平行

(二)垂直

11．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.C

A1 1D

2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积。

3.如图，已知空间四边形

是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。

4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；中，BCAC,ADBD，EB E C D

（2）求证：平面A1AC平面BDE.5.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

第六节面面关系答案

（一）平行

（二）垂直

1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计

算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.CC1ACC,∴BC面ACC1A1,又【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC，∵DC1面ACC1A1，∴DC1BC,由题设知A1DC1ADC45,∴CDC1=90,即DC1DC, 又∵DCBCC,∴DC1⊥面BDC,∵DC1面BDC1，∴面BDC⊥面BDC1；

（Ⅱ）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，由题意得，V1=由三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，∴(VV1):V1=1:1，∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以

可得EGGF

又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为（12）11

2112

111=，232

S正方形DECFGO5520

53.证明：（1）

BCAC

CEAB

AEBE

同理，ADBD

DEAB

AEBE

又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC 4.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO

平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC1

（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，平面A1AC

5.（1）证明：连接BD.ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE

ABAD,DAB60,ADB为等边三角形.E是AB中点，ABDE.PD面ABCD，AB面ABCD，ABPD.DE面PED，PD面PED，DEPDD,AB面PED.AB面PAB，面PED面PAB.（2）解：AB平面PED，PE面PED，ABPE.连接EF，EFPED，ABEF.PEF为二面角P—AB—F的平面角.设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3.在PEF中,PE7,EF2,PF1,cosPEF

(7)22212257, 14

.14

立体几何三视图练习题篇7

新课标指出:“几何知识的教学, 要通过观察、测量、动手操作等实际活动, 加深对几何形体的认识, 逐步发展学生的空间观念.”所以, 我在引导学生进行动手操作时, 注意引导学生适时摆脱实物, 发挥想象, 让学生的思维插上“飞翔”的翅膀, 从而更好地培养学生的空间观念.下面是我在上浙教版八年级上册第三章《由三视图描述几何体》的教学片段.

课前, 我让同桌的学生准备好若干个完全相同的小立方体.……通过前面的学习, 我们知道了要想比较准确地了解一个物体或一件事情, 必须从多个方面同时去看.接下来我们来看几道题目, 小试身手.

问题1:我们有名同学在课余用小立方体建造了一个“建筑物”, 然后画出了“建筑物”的三视图如下, 你能根据他的三视图还原出他的“建筑物”是什么样子的吗?他一共用了多少个小立方体呢?

学生开始思考, 2分钟后, 不少学生已经有答案了, 有些学生则仿佛有点感觉但又说不出具体答案.

这时我说:如果大家觉得有困难的话, 可以利用手上的正方体模型, 亲自动手来搭建一下, 看看能不能得出答案, 或者来验证一下你的答案.

同桌学生之间开始动手操作起来, 1分钟左右, 基本上都完成了“建筑物”的搭建, 问题也就随之解决了, 一共由9个小立方体构成.

我又接着问:大家搭建得很好, 借助于手上的小立方体模型通过动手很快把问题解决了, 而且非常直观, 看来动手操作真的是个好方法!但是, 如果我在搭建的时候发现手头没有足够的小立方体了, 那么还能不能得出答案了呢?我们同学能不能通过理性分析的方法解决一下这个问题呢?让手休息一下, 让你的大脑去构建立体建筑图形.

思考了一会后, 有同学跃跃欲试, 我立刻叫他起来说说看:我觉得只要把这三张图联系起来看就可以了.首先看俯视图, 它决定了这个“建筑物”的最底下一层的格局, 然后看主视图可以确定每一层上的高度, 最后结合左视图可以找到那些藏在背后的小立方体, 我用这种方法把三张图结合着起来看, 得到了准确的答案.

我赞扬道:非常好!大家觉得呢?

有些同学若有所悟, 有些同学则大声附和:是啊, 就是这种想法!

我适时补充:我们同学其实发现了很关键的一点, 三个视图之间的联系, 其实就是画三视图的九字原则“长对正, 高平齐, 宽相等”对解题真正的应用.具体解答过程中, 我们还可以利用在俯视图上面标数字如图1-1所示, 形象化空间思维.

接下来, 我出示了问题2:另一名同学也用小立方体搭建了“建筑物”, 并画出了主视图和左视图, 但他却没有画出俯视图, 你能根据这两个视图确定该同学搭建的“建筑物”需要几个小立方体吗?如果不能确定, 那么你能估计搭成这样视图的“建筑物”最多需要几个小立方体吗?而最少呢?

大多数学生领悟了问题1的解决中分析的方法, 较快地有了解决问题2的思路, 首先得出了最多需要13个小立方体, 部分没有找到解题思路的学生则再次通过动手操作搭建模型去寻找答案……

一段时间后, 我请同学来谈谈结果, 学生回答道:由于只有主视图和左视图, 所以没有办法确定最底下一层的情况, 也就是不能确定俯视图, 所以有很多种情况, 最多可能有13个立方体, 最少好像只需要5个.

我向他竖起了大拇指:说得真好!大家接受这两个答案吗?你是怎样得到的呢?

通过动手验证了答案后, 师生一起共同总结了一下用思维想象的解题过程.我们首先根据主视图与俯视图“长对正”、左视图与俯视图“宽相等”的原则, 可以确定小立方体在最多情况下的俯视图, 如图2-1所示.然后根据主视图的情况, 在俯视图上可以最多标注数字, 如图2-2所示.但是再结合左视图去看, 则需删减掉其中2个, 如图2-3所示, 因此得到最多需要小立方体为13个.

在求最少立方体个数的时候, 我们可以利用标注着数字的最多小立方体的俯视图 (图2-3) , 将不会引起主视图和左视图变化的小立方体个数都删去, 最后成如图2-4所示, 得出最少只需5个小立方体.

初中阶段空间观念的建立是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析, 建立在对周围环境直接感知基础上的对空间与平面相互关系的理解和把握的过程.因此, 我在引导学生进行动手操作时, 注意引导学生适时摆脱实物, 发挥想象, 具体说来需要注意两点:第一, 留给学生足够的思维想象空间.第二, 操作活动要适量、适度.所谓适量就是不能动辄就操作.所谓适度则是指学生的直观认识积累到一定程度时, 就应该让学生在丰富的表象的基础上及时抽象, 由直观向抽象转化.总之, 只有不断完善教师的活动设计, 不断提高学生的操作能力, 不断鼓励学生合理想象, 插上“飞翔”的翅膀, 学生的学习兴趣才能被焕发, 学生的创新精神才能被激活!

七年级下几何练习题篇8

1．如图（1），共有三角形的个数是5个。如图（2），共有三角形的个数是10个。

２如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线分别交AC、AB于D、E，则图中一共有4个等腰三角形。

３．如图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于。

４．如果等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是 11或13。

B第1题第２题第３题

５．三角形中，最大角α的取值范围是（A）

A、0°＜α＜90°B、60°＜α＜180°C、60

°≤α＜90 D、60°≤α＜180°

６．下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（C）

A、正八边形和正三角形 B、正五边形和正八边形

C、正六边形和正三角形； D、正六边形和正五边形

７．下面的说法正确的个数是（C）

①三条线段首位顺次连结所组成的的图形叫三角形②直角三角形的高只有一条③三角形的高至少有一条在三角形内 ④三角形的高、内角平分线、中线不一定是线段⑤三角形具有稳定性⑥各内角相等的多边形是正多边形⑦等边三角形不是等腰三角形⑧同种的任意三角形和四边形都能铺满地面⑨只要围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和为一个周角，就一定能拓展下去并铺满地面.正确的有（C）A、3个B、4个C、5个D、6个

８．AD是△ABC的中线，△ABD面积是5，则△ABC面积为__10_____.9.一个多边形最多有3_____

个内角是锐角.10.若过m

边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有3条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式(m－k)(h-n)＝_4__。

11．若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a的取值范围是0＜a＜12；若等腰三角形的底边长为4，则它的腰长b的取值范围是 2＜b＜2+b。

12．一个三角形的周长为偶数，其中两条边的长分别是4和2009，则满足条件的三角形的个数是 7个。

13．已知三角形的三边长为边续的整数，且周长为12cm，则它的最短边长为。

14．已知三角形的周长为9，且三边长都是整数，则满足条件的三角形共有 3。

15．设△ABC的三边a、b、c的长度都是自然数，且a≦b≦c，a+b+c=13，则以a、b、c为边的三角形共有 5 个

16．若三角形的三边长为3，4，x-1，那么x的取值范围是 1＜x＜9。

17．现有长度分别是2cm、3cm、4cm、5cm的线段，从中任取三条，能组成三角形的个数是4个。

18．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不允许火柴棒折断，并且全部用完）能摆出不同形状的三角形的个数是。

19．若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是 4。

20．内角和是1260°的多边形的边数是 9。

21．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是 7。

22．在26个大写英文字母中，是轴对称图形的有13个。

23．已知下列图形：（1）等腰三角形；（2）等边三角形；（3）直角三角形；（4）锐角三角形；（5）钝角三角形；（6）等腰直角三角形；（7）线段；

（8）直角；（9）圆。其中一定是轴对称图形的有8个。

24．关于奥运会的五环图案有下列四种说法：（1）它不是轴对称图形；（2）它是轴对称图形，只有一条对称轴；（3）它是轴对称图形，有三条对称轴；（4）它是轴对称图形，有无数条对称轴。其中正确的说明是2。

第25题 D第27题

25．如图，AD是线段BC的中垂线，EF是线段AB的中垂线，点E在AC上，且BE+CE=20cm，则AB=。26．如图，AB、CD相交于点O,AE为∠BAD的平分线，CE为∠BCD的平分线，∠D＝25°,∠B＝35°，则∠E＝_60_______。27.一副三角板按如图方式放置，两条斜边所形成的钝角∠1＝_165_____

第28题

第30题第32题第34题

28．如图，DE垂直平分AC，若AB=12cm,BC=10cm,则△BCD的周长是（）

29.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为30或120

30如图，点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB于F，DF⊥AC于F，连结EF，给出下列结论：（1）DE=DF；（2）AE=AF；（3）∠ABD=∠ACD；（4）∠EDA=∠FDA。其中正确的是（B）A.(2)B.(1)(2)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)31．从镜子中看到一电子钟的时间为12：01，则实际时间是10：51 32．O为△ABC内一点，且OA=OB=OC,若∠OBA=20°,∠OCA=30°，则∠OCB。

33．已知等腰三角形的一腰上的中线把它的周长分成15cm和6cm两部分，则此等腰三角形的底边长为。34．如图∠BAC=120°，AB、AC的垂直平分线交BC于D、E，则∠DAE的度数为。35．已知等腰三角形的一个外角为40°，则该等腰三角形的顶角度数为。

36.在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点F,经过F作DE∥BC交AB,AC于D、E,若AB=10cm,AC=9cm,则△ADE的周长是

37．如图，四边形第36题ABCD

为正方形，△PAD是等边三角形，则∠第BPC37的度数为题。

第38题

38．将五边形纸片ABCDE按如图所示的方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在点G、H上，已知∠AFC=80°，则∠CFH等于。39.小明面朝正北方向站在操场西南角，前进2米，向右转15度，再前进2米，向右转15度，这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了________米。

40.等腰三角形周长为20,则腰长m的取值范围为____________。

41．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若△ABC不是直角三角形，且∠A=60°，则∠BOC=度。

42．在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为。43．如图，∠A=10A

°，AB=BC=CD=DE=DF，则∠FEM=。

第43题

第44题

44.如图①②③所示，在△ABC中，∠A=a，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=＆，试求下列各图中a与＆的关系，并选择一个加以

说明。

45.已知在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm两部分，求此△ABC各边的长。46.已知一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的对角线的条数。

47.一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于1000°，求这个内角及多边形的边数。

48一个多边形物体截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是2880°，则原多边形的边数是多少？

B49.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的任意一点，DE⊥AC，DF⊥AB，BM是腰上的高，你能判断BM与DE+DF之间的大小关系吗？你能用三角形的面积关系说明理由吗？

第49题

第50题第51题

50.（1）在△ABC中，∠B=∠ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，如图所示，∠A=40°，求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；（3）你发现了什么规律？（直接写出结论）

51.在铁路l同侧有两个工厂A和B，要在铁路上修建一个货物周转站C，使周转站C到A、B两工厂的距离之和最短，确定点C的位置。52.M、N为△ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上找一点P，使得△PMN的周长最短。（保留作图痕迹，写作法,不证明）

53.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先从划地OC边某处牧马，再到河边OD某处饮马，然后回到帐篷，请你帮他设计出这一天最短路线，并标明饮水与牧马的位置。

54.如图,在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，且BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数是多少？

第52题

第53题

第54题

图a

D图b

第55题第56题

第57题

55.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，求∠EDC的度数。

56.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E在AC上，且AB=AD，CB=CE，求∠EBD的度数。57.（1）如图a，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，试探寻∠DAE与∠C、∠B的关系。

（2）如图b，若将点A在AE上移动到F，FD⊥BC于D，其他条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有（1）中的关系？说明理由。（3）请你提出一个类似的问题。

58.小明在学习三角形的知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F。

（1）如图1，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是；（2）如图2，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是；（3）如图3，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是。请你完成（1）、（2）、（3）三个命题，并从中任选一个进行证明。

59.如图，从学校A到车站B有三条路线，但早晨7：30时，路线（1）挤满学生，出租车无法通行，为此，需在路线（2）和路线（3）中选一条，请你协助分析，出租车选哪一条路线较近？为什么？

图

E图

图

3第58题

第61题

第60题(AB+BC+AC)

第59题

261.如图，已知射线OM与射线ON互相垂直，B、A分别为OM、ON上一动点，∠ABM、∠BAN的平分线交于C。问：B、A

在OM、ON上运动过程中，∠

BP是三角形ABC内一点，试说明AP+BP+CP>

60.如图，C的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由。

62.如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A=30°，∠DFE=7

5°。（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E。（2）求∠E的度数。

（3）若在上图中作∠CBE与∠

GCE的平分线交于点E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于点E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线交于点E3，依次类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于点En+1，请用含有

n的式子表示∠En+1的度数。63.凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值。64.如图，任意画一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

65．在△

ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为D，DE∥AB,交AC于E,若AE=2,求CE的长。

第65题第66题

第67题第68题第69题

66．在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，FM∥AB，FN∥AC。若△FMN的周长为8cm，求BC的长。67．在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACH，DE∥BC分别交AB、AC于E、F，试说明BF=EF+ＥC。68．在△ABC中，CE平分∠ACB，CD平分∠ACH，过E作ED∥BC交AC于F，试说明F是ED的中点。69.．已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AN平分∠BAC交CD于M，交CB于N，过N作NG⊥AB。

（1）试说明CM=CN=NG（2）试说明AN垂直平分CG。

70．如图，AB=AC，ED垂直平分AB，GF垂直平分AC。

（1）若∠EAG=40°，求∠BAC的度数；

（2）若∠EAG=60°，GC=4，CF=3，求△AEG和△ABE的周长。

71．已知AD为等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求这个三角形各内角的度数。72.如下几个图形是五角星和它的变形.（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E．

（2）图（1）中的点A向下移动到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化？如图（2），简要说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B+∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），简要说明你的结论的正确性．

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