发散思维练习
有一天，爱因斯坦在和儿子谈话时，儿子突然问道：“爸爸，你是不是最聪明的人?”
爱因斯坦问儿子：“为什么这么说呢?”
儿子回答道：“老师说你是世界上最伟大的科学家，因为只有你发现了相对论。”
爱因斯坦笑着说：“一只甲壳虫在一个球上爬行时永远也不会知道自己正在一个球体上爬行，因为它的视觉是扁平的。而如果是一只蜜蜂，它一眼就能看出自己正停留在一个有限的球体上，因为它的视觉是立体的。而我比别人聪明，就是因为我有蜜蜂的视觉。记住，儿子，没有事情是孤立而扁平的。”
爱因斯坦所描述的正是发散思维的特点。美国学者托尼·巴赞认为发散思维的内涵主要有两点，一是指来自或者连接到一个中心点的联想过程;二是指“思想的爆发”。由此可见，发散思维实际上是一个发现事物间联系并主动利用这种联系的活动，是开放的、流动的和不断发展的。
一个思想呆滞的人不可能在某个领域做出太大的成就，科学家的新发明、商人的新点子、艺术家的新创造大部分是通过发散性思考获得的。发散性思考要求我们思考问题的时候从一个问题出发探求多种不同的答案。美国著名的心理学家吉尔福特在研究创新思维的过程中，指出与创造力最相关的思维方法就是发散思维。吉尔福特认为，经由发散性思维表现于外的行为即代表个人的创造力。也就是说，你的思维越灵活，说明你的创造力越强。
发散思维作为一种创造性思维，有多种发散方式，大体可以分为因果发散、辐射发散、组合发散、关系发散和特性发散5类。
训练一：图形发散训练
图形发散是指以图为思维对象的思维发散。
图形发散的训练可以有很多种。
(1)基本元素发散
以某一图形为基本单元，进行不同的变化和组合，形成新的图案。如以六角形的不同排列组合，构成各种图案。
(2)组合设计发散
如以三角形、圆形和正方形三个图形进行组合，并注明组合图形的名称。
(3)图像构成发散
这种视觉图形的发散能力在广告设计、产品设计上是大有用武之地的。
古代中国创造出各种涡旋，它是永恒生命力的象征。鸟被认为是太阳的使者，以鸟为主题的涡旋鼓翼生风，栩栩如生。两条鱼追逐的形态作为多产的象征描绘在古代的陶器上。至于太极图则是一种文化的凝聚。
恰似照应这种涡旋，在日本“巴”形涡旋应运而生。“巴纹”被设计成多姿多彩的徽章。巴纹简洁的涡旋重叠起伏，融会万物，如生命降临人间。
让我们来设计一些双涡旋，既可作为用具上的装饰，又可作为园林设计的图案。正如图例所显示的，仅是巴纹简洁的双涡旋形态就可以千变万化，更何况我们还可以借鉴世间万物的形态。
让我们的设计打着涡旋，绞入天地自然令人目眩的万千现象，卷入草木虫鱼的形态以及工具、文字等。我们要调动我们的情绪，激活我们的想象力，想法越多越好，越独特越好。画面越生动、越抽象、越精致越好。
训练二：词语发散训练
词语发散是发散思维训练的基本方法。可以有名词发散，动词发散，反义词发散，标题发散，情节发散等多种训练。
词语发散在写作和广告语的设计中被经常使用。
请看下面这些保险公司的经典广告词：
世事难料，安泰比较好——安泰保险
聆听所至，真诚所在——信诚保险
财务稳健，信守一生——美国友邦
人生无价，泰康有情——泰康人寿
平时注入一滴水，难时拥有太平洋——太平洋保险天地间，安为贵——天安保险中国平安，平安中国——平安保险盛世中国，四海太平——太平人寿这些保险公司的名字和他们的广告词，莫不是从安全、保障和诚信这几个词扩展出来的。类似的例子很多，可以说词语的发散在生活中比比皆是。
优秀的作家和诗人都是词语发散的大家，他们常能在许多意义相近的词语中，选择最贴切的一个。
词语发散不仅在写作以及设计广告词的时候有用，在发明中也同样用得着。
让我们先玩个游戏：在10分钟内尽可能多地写出与开有关的动词。
一、改变题型,培养学生思维的灵活性
传统的封闭方式呈现的练习,只要求学生运用常规的方法得到固定的答案就可以了,久而久之学生的思维就会被锁定.如果教师对这些练习做一些改变,鼓励学生用发散性的思维解答,就会创设出很多富有挑战性的练习.比如,教学“万以内数的大小比较”,有这样一道题:比较4303和3034的大小.将题目改成:用4、3、0、3这四个数组成一个最大的四位数和最小的四位数.要解答这个问题,学生不仅需要知道如何比较两个数的大小,而且对位值制(即同一个数,放在不同的位置,值是不一样的)和进位制也必须有清楚的认识.设计这样的练习学生就更愿意去做、去探究、去挑战,思维灵活性也得到发展.
二、解法分散,培养学生思维的广阔性
思维的广阔性是发散思维的又一特征.思维的狭窄性表现在只知其一,不知其二,稍有变化,就不知所云.反复进行一题多解的训练,是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法.教师在教学过程中,不能只重视计算结果,要针对教学的重难点,精心设计有层次、有坡度,解法分散的练习题,让学生通过练习不断探索解题的捷径,开拓解题思路,使思维的广阔性得到不断发展.
如:在教学“三角形面积计算”后,设计练习:一个三角形木架,底是12.5米,高是6.4米,如果把这个木架刷一遍(两面都刷),每平方米用油漆0.4千克,刷这个木架至少用油漆多少千克?首先,让学生独立思考,然后请学生板演,先求出三角形一面的面积:12.5×6.4÷2=40(平方米),再求出两面的面积:40×2=80(平方米),最后求出这个木架至少用的油漆:80×0.4=32(千克).大部分同学都可以想到这种方法,这时一名同学有一个新的想法,因为两面都要刷漆,就相当于刷两个完全相同的三角形,而两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形,只要求出平行四边形的面积就可以了:12.5×6.4=80(平方米),最后再求这个木架至少用的油漆:80×0.4=32(千克).
学生呈现的思维和方法让笔者非常感动,原来只要在练习中注重学生学习思维和方法的训练,他们都能成为解题高手!
三、转换角度思考,培养学生思维的求异性
发散思维活动的展开,重要的是要改变已习惯了的思维定向,从新的思维角度去思考问题,以求得问题的解决,这也就是思维的求异性.从认知心理学的角度来看,小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征,往往表现出难以摆脱已有的思维方向,也就是说学生个体的思维定式往往影响了对新问题的解决,以致产生错觉.要培养小学生的抽象思维能力,必须十分注意培养思维求异性,使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力.
如162-9可以连续减去多少个9?应要求学生变换角度思考,从减与除的关系去考虑.这道题可以看作162里包含几个9,问题就迎刃而解了.设计这样的练习题,既防止了片面、孤立、静止看问题,使所学知识有所升华,从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系,又培养了学生思维的求异性.
四、设计开放性练习,培养学生思维的跳跃性
传统解决问题的练习题答案是唯一的,学生往往只满足于找准答案就行了,学生不能举一反三,思维的广度、深度、灵活性就无法得到培养和训练,个性就无法得到张扬.因此,教师应设计有多种解决方法或者有多个答案的练习,引导学生从不同角度、用不同的思路和不同的方法,去分析解答同一个数学问题的练习活动,以此来培养学生思维的品质,激发学生学习数学的兴趣,开拓学生的思路,提高学生解决问题的能力,培养他们不断进取的精神.
例如:笔者在教学相遇问题时设计这样一道题:甲和乙同时从学校出发,甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,10分钟后他们回到家,甲家和乙家相距多少米?由于“相遇问题”的思维定式影响,学生只从“背向而行”这一思考角度得出(50+60)×10=1100(米)这一结论,思维一时受阻.笔者及时启发,画图帮助思考,学生思路拓展开来,又得出以下两种结论:①如果甲和乙“同向而行”,则(60-50)×10=100(米);②如果甲和乙既不是“背向而行”又不是“同向而行”,而是甲家和学校、乙家形成一个三角形,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得出答案是在“1100米”和“100米”之间,有无数个.学生对自己的“发现”既惊讶又欣喜,课堂上洋溢着勃勃生机.
总之,在数学教学实践中,学生思维能力的发展,除了课本上提供之外,还和教师的教学指导思想和引导方法有直接的关系.因此教师在教学过程中,精心设计练习题,让学生自主探究,不仅能掌握知识,形成技能,还能发展数学思维.
参考文献
【美】欧·亨利
一天，查完账目以后，稽核托德先生戴上帽子，请第一国民银行总经理朗利先生到小办公室去。
“账目都很清楚，朗利先生，”托德说，“我发现你的贷款也都符合手续——不过有一笔例外。有一张借据很糟糕，我指是那笔借给托马斯·默温的一万元活期贷款。问题不仅在于数目超过了银行发放私人贷款的最高限额，而且既无担保，又无抵押。因此，你在两方面都违犯了国民银行法，政府随时都可以向你提出刑事诉讼。你该明白情况有多么严重了吧。”
“你根本不认识汤姆·默温。”朗利几乎是亲切地说，“不错，我知道这笔贷款。除了汤姆·默温一句话以外，没有任何抵押品。不过我一向认为，一个人只要讲信用，他的话就是最好的抵押品。”
朗利在椅子上继续坐了半小时，然后点燃一支醇和的雪茄，到汤姆·默温家去了。“汤姆，”朗利靠在桌子上说，“有没有埃德的消息？”“还没有。”默温继续编着鞭子，回答说，“我想这几天里埃德总该回来了。”
朗利说：“有一个银行稽核今天去我们那里探头探脑，发现了你那张借据。你知道我认为没有问题，可是这样做是违犯银行法的。他限我明天十二点以前解决，那时候我得拿出现款来抵账，不然——”
默温扔开鞭子，到城里仅有的第二家银行去，那是库珀和克雷格合伙开的私营银行。老于世故的库珀借故合伙而拒绝了他。
下午四点钟光景，他到了第一国民银行，隔着朗利办公桌的栅栏，凑过去说：“我想办法在今晚——我是说明天——替你搞到那笔钱，比尔。”“好吧，汤姆。”朗利平静地说。
那晚九点钟，汤姆·默温谨慎地走出他住的木头小房子。默温的腰带里插着两支六响手枪，头上戴一顶垂边帽子。他迅速地沿着一条冷落的小街走去，到了同窄轨铁路平行的沙路上，最后来到离城两英里的水塔旁。汤姆·默温在这儿停住，用一条黑绸手帕蒙住面孔下部，拉下帽檐。
十分钟后，从查帕罗萨开往罗克台尔的夜班火车在水塔旁边停住了。
默温双手各握一支手枪，从一丛栎树后面站起身，向机车走去。他还没走上三步，两条有力的长胳臂突然从背后把他拦腰抱起，合扑摔在草地上。一个沉重的膝头抵住他的脊背，钢钳一般的手捉住了他的手腕。他就这样像小孩似地被制服了，直到机车加了水，重新起步，逐渐增加速度，开得看不见了为止。这时候，他才被松开，站了起来，发现抓他的人竟是比尔·朗利。
“这事绝不能这么解决，汤姆。”朗利说，“今天下午我见到了库珀，他把你同他谈的事告诉了我。晚上我去你家，见你带了枪出来，于是我一直尾随你到这儿。我们回去吧，汤姆。”
两人并肩走了。
“这是我唯一的机会。”过一会儿，默温开口说，“你要求归还贷款，我总得想办法清偿。比尔，假如他们为难你的话，你怎么办理？”
“假如他们为难你的话，你又怎么办呢？”朗利反问道。
“我从没有想到自己竟会埋伏起来拦劫火车，”默温说，“不过一笔活期贷款又是一回事了。我向来说一是一，说二是二。我们还剩下十二个小时，比尔，过后那个探子又要来找你麻烦了。我们总得想办法把这笔款子筹措到手。你听到了没有？”
默温突然奔跑起来，朗利跟了上去，只听得黑夜中有一个悦耳的口哨声，吹着“牧童悲歌”的凄凉的调子。
“他只会这一支歌。”默温一面跑，一面嚷道，“准保是——”
他们跑到了默温家。默温一脚把门踹开，冲出去，给屋子中间一只旧手提箱绊了一跤。一个风尘仆仆、皮肤黧黑、宽下巴的小伙子躺在床上抽着褐色的香烟。
“怎么样？埃德。”默温上气不接下气地说。
“马马虎虎。”那个干练的小伙子懒洋洋地说，“刚乘了九点三十分那班火车回来。那批牛卖了，十五元一头，一个钱也不少。喂，老哥，别把那只手提箱踢来踢去啦，里面装着二万九千元现款呢。”（选自《欧·亨利短篇小说选》，有删改）
【思考题】
1. 下列对小说有关内容的分析和概括，不恰当的是两项是（ ）（ ）
A.鉴于活期贷款是有上限的，需担保和抵押，因此朗利的做法是很冒险的举动，难怪稽核的怀疑和不满。
B.默温去找库珀帮忙，却被拒绝，由此可见默温的口碑并怎么样。
C.故事最后出现的那个小伙子正是埃德，他也是讲信用的人，同朗利一样，都是是欧·亨利小说中着力刻画的一类人物。
D.文章题目没有深意，仅仅起到小说线索的作用，因此完全可以更换一个。
E.这篇小说综合运用了外貌、对话、神态描写，生动地刻画了人物形象。
2. 结合作品，请简要分析朗利这一人物形象。
3. 欧·亨利的小说特色鲜明，请谈谈这篇小说的突出特点。
4. 这篇小说意蕴丰富，给人多方面的启迪，请结合作品，分别对下面的两个方面进行探究。
（1）请就朗利的“一个人只要讲信用，他的话就是最好的抵押品”谈谈你的看法。
（2）有人说，朗利已经仁至义尽了，他没有必要再去制止默温的鲁莽举动。你的看法呢？
【写作发散】
欧·亨利曾引用吉卜林的一句话：“西方就是西方，东方就是东方。它们永远不会相遇。”在他的心目中，东方指的是以纽约、芝加哥为代表的工业发达而人性沦落的东北各州，而西方指的是广阔自由、富有浪漫气息的美国西南部。因此在欧·亨利笔下的西部牧牛人，体现着纯净天然的人性品格——爱情、友谊、尊严与荣誉等，拥有磊落、坦荡、淳朴的高尚情怀，散发着闪光人性的光芒。《活期贷款》即为这类文章中的精品。
【参考答案】
1. BD（B库珀的出现是作为朗利的一个对比人物而出现的，更加突出了朗利的高尚。D既是线索，同时正是因为这样一件存有不确定性因素的事情，更能突出朗利的高尚的人格，带给人们更多的思考。）
2.他是一个胸无城府，待人坦诚，讲信用，无私助人，不惧生死危险而冒死救人的高尚之人。
3. ①欧·亨利的小说最突出的特色是结尾出人意料，但又在情理之中。埃德恪守诚信准则回来了，一切皆大欢喜。②小说情节波折起伏，扣人心弦，故事在山穷水尽处柳暗花明。③人物更加丰满，比如默温和朗利的最后的表现有点侠客风范。
4. 提示：（1）信用是做人之本，只要胸怀坦荡，将心比心，就会有收获。但现实情况是真正做到守信和诚信其实很难。
（2）朗利是作者精心刻画的一个人物，应该说乐于救人并不难，只要你有一颗爱心就够了；但是要救赎一个人，一个濒临绝境很可能走上绝路的人，就不是简单之事，他需要你的勇敢，需要你的高境界的人生修养。
在现有方式中进行选择，汇聚式思维是最实用的方法。然而，汇聚 式思维并不擅长探査未来或创造新的可能性。想象一个漏斗，开口较大的那端代表范围很广的初始可能性，而开口较小的那端则代表经仔细汇聚后的解决方案。很明显，这是盛满一支试管或者找出一系列精雕细琢式解决方案的最有效途径。
如果解决问题的汇聚阶段能够推动我们找到解决方案，那发散式思 维的目的就是增大可能性以创造新选择。这些也许是对消费者行为的不同见解，也许是对提供新产品的另类远见，或者是从创造互动体验的不同方式中所做的选择。通过测试相互矛盾的想法，更有可能得到更大胆、更能创造性地打破常规、更引人注目的结果。两度获得诺贝尔奖的莱纳斯•鲍林(Linus Pauling)说得最好：“为了有个好主意，必须先有很多想法。”
但是我们的想法仍然要切合实际。更多选择意味着更复杂，这就使 事情变得更困难，对于从事控制预算和监控进度的人来说尤其如此。多数企业的自然倾向是筛选过滤问题，并限制选项以支持显而易见的渐进 式增长。虽然这种倾向在短期内也许更有效，但是长远来看，这会让组织变得保守、僵化、经不起外在改变游戏规则的想法的冲击。发散式思维是创新的途径，而不是障碍
所谓收敛思维，又叫求同思维、集中思维、辐辏思维。求异思维表现为“以一趋多”，求同思维表现为“以多趋一”，就是思维主体把从不同渠道得到的各种信息聚合起来，重新加以组织，使之明确无误地指向一个(或一种)正确的选择。它有三个特点：第一是概括性。平时开会，在大家发言的基础上，总要把议题和意见集中一下，把众多的不同见解加以归纳综合，就是收敛思维的概括性。第二是程序性。收敛性思维总是在考虑应该怎样解决问题，解决问题的程序是什么，先做什么，后做什么，一步接着一步，能使问题的解决有章可循。第三是比较性。就是以一个目标为其归宿，即在现有的几种途径、方案和措施中，通过比较，寻找一个较合适的途径、方案和措施，最好的、最合适的则是相对的。
发散思维和收敛性思维各有其优缺点，在思维过程中它们是相辅相成、互相补充的。如果只有思维的发散过程，而无收敛过程，尽管可以爆发出许多思维创造的闪光、智慧的火花，但由于不能统一起来，不能形成集中的思维力量，会使思维失去控制而陷入无序状态，发散无边，就成幻想、空想、乱想。实际上，人的思维发散到一定程度，就要收敛一下，进行比较，寻找较好的解决问题的方案，然后在新的基础上再进行发散，进而在更高的层次上再收敛。总而言之，在思维过程中，如果发散不以收敛为前提，思维就不会获得成果;收敛如果不以发散为前导，人类的思维就永远不能前进而停留在一个水平上，从而也就不会有所发现、有所创新。
写作过程也是如此，光靠发散思维是不够的，因为一味发散，不知收束，必然导致四面出兵、兵力分散的局面。因此在发散的基础上要有所收束、有所集中，以使作者的思考力集中在一个方向上进行突破，从而使构思得以深化。例如秦牧的散文《土地》，尽情发散，引用古今中外许多材料，看起来形散，但是文章以“要珍惜和热爱自己的土地”这一主题，把材料统摄起来，这个神聚就是收敛思维的结果。求异思维好像从一点向四面八方射线，求同思维好像从四面八方射向一点;求异思维是重在疏导、变通、搞活，求同思维是重在梳理、调节、控制;求异思维是发散开去，便于选择，便于求新，求同思维是集中起来，便于开掘，便于求深。先散开去，再总结概括相同点是求同思维的一种作文形式，如《土地》。借物喻人，采用比喻象征手法又是另一种形式，如茅盾的《白杨礼赞》，借白杨树来赞美根据地人民所表现出来的质朴、坚强、团结一致、不屈不挠的精神。陶铸的《松树的风格》、茅盾的《风景谈》亦是此种类型的文章。
2.迁移训练
(1)国外有一家烟草公司，试制了一种新型号卷烟，命名为“环球牌”，正准备大张旗鼓推出的时候，却逢全国性的反对吸烟运动。“宣传香烟”与“禁烟运动”是截然相反的两回事。为了打响自己的香烟品牌，而又不与当前的戒烟浪潮相冲突，就必须把矛盾的两件事沟通起来，找出其共同点。请你运用收敛思维，拟一条广告，不超过20字。
(2)生命是什么?请用形象化的比喻来说明这个问题，也就是说，把你所理解的生命同一个具体的事物作一番求同类比，注意二者的相似性。
(3)我们的班级怎么样?请用比喻的方式来描述它的特征。
(4)“大排·豆腐·学习”是一篇作文的题目，试找出它们三者之间的内在联系，用简洁的文字加以表述。
(5)阅读下列4则材料，运用收敛思维，提取一个共同点，作为文章的中心论点。
a.英国凯特林男子中学课余天文兴趣小组由二十几个中学生组成，年龄最小的才12岁。1982年12月31日，该小组发现苏联“宇宙—1402号”核动力卫星出了毛病，比美国防空司令部空间监测中心的发现还早一个星期。
b.1975年，在我国江西天文爱好者段元星发现“天鹅座新星”的同时，上海奉贤县一所小学的天文小组，也观察到了这一稀异现象，受到了有关方面的称赞和重视。
c.《红楼梦学刊》是我国具有较高学术水平的文学研究专刊，有一期刊登的一篇论文，它的作者是一个普通的中学生。
d.15岁的女中学生杜冰蟾，通过努力，发明了“汉字全息码”，并获得专利权。
(6)运用收敛思维，写一篇富有创意的项目设计书，内容自选。
3.参考答案或提示
(1)禁止吸烟，连环球牌也不例外。
(2)生命如同烹调菜肴一样，菜肴的味道完全取决于调料和你的烹调技巧，你可以按照固定不变的食谱来烹调，也不妨由你自己随意发挥。或：生命如同一串散乱的念珠，随便你怎么串连组合，都能够变得五光十色。或：生命如同一只顽皮的卷毛狗，不断地在充满防火栓的街道上寻寻觅觅。或：生命是一座你不想找到出口的迷宫。
(3)我们班级就像古代一艘木船，有的人用尽全力划桨，有的人则半心半意划桨，还有些人袖手旁观，根本不划船，不少人随时准备跳水游到别的船上去。我们的船长则是根据船后面的航迹来掌握方向。
(4)大排豆腐对人体都有营养，不可偏废。学生的学习也不可过早偏科，而应全面而扎实地打好学习基础。
4、侧向思维(旁通思维)
从与问题相距很远的事物中受到启示，从而解决问题的思维方式。
例1：19世纪末，法国园艺学家莫尼哀从植物的盘根错节想到水泥加固的例子。
当一个人为某一问题苦苦思索时，在大脑里形成了一种优势灶，一旦受到其他事物的启发，就很容易与这个优势灶产生相联系的反映，从而解决问题。
5、横向思维
相对于纵向思维而言的一种思维形式。纵向思维是按逻辑推理的方法直上直下的收敛性思维。而横向思维是当纵向思维受挫时，从横向寻找问题答案。正象时间是一维的，空间是多维的一样，横向思维与纵向思维则代表了一维与多维的互补。最早提出横向思维概念的是英国学者德博诺。他创立横向思维概念的目的是针对纵向思维的缺陷提出与之互补的对立的思维方法。
6、多路思维
解决问题时不是一条路走到黑，而是从多角度、多方面思考，这是发散思维最一般的形式(逆向、侧向、横向思维是其中的特殊形式)。
7、组合思维
从某一事物出发，以此为发散点，尽可能多地与另一(或一些)事物联结成具有新价值(或附加价值)的新事物的思维方式。
第一次大组合是牛顿组合了开普勒天体运行三定律和伽利略的物体垂直运动与水平运动规律，从而创造了经典力学，引起了以蒸汽机为标志的技术革命;第二次大组合是麦克斯韦组合了法拉第的电磁感应理论和拉格朗日、哈密尔顿的数学方法，创造了更加完备的电磁理论，因此引发了以发电机、电动机为标志的技术革命;第三次大组合是狄拉克组合了爱因斯坦的相对论和薛定鄂方程，创造了相对量子力学，引起了以原子能技术和电子计算机技术为标志的新技术革命。所以爱因斯坦说过：“……组合作用似乎是创造性思维的本质特征。”
解法1:不等式法
解法2:换元法
设a=ccosα, b=csinα (0<α<π/ 2 ) ;m=tcosβ, n=tsinβ.
代入am+bn+2c=0得ct (cosαcosβ+sinαsinβ) +2c=0,
因为c>0, 所以tcos (α-β) +2=0, 从而2=|tcos (α-β) |≤|t|,
故t 2≥4, 因此t 2 =m 2 +n 2的最小值为4.
解法3:解析法
依题意知, 动点P (m, n) 在直线l:ax+by+2c=0上运动, 它到坐标原点O的距离是
由平几知识得, 点O到直线l垂线段OH最短.
在Rt△AOB中, 斜边
斜边上的高所以m 2 +n 2的最小值为4.
解法4:解析法
依题意知, 动点P (m, n) 在直线l:ax+by+2c=0上运动, 动点P (m, n) 到坐标原点O的距离是根据原点O到直线l的垂线段最短, 由解析几何知识得
原点O (0, 0) 到直线ax+by+2c=0的距离是
所以m 2 +n 2的最小值为4.
解法5:向量法
点评:以上通过一道求最值题的解法探究, 启示我们在学习中, 要不断培养自己多角度、利用发散思维考虑问题的能力, 帮助复习巩固所学知识, 提高分析问题与解决问题的能力.
摘要：在平时的学习中, 学生要发散思维, 从各种不同的知识侧面, 用不同的思维方式寻求解题途径, 比较各种解法的特点, 增强解题的灵活性, 克服单纯做题的机械模式, 变机械思考为主动思考, 做一道题, 能起到举一反三, 复习巩固多个知识点的作用, 提高分析问题、解决问题的能力, 掌握多种处理问题的方法, 特别是最简、最优的方法.本文以一道求最值题进行发散思维, 多角度考虑问题的探究.
关键词：高中数学;学习兴趣;学习氛围
在传统的教学过程中，大多数学生往往只停留在对数学知识的表面认知与理解上，长此以往，学生对于数学知识只是一般的学习掌握，难以在学习过程中提高兴趣，发散思维。有经验的数学老师就会意识到创新课堂的重要性，这种课堂不再仅仅满足于让学生掌握当前所学知识，更应注重激发学生对数学的兴趣，使其思维得到发散，学会研究性学习，敢去挑战数学难题，攻破难关。更重要的是，在高中阶段，一旦学生的这种思维得到不断训练，那么其思维便会越来越灵活，并具有长久性。因此，当学生以后步入更高的学府，乃至在以后的学习工作以及生活中，都会不断灵活运用以及有效发展该种思维，更加适应时代快速发展的需要，拥有更广阔的前景。
高中数学的教学方法及目标随着经济、科技和社会的发展而逐渐要求改革创新。所以，在教学过程中，科学灵活的教学手段与教学理念是必不可少的。此外，高中数学需要学生极其全面系统的思维方式，学生思考问题时思路的清晰开阔极其重要，这一特点提醒教师应把握时机，从高中数学教学入手，卓有成效地利用课堂，激发学生的思维。教师又在教学中扮演着重要角色，因此高中数学教师能否灵活运用各种先进科学的教学手段，对学生的全面发展起着关键作用。
在高中数学教学方面，可从以下三方面入手，有效利用课堂，开阔学生的思维。
一、有效培养学生的学习兴趣
“兴趣是最好的老师。”从这句广为人所知的话中不难体会到兴趣在学生学习中的重要地位。但是却很少有人能认识到提高学生学习兴趣能提高其创新性。创新是主动的，必须自己有意愿去学习、去钻研才能发现数学的妙处，并且在不断学习中去逐渐发散思维，充分挖掘出自己内在的潜能。为了有效激发学生的学习兴趣、增强其创造性，教师可以设置多彩的教学情境，一方面可以帮助学生在理解的基础上加深印象;另一方面，学生在丰富多彩的教学环境中感受到数学的美丽，对所学知识产生浓厚兴趣。比如在高中数学函数的教学中，有多种曲线方程，教师可以把函数比作一个大家族，再把各种曲线方程比作这个大家族中的成员，并在分别介绍家族中各个成员后，再讲他们成员的联系，本来单一的教学就一下子变得生动起来，这样一来也就不难激发学生的创造性了。
二、营造良好的学习氛围
高效的工作需要优良的环境，同样，学习质量能否提高与其氛围的好坏也有着重要联系。一直以来，中国的传统教学几乎都是讲授式的，并且课堂氛围以严肃紧张居多。课堂的严肃体现了教师与学生对知识的崇敬，以及对待学术的认真态度。然而，这种紧张严肃的氛围也束缚了学生的思维，学生的思想被各种条条框框紧紧地困住，难以在学习过程中有思维的飞跃。毕竟在教学的过程中，学生才是教学的对象，所以课堂是属于学生的，教师只是起指引作用。最好的课堂应是学生从中掌握最多并且掌握得最有效的，最能发挥学生创造性的。所以，不妨把课堂从真正意义上交还给学生，让他们充分展现自己的认知与才华，让他们不同小组间有效地合作竞争学习。宽松的教学氛围无疑可以更加充分地提高学生的想象力、增强创造性，使学生的思想不受压抑，充分地按照自己的意愿发挥出自己的特长。
三、使学生树立“问题意识”
有经验的教师不难发现，不爱提问的学生只是一味地吸收与巩固所学知识，而不会深入地对所学知识进行探究，这种学生的思维方式是单一的。在高中数学教学过程中，教师可以就所教知识，从多方面进行现场提问，使学生在问题的促使下进行思考，灵活地运转大脑，尤其是对于不爱思考的学生应着重训练;也要鼓励学生善于发现问题、积极提问，提问代表该学生有着与别人不同的更新奇的见解。教师遇到这种学生一方面要耐心地解决他们的疑惑，另一方面要试着一步一步地引导学生进入更深一层的思考，使其思维得到发散。
一段时期后，大部分学生就会逐渐获得“举一反三”的思维能力。比如，在讨论圆与圆的位置关系时，教师可以先讲一种关系，让学生自主思考其他关系，并思考距离d与两圆半径R、r的关系，最后，教师再做补充。这不仅有利于大部分学生自主学习知识，发展创新性思维能力，也便于高中数学的教学、活跃课堂氛围，使得不爱思考的学生也逐渐融入创新思维的行列中。
总而言之，学生思维能力的提高贵在有效的训练。教师应把握课堂机会，在教学过程中灵活运用科学有效的教学方法，培养学生的这一思维能力，并进行重点训练，使其在今后的学习中思维也能得到发展。只有这样，才能最深刻地体现出教学的目的。
参考文献：
[1]徐兆娟.高一数学教学的有效策略研究[J].数学学习研究，2011（10）.
[2]杨玉忠.浅议高中数学的学法指导[J].青年文学家，2011（2）.
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括和间接反映.以新颖独特的思维活动揭示客观事物本质及内在联系并指引人去获得对问题的新的解释，从而产生前所未有的思维成果称为创意思维，也称创造性思维.它给人带来新的具有社会意义的成果，是一个人智力水平高度发展的产物. 创意思维与创造性活动相关联，是多种思维活动的统一，但发散思维和灵感在其中起重要作用.创意思维一般经历准备期，酝酿期，豁朗期和验证期四个阶段. 几种主要的创意思维模型：斯滕伯格“创造力三维模型理论”、若宾的基于“关系复杂性”的模型。
发散型认知方式
是指个体在解决问题过程中常表现出发散思维的特征，表现为个人的思维沿着许多不同的方向扩展，使观念发散到各个有关方面，最终产生多种可能的答案而不是唯一正确的答案，因而容易产生有创见的新颖观念。
俗话说：百善孝为先。唐代诗人孟郊《游子吟》中“谁言寸草心，报得三春晖”这两句诗，更是生动地写出了天下儿女对父母大爱的孝敬之情。孝，就是对父母养育之恩的回报，孝是不需要理由的。古今中外，举凡功成名就流芳百世者，莫不倡孝行孝，为世人敬仰。
孝是恭敬。《论语·季氏》中说：“(子)尝独立，鲤趋而过庭。”孔鲤看到自己的老爸孔夫子站在庭院中，就小步快走以示恭敬。“趋庭”一词后世也成为儿女尊敬父母的代名词。圆舞曲之王小施特劳斯在成名后，亲自指挥乐团把《母亲的心》一曲深情地献给了含辛茹苦独自把他带大的母亲玛利亚。小施特劳斯还指挥演奏了父亲老施特劳斯创作的经典舞曲《莱茵河畔迷人的歌声》，把它献给抛弃了他们母子并且因嫉妒自己的才华而经常打压自己的老爸。小施特劳斯真诚地说：“因为没有父亲就没有我的生命。父亲是我一辈子值得崇拜的人!”小施特劳斯虔敬的孝情打动了圆舞曲之父老施特劳斯，最终他们一家重归于好。
孝是感恩。汉孝文帝刘恒是汉高祖刘邦的第四子，是薄太后所生。他即位后，日理万机，但在母亲薄太后卧病三年期间，作为一个皇帝，刘恒侍奉母亲从不懈怠，常常整夜衣不解带，守在母亲身边。母亲所服的汤药，他总要亲口尝过后才放心地让母亲服用。汉孝文帝刘恒倡导以孝治天下，他感恩母亲的仁孝行为更是成为天下楷模。世界首富比尔·盖茨富甲天下后，始终对父母深怀感恩之情。他曾这样说：“天下最不能等待的事情莫过于孝敬父母!”感动中国人物律师田世国，捐肾挽救身患尿毒症晚期的母亲，成为家谕户晓的孝子。感动中国人物大学生孟佩杰，带着瘫痪在床的母亲上大学，她一边求学，一边打工伺候母亲。她说：“我只不过做了每个女儿都会做的事。”
孝是忠诚。司马迁遵循父亲司马谈的临终遗命，继任太史令，虽遭腐刑而不敢忘先父遗命，发愤著书，终成巨著《史记》。花木兰面对年迈的父亲，挺身而出，女扮男装，杀敌立功，演绎了千古流传的忠孝传奇。岳飞不忘母亲所刺的“尽忠报国”的教诲，坚定地投身保家卫国的战斗中，成为世代名扬的民族英雄。朴槿惠在母亲遇刺身亡后毅然代行“第一夫人”的职责，在父亲遇刺身亡后她孤独隐忍，常思报国，终于成为韩国历史上首位女总统。她说：“我没有父母，没有丈夫，没有子女，国家是我唯一希望服务的对象!”
发散思维即是创新思维的一种主要形式。发散思维，又称辐射思维，多元思维，就是从一个目标或思维起点出发，沿着不同方向，顺应各个角度，提出各种设想，寻找各种途径，解决具体问题的思维方法，它具有多端性、独特性和变通性。思维在头脑中是可以发散的，它像一个光源向四面八方辐射，当思维纵横交错时，思路就纵横扩散。而每条思维射线的落点，就可能产生一个新的立意。宋代陆游的咏梅诗，其数量在百首之上，但在他的笔下，都能以独特的具体形象来表达诗人特殊环境中的思想感情，且各有各的构思，各有各的意境，各有各的情韵。而毛泽东同志的《詠梅》，堪称是反意思维的典范：一反陆词的消极颓丧而为坚强乐观，二反陆词的格调低沉而为昂扬高亢，三反陆词的孤芳自赏而为无产阶级的高风亮节。作为文章所表现的事物或题材，其自身的属性不是单一的，它不只包含一个对立面，而是一个多侧面、多元化、多层次、多因素、多变量、多关系的复合体。而由于作者各自的经历、能力和心境的不同，对同一事物、同一题材的认识和感受，也是有差异的。所谓“各以其情而自得”，“以我观物，故物皆著我之色彩”。因此，发散思维在主客观两方面都有着广阔的天地，它更富有灵活性、多向性和创造性。
在平常的作文训练中，教师应鼓励学生在立意上进行“发散”，有目的、有条理、有步骤、有秩序地扩大思路，掌握事物的多义性。如《萤火虫》，可纵向想：萤光可照明、萤光虽微但生命不息发光不止、萤光为自然界增添了光采与活力……可横向想：萤火虫与人、萤火虫与自然界、萤火虫与火炬……还可类比想到烛光、星光、月光、人生之光等，由此达到“远近高低各不同”的多元境界。对同一题目可从不同角度思索，既不重复别人，也不重复自己，激活思维，拓宽思路。发散到一定程度进行思维梳理、聚合，找到最佳切入点来构思，完成一次质的飞跃。如《风景》，要写出新意，关键在如何看“风景”。如果能摆脱容易雷同的自然风景的束缚，就能创立新的视点：每个人都是立于社会的一道风景，因此都要注意树立自身美好的形象，为社会营造亮丽的风景。再抽象一点，写“人的生和死”是一道风景，由此赞美生的壮丽、死的壮烈。这样，就对“风景”做出了新的诠释，文章就自然出了新意。立意创新的关键是激活思路，多一条思路，就可能多一个思维的驿站，每一个驿站都可能是一个新的立意。
发散思维的一种高级形式——反向思维，即美国精神病学和行为科学教授卢森堡的“两面思维”，更能产生创造力，因为它往往发散到被人们忽视或否定的一面。反向思维，言之成理，更易出新。比如一些名言警句或成语典故，都有一定的哲理性或警策性，流传日久，往往就形成一种思维定势。实际上，不少名言警句的所论是就其一点或一个角度而言的，我们完全可以反其道而言之。如“对牛弹琴”，原喻对不能理解的人白费口舌、力气，而周恩来的“对，牛弹琴”，加一逗号使其新意顿然开花，毛泽东《反对党八股》中的“放进尊重对象的意思去，那就只剩下讥笑弹琴者这个意思了。”则反出了另一新理。“开卷未必有益”，强调必须认真选择读物，否则开卷不仅无益而且有害。其它如“知不足者常乐”，“学海无涯乐作舟”，“有志者未必事成”等等，只要学生持之有据，言之成理，就及时予以肯定、鼓励他们勇于反常出格，标新立异。当然，我们所说的运用反意思维并非主张无端地每题必“异”，而是主张一种能动的敏感表现，对事物确有深刻独到的见解的自觉反向思维，即仅仅是在事物的另一对称轴上作一点简单的浅层推导，给人以为赋新词强作“反”的感觉。
培养学生立意方面的发散思维，一要引导学生有丰富的记忆表象储藏。关注人生，关注社会，关注生存状态，关注人类的未来与命运。一切与大众生活息息相关的热点、焦点话题，都不应有所顾忌，有所回避。二要培养学生丰富的情感。说真话，说实话，抒真情，亮出心灵的鲜活与坦荡；直言不讳，张扬个性。做到宣泄率真，挥洒感悟，反刍历史，憧憬未来。如果记忆表象丰富多样，感情激发力强劲，学生的思维必然活跃，创新能力随之也增强。三要解放学生的头脑，敢想善想，给学生足够的思考时间和空间，减少对学生写作的束缚，让学生放开胆子，生发写作冲动和欲望，迸发出灵感的火花，写出更多有个性、有思想、有新意的“放胆文”。每进行一次这样的作文，发散思维便得到一次锻炼，生命体验便得到一次拓展，创新的萌芽便又一次破土而出。这样，让学生用自己的眼睛去观察生活，用自己的心灵去感悟生活，用自己的真情去领略生活，用自己的思维去剖析生活，就能做到写山能情满于山，写海能意溢于海。
课本中的习题都是经过编者千挑万选, 精心设计的, 从基础到逐步深入, 从直接运用知识到拓展和灵活运用知识, 无论是在题目的难易度上, 还是在题目的综合性方面, 都很好的体现了梯度性, 方便学生的学习. 另一方面, 课本上的习题又是非常具有代表性的, 大部分题目都非常基础, 正是因为它的基础性, 使得题目有更多可拓展的方向, 如, 一题多解或变式题, 这样的题目有利于学生发散思维. 教师更是要引导学生们用好教材, 重视课本上的每一道题, 尽量多思考和探究, 充分发挥出教材中习题的功效. 对于课本上的习题, 我们可以从几个方面来挖掘和利用, 达到发散思维的目的. 下面以苏教版高中数学的教材习题来谈如何透过课本习题发散思维.
一、一题多解训练, 拓展思维广度
一题多解是一种常见的训练方式, 通过一道题目思考多种解法, 能横向拓展学生的思维, 引导学生们从不同的角度思考问题. 教师在课堂教学中要有意识地引导学生们用一题多解的方式去分析和解决问题, 不能为答案而解题. 有些教师往往没有注意这个方面, 在求得答案之后, 认为学生能解决这个问题时, 就不会再进一步分析和思考了.
如, 题目求 (sin15° - cos15°) / (sin15° + cos15°) 的值. 这是一道关于三角函数的常见的求值题, 从这个角度来看, 它并不算复杂, 可以说比较基础. 如能在解题中尝试其他的方法, 也可以很好地拓展思维的广度, 并对相关的三角恒等变换内容实现有效的复习.
这种方式实际上是对两角和与差的正弦公式的逆运用, 通过转化, 把普通角转化为特殊角后再求值. 转化角度是解决三角函数类问题的常用方法, 学生们对于这些“特殊”的普通角要多留意, 在看到相关的角度之后能够迅速地反应出该如何转化为特殊角. 利用这种方法, 要求学生们对两角和与差的正余弦公式有较熟练的掌握.
这种方法是从另外一个角度思考的, 根据原式中所求式子为齐次式的特点, 先化弦为切, 再根据两角和与差的正切公式进行求解.
二、一题多变训练, 挖掘思维深度
一题多变就是我们常说的变式题, 从一道母题出发, 通过改变相关的条件或结论, 生发出一个与原题相关联的新问题, 这种变式题之间既相互联系, 又相互区别, 在解题方面既可以参考原题的解题方法, 又要根据引入的新知识的不同寻求方法上的突破. 这是一种非常有效的训练学生思维深度以及帮助学生们巩固知识, 学会综合运用知识解决问题的学习方式. 一题多变就是倡导学生们不断去挖深, 从一个点发散出多个相关联的知识点.
例如, 求平面内到两个定点A, B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.
这道题可以直接建立直角坐标系, 并设点M (x, y) , AB =2a, 由距离之比可得化简并整理后得到点M的轨迹方程为
这道题还可以经过一系列的变化, 得到其他的题目.
如把原题中的比改为1/2, 结果又会有什么变化呢? 求解方法还是一样的, 最终可求得方程为 (
还可以把这道题中的准确值一般化, 用一个字母及范围来代替, 如, 把比为2改成λ, 且 (λ >0, λ≠1) , 结果又会如何变化呢?
教师可以不断引导学生们根据题目中的一些条件或结论去变化, 把一道题衍生出更多同类却又有区别的题目, 有效地训练学生们的思维能力.
这种从特殊到一般的变式方向, 是最常见的一种形式. 可以有效地让学生们在探究和解答的过程中感受到数学知识的一般规律. 还可以与相关的高考题联系起来, 学会综合运用知识解题.
三、一题多思训练, 促进思维发散
一题多思倡导学生们根据题中的条件和结论, 在解决问题之后再次分析和思考, 学会归纳和总结, 促进思维的发散. 我们在平时的解题过程中, 大部分学生都是求得结果之后就算是结束了, 也有少部分学生会在解完题后再次进行思考, 总结自己的思路和方法, 思考是否有更简单的方法或相关的解题过程能否简单化. 这样的思考过程是一次提升的过程, 总结和反思是促进学生思维发散, 提升思维能力的好方法.
如, 已知圆C的方程是x2+ y2= r2, 求证:经过圆C上一点M (x0, y0) 的切线方程是x0x + y0y = r2.
这道题的证明首先要分两种情况得到所求切线的斜率, 进而得出切线方程. 再根据相关的已知条件进一步整理.
之后可以进行思考, 如果点M (x0, y0) 不在圆上, 那么原题中的切线方程与圆C又存在什么样的关系呢? 如果圆C的方程为 (x -a) 2+ ( y - b) 2= r2, 又能得到怎么样的结论呢? 学生们可以根据这样的一些角度再次进行思考并求证, 适当地进行拓展和发散. 经过这样的一些训练, 学生们必然能在思维能力方面得到提升, 在考试中也能很好地解决相关的拓展类题目.
年轻的律师住在公寓，因公寓只有一个厨房，常要与楼内其他人员合用，所以他放在冰箱里的食物常常不翼而飞。有一次，他订了一只烧鸡，这只烧鸡本应该下星期一才送来的，结果在星期五便送来了。他为防万一，放烧鸡进冰箱时附带了一张条子。星期一打开冰箱时，烧鸡果然还在。那条子上写的是：“请勿触摸!谋杀案证物。”
短评：用兵之道，以奇制胜啊。
2.从心所欲而不逾矩
柯德希：“律师先生，如果我在开庭之前送一只肥鹅给法官，并附上我的名片，您认为怎样?”
律师：“您发疯了，您会立刻因贿赂法官而输掉这场官司的!”
开庭的结果是柯德希赢了官司。
第二天他得意地告诉律师：“我没听您的劝告，还是把鹅寄给了法官!”
律师怀疑地说：“这不可能!?”
“可能的!”他解释道：“只是我把对手的名片同鹅一起寄去了。”
发散思维，简言之，就是合理的不定思维，即对已有的信息进行多方向多角度去思考，探索问题，寻求多样性解决方案的思维。它的特点是思路广阔，寻求变异，就如雷达扫描一样，常常一个小小的亮点就能诱发出奇特的想象和惊人的发现。现代心理学家认为：一个人的创造能力相当于他的知识量与发散思维能力的乘积，发散思维又是创造思维的主要成分。
我们说：未来是人才竞争的社会，未来人不仅要学会生存，学会做人，更要学会创新，只有大胆想象，独避蹊径，与众不同，才能适应瞬息万变的环境，才能跟上飞速发展的时代步伐。我们教育的对象，他们正是二十一世纪的建设者和创造者，他们就是未来人。发散思维好的孩子在将来的学习，工作中会在已有的信息基础上提出更多的方法和答案，从而使他们出类拔萃。为“创造而教”，已成为当今教育的目标和口号。
众所周知，幼儿期是智力发展的迅速时期，由于幼儿接触社会不久，知识比较贫乏，思维方式受到局限，故他们的发散思维水平低，但幼儿精力充沛，可塑性大，好奇心强，求知欲旺盛，富于幻想，这就为他们的发散思维提供了有益的条件。因此我们可以从以下方面考虑，培养幼儿的发散思维。 提高幼儿感知和观察力，启发幼儿积极思考
人的思维活动不是凭空产生的，而是通过时间，在积累大量感知材料的基础上而成的。我们要不断丰富和发展幼儿对自然，对社会环境的感性知识和经验，扩大孩子头脑里的印象，并且善于给孩子提出一些小问题，让他积极运用已有的感知经验去独立思考，找出答案。 提高语言表达能力，让孩子有机会畅所欲言
语言是思考事物的根本手段，也是互相交流的基本手段，要注意在运用语言的同时，着重发展幼儿的思考，让孩子多听，多看，大胆发表自己的看法，只要是合理的都予以接纳，即使是微不足道的或幼稚可笑的，只要有益与发展发散思维的，就应当受到赏识和鼓励。即使孩子说错了，也应让他讲完，适时恰当地再给予指导，这样才不会出现盲目附和随大流。
启发幼儿异想天开，无中生有
美国心理学家邓克尔曾进行过实验，实验的结论是：人的心理活动有一种功能固定性，它使人们的思维趋于刻板，固定化，总是沿着习以为常的思路去想，去做。幼儿更是如此，他们多半是围绕一般性，常态性的思路开展。比如碗是用来盛饭的，如果我们换个角度去思考，你就会发现碗还可以当乐器来敲，发出不同的声音。我们还可以借助一些问题，如“假如我会飞…..，假如我有一朵七色花….等等，鼓励幼儿从现实的需要出发，从未来的需要出发，来训练幼儿的想象力和思维力。
培养幼儿发散思维常用的策略有：
1.提示法：将一些事物适当改变条件，或增加减少，或颠倒重新组合，都会出现各种各样新的问题和心得结果。如：看图排序，词汇接龙。
2.发散法：运用已有的经验，对事物的用途，性质，特点，分类，关系进行发散性的练习。如：认识马路上的车辆，就可以想到红绿灯，想到交通警察，想到各种不一样的路和桥。由空气的用途想到人需要空气，气球，充气玩具。
3.迁移法：在已知的基础上，进行合理的引申和推想。如：词汇开花练习，有……有……还有……，续编故事，模仿编诗歌等 4.求异法：充分调动幼儿思维的联想性，鼓励幼儿自由地想象和创新。如：绳子的一物多玩，游戏中的替代物
5.讨论法：给予幼儿讨论、分析的机会，通过生生互动，师生互动，使智慧得到激发与共享，使学习方法得到互相借鉴。
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