《数形结合在解题中的应用》电子教案（精选8篇）
《数形结合在解题中的应用》电子教案
教材分析： 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，在解题过程中应用十分广泛，它把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。这样不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空中更显优越。 学情分析： 学生学习了两年，对数形结合的思想已经有了一定的认识和了解，在此基础上设置这一专题有利于学生更深刻把握这一思想方法，使它与学生的学习融为一体，受用一生。 教学目标： 1、知识与技能：通过本节数学方法的`学习，巩固所学函数、曲线的图象。 2、过程与方法：通过学生的观察、分析能将较难解决的数学问题转化成图象问题;进一步变式、探究培养学生的发散思维，“寻找规律”提高学生的归纳能力。 3、情感态度与价值观：通过“数”与“形”的联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养勇于探索的精神。 教学重难点： 教学重点：用数形结合思想解题，使学生能见“数”想“形”、以“形”助“数”、用“数”解“形”。 教学难点: 代数式与几何意义的转化。 教学策略选择与设计： 本节采用讲授法、讨论法和合作探究等方式组织教学。体现课改理念，重视知识的产生过程，充分发挥学生的主体地位和教师的主导作用。采用多媒体技术的演示功能，强化理解，突破重点、难，引导学生抓特点、有条理、层层递进地完成本节任务。 教学环境资源准备： 教学环境：多媒体教室 资源准备：交互式电子白板、数字幻灯机、自制教学课件、参考网址等等。 教学过程设计： 复习提问： 简述数形结合思想的形成过程与原理： 即：将一对有序实数与坐标平面上的点建立一一对应关系; 将方程与坐标平面上的曲线建立一一对应关系。 教学过程： 应用1、构建函数模型并结合其图形解不等式和研究量与量之间的大小关系。 [高考在线] 1.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2并且m,n是方程f(x)=0的两个实数根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是：( ) A. m/**/
一、数形结合思想的本质
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
二、数形结合思想的应用
学会一种思想，不仅要学会它的概念，最主要的还是要学会怎样使用它．那么如何在这些题目中运用数形结合的思想，就成为解决这类与图形、图像有关的问题的关键．而在数与形的交错中，我们应该找到它们之间的平衡点．以下就对数形结合思想在解题中的应用从以“形”助“数”和以“数”助“形”这两方面做一番探讨．
（一）从“数”构“形”，利用形的直观性开拓解题思路
一个问题总会有许多数据，单看这几个数字很难找出问题的关键所在．而很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，而由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解．
1．借助图象确定参数的取值范围
【例1】若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围．
分析：令f(x)=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，由y=f(x）的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需f(-1)>0,f(3)>0,f(-b2a)<0同时成立，解得-1<k<0，故k∈（-1,0).
【例2】若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，求实数m的取值范围．
分析：设y1=x2-4|x|+5,y2=m，画出两函数图象如图2所示，要使方程x2-4|x|+5=m有四个不相等实根，只需使1<m<5.
2．利用图像求解最值问题
【例3】如果实数x,y满足（x-2)2+y2=3，则的最大值为（ ）．
A. B．C． D．
分析：等式（x-2)2+y2=3有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为（2,0），半径，如图3．而则表示圆上的点（x,y）与坐标原点（0,0）的连线的斜率．因此，该问题可转化为如下的几何问题：动点A在以（2,0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图3可知，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°=
3．利用图像求解根的个数
【例4】已知0<a<1，则y方程a|x|=|logax|的实数根个数为（）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象y=a|x|与y=|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实数根，选B.
【例5】适合|z-1|=1且argz=的复数z的个数为（）．
A.0个B.1个
C.2个D.4个
分析：|z-1|=1表示以（1,0）为圆心、1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件argz=，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz=，故满足条件的z有两个．
（二）从“形”中觅“数”，突出关键
很多数学问题，已知图形已经做出或者容易作出，我们在解决这类问题时，主要是寻找能恰当表达问题的数量关系式，从图形中挖掘出关键的量词，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化，即将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．下面主要探讨用代数方法解决几何中的问题．
【例6】如图6，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD;
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小．
证明：（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面AB-CD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OB-CD是平行四边形，所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1,AO=1，所以OB=.
在Rt△POA中，因为AP=,AO=1，所以OP=1.
在Rt△PBO中，tan∠
所以异面直线PB与CD所成的角是
三、数形结合的优点
数形结合是数学研究中常用的方法之一，它在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用．它具有以下主要的优点：
第一，在解决有关问题时，数形结合思想方法在思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化一目了然．
第二，数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥．
第三，数形结合丰富的表象，能引发联想，启迪思维，拓宽思路．
第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力．
四、小结
代数方法的特点是解答过程严密、规范、思路清晰，而几何方法具有直观、形象的优势．数学家华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”应用数形结合的思想就能发扬这两种方法的优点，避免了呆板单调的解法．
参考文献
[1]李勇新等编著.中学数学教材教法[M].哈尔滨:东北师范大学出版社,2001.
[2]王林全主编.中学数学方法论[M].广州:暨南大学出版社,1999.
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的.
下面我就简单的介绍一下“数形结合”在数学解题中的应用．
一 方程、函数中的数形结合问题
1. 确定参数的范围
近几年的高考题中，有很多关于含参变量的问题，特别是确定参变量的取值范围问题，解决此类问题若是死算硬算既耽误时间正确率还不高，如用图形考虑，往往会起到事半功倍的效果．
例1 已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围．
［分析］ 若以代数方法需保证方程|x2-4x+3|+k=0在区间(-∞,1)∪(3.+∞)
内有两根，且方程|x2-4x+3|+k=0在区间［1,3］内有两根．而画出y1=|x2-4x+3|，
y2=-k的图象后,只需两图象有四个交点即可．
解:作y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象如图
只有当0 2. 确定函数的单调区间和奇偶性 在研究函数的单调性时，有时先画其图形，由图形直接得出结论会较为简便． 例2 求函数y=|x+2-1-x2|的单调区间 ［分析］ 此题式子较为复杂，如用定义很难求出单调区间，但要是将式子化简后作出图象，将很容易得出答案． 解:原函数变形为y2=|x+2-1-x2|12+12则y2的几何意义为半圆x2+y2=1(0≤y≤1)上点P(x,1-x2)到直线x-y+2=0的距离 如图，过O作OH.垂直于直线x-y+2=0，垂足为H. 与半圆交点为P0，可得P0-22,22显然， 当x∈-1,-22时，y2递减当x∈-22,1时，y2递增 故函数的递减区间为-1.-22，递增区间为-22,1 二 最值中的数形结合问题 利用函数图象来求解最值问题是一种常用的方法，画出图形后，许多隐藏的条件会显而易见的． 例3 求函数y=sinx+2cosx-2的值域． 解:y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式y=y2-y1x2-x1， y=sinx+2cosx-2P0(2,-2),P(cosx,sinx)的直线的斜率． 由于点P在单位圆x2+y2=1上（如图）显然，kP0A≤y≤kP0B 设过P0的圆的切线方程为y+2=k(x-2)，则有|2k+2|k2+1=1 解得k=-4±73即kP0A=-4-73,kP0B=-4+73 故-4-73≤y≤-4+73 即函数值域为-4-73,-4+73 三 不等式中的数形结合问题 不等式f(x)>0相当于对应的曲线在轴的上方且与x轴没有交点，f(x)>g(x)相当于对应的曲线是f(x)上方的部分，理解了这两种不等式的图形所代表的意义，就可以根据图形很容易的证明不等式或解不等式了． 例4 解不等式x+2＞x ［常规解法］ 原不等式等价于（Ⅰ） x≥0 x+2≥0 x+2>0或（Ⅱ）x<0 x+2≥0解（Ⅰ）得0≤x<2； 解（Ⅱ）得-2≤x<0综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x<0或0≤x<2}={x|-2≤x<2} ［数形结合解法］ 令y1=x+2,y2=x，则不等式x+2>x的解就是使y1=x+2的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标．如下图，不等式的解集为{x|xA≤x≤xB}，而xB可由x+2=x解得xB=2，xA=-2,故不等式的解集为{x|-2≤x<2} 四 其他的数形结合问题 还有很多题目若是用数形结合的思想解决会更方便 关于一些比较大小的题，如果把每个式子的值都算出来，既麻烦又不一定准确，如果通过画图找关系，则一目了然 例5 若0 ［分析］ 若能将此三数视为函数y1=x、y2=sinx、y3=tanx在0 数形结合的思想方法应用非常广泛，在此我仅介绍了常用的几种方法，常见的几种题型. 龙南县龙翔学校 曾智勇 一、有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念 学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。 例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。 用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。 我在实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示课件一边提出：“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。 从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。 二、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。 如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能搭出几个三角形？要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。 三、应用“数形结合”，提高学生的能力 对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。 1．“数形结合”有助于对数学知识的记忆 “记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。 2．应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力 在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。 3．应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力 发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。 四、应用“数形结合”，解决大量实际问题 运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。 如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。 “___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？ 师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板： ① _________两端都种 ② ____________ 或 ____________ 一端栽种 ③ _______________两端都不种 师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1； 一端栽种：棵数=段数；两端都不种 ：棵数=段数—1。本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。 数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。 高考数学总复习第三讲：数形结合 一、专题概述---什么是数形结合的思想 数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想． 恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观． 数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等． 二、例题分析 1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系． 观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程． 例1．函数的图象的一条对称轴方程是： （A）（B）（C）（D） 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．，观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系． 例2．问：圆个？ 分析 由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两 上到直线的距离为的点共有几条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数． 将圆方程变形为：心到定直线L的距离为，知其圆心是C(-1,-2)，半径，由此判定平行于直线L且距离为，而圆的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1） 启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用． 3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图． 数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 成，相互转化． 例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象． 分析 由=，可知函数 是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象． 例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）． 分析 由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）． 例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 多少？ 分析 满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°） 因此所求图形的面积为： 4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性． 在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段． 例6．已知C<0，试比较的大小． 分析 这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论： 例7 解不等式 解法一（用代数方法求解），此不等式等价于： 解得 故原不等式的解集是 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 解法二（采用图象法）设即 对应的曲线是以是一直线．（如图） 为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是． 借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果． 例8 讨论方程的实数解的个数． 分析：作出函数的图象，保留其位于x轴上方的部分，将位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，便可得到函数交点个数即可． 的图象．（如图）再讨论它与直线y=a的 ∴当a＜0时，解的个数是0； 当a=0时或a＞4时，解的个数是2； 当0＜a＜4时，解的个数是4； 当a=4时，解的个数是3． 9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ ∴过（外，过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故 正确答案为（D） 例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为 ∴过（外，过（正确答案为（D））点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故例10．设点P(x,y)在曲线 解 曲线 上移动，求 是中心在（3，3），长轴为的最大值和最小值．，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示） 消去y得 解得： 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 故的最大值为，最小值为 （其中a,b,c是正常数）的最小 例11．求函数值． 分析 采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图 设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则 其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即 故y的最小值为时成立． 例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程． 分析 在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决． 解，设R点对应的复数为： 则，P点对应的复数为 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 故即由点在椭圆上可知有： 整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆． 三解题训练 1．求下列方程实根（1）的个数： （2） （3） 2．无论m取任何实数值，方程（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定 3．已知函数（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1) （C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的实根个数都是（）的图象如右图则（） 4．不等式的解集是（） （A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式 一定有解，则a的取值范围是（） （A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式： 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ （1）（2） 7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量，则点C对应的复数是_______． 绕点A逆时针方向旋转至向量 8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________ 9．若复数z满足 10．函数定点的坐标是()（A）（–（C）（–2的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲线与直线的交点个数是（）． （A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲线（） 与直线 有两个交点，则实数k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D） 满足，求实数b的取值范围． 14．函数的值域是（） 地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ （A）（B） （C）（D） 四、练习答案 1．（1）2个（2）63个（3）2个 提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数． 2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系． 3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故选（A）4．A 5．A 6．（可以利用图象法求解） （1）x≤-1或0 可知b=-地址：铁西区富工二街36号1门 电话：31688948 31801965 25769625 Peter高分英语家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、实验、二中！ 12．C 13． 14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=kAB，而A点为圆x2+y2=1上的动点 数形结合既是解决问题的一种方法、又是一种策略，更是一种思想。数形结合思想就是依据数与形之间相互对应的关系，将数和形互相转化，通过数形结合解决问题的一种思想。数形结合形式可以数化形和以形转数，或借助“形”探究有关“数”的问题，或倚托“数”研究相关“形”的问题，数形之间有机结合，相辅相成。数形结合的价值就在于将形象思维与抽象思维有效转换，使得问题形象化、简单化，从而实现解决问题的高效性。在平时教学中，我尤为关注数形结合在小学数学教学中的渗透研究，培养学生数形结合思想。 一、数因形而直观，感知数形结合思想价值 数学思想是关于数学内容和方法的本质认知，是在具体内容中的进一步感知中抽象与概括，是数学学习迁移的基点，是数学知识获取的本质内核。数形结合对于分析和解决问题有着重要的价值，我们要在实际教学中学习运用数形结合的方法解决实际问题，在此过程中提炼数学结合的策略，感知数学结合思想的价值。 数形结合体现在于将数学语言转化为直观图形，以使形象鲜明，将问题显性化，让问题的解决来得更直观简明。例如，在教学苏教版五年级上册中的《负数的认识》时，对于学生来讲“负数”是一种新的数学概念，为了使学生更为直观形象的认识负数，助力理解负数所表达的深刻涵义，在教学中，我重点开展数轴教学。我将例题情境化：“小林和小华分别住在学校的两侧，他们两人的家与学校在同一条直线上，两人的家距离学校各2千米。你能根据题意画出示意图吗？”具有一定分析理解能力的五年级学生很快画出了示意图，并在示意图中标明数据。于是我继续启发：“小林的家所在方向正好和小华家相反，我们能否用前面刚刚认识的一个数表示？”机灵的孩子迅速联想到刚认识的“负数”，于是回答：“我们可以用-2千米来表示小林家到学校的距离，也就是说小林家距离学校2千米我们可以记作-2千米。”为了使学生更进一步认识负数，我又让学生将示意图转画为直线，在直线上选取一点表示学校，用“0”表示，然后以0为基点，在0刻度的两边画出等距离单位刻度，分别用正数和负数表示。我接着追问：“如果以学校为起点，小华向东走4千米，小林向西走4千米，分别怎样记数表示。”“我们可以分别记作+4千米和-4千米。”学生的反应敏捷。学生在直观简洁的数轴上有效地理解了负数。 我们在教学小数的意义、分数的意义时都可以将枯燥难懂的小数和分数的意义认识依靠数轴，把数转化为形，将数和形完美结合，让抽象化的数量关系更为形象直观，帮助学生有效学习，感知数形结合思想的价值。 二、形因数而简练，感受数形结合思想魅力 图形虽有直观优势，但有时复杂的图形中的数量关系也是较为繁琐的，这时就得借助简约的数学语言或者表达式来言表，让学生精确地把握相关形的特征。形因数而简练，学生更能感受到数形结合的魅力。 例如，在教学苏教版四年级下册第一单元《图形的平移》后，我为了开拓学生思维，给学生出了这样一道题：图 一、在一个等边三角形内画出1个等边三角形;图 2、在一个稍大一点的等边三角形内画出3个等边三角形;图 3、在一个再大一点的等边三角形内画出6个等边三角形;依此类推，第10个等边三角形内应该有多少个小的等边三角形？我让学生观察后独立解答，但是只有3个学生解答出来，而且其中1个学生是用画图的方法花了很长时间才得出答案，其他学生都无解。看来，此刻是发挥数的功效的时候了，我问那个画图的学生感觉怎么样？他说很麻烦。于是，我引导大家观察图形，寻找规律，在我的引导下孩子们发现第一个图形内有1个等边三角形，图2内有1+2=3（个）等边三角形，图3内有1+2+3=6（个），我问道：“图4中应该有几个等边三角形？”发现规律的孩子知道如何通过列式计算出答案：“1+2+3+4=10（个）”，“现在你们有更好的办法解答这个问题吗？”“我们可以通过计算的办法算出第10个图形内一共有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）。”“计算和画图哪种方法更好？”“列式计算太方便了。”孩子们毫不犹豫地说出真心话，这道题着实让学生领略到数形结合的魅力。 再如在几何图形教学中，有许多问题的解决凭直观难以做出决断，需要以形转数，依靠数的计算来快捷解决，发挥数的简洁干练特性，彰显数学结合思想的魅力。 三、数形交融合璧，感悟数形结合思想真谛 数和形的紧密联系就像唇齿相依的关系，形影不离，数学结合思想实际上是一种转化思想，贯穿整个数学领域。数形结合思想要在要在反复的实际运用过程中概括提炼，逐渐感悟其思想真谛，指引着数学问题解决的方向，催促着数学的发展。 让孩子们在学习应用过程中反复实践，将数形交融合璧，体验享受到数形结合方法的优势，感悟到数形结合思想的真谛。 具有丰富内涵的数形思想是数学的灵魂之一，在小学数学教学中，我们要当有心人，有意识的渗透数形结合思想，提高学生数学能力，提升数学品质。 典型例题 例1若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间, 求k的取值范围. 例3已知0 A.1个B.2个 C.3个D.1个或2个或3个 解判断方程的根的个数就是判断图像y=a|x|与y=|logax|的交点个数, 画出两个函数图像, 易知两图像只有两个交点, 故方程有2个实根, 选B. 由Δ=0, 得b=±13.故y-3x的最大值为13, 最小值为-13. 【例1】 已知a和b都是正数，且a+b=1，求证：endprint 数学的研究对象是现实世界中的数量关系与空间形式. “数”与“形”虽然是不同的对象，但其间并无不可逾越的鸿沟.“数”是“形”的深刻描述，而“形”是“数”的直观反映.“数”的问题可以转化为“形”的问题来探讨，“形”的问题也可以转化为“数”的问题来研究.利用图形性质来分析数量之间的关系，往往具有直观易行的特点，可以省去繁琐的数字演算；反过来，通过数字的演算来推导图形的性质，常常能方便地揭示几何元素之间的内在联系，使隐蔽的图形性质明朗化.因此，利用数形结合思想来解决数学问题，常常可以起到化难为易、化繁为简的效果.本文通过几个具体的例子，阐述一下数形结合思想在数学解题中的应用. 【例1】 已知a和b都是正数，且a+b=1，求证：endprint 数学的研究对象是现实世界中的数量关系与空间形式. “数”与“形”虽然是不同的对象，但其间并无不可逾越的鸿沟.“数”是“形”的深刻描述，而“形”是“数”的直观反映.“数”的问题可以转化为“形”的问题来探讨，“形”的问题也可以转化为“数”的问题来研究.利用图形性质来分析数量之间的关系，往往具有直观易行的特点，可以省去繁琐的数字演算；反过来，通过数字的演算来推导图形的性质，常常能方便地揭示几何元素之间的内在联系，使隐蔽的图形性质明朗化.因此，利用数形结合思想来解决数学问题，常常可以起到化难为易、化繁为简的效果.本文通过几个具体的例子，阐述一下数形结合思想在数学解题中的应用. 【《数形结合在解题中的应用》电子教案】推荐阅读： 数形如何巧结合11-11 数形结合百般好教学反思06-17 解题反思在数学教学中的作用探讨11-20 浅谈语文课堂教学中的“读写结合”10-08 虚实结合教案11-04 虚实结合写作教案07-13 点面结合写作技巧教案01-15 在结合中提高党的建设科学化水平06-07《数形结合在解题中的应用》电子教案 篇4
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