数学物理方程讲义（精选8篇）
一、基础知识
1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
.2 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：
xx1yy1xy1；（5）两点式：；（6）法线式方程：abx2x1y2y1xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：xx0tcos（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, yy0tsiny）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=
k2k1kk1,tanα=2.1k1k21k1k26．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1//l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。
227．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)(y1y2)。
8．点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：d|Ax0By0C|AB22。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2
交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0(CC1).10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0.若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参数方程为xarcos（θ为参数）。
ybrsinDE,，半径为2213．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为1D2E24F。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 2x0xy0x0xy0yDE22yF0.① 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3.则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题
1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。
例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为60。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正ΔPQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。
3．代数形式的几何意义。例4 求函数f(x)
4．最值问题。
例5 已知三条直线l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:(m+1)x-y+m+1=0围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。
0x43x26x13x4x21的最大值。
5．线性规划。
1xy4,例6 设x, y满足不等式组
y2|2x3|.（1）求点(x, y)所在的平面区域；
（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
6．参数方程的应用。
例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定ΔAT1T2垂心 的轨迹。
例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。
例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。
例11 当m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
三、基础训练题
1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是__________.2．已知θ∈[0,π]，则y3cos的取值范围是__________.2sin3．三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是__________.4．若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是__________.5．若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d__________42.6．一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14，则此圆的方程为__________.7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为__________.8．D2=4F且E≠0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的__________条件.29．方程|x|-1=1(y1)表示的曲线是__________.10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为__________.11．已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求S的最大值和最小值。12．A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a （2）当∠AMB取最大值时，求OM长； （3）当∠AMB取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1．已知ΔABC的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为__________.2．把直线3xy230绕点（-1，2）旋转30得到的直线方程为__________.3．M是直线l: 0xy1上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线43段AB上满足AP2PB的点P的轨迹方程为__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．以相交两圆C1：x+y+4x+y+1=0及C2：x+y+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为__________.5．已知M={(x,y)|y=2a2x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-3)=a,a>0}.MN，a 222 2的最大值与最小值的和是__________.6．圆x+y+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=__________.7．已知对于圆x+(y-1)=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范围是__________.8．当a为不等于1的任何实数时，圆x-2ax+y+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为__________.9．在ΔABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线xsinA+ysinA=a与直线xsinB+ysinC=c的位置关系是__________.10．设A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面xOy上的点集，C=2 22222x1x2y1y2,(x,y)A,(x,y)B所围成图形的面积是__________.11222211．求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12．设集合L={直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？ （2）设a∈R+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13．已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中点P的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2．等腰ΔABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为__________.3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=__________.4．直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.25．直线y=kx-1与曲线y=1(x2)有交点，则k的取值范围是__________.6．经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为__________.7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y≤3x, y≥8．平面上的整点到直线y 21x, x+y≤100的整点个数是__________.354x的距离中的最小值是__________.359．y=lg(10-mx)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为__________.10．已知f(x)=x-6x+5，满足2 f(x)f(y)0,的点(x,y)构成图形的面积为__________.f(x)f(y)011．已知在ΔABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。（1）证明：运动过程中ΔDEF的重心不变； （2）当ΔDEF面积取得最小值时，其值是ΔABC面积的多少倍？ 12．已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x+y=9(x>0,y>0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。13．已知直线l: y=x+b和圆C：x+y+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA|•|PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1．设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x-xy+y的最大值、最小值。2．给定矩形Ⅰ（长为b，宽为a），矩形Ⅱ（长为c、宽为d），其中a 4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,…，ln，…的直线族，它满足条件： 222 （1）点（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。6．在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证： 《数学物理方法》是理工科学生的基础课程之一, 也是科研中常用的基本方法。数学物理方法课程的内容繁多, 公式推导繁杂, 尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义, 但是从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像, 不仅学生会觉得困惑、枯燥, 教师也难免觉得棘手。探索数学物理方法数值化教学的新方法, 是数学物理方法课程教学中的一项重要工作, 也是数学物理方法教学改革中的重要内容。利用MATLAB数值求解数学物理方程, 将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 改变只用公式符号教学的模式[1], 令学生对复杂、抽象、烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。本论文旨在进行数学物理方程仿真求解实践训练, 着力培养大学生应用数学物理思想解决实际问题的能力。本着“重理论、强实践、突创新”的教育理念, 结合科技前沿, 以光子晶体的电磁场理论作为实践内容, 利用MATLAB对复杂的电磁场本征值问题进行计算机仿真求解, 将结果三维可视化, 以此来展现复杂电磁场问题的物理图像, 对培养大学生创新能力具有重要意义。 二、光子晶体电磁理论基础 在利用分离变量法求解数学物理方程时, 最后都归结到求解本征值问题。在用本征函数系展开法解数学物理方程时, 也要对所用的本征函数系有较好的理解[2]。所以, 各种本征函数系在数学物理方程课程的学习中有非常重要的地位。周期结构对电磁波的调控是物理学领域的基础问题。光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料, 是非均匀介质中少数可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。在一定的晶格常数和介电常数条件下, 布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构[3]。利用计算机仿真求解光子晶体中的复杂本征值问题, 可以帮助学生熟悉并更好地掌握本征函数系的性质和求解方法。 1.理想二维光子晶体的结构。假设介电常数为εa, 半径为r的介质柱平行于z轴, 背景介质的介电常数为εb, 在 (x, y) 平面内的晶格常数为a, θ为相邻基矢a1和a2之间的锐角, 当θ=90°和60°时, 分别为正方形晶格和正三角形晶格。 (x, y) 平面的傅里叶变换空间为倒易空间 (如图1所示) , 对应于由波矢k定义的频谱。 2. 理想二维光子晶体的本征值问题。 平面波的指数形式表示为 联立无源Maxwell方程组, 分别得到电场和磁场的传播方程 ε (r) 是光子晶体介质分布的周期函数, 本征值方程 (3) 和 (4) 式与电子材料中的周期性势场问题的Schr觟dinger方程类似, 称为光子晶体的支配方程[5]。本征场H (r) 和E (r) 分别对应于理想二维光子晶体中横磁 (TM) 模式和横电 (TE) 模式的空间形态, 通过求解本征值 (ω/c) 2, 可以得到频率ω与波矢k之间的色散关系, 即光子晶体的能带结构。 3. 光子晶体中的平面波展开。 根据Bloch理论, 将光子晶体本征场用平面波展开为 G为倒格矢, 将 (5) 和 (6) 式分别代入本征值方程 (3) 和 (4) 式, 利用平面波基{G, exp[i (k+G) gr], …}的正交性[6], 得到如下关于电磁场展开系数的本征值方程 矩阵k% (G) 是k (r) =1/ε (r) =k% (G) ei G·r的傅立叶展开系数 u表示一个周期单元, Au为周期单元横截面的面积。c表示一个散射单元横截面上的积分边界。 (9) 式右边包含了G≠0和G=0的项 其中J1 (GR) 为第一类贝塞尔函数, fr为填充比。 三、仿真求解电磁场本征值问题 我们通过计算机仿真求解TM模式电磁场本征值方程 (7) 式, 获得二维菱形晶格光子晶体的本征频率ωk与波矢k之间的色散关系, 绘制出能带曲线。 1. 光子晶体的数学建模。 对于θ=70°的二维菱形晶格光子晶体, 背景介质的介电常数为εb=12, 空气柱的半径r=0.4a。仿真步骤和MATLAB程序如下: (1) 定义光子晶体的结构参数。 (2) 定义倒易空间中对称点的坐标。 (3) 产生一个20×20的矩阵, 确定平面波的波数NPW, 定义倒格矢G。 (4) 确定κ (r) =1/ε (r) 的傅里叶展开系数。 2. 仿真计算光子晶体TM模式能带曲线。 (1) 定义倒易空间波矢路径。 用Keach代表波矢路径上的取值密度, Ktype为对称点的数目, 第一布里渊区内沿波矢路径Γ→T→N→M→Γ的仿真程序为: (2) 求解本征值方程。 (3) 绘制二维能带曲线。 修饰过后的二维菱形晶格光子晶体TM偏振模式能带曲线如图2所示。 四、本征值函数的三维可视化仿真 绘制三维等频面, 关键是建立波矢平面 (kx, ky) 内二维点阵的坐标, 再求解出每个点对应特征值, 仿真步骤和MATLAB程序为: 1. 定义波矢 (kx, ky) 平面内点阵的坐标Keach=36; 2. 求解本征值方程。 3. 绘制前四个能带的三维能带曲面。 图3为二维菱形晶格光子晶体的前四个能带的TM偏振模式三维能带曲面。 五、结论 本论文通过计算机仿真求解二维菱形晶格光子晶体的电磁场本征值问题, 绘制出能带曲线和三维能带曲面。将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 对复杂的数学物理方法问题进行三维可视化求解, 着力培养大学生的创新思维和解决实际问题的能力。 参考文献 [1]杨华军.数学物理方法与仿真[M].第2版.北京:电子工业出版社, 2011:359-377. [2]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社, 2004:62-63. [3]E.Yablonovitch.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics.Physical Review Letters, 1987, 58 (20) :2059-2062. [4]温熙森.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社, 2006:115-116. [5]John D.Joannopoulos, etc.Photonic Crystals Molding the Flow of Light.Second Edition.Princeton University Press, 2008:8-10. 1根据题设条件列方程 例1（2012年南通中考题）阅读短文，回答问题： 风光互补路灯系统同时安装了风力发电机和太阳能电池板（图1），有风时通过风力发电机发电，有阳光时通过太阳能电池板发电，并将电能储存至蓄电池中，供路灯照明使用的蓄电池充满电后不再充电，使用时放电至余留20%停止电能输出，可使蓄电池使用寿命更为长久. 表1为某型号风光互补路灯系统的部分技术参数，其中光电转化效率是指太阳能电池板将光能转化为电能的效率，蓄电池容量是指蓄电池放电电流与放电总时间的乘积，最大输出功率是指风速达到最大限制风速时风力发电机的输出功率. 表1 风力发电机太阳能电流板蓄电池 最小启动风速1.0 m/s电池板的面积0.5 m2蓄电池容量子力学50 Ah 最小充电风速2.0 m/s光电转化效率16%额定电压12 V 最大限制风速12.0 m/s 最大输出功率400 W———— 已知风力发电机的输出功率P与风速v的三次方成正比，若風力发电机的输出功率为50 W，此时风速为m/s. 解析根据题目给定的条件“风力发电机的输出功率P与风速v的三次方成正比”有，P=kv3，其中k为比例常数，再由题目信息“最大输出功率是指风速达到最大限制风速时风力发电机的输出功率”，并从表格选取有效数据“最大限制速度12.0 m/s，最大输出功率400W”， 代入公式，得 400W=k（12.0m/s）3① 当输出功率为50W时，50W=k v3 ② 1.观测夫琅禾费衍射现象，理解衍射原理； 2.用单缝衍射原理测定狭缝的宽度。 【实验原理】 光的衍射现象是光的波动性的重要表现。根据光源及观察衍射图象的屏幕（衍射屏）到产生衍射的障碍物的距离不同，分为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射两种，前者是光源和衍射屏到衍射物的距离为有限远时的衍射，即所谓近场衍射；后者则为无限远时的衍射，即所谓远场衍射。要实现夫琅禾费衍射，必须保证光源至单缝的距离和单缝到衍射屏的距离均为无限远（或相当于无限远），即要求照射到单缝上的入射光、衍射光都为平行光，屏应放到相当远处，在实验中只用 两个透镜即可达到此要求。实验光路如图六所示，L 1 L 2φx k /2 与狭缝 E 垂直的衍射光束会聚于屏上 P 0 处，是中央明纹的中心，光强最大，设为 I 0，与光轴方向成Ф角的衍射光束会聚于屏上 P A 处，P A 的光强由计算可得： 式中，b 为狭缝的宽度，为单色光的波长，当β=0 时，光强最大，称为主极大，主极大的强度决定于光强的强度和缝的宽度。 当β=Kπ，即： 时，出现暗条纹。 除了主极大之外，两相邻暗纹之间都有一个次极大，由数学计算 可得出现这些次极大的位置在β=±1.43π，±2.46π，±3.47π，…，这些次极大的相对光强 I/I 0 依次为 0.047，0.017，0.008，… 220sinI I A )sin( bbK sin），， 3 2 1(K图六 π π π π 2π ππ π 1.43π 2.46πβ 图七夫琅禾费衍射的光强分布 夫琅禾费衍射的光强分布如图七所示。 e-Neφ 图八 夫琅禾费单缝衍射的简化装置 用激光器作光源，则由于激光束的方向性好，能量集中，且缝的宽度 b 一般很小，这样就可以不用透镜 L 1，若观察屏（接受器）距离狭缝也较远（即 D 远大于 b）则透镜 L 2 也可以不用，这样夫琅禾费单缝衍射装置就简化为图八，这时，则 【实验步骤】 1.测量单缝的宽度 ①连接好实验装置，调节激光器的方位及旋转激光器的前端，使激光器发出平行于光具座的平行光。前后移动接收屏，使直接接收的激光光斑的位置、大小不变。 ②将有单缝的衍射屏放在支架上；使衍射屏靠近激光器。调节衍射屏支架上的相应旋钮，使激光垂直照射到 最窄 的单缝上(怎样判断达到了垂直照射)，测量单缝到测距器的距离 D，在光具座直接读出距离即可； D x/ tan sin x D K b / ③ 测出两条第一级、第二级衍射暗条纹中心之间的距离 2x 1，2x 2(注意 一次测量过程中 鼓轮旋转不能反转)，即可求出第一级、第二级到中央零级明纹中心距离x 1，x 2，将 =690nm、x 1、x 2，和 D 及 K=1、2 的值代入公式 计算出单缝宽度，用不同级数的结果计算单缝宽度的平均值。重复测量三次.注意：处理数据时请统一物理量的单位为毫米。 2.观察其它衍射图像。 [ [ 数据记录与处理] ] 记录表格 =690nm= mm; D= mm 根据实验数据，计算单缝宽度 b b 及误差。 写出测量结果的完整形式。 [ [ 思考问题] ] 根据测量结果，分析误差的主要来源； 次数 X 2L mm X 1L mm X 1R mm X 2R mm x 1 =(X 1R-X 1L)/2 mm x 2 =(X 2R-X 2L)/2 mm x D K b / 1.主要技术参数与指标 1、导轨：1250mm。、半导体激光器座：配φ16 半导体激光器。、小孔狭缝板及光栅板规格（图一、图二） （1）求出最大值和最小值的差（极差的概念。） （2）确定组距、组数。x =94.5，下面是50名学生数学成绩的频数分布表． 极差25，为了使数据组距0.4不落在各组的边界上，我们把数据分成6组，且边界 值比实际数据多取一位小数。（特别指出：数据个数在100以内时，通常按数据的多少分成5—12组。） 2、介绍频数和频数分布表。 频数：我们称数据分组后落在各小组内的数据个 数为频数；（结合表中数据）根据题中给出的条件回答下列问题： 频数分布表：反映数据分布的统计表叫做频数分（1）在这次抽样分析的过程中，样本是___________ 布表，也称频数表。（2）频数分布表中的数据a= ____，b= __________． 频数（3）估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩 3、频率的概念：频率＝数据总数约为 ___________分． 4、频率分布直方图和折线图：（4）在这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在画频数分布直方图的一般步骤： 90.5~100.5范围内的人数约为 __________人．（1）画频数分布表（2）写标题 8、某中学进行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的（3）画坐标：横坐标是什么？纵坐标是什么？ 成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分） （4）画小长方形：长是什么？ 宽是什么 请根据表中提供的信息，解答【练习】 下列问题： 1、一组数据的最大值为100，最小值为45，若选取组（1）参加这次演讲比赛的同距为10，则这组数据可分成（•）学有； A．5组B．6组C．8组D．4组（2）已知成绩在91~100分的2、将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一同学为优秀者，那么优胜率 组的频数为6，•第二组与第五组的频数和为20，那么为； 命题与证明综合提高 一、识点归类 注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语 言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。 例1 在下列横线上，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的；（2）能够完全重合的两个图形叫做_____； 例2 叙述概念的定义 （1）数轴；（2）等腰三角形 知识点命题 知识点一命题的概念 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 例 下列句子中不是命题的是() A 明天可能下雨B 台湾是中国不可分割的部分 C 直角都相等D 中国是2008年奥运会的举办国知识点二真命题与假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。例 下列命题中的真命题是（） A 锐角大于它的余角B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角D 锐角与钝角等于平角 知识点三命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。 1、同角的余角相等 2、两点确定一条直线 知识点四证明 1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得 出它的结论成立，这个过程叫作证明。 注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。 证明题 1.已知：（如图）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于点E，且DE＝2AB． 求证：∠DBC＝ ∠ABC． 3MDAN 2.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC，求证：∠B＝2∠C． BDC 3.如图，△ABC中，AD平分∠ BAC，BE＝CE，过点E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延长线于H、F、G．求证：AC＝2BG+AB A DH F C 4求证： 5.DC（2） 6．如图，已知AB // CD，B100，EF平分BEC，EGEF，求BEG和DEG的度数。 这时您可以看到公式编辑器关于字体的设置，特别注意“变量”和“小写希腊字母”还有“符号”这三项的设置，如果这里是您的系统不支持的字体，那么公式编辑器是不能正确显示数学公式的，您可以在相应的下拉列表框中选择您喜欢且您的系统中已经安装的字体，这样设置后再输入公式就可以正确显示了， 推荐变量使用“Times New Roman”字体，小写希腊字母和符杭采用“Symbol”字体，一般情况下windows系统都默认安装这两个字体的. 关键词：《数学物理方程》,教学效果,教学经验,解决方案 0 引言 《数学物理方程》以来源于物理、化学、力学等自然科学和工程技术领域的偏微分方程(组)作为主要研究对象,系统地介绍数学模型的导出和各类定解问题的求解方法,讨论三类典型方程的适定性基本理论,对提高数学专业人才的数学素养起到十分重要的作用,服务工科学科的功能异常显著。数学学科本身各分支联系日趋密切,数学物理方程是沟通数学各分支的重要桥梁,其中最典型的就是微分几何(1)。有别于其他课程,《数学物理方程》把数学理论、解题方法和实际应用紧密结合起来了,对培养大学生的科学素养和研究能力有极大的功效。因此,无论从理论还是从应用来看,《数学物理方程》课程都是一门十分重要的基础课程。为此,各高校纷纷建立网络精品课程[1,2],对教学方式、方法加以改进。教学研究论文亦层出不穷[3,4]。 然而,《数学物理方程》始终是本科理科和工科专业课程中的硬骨头,学生在学习之初兴趣浓烈,随着课程深入,积极性马上降温,期末成绩普遍不太理想。究其原因,我们将其归结为如下几点:第一,课程的知识点多,涉及面极其广泛,学好这门课程十分辛苦;第二,对于数学专业学生而言,不熟悉物理背景知识导致理解困难,对于工科学生而言,数学基础欠缺导致学习吃力;第三,这个课程主要以偏微分方程为研究对象,数学推导过程繁琐,所得到的结果形式复杂,往往以积分或者级数形式表达,其中还免不了使用三角函数或者特殊函数,学生容易产生畏难情绪;第四,该课程与数学其他分支如《数学分析》、《常微分方程》等课程联系密切,学习过程中新旧知识衔接不畅,学习积极性受挫。 本文针对上述分析得出的问题症结,梳理所积累的教学经验,提出五点想法,以期在《数学物理方程》教学改革中抛砖引玉。在课程教学实践中提高学生的主观能动性、增强学生的学习能力,是我们一直努力坚守的事业,热切期盼本课程成为一门生动的、充满现代气息的课程。 1 个人体会(教学改革方法与措施) 1.1 加强背景故事介绍,增强趣味性 兴趣是最好的老师,提高复杂知识的趣味性可以大大提高学生学习兴趣。数学物理方程中所研究的几类方程的导出都经历了一个漫长的过程,甚至富有曲折的故事情节,例如Russell与Kd V方程的导出就是一个很精彩的故事。此外,达朗贝尔(d′Alembert)对弦振动方程,Fourier对热传导方程的研究过程所折射出的科学精神也是特别值得向学生介绍的。现举两例加以说明。 热传导方程:Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的论文,当时Laplace(1749-1827)和Lagrange(1736-1813)等人是评阅人,Fourier在1811年呈上修改过的论文,并得到奖金,但未发表在当时法国科学院《报告》上,1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论》,两年后Fourier成为科学院秘书,把1811年修改过的论文,发表在科学院《报告》。《热的解析理论》该书研究了有限长杆上的热传导方程的混合初边值问题的解,并用今天熟知的分离变量法将解写成级数。最后一部分讨论半无限长杆上的温度分布,得到Fourier积分,也就是Fourier变换。 这样一个充满戏剧性的故事可以立刻提高将学生学习兴趣。有心的教师还可以借此机会给学生适当渗透思想教育,教育学生不要愤世嫉俗,人情冷暖古今中外概莫能免,以平常心面对社会现实乃明智之举。 Kd V方程:1834年英国科学家Russell在第十四届科学进展大会(14th meeting of the British Association for the Advancement of Science)上以《论波动》(Report on Waves)为题生动地描述了他是如何发现孤立波的。因为这个发现在当时看来太违背常理,多次遭到当时权威人物的否定。可是,Russell在自家后花园建立池塘力图重复自己所看到的场景,虽然最终未能实现,科学精神足以让人敬仰。 如果老师用英语深情重现Russell在第十四届科学进展大会报告的情景,效果将是可以预期的(此处作为资料给出这段话:I waobserving the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses,when the boat suddenly stopped not so th mass of water in the channel which it had put in motion;it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation,then suddenl leaving it behind,rolled forward with great velocity,assuming the form o a large solitary elevation,a rounded,smooth and well-defined heap o water,which continued its course along the channel apparently withou change of form or diminution of speed.I followed it on horseback,and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height.Its height gradually diminished,and after a chase of on or two miles I lost it in the windings of the channel.Such,in the month of August 1834,was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation[5].)。 1.2 注意前后课程衔接,化解理解困难 《数学物理方程》除了与现实联系紧密,还与其他数学分支关系密切。与《数学物理方程》联系最为紧密的课程莫过于《数学分析》,《常微分方程》。可是,这些课程本身难度大,《数学物理方程》中用到的知识点也是当中的难点,例如散度定理,链式法则,常系数高阶常微分方程的求解等。 《数学物理方程》是高年级课程,数学学科的环环相扣的特征决定了老师授课必须适时注意回顾旧知识,只有做好、做足承上启下的衔接工作,学生听课才不至于脑子“断电”。 例1在讲分离变量法时,必须及时给学生回顾《常微分方程》中的常系数方程求解方法,否则,分离变量所得的常微分方程的求解也会被卡住。又比如《数学分析》中的Fourier级数展开定理本身就不容易记住,如果不及时回顾,学生很有可能在最终确定级数解的系数时不知所以然,而在求解的最后一步卡住。 例2在讲授能量不等式之前,必须花一定时间全面总结《数学分析》中的积分定理,即Green公式,Gauss公式,Stokes公式等。尤其必要补充《数学分析》课后习题中给出的[6] 甚至一般的散度定理。我们的经验是专门制作一个课时的课件系统地加以介绍。 例3回顾常微分方程的通解结构,帮助理解记忆偏微分方程通解结构。给学生交待:对于常微分方程而言,方程是几阶的,它的通解中就包含几个任意常数。据此引导学生类比得出:对于偏微分方程而言,方程是几阶的,它的通解中就包含几个任意函数。此外,结合数学分析,在课程开始阶段引导学生推出如下简单微分方程的通解也是极其必要的。 其中f(·)为任意连续可微函数; 其中f(·),g(·)为任意连续可微函数。 1.3 挖掘物理背景,提高记忆效果 《数学物理方程》相对其他数学基础课程的优势在于应用性,每一个公式,每一条定理都来源于物理规律。把物理背景交代清楚,学生理解和记忆方面的困难便可大大减轻,学习兴趣也会明显提升。例如波动方程的推导,既可以用牛顿第二定律“F=ma”推导,也可以根据动量守恒定律“冲量=动量改变量”推导;由于“热量从温度高的地方流向温度低的地方”,所以热传导方程关于时间是不可逆的。教师结合物理规律来讲解,学生结合熟识的物理规律来学习和记忆,自然事半功倍。而且可以帮助学生将短时记忆变成长时记忆。 再举个具体的例子,初学者对哪怕形式最简单的初边值问题 也是望而生畏的。我们的经验是,通过用“F=ma”和“冲量=动量改变量”两个物理规律建立方程的过程,学生对弦振动建模已有较深的认识,只是对附加的初、边值条件很茫然,此时不宜立刻进入达朗贝尔公式和分离变量法来求解。这里我们可以设计例题讲解初值条件和三类边界条件,使之认清定解条件的物理意义,就可以加强印象,既深化了对整个弦振动模型式(3)的理解,又可帮助记忆。 初值条件的认识: 例1在d处将弦拉到h处静止(如图),则初始位置φ(x)有表达式: 例2弦静止于平衡位置,经敲击后开始振动,求初始位移φ(x)和速度准(x)。 三类边界条件的认识: 例1(Dirichlet条件)长为l的弦两端固定,则u(0,t)=u(l,t)=0。 例2(Neumann条件)弦的端点自由滑动,即端点不受垂直方向力的作用,从而张力在垂直方向的分量为零,即ux(0,t)=ux(l,t)=0。 例3(Robin条件)弦的端点固定在弹性支撑上(弹性系数分别设为k1,k2)。根据胡克(Hooke)定律, 在上述特殊例子讲解的基础上,再总结出三类边界条件,学生往往就可以接受了。 1.4 突出问题实质,绕开复杂计算、证明 《数学物理方程》的计算和证明都是异常复杂的,基础稍差的学生就有可能因为畏惧困难而中途放弃。对于高年级学生,点拨思路远比公式演算重要,他们已经脱离了计算的阶段了,因为那不是数学的本质。《数学物理方程》求解的一个基本的原则就是“化偏微分方程为常微分方程”[4],分离变量法,Fourier变换法,Laplace变换法无不体现这一原则,讲课过程中应集中精力引导学生“化偏微分方程为常微分方程”,而不是把时间精力耗费在具体的计算上。变分法思想其实就是“求泛函的极值点”,这是又一个本质的东西,教师应根据函数极值的求法,引导学生找“驻点”并最终解决问题,计算当然是次要的东西。因此有经验的教师往往会只讲结构和思路,抓住问题本质,给予学生方法论的引导,才能稳定其情绪,帮助建立信心。下面举个具体例子来说明。 对于 通过变换: 可将方程式(3)化成 从式(1)发现其通解为: 据此,对于波动方程 可以联想到完全平方式,形式上将其分解[7] 学生立即可以根据式(6)去推测式(7)的通解形式: 在上述处理过程中,避免了由式(7)化成uξη(ξ,η)=0的十分复杂的过程,但是,上述求解过程也并没有忽略了这种变量替换的思想,实际上包含在由式(4)化为式(5)的过程中了。 1.5 借助数学软件辅助教学,培养应用数学物理方程的意识 Matlab,Maple,Mathematic等数学软件都具有强大的处理微分方程的能力,例如Matlab工具箱中的PDE包可以用于求解三类典型二阶偏微分方程的定解问题,掌握起来容易,使用起来方便(2),还可以通过图像直观地演示所得的解[8]。Matlab还有强大的符号运算能力,也可以用于求解通解。其实符号运算功能Maple比Matlab稍胜一筹。如果教学过程中教师能现场演示一两个例子,并布置相关习题,学生积极性可以极大地调动起来,还可以激发学生主动运用微分方程解决实际问题的意识。 2 结语 教学有法,教无定法,教学理论改革往往仁者见仁,智者见智,教学实践改革也是八仙过海、各显神通。教学改革不要拘泥于形式,套用邓小平同志经济改革经验之谈:白猫黑猫能逮住耗子的就是好猫,可谓是恰如其分。而且,他人成功经验往往不可复制。所以,教学改革是没有止境的,怎么研究都不过分,这就是教学改革的困扰之所在,也是教学改革的魅力之所在。本文只是个人经验的总结,其适用面的大小无法预知,能够起到抛砖引玉之功效,便心满意足了! 参考文献 [1]http://lgxy.jnu.edu.cn/sxwlfc/Content.Asp?m=24(暨南大学数学物理方程精品课程,负责人:马宏伟)[OL]. [2]http://desktop.swpu.edu.cn:8000/C1138/zcr-1.htm(西南石油大学数学物理方程精品课程网站,负责人:吴小庆)[OL]. [3]王琦.“数学物理方程”课程教学改革的探索与实践[J].广东工业大学学报:社会科学版,2010,2:1-4. [4]李芳,薛波,曹建莉.“数学物理方程”课程教学改革试探[J].中国电力教育,2011,22:22-25. [5]L.Rosier,B-Y.Zhang,Control and stabilization of the Kortewege-de Vries equation:recent progress[J].Journal of Systems Science and Complexity,2009,22:647-682. [6]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].3版.北京:高等教育出版社,2001. [7]姜礼尚,陈亚浙,等.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,2003. [8]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的Matlab求解[M].北京:清华大学出版社,2004. 奥数精讲1 学员编号： 年 级：四年级 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课目标 C数的整除 C找规律 C 数字迷 授课难点 整除 教学重点：找规律 ——数的整除 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 例题1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728.8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9整除的数有234，8865，8064。 例题2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？ 解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除； 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除； 如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。 例题3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。 1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？ 2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？ 3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？ ——找规律 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。 例题1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问： （1）第100盏灯是什么颜色？ （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？ 分析与解：这是一个周期变化问题。彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现。 （1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯。 （2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏） 例题2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？ 分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同。 同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同。 也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的。所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7。前三个数依次是3，6，7，第四个数是 25-（3+6+7）=9。 这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现。第24个数与第4个数相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478。 例题3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？ 628088640448… 分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化。我们试着将这串数再多写出几位： 当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现。由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4。 【练习】 1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？ 2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。求这个数列前100个数的和。 3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？ 4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。这列数中第88个数是几？ ——数字迷 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。 例题1 把下面算式中缺少的数字补上： 分析与解：一个四位数减去一个三位数，差是一个两位数，也就是说被减数与减数相差不到100。四位数与三位数相差不到100，三位数必然大于900，四位数必然小于1100。由此我们找出解决本题的突破口在百位数上。 （1）填百位与千位。由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的百位应填9，被减数的千位应填1，百位应填0，且十位相减时必须向百位借1。 （2）填个位。由于被减数个位数字是0，差的个位数字是1，所以减数的个位数字是9。 （3）填十位。由于个位向十位借1，十位又向百位借1，所以被减数十位上的实际数值是18，18分解成两个一位数的和，只能是9与9，因此，减数与差的十位数字都是9。 所求算式如右式。 由例1看出，考虑减法算式时，借位是一个重要条件。 例题2 在下列各加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出这两个算式： 分析与解：（1）这是一道四个数连加的算式，其特点是相同数位上的数字相同，且个位与百位上的数字相同，即都是汉字“学”。 从个位相同数相加的情况来看，和的个位数字是8，有两种可能情况：2＋2＋2＋2＝8与7＋7＋7＋7＝28，即“学”＝2或7。 如果“学”＝2，那么要使三个“数”所代表的数字相加的和的个位数字为8，“数”只能代表数字6。此时，百位上的和为“学”＋“学”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“学”≠2。 如果“学”＝7，那么要使三个“数”所代表的数字相加再加上个位进位的2，和的个位数字为8，“数”只能代表数字2。百位上两个7相加要向千位进位1，由此可得“我”代表数字3。 满足条件的解如右式。 （2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、个位上都有“努”，5432-4444=988，可将竖式简化为左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可将左下式简化为下中式，从而求出“学”=9，“习”=1。 满足条件的算式如右下式。 例题3 在□内填入适当的数字，使左下式的乘法竖式成立。 分析与解：为清楚起见，我们用A，B，C，D，…表示□内应填入的数字（见右上式）。 由被乘数大于500知，E=1。由于乘数的百位数与被乘数的乘积的末位数是5，故B，C中必有一个是5。若C＝5，则有 6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，与题意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，则F=A=9，此时被乘数为695，无论C为何值，它与695的积不可能等于□5□5，与题意不符，所以G=0，F=A=4。此时已求出被乘数是645，经试验只有645×7满足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D为偶数，经试验知D=2。 右式为所求竖式。 此类乘法竖式题应根据已给出的数字、乘法及加法的进位情况，先填比较容易的未知数，再依次填其余未知数。有时某未知数有几种可能取值，需逐一试验决定取舍。 1．在下面各竖式的□内填入合适的数字，使竖式成立： 2．右面的加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。问：“小”代表什么数字？ 【数学物理方程讲义】推荐阅读： 高考物理总复习讲义12-11 初一数学上册解方程10-11 小升初数学专题讲义06-17 六年级数学下册讲义06-23 高中数学曲线和方程教案05-29 数学四年级下册解方程11-02 七年级上册数学解方程11-24 数学解简易方程教学反思01-12 初一数学一元一次方程09-17 北师大八年级数学讲义06-05数学物理方程讲义 篇2
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