相似三角形单元教学计划（精选15篇）
1.通过具体实例认识图形的相似.2.了解相似多边形和相似比的含义,探索相似多边形的性质.3.了解三角形相似的概念,探索相似三角形的性质.4.掌握平行线分线段成比例定理.5.理解并掌握相似三角形的判定定理,并能应用判定定理解决问题.6.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.7.了解图形的位似,能够利用图形的位似将一个图形放大或缩小.8.了解在同一坐标系中位似变换后图形的坐标变化.将一个多边形的顶点坐标扩大或缩小相同倍数时对应的图形与原图形是位似的.9.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.1.结合相似图形性质和判定方法的探索与证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证的表达能力.2.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,进一步发展学生的探究、交流能力.过程与方法
培养学生用联系和转化的观点看待周围的事物,增强探索问题的信心和热情.情感态度与价值观
前面学习了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几何图形的全等变换,“全等”和“相似”都是图形之间的一种变换,全等图形是相似比为1的相似图形,所以本章相似形的学习,以全等形和全等变换为基础,是全等三角形在边上的推广,比全等形更具有一般性,是前面学习图形全等的拓展和发展.本章内容是对三角形知识的进一步认识,是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形的.在全等三角形的基础上,总结出相似三角形的判定方法和性质,使学过的知识得到巩固和提高.在学习过程中,按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究.首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系.接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质.对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他性质和应用.最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形.本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设置了相似三角形应用举例,从不同角度为解决实际问题作出示范.【重点】
1.相似三角形的判定与性质及应用判定和性质解决问题.2.位似图形的性质及画法.【难点】
1.相似三角形的判定定理的证明.2.位似变换的坐标表示.教材说明： 1.初中数学从《全等三角形》开始,已经进入了推理证明阶段,本章的学习在已有的基础上继续进行必要的推理证明,本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是和三角形、全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,例如相似三角形判定定理的证明中利用了全等三角形作为“桥梁”,性质的证明借助了代数运算,因此推理论证的难度提高了.教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合;也要注意以具体问题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明.2.学生通过前面对三角形、四边形、圆等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比对全等三角形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和方法,构建本章内容的基本线索,使他们对将学习的内容做到心中有数.因此本章在教学相似三角形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明.3.相似是生活中常见的现象,日常生活中存在着相似的例子,相似图形的性质在实际生活中有着广泛的应用,能直接应用相似三角形的判定和性质的实例很多,教材中融入了许多实际背景问题,所以在教学中要注重数学与实际生活的联系,每个课时都让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.课时安排
27.1 图形的相似 2课时 27.2 相似三角形
一、中考命题趋势
相似三角形在近年来各省、市的中考试题中所占的比例较高，主要考查三角形相似，线段的倍分，及等积式、等比式，求线段的比、面积的比等．其中求线段的比、面积的比，常以选择题、填空题的题型出现；论证线段的倍分、等积式、等比式，常以证明和说理题型出现；以相似图形为背景，探究函数解析式及其函数最值等问题，常以解答题的形式出现，这种题型知识性、综合性强，方法灵活，常以此来构筑中考压轴题．
二、中考复习建议
1.注重基础知识．本部分的重点是相似三角形的判定与性质，应用相关定义和定理进行证明是本部分知识的难点．复习时教师要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点．
2.注意联系实际．相似是生活中常见的现象，在复习中，要通过复习相似的相关知识，从实际生活中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题．
3.重视知识间的联系.在中考综合题中, 经常涉及有关相似的内容, 所以在复习中, 要注意把相似与圆、函数等内容联系起来．
4.重视数学思想方法的渗透．本部分主要涉及的数学思想方法有类比、转化、分类讨论等，复习时要充分注意数学思想方法的渗透．
5.把握好复习难度．复习时不要过分追求难题的训练，要注重基础知识的理解和掌握，根据学生掌握知识的实际情况，由易到难，循序渐进．
三、中考考点透视
考点1：考查三角形相似
如下图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
(1）求证：△PBE∽△QAB;
(2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如果不相似，请说明理由；
(3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
分析：（1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以证明△PBE∽△QAB； (2）△PBE和△BAE中，有一对相等的角即∠ABE=∠BPE=90°，只要再证得两个三角形夹相等角的两边对应成比例即可．
证明：（1）∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，
∵∠PBE+∠PEB=90°, ∴∠ABQ=∠PEB.
又∵∠BPE=∠AQB=90°, ∴△PBE∽△QAB.
(2）△PBE和△BAE相似．
∵∠ABE=∠BPE=90°, ∴△PBE∽△BAE.
(3）如果沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．
由（2）得∠AEB=∠CEB，又AB⊥BE,
∴EC和AE能重合，从而点A能叠在直线EC上．
解析：与相似三角形有关的问题，要善于寻找、发现相等的角．得出两角相等的有效途径主要有：公共角相等、对顶角相等、同角（或等角）的余角（或补角）相等、高线（或垂直）有直角相等．另外，应用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似时，所需要的对应边之间的比例式，往往通过证明另两个三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例得到．
考点2：考查相似三角形的判定与性质
例2： (1）如下图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD、CD的长．
分析：由于AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于E，所以连接BD后，可知△ABD为等腰直角三角形，从而可求出BD的长．由问题可知，图形中的所有线段均可求长，由于CD是∠ACB的平分线，所以可通作辅助线构造相似三角形求得AE或BE的长，再利用△DAE∽△D-CA或△ACD∽△ECB，或△ADE∽△CBE均可求得CD的长．
解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
于是在Rt△ABD中，
如下图，过E作EF⊥AC于F, EG⊥BC于G, F、G是垂足，
则四边形CFEG是正方形．
(2）如下页上图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC, EC平分∠BCD，则下列结论中正确的有（）.
A.∠ADE=∠CDE B.DE⊥EC
C.AD·BC=BE·DE D.CD=AD+BC
解析：由ED平分∠ADC可知∠ADE=∠CDE，故A正确；由AD∥BC得∠ADC+∠BCD=180°，又, ∴∠EDC+∠ECD=90°, ∴DE⊥EC，故B正确；易证△ADE∽△BEC，∴AD∶BE=DE∶EC，∴AD·EC=BE·DE，故C不正确；延长DE交CB的延长线于点F，易证△ADE≌△BFE，得AD=BF，∴CD=CF=BC+BF=AD+BC，故D正确．因此，本题应选A、B、D.
解析：本题是一道多选题，是近年来在中考数学中出现的一种新题型．本题考查的知识点较多，有平行线的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，能否熟练应用这些定理是解题的关键．
考点3：考查相似三角形在位似图形中的应用
例3：如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为＿＿＿＿＿＿＿＿．
分析：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.本题可根据位似图形及相似三角形的知识求解，应注意所画三角形的顶点要在格点上．
解:如图, △OA′B′即为△OAB的位似图形, 位似比为2∶1.
解析：本题考查了位似图形的概念以及基本作图。解答时要注意审题，顶点要画在格点上．需要提醒的是在进行位似变换时，要注意分两种情况解答：一种是位似图形有位似中心同侧，另一种是位似图形在位似中心的异侧．本题之所以画△OAB的位似图形时只画一个，是因为同侧的位似图形，顶点不在格点上，不合题意，故没有画出．
考点4：考查相似三角形中的条件探究型问题
例4：如下图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=10，直角尺的直角顶点P落在AD上（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交于点E． (1）当∠CPD=30°时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的倍整数？若存在，求出DP的长，若不存在，请说明理由．
分析：（1）当∠CPD=30°时，可算出PD、PC的长，后可得AP的长，在Rt△APE中可利用三角函数或相似求出AE的长；（2）属于一个条件探究性问题，可先将结论作为条件来探索，如能得到合理的结论，则说明存在，反之则不存在．
解：（1）在Rt△PCD中，
(2) 假设存在满足条件的点P, 设DP=x, 则AP=10-x, 由Rt△AEP∽Rt△DPC知, 所以, 解得x=8, 此时AP=2, AE=4, 符合题意.
对于相似三角形第一课时，教材上安排的内容较少，仅有相似三角形的概念和一个预备定理，如何创造性地使用教材，扩大学生的知识容量和思维容量，从而有效地培养学生的创新能力呢?我们采用了下述新的教学模式，即以新“课标”为指导，以“问题情境——建立模型——实验探究——理论释义——实践与应用”为基本要素的教学模式．
一、创设情境，建模引入
出示两幅形状相同、大小不等的中国地图，让学生观察并提出问题：“两幅中国地图间有什么关系(相似)?形状又有什么特点(形状相同、大小不等)?”
在两幅大小不等的地图上分别找出北京、武汉、昆明三座城市的位置，并连结三城市间的线段，得到两个三角形．接着提问：“两个三角形有什么关系?形状有何特点?”(板书课题：相似三角形)
点评课本上是通过两幅形状相同、大小不等的长城图片来引入的．我们觉得长城图片不如中国地图那么容易寻求相似三角形的切入点．巧妙地借助两幅大小不等的地图上三座城市间的连线段建立相似三角形的模型，使得知识衔接较为自然，并为下一步探索相似三角形的概念埋下伏笔．
二、动手实践，揭示概念
1．让学生拿出剪刀剪下由三个城市作为顶点的两个三角形，分别记作△ABC和A′B′C′(图2)，先观察它们的形状(形状相同，大小不等)，再动手测量对应元素(对应边和对应角)．
2．教师再针对测量结果提问：“△ABC与△A′B′C′的三角和三边分别有什么关系?”
同学们发现两个三角形的三个对应角相等，且三条对应边成比例，可表示为：
AB/A′B′=BC/B′C′=CA/C′A′
3．由学生自己总结出相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形．
4．通过类比得出全等三角形的概念：
全等三角形的对应角相等，对应边也相等．
注意，在此教师应强调两个相似三角形的对应顶点的字母应写在对应的位置上，这样才能准确、快捷地找出对应边和对应角．
点评 改变教材直接给出定义、介绍相关概念的做法，通过观察、动手实验并归纳定义，加深学生对概念的理解．既培养了学生的实践能力，又培养了学生的探究精神；又由类比引起认知冲突，使得全等三角形的概念自然地浮出水面，顺利地突破本节的难点．
三、建构模型。探索定理
1．建模(CAI课件演示)：移动△A′B′C′，使得∠A′与∠A重合，边A′B′落在边AB上，得到图3．提问：“BC与B′C′的位置关系是什么?(显然有BC//B′C′)反之，若BC//B′C′，△A′B′C′与△ABC相似吗?”接着，将△A′B′C′绕着点A旋转180°，得到图4，并提出同样的问题．
2．猜想：引导学生观察、讨论并大胆地作出猜想．
3．验证：写出已知和求证，并与学生一起分析：要证△ABC∽△A′B′C′，这里只能根据定义，即证明对应边成比例，对应角相等．前者根据平行线分线段成比例定理的推论．后者由平行线的性质得到，分析完后，让两位学生板演，写出证明过程．
4．形成：证明成立后，再让学生尝试把这一命题进行归纳：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
点评 整个过程力求体现“课标”所倡导的教学理念，创造性地使用教材，变“命题＋证明＝定理”的推理过程为定理的发生、发展、形成的探究过程，培养学生的创新能力．
四、运用新知，探究变式
例1 如图5，E是□ABCD边BA延长线上一点．EC交AD于C，根据本节所学的预备定理，写出图中的相似三角形(全等三角形除外)．
分析由□ABCD得AB//CD，AD//BC，即AE//CD，AG//BC．由预备定理知△EAG∽△EBC，△AAGE∽
变式1如图6，若连结BD，交EC于M，则图中有相似三角形多少对?它们分别是_________。
变式2 如图7，若F为DC延长线上一点．EF交BC于点H，那么图中又有多少对相似三角形?
点评 本例题课本上没有，是为了巩固预备定理而设置的．抓住定理中“平行”这一条件，以平行四边形为背景构造变式题目来揭示问题的本质，且题目的梯度拾级而上，符合学生的认知规律．在突出重点的同时，培养学生从比较复杂的图形中分解出基本图形的能力．
例2 如图8，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，则需要求出内孔的直径，但不能直接量出．现有一个交叉卡钳(两条尺长相等)和一把刻度尺，请你设计一个可测零件内径的方案．
(此例可先让学生讨论、交流并相互补充、相互完善，而后由教师点评．)
点评 此例源于教材中的一道习题，变“封闭”为“开放”，改变问题的呈现方式．从学生在日常生活所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，再利用数学模型去解决实际问题．
(作者单位：湖北省襄樊市第七中学)
(摘自《初中数学教与学》)
今天我们开始学习九年级下册的相似三角形的第二课时的相似三角形性质>，本节主要内容是推导出相似三角形的性质定理，并且会利用相似三角形性质>进行初步推理和计算，让学生们通过相似三角形性质探索的过程，认识并且提高数学思考、分析、论证和探究活动能力，体会到相似三角形中角与边之间的关系，从中体验到各类不同的数学思想和教学方法。
本节课本我从复习全等三角形的性质入手，对应角相等，对应边相等来联想相似三角形性质：相似三角形对应的特殊线段的比与相似比有什么关系呢????有的同学可能预习了，回答到“相似三角形对应角相等，对应边成比例”。但是大部分同学一脸茫然，看到同学们带着茫然和疑问，我就让六人小组进行测量探索，交流汇报。并引导同学们发现的结论共同证明：一组相似三角形中对应角平分线的比等于相似比，再类比到对应高，对应中线的比也等于相似比。接着让每组选一名同学说明，对四种“比”间的相互关系。通过同学们的动手练习，和小组合作。不难看出他们已经理解并掌握今天所学的知识。揭示了一组相似三角形中对应边的长度、对应特殊线段的长度都发生变化，但其对应角不变，对应特殊线段的比也不变。使学生把握数学的实质――“一组相似三角形对应高，对应角平分，对应中线的比都等于相似比。
通过本节课的教学，我感到比较顺利完成教学任务。教学设计环环紧扣，提高了学生思维兴趣，达到课前预设的的效果。在操作、猜想、证明、运用各阶段，提高了学生的参与性，师生配合默契。同时也看到自己的不足，本节课在定理的证明阶段，板书不够工整，过程不够严谨，由于时间关系，对学生还是放不开。今后应该更大胆一些，更放开一些，让学生有更多的时间和更大的思维空间。达到“授之以渔”的目的。
马晓戎
最近，我们九年级学完了《相似三角形的判定》的内容，相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在。在本章教学中，主要教学目标是让学生在亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的判定方法；培养学生提出问题、解决问题的能力。
2013年12月10日，我在九年级二班刚好就上了《相似三角形的判定》第一课时的内容。在本节课的教学中，我是通过平行线分线段成比例定理引入教学的，先让学生画三条平行线，再画两条相交直线与其相交，从而得出得出了一些线段，并再让学生自己操作：量一量、算一算、比一比，从图形中判断，得出那些结论。整个教学过程进展较为顺利，基本完成了教学任务。
在本节课的教学中，我认为以下这几个方面做得较好：
1、教学引入照顾到了到多数的同学，培养了学生的动手测量和计算能力。利用三角板画平行线、相交线，通过测量对比，学生基本能全员参与，调动了学生学习的兴趣和积极性。学生更易于从图形当中得到结论，这样引入能很好的使学生体验到生活中的数学知识。通过后来练习及作业反馈、九年级四班的同学也比较容易得出了平行线分线段成比例定理这个结论，说明这种引入的方法是成功的。
2、对教学内容进行了合理整合。把相似三角形的判定方法放到下一节课学习，使学生对相似三角形的识别方法有个整体的认识，然后再利用第二、三节课巩固深入，杜绝传统的“学生在一节课内学完一个知识点就做相应的练习，模仿套用知识而不需选择，当学完全部相似知识点进行综合练习时，容易产生混淆”的现象。本节课只学习了平行线分线段成比例定理的内容，以及由此演变而形成的“A字型”图和“X型图”从一开始就摆脱学生的依赖心理，把问题抛给学生，有效的锻炼了学生的思维，同时还利用全等三角形的识别类比相似三角形的识别，学生容易理解。
3、注意到了推理的逻辑性和严密性。教学中在结论的推导得出过程中，注意了数学符号语言的应用和书写，保证了证明的规范性和作图的合理性。这一点主要表现在“A字型”图的证明上，学生通过几分钟的短暂讨论，书写得出这个定理。在学生亲自操作、探究的过程中，获得三角形相似的第一个简单的识别方法；培养学生提出问题、解决问题的能力；从整堂课学生的表现看到，这节课基本上实现了以上目标。
本节课尽管在以上几个方面做得较为成功，但仍然有些地方值得商榷。课后，经过教研组同志的集体评课以及自我反思，认为需要从以下几个方面改进：
1、在平行线分线段成比例定理的得出过程中，更应当注意图形的一般情况，不应当以点带面。表现在如果两线相交构成的是直角梯形这种情况，而在课堂教学中，由于时间关系、学生关系，在上课作图未涉及到这种情况，这一点需要改进。
2、在证明“A字型”图的结论过程中，没有必要证明DE是三角形中位线这种情况，因为它的证明方法和后面的都相同。如果这样做的话，会浪费大量的时间，导致课堂教学前松后紧。
3、有些学生操作计算的速度太慢了，没有时间等他们探索得出结论，而大多数的同学已经得出了结论。这样可能使他们不能充分理解这节课的内容。
4、教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。
关于《相似三角形的性质（1））》教学反思
九 年级 数学 学科 姓名： 周晓焕
教材分析：
本节课内容是在学生学习了相似三角形的判定和利用相似三角形测高，以及一些关于相似三角形性质的探究等知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对相似三角形性质的拓展与延伸.学情分析：
本节课是教材第四章《图形的相似》的第七节，学生对相似三角形的性质已具有一定的认知水平，特别是经历了探索三角形相似的条件及利用相似三角形测高等数学活动后，探索图形的意识明显增强.在此基础上对相似三角形的性质作进一步的研究，无论是思想上还是方法上都具备良好的契机.课后思考
在《相似三角形的性质》的第一课时，主要是导出相似三角形的性质定理1，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想。
本节课我从复习相似三角形的判定方法入手，由判定与性质的互逆得到：相似三角形对应角相等，对应边成比例。再由全等三角形中对应的特殊线段的比为1，引出思考：相似三角形对应的特殊线段的比与相似比有什么关系呢？
我从以下四方面着手，让学生更好的掌握本节的内容并进行了总结：
第一、以合作探究的形式展开，即以小组的形式展开，让学生探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展。
第二、类比归纳。通过类比归纳，让学生发现其中的异同点，更好的理解并掌握相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比，并能用来解决简单的问题。
第三、深入挖掘。通过此方法的探究，让学生能够更加清楚的知道在解决相似三角形的运算问题时，要灵活充分应用相似三角形的有关性质。同时，对培养学生由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力有很大的作用。
第四、作业的设计。此部分主要是为了巩固学生对相似三角形性质的认识，并增强学生灵活应用相似三角形的性质解决综合问题的能力，以解决本节的教学难点。
在课后评课中，也看到自己的不足。
[每次反思都是一次进步]
[教学反思专用稿]
一、本节课在定理的证明阶段，本来是由小组探讨，教师总结即可，但是由于自己放不开手，怕学生没学会，不由地又把思路讲一遍，造成学生的听力负担，画蛇添足。其实在学校“乐学”课堂的大环境下，我们应该做学生学习的引导者，学生才是真正的学习主人。我们应该更大胆一些，放开一些，让学生有更大的思维空间；达到“授之以渔”的目的。
二、我的教学语言不够精炼，不够严谨；课堂气氛还不够活跃。在今后的教育教学中，要多下点工夫磨练自己的课堂语言；在如何调动课堂气氛，使语言更加生动上下功夫。初中学生的注意力还是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合自己适合学生的教学风格？或严谨有序，或生动活泼，或诙谐幽默，或春风细雨润物细无声，每一种都是教学魅力和人格魅力的展现。我将不断摸索，不断进步。
为了让平面直角坐标系中相似三角形“K型”例题能顺利进行解答,我设计了如下的预备题.
1.在△ABC中,AC=3,BC=4,当AB=___时,△ABC为直角三角形.
2.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB的解析式为y=1/2x+1,直线CD过点C(0,-1)且直线CD⊥AB,则直线CD的解析式为___.
3.如图2,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、点B(5,6),在x轴上找一点C,使△ABC是以AB为斜边的直角三角形,则C点坐标为___.
第1题设计的用意是体现分类讨论思想的运用,第2、3两题设计的用意是体现数形结合思想、方程思想的运用,是将例题进行解剖的分支,是突破例题的难点所在.通过预备题帮助学生复习已学的知识,为例题作铺垫.
本节课对例题的教学实录如下.
【例题】 (江汉区中 考题改编)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H .(1)直接填写:a= ___,b= ___,顶点C的坐标为___;(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACDACD为直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.
学生通过交流讨论,很快对第(1)做出了正确的解答.
师:通过第(1)小题的练习,说明我们的学生基本功比较扎实.下面请×××同学读第(2)小题.
师:第(2)小题“在y轴上是否存在点D”这句话中重要字眼是什么?
生:y轴.
师:第(2)小题“使得△ACD为直角三角形”这句话中,你认为要注意什么?为什么?
生1:老师,我没想好.
生2:我认为要将△ACD进行分类 讨论,因为题目中没交代△ACD中哪个角是直角.
师:说得非常棒.第(2)小题该如何解决?请同学们独立思考思路,有思路的请举手示意.
师:请小组内交流方法,各小组派一 代表说明 本小组区别于其他小组的方法.
师:哪一组先交流?
生1:我们小组的方法主要是用勾股定理的知识结合方程思想、数形结合思想解决了此题.具体过程如下:(实物投影)我们不妨设在y轴上存在满足条件点D(0,m),连结AD、CD(如图3),由两点间 的距离公 式可得AC2=20,CD2=1+(4-m)2,AD2=9+m2,再分类讨论.
1当∠ADC=90°时,9+m2+1+(4-m)2=20,解得m1=1,m2=3.所以点D(0,3)或(0,1);
2当∠DAC=90°时,9+m2+20=1+(4-m)2,解得m=-3/2,所以点D(0,-3/2);
3当∠ACD=90°时,20+1+(4-m)2=9+m2,解得m=7/2,所以点D(0,7/2).
综上所述,在y轴上存在点D(0,3)或(0,1)或(0,-3/2)或(0,7/2),使得△ACD为直角三角形.
生2:我们小组的方法主要是用两直线互相垂直时,两直线的斜率存在时的乘积等于-1以及相似的知识结合方程思想、数形结合思想解决了此题.具体过程如下:(实物投影)我们假设在y轴上存在满足条件的点D(0,m),连结AD、CD,过点C作CE⊥y轴于点E(如图3).
1当∠CDA=90°时,∠1+∠2=90°.∵∠2+∠3=90°,∴∠3=∠1.∵∠CED= ∠DOA=90°,∴△CED∽△DOA,∴CE/OD=DE/AO.化简得m2-4m +3=0,解得m1=1,m2=3.在y轴上存在 点D (0,3)或 (0,1),使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
2当∠ACD=90°时,先求直线AC的解析式为y=2x+6,由于直线AC与直线CD垂直,所以设直线CD的解析式为y=-1/2x+b2,将C点的坐标 代入得直 线CD的解析式为y=-1/2x+7/2,从而求出点D(0,7/2);
3当∠DAC=90°时,先求直线AC的解析式为y=2x+6,由于直线AC与直线AD垂直,所以设直线AD的解析式为y=-1/2x+b3,将A点的坐标代入得直线AD的解析式为y= -1/2x-3/2,从而得出 点D(0,-3/2).
生3:我们小组的方法主要是用了两直线互相垂直时,两直线的斜率存在时的乘积等于-1,两直线不重合且平行时,两直线的斜率存在时相等、b不等以及相似的知识结合方程思想、数形结合思想解决了此题.具体过程如下:(实物投影)假设在y轴上存在满足条件的点D(0,m),连结AD、CD,过点C作CE⊥y轴于点E.
1当∠CDA=90°时和2当∠ACD=90°时,过程与生1和生2所说一样;当∠ACD=90°时,CD1的解析式为y=-1/2x+7/2.
3当∠DAC=90°时,直线AD2解析式的求法是利用直线AD2平行于直线CD1,得直线AD2解析式为y=-1/2x-3/2,从而求出点D(0,-3/2).
师:有没有不同于以上的方法?
生齐:暂时没有.
师:有兴趣的同学课后再思考有没有其他方法?刚才同学们说得都很棒,在你们这么多方法里,你认为哪一种方法好呢?为什么?
生1:我认为用勾股定理的方法好,因为用这个方法我熟悉.
生2:我认为用勾股定理的方法虽然思路比较清晰,但运算量大,用相似的方法运算量小,所以用相似的方法好.
生3:我认为用两直线互相垂直时,两直线的斜率存在时的乘积等于-1;两直线不重合且平行时,两直线的斜率存在时相等、b不等以及与相似三角形相结合的方法比较简单.因为这个方法思路既清晰,运算量又不算大.
师:刚才同学们说得都有道理,这个例题 除了可用已学的勾股定理、平面直角坐标系中两直线的位置关系的知识点完成,还可用现在所学的相似三角形的知识点完成,至于哪种方法好,你认为哪种方法用起来顺手、快捷就用哪种方法.
教无定法,但本课教学有法,贵在得法.
摘要：课堂教学教无定法,贵在得法.通过“自学·议论·引导”课堂教学,能挖掘学生潜能,提高学生学习的积极性,发挥学生的主体性,帮助学生真正学会自主学习、创造性地学习、享受学习.
第一招：两组角对应相等的两个三角形相似
例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．
分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．
证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，
∴∠BAD=∠EDC.
∴△ABD∽△DCE．
点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．
第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．
求证：△BFG∽△FEG．
分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．
证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.
∴==，==.
∴=．
又∵∠G=∠G，
∴△BFG∽△FEG.
点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．
第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似
例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．
（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．
分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．
解：（1）由勾股定理得：
AD==，DE==，AB==，AC==．
又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.
∴==.
∴△ABC∽△ADE．
（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．
《数学课程标准》要求：让学生成为行为主体“动手实践、自主探索、合作交流 ”。以上述思想为出发点，本节课的教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、体验性。
教学流程：创设情境，激发求知欲――合作交流，探索新知――应用拓展，达成目标――归纳总结，深化目标
1.关于探索
两个三角形相似条件的探索，本设计没有按照教科书那样直接指导学生按部就班地画一个角，两个角这样的程序进行。而是首先在新旧知识的转折处，创设有助于学生自主学习的问题情境――能否配制一张完全一样的玻璃来引导学生探索并深入研究。使学生经历“直观感觉�D�D动手感知�D�D理性思维”的活动过程，在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，真正感受数学创造与探索的乐趣。
2.关于应用
三角形相似的判定方法的应用是本节的一个重点，在运用时，如何找准相等的两组对应角是一个难点。本设计注重了习题的发展性作用，层层深入，逐一突
破难点。同时根据变式分层的思想，设计具有一定跨度的问题串，组织学生进行变式训练，使每个学生都得到充分的发展。
3．课堂组织
本课采用“自主探索，合作交流”这一教学组织形式，鼓励学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，能在倾听别人意见的过程中，逐渐完善自己的想法，感受到与同伴交流中获益的快乐。
4.关于评价方式：
本章定位于以直观几何为主体、附以一定程度上的说理和简单推理。本节课关注的是学生能否主动参与小组合作，积极探索。为此，教师要特别关注学生个性化的学习需求以及对个性化学习的恰当评价在课堂教学中，给学生留有充足的时间，发表自己的观点，教师应及时表扬和鼓励，这有助于学生认识自我，建立自信，发挥评价的教育功能。
5.遗憾之处：
①题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。
②有些题虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，仅是为做题而做题。
6.反思之处：
反思一，集体的智慧是无穷的，一定继续发扬团结协作的好作风；反思二，教材的内涵是无尽的，一定要挖掘到一定的深广度；反思三，教师的经验是宝贵的，一定要开诚不公的交流；反思四，工作的责任心是必要的，一定要无私奉献；反思五，教师的工作是高尚的，来不的半点虚假。
总之，教师的教学技艺和水平在每天的工作中慢慢的提高，我会把教学反思一直坚持下去，因为它是我们教学提高的催化剂，更是学生学习进步的助力器。
篇2：《相似三角形的判定》教学反思
本节课的教学设计主要从以下三个方面来考虑的：
1、尊重学生主体地位
课前学生自己对比例线段的运用进行整理。这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生逐渐学会反思、总结，提高自主学习的能力；课堂上学生亲身体验“实验操作―探索发现―科学论证”获得知识（结论）的过程，体验科学发现的一般规律；解决问题时学生自己提出探索方案，学生的主体地位得到了尊重；课后学有余力的学生继续挖掘题目资源，发展的眼光看问题，观察运动中的“形异实同”，提高学习效率，培养学生思维的深刻性。
2 教师发挥主导作用
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬。备课时思考得更多的是学生学法的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充。教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长。
3 提升学生课堂关注点
学生在体验了“实验操作――探索发现――科学论证”的学习过程后，从单纯地重视知识点的记忆、复习变为有意识关注学习方法的掌握，数学思想的领悟。如在原问题的取点中教师小结了从特殊到一
般的归纳，学生在探究矩形的比值时就能意识地把解决特殊问题的策略、方法迁移到解决一般问题中去。在课堂小结中，学生也谈到了这点体会，而且还感悟了一题多解、一题多变等数学学习方法。 相似三角形的判定主要介绍了三种方法以及相似三角形的预备定理 ,从上下来的结果来看,不是很 理想,绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用,夹角也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味死记结论.不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力,合情推理的能力,争取这方面有所提高。
篇3：《相似三角形的判定》教学反思
这节课是在学习完“相似三角形判定定理一”后的一节习题课，相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，而“相似三角形判定定理一”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在，“难”的不是定理的本身，而是要跟以前学过的“角的等量关系”证明联系紧密，综合性比较强，因此对定理的运用也带来的障碍。
通过建立数学模型，引导学生使用化归思想。要让学生善于学习，促进他们通法的掌握是重要途径之一。化归思想与转化思想不同，主要是化归思想必须有一归结的目标，也就是老经验。因此，在教学实践中，我采用了下列两个做法：一是建立“一线三等角”的数学模型，让学生在实验操作中探寻出折纸问题中的数学问题本质特征。并把它上升为一种理论，指导其他问题的解决。二是采用探究条件的转化，使问题表象发生变化，引导学生去伪存真，还原出数学问题的本质。
在教学后，我觉得有很多需要改进的地方。
1．教学的方式过于单一，学生的参与面较低。主要是我没有调动好他们的`情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。
2．教学内容还有待于进一步改进。
九数
许国祥
我的教学宗旨是: 一般情况下，按照教材上的教学设计进行教学，以学生为主体，教师做学生的组织者、引导者、合作者，只在关键处点拨，补充，尤其是在几何教学中，以培养学生的合情推理能力，发展学生逻辑推理能力，靠近中考。
我的教学设计
一、知识回顾。(小黑板出示)1．我们已学过了哪些判定三角形相似的方法? 2.在△ABC与△DEF中因为∠A=∠D=45°，∠B=26,°∠E=109°.则这两个三角形是否相似?
二、动脑筋
鼓励学生动手画图，认真思考书中问题，引导同学们讨论得出判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
指名说一说:这个定理的条件和结论各是什么?关键处是什么? 同桌完成课本上的做一做。然后指名在班上说。教师及时给予表扬和肯定。
三、出示例题2.要求学生尝试完成。不会做的自己看书，然后再做。教师行巡回辅导，适时指点练习中容易出现的问题。最后指名板演，集体订正。
四、出示课本78页中的B组2题作为典例分析。
要求学生凭眼睛看这两个三角形相似吗?再通过计算他们的对应边是否成比例。有一个角对应相等吗?他们相似吗?同桌讨论各自的心得。从这个例子你能得出什么结论？指名说。
教师示范：规范写出两个三角形对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似已知，求证及证明过程
五、出示B组1题作为典例分析。要求学生先自学，再试着做一做。最后师规范板书全过程。
六、启迪学生除这种解法外,你还能用别的方法来证明吗?鼓励学生用多种方法解题。
七、引导学生归纳解题所得。
八、总结整堂课内容。
九、巩固练习。完成教材第78--79页练习1、2题
十、作业:基本训练78--79页A组1-2题。教师巡回辅导
我的反思: 成功之处:.1、课前对旧知识的回顾，以防止负迁移现象，特别是做一做的设计注重了相似三角形中对应元素的训练，为潜能生设置了一个障碍，以培养学生的合理想象力。
2、整堂课体现了以学生为主体的教学理念。教师的点拨很到位，对定理的剖 析突彻，在教学过程中注重了规范板书，为学生起到了示范作用。
3、巡回辅导对提高潜能生有很大帮助，同时充分利用有利资源，以优帮劣，及让优生巩固了所学知识又提高了潜能生，何乐而不为?
4、作业的设计具有层次性。做到了突出重点，突破难点。不足之处:
1、巡回辅导时未顾及到全局，关键是时间太紧。
2、时间分配不够合理，运用定理解题时间花的太多，导致作业不能当堂完成。
一、格点三角形相似的判断
例1 如图1，在正方形网格中有格点三角形ABC和A′B′C′，它们相似吗？
解析：可假设网格中每个小正方形的边长为1，则AB=2，AC=4，BC=2；A′B′=，A′C′=2，B′C′=.同时，通过观察发现，两个三角形均为钝角三角形，且钝角均为135°．因此，可得出下面两种判断方法：
方法1：判断三边是否对应成比例．由上面分析知=＝=2，故△ABC∽△A′B′C′.
方法2：先证∠BAC=∠B′A′C′＝90°＋45°=135°，再判断钝角两边是否对应成比例.由上面分析知=＝2，故△ABC∽△A′B′C′.
点评：方法1是格点三角形相似问题中常用的解法，方法2有它使用的局限性，必须先发现角相等.格点三角形中常常有特殊角，如45°，90°，135°等.
例2 如图2所示，在正方形网格上有5个格点三角形：①、②、③、④、⑤．其中与①相似（不包括①）的三角形有 ．
解析：设网格中每个小正方形的边长为1，则①中各边长分别为、2、，且其中有一个角是135°的钝角．这也是解决本题的一个重要突破口.另外，“三边对应成比例”的相似判定方法可以作这样的变形：若AB∶AC∶BC=A′B′∶A′C′∶B′C′，则△ABC∽△A′B′C′.
（1）可判断三角形②中的钝角小于135°（因是45°角与一个小于90°的角之和)，则三角形②与三角形①一定不相似.
（2）同上面的方法，知三角形③与三角形①一定不相似．
（3）三角形①三边之比为∶2∶=1∶∶．三角形④三边长分别为，，5，则三边之比为∶∶5=1∶∶．所以三角形④与三角形①相似.
（4）易知三角形⑤与三角形④全等，则三角形⑤与三角形①也相似.
综上可知，应填④、⑤．
点评:判断相似与判断全等有类似之处，都需要抓住图形的重要特征，这样可以减少计算量，提高解题速度.首先可注意有关的钝角，比如135°的角，这样可排除一些明显不相似的三角形．“三边对应成比例”的判定方法变形后用来判定相似很方便，可以避免找对应边带来的麻烦．但也要注意，三边之比最好都按从小到大的顺序进行排列.
<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]
1. 如图3所示,在正方形网格中有6个格点三角形:①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF．②~⑥中与①相似的是（）．
A. ②、③、④B. ③、④、⑤
C. ④、⑤、⑥D. ②、③、⑥
二、画与已知的格点三角形相似的格点三角形
例3 如图4所示，在正方形网格上有格点△ABC，请在网格上画出一个与△ABC相似但不全等的格点三角形.
解析：设网格中每个小正方形的边长为1，计算后知AB=，BC=，AC=.
方法1：由AB2＋BC2=AC2知∠ABC=90°，且AB∶BC=1∶1，因此，我们可以找一个直角（比如一个大的正方形的一个内角），再在直角的两边上截取相等的两段，得到的格点三角形必与原三角形相似．
方法2：由图可知道，AB、BC分别是相邻的1×2和2×1的矩形的对角线，我们可以寻找类似的m×2m和2m×m(m为大于1的整数）矩形，作出它们的对角线，构成格点三角形.
点评：本题画图的方法较多．无论是利用哪一种方法画图，都必须理解作图的依据和技巧.
<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]
2． 在10×10的正方形网格中，以小正方形的顶点为顶点，画出两个相似的钝角三角形，且使其相似比为1∶.
三、与相似有关的证明
例4 如图5所示，三个正方形拼成一个矩形ABEF.
（1）求证：△ACE∽△DCA．
（2）求证：∠1+∠2+∠3=90°.
解析：（1）由∠ACD=∠ECA，=＝，可知△ACE∽△DCA．
（2）由∠1=45°知，须证∠2+∠3=45°．而∠1=∠3+∠CAE，即∠3+∠CAE=45°，由（1）知△ACE∽△DCA，因此，∠2=∠CAE，故∠2+∠3=45°，得证．
点评：由于格点三角形的特殊性，相似在这里很容易证明．
<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]
3. 已知正方形的边长为1.
（1）如图6所示，可以算出一个正方形的对角线长为，求2个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并计算出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长l.
（2）根据图7所示，在下列的三个结论中，选出正确的结论并加以证明：①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°.
虽然网格中的数学问题远不止这些，但是，只要我们把握了网格的真正特征，掌握了研究与分析问题的方式，再难的问题也会迎刃而解.
练习题参考答案
一、运用标杆、刻度尺测算
例1 (2007, 怀化) 如图1所示, 九年级 (1) 班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度。已知标杆高度CD=3m, 标杆与旗杆的水平距离BD=15m, 人的眼睛与地面的高度EF=1.6m, 人与标杆CD的水平距离DF=2m, 求旗杆AB的高度。
解:
例2 如图2, 小明拿着一支刻有厘米分划的小尺, 他站在距电杆约30米的地方, 把手臂向前伸直, 小尺竖立, 看到尺上的12个分划恰好遮住电线杆, 已知臂长约60厘米, 求电线杆的高度。
解:
因此电线杆的高度为6米。
二、利用人体的身高、影长及投影测算
例3 (2005, 福州) , 如图3所示, 某学习小组选了一名身高为1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处, 其他人分为两部分, 一部分同学测量该同学的影长为1.2m, 另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为9m, 那么旗杆的高度是______m.
解:由于人影DE与旗杆影长AC平行, 且EC⊥BD, AB⊥BD,
例4 (2006, 南京) 如图4所示, 已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱, AB=5m, 某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m。
(1) 请你在图中画出此时DE在阳光下的投影;
(2) 在测量AB的投影时, 同时测量出DE在阳光下的投影长6m, 请你计算DE的长。
解: (1) 连接A、C, 过点D作DF//AC, 交直线BC的延长线于点F, 线段EF即为DE的投影。
(2) ∵AC//DF,
∴∠ACB=∠DFE, 又∠ABC=∠DEF=90°
故△ABC∽△DEF。
undefined
三、利用平面镜、反射定理测算
例5 (2006, 浙江湖州) 如图5所示, 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度, 学校数学兴趣小组做了如下的探索:根据《科学》中光的反射定律, 利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离根底 (B) 8.4米的点E处, 然后沿着直线BE后退到点D时, 恰好在镜子里看到树梢顶点A, 再用皮尺量得DE=2.4米, 观察者目高CD=1.6米, 则树 (AB) 的高度约为______米 (精确到0.1米) 。
解:作EF⊥BD, 由光的反射定理知,
例6 晨晓想用镜子测量一棵古松树的高, 但因树旁有一条小河, 不能测量镜子与树之间的距离, 于是他两次利用镜子。如图6所示, 第一次他把镜子放在C点, 人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处, 人在F′处正好看到树尖A, 已知晨晓眼睛距地面1.7m, 量得长CC′为12m, CF长1.8m, C′F′为3.84m, 求这棵古松树的高。
解:设BC=y, AB=x, 作CM⊥BF, C′M′⊥BF′, 由物理学中光的反射定理可知, ∠ACM=∠ECM, ∠AC′M′=∠E′C′M′, ∴∠ACB=∠ECF, ∠AC′B=∠E′C′F′.
又∠ABC=∠EFC=90°, ∠ABC=∠E′F′C′=90°,
∴△ABC∽△EFC, △ABC′∽△E′F′C′.
故undefined,
即
解①、②组成的方程组得:x=10、y=10.59.
文峰中学 龚道群 教学目标：
1、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系.2、增强识图能力，能够从已知图形中找出基本图形，并列出所需比例式.教学方法：教学过程也是学生的认识过程，只有学生积极地参与教学活动，才能收到良好的效果。因此我首先着眼于调动学生学习的积极性、主动性。其次，为了使学生很好地理解和掌握本章基础知识，以问题导入，循序渐近，由浅入深，从单一到综合，以逐步提高学生应用能力。最后，在设计安排本课的教学过程时，我还考虑到实际教学中可能出现的情况，准备多种方案，根据实际情况选用，以充分发挥教学中学生的主体作用，教师的主导作用。教学过程：作为复习课的方式之一，以问题导入师生共同构建相似三角形中各种基本图形的结构网络，形成知识体系是本课教学的重要方式。师：问题1：如图，已知DE//BC，你可以得出哪些结论？ 生：由平行得到相似：垂直ABC∽垂直ADE.由平行得到比例式：AB/AD＝AC/AE＝BC/DE；AB/BD＝AC/CE；BD/AD＝CE/AE等.师：问题2：如图，添加什么条件可得△ADE∽△ABC？
生：因为两个三角形有公共角(或对顶角),所以再有角ADE＝角B（或角AED＝角C）可得△ADE∽△ABC，还可以通过比例式AE/AC＝AD/AB证相似。
师：问题3：你能准确地找出相似三角形的这四个变式图形中的对应线段吗?(平截型和斜截型通过“旋转”、“翻转”是可以互相转化的.图形的位置发生了改变，但对应边的比值总是相等.)生：在这四个变式图形中,都是AB对应AD;AC对应AE;BC对应DE.师：问题4：已知左图中的△ABC∽△BDC,用鼠标托动左图中的 点A或点B,观察表格中数据的变换,你发现了什么规律? 生：在一般型中，由△ABC∽△BDC,得AC/BC=BC/DC.上式可变形为BC(^(^2))=AC·DC(由比例式得到等积式).师：问题5：在图中你发现几对相似三角形?可写出几组比例式?由这些比例式你可以变形得到几个“平方等积式”的形式?拖动三角形的顶点看看结论改变吗?
在复习基本图形后利用例题帮助学生从复杂图形中辨认基本图形。例：如图△ACB，角ACB＝90度，CD垂鱼AB于D，E为AC上一点，CF?BE于F，连结DF.求证: BD/BE=DF/AE
(利用几何画板特点，动态分拆图形克服教学难点)
【基础知识精讲】
1．理解相似三角形的意义，会利用定理判定两个三角形相似，并能掌握相似三角形与全等三角形的关系．
2．进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学习数学的兴趣和自信心．
【重点难点解析】
相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．
【典型热点考题】
例1 如图4-21，□ABCD中，M是AD延长线上一点，BM交AC于点F，交DC于G，则下列结论中错误的是（）
图4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF
点悟：用本节概念和定理直接判断． 解：应选D．
例2 如图4-22，已知MN∥BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别交于点M、N，点P、Q分别在边AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．
图4-22 求证：△APQ∽△ANM． 证明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．
例3 写出下列各组相似三角形的对应边的比例式．
(1)如图4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD与AB是对应边．(2)如图4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．
图4-23 点悟：要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边．因为相似三角形是全等三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发．
解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是对应边，它们所对的顶点E和C为对应顶点，而A是两三角形的公共顶点，∠BAC为公共角，所以两三角形另两组对
ADDEBCEACA应边为DE和BC，EA和CA，得AB．
(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A为公共顶点，另一对应顶点为D和C，三组对应边分别是AD和AC，AE和AB，DE和CB．
ADAEABDECB得AC．
本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形． 第一类为平行线型．
平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合．基本图形有两种(图4-24)：
图4-24 第二类是相交线型．
这一类型的对应元素不十分明显，对应顺序也不一致，对应边相交．它的基本图形，也有两种，一种是有一个公共角，另一种是一组对顶角(图4-25)．
图4-25 其他类型的相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型． 例4 如图4-26，已知：△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于F．求证：AB·DF＝BC·EF．
图4-26 点悟：如果我们把条件和结论涉及的线段AD，CE，AB，DF，BC，EF在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即△DBE，还有一条线AC，是△DBE的截线，分别截△DBE的三边DB，BE，DE(或它们的延长线)于A，C，F．这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线或其延长线相交(如图4-27)，在每一种图形中，虽然只有一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式．
图4-27
ADDFBHEFCEBC以(2)为例，可以写出ABBHABDFAD，又可以写出BH．前两式均有BH，于是
BC可得，及
BHBCEF，所以，有
ABDFEF．又因为ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(证略)利用比例线段也可以证明两直线平行或两线段相等．
例5 如图4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE相交于G，CE和DF相交于H，求证：GH∥AD．
图4-28 点悟：条件中的AD∥BC，给出了两个基本图形，而AE＝ED，BF＝FC，又使从两
AGDHHF个基本图形中给出的比例式有一个公共的比值，从中可以得到GF．所以GH∥AD．
证明：∵ AD∥BC，AEAGGFEDDHHF∴ BF，FC．
∵ AE＝ED，BF＝FC，AGDHHF∴ GF，∴ GH∥AD．
例6 如图4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的长．
图4-29 点悟：题设中的两对平行线起着不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．这样已知及欲求的线段BE，AE，AB，AF都在AB和AC这两条边上，利用EF∥BC，就可以得到相应的比例线段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF为平行四边形，∴ ED＝CF＝AE．
设AE＝x，则 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AEAFCFx4x∴ BE，即15x，2∴ x4x600
解得，x110(舍)，x26． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．
例7 如图4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．
图4-30 点悟：按照例4的分析，过点G作GM∥AC，根据平行线截得比例线段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，则 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DMMC12DC∴ ．
BD∵ DCBD131，61BD即2DC，MC61161．
71BDMCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．
点拨：以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识．
【易错例题分析】
例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． 证明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中点，AD2∴ QCBP，3BC4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PCDQPC，∠C＝∠D＝90°，2．
AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：证此类题应避免没有目标而乱推理的情况．
例2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图4-31(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．
解：由AB＝1.5米，SΔABC1.5平方米，得BC＝2米．设甲加工的桌面边长为x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CDDEAB672xx1.5∴ CB，即2．
解得 x，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．
由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 设乙加工的桌面边长为y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．
BPDEAC1.2yy2.5∴ BHy，即1.2
3037303722即x＞y，xy，解得，6因为7所以甲同学的加工方法符合要求． 警示：解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写错而形成的计算错误．
例3 如图4-32，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AFBEBDAC于E、F．求证：AD．
图4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．
BDBEAFAFBEBD∴ AD，即 AD．
警示：本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况．
【同步达纲练习】
一、选择题
1．如图4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．多于3个
2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（）
A．24 B．25 C．26 D．27
图4-33 图4-34
二、填空题
3．如图4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．
图4-35 图4-36 4．如图4-36，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们是_______________．
5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底边离地面的高等于________．
三、解答题
6．如图4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2PEPF．
7．已知：如图4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．
图4-37 图4-38 8．四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：AC·BE＝AD·CE．
参考答案
【同步达纲练习】
1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD
5.4m 6．连结PC，先证明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再证明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2PEPF，∴PB2PEPF
7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF
(2)∵△EAF、△BCF都是底角为72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC
从上表可以看出, 近9年中, 相似三角形是年年必考, 在连续性考查的同时, 考点内容又相对稳定. 如作图考查了3次, 判定考查了4次, 性质则是每年必考, 同时注重学科内知识的综合. 尤其值得一提的是, 9年中有6次出现了对相似基本图形的考查. 这些信息给我们的中考复习带来有效的指导笔者不避粗陋, 来谈谈相似三角形的复习, 与同仁分享, 也请大家指正.
一、注重知识的重组优化
片段一下列命题中哪些是正确的, 哪些是错误的? 请说明理由.
(1) 所有的直角三角形都相似 ;
(2) 所有的等腰三角形都相似 ;
(3) 所有的等腰直角三角形都相似 ;
(4) 所有的等边三角形都相似 ;
(5) 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ;
(6) 有一个角是70°的两个等腰三角形相似.
判断一系列特殊的三角形间是否具备相似性, 复习了相似三角形的判定定理, 在学生说理中, 加强对知识的辨析与巩固, 开拓了学生的空间想象能力和思维能力, 获得知识的重新构建.
巩固提升:如图1~6, 请写出相似的三角形, 并证明.
从说理到证明, 训练学生口头表达及书写能力, 并提高学生图形语言、符号语言、文字语言等的灵活应用. 图1和图4都是平行条件下相似三角形的A型和X型. 当两个三角形存在公共角时, 若公共角的对边不平行, 如果满足另一组角对应相等或是公共角的两边对应成比例, 也就是图2, 3, 5, 就是仿A型, 其中图3的三个直角三角形都相似, 又称为母子型. 若上述公共角为对顶角, 则是仿X型, 如图6.
二、注重基本图形的应用
片段二新基本图形:M型
我们要从复杂图形中分离出基本数学模型, 这样对解决问题有化繁为简的效果.
(2004年安徽 , 19) 如图7, 已知△ABC, △DEF均为正三角形, D, E分别在AB, BC上.请找出一个与△DBE相似的三角形, 并证明.
证明△DBE∽△ECH. 理由如下:
法一∵△DBE与△ECH中,
∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°,
∴∠BDE + ∠BED = 120°,
∠BED + ∠CEH = 120°,
∴∠BDE = ∠CEH.
∴△DBE∽△ECH.
法二∵△DBE与△ECH中,
∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°,
又∵∠CEH + ∠DEF = ∠BDE + ∠B,
∴∠BDE = ∠CEH, ∴△DBE∽△ECH.
解法一用到了三角形内角和定理与平角的定义, 解法二则用到了三角形外角和定理的推论, 即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和, 由此可看出, 本题中的60°并没有起到实质 性的作用 , 只要∠B = ∠C = ∠DEF, 就必有△DBE∽△ECH, 同理我们还能得到△DBE∽△GAD. 不难发现∠B, ∠C, ∠EDF这三个相等的角的顶点在同一条直线上, 把具备这种条件的图形称为“一线三等角”型基本图形.
为了和前面的A型、X型等基本图形叙述上的一致, 并且便于学生直观形象记忆, 笔者习惯上把它称为M型 (折线段BDEFC就像大写字母M) .
(2009年安徽 , 22) 如图8, M为线段AB的中点 , AE与BD交于点C, ∠DME =∠A = ∠B = α, 且DM交AC于F, ME交BC于G.图 8
(1) 写出图中三对相似三角形 , 并证明其中的一对;
当年的评分标准是写出两对相似的三角形即可, 其中△AFM∽△BMG是M型, 是学生不容易找出来的. 若是熟悉了M型, 问题也就迎刃而解了.
三、注重对“翻新题”的试题研究
中考一直强调对创新意识和自主探究能力的考查, 中考命题从2004年起经历了起步期、发展期, 近年来考题已趋于稳定, 有很多中考题都是以往中考题的“翻新题”. 如2003年和2011年的第10题, 都是动点问题, 都是利用相似三角形对应边成比例这一性质定理得到的分段函数关系式, 体现了数形结合和分类讨论思想. 八年后, 题目重现, 只是条件中的平行四边形改成菱形, 更为特殊了, 是一道翻新题.
四、注重数学思想方法的教学
片段三如图9, 在Rt△ABC中, ∠C =90°, 点D在AC上 , 已知AB = 5, AC = 3, AD = 1.图 9
(1) 在AB上取一点E, 使△AED与原三角形相似;
(2) 在三角形边上取一点 , 使△AED与原三角形相似.
此题通过作平行线构造相似三角形的A型来研究, 使学生加深对判定定理的理解及应用, 同时考虑到结论的不唯一性, 培养学生分类讨论的思想. 2013年第23题也用到同种方法
【相似三角形单元教学计划】推荐阅读：
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