《三角形中位线的应用》教学设计

《三角形中位线的应用》教学设计（通用8篇）

《三角形中位线的应用》教学设计 篇1

沧县树行中学 赵志玲

教学内容：三角形中位线的应用

课型：复习习题课

教学目标：

（1）掌握三角形中位线的性质，会应用三角形的中位线性质解决简单的问题。

（2）理解模型的思想，能从具体情境中还原出几何模型，并能合理进行迁移运用。教学重点：以三角形的中位线定理为主线，建立几何模型。

教学难点：应用几何模型解题——即模型识别。

教学过程：

导入：由学生在复习过程中出现的困难——即2009年绥化的一个中考题入手，引导学生分析问题，寻找解题路径。（附原题如下）

（2009•绥化）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．

（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；

问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

复习：三角形中位线性质的内容。

解决问题：

1、如图4，在四边形ABCD中，P是对角线AC的中点，E,F分别是BC,AD的中点AB=CD,判断△PEF的形状?

做后思考：本题用到了哪些知识点？

设计意图：温习教材习题，建立几何模型，为解决下面的问题做铺垫。

2、如图1，把1题BA、EF、CD分别延长，BA与EF的延长线交于点M，EF与CD的延长线交与点N。求证：∠BME=∠CNE。

设计意图：2题是1题经过变式后中考题的第一问，引导学生怎样利用1题的模型解决此问题是关键，让学生体会用好模型的实惠。

3、如图2，在四边形ADCB中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF,分别交DC，AB于M，N，判断△OMN的形状。

设计意图：3题是中考题的第二问，它是在第一问的基础上又进行了一次变式，即把四边形中的一组对边相等变为两条对角线相等，根据已知条件添加辅助线，构造三角形的中位线解决问题。

4、如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．

设计说明：4题是中考题的第三问，题目层层递进，难度增加，这也是大多数学生存在问题的地方，通过演示教具的方法引导学生利用图1的模型解决问题。此题不要求学生自己能独立解决，但通过此题的解决让学生体会几何模型的魅力，让学生在心灵深处有所触动，有所感悟，加深几何建模的思想。

5、在3题的基础上，（1）若再取AC、DB的中点P、Q。顺次连接PF、FQ、QE、EP，所得四边形PFQE是怎样的四边形？

（2）若把条件AB=CD，改为AB ┴ CD，则四边形PFQE是怎样的四边形?

（3）若在添加AB ┴CD，四边形又是怎样的四边形？

设计说明：由图2把问题在向外展开，利用三角形的中位线性质判断四边形的形状。

6、（1）如图5，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形？说明理由。

（2）如图6，若把图5中△CEB顺时针旋转一个角度（小于180度），此时四边形PQMN为怎样的三角形？说明理由。

设计意图：当不明确给出四边形的对角线存在什么关系时，判断顺次连接四边形四边中点得到四边形的形状。这里又用到前边的一个几何模型，再一次引导学生做好平时积累，用好模型事半功倍。

7、如图7，△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，四边形PQMN是怎样的四边形？

设计说明：在上一题的基础上，继续变式训练，把上一题的等边三角形变式为等腰直角三角形，再次强化学生的模型意识。

课堂小结：（1）遇有中点构造三角形的中位线是解决问题的途径之一

《三角形中位线的应用》教学设计 篇2

在多年初中数学教学工作中, 笔者一直坚持使用多媒体进行教学。为了利用信息技术提高教学效率, 笔者将初中数学课堂教学分为四个环节:提出问题、分析问题、解决问题、学习评价。在教学过程中, 将学生分成九个小组, 通过学生的小组合作、交流、分享、汇报、质疑, 教师真正做到放手, 把学习的主动权交给学生, 而教师则只起到引导、点评的作用。下面结合本人课堂教学的四个环节来谈一谈信息技术在初中数学课堂教学中的应用。

一、借助网络, 创设情境, 提出问题

笔者认为老师要充分利用各种信息技术, 借助多媒体、网络提出引导性问题, 可在课内提出, 也可以在课前提出让学生思考。

例如:在北师大数学教材九年级上册《三角形中位线》一课的教学中, 笔者遇到了一个困惑:就是课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形”这个问题过于费时, 学生很多想不到, 就算是做出来也不明白为什么。而我校正在开展协同教育课题研究, 学生是通过学校协同平台来完成学习任务的, 因此笔者充分利用学校的信息技术资源, 让学生周末先上网查找、QQ讨论、动手操作剪拼, 然后再登陆协同平台完成笔者发布的作业。通过三个问题作铺垫:

①如何把一个平行四边形剪拼成两个全等三角形?

②如何把一个平行四边形剪成两部分后拼成一个三角形?

③如何把一个三角形剪成两部分后拼成一个四边形?

学生很快就搞定了。对于这种形式的课前作业学生是非常感兴趣的, 他们很乐意去主动地完成, 因此对知识本身的结构、内涵和产生过程有更加深刻的理解。

二、借助多媒体, 分析问题

学生对所提出的问题情境进行分析, 充分借助多媒体或电脑软件, 对所要研究的问题进行目标设定, 形成小组、任务分工, 列出已经知道的信息及需要完成的学习任务。

例如:在北师大数学教材八年级上册《平面镶嵌》一课的探究活动中, 笔者提出问题:“用同一种正多边形进行平面镶嵌的条件是什么?”让学生凭空想象难度太大, 于是笔者让学生到电脑教室, 每人一台电子书包分别进行探索与研究。通过电脑拼图, 认真分析, 确定是要根据从用同一种正多边形进行平面镶嵌的拼摆过程中发现边长之间的关系及角度之间的关系。然后再通过多媒体动画的演示让学生进一步明确要研究的方向, 从而使学生对平面镶嵌条件探究的理解更为透彻与深刻。

三、借助网络探究, 解决问题

对于难度过大的问题, 学生可以利用信息技术来解决, 可以上网进行百度搜索, 查找相关问题的解决方法, 相互交流, 最终形成多种不同的解决方案, 同时培养学生的发散思维能力[3]。

例如:在北师大数学教材八年级下册《测量旗杆的高度》一课的教学中, 笔者提出问题:“你能利用我们所学的知识想办法来测量旗杆的高度吗?”学生通过上网查找、看书、讨论、交流, 形成了以下四种不同的解决方案。

方案一:利用阳光下的影子来测量旗杆的高度。

如图1, 根据相似可知: (人身高) / (旗杆高) = (人影长) / (旗杆影长) , 因此, 只要测量出人影长BE, 旗杆的影长DB, 再知道人的身高AB, 就可以求出旗杆CD的高度了。

方案二:利用镜子的反射。如图2, 根据反射角等于入射角, 可以通过相似得到旗杆的高度。

方案三:利用标杆测量旗杆的高度。如图3, 同样可以通过相似先求出CN的长度, 再加上NH就得到旗杆的高度。

方案四:先在旗杆边上立一根小竹杆, 然后拍照, 打印出来, 利用比例尺就能求出旗杆的高度。

解决这个问题的过程是让学生自己通过多媒体、网络、书本掌握解决问题的方法, 学生兴趣非常浓厚, 学得也比较扎实, 效果非常显著。

四、借助网络及时评价

学生解决问题之后将解答过程上传到百度云, 小组之间共同分享他们的解决方案, 并对方案进行评价。同时老师还要评价各小组在整个问题解决过程中的表现。

例如:在北师大数学教材七年级上册《日历中的方程》一课的教学中, 对于例题的教学, 如果日历竖列上相邻的3个数的和等于60, 根据你所设的未知数x, 列出方程 , 并求出这3天分别是几号 ? 我放手让学生自己探索, 并让学生将解答过程上传至百度云。

解 : 方法一:设第一个数为x, 则下两数分别为 (x+7) , (x+14) 。

根据题意得方程 : x+ (x+7) + (x+14) =60,

解得:x=13,

即 :x+7=20;x+14=27。

方法二:设中间那个数为x, 则上一数为 (x-7) , 下一个数为 (x+7) 。

根据题意得方程 : (x-7) +x+ (x+7) =60,

解得:x=20,

即:x-7=13x+7=27。

方法三:设最后一个数为x, 则上两数分别为 (x-7) , (x-14) 。

根据题意得方程: (x-14) + (x-7) +x=60,

解得:x=27,

即:x-7=20;x-14=13

答:这3天分别是13号, 20号, 27号。

学生登陆百度云, 互相评价其他小组的方法, 并对这三种方法进行了对比分析与研究, 发现了其中的规律与联系。学生发现这几种方法的关键是设未知数以后, 如何用含x的代数式表示出另外两个未知量。利用网络可以达到小组间互相评价既及时又有效的良好效果。

笔者在课堂教学中采用这四个环节, 目的是让学生进行创新性学习、自主学习、个性化学习、合作式学习。笔者所教的班级学生成绩有了明显上升, 学生学习数学的积极性越来越高, 学生的思维能力得到了很好的发展。

总之, 在数学教学中, 我们初中数学老师要根据时代发展的需要, 充分运用信息技术的功能, 充分合理地利用好现有的一切多媒体教学手段, 激发学生的求知欲, 使他们主动地参与教学过程, 培养学生的创新精神, 充分体现不同的人在数学上得到不同发展的精神。运用现代先进教育技术, 精心设计多媒体课件, 使学生爱学、会学、乐学, 既优化了教学效果, 又提高了教学效率[4]。

参考文献

[1]段素珍.电化教学在数学教学中的巧妙运用[J].《中国教育技术装备》, 2012, (4) :110.

[2]苏文芳.多媒体在初中数学教学中培养学生创新的尝试[J].《教育教学论坛》, 2011, (4) :221.

找三角形中位线，巧解几何题 篇3

一、 直接得到三角形的中位线

例1已知：如右图，EF为△ABC的中位线，AD⊥BC于D，G为BC的中点，连接EG、FD.

求证：四边形EFDG为等腰梯形.

分析：图中已有两条中位线EF、EG，直接得出EF∥GD，要证明四边形EFDG为等腰梯形，只需证明EG = FD.

证明：∵EF、EG为△ABC的中位线，

∴EF∥BC，EG∥AC 且EG =1/2AC.

又AC与FD相交于F，

∴EG 与FD不平行，

∴四边形EFDG为梯形.

∵AD⊥ BC，F为AC的中点，

∴FD =1/2AC.

∴FD = EG.

∴四边形EFDG为等腰梯形.

二、 连接两个中点，得到三角形的中位线

例2 已知：如右图，四边形ABCD中，AB = CD，M、N、E、F分别是BD，AC，BC，MN的中点.

求证：EF⊥MN.

分析：条件中有4个中点，连接EM、EN得到两边中位线，与MN构成等腰三角形，从而轻松解答题目.

证明：∵E、M为BC，BD的中点，∴EM =1/2CD.

同理 EN =1/2AB.

∵AB = CD，∴EM = EN，即△EMN为等腰三角形.

又∵F为MN的中点，∴EF⊥MN.

三、 证中点，得三角形的中位线

例3已知：如右图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且AE = BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于N.

求证：MN∥BC.

分析：条件中虽没有说明哪点是中点，但利用平行四边形的性质可证明M、N分别是BE、CE的中点，所以MN是△EBC的中位线.

证明：连接EF.

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BF 且AE = BF.

∴四边形ABFE为平行四边形.

∴M为BE的中点.

同理N为EC的中点.

∴MN为△EBC的中位线. ∴MN∥BC.

四、 作边的中点，从而构造三角形的中位线

例4 已知：如图，△ABC中，∠B = 2∠C，AH⊥BC于H，M为BC的中点，求证：AB = 2HM.

分析：要证AB = 2HM，取AB的中点D，连接DH，DM.

证明：∵M为BC的中点，D为AB的中点,

∴DM∥AC,

∴∠1=∠C.

又∵AH⊥BC，D为AB的中点，

∴DH = BD=1/2AB.

∴∠B = ∠DHB.

又∵∠B = 2∠C， ∴∠DHB = 2∠1.

又∵∠DHB = ∠1 + ∠2，∴∠1 = ∠2.

∴HM=DH. ∴HM=1/2AB，即AB=2HM.

五、 构造三角形及三角形的中位线

例5已知：如图，在△ABC中，BC＞AB，D为BC上一点，且CD = AB，E、F分别为AC，BD的中点，BG与BF相等吗？为什么？

分析：条件虽然给出了两个中点，但它们不在同一个三角形中，故连接AD，取AD的中点H，从而构造中位线EH、FH，这时△HEF为等腰三角形.

解：连接AD，取AD的中点H，连接EH，FH.

∵H、 E为AD、AC的中点，

∴EH∥CD且EH =1/2CD.

同理FH∥AB且FH=1/2AB.

又∵AB=CD，∴EH=FH.

∴∠1=∠2.

∵EH∥BC，∴∠2=∠EFC.

又∠EFC = ∠3，∴∠3 = ∠1.

同理∠1 = ∠G.

∴∠3 = ∠G， ∴BG = BF.

六、 完善图形，构造中位线

例6已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于D点，AB = 6，AC = 10，试求MD的长.

分析：条件中有一个中点，延长BD交AC于N，容易证明△ABD≌△AND，得BD = DN，从而得D点是BN的中点，这时MD即为△BCN的中位线.

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.

∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADN=90O.

又AD为△ABD和△AND的公共边，

∴△ABD≌△AND（ASA）.

∴AB=AN =6，BD=DN.

∵M、D分别为BC、BN的中点，

三角形中位线定理》的教学设计 篇4

三角形中位线 连云港市外国语学校 杨佩

【课题】：义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级上册

第三章第6节（第一课时）

一、教学目标设计：

运用多媒体辅助教学技术创设良好的学习环境，激发学生的学生积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，引导学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，逐步提高自主建构的能力，培养勇于探索的精神，切实提高课堂效率

1、认知目标

（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．

2、能力目标

引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。

3、德育目标

对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。

4、情感目标

利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

二、本课内容的重点、难点分析：

本节课的内容是三角形中位线定理及其应用，这堂课启到了承上启下的作用

【重点】：三角形中位线定理

【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．

三、学情分析：

初二学生已初步具备一定的分析思维能力，但还远未达到成熟阶段。因 而新授时可在教师适当的引导之下，借助一些现代化教育辅助手段，调动学 生思维的积极性，激发学生内在的思维潜力，从而做到教与学的充分和谐。

四、教学准备： 【策略】

课堂组织策略：组织学生复习旧知识，联系实际，创设问题情景，逐层展开，传授新知识，并精心设计例题、练习、达到巩固知识的目的。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下，通过观察、归纳、抽象、概括等手段，获取知识。

辅助策略：借助“Powerpoint”平台，向学生展示动感几何，化抽象为形象，帮助学生解决学习过程中所遇难题，提高学习效率。

【教法学法】

本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。

教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在要不断指导学生学会学习。本节课先从学生实际出发，创设有助于学生探索思考的问题情景，引导学生自己积极思考探索，经历“观察、发现、归纳”的过程，以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体。【主要创意思路】：

1、用实例引入新课，培养学生应用数学的意识；

2、鼓励学生大胆猜想，用观察、测量等方法来突破重点、化解难点；

3、以学生为主体，应用启发式教学，调动学生的积极性；

4、利用变式练习和开放型练习代替传统练习，启迪学生的思维、开阔学生 视野；

5、通过多媒体教学，揭示几何知识间的内在联系及概念本质属性。

五、教学过程

一、联想，提出问题．

１．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE

(3)沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD

2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？

3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么ＤＥ与ＢＣ有什么位置和数量关系呢？启发学生逆向类比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝

12ＢＣ．

由此引出课题．

二、引入三角形中位线的定义和性质

1．定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别．

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

三、应用举例

1、A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？

在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？

2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为——cm,面积为——cm2,为原三角形面积的——。

3．已知:△ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成△DEF,△DEF的三条中位线又组成△HPN,则△HPN的周长等于——————,为△ABC周长的——, 面积为△ABC面积的——, 4．如图,AF=FD=DB,FG∥DE∥BC,PE=1.5,则DP= ———，BC= ———

例题，如图．

1，顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？ 学生容易发现：四边形ABCD是平行四边形

已知：在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：

(1)已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．

2,让学生画图观察并思考此题的特殊情况，如图4－95，顺次连结各种特殊四边形中点得到什么图形？

投影显示：

3，练习：

①顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是______________ ②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是—————— ③顺次连结矩形四边中点所得的四边形是—————— ④顺次连结菱形四边中点所得的四边形是—————— ⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—————

四、师生共同小结：

1．教师提问引起学生思考：

（1）这节课学习了哪些具体内容：

（2）用什么思维方法提出猜想的？

（3）应注意哪些概念之间的区别？

2．在学生回答的基础上，教师投影显示以下与三角形一边中点及线段倍分关系有关的基

本图形（如图4－96）．

（1）注意三角形中线与中位线的区别，图4－96（a），（b）．

（2）三角线的中位线的判定方法有两种：定义及判定定理，图4－96（b）（c）．

（3）证明线段倍分关系的方法常有三种，图4－96（b），（d），（e）． 3．添辅助线构造基本图形来使用性质的解题方法．

4．三角形的中位线有这样的性质，那么梯形有中位线吗？它有类似的性质吗？（为下节课作思维上的准备）

五、作业

顺次连接什么样的四边形各边中点连线得到的四边形是矩形？菱形？正方形？

六、教学反思

1、本教学过程设计需1课时完成．

2、本节课的设计，力求让学生通过逆向思维及类比联想自己实践“分析——猜想——证明”的过程．变被动接受知识为主动应用已有知识，探索新知识，获得成功的喜悦．

三角形的中位线 篇5

一、设计理念：

义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。

二、《教材分析与处理》

1、教材的地位及作用：本课是以平行四边形的有关知识定理为基础引出中位线的概念，进而探索研究它的性质，最后利用性质定理进行有关的论证和计算。步步衔接，层层深入，形成知识的链条。学好本课不仅为下节梯形中位线打下良好的基础，做好了铺垫，而且为今后证明线段平行和线段倍分关系提供了重要的方法和依据。可见，三角形中位线在整个知识体系中占有相当重要的作用，起到承上启下的作用。

另外。本课是通过探究推理得到定理的，所以通过本课教学，对探究数学问题能力的培养及创新思维训练也有着十分重要的作用。

2、教学目标

知识目标：理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理，会运用定理进行论证和计算。

能力目标：通过定理证明，培养学生思维的广阔性，渗透对比转化的思想。

情感目标：通过教学，培养主动探究精神与合作意识。

3、重点、难点

通过分析可见，三角形中位线定理是三角形的重要性质定理，在教学中起着承上启下的作用。是今后解决问题的重要依据，有着广泛的应用。因此，确定本课的重点为“三角形中位线定理及应用”。

由于本节证明定理的关键是恰当地引辅助线，构造平行四边形，况且学生对辅助线的引法、规律还不得要领，不易发现和理解，因此，我确定本课的教学难点为“三角形中位线定理的证明”。

4、教材处理

①练习第3小题改编后作为引例，以调动学生探究问题的积极性，同时遵循理了论联系实际的原则。②改变教材由例题证明之后发现概念和性质的编排顺序。培养学生的探究能力和创造性思维；③补充并改编了课后习题，形成新的练习题组。

三、教法与手段

依据本书教学内容的特点及八年级学生参与意识不强，尚需依赖于直观形象的特点，我选用了合作探究式教学法，通过设计问题序列，引导学生动脑、动手、动口、主动探究，参与整个教学过程，体现学生的自主性和合作精神主动愉快地进行创造性学习。

充分利用多媒体提高教学效率，增大教学容量，运用幻灯片设计一系列问题，激发学生学习兴趣，启迪学生解题思路的蒙发。

四、教学程序

1、创设问题情境，引入新课

借助多媒体演示引例，创设悬念——如何测算被池塘隔开的A、B两地的距离吸引学生的注意，激发了学生的兴趣和求知欲，引出课题。

从而导入新课，使新旧知识得到自然的衔接，为新课的学习作好准备。

2、引导学生，探究新知：

1)、概念教学：什么叫三角形的中位线？

演示问题2： 一个三角形有几条中位线，三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？联系？由学生讨论，在问题1的基础上引导学生自己给三角形中位线下定义，并完成其他问题。从而培养学生归纳概括的能力。2)、定理教学：

演示问题3：

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于o，过o作BC的平行线，分别交AB,CD于E,F两点.（1）请你找出图中的三角形中位线，并说出它和三角形的第三边有怎样的位置关系和数量关系。

（2）请你总结出一个关于三角形中位线性质的命题：三角形的中位线

②证明猜想（定理）。能证明你的猜想的正确性吗？

问题4：

怎样证明你所总结的命题？

引导学生分析命题写出已知，求证。

在问题3的基础上，学生容易抓住突破难点的关键——添加辅助线，构造平行四边形。发动学生以小组为单位，放手让学生思考，评论，探究解决问题的多种办法。鼓励创新，同时我参与讲解并与学生交流获取信息，了解学生实际，从而有针对性地引导学生进行证法的探究并及时表扬、鼓励。使学生在学习过程中享受到自我创造的快乐，同时概括证法（演示），发现构造辅助线的方法、规律，培养了学生的发散思维，创造能力。

③总结应用定理：

问题5：

（1）通过对命题的证明，你得到了三角形中位线的什么性质？

（2）你能用这个性质解决前面的引题吗？

让学生总结定理，（教者强调）一个题设两个结论，（一个是位置关系，一个是数量关系，根据需要选用相应的结论）它提供了一种证明直线平行和线段数量关系的新方法，应用定理的关键是找出（或构造出）结合定理条件的基本图形，加强学生对定理的理解，培养了学生归纳概括的能力。

定理应用：分小组完成。每组请一位代表板演，引入竞争，调动不定积极参与，发挥例题的示范作用和指导作用，提高学习的效率，使学生的思维向纵深方面发展，进一步强调重点，达到教学目标。

3、反馈训练

学生对所学知识是否真正掌握了，为检测学生对本课目标达成情况。进一步巩固定理，加深对定理用途的认识，并熟练定理的用法，加强对定理的应用训练。

4、归纳小结

让学生自己总结或谈收获，培养归纳能力，围绕教学目标，师补充强调。通过小结，使学生进一步明确教学目标，使知识成为体系。演示本节知识总结。

5、布置作业

整理笔记，继续探究本节课未完的问题。

6、板书设计：除投影显示外，其余由学生板演，练习使用。

五、设想

三角形的中位线课件 篇6

教学目标：

知识与能力目标： 理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。培养学生解决问题的能力和空间思维能力。

过程与方法目标：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。

2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。合理论证的科学精神，培养思维的灵活性。

情感与评价目标：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。

教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。

教学方法：要“授之以鱼”更要“授之以渔”。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要提示获取知识的思维过程，发展思维能力，是培养能力的核心。对于三角形中位线定理的引入采用发现法 ，在教师的引导下，学生通过探索，猜测等自主探究，合作交流的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。

教具和学具的准备： 教具：多媒体，投影仪，三角形纸片，剪刀。学具：三角形纸片，剪刀，刻度尺，量角器。

教学过程：本节课分为六个环节：设景激趣，引入新课——引导探究，获得新知——拼图活动，探索定理——巩固练习，感悟新知——小结归纳，当堂检测， 作业布置

一. 创设问题情景，激发学习兴趣。

问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?这四个三角形能拼凑成一个平行四边形吗?

设计意图：这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动的加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来。

学生想出了这样的方法:顺次连接三角形没两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。

二. 动手实践，探究新知。

1.探究三角形中位线的定义。

问题：你有办法验证吗?

学生的验证方法较多，其中较为典型的方法

生1：沿DE,EF,DF将画在纸上的三角形ABC剪开，看四个三角形能否重合。

生2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可利用“SSS”来判定三角形全等。

生3：……

师：多媒体课件展示重合法。

引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢?

师：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(板书)

2.探究三角形中位线定理。

问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢?在前面的图中你能发现什么结论呢?(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言)

学生的猜想结果：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半、(板书)

师：如何证明这个猜想的命题呢?

生：先将文字命题转化为几何问题，然后证明。

已知：如图，DE是△ABC的 中位线

求证：DE∥BC，DE=1/2 BC

学生思考后教师启发：要证明两直线平行，可以利用“三线八角”的有关能容进行转化，而要证明一条线段等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。

(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下)

生1：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，得AD=CF，从而BD=CF，所以，四边形DBCF为平行四边形。得DE∥BC，DE=1/2 BC (一名学生板演，其他学生在练习本上书写过程，幻灯片展示。)

生2：延长DE到F，使EF=DE，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD=FC，AD∥FC，由此可得到结论。

生3：过点C作CF∥AB，与DE延长线交于F，通过证△ADE≌△CFE，可得AD=FC,AD∥ FC,由此得结论。

师：还有其它不同方法吗?

(学生面面相觑，学生4举手发言)

生4：利用△ADE∽△ABC且相似比为1：2，

师：很好，大家要像这位同学学习，用变化的，动态的，创新的观点来看问题，努力寻找更好更简捷的方法。

这个结论为我们以后解决平行问题，线段的2倍或1/2提供了新的思路。

设计意图:一题引导学生从多个角度证明，丰富学生的联想，开拓了学生的思维

三，学以致用。

师：请同学们自己画一个三角形，画出他的中线，中位线，(一生板演，师巡视指导区别)。待学生完成后，进行变式提问。

问：一个三角形中最多可以画几条中线，中位线。说出他们的联系和区别。(学生交流，探索，思考，验证。)

生：都是三角形内部与边的中点有关的线段，但中位线平行于第三边且等于第三边的一半，三角形的.一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形。

问：你能利用三角形中位线地理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗?(学生争先恐后回答，课堂气氛活跃)

做一做：任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来所得新四边形的形状有特征?

当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢?四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢?使学生能够连结对角线。(学生积极思考发言，师生共同完成此题目的最常见的证法。) 设计意图：学以致用的体验，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.

拓展训练：如果将上例中的“任意四边形”改为“平行四边形，矩形，菱形。正方形”结论又会怎么样呢?(学生课后讨论)

四. 本节小结。

本节课你有什么收获?(小组讨论后，学生总结)

1、回顾知识

2、总结方法

设计意图：这是一次组织与情感的交流，浓缩知识点，突出内容本质，渗透思想、方法.培养自我反馈，自主发展的意识。

五. 当堂检测：如图， △ ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若AB=10cm，AC=6cm，求四边形ADEF的周长。

设计意图：当堂检测实现了知识向能力的转化，让学生主动用所学知识和方法寻求解决问题的策略.达到学以致用提高课堂效率。

六，布置作业。

书面作业：教科书94页习题3.3 1.2.3.4

向量形式的中位线定理的应用 篇7

定理2向量形式的梯形中位线定理: 如图2, 梯形ABCD中, AB∥CD, M, N分别是AD, BC的中点, 则2

定理3如图3所示, 任意四边形ABCD中 ( 四边形ABCD可以是空间的) , 点M, N分别是AD, BC的中点, 则

由于M, N分别是AD, BC的中点,

推论1如果A, D两点重合, 则, 即三角形中线的向量形式.

推论2如果AB∥CD, 且C, D两点错位, 此时四边形为梯形, 如图4所示, 且AB∥CD∥MN, 则 ( 表示梯形两对角线的中点的连线平行于底边且等于两底边差的一半) .

在定理3中, 当A, D重合时即是定理1, 定理1可看成定理3的推论.

在定理3中, 当C, D重合时即是定理2, 定理2也可看成定理3的推论.

下面我们举例说明.

例1如图5所示, 已知△ABC, M和N分别是边AB和AC的中点, 在BN延长线上取一点P, 使得NP =BN; 在CM延长线上取一点Q, 使得MQ = CM. 求证: P, A, Q三点共线.

证明连接MN, 则

即P, A, Q三点共线.

点评利用向量形式的三角形中位线定理巧妙的把MN, AP, QA结合到一起, 从而将问题解决.

例2如图6所示, D是Rt△ABC斜边AB上的中点, 点E, F分别在边BC, AC上, 且ED⊥FD, 求证: EF2=AF2+ BE2.

点评作出中点G, 从而充分利用条件ED⊥FD, 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质, 再利用推论1, 从而将问题解决.

例3已知AD是△ABC的中线, 求证: AD <1/2 ( AB +AC) .

故 AD <1/2 ( AB + AC) .

点评通过观察此题表面上是与向量无关的几何问题, 由AD是△ABC的中线及AB + AC, 可以应用推论1, 从而将问题解决.

例4如图7所示, 半圆的直径AB = 4, O为圆心, C是半圆上不同于A, B的任意一点. 若P为半径上的动点, 求的最小值.

点评根据图形特征及结构, 自然想到推论1, 将表示成的形式, 进一步利用数量积的定义及基本不等式将问题解决.

通过以上例题, 我们可以从中分析得到, 在解决表面上与向量无关的几何问题时, 向量形式的中位线定理是一种非常有效的工具.

参考文献

[1]彭城.四边形中位线的向量形式及应用.江苏省盐城市上岗中学.中学生数学, 2012 (445) :13-14.

[2]翟作风.中位线定理的应用.山东省淄博市淄川区太和中学.数理化解题研究, 2012 (2) :29-30.

《三角形中位线的应用》教学设计 篇8

第十四讲 中位线及其应用

中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．

分析 由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．

解 由已知，E，F分别是AB，BD的中点，所以，EF是△ABD的一条中位线，所以

由条件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，从而 AD=8(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，显然，AD是BC上的高，所以

例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求证：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

分析 若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．

(1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

从而，G是AM的中点．同理可证

△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即

HG∥BC．

(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

从而

MN=18-4-9=5(厘米)，说明(1)在本题证明过程中，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”．

(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．

(3)从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示)，或改为“∠B，∠C的外角平分线”(如图2-56所示)，其余条件不变，那么，结论GH∥BC仍然成立．同学们也不妨试证．

例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

分析 由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′

与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．

证 连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，这四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．从而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四边形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

从而

AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四边形A′B′C′D′是矩形，所以

A′C′=B′D′． ①

说明 在解题过程中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．

例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：

分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不

形中构造中位线，为此，取AD中点．

证 取AD中点G，连接EG，FG，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，所以

同理，由F，G分别是BD和AD的中点，从而，FG是△ABD的中位线，所以

在△EFG中，EF＞EG-FG． ③

由①，②，③

例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．

分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．

证 取梯形另一腰AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以

因为AD=AB+CD，所以

从而

∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而

∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．

例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：

AA1+EE1=FF1+DD1．

分析 显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．

证 连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四边形，它的对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1．

练习十四

1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．

2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．

3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．

4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是CD，AB的中点，延长AD，BC，分别交FE的延长线于H，G．求证：∠AHF=∠BGF．

5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．

6．如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．