分式型函数的值域

分式型函数的值域（共7篇）

分式型函数的值域 篇1

一类分式型三角函数值域的多角度求解 作者：舒飞跃

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

分式型函数的值域 篇2

函数值是指在函数y=f (x) 中, 与自变量x的值对应的y值.

函数的值域是函数值的集合, 是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合.函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时, 函数的值域由问题的实际意义确定.

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数.

二、分式函数的类型及值域解法

类型一 一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x (或参数) 的一次函数的分式函数.

$1.y=\frac{cx+d}{ax+b}(a\ne 0)$型

例1 求函数$y=\frac{2-3x}{2x-1}$的值域.

解法 反函数法.利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域.

解 反解$y=\frac{2-3x}{2x-1}$, 得$x=\frac{2+y}{2y+3}.$

对调$y=\frac{2+x}{2x+3}\left(x\ne -\frac{3}{2}\right).$

∴函数$y=\frac{2-3x}{2x-1}$的值域为

$\begin{array}{l}y\ne -\frac{3}{2}.\\ 2.y=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d}{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}(a\ne 0)\text{型}\end{array}$

分析 这是一道含三角函数的一次分式函数, 由于含三角函数, 不易直接解出x, 但其有一个特点:只出现一种三角函数名.可以考虑借助三角函数值域解题, 其实质跟$y=\frac{ct+d}{at+b}(t=\sin x)$在t的指定区间上求值域类似.即:将$y=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d}{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}$反解, 得sinx=f (y) , 而-1≤sinx≤1, 即-1≤f (y) ≤1, 解之即可.

例2 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}{2-\text{s}\text{i}\text{n}x}$的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{由}y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}{2-\text{s}\text{i}\text{n}x}‚\text{得}\sin x=\frac{2y-2}{y+1}.\\ \because -1\le \sin x\le 1‚\therefore -1\le \frac{2y-2}{y+1}\le 1,\text{解}\text{得}\frac{1}{3}\le y\le 3.\end{array}$

$3.y=\frac{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d}{a\text{c}\text{o}\text{s}x+b}$或$y=\frac{c\text{c}\text{o}\text{s}x+d}{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}(a\ne 0)$型

分析 这道题不仅含有三角函数, 且三角函数不同, 例2解法行不通, 但反解之后会出现正、余弦的和、差形式, 故考虑叠加法.即:去分母以后, 利用叠加公式和|sinx|≤1解题.

例3 求函数$y=\frac{3\text{s}\text{i}\text{n}x-3}{2\text{c}\text{o}\text{s}x+10}$的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}\because 2\cos x+10\ne 0‚\therefore 3\sin x-2y\cos x=10y+3‚\\ \therefore \sqrt{9+4y{}^2}\sin (x-\phi )=10y+3,\text{其}\text{中}\tan \phi =\frac{2y}{3}.\end{array}$

由$\sin (x-\phi )=\frac{10y+3}{\sqrt{9+4y{}^2}}$和|sin (x-φ) |≤1,

$\begin{array}{l}\text{得}\frac{|10y+3|}{\sqrt{9+4y{}^2}}\le 1.\\ \therefore (10y+3){}^2\le 9+4y{}^2,\text{整}\text{理}\text{得}8y{}^2+5y\le 0.\end{array}$

$\therefore -\frac{5}{8}\le y\le 0$, 即原函数的值域为$\left[-\frac{5}{8}‚0\right].$

总结 求一次分式函数的值域, 首先要看清楚是在整个定义域内, 还是在指定区间上;其次用反函数法解题;再次还要注意含三角函数的分式函数, 其实质是在指定区间上求分式函数的值域.

类型二 二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数.由于出现了x2项, 反解x的方法行不通.但我们知道, 不等式、函数、方程三者相互联系, 可考虑将其转化为不等式或方程来解题.

$1.y=\frac{dx{}^2+ex+f}{ax{}^2+bx+c}(a‚d$不同时为0) , x∈R型

分析 去分母后, 将方程看作是含参数y的二次方程f (x) =0.由于函数的定义域并非空集, 所以方程一定有解, Δ≥0 (f (y) ≥0) , 解不等式便可求出原函数的值域.即:用判别式法.先去分母, 得到含参数y的二次方程f (x) =0, 根据判别式Δ≥0 (Δ=f (y) ) , 即可求出值域.

例4 求函数$y=\frac{3x}{x{}^2+4}$的值域.

解 由$y=\frac{3x}{x{}^2+4}$, 得yx2-3x+4y=0.

当y=0时, x=0, 当y≠0时, 由Δ≥0, 得$-\frac{3}{4}\le y\le \frac{3}{4}.$

∵函数定义域为R,

∴函数$y=\frac{3x}{x{}^2+4}$的值域为$\left[-\frac{3}{4}‚\frac{3}{4}\right].$

说明 判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内, 但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域, 否则就会放大值域.

$2.y=\frac{dx{}^2+ex+f}{ax{}^2+bx+c}(a‚d$不同时为0) , 指定的区间上求值域型.

例5 求$y=\frac{16x{}^2-21x+5}{5-4x}\left(x<\frac{5}{4}\right)$的值域.

分析 因为$x<\frac{5}{4}$, 所以若用判别式法, 可能会放大其值域.可以考虑使用均值定理解题.

$\begin{array}{l}\text{解}\because x<\frac{5}{4}‚\therefore 5-4x>0,\frac{1}{5-4x}>0.\\ \therefore y=\frac{16x{}^2-21x+5}{5-4x}=1-4x+\frac{1}{5-4x}\\ =\left[(5-4x)+\frac{1}{5-4x}\right]-4\\ \ge 2\sqrt{(5-4x)\frac{1}{5-4x}}-4=-2.\end{array}$

∴原函数的值域为[-2, ∞) .

例6 求$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}$的值域.

错解$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}\ge 2.$

分析 在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”, 显然上述解法中$\sqrt{x{}^2+4}$和$\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}$不能相等, “相等”条件不能成立.所以不能使用均值定理.但若用判别式法又无法解决根式问题, 此时可考虑借函数的单调性求值域.

解 用单调性法.

$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}.$

令$\sqrt{x{}^2+4}=t$, 显然t≥2, 则$y=t+\frac{1}{t}(t\ge 2).$

$\begin{array}{l}\text{任}\text{取}2\le t{}_1\le t{}_2,\text{则}f(t{}_1)=t{}_1+\frac{1}{t{}_1},f(t{}_2)=t{}_2+\frac{1}{t{}_2}.\\ f(t{}_1)-f(t{}_2)=\left(t{}_1+\frac{1}{t{}_1}\right)-\left(t{}_2+\frac{1}{t{}_2}\right)\\ =(t{}_1-t{}_2)\left(1-\frac{1}{t{}_{1}t{}_2}\right).\\ \because 2\le t{}_1\le t{}_2‚\therefore t{}_1-t{}_2<0,t{}_1\cdot t{}_2\ge 4,1-\frac{1}{t{}_{1}t{}_2}>0.\\ \therefore f(t{}_1)-f(t{}_2)=(t{}_1-t{}_2)\left(1-\frac{1}{t{}_{1}t{}_2}\right)<0‚\end{array}$

∴f (t1) <f (t2) , 即函数$y=t+\frac{1}{t}$在t≥2上单调递增.

∴当t=2, 即$\sqrt{x{}^2+4}=2‚x=0$时, $y{}_{\min }=\frac{5}{2}‚$

∴原函数的值域为$\left[\frac{5}{2},\infty \right).$

总结 不管是求一次分式函数还是求二次分式函数的值域, 都必须注意自变量的取值范围.虽然我们提倡通解通法的培养, 但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法.若失去同一类前提, 只强调通解通法, 便是空中楼阁.故要因题而论, 就事论事, 防止一概而论的错误, 用辩证和发展的眼光看待问题, 这样才会起到事半功倍的效果.

三、提炼知识, 总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一, 它没有固定的方法和模式.但我们可以针对不同的题型进行归类总结, 尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法.常用的方法有:

1.反函数法.反函数法是求一次分式函数的基本方法, 是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域.但要注意看清楚是在整个定义域内, 还是在指定区间上求值域.

2.判别式法.判别式法是求二次分式函数的基本方法之一, 即先去分母, 把函数转化成关于x的二次方程f (x, y) =0, 因为方程有实根, 所以判别式Δ≥0, 通过解不等式求得原函数的值域.需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内.

3.不等式法.不等式法是利用基本不等式:$a+b\ge 2\sqrt{ab}(a‚b\in \mathbf{R}{}_{+})$, 是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一, 当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法.用不等式法求值域, 要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.

4.换元法.换元法是求复合型分式函数值域的常用方法.当分式函数的分子或分母出现函数 (如三角函数) 时, 可考虑用换元法, 将所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域.要注意换元后自变量的取值范围.

5.单调性法.单调性法是通过确定函数在定义域 (或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法.

另外, 还可以根据函数的特点, 利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域.由于这些方法不是很常用, 在此就不多做说明.

求分式型函数的最值问题 篇3

【关键词】 数学 分式型函数 最值问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-092-01

分式型函数的最值问题一直是高考常考点，但却是学生学习的难点。解决这类问题，一般是利用分离常量法或利用基本不等式及对勾函数[y=ax+■（ab>0）]来解决。

一、一次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用分离常量的方式，把函数式转变为常数与简单分式函数和差的形式，此类函数值y≠■.

例1. 求函数y=■的值域。

分析：这类问题一般是利用分离常量法解决，过程略。

解：函数y=■的值域是{y│y≠2}

例2. 求函数y=■的值域。

解：y=■=2-■

∵x2+1≥1 ∴0<■≤3

故函数y=■∈[-1，2）

点评：本题虽然分子和分母都是关于的二次式，但是因为没有一次项，故可以把x2看成一个整体，利用分离常量的方式进行分离，但要注意x2本身非负。类似的还有■，ax等。

二、二次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用拆分的方式，把函数式转变为对勾函数的形式，借助基本不等式或对勾函数求值域。

例3. 求函数y=■（x>0）的取值范围。

分析：此类问题一般是结合基本不等式解决。

解：y=■=2x+■-1≥2■-1（当且仅当x=■是等号成立）所以函数y=■∈[2■-1，+∞）.

变式练习：若例3去掉x>0函数值域是什么？

分析：本题不能利用基本不等式，要借助函数g（x）=2x+■， 如上图的函数g（x）∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

故y=■∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

三、一次比二次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般先取倒数，变成二次比一次型函数，再求值域。

例4. 求函数y=■（x>0）的值域.

解：y=■=■≤■（当且仅当x=■是等号成立）

∴函数y=■∈（0，■].

点评：本题如果没有这个条件，也可以仿照上面例4，借助对勾函数来解决。

例5. （2010辽宁）已知点P在曲线y=■上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .

解：y'=■=■

∵ex>0，∴ex+■+2≥4，（当且仅当x=0时等号成立）

∴k=y'∈[-1，0）

因为倾斜角，所以倾斜角α的取值范围是[■，π）.

点评：一般来讲高考题目所涉及的分式函数求值域的问题基本上就可以用以上几种方式解决。

用反函数法求值域 篇4

一、反函数法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y2x的值域。x1

由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。yy2xx反解得x即y x12x2y

故函数的值域为：y(,2)(2,)。（反函数的定义域即是原函数的值域）

ex

12、求函数yx的值域。e1

解答：先证明yex1有反函数，为此，设ex1x1x2且x1,x2R，ex11ex21ex1ex2y1y2x12x10。e1ex21(e1)(ex21)

所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y1ln。此函数的定义域为1x

分式型函数的值域 篇5

基础卷（30分钟）

选择题

1．下列函数中，定义域为（0，+∞）的函数是（）

23A.yx3B.yx

2C.yx2

D.y(3x2)2．下列函数中，值域是（0，+ ∞）的函数是（）

12x1(x

B.y(11x1A.y3

5)y

C.3)1

D.y12x

3．已知函数f(x)x2axb，满足f（1）=f（2）=0，则f（-1）的值是（）

A.5

B.-5

C.6

D.-6 y14．函数lg(2xx2)的定义域是（）

(1,)(1,2)A.（0，2）

B.2

C.（0，1）∪（1，2）

D.2

5．若f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=f（x）+g（x）+2，在（0，+∞）上有最大值8，则在（-∞，0）上F（x）有（）

A.最小值-8

B.最大值-8

C.最小值-6

D.最小值-4 6．函数ylg[1g(x32)]的定义域是（）

A.（-∞，12）

B.（7，+∞）

C.（7，12）

D.（12，+∞）

7．方程2x1|log2x|的解共有（）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

8．若函数f（x）的定义域是（0，1），则f(2x)的定义域是（）

A.（0，+∞）

B.（-∞，0）

C.（0，1）

D.（1，+∞）

[1,2]19．在区间2上函数f(x)x2pxqg(x)2x与

x2在同一点取得相同的最小值，那么[1f（x）在2,2]上的最大值是（）

135A.4B.4

C.8

D.4

2(log1x)27log1x30f(x)gol(xgox10．已知x满足不等式

22，则

22l()24)的最大值是（）1A.8

B.3

C.2

D.2

提高卷（60分钟）

一、选择题

1．函数

f(x)2x5x3的值域是{y|y≤0}∪{y≥4}，则f（x）的定义域为（）

57A.（-∞，3）∪（3，+∞）

B.[2,3)(3,2]

[5,7](,5)[7,C.2

2D.22)

yx2x2 2．函数

x1的定义域是（）

A.{x|x≠-1}

B.{x|x≠-2}

C.{x|x≠2且x≠-1}

D.{x|x≠-2且x≠1且x≠-1} 3．已知函数y=f（x）的反函数是y1x2，则原函数的定义域为（）

A.（-1，0）

B.[-1，1]

C.[-1，0]

D.[0，1]

4．函数y2x24x的值域是（）

A.[-2，2]

B.[1，2]

C.[0，2]

D.[2,2]

25．函数

yx1x21的值域是（）

A.[-1，1]

B.[-1，1]

C.（-1，1）

D.（-1，1）

二、填空题

6．函数y3x24的最大值为m，最小值为n，则m+n的值是__________。

7．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每上涨1元，则日销售量就减小10个，为了获取最大利润，此商品销售价应定为每个________元。

8．函数yxx1的值域为_________。

y4x29．函数lg(x|x|)的定义域为___________。

y210．已知实数x，y满足方程x2y22，则x2的最大值是__________。

三、解答题 11．求函数y16x2lgsinx的定义域。

12．函数f(x)13xa的定义域是（-∞，1]，求a的取值范围。

f(x)log12x12x13．设-1

a12xloga2xp（其中a>0，且a≠1）。

（1）求f（x）的定义域；

（2）求证：f（x）的图象与x轴无交点。

一道无理函数值域的不同解题方法 篇6

问题： 求函数y=x+4+5-x2的值域.

1 以代数为基础的思考

在解题中以代数为基础思考，经常会用到方程，三角变换，数形结合等解题思想.

1.1 方程的思想（判别式法）

解法1 y-(x+4)=5-x2,平方整理得，2x2+(4-y)x+y2-8y+11=0,

因为x∈R,所以Δ≥0，所以y2-8y+6≤0,所以4-10≤y≤4+10，但

y≥x+4,当x=-5时，y≥4-5,所以4-5≤y≤4+10.

点评 用判别式法求解函数值域时，要注意其等价性.

1.2 三角代换

解法2 函数的定义域为|x|≤5，

所以令x=5sinθ,(-π2≤θ≤π2).所以y=5sinθ+4+5(1-sin2θ)=4+10sin(θ+π4),

因为-π2≤θ≤π2,-π4≤π4+θ≤3π4,

所以-22≤sin(θ+π4)≤1,所以4-5≤y≤4+10.

点评 上面的解题过程，要注意角的取值范围与代换内容一致.

图1

1.3 数形结合思想

解法3 令t=x,s=5-x2,则t2+s2=5,从而问题转化为约束条件为t2+s2=5

s≥0

t∈R,求函数y=t+s+4的最值问题，根据约束条件，画出

可行域（如图1）可行域是图中弧AB（含端点）.

于是，y在A点取得最小值为4-5,直线与

弧AB相切时，取得最大值为4+10.

所以4-5≤y≤4+10.

点评 在解题中注意到将函数转化为与圆锥曲线方程有关的约束条件，把函数变成目标函数，利用线性规划的思想可完成函数的值域的求解.

2 以解析几何为基础的思考

2.1 利用点到直线的距离公式来解

解法4 可根据解法3，问题可转化为最值点在圆t2+s2=5上.由圆与直线的位置关系，得

|0+0-4-y|2≤5，

解得4-10≤y≤4+10,

又s=y-(t+4)≥0,即y≥t+4,(|t|≤5)

所以当t=-5时，y=4-5.

所以4-5≤y≤4+10.

点评 充分利用解析式的结构特点，将问题转化为圆和直线的位置关系，使问题得到解决.

2．2 利用斜率公式求解

解法5 因为函数的定义域为［-5,5］.令x=5sinθ,5-x2=5cosθ,其中-π2≤θ≤π2,则函数转化为y=5sinθ+5cosθ+4.

设sinθ=2t1+t2,cosθ=1-t21+t2,(-1≤t≤1).

则y=25t1+t2+51-t21+t2+4=(4-5)+

25t+11+t2.

令X=t2,Y=t,则y=(4-5)+25Y+11+X.

图2

设k=Y+1X+1,则k表示定点A(-1,-1)与抛物线Y2=X(-1≤Y≤1)上动点P(X,Y)连线的斜率(如图2),由图2,可知kAC≤k≤kAP0,其中直线AP0与抛物线Y2=X相切,P0为切点.

由k=Y+1X+1,X=Y2,消去X,得kY2-Y+k-1=0,

由Δ≥0,知(-1)2-4k(k-1)≥0,解得

1-22≤k≤1+22

因为kAP0>0,所以kAP0=1+22

又kAC=0,0≤k≤1+22,而y=4-5+25k

所以4-5≤y≤4+10.

点评 只要把所求问题转化为斜率公式的形式，利用斜率的几何意义就可求解.

3 以新工具为基础的思考

3.1 向量法

向量工具可以解决与长度，距离，角度有关的问题

解法6 构造向量a=(1,1),b=(t,s)=(x,5-x2

),原函数转化为y=a·b+4，由5-x2≥0,得-5≤x≤5.所以0≤s≤5,-5≤t≤5,|b|=5.

由a与b的终点形成的图形（如图3）.当a与b夹角最小时，

ymax=|a||b|+4=10+4.

图3

当a与b夹角最大时，ymin=|a||b|cos3π4+4=-5+4.

所以4-5≤y≤4+10.

点评 利用向量的数量积公式中，若|a|,|b|均为定值,的变化来确定最值，当最小时，取得最大值.当最大时，得到最小值.利用向量求函数的值域得到完整解决.

3.2 用导数求解

在闭区间［a,b］内连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.本题求函数的值域问题可转化为函数y=x+4+5-x2在区间［-5,5］上的最大值与最小值.用导数处理相当方便.

解法7 y′=1+125-x2(5-x2)′=25-x2+2x25-x2,

令y′=0,有25-x2+2x=0,解得x=±102.

由f(-5)=4-5,f(-102)=4,f(102)=4+10,f(5)=5+4.

所以函数的最大值为4+10,最小值为4-5.

所以函数的值域为4-5≤y≤4+10.

点评 利用求导讨论函数单调性,求函数的最值来完成函数的值域问题.

总之，在解题时要发现不同知识的交汇，为解题提供新的思考角度，使问题得到全新的诠释.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

函数值域最值问题“两连发” 篇7

分式是数学中的一种常见代数式.什么叫分式？分母含有未知数（或变量）的式子叫分式.同学们普遍感到分式问题很棘手.难点何在？关键在分母.如果分母是常数，那么该式不叫分式.最简单的分母是什么，就是单因式x.本文主要就分式函数的值域或最值问题，谈谈一种常用处理策略——换元法.

例1 求函数y=（x≥0）的值域.

简解 令3x+2=t，则t≥2，x=.所以y=-，又t≥2，所以0＜≤.所以-≤y＜.即值域为-，.

例2 设x>-1，求函数y=的最小值.

简解 令x+1=t，则t>0，x=t-1.所以y=t++5≥9，当且仅当t=，即t=2，即x=1时取“=”，这里用到了基本不等式，同学们可找教材必修5来了解，实际上，用定义也不难证明y=t++5在（0，2］上递减，在［2，+∞）上递增，所以ymin=9.

变式1 设x>-1，求函数y=的最大值.

简析：容易发现，函数式与原题互为倒数，所以

ymax=.

变式2设x>-1，求函数y=的最大值.

简析：分离常数，得y=1+，转化为变式1，所以ymax=.

变式3 设x≥0，求函数y=的最小值.

简析：令x+1=t，则t≥1，y=t--1。因为y在t∈［1，+∞）在上是增函数，所以ymin=-2.

点评 对于分式函数，一般有如下处理策略：

①分子、分母均为一次时，令分母整体为t，可转化为形如y=a+的函数；

②分母为一次，分子为二次时，令分母整体为t，可化为形如y=at+的函数，可运用基本不等式或利用函数的单调性求解；

③分子为一次，分母为二次时，取其倒数转化为情况②，要注意分子可否为0；

④分子、分母均为二次时，分离常数，转化为情况③或分子为常数的情形.

例3 已知y=的值域为（-∞，0］，求a的值.

简解 令sinx+1=t，则t∈（0，2］，y=1-.

显然a+1≠0当a>-1时，有≥，所以y≤，根据题意有a=1；当a<-1时，y≥，显然不合题意.综上，a=1.

例4 求函数y=的最小值.

简解 令=t，则t≤2，y=t+.

因为y在t∈［2，+∞）上是增函数，所以当t=2时，ymin=.

变式 求函数y=的值域.

简解 令=t，则t≥0，y=.

当t=0时，y=0；当t>0时，=t+≥2，所以0＜y≤.

综上，函数值域为0，.

引申：已知函数y=（常数a>0），求该函数的值域.

简解 令=t，则t≥，y=t+.

因为y在x∈（0，1）上是减函数，在x∈（1，+∞）上是增函数，

所以当0

当a≥1时，y在 ［，+∞）上是增函数，故其值域为，+∞.

点评 在上述问题中，通过换元将分式型问题转化为分式问题进行求解.

在不少数学综合型问题中，我们常用分离参数法求解，一般会转化为分式型函数的值域或最值问题.

例5 设sin2θ+mcosθ-2m+1＜0在θ∈0，上恒成立，试求m的取值范围.

分析 条件可化为m＞在θ∈0，恒成立，下面只要求的最大值.

简解 令2-cosθ=t，则t∈［1，2］，y=-t++4≤4-2，当且仅当t=时取“=”.

所以m＞4-2.

例6 关于x的方程loga（x-3）=-1+loga（x+2）+loga（x-1）有实数解，求实数a的取值范围.

分析 条件可化为a=在x∈R上有解（能成立），下面只要求的值域.

简解 由真数大于0，得x>3.

令x-3=t，则t>0，y=t++7≥2+7，当且仅当t=时取“=”.

所以a＞7+2.

本文涉及的分式的处理策略，就是把分母看成整体，采取大家非常熟悉的显性换元法，达到简化分式的目的.特别注意两点：一是新元的取值集合是新问题的定义域，不可忽视；二是如果研究单调性问题，换元即为复合函数的分解，判断原函数的单调性必须使用复合函数单调性判断法则.

1. 求函数y=sin2x+的最小值.

2?郾 求y=的值域.

3?郾 求y=的值域.

1?郾 当t=1时，ymin=4.

2?郾 （-∞，-2］∪［2，+∞）.

3?郾 1，.

含根式函数的值域求法初探

——从双根式线性函数谈起

□ 周伯明 吕 辉

形如f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a）的函数属于双根式线性函数.其值域求解有一定难度.

这里先给出一些结论.

结论1 f（x）=λ1-λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），则f（x）∈［f（a），f（b）］.

结论2 f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），则f（x）∈［λ1，+∞］.

结论3 f（x）=λ1-λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），当λ1≥λ2时，f（x）∈［λ1，+∞］；当λ1＜λ2时，f（x）∈［-∞，λ1］.

结论4 f（x）=λ1+λ2（λ1，λ2＞0，b＞a），当λ1≥λ2时，f（x）∈［λ2，］；

当λ1＜λ2时，f（x）∈［λ1，］.

有兴趣的同学可以尝试证明之.

下面再关注两道其他类型的含根式的函数问题.

例1 求y=+函数的值域.

解析一 令m=，n=（m≥0，n≥0），则3m2+n2=3，即m2+=1（m≥0，n≥0），所以y=m+n，即n=-m+y，由线性规划相关知识容易得到函数值域为［1，2］.

或者再令m=cosθ，n=sinθ，θ∈0，，则y=m+n=cosθ+sinθ=2cosθ-，θ∈0，，所以值域为［1，2］.

解析二 由x-3≥0，12-3x≥0，解得3≤x≤4，可设x=3+cos2θ，θ∈0，，则y=cosθ+sinθ=2cosθ-，θ∈0，，所以值域为［1，2］.

点评 这里发现了3m2+n2=3，即m2+2=1，则可利用三角换元的方法来求解.总之，关键是充分利用函数定义域的特点，选择适当的三角换元的方式.

但并不是所有的含根式的函数都能用换元法解决，针对函数式特殊的结构特点，还有必要掌握一些特殊的技巧来应对.

例2 求y=-函数的值域.

分析 本题显然也可以用例1中换两个元的方法解决，容易找到两个变量之间的恒等关系.但我们又容易发现两个根式中x的系数均为1，这是一个很好的特征.如果把函数式看做一个分母是1的分式，进而分子分母同时乘+，则原函数式的单调性就容易发现了.

解 由x+2≥0，x+1≥0，得x≥-1.

将y=-分子有理化，得y=.

显然该函数在［-1，+∞）上单调递减，又因为y＞0，所以函数值域为（0，1］.

注意：这里容易遗漏这个范围.

例3 求y=x-函数的值域.

解析一 令t=（t≥0），则x=x≤，可得y=-t2-t+（t≥0），

由二次函数图像容易得到函数值域为-∞，.

解析二 观察可知函数在定义域-∞，上单调递增，所以函数值域为-∞，.

例4 求y=+函数的值域.

分析 若将函数式两边平方，则平方后函数式庞大且复杂，于是势必另辟蹊径.考虑到根式下可以配方，联系两点间距离公式，考虑用函数式的几何意义来解题.

解 因为y=+=+，

所以y的几何意义是动点P（x，0）与定点A（-2，1）和定点B（2，-2）的距离之和.

由图像观察，显然当动点P为AB与x轴交点时y有最小值，且ymin=AB=5.

所以函数值域为［5，+∞）.

综上所述，求含根式函数的值域的一般思路是转化，最常用的手段是换元，可以直接换元，也可以三角换元，甚至可能换两个变元.另外，我们还得注重观察，要观察函数的定义域，观察函数式的结构特征，这些都是解题的突破口.

1. 求y=x+函数的值域.

2?郾 求y=+2函数的值域.