教案-6.3不等式的证明

教案-6.3不等式的证明（推荐14篇）

教案-6.3不等式的证明 篇1

教学目标

1.进一步熟练掌握比较法证明不等式； 2.了解作商比较法证明不等式； 3.提高学生解题时应变能力.教学重点

比较法的应用 教学难点

常见解题技巧 教学方法

启发引导式 教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．

（学生活动）思考问题，回答．

［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？

2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？

3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？

[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）

设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．

（学生活动）尝试解决问题．

[问题]

1．化简ababab.2．比较35322311与（ab0）的大小． aba

（学生解答问题）

［点评］

①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．

②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．

设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．

（学生活动）分析，研究问题．

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［字幕］例题3 已知a，b是正数，且ab，求证

a5b5a3b2a2b3.［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．

证明：（见课本）

［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．

a2b2ab

[字幕]例4试问：2与（a,b0）的大小关系．并说明理由． 2abab

［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．

a2b2ab(a2b2)(ab)(ab)(a2b2)2ab(ab)解：2 22222abab(ab)(ab)(ab)(ab)

因为a,b0，所以2ab0,ab0,a2b20，(a2b2)(ab)0.若ab0，则ab0,2ab(ab)0

所以

2ab0． 22(ab)(ab)a2b2ab.即2ab2ab若ba0，则ab0,2ab(ab)0 所以

2ab(ab)0． 22(ab)(ab)a2b2ab即2

ab2ab若ab0，则ab0,2ab(ab)0 所以

2ab(ab)0． 22(ab)(ab)a2b2ab即2

ab2aba2b2ab.综上所述：

ab0时，22abab

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a2b2ab

ba0时，2 2ababa2b2ab

ab0时，2

ab2ab

［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

[分析]设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为t1，t2，要回答题目中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了．

解：（见课本）

［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．

设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．

【课堂练习】

（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

44223

3［字幕］练习：1．设ab，比较(ab)(ab)与(ab)的大小．



2．已知a,b0，nN，求证(ab)(ab)2(annn1bn1).设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．

2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

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3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．

4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．

通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．

设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．

（四）布置作业

1．课本作业：P17 7、8。

2，思考题：已知a,b0，求证abab.3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）

设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．

（五）课后点评

1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．

2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．

作业答案

abbaaabbaabba()ab.思考题：证明：baababbaaabaabb1，故ba1.因为a,b0，所以当ab0时，1,ab0()bbab

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又因为ab0，所以abab.baabbaaaabaabb1，即ba1，所以aabbabba.当ba0时，01,ab0，故()bbabaaabaabb1，即ba1，所以aabbabba.当ab0时，1,ab0.故()bbab

综上所述，abab.研究性题：设两地距离为s，船在静水中的速度为u，水流速度为v（uv0），则 abbass2s2v2st流t静()0 22uvuvuu(uv)所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．

教案-6.3不等式的证明 篇2

积分不等式的证明是高等数学诸多问题中难度较大、技巧性较强、涉及知识面较广的问题。本文结合若干典型例题较全面地给出了一些证明积分不等式的方法以供大家参考。

1 利用定积分的性质

利用定积分的比较定理,估值定理和绝对值不等式等定积分的性质分析证明积分不等式。

例1设f(x)在[0,1]上连续且单调非增,试证a∈[0,1]有

证明利用换元法与定积分的性质

因f(x)单调非增,0≤a≤1,所以f(ax)≥f(x)

即

2 利用单调性证明积分不等式(构造辅助函数)

当被积函数连续时,可以把积分上限或下限中的一个作为变量,构造一个变上限或变下限积分,然后通过考察该积分的单调性推证积分不等式。

例2设f(x)在[0,b]上连续且单调递增。试证:当0<a≤b时,有

(因为f(x)递增,f(u)-f(x)≥0)

于是,由拉格朗日中值定理,有

即成立。

3 利用判别式(适用于被积函数含有f2(x)或f′2(x)的情形)

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式。

例3设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,证明

证明考察函数f(x)-λg(x),因为[f(x)-λg(x)]2≥0

有λ2g2(x)-2λf(x)g(x)+f2(x)≥0

两边积分得

不等式的左端可看成λ的二次三项式,对任意λ,不等式均成立,且因此,判别式

4 利用Canchy-Schwarz不等式

Canchy-Schwarz不等式只要求f(x)、g(x)在闭区间上可积,条件很少,利用它可以证明一些积分不等式。

例4设f(x)在[a,b]上有连续的导数,f(a)=f(b)=0,且

证明由Canchy-Schwarz不等式

5 利用微积分中的中值定理

当被积函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导时,对微分中值定理或积分中值定理中带ξ的项作适当的变化,可证得某些积分不等式。

例5设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,｜f′(x)｜≤M,证明

证明由拉格朗日中值定理

例6设f(x)是[0,1]上单调减少的正值连续函数,证明

6 利用Taylor公式

当被积函数含有高阶导数,最高阶导数的符号已知时,可用Taylor公式证明积分不等式。

例7设f(x)在[0,a]上二阶可导,且f″(x)≥0,证明

证明将f(x)在a/2处用Taylor公式展开

其中,ξ在x与a/2之间,利用f″(x)≥0,可得

f(x)叟f(2a)+f′(2a)(x-2a)

7 利用二重积分

这里D={(x,y)│a≤x≤b,a≤y≤b}

可用来证明含双积分号的不等式。

例8设f(x)在[0,1]上连续,证明

证明由上面叙述知

其中D={(x,y)│0≤x≤1,0≤y≤1},

8 利用函数图形的凹凸性

利用函数图形的凹凸性定义可证某些积分不等式。

例9设f(x)在[0,1]上连续,且其图形是凹的,f(0)=0,证明

9 利用概率方法

在概率论中,连续性随机变量的概率分布函数,数学期望与积分都有密切的联系,所以我们可以用构造概率分布函数、概率密度函数等概率方法证明某些积分不等式。

例10设f(x)与g(x)是[a,b]上的正值连续函数,证明

由于f(x)与g(x)为[a,b]上的正值连续函数,所以,E[f(ξ)g(ξ)]≥0。

将各相应值代入,

即证得

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社,2001.

数列求和不等式的证明 篇3

题目 已知数列[an]的通项公式是[an=3n-2n].求证：对一切正整数[n]，有[1a1+1a2+???+1an<32].

思路1：放缩为可求和的等比（等差）数列

证明 因为[3n-3n-1=2?3n-12?2n-1=2n]，

所以[3n-2n3n-1]，所以[1an13n-1].

于是[1a1+1a2+…+1an1+13+…+13n-1]

[=1-13n1-13][=321-13n<32].

思路2：放缩后能裂项相消

证明 当[n=1]时，[1a1=1<32]；

当[n=2]时，[1a1+1a2=1+15<32]，显然成立.

当[n3]时，[an=3n-2n=1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1>C2n?22]

[=2nn-1]，

又因为[a2=5>2×2×2-1]，

所以[an>2nn-1]（[n2]），

所以[1an<12nn-1=121n-1-1n]（[n2]），

所以[1a1+1a2+1a3+…+1an]

[<1+121-12+13-14+…+1n-1-1n=1+121-1n<32.]

思路3：构造加强不等式，借助数学归纳法

①当[n=1]时，左边[=1a1=1]，右边[=32]，命题成立.

②假设当[n=k]（[k2]，[k∈][N]）时成立，即[i=1k13i-2i<32]成立.为了证明当[n=k+1]时命题也成立，我们首先证明不等式：[13i+1-2i+1<13?13i-2i]（[i1]，[i∈][N]）.

要证[13i+1-2i+1<13?13i-2i]，

只需证[13i+1-2i+1<13i+1-3?2i]，

只需证[3i+1-2i+1>3i+1-3?2i]，

只需证[-2i+1>-3?2i]，

只需证[-2>-3]，该式子明显成立，

所以[13i+1-2i+1<13?13i-2i].

于是当[n=k+1]时，[i=1k+113i-2i=13-2+i=2k+113i-2i][<1+13i=1k13i-2i<1+13×32=32]，

所以在[n=k+1]时命题也成立.

教案-6.3不等式的证明 篇4

23.4 基本不等式：ab

3.4.1 基本不等式abab的证明

从容说课

在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：abab

2，然后

从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，

根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.

教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；

2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；

2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；

3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.

三、情感态度与价值观

1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；

2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；

3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学

生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） 推进新课

师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）

生 应该先从此图案中抽象出几何图形.

师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）

（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）

师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.

（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）［过程引导］

师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？

生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和. 师 一定吗？

（大家齐声：不一定，有可能相等）

师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生 每个直角三角形的面积为

2ab，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为

ab，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.

师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a+b≥2ab证明了吗？

生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已. 师 回答得很好.

（有的同学感到迷惑不解）

师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）

2师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a+b≥2ab.

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)≥0，所以可得a+b≥2ab.

师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？ 生 正确.

［教师精讲］

师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.

生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明. 师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.

（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言） 生 作商，用商和“1”比较大小.

师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.

（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生） ［合作探究］

师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.

生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）

师 从不等式a+b≥2ab的证明过程能否去说明. 生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.

师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.

（大家齐声）一致.

（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）

师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.

2（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a+b≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）

师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生 完全可以.

师 为什么？

生 因为不等式中的a、b∈R.

师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把

ab

2叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）

师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：

ab

2

ab，①

只要证a+b≥2ab，②

要证②，只要证：a+b

-2ab≥0，③ 要证③，只要证：(a

b)0,④

显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）［合作探究］

老师用投影仪给出下列问题.

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］

师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？ 生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得CD生 由射影定理也可得CD

ab.

ab

2ab.

师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？

ab2

生ab表示半弦长，表示半径长.

师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得

ab2

ab.

师 这位同学回答得是否很严密？

生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式ab(a＞0,b＞0). 课堂小结

师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？

生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a+b≥2ab.

生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以a、b分别代替a、b，得到了基本不等式

ab

ab

2ab2

(a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.

生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.

（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）

师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用. 布置作业

活动与探究：已知a、b都是正数，试探索

21a1b,ab ,ab

2,ab2

22的大小关系，并

证明你的结论. 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.

6.3重力教案(沪粤版) 篇5

教学目标：

1、知道重力产生的原因，了解重力的重要性。

2、知道重力的方向，会用重垂线法检查桌面是否水平、立面是否竖直。

3、会用弹簧测力计测重力，理解重力大小跟质量的关系，记住g＝9.8N/Kg，并知道其含义。

4、能用公式 G = mg 计算有关的问题。

5、知道重心的概念，知道重心的位置会影响物体的稳定性。教学过程 一：引入新课

通过牛顿与苹果的故事或者课本图片＋多媒体图片引入本课题。

二、新课教学

（一）重力的产生 1多媒体图片展示

[提问]：你们观察到了什么现象？找到它们运动的共同点了吗？

[讲解]：不管这些物体在空中运动的时间是长还是短，最后它们都回到了地面，因为它们都受到了地球的吸引力，重力就是由于地球的吸引力而产生的。在日常生活中，有许许多多与重力有关的现象，你们能举出这些现象吗？大家先不要讨论，自己好好想一想，可以在纸上写出来

例如：① 向上跳起会落回地面；② 教室里的桌子、椅子静止在地面；③ 篮球投进篮框后会落回地面；④ 跳伞运动员从高空跳下后，落到地面；⑤飞机降落；等等

[小结]：由此可见，重力在我们周围时时刻刻存在着。地球周围的一切物体时时刻刻都受到重力的作用。

（二）重力的方向

[学生观察]：物体从静止开始自由下落的方向，物体悬挂起来静止时悬线的方向

[讲解]：重力的方向剖竖直向下的，即垂直于水平面，并指向地球的球心。由于悬挂重物的线总是竖直向下垂的，我们把它称为重垂线。[学生活动]：重垂线的应用

A．用重垂线检查桌腿是否竖直

B．用重垂线检查墙壁上的画是否挂正

（三）重力的大小

[讲解]重力是一种力，所以重力也应该有大小、方向和作用点。

[提问]：日常生活经验告诉我们，重力是有大有小的。根据你的生活经验，比较这两本书，哪本书的重力大呢？比较这两个钩码（或砝码），哪个更重呢？ [学生活动]

① 制定简单的实验计划，设计表格；

② 进行实验，收集数据：用弹簧测力计分别测出一个或多个钩码的重力；把数据填入表中；分析数据。

[结论]：重力和质量成正比关系；或重力和质量的比值是常数。

[总结]：g表示重力跟质量的比值，地球表面实验测得g=9.8N/kg，它表示质量为1kg的物体，在地球上所受的重力大小为9.8N，或者说它重9.8N。在粗略情况下，g可取10N/kg。在不同纬度的地方测定的g略有差异。[学生练习]：利用公式 G = mg 进行计算。

（四）物体的重心

[讲解]：重心的概念，告诉学生如果有其他物体支持着重心，物体就能保持平衡。

教师介绍重心与物体形状、质量分布是否均匀的关系，让学生知道质地均匀、形状规则的物体的重心，在它的几何中心上。并且向学生介绍重心位置在工程中的作用。

三、讲解学导中的巩固练习题

四、教学小结

重力产生的原因； 重力的大小、方向和作用点；重力和质量的关系： G = mg。

教案-6.3不等式的证明 篇6

课标要求：

了解罗马法的主要内容及其在维系罗马帝国统治中的作用，理解法律在人类社会生活中的价值。

教学目标：

（1）、知识与能力：识记的基础知识有罗马法、《十二铜表法》、公民法、万民法、自然法；通过对上述知识的学习，学生应掌握罗马法的发展过程，认识罗马法的演变是古罗马历史变迁的反映，在发展过程中具有明显的连续性、统一性；理解罗马法对世界文明进程的影响；学会分析罗马法对于维系罗马帝国的作用；从中西历史发展的两个方面比较罗马法的影响。

（2）、过程与方法：对罗马法的起源与发展，采用资料研读与问题探究法；对罗马法的内容采用情境再现与历史对比法；对罗马法的作用和影响通过查阅资料、问题探究与历史比较。

（3）、情感态度与价值观：认识罗马法是通行于整个古代罗马世界的法律，对于维系和稳定庞大的罗马帝国的统治起到了重要作用。罗马法代表统治阶级的利益，为维护罗马帝国统治而存在；认识罗马法是重要的人类文化遗产，对后世尤其是近代文明产生了重要影响；认识中国现行的《民法通则》和《继承法》也受到罗马法的影响，深入了解罗马法的历史沿革具有重要的现实意义。最终肯定法制在现实社会中是一种最合理的国家治理方式，具有不可替代性。

教学课时：

1、5课时 重点难点：

重点：罗马法的主要内容。

难点：罗马法的历史作用和现实价值。教学建议：

（1）、制作课件，利用多媒体进行教学；学生收集资料（网络、图书馆等）、讨论、编排课本剧、师生互动与问题探究法、启发式教学法等形式。

（2）、设问：如果某个古希腊公民与他人发生债务或财产纠纷，那么他将向什么机构提出诉讼请求？这种方式的效率如何？如果古罗马公民遇到同样事情将会采取何种方式？解决起来效率怎样呢？由此导入新课。

（3）、教师通过大量丰富的图片，向学生展示古罗马恢弘的历史，并解释罗马法的含义（指公元前6世纪塞尔维乌斯改革至公元7世纪中叶古罗马奴隶制国家制定和实施的全部法律制度）。

爱心

用心

专心

（4）、教师利用多媒体演示有关罗马法的资料：

①、引导学生梳理罗马法演进的线索（城邦时代——习惯法→罗马共和国——成文法“十二铜表法”、公民法→罗马帝国——形成体系的万民法、《民法大全》）。

②、引导学生详细了解“十二铜表法”、公民法、万民法的主要内容及特点、作用。

③、在上述基础上使学生认识到：罗马法的演变是古罗马历史变迁的反映，在发展过程中具有明显的连续性和统一性；它是通行于整个古代罗马世界的法律，对于维系和稳定庞大的罗马帝国的统治起到重要的作用。罗马法代表统治阶级的利益，为维护罗马帝国统治而存在。

（5）、课前引导学生研读罗马法的主要内容，模拟罗马法庭开庭的情景

编排课本剧，深入理解罗马法的主要内容、构成、规定的权利和义务、保护的对象以及遵循的原则。（6）、投影资料，引导学生讨论：罗马法律对罗马帝国乃至后世都有哪些影响？它有哪些缺陷？

爱心

用心

一个不等式的推广与证明 篇7

【题目】 (《数学教学》2009年第2期问题与解答中758号问题) 设a>2, b>2, 证明:

$\frac{a}{\sqrt[3]{b-2}}+\frac{b}{\sqrt[3]{a-2}}\ge 6‚(1)$

当且仅当a=b=3时取等号.

本文先将不等式 (1) 推广为:

命题 设xi>n, i=1, 2, …, n, 则有

$\frac{x{}_1}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{x{}_2}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{x{}_{n-1}}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{x{}_n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\ge n(n+1)(n\ge 2,n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})‚(2)$

当且仅当$x{}_i=n+\frac{2}{n},i=1,2,\cdots ,n$时取等号.

观察 (2) 式中不等号左边的式子特点, 通过添项变形的技巧来实现命题的证明, 具体过程如下:

证明:由n元均值不等式得

$\begin{array}{l}\frac{x{}_1}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{x{}_2}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{x{}_{n-1}}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{x{}_n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\\ =\frac{(x{}_1-n)+n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{(x{}_2-n)+n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{(x{}_{n-1}-n)+n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{(x{}_n-n)+n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\\ =\frac{x{}_1-n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{x{}_2-n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{x{}_{n-1}-n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{x{}_n-n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\\ +\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge n\cdot \sqrt[n]{\frac{x{}_1-n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}\cdot \frac{x{}_2-n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}\cdots \frac{x{}_{n-1}-n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}\cdot \frac{x{}_n-n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}}\\ +\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\\ =n\cdot \sqrt[n+1]{x{}_1-n}\cdot \sqrt[n+1]{x{}_2-n}\cdots \sqrt[n+1]{x{}_n-n}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}+\cdots +\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\\ \ge (n+1)\cdot \sqrt[n+1]{n\cdot \sqrt[n+1]{x{}_1-n}\cdot \sqrt[n+1]{x{}_2-n}\cdots \sqrt[n+1]{x{}_n-n}}\cdot \sqrt[n+1]{\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}\cdot \frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}\cdots \frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}},\text{命}\text{题}\text{中}“=”\text{成}\text{立}\text{的}\text{条}\text{件}\text{为}:\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x{}_1-n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}=\frac{x{}_2-n}{\sqrt[n+1]{x{}_3-n}}=\cdots =\frac{x{}_{n-1}-n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}+\frac{x{}_n-n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}‚\\ \sqrt[n+1]{x{}_1-n}\cdot \sqrt[n+1]{x{}_2-n}\cdots \sqrt[n+1]{x{}_n-n}=\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_1-n}}=\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_2-n}}=\cdots =\frac{n}{\sqrt[n+1]{x{}_n-n}}.\end{array}(3)$

由 (3) 式可得$x{}_i=n+\frac{2}{n}‚i=1,2,\cdots ‚n.$

故命题得证.

注:当n=2时, 本命题即为 (1) 的结论.

观察不等式的结构特点是证明不等式的关键一步, 有时式子本身可能会引导我们找到证明的思路, 因此, 在平时的教学中应注重对学生观察能力的培养, 同时它也是学生学习其他知识的一个重要基本素质.

参考文献

对一道不等式的证明与思考 篇8

思路1 将原不等式理解为x2x+y+yx+2y≤23……①

及xx+2y+y2x+y≥23……②两个不等式，对①证明如下：

证法1：作差等价变形x2x+y+yx+2y-23≤0

3x(x+2y)+3y(2x+y)-2(2x+y)(x+2y)≤0

-x2+2xy-y2≤0(x-y)2≥0.得证.

证法2：构造函数求最值 令f(x)=x2x+y+yx+2y-23，

则f′(x)=2x+y-2x(2x+y)2+-y(x+y)2=y［(x+2y)2-(2x+y)2］(2x+y)2(x+2y)2=-3y(x2-y2)(2x+y)2(x+2y)2.

令f′(x)=0，得x=y，又当0

当x>y时，f′(x)＜0，知当x=y时，f(x)最大值为23.

仿上可证不等式②.

思路2 针对原不等式为连写不等式型：a≤b≤c,即证(a-b)(c-b)≤0.

证法3 由于x2x+y+yx+2y-23xx+2y+y2x+y-23=-(x-y)23(2x+y)(x+2y)•2(x-y)23(x+2y)(2x+y)≤0.

所以原不等式成立.

思考1 将原不等式简化为：已知x,y∈R+，求证：x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y.

证法1 作差 =x2x+y+yx+2y-xx+2y-y2x+y=(x-y)12x+y-1x+2y

若x≤y,则12x+y≥1x+2y;若x≥y,则12x+y≤1x+2y,∴x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y.

证法2 若x≤y,则12x+y≥1x+2y,由排序不等式反序和不大于顺序和.即有

x2x+y+yx+2y≤xx+2y+y2x+y;

若x>y，则12x+y＜1x+2y同样有不等式成立.

思考2 变形1：是否存在唯一常数c，使x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y，对任意正数x,y恒成立.

由思路1中证法2，函数f(x)当x=y有唯一的极值点.

知这样常数c唯一，且c=23.

变形2：是否存在常数t(1≤t≤2),使

x2x+y+yx+2y≤xtx+(3-t)y+y(3-t)x+ty≤xx+2y+y2x+y

证明：作f(t)=xtx+(3-t)y+y(3-t)x+ty,(1≤t≤2)

∴f′(t)=-x(x-y)［tx+(3-t)y］2+-y(x-+y)［(3-t)x+ty］2

=(x-y)•-x［(3-t)x+ty］2+y［t+(3-t)y］2［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

=(x-y)•(3-t)2(y3-x3)+2t(3-t)(xy2-x2y)+t2(yx2-xy2)［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

=-(x-y)2•(x2-2xy+y2)t2-6(x2+y2)t+9(x2+xy+y2)［tx+(3-t)y］2［(3-t)x+ty］2

令分子g(t)=(x2-2xy+y2)t2-6(x2+y2)t+9(x2+xy+y2)(1≤t≤2)

而(1)当x=y时，g(t)=0.

(2) 当x≠y，有x2+y2>x2－2xy+y2，从而g(t)的对称轴t=3(x2+y2)x2-2xy+y2＞3,及g(1)=4y2+7xy+4x2>0，g(2)=x2+xy+y2>0，从而当

1≤t≤2时，g(t)≥0，综合（1），（2）这样f′(t)≤0,

∴f(t)于［1，2］上为减函数，从而变形2正确，因此，变形2中存在无数个t值.

例如，取t=43，即有命题：已知x,y∈R+，求证

x2x+y+yx+2y≤3x4x+5y+3y5x+4y≤xx+2y+y2x+y.

思考3 对题目归纳思考，由于原不等式每个不等式两边均为两项，仅当x=y时取等号，从而有类比不等式如下：已知x,y∈R+,求证：

x3x+y+yx+3y≤12≤xx+3y+y3x+y;

不等式的证明 篇9

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

不等式的证明练习 篇10

111． abbcac

112．设a、bR，求证：log1(ab)ab1． 4421．已知abc，求证：

1x2x13． 3．设xR，求证：22x12

4．设nN*，求证：

1112(n11)12n． 23n

5．设a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，求证：

abc． 1a1b1c

226．若x2y21，求证：x2xyy2．

a2b2

(ab)2． 7．若0＜x＜1，求证：x1x

45． 8．设x(0,)，求证：sinxsinx

9．已知：xyz0，xyyzzx0，xyz0．

求证：x0，y0，z0．

参考答案

111(aa)2(bc)2(ca)2

1．0． abbcac2(ab)(bc)(ac)

2．log1（2111)log2log221abab1． 1abab4442

3．用判别式法证明．

1222(k1k)及 kkkk1k

2222(kk1)，再由不等式的同向可加性即得． kk1kkk

ababab11c115．． 1a1b1ab1ab1ab1ab1c1c

xrcos026．换元 01即可得证． yrsin

a2b21x2x2227．[x(1x)]ababa2b22ab(ab)2． x1xx1x

13)235． 8．(sinxsinxsinx4．由

9．用反证法，假设结论不成立，由xyz＞0知x、y、z中应有两个负数，一个正数，不妨设x＞0，y＜0，z＜0．由已知条件，得：

导数证明不等式的几种策略 篇11

例1.（2014年新课标全国卷Ⅰ）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=e（x-1）+1.

（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明f（x）>1：

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aex1nx+ex-ex-1+ex-1

由题意得f（1）=2，.f′（1）=e.故a=1，b=2.

（Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，f′（x）=ex1nx+

从而f（x）>1等价于xlnx>xe-x

设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx

所以当x∈（0，）时，g′（x）<0，当x∈（，+∞）时，g′（x）>0

故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增

从而g（x）在（0，+∞）上最小值为g（）=-

设函数h（x）=xe-x-，则h′（x）=e-x（1-x）

所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-.

综上，当x>0时g（x）>h（x），即g（x）>1.

过程总结：利用导数证明的基本的基本思路是构造函数，就是根据题目特征，对问题进行深入分析，找出已知与所求之间的联系纽带，善于变换思维，运用转化的思想，化归的方法将数学命题由一种形式向另一种形式转换，构造出恰当的函数。

策略二：从条件特征入手构造函数证明

例2.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）>-f（x）恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：af（a）>bf（b）.

解析：由已知xf′（x）+f（x）>0 ∴构造函数F（x）=xf（x）

则F′（x）=xf′（x）+f（x）>0，从而F（x）在R上为增函数

∵a>b∴F（a）>F（b）即af（a）>af（b）.

方法提炼：由条件移项后得：xf′（x）+f（x），容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F（x）=xf（x），求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf′（x）>f（x），则移项后xf′（x）-f（x），要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结.

策略三：直接作差构造函数证明

例3.已知函数f（x）=x2+1nx，g（x）=x3求证：在区间（1，+∞）上，f（x）

分析：不等式f（x）0，要证不等式轉化变为：当x>1时，F（x）>F（1），这只要证明：F（x）在区间（1，+∞）是增函数即可.

解析：设F（x）=g（x）-f（x），即F（x）=x3-x2-1nx

则F′（x）=2x2-x-=

当x>1时，F′（x）=>0

从而F（x）在（1，+∞）上为增函数， ∴F（x）>F（1）=>0

∴当x>1时g（x）-f（x）>0，即f（x）

变式：求证在区间（1，+∞）上函数f（x）=x2+1nx的图像在函数g（x）=x3的图像的下方亦可.

方法提炼：本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式，大家也可以设F（x）=f（x）-g（x）做一做，深刻体会其中的思想方法.

策略四：热点聚焦，题型突破

例4.已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=-1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2>0；

（Ⅲ）求证：··……<（n≥2，n∈N*）

解：（Ⅰ）根据题意知，f′（x）=（x>0）

当a>0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）

当a<0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）

当a=0时，f（x）不是单调函数.

（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=-1nx+x-3所以f（1）=-2.

由（Ⅰ）知当a=-1时，f（x）=-1nx+x-3，在（1，+∞）上单调递增

所以当x∈（1，+∞）时，f（x）>f（1），即f（x）>-2，f（x）+2>0.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得a=-1时，f（x）+2=-1nx+x-3+2>0即，-1nx+x-1>0

所以1nx

则有0<1nn

···……<···…·=（n≥2，n∈N*）.

利用函数的单调性证明不等式 篇12

一、利用一次函数的单调性证明不等式

例1已知|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证:abc+2>a+b+c.

证明:欲证abc+2>a+b+c, 需证 (bc-1) a+2-b-c>0.视a为主元, 构造函数f (a) = (bc-1) a+2-b-c.因为|b|<1, |c|<1, 所以bc-1<0, 故函数f (a) 在 (-1, 1) 上是减函数.又f (1) =bc-1+2-b-c= (1-b) (1-c) >0, 所以当a∈ (-1, 1) 时, 总有f (a) >0, 故原不等式得证.

二、利用三次函数的单调性证明不等式

例2已知p3+q3=2, 求证:p+q≤2.

证明:设f (x) =x3+q3-2, 则函数f (x) 在R上是增函数, 因为f (2-q) = (2-q) 3+q3-2=6 (1-q) 2≥0, f (p) =p3+q3-2=0, 所以f (2-q) ≥f (p) , 从而2-q≥p, 故原不等式得证.

三、利用分式函数的单调性证明不等式

四、利用指数函数的单调性证明不等式

例4已知a、b、c>0, 且a2+b2=c2, n>2且n∈N*, 求证:an+bn

例5已知a∈R, 求证:a8-a5+a2-a+1>0.

证明: (1) 当a≤0或a=1时, 原不等式显然成立.

(2) 当a>1时, 函数y=ax在R上是增函数, 所以a8>a5, a2>a, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

(3) 当0a5, 1>a, 又a8>0, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

综上, 对一切a∈R, 不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

五、利用三角函数的单调性证明不等式

六、利用“莱克”函数的单调性证明不等式

探索数列不等式的证明 篇13

教学目标：

双基：加深学生对放缩法、二项式定理法、数学归纳法等方法的理解，并

能运用这些方法证明数列不等式。

能力：在问题的解决过程中，培养学生自主探索，归纳猜想等直观思维，训练学生对知识的灵活变通与迁移能力。

教学重点：能合理、准确的运用这些方法证明数列不等式。

教学难点：学生在数学学习过程中，知识的迁移、组合、融合能力的培养。教学手段：多媒体辅助教学。

教学过程设计：

一、引入：数列，不等式是高中数学两大基础知识，近几年高考多以数列不等式的综合性问题为热点。此类问题难度大，综合性强，学生难以解答完全，下面我们结合几种典型方法，几道典型例题一起来探讨。

二、方法探讨

1、放缩法

分析：形如：

（1） 11111112（2）nn1n(n1)nn(n1)n1n

例1函数f(x)(xR)对任意x1x21都有fx1fx2

（1）1数列an满足：anf0fn

求an的通项式。1 22f…nn1ff1，n

（2）设Sn

Tn1)，试证明SnTn。

解：

011n1…1 nn

1，2f0f11fnn11f，„ n2

数列求和中倒序相加法，1anf0fn2f…nn1ff1① n

1ff0② nn1anf1fn

①+②，得 n2f…n

12an(n1) 2

n1an（nN*）

4（2）证明：

 Sn113)

4SnTn41)Tn

本例放缩法的最终目的是为了求和，从而达到不等式的证明。还有一种情况是对数列求和之后再进行放缩。如练习。练习：求证：1111*2nN，（）22223n

2．数学归纳法

分析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，证明分为两步：

（1）证明n取初始值n0时命题成立；

（2）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明nk1时，命题也成立。

由（1）（2）知nn0,nN*命题成立。

例2：数列an、试比较 Sn与2n的大小，an前n项和为Sn，an2n1，bn2n，bn，并证明之。解：Sn(2n11)nn2，bn2n

2计算：当n1时,有S1b1；当n2时,有S2b2；当n3时,有S3b3；

当n4时,有S4b4；当n5时,有S5b5；

由于“指数爆炸”，猜想Snbn(n5,nN*)。

证明：（1）当n5时,有5225成立

（2）假设nk时命题成立,即2kk2

当nk1时,2k1(k1)22.2kk22k

12k2k22k1

k22k1

(k1)22(51)22140

即nk1时，命题也成立

因（1），（2）知，n5时2nn2，（nN*）

通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法。其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后用数学归纳法给出证明。

3、二项式定理法

0123n1n分析：2n(11)nCn CnCnCnCnCn

=1nn(n1)n(n1)n1 2

2例3：数列an、bn，an2n1，bn2n，an前n项和为Sn，试证明：当n5时,Sn<2n 证明：Sn(2n11)nn2(n5)

20123n1n又(11)nCn CnCnCnCnCn

n(n1)n(n1)n122

n2nn2nn2n 22

2nn21n

1练习：证明：2(1)n(n2)n4、单调性法

分析：数列本身是一种特殊的函数，其自变量是正整数集，因此可根据其单调性进行证明。f(x)(xR)具有单调性f(n)(nN*)具有单调性，反之不成立。

11125(nN*)n1n23n12

41111,nN* 证明：f(n)n1n2n33n

1111111f(n1)f(n) n2n33n13n23n33n4

1111)(n1n2n33n1

1111= 3n23n33n4n+1例4：求证：



f(n)为增函数

f(n)minf(1)23(n1)(n30 2n)(34)1111325 1112131224

原不等式成立。

三．课堂小结：

1、数列不等式证明几种常见方法，放缩法，二项式定理法，单调性法，数

学归纳法。

2、应注意问题

（1）数学相关知识的灵活运用

（2）熟练的数学运算能力

四．思考题：

已知函数f(x)xln(1x),数列an满足0a11,an1f(an);数列bn满足b111,bn1(n1)bn(nN*)22

求证：（1）0an1an1

2an（2）an1 2

（3）若a则当n2时,bnan.n!五．作业：三维设计 P89。

六．板书设计

不等式证明的若干方法 篇14

摘要:无论是在初等数学还是在高等数学中，不等式证明都是其中一块非常重要的内容.本文主要总结了高等数学中不等式的几种证明方法,高等数学中不等式证明的常用方法有利用函数的单调性、Cauchy不等式、中值定理、泰勒公式、Jensen不等式、定积分的性质、放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式等.通过辅以例题对这些方法进行详细的分析，给出其适用范围、具体步骤及限制条件.其中利用函数的单调性和利用中值定理法是基础的方法，其它几种方法需要要重点掌握，并可在证明中灵活运用.关键词：不等式 积分 中值定理

Some Methods about Inequality Proof

Abstract : The proving of the inequality is a very important content, whether in elementary mathematics or in higher mathematics.This paper mainly summarizes several methods of proving the inequality in higher mathematics.In higher mathematics inequality is usually proved by applying the Monotony of a Function, Cauchy Inequality, Mean Value Theorem, Taylor Formula, Jensen Inequality, Properties of Definite Integral, to zoom in or out the integrand, variable upper limit or lower limit and so on.These methods are analyzed in detail through examples, and give its range of application, concrete steps and restricted conditions.Among these methods, the Monotony of a Function and Mean Value Theorem are foundation methods and the others should be mastered conscientiously or are flexible application in the verification.keywords : inequality integral Mean Value Theorem

数学世界中的量有相等关系，也有不等关系.一般与比较量有关的问题,都要用到不等式的知识.不等式问题不仅在数学领域有广泛的应用,而且在解决最优控制、最优化、经济等各种实际问题中也有广泛应用.它是研究和学习现代科学和技术的一个重要工具.由此可见,不等式问题的重要性, 而不等式证明又是不等式问题的精髓,由于不等式的形式各不相同，所以证明没有固定的步骤可依，方法灵活，技巧多样，因此不等式证明是数学中的难点之一.证明不等式的方法有很多,在初等数学中主要有综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法、换元法等常用方法,但高等数学中的不等式证明又比初等数学中的不等式证明更为复杂,以上几种方法就很难解决高等数学

中复杂的不等式问题.[1]本文结合课本所学内容及平时积累的资料总结了几种高等数学中不等式证明的常用方法.1.利用函数的单调性

利用函数单调性证明不等式的步骤:(1)构造辅助函数f(x).(2)判断单调性:求f(x),并验证f(x)在指定区间上的增减性.(3)求出区间端点的函数值或极限值,比较后判断不等式.例1 证明不等式 e.e 证明

要证 ee,只需证明eln,即只要证明

令f(x)lnx1lnx(xe),则 f(x)0.(xe)xx2lneln.e因为 f(x)在e,上单调递减，又因为 e, 所以 f(e)f(),即lneln，得证.e 一般利用函数的单调性证明不等式需根据题目条件构造函数，此函数求导后可以很容易判断其在指定区间上的单调性，进而利用函数单调性证明不等式.[2] 2．利用Cauchy(柯西)不等式

柯西不等式在不等式理论中占有重要地位,这个不等式结构对称和谐,应用广泛,巧妙灵活的运用它,可以使有些比较困难的问题迎刃而解,它的推论有多种形式,在定积分中Schwarz不等式就是其中的一个推论.2.1 柯西不等式(aibi)a2i1i1nn2ibi1n2i也可写作

abi1niiab2ii1i1nn2i.2.2 积分的形式 当被积函数f(x),g(x)在区间a,b上连续,则有

bbb2 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)2dx.aaa2例2 已知f(x)0,在a,b上连续,f(x)dx2,k为任意实数,求证:

ab(f(x)sinkxdx)2(f(x)coskxdx)24.aabb 2

证明 由柯西不等式知,(f(x)sinkx)2[(f(x)f(x)sinkx)dx]2

aabb f(x)dxf(x)sin2kxdx

aabb 2f(x)sin2kxdx.ab同理(f(x)coskxdx)22f(x)cos2kxdx, aabb所以(f(x)sinkxdx)2(f(x)coskxdx)24.aabb此种方法一般用于要证明的不等式中的某些式子经过变形后可以直接套用柯西不等式,这就需要对不等式认真观察和对柯西不等式的灵活应用.3.利用中值定理

3.1 微分中值定理(主要讲利用拉格朗日中值定理)微分中值定理是微分学中最重要的理论部分,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系,[3]拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式,罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊形式.而且拉格朗日公式有几种等价形式,在用拉格朗日中值定理证明不等式时要选择恰当的形式.3.1.1拉格朗日中值定理: 若函数f(x)满足如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间a,b内可导；

则在a,b内至少存在一点，使得f()3.1.2拉格朗日公式几种等价形式:(1)f(b)f(a)f()(ba), ab;(2)f(b)f(a)fa(ba)(ba), 01;(3)f(ah)f(a)f(ah)h, 01.3.1.3用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:

f(b)f(a).ba 3

(1)由题意作出a,b上的函数f(x),验证其满足条件.(2)再运用微分中值定理公式或其等价形式.(3)根据题目需要进行适当的放缩.[3] 例3 设0ab，证明不等式

babbaln.baa 证明 显然等式当且仅当ab0时成立.下证

当0ab时,有

babbaln.baa 作辅助函数f(x)lnx，则f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理，故a,b，使lnblna1.①

ba由于0ab, 所以 111.② ab1lnblna1, bbaababbaln所以.baa由①②得

3.2 积分中值定理 3.2.1 积分第一中值定理

定理3.2.1 若f在a,b上连续,则至少存在一点a,b,使得

f(x)dxf()(ba).ab积分第一中值定理的条件简单,只需f(x)在a,b上连续即可.但此定理却非常重要,它是联系定积分与其积分函数的桥梁.其中的灵活性和任意性就是证明不等式的关键所在.例4 设f(x)为0,1上的非负单调非增连续函数(即当xy时,f(x)f(y)),证明对于01，有不等式

0f(x)dxf(x)dx 成立.证明

由题意及积分中值定理有

f(x)dxf()()f()(), 

 所以 101f(x)dxf()f(x)dx.(1)f(x)dxf(x)dx.0(1)f(x)dx0f(x)dx. 因为 0

1所以 11,  0f(x)dxf(x)dx.3.2.2 积分第二中值定理

定理3.2.2 设函数f(x)在a,b上可积.(i)若函数g(x)在a,b上是减函数，且g(x)0，则存在a,b，使得 f(x)g(x)dxg(a)f(x)dx;

aab(ii)若函数g(x)在a,b上是增函数，且g(x)0，则存在a,b，使得 f(x)g(x)dxg(b)f(x)dx.abb推论 设函数f在a,b上可积,若g为单调函数,则存在a,b,使得baf(x)g(x)dxg(a)f(x)dxg(b)f(x)dx.ab在积分第二中值定理中,用推论证明不等式运用比较广泛,推论中对g(x)的限制比定理中对g(x)的限制条件更为宽松,它解决的题目范围也会扩大.例5 设f(x)为a,b上的连续递增函数,则成立不等式

b xf(x)dxaabbf(x)dx.a2ba证明

要证不等式成立，只需证明 (xab)f(x)dx0.2 由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理，则存在a,b，使

bababab)f(x)dxf(a)(x)dxf(b)(x)dx aa222bbabab)dxf(b)f(a)(x)dx =f(a)(xa22 b(xb22ab =f(b)f(a)(b)

22 =f(b)f(a) 得证.利用中值定理证明不等式要满足定理的条件,通过构造、变换找到符合的条件，再一步步解决所要证明的不等式.微分中值定理中用的比较多的是拉格朗日中值定理,而积分中值定理中它的推论用得比较频繁.[3]

b(a)0.24．利用泰勒公式

泰勒定理 若函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数,在a,b内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x,x0a,b，至少存在一点a,b，使得

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!

f(n1)()(xx0)n1.(n1)!泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广,当n=0时,即是拉格朗日中值定理,所以用 泰勒公式证明不等式的步骤类似于利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤,只不过泰勒公式适用于n阶导数的问题.[3]

例6 若f(x)在0,1上二次可微,且f(0)f(1),f(x)1.证明 f(x)证明

设x0,1,由泰勒公式知

1.2 6

1f(1)(0x)2，01x1.① 21 f(1)f(x)f(x)(1x)f(2)(1x)2, 0x21.② f(0)f(x)f(x)(0x) 由①-②得: 1 f(x)[f(1)x2f(2)(1x)2] 所以 f(x)[f(1)x2f(2)(1x)2] [x2(1x)2] [x(1x)]2 .2 得证.在要证明的不等式中含有二阶或二阶以上的导数时一般可利用泰勒公式,特别在以下四种情况下利用泰勒公式证明不等式更为简便:①已知某点的函数值②已知某点的导函数值③已知函数某阶导数的符号④已知函数某阶导数有界.泰勒公式的应用要灵活、巧妙、合理.5．利用Jensen(詹森)不等式

定理5.1 若f为a,b上的凸函数，则对任意xia,b，i0(i1,2,,n), i1,有 f(ixi)if(xi).i1i1i1nnn詹森不等式与函数的凹凸性有关，凹凸函数的性质为构建不等式和证明不等式提供了空间和依据.例7 证明不等式 abc(abc)证明 设f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数f(x)lnx1,f(x)1 可知, xabcabc3,其中a,b,c均为正数.f(x)xlnx在x0时为严格凸函数,依詹森不等式有 f(abc1)(f(a)f(b)f(c))，33 7

abcabc1ln(alnablnbclnc)，333abcalnablnbclnc

(abc)ln3abcabc)aabbcc.即(3abc又因为 3abc

3所以

所以(abc)abc3aabbcc，不等式得证.使用詹森不等式一般要先构造满足条件的函数，即在某区间上是凸函数，接着找到合适的i，使i1.要求有良好的思维能力,善于观察、分析.i1n6．利用定积分的性质

性质1 设f为a,b上的可积函数,若f(x)0, xa,b,则

f(x)dx0.ab 推论 若f与g为a,b上的两个可积函数，且f(x)g(x)，xa,b，则有f(x)dxg(x)dx.aabb性质2 若f在a,b上可积,则f在a,b上也可积,且 baf(x)dxf(x)dx.ab利用定积分的性质证明不等式的过程中,要学会利用微分和积分的互逆,运用积分自身的单调性,把问题的关键放在不等式两边构造的积分形式当中,再运用定积分的性质证明不等式.例8 设f(x)在0,1上连续,且f(x)0.证明 lnf(x)dxlnf(x)dx.0011证明 记Af(x)dx, 01 因为 f(x)0 所以 A0.lnf(x)f(x)f(x)ln[1(1)]1.AAA 两端积分 lnf(x)dxlnAdx0011f(x)dx10.0A10 因为 lnf(x)dxlnAdxlnAlnf(x)dx.0011 所以 lnf(x)dxlnf(x)dx.0011例9 设a0,函数f(x)在0,a上连续可微，证明: f(0)a1af(x)dx0f(x)dx.a0证明 因为f(x)连续，由积分中值定理知，0,a，使得f(x)dxf()a.0a 又因为 f()f(0)f(x)dx，0 所以 f(0)f()f(x)dxf()00f(x)dx

a1a f(x)dxf(x)dx

0a0 a1af(x)dxf(x)dx.得证 00a证明定积分形式不等式常用定积分的性质,有时也与积分中值定理结合.7．利用放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式

放大或缩小被积函数要注意放缩的尺度,根据被积函数的特点以及要证明的不等式进行放缩.当不等式中的被积函数连续时,可以把积分上限或下限作为一个变量,构造一个变上限或下限的积分函数,再证明不等式.例10 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数，且E(g(x))存在，证明：对任意的0，有P(X)证明 记p(x)为X的密度函数,则 P(X)E(g(X)).g()p(x)dxg(x)p(x)dx g()g(x)E(g(X))p(x)dx.得证

g()g()上题是放大或缩小被积函数法在概率论问题中的应用,结合了概率中的有关期望的知识.概率论的发展是建立在微积分的基础之上,微积分的方法和理论渗透到概率

论中的各个方面.微积分是基础,在某些方面概率论和微积分有很大联系.高等数学中的一些方法可以运用到概率论中,反之,概率论中的一些知识也可以很容易解决高等数学中的一些问题.上述总结了高等数学中证明不等式的几种方法,其中函数的单调性及中值定理比较简单,其他几种方法需要认真掌握.有些不等式的证明可以直接套用公式,有些比较复杂,运用的方法灵活多变.不过,利用中值定理与泰勒公式证明不等式的问题比较常见.高等数学中不等式问题有很多,证明不等式的方法也有很多,这里只是简单总结了几种比较常用的方法,而这些方法也只是解决了高等数学中的一部分不等式问题.随着后继课程的出现如在泛函分析、复变函数、常微分方程中也会出现新的不等式问题,那么不等式证明的方法可能会有进一步的更新,这就要求大家平时思维要广阔,善于分析解决问题,培养良好的思维习惯.对于不等式的证明要细心观察,找到最合适的方法并及时总结.参考文献