高中数学重难点分析

高中数学重难点分析（共8篇）

高中数学重难点分析篇1

高中数学重点难点分析：

主干知识七大块

(1)函数与导数(及其应用);(2)不等式(解法、证明及应用，这部分不会单独命题，常以工具形式出现在问题中如求范围，比较大小等);(3)数列(及其应用);(4)三角函数(图象、性质及变换);(5)直线与平面及简单几何体(空间三种角、七种距离(点面、异面直线之间距离为常考)、面积与体积的计算);(6)直线与圆锥曲线;(7)概率与统计(理科中期望与方差及正态分布估计)。

要做到块块清楚，不足之处如何弥补有招法，并能自觉建立起知识之间的有机联系，函数是其中最核心的主干知识。要在老师的引导下，对下列主要专题进行复习与训练，巩固并提高。

第一，函数与不等式是重点。在代数中，以函数为主干，不等式与函数的综合是热点。

(1)函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性等，多以具体函数及图象的几何直观展开，也适度考查抽象函数。

(2)一元二次函数，则是重中之重，函数值域(最值)，以及转化为二次函数的值域，特别是含参变量的二次函数值域的研讨为重点;方法以突出配方法、换元法和基本不等式法为重点，二次函数零点的分布，二次不等式解的讨论，二次曲线交点问题等都与此相关。

(3)对于不等式证明，与函数联系的、与数列综合的是重点，在掌握比较法和基本不等式法的基础上，掌握几种简单的放和缩的技巧是必要的。

第二，数列，以等差、等比两种基本数列为载体考查数列的通项、求和、应用与极限等为重点。应突出“基本量”的思想和转换与化归的方法，对于递推式给出的数列，可用“归纳--猜想--证明”的方法。

第三，三角函数的考查，高考已采取了给出“积和互化公式”的模式，且考题多为中难度，训练中重在“变换”与“求值”，狠抓基本公式的熟练运用：正用、逆用、变用及三角换元时用。

第四，概率与统计，近两年有下降趋势，训练题型、方法、难度等，以达到或略高于教材水准即可，要重视与实际应用问题相结合。

第五，从全国考试大纲看，立体几何应当“两条腿走路”：既能用传统的合情推理，也能用新增的向量法求解!

(1)突出“空间”、“立体”，即把线线、线面、面面位置关系的考查置于某几何体中，棱柱以三棱柱、正方体为重点，棱锥以一条侧棱或一个侧面垂直于底面为重点，棱柱和棱锥的结合体应予以重视。空间直线与平面的位置关系以判断和证明垂直为重点，重视三垂线定理及逆定理的灵活运用，(2)空间角以二面角为重点(理科），熟悉三种找二面角的常用方法。空间距离以点面距、线面距为重点，等面积或等体积法是最常用的。计算面积和体积，则以解答题居多，求法灵活，思路宽广。

第六，解析几何以基本性质、基本运算为目标。客观题照顾面，解答题较综合，突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等，要注重与函数、数列、三角等内容的联系。

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高中数学学习方法

1，培养良好的学习兴趣。

两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？

（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？

（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。

2、建立良好的学习数学习惯。

习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。

3、有意识培养自己的各方面能力。

数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展。

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4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。

学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。

解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。

5、逐步形成 “以我为主”的学习模式。

数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。

记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩

展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再

犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化

或半自动化的熟练程度。

经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课

外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩

固，消灭前学后忘。

学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解

题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

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经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学

思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而

不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

7、认真听好每一节棵。

在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。

概念课

要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。

习题课

要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”，以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。

复习课

在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题(包括基本图形、图像等)，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反

高中数学重难点分析篇2

高中数学的难点从字面上理解就是学生学习过程中理解不透彻、教师教学过程中有难度的内容。如果教师没有有效的教学方法来教导这部分内容, 不但难点部分的内容理解不透彻, 学生在学习其他内容的时候也会有些衔接的障碍。结合自身多年的教学经验, 以及学生对知识点的理解情况和教学目标的完成情况对难点内容作出了一个大致的确定, 在整个高中范畴内, 难点内容为函数的概念、图像以及基本变换;平面向量的确定和应用;椭圆、双曲线概念、图像和规律;立体几何中的二面角和平面角;数学推导公式等部分的内容。造成难点的原因有很多, 从一方面来说, 数学教学过程中会有教学重点, 重点部分内容重点学习, 不过在教学过程中, 对于教学重点的内容教学目标就会要求特别高, 有些学生自己的学习能力和发展状况和教学目标并不相符, 这样就出现了教学难点。从另一方面来说, 同一个知识点对于不同的学生来说理解情况并不相同, 有的学生觉得简单, 有的学生觉得难, 那么在难点的界定上就会出现矛盾。针对这些情况来说, 我们难点的界定就应该的面向大多数学生的现实状况, 符合学生的总体水平。

二、高中数学难点教学案例及分析

1.高中数学必修四第一章三角函数中函数y=Asin (ωx+ψ) 的图像课程

这节的内容主要是对函数y=sinx图像的变换和画法。本节课程之所以为难点课程的原因是出现了A、ω、ψ三个变量, 只要其中一个变量变化, 那么函数整体的图像就会发生变化, 而且和初中学习的y=kx+b的图像不同的是, 这并不是一个直线的变化, 本来y=sinx的图像就很难理解, 和之前学习过的直线图像不同, 所以两者加一起对于该节课的内容理解更加困难。学习本文A、ω、ψ变量的变化和图像的关系时, 需要通过图像振幅、周期和位置的变化与A、ω、ψ的变化联系起来, 通过五点作图法画图不仅画起来困难, 而且对于准确度的要求还特别高, 所以本节课程是具有代表性的难点内容。

教学过程设计函数y=Asin (ωx+ψ) 可以看成一个复合函数, 由f (x) =sinx, g (x) =ωx+ψ组成, g (x) 和一次函数y=kx+b一样, 因此教学过程可以设计成首先对一次函数的变化从k、b上理解ω、ψ的含义, ω是伸缩变换, ψ是平移变换, 然后在用y=sinx变换为函数y=Asin (ωx+ψ) , 最后得出结论。经过本节课程的学习, 函数y=Asin (ωx+ψ) , x∈R (A>0, ω>0) 的图像变换方式为:将y=sinx的图像上的所有点向左 (ψ>0) 或向右 (ψ<0) 移动|ψ|个单位, 然后再把所得图像上各点的纵坐标不变, 横坐标缩短 (ω>0) 或伸长 (0<ω<1) 到原来的1/ω倍, 再把所得的图像横坐标不变, 纵坐标伸长 (A>1) 或缩短 (0<A<1) 到原来的A倍。

原本本节课的内容, 让学生单纯的理解函数y=Asin (ωx+ψ) 的图像变换很困难, 学生没有关于伸缩和平移的基本概念, 在学习的时候不能充分理解, 因此需要运用以前学习过的一次函数的知识, 更好的学习本节课的知识。如果有条件的话, 也可以采用Flash模型进行函数的变换, 也更加直观形象。

2.课程分析和难点原因

对于教学难点内容来说, 学生学习起来并不轻松, 针对这一情况, 就需要分析处理难点难在哪里, 为什么会成为难点, 怎样突破难点, 然后结合学生的实际学习情况加以分析, 找出攻破难点的教学方法。造成数学难点的原因很多, 教学方法也需要随之改变:其一是知识点内容本身就抽象, 例如平面角的二面角和函数y=Asin (ωx+ψ) 的图像变换等难点内容, 知识本身不易理解, 这就需要教师在教学的时候用形象化的语言和方法来教授抽象化的知识, 找出其内在联系, 化抽象为形象。其二是课程知识本身内容内涵不明, 有的知识点之间看似没有联系, 其实就是某些知识点的深入, 如果教师能挑明这些关系, 就能让学生的学习事半功倍, 例如函数y=Asin (ωx+ψ) 图像的变换中, 原本复杂的知识可以转换为正弦函数和一次函数这些已经学习过的知识点, 学习起来更加容易透彻。其三是学生的基础知识并不牢固, 例如在学习平面向量的计算的时候, 之前的内容都有些忘记, 在学习新的知识的时候十分吃力, 这时候教师需要通过回忆之前的知识, 然后找出其内在的联系, 把之前的知识点进行整合, 为之后的学习打好基础。其四是课程知识本身相似性特别大, 例如平面角的二面角和其他的角相比既有联系又有区别, 排列组合的时候分类还是分组都是容易混淆的内容, 因此在学习这部分难点内容的时候需要指出其内在的区别, 真正区分出相似的知识点。

结语:

综上所述, 高中数学教学过程中, 因为有着重点内容的存在和学生自身的理解程度不同, 因此就会出现教学难点, 难点内容尽管本身极难理解, 不过对于后面的学习又很重要, 处于这种尴尬程度的难点内容更需要在教学过程中采取恰当的教学方法来教学, 通过本文的案例分析保证完成教学目标, 提高学生的学习能力, 提高教学质量。

参考文献

[1]韩赛红.浅谈数学课堂教学中的难点问题[J].数学学习与研究 (教研版) .2007 (10) .

[2]徐永香, 宋厚俊.中学数学难点的成因及其教学策略[J].中学数学杂志.2005 (03) .

高中数学难点教学的案例分析篇3

【关键词】高中数学；难点教学；案例分析

一、高中数学难点的界定

高中数学的难点从字面上理解就是学生学习过程中理解不透彻、教师教学过程中有难度的内容。如果教师没有有效的教学方法来教导这部分内容，不但难点部分的内容理解不透彻，学生在学习其他内容的时候也会有些衔接的障碍。结合自身多年的教学经验，以及学生对知识点的理解情况和教学目标的完成情况对难点内容作出了一个大致的确定，在整个高中范畴内，难点内容为函数的概念、图像以及基本变换；平面向量的确定和应用；椭圆、双曲线概念、图像和规律；立体几何中的二面角和平面角；数学推导公式等部分的内容。造成难点的原因有很多，从一方面来说，数学教学过程中会有教学重点，重点部分内容重点学习，不过在教学过程中，对于教学重点的内容教学目标就会要求特别高，有些学生自己的学习能力和发展状况和教学目标并不相符，这样就出现了教学难点。从另一方面来说，同一个知识点对于不同的学生来说理解情况并不相同，有的学生觉得简单，有的学生觉得难，那么在难点的界定上就会出现矛盾。针对这些情况来说，我们难点的界定就应该的面向大多数学生的现实状况，符合学生的总体水平。

二、高中数学难点教学案例及分析

1.高中数学必修四第一章三角函数中函数y=Asin（ωx+ψ）的图像课程

这节的内容主要是对函数y=sinx图像的变换和画法。本节课程之所以为难点课程的原因是出现了A、ω、ψ三个变量，只要其中一个变量变化，那么函数整体的图像就会发生变化，而且和初中学习的y=kx+b的图像不同的是，这并不是一个直线的变化，本来y=sinx的图像就很难理解，和之前学习过的直线图像不同，所以两者加一起对于该节课的内容理解更加困难。学习本文A、ω、ψ变量的变化和图像的关系时，需要通过图像振幅、周期和位置的变化与A、ω、ψ的变化联系起来，通过五点作图法画图不仅画起来困难，而且对于准确度的要求还特别高，所以本节课程是具有代表性的难点内容。

教学过程设计函数y=Asin（ωx+ψ）可以看成一个复合函数，由f（x）=sinx，g（x）=ωx+ψ组成，g（x）和一次函数y=kx+b一样，因此教学过程可以设计成首先对一次函数的变化从k、b上理解ω、ψ的含义，ω是伸缩变换，ψ是平移变换，然后在用y=sinx变换为函数y=Asin（ωx+ψ），最后得出结论。经过本节课程的学习，函数y=Asin（ωx+ψ），x∈R（A>0，ω>0）的图像变换方式为：将y=sinx的图像上的所有点向左（ψ>0）或向右（ψ<0）移动|ψ|个单位，然后再把所得图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短（ω>0）或伸长（0<ω<1）到原来的1/ω倍，再把所得的图像横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0

原本本节课的内容，让学生单纯的理解函数y=Asin（ωx+ψ）的图像变换很困难，学生没有关于伸缩和平移的基本概念，在学习的时候不能充分理解，因此需要运用以前学习过的一次函数的知识，更好的学习本节课的知识。如果有条件的话，也可以采用Flash模型进行函数的变换，也更加直观形象。

2.课程分析和难点原因

对于教学难点内容来说，学生学习起来并不轻松，针对这一情况，就需要分析处理难点难在哪里，为什么会成为难点，怎样突破难点，然后结合学生的实际学习情况加以分析，找出攻破难点的教学方法。造成数学难点的原因很多，教学方法也需要随之改变：其一是知识点内容本身就抽象，例如平面角的二面角和函数y=Asin（ωx+ψ）的图像变换等难点内容，知识本身不易理解，这就需要教师在教学的时候用形象化的语言和方法来教授抽象化的知识，找出其内在联系，化抽象为形象。其二是课程知识本身内容内涵不明，有的知识点之间看似没有联系，其实就是某些知识点的深入，如果教师能挑明这些关系，就能让学生的学习事半功倍，例如函数y=Asin（ωx+ψ）图像的变换中，原本复杂的知识可以转换为正弦函数和一次函数这些已经学习过的知识点，学习起来更加容易透彻。其三是学生的基础知识并不牢固，例如在学习平面向量的计算的时候，之前的内容都有些忘记，在学习新的知识的时候十分吃力，这时候教师需要通过回忆之前的知识，然后找出其内在的联系，把之前的知识点进行整合，为之后的学习打好基础。其四是课程知识本身相似性特别大，例如平面角的二面角和其他的角相比既有联系又有区别，排列组合的时候分类还是分组都是容易混淆的内容，因此在学习这部分难点内容的时候需要指出其内在的区别，真正区分出相似的知识点。

结语：

综上所述，高中数学教学过程中，因为有着重点内容的存在和学生自身的理解程度不同，因此就会出现教学难点，难点内容尽管本身极难理解，不过对于后面的学习又很重要，处于这种尴尬程度的难点内容更需要在教学过程中采取恰当的教学方法来教学，通过本文的案例分析保证完成教学目标，提高学生的学习能力，提高教学质量。

【参考文献】

[1]韩赛红.浅谈数学课堂教学中的难点问题[J].数学学习与研究（教研版）.2007（10）.

[2]徐永香，宋厚俊.中学数学难点的成因及其教学策略[J].中学数学杂志.2005（03）.

[3]孙国富.中学数学的难点成因分析及其教学策略[J].中学数学.2003（04）.

（作者单位：江苏省苏州市第六中学）

高中数学重难点分析篇4

http://＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

ancnacn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用数学归纳法证明：

a2c2ac2()①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22akckack(), ②设n=k时成立，即

22ak1ck11(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)则当n=k+1时，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44ackacack+1＞()·()=()

2221［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.1错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.2k

3222

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http:// 技巧与方法：求通项可证明{通项公式.111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得SnS1211成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)1 2同理可得：a4=－,由此可推出：an= 2(n1)35(2n3)(2n1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.2②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k3)(2k1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k3)(2k1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk2k12k311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak1ak11122aaak1k1k122k12k12(2k1)

2ak1,即nk1命题也成立.[2(k1)3][2(k1)1]1(n1)由①②知，an=对一切n∈N成立.2(n2)(2n3)(2n1)(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1,∴S=limSn=0.n2n1●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.京翰教育http:///

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http:// ●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（）A.30

B.26

C.36

D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

二、填空题

1311511173.(★★★★★)观察下列式子：1,122,1222…则可归

223423234纳出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：

3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想

an3211113.n1n22n247.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试bn比较Sn与1logabn+1的大小，并证明你的结论.38.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求q的取值范围.n

参考答案

难点磁场

14(abc)6a31b11 解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有22(4a2bc)2c10709a3bc于是，对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n1)(3n211n10)12记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

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k(k1)(3k2+11k+10)12k(k1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)12(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12设n=k时上式成立，即Sk=也就是说，等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C

二、3.解析：1131211即1

11222(11)2111511221,即1

2122323(11)2(21)21112n1(n∈N*)222n123(n1)归纳为1答案:11112n1*(n∈N)222n123(n1)13a1233同理,4.解析:a2a1317253 23a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n5333333 答案:、、、78910n

5三、5.证明：(1)当n=1时，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

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http://(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.11713 2122122411113(2)假设当n=k时成立，即 k1k22k241111111则当nk1时,k2k32k2k12k2k1k1131111311 242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)246.证明：(1)当n=2时，b11b117.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2 10(101)d310bd14512(2)证明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n2111而logabn+1=loga33n1,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…3341(1+)与33n1的大小.3n2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38343311 取n=2，有(1+1)(1+)38373321 推测：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n1(*)43n2①当n=1时，已验证(*)式成立.11)…(1+)＞33k1 43k21111)(1)33k1(1)则当n=k+1时，(11)(1)(143k23(k1)23k1②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+3k233k1

3k1京翰教育http:///

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http:// (3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40

(3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k433(k1)13k1111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立

43k23k1由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞

11logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1,即an+2=q·an an2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 两式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

q(n=1,2,3,…)22qk1 n2k1时(kN)综合①②，猜想通项公式为an=1k

q n2k时(kN)2下证：(1)当n=1,2时猜想成立

－(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=－所以a2k+2=－1k

q,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.2qk1 当n2k1时(kN)这样所求通项公式为an=1k

当n2k时(kN)q 2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)22(1qn)1q(1qn)1qn4q()()

1q2(1q)1q2京翰教育http:///

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1qn4q)()由于|q|＜1,∴limq0,故limS2n=(nn1q2n依题意知

4q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

初中数学中考知识重难点分析篇5

1、上课以及课前课后

同学们平时的学习时间是在课上，但是大家要树立一个意识：课前课后也很重要。利用好这些时间，在配合适当的学习方法，学好数学其实并不难。

课前：课前预习很重要，一方面可以先了解上课知识，课上能跟上老师思路，另一方面标记出自己不会的知识点，课上可以根据自己的情况侧重去听。

课上：课上45分钟，大多数同学都很难保证整节课集中精神，这就要求我们课前一定要预习，找到自己不会的知识点，课上尽量理解吸收。还是希望大家课上尽量集中精神，跟随老师的进度了解重点与难点，有利于复习。

课后：课后的时间一般用来复习，大家可以把自己没有掌握的知识点复习一下，也可以对本节所学知识进行检测与巩固。如果课后复习还存在不理解的地方，大家一定要找老师和同学去问清楚。

有了课前课上课后三个阶段，相信大家数学基础基本差不多了，也希望大家继续保持这个习惯。

2、提高作业效率

很多同学都跟学大君反映家庭作业太多，很多家长也觉得自己孩子压力很大。孩子作业都没时间完成，复习什么的更无从谈起，导致学习成绩不佳。但是家长和同学们有没有想一想，每个人的课后时间都是一样多的，为什么其他同学都可以完成，甚至还有很多学生利用课余时间报兴趣班呢?

有可能是我们的效率不够高。我可以问大家几个问题，大家做作业的同时有没有集中精力?有没有玩手机或者吃零食?是不是中间还会休息一下，经常走神?如果有这些情况，同学们还觉得是作业多吗?是不是自己效率不够高呢?

可能是同学们没有进行上边三步，导致自己做作业效率不高，最后怪罪到作业多上来。

其实这是一种非常不好的学习习惯，导致做作业效率不高，那么我们应该怎么提高做作业的效率呢?

几个建议大家可以参考一下：

1端正态度

估计同学们都被老师说过：想要学习好，首先要摆出一个学习的态度来。这句话没有错，对待作业，首先思想上要重视起来，养成一个良好的习惯。但是坚持一个好习惯是非常困难的，过程中很多同学容易产生放弃的念头，还会产生负面情绪，但是大家要知道，一个好习惯是受益终生的，养成好习惯，问题越来越少，成绩自然提高。

2集中精力

不要在写作业的时候干其他的事或想其他事，一心不能二用。尽快地反作业做完了才能够去做别的事情。

3学会总结

如果在看到题目后能很快反映出这题目所需要的知识点，那么做题速度就会提高，在做题之后也要总结一下思路。多总结一下会发现很多题目都有规律可循，这样可以起到事半功倍的效果，以后再碰到类似问题时，就可以很轻松了。

4营造一个良好的学习环境

孩子写作业时尽量保持安静，书桌上除了放书、学习用品等之外，不要放其他的东西，以免分散他们的注意力。家长也不要过度的唠叨和训斥，要多鼓励孩子。

3、适当练习大家都知道学习数学最重要的是练习，平时多做一些基础题可以锻炼解题熟练度，多做一些中档题可以熟悉考试题型，过于困难的题目不建议大家多做，可以尝试解决了解难度，掌握做题技巧，训练不要盲目，不要钻牛角尖。做题要学会总结，总结哪些题目经常出现，这可能是中考常考题型。有的同学每天都在做题，辅导书用掉一堆却没有提高，这就是盲目做题没有技巧，没有总结。

同学们在做题时多关注一下解题思路、方法、技巧等，掌握做题思路，总结做题技巧，这对考试来说至关重要考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。

4、计算能力计算一直是数学的一个核心内容，几乎每一个数学问题都需要通过计算。那么，计算的准确率就显得尤为重要了。想要提高数学成绩，计算的准确率是一定要提高的。那么如何提高计算的准确率呢?这里我也同样给出了几条建议。

1强化学生的有意注意和良好的计算习惯

(1)仔细审题的习惯。拿到题目后认真审题，看清题目的要求，想明白过程中应该注意哪些问题。

(2)细心检查的习惯。先从思路上检查一遍看是否有遗漏，再将答案代回原来的问题验算。若为计算题则仔细检查每一个步骤。

(3)认真书写的习惯。书写要干净整洁，这样能使自己在做题时看清题目，避免

错误的发生。

2强化口算能力

任何计算都是以口算为基础的，口算能力的高低，直接影响到学生其它运算能力的提高。要提高口算能力，首先要抓好口算的基本训练，所以应当经常性的进行一些口算的练习。

3速算巧算

平时在做计算的时候要注意运算技巧地运用，加快运算速度，特别是在分数计算的部分，有时候数字比较大比较多，通分将会很困难，这时可能把分母写成乘积的形式将是一种更好的选择。

4强化估算能力

很多的问题，特别是应用题，当看到问题后就能够大概地去估计一下结果大概会是一个什么范围的数，有了这种估计能力之后，有时候发生计算错误就能够一下子看出来。所以在做题之前我们也可以估计一下答案的范围，如果算得的答案不在这个范围，那就需要我们去检查了。

5合理利用一些数的性质

比如说奇数乘以偶数一定是一个偶数，各位数字和是3的倍数的数一定能被3整除等等性质，都可以帮助我们对运算是否准确做一些辅助的判断。

说了这么多,总结起来其实也很简单,只要坚持一个好的学习习惯,做好复习练习,那么数学学习就能够事半功倍，学好数学自然也就不在话下。

5、建立错题本俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，学大君建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，更重要的是还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考或者在平时考试当中是“分分必争”，一分也失不得。这样复习时，这个错题本也就成了宝贵的复习资料。

初中数学中考知识重难点分析

1.函数(一次函数、反比例函数、二次函数)中考占总分的15%左右。

特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。

而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。

如果在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。

2.整式、分式、二次根式的化简运算

整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。

中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。

3.应用题，中考中占总分的30%左右

包括方程(组)应用，一元一次不等式(组)应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。

一般会出现二至三道解答题(30分左右)及2—3道选择、填空题(10分—15分)，占中考总分的30%左右。

现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。

4.三角形(全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形)、四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)，中考中占总分25%左右。

三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点。

只有学好了三角形，后面的四边形乃至圆的证明就容易理解掌握了，反之，后面的一切几何证明更将无从下手，没有清晰的思路。

其中解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。因此在初中数学学习中也是一个重点。

四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，深刻理解这些性质和判定、理清它们之间的联系是解决证明和计算的基础，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题(最后一题)中出现，对学生综合运用知识的能力要求较高。

5.圆，中考中占总分的10%左右

包括圆的基本性质，点、直线与圆位置关系，圆心角与圆周角，切线的性质和判定，扇形弧长及面积，这章节知识是在初三学习的。

高中生物教学中若干难点分析论文篇6

摘要：本文根据“行为主义”、“认知主义”、“人本主义”、“建构主义”四种学习理论提出将教学难点分为心理抵触型、认知偏差型、逻辑推导型和建构缺失型四种类型，通过对黄梅一中的部分学生进行访谈调查，对人教版高中生物教材必修3《稳态与环境》中的知识点进行了难易级别的判别，对难度值排序在前10位的知识点进行了难点成因的分类，针对不同类型难点提出了有效突破教学难点的策略。

关键词：生物教学;难点分析;心理抵触;认知偏差;逻辑推导;构建缺失

在高中生物教学实践中，教与学都存在着一些不易达到目标的难点。对教学难点及其形成原因进行深入解析，寻找有效的突破对策，是激发学生学习兴趣，增强学生学习信心，提高学习效率和保证教学质量的重要途径。有关教学难点的解析与突破对策，很多教师和研究者都进行过探讨，但从理论上系统分析教学难点的成因，并根据不同的成因进行突破对策的选择，仍然是教学研究中的薄弱环节。本文在学习理论发展中提出的“行为主义”、“认知主义”、“人本主义”、“建构主义”的框架下，对人教版高中生物教材必修3《稳态与环境》中的教学难点进行了梳理和分类，同时通过对黄梅一中的部分学生进行访谈调查，对相关难点问题的难度、成因进行了分析，提出了相应的突破对策。

1基于学习理论的难点成因分析

在行为主义者看来，学习就是通过提供特定的刺激，引起特定的行为反应，再对反应给予及时反馈，从而建立有效的刺激—反应联接[1]。认知主义学习理论则认为，学习不仅仅是刺激与反应，还有一个内在的加工机制。学习就是已有的认知结构和新的知识混合重组成为新的认知结构的过程[2]。人本主义者认为，人皆有天赋的学习潜力，只需设置一个良好的学习环境，他们就会学到所需要的一切;学生只有主动、自发全身心地学习才会产生良好的效果[3];建构主义则更加强调知识的主观性一面。在建构主义者看来，学习是根据自己的信念和价值观对客体或事件进行解释的过程，是一种主动的建构意义的过程[4]。上述四种学习理论实际上分别解释了学习过程中不同阶段的特点：行为主义理论主要解释了发生在刺激-反应阶段的学习特点;认知结构理论则反映了信息被内在加工阶段的特点;人本主义者强调了在学习过程中人的主观能动性的作用;建构主义者则进一步深化了对人的主动建构作用的认识。在现有的难点分析研究中，较多的是从教师主观条件和教学客观条件中寻找成因[5-9]，存在着对知识自身特质重视不够的问题。如果我们将四种学习理论看成是学习过程的四个阶段的理论，那么根据上述学习理论，我们提出对生物学教学过程中的难点可以归纳为四种：发生在刺激-反应阶段的难解之处，可称为心理抵触型难点;发生在认知阶段的难解之处，可称为认知偏差型难点;发生在主观思维阶段的难解之处，可称为逻辑推导型难点;发生在建构知识学习阶段的难解之处，可称为建构缺失型难点。所谓心理抵触型难点，是指学生在初次接触新概念、新原理、新方法时，由于知识背景、思维定势的局限所产生的，对新刺激的反应不到位，形成心理抵触。生物现象，本来是多姿多彩、具体形象、可观可触的，但生物学概念、原理、方法，一般都是比较抽象的，初次接触这些概念、原理、方法，难免出现心理抵触。所谓认知偏斜型难点，是因为生物学中普遍存在综合性、层次性、复杂性特点，有时还有明显的地域性特点，学生在理解生物学概念、原理和方法时，难免出现不全、不准、不精的现象，容易产生认知偏差。所谓逻辑推导型难点，是因为生物学原理，既有描述性的原理，也有基于数学、物理、化学、天文、地理知识的推理性原理，需要学生能够进行合理推测、推理。这些推理，有些是严格的逻辑推理，有时需要的是定性的推论，也有些知识需要具备一定的形象思维能力去进行想象。逻辑思维与形象思维能力的训练不足，就容易形成学习障碍。所谓建构缺失型难点，是因为生物学现象从宏观到微观，从外部形态到代谢过程，能感知却又不能全部感知，有逻辑却又不是纯逻辑，知识体系的建构既要有丰富的感性认识，也要有合理地逻辑推理，既要有细致入微的观察能力，又要有清晰的归纳总结能力，才能建构起属于学习者自己的知识体系。这样形成的学习难点，我们称之为建构缺失型难点。以上对难点成因的分类，是基于知识点自身的特质，根据学习过程不同阶段而提出的分类体系。在一定程度上，它是难点之所以成为难点的本质性原因。按照这样的分类体系对难点进行归类，有助于形成具有一定创新意义的难点突破理论。

2人教版必修3《稳态与环境》中的难点分析

2.1知识点难易程度的调查分析

《稳态与环境》主要介绍了生态学的的基本内容，涉及到细胞、个体、种群、群落、生态系统等生物的各个层次。对教材涉及的知识点进行归纳，划分出52个知识点。将这52个知识点罗列在调查问卷中，并在这些知识点后附上一般、较难、很难三个难度级别，并分别赋予三个分值(分值分别为0.3、0.6、1)，要求被调查者对每个知识点相应的难度做出选择，用分值乘以选项人数，再用参加总人数平均，得到用(0，1)区间的分值表示的52个知识点的难易程度判别结果。问卷调查于2014年10月在黄梅一中进行。选择已经学过本书内容的高二年级和高三年级的理科班学生发放问卷，高二年级共发放问卷150份，回收有效问卷113份，有效率75.3%;高三年级共发放问卷150份，回收有效问卷108份，有效率72%。从总体情况看，学生对本书内容难度的判别，难度值的区间位于“一般”到“较难”之间，表明了大多数学生不认为这些知识点“很难”。按照知识点难度值排序，我们列出了平均难度值排在前10位的知识点(表1)。就本书六章的内容而言，学生们给出了最难的内容是第二章“动物与人体生命活动的.调节”。就本文归纳出的知识点而言，有关生态系统能量流动过程的知识是最难的。

2.2难点成因分析

如表1所示，“生态系统能量流动的过程”排在难度值第一位。是什么原因?按照学习过程四阶段理论来分析这一知识点的特征。人类自身就生活在特定的生态系统中，因此，高中阶段的学生对生态系统的指向都有各自的体验，加上大众媒体不时出现类似“生态”、“系统”之类的词汇，所以，理解生态系统的概念基本不存在刺激-反应阶段的障碍。但生态系统的含义未必能够被学生完整、准确认知，所以，会有部分学生出现认知不够的现象。了解生态系统能量流动首先要知道生态系统的概念，即生物群落和无机环境构成的整体。从而推导出研究生态系统能量流动的过程要从食物链入手，在这个过程中，知识从大概念到具体知识，知识迁移的跨度大，学生的思维容易打结，产生推导障碍。“生态系统能量流动的过程”中涉及到生态系统的概念和生态系统的构成，新陈代谢中能量的变化即“光合作用”和“呼吸作用”。如何将这些知识点建构成一个体系，对于学生的综合能力是一个极大的挑战。“免疫系统的功能和原理”是排在第二的难点知识，在初中学生已经初步学习了该内容，而且在变异传染病的新闻时不时传出的今天，如何提高自己的免疫力的讨论充斥着学生的耳朵。家长对学生健康的关心，让学生对免疫系统的功能不存在刺激-反应阶段的障碍。但免疫系统原理具体是怎样的，不能被学生完整、准确的感知，所以学生会出现认知不够的情况。了解免疫系统的功能，需要对免疫系统的组成出发，即结构到功能，这是简单的逻辑，因此不存在推导困难。免疫系统是由免疫器官，免疫细胞，免疫活性物质组成。每个组成有各自的作用，形成了三道防线。因此免疫系统原理的建构对于高中生有难度。据此，将平均难度值排在前10位的知识点的难点进行了归类(表2)。从表2可知，难点产生的主要原因是认知偏差，即对概念、原理的理解不全面、不准确，最容易成为难点，其次是建构缺失，即难点容易出现在建构知识体系的环节上。

3教学难点的突破对策

如何引导学生突破难点，是教学成败的关键，根据难点分类提出以下对策：首先，心理抵触型难点产生是因为纯理论的知识，学生对学习内容没有兴趣或与旧知识抵触，难以产生共鸣，那么激发和培养学生的学习兴趣是解决问题的关键。如何来激发学生的学习兴趣?最普遍的和最有效的方法是引发学生的好奇心理，让学生对知识产生渴望，如风趣的语言，生活中鲜活的实例等。还有增强学生的成就感，让学生通过学习获得自信心和自强感。克服这个难点上主要设法消除学生心中的抵触情绪，需要增加教学的趣味性和鲜活性。其次，认知偏差型难点产生是因为对知识把握的不准确、不全面，给人一种雾里看花的感觉。解决这种难点的关键在于将抽象化的知识通过实物模型或多媒体虚拟动画直观的呈现出来让学生有直接的认识。直观化、具体化的知识，学生才能对其有全面的把握。所以需要增加教学的直观性。再次，逻辑推导型难点产生是因为在推导的时候要有严密的逻辑性，在推导的过程中，学生有一个步骤不清楚，不明白，就会对结论产生疑问，形成困扰。推导在于层层递进，循序渐进，一步一个脚印，不存在跃进。解决这种问题在于慢、在于细，一个步骤一个步骤的引导学生，反复的对每一步与学生互动，让学生知道“我为什么从那出发，为什么这样做，要考虑什么因素”，使学生对结论知识“恍然大悟”，同时学生也接受了学科思维的锻炼。所以需要加强课堂或课后的推导演练。最后，建构缺失型难点产生是因为知识量而复杂在或是一个动态的过程。一般其含有较多的前置知识，对学生的要求较高。学生对此准备不足，无法有效的建构。形象的来说，建构缺失型难点就是要搭积木，搭积木要有足够的积木，每一块积木放什么位置要清清楚楚。解决这种问题在于全面，准备充足了，才能建构出想要的结果。所以需要做好铺垫，强化教学过程的综合性和全局性。

参考文献：

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[2]陈琦，刘儒德.教育心理学[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]刘晋红.人本主义学习理论述评[J].黑龙江生态工程职业学院学报，2009，(05)：109-111.

[4]温彭年，贾国英.建构主义理论与教学改革———建构主义学习理论综述[J].教育理论与实践，2002，(05)：17-22.

[5]陶琪艳.论人教版高中生物教学重难点的突破[J].理科考试研究，2013，(15)：79-81.

[6]胡国赋.高中生物学教学难点的形成及化解[J].生物学教学，2006，(06)：28-29.

[7]李泽娜，李德红.“遗传信息的携带者———核酸”教学重点与难点突破策略与实践[J].中学生物学，2011，(11)：31-33.

[8]易逢春.新课程背景下高中生物教学难点突破初探[J].中学教学参考，2009，(32)：103-104.

从解题错例中分析高中数学的难点篇7

例1已知mx2+ x + 1 = 0有且只有一根在区间( 0,1) 内,求m的取值范围.

解: 可以设f( x) = mx2+ x + 1

因为mx2+ x + 1 = 0有且只有一个根在区间( 0,1) 内,

所以f( 0) ·f( 1) < 0; 可以得出m < - 2.

上面关于m的取值范围是错误的解题过程. 虽然求出了m的范围,但不一定解题过程都是正确的. 下面才是关于它的正确解法.

正解: 同样地,设f( x) = mx2+ x + 1,此时,关于求m的取值范围应该有两种情况,即m = 0以及m≠0.

( 1) 当m = 0时,该方程的根为 - 1. 此种情况m的取值并不满足条件.

( 2) 当m≠0时,mx2+ x + 1 = 0有且只有一个根在区间( 0,1) 内,且f( 0) = 1 > 0,便可以得出有两种可能的情况出现:

1f( 1) < 0时,可以得出m < - 2或者2f( 1) = 0且0 <-1/(2m)< 1.

便可以得出m不存在.

因此,根据上面可以知道m < - 2.

下面是这道题错误解法的原因.

在一般情况下f( x) ,如果出现f( a) ·f( b) < 0,便可以得出函数y = f( x) 在区间( a,b) 上至少会有一个零点存在. 但是这个存在的零点并不是唯一的. 对于二次函数f( x) ,如果f( a) ·f( b) < 0,则在区间( a,b) 上存在唯一的零点,一次函数有着同样的结论.

但是,方程f( x) = 0在区间( a,b) 上有且只有一个根的时候,会有两种情况出现: f( a) ·f( b) < 0或者f( a) ·f( b) ≤0. 如果相关的二次函数图象是下边这种情况的时候,由图可以知道f( x) = 0在区间( a,b) 上有且只有一个根. 但是,此时f( a) . f( b) ≤0,如图1是它的相关图形.

同时,为了更好地对这道错题解的知识难点进行分析,下面列举一道同样知识点的例题.

例2是否存在这样的实数k,使得关于x的方程x2+ ( 2k 3) x - ( 3k - 1) = 0有两个实数根,且两个根都在0与2之间? 如果有,试确定k的取值范围; 如果没有,说明理由.

解: 设f( x) = x2+ ( 2k - 3) x - ( 3k - 1) ,根据条件得出:

得出此不等式无解,也就是说不存在满足条件的k值. 这是同样知识点考察的错误解法.

正确解法: 同样设f( x) = x2+ ( 2k - 3) x - ( 3k - 1) ,根据相关条件可以得出:

根据它,便可以进一步得出:

最终得出此不等式无解,即不存在满足条件的k值.

对于这道同样是关于方程和函数知识结合的例题,虽然正确与错误解法的结果都一样,但它们的解题思路只有一个是正确的. 这道题的错误分析如下. 方程的两个根都在( 0,2) 之间,根据此题错误解法的相关图象,便可以很清楚地知道在满足上述条件以外,还需要考虑相应的二次函数的对称轴在区间( 0,2) 内. 很明显,这道同类似的数学题,出错的原因就在于忽视了对称轴的考虑,进而,造成丢解的现象发生. 即使在巧合的情况下,错误解法也得出正确的结果,但它并不是正确的.

从这两道函数与方程知识点相结合的例题中,可以很清楚地知道它们是对零点存在定理以及函数的零点和方程根之间的相关联系. 由它所引发出的同类型知识点考查的解题,错误的原因在于对二次函数对称轴的考虑. 但它同样是关于“存在”和“唯一”两个知识点概念的混淆.

高中数学重难点分析篇8

关键词：高中数学；难点概念；调查研究

高中数学概念是思维的基础形式，数学理念是数学思维的主要核心和起点，在可以掌控概念以及原理为核心目标的高中数学学习中，数学概念是我们学生时代开始认知训练以及提升的基础，它对我们的大脑思维逻辑能力和空间想象能力等均起到较好的训练作用，同时，上述两方面能力的提升均需要清晰的掌握和运用数学概念为主要前提。进入高中之后，数学学习的重要性不断上升，对我们自身提出较高的要求[1]。

一、高中数学难点概念

对高中数学进行学习我们都有相同的体会，在对高中数学几百个概念进行学习时，有些重要的数学概念，在学习时很多都是感到难以理解或是思维逻辑打不开，因为，高中数学概念成为我们学习中的困难点之处。同时老师在对这些概念的进行教学时也难以把握、难以突破，同时也成为我们在数学概念学习中的困难点，这样的一些概念我们在课堂中都称之为难点概念。高中数学中有哪些概念称之为难点，不同的学生会给出不同的答案，并且在教师的心目中难点概念与我们学生心目中的难点概念也不相同，比较遗憾的是，直到至今仍然不清楚高中数学中哪些概念被教师和学生称之为难点，而这正是我们进行调查研究的动力。因此，我们在开展高中数学十大难点概念作为研究，试图找到一致认为的高中数学难点概念。

二、分析调查对象

为了确保调查工作能够全面的进行，准确的体现出高中数学中的十大难点概念，我们对某地区的高中数学教材中所含的概念进行全面的整理，其中整理的范围包含了必修和拓展内容一共6册教材。调查对象需要填写高中数学十大难点概念问卷调查表，主要包含的内容为：（1）个人信息；（2）调查表列出的60个难点概念选出10个最难的难点概念；（3）简单说明所选的10个难点概念的理由。

三、调查研究高中数学十大难点概念分析

（1）反函数概念

该数学概念文字表达叙述太长，并且涉及到符号比较多，其抽象度较高，我们在学习过程之中对其反函数概念理解本来就不够透彻，经过逆向后，‘任意、‘唯一的对象以及相关定义领域则全部颠倒。由于反函数的部分学习时间比较少，对反函数的单调性以及图形性质等都未能得到进一步的学习，难以形成理解。

（2）球面体距离概念

由于我们目前自身大脑思维并没有曲面上距离的概念，对球面体距离的概念更是感到十分的陌生，从平面距离到球面体距离的思维跨度抽象度较高。经过立体几何数学删减后，我们的思想空间逐渐下降，球面距离的图形也难以画出，找不到基本的图像关联。经过数学教材指出，连接球面上的两点路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，但是未能通过物体表明，而且老师在教学当中也难以叙述的更加明确，只能依靠我们自身的记忆。还有一方面是因为部分学生的地理科目交叉，很少有经纬度的概念。

（3）曲线的方程概念

由于文字表达的较长，读起来像绕口令，在方程一方程的结一点的坐标一曲线的关系链中，方程的解与点的坐标是一一对应，但是方程与曲线又不是一一对应，该概念的理解程度较高。有些符号是则是我们对于数学的学习生涯之中第一次见，其含义并不是很明确，概念是从纯粹性和准确性的两个方面进行描述，但是后期的在求曲线的方程后，数学教材中标注不要求给证明，从而导致我们较多的同学在对此进行学习时都会以为这个数学概念纯属多余。

（4）数列表的极限概念

文字表达太长，符号以及抽象理解都让我们感到陌生，在生活中极限概念与数学中的极限概念是完全不相同，对我们的学习极限概念形成很多的困扰，从而导致我们很难分清其中的区别。极限思想的形成大多都需要一个过程，但由于部分数学课程时间较少，影响了我们的思维[2]。

（5）函数概念

一次性给出了函数、自变量、定义域、函数值等一些概念，使得我们在对数学学习时感到无从理解，对每个难点概念的符号理解都不能到位，对分段函数以及相关图像表示并不熟悉。

（6）数学归纳概念

思维比较新颖，作为学生我们尚未没有做好相关的心理准备，采用有限的步骤验证对无限个自然数都成立，让我们较难接受以及理解。而且还有部分同学无法从归纳法的原理真正了解到方法，不会使用数学归纳法进行证明。

（7）二面角概念

我们缺少思想空间，作不出二面角，部分同学将两个半平面误认为两个平面，无法理解二面角的大小为什么要用其平面角的大小衡量。

（8）反正弦函数概念

我们对之前的反函数概念就并不够完全理解，对反正弦函数概念更加陌生，在同学的学习惯性里认为，反函数是实数之间的对应关系，而反正函数是实数与对角的对应关系，很多同学想不到这么透彻[3]。

（9）参数方程概念

我们对于如何取参缺少思考方法，参变量的作用、地位以及意义有时看不清。与以往普通的方程互化时的等价性问题是个难点。