平方差公式反思

平方差公式反思（共13篇）

平方差公式反思 篇1

上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入;②形成;③明确表述;④辨析;⑤巩固应用;⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。

我的教学流程是按照“引入――猜想――证明――辨析――应用――归纳――检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。

当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上;在处理学生练习时，为了抓紧时间完

成进度没有把学生的出错点讲透讲细;游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来;当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。

平方差公式反思 篇2

一、创设情境, 让学生主动发现、探究新知

片段1在本节课开头, 教师首先用多媒体展示了一个“帮帮国王”的小故事来创设问题情境:国王要对两个有功的农夫奖赏, 原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他, 第二个农夫说:“我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了.”国王想不通, 问:“你们俩的要求不是一样的吗?”师:同学们, 你觉得两个农夫的要求是一样的吗?哪个农夫要的土地大?生:思考.师:这是一个什么样的数学问题呢?生1:第一个农夫要的土地是a2+b2, 第二个农夫要的土地是 (a+b) 2, 两者不同.师:a2+b2和 (a+b) 2为什么不同呢?生1:用特殊值代进代数式计算可知不同, 如设a=1, b=2, 则a2+b2=5, 而 (a+b) 2=9, 所以a2+b2≠ (a+b) 2.

生2:根据乘方的意义 (a+b) 2= (a+b) (a+b) =a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2, 所以a2+b2≠ (a+b) 2.

生3:画出图形, 显然a2+b2≠ (a+b) 2.

反思兴趣是最好的老师.建构主义理论认为, 学生在学习数学的过程中, 大脑并不是被动地学习和记录输入的信息, 而是主动地对输入的信息进行加工、整理、储存和提取因此, 在数学教学中, 首先应强调的是学生的主动参与, 必须让学生自己动脑、动手、亲自经历这个过程, 才能完成认知的建构.本节课一开始, 教师将抽象、枯燥的数学融入有趣的故事中, 用多媒体展示出来, 情境的引入就能牢牢地吸引学生的注意力, 使其集中精力、全神贯注地投入到学习过程中来, 启发学生从生活情境中抽象出数学问题, 点燃学生积极思维的火花, 使学生情不自禁地展开交流与探究.

二、组织引导, 让学生积极参与、体验过程

片段2通过开头对问题情境的探讨, 学生已经发现完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2的验证过程, 第一种方法是把 (a+b) 2转化成多项式的乘法, 计算即可得完全平方公式;第二种方法把图形分割可知验证公式成立.

师:通过刚才的学习, 你知道如何计算 (a-b) 2吗?

生1: (a-b) 2= (a-b) (a-b) =a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2

生2: (a-b) 2=[a+ (-b) ]2=a2+2a (-b) + (-b) 2=a2-2ab+b2

师:类比 (a+b) 2=a2+2ab+b2, 你能用图形解释 (a-b) 2=a2-2ab+b2吗?

生:思考, 并动手实践, 小组交流展示.

……

师:同学们回答得非常好, 能把未知的知识向已知的知识进行转化.下面我们总结一下刚才得到的两个公式 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2我们把它们称为完全平方公式.

……

片段3在得到完全平方公式并把公式进行应用后, 教师进一步引导学生利用已经学过的内容计算探索新的公式, 体会转化和整体思想, 并鼓励学生采用拼图或画图的方法探求公式的几何解释.

师:你会计算 (a+b+c) 2吗?

生3:画出图形即得计算结果.

反思体验是构建知识的桥梁.体验就是强调学生的参与性和实践性, 让学生参与教学全过程, 通过自身的实践活动构建属于自己的知识结构.学生可通过动手做、动眼看、动脑想、动口说, 全身心的参与到教学实践活动中.数学学习是学生主动的活动过程, 学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解, 就应让学生主动探索, 体验知识发生的过程, 这既是为了让学生了解知识的来龙去脉, 又是为了让学生在知识发生的过程中学会思考、创新的方法, 培养数学思维能力, 使他们在学习中学会探究, 探究中得到体验, 体验中得到个体的发展.例如:在推导差的平方公式时, 教师只要扮演组织引导的角色, 把主动权交给学生, 让他们去思考如何解决新的问题, 使学生不仅运用了新的知识, 又加深了对知识的理解, 还发展了学生的类比、转化、数形结合等数学思想.通过学生积极有效参与数学活动, 主动探索, 体验了知识产生的过程, 学生的动手能力、观察能力以及归纳总结能力从中得到了培养.

三、指导点拨, 让学生应用知识、解决问题

片段4在公式运用, 课堂练习环节, 教师让几名学生板演.

计算: (1) (5+3p) 2; (2) (2x-7y) 2; (3) (-2a-5) 2.

操作:让全班学生动手计算, 并板演, 然后请学生点评, 纠正错误并归纳注意点.教师观察一部分学生的计算过程发现以下错误: (1) (3p) 2和 (7y) 2等有的未加括号, 有的未化简; (2) 对于第 (3) 的计算有多种方法, 教师一一作演示.

师:以上解法, 你最喜欢哪一种?

生:第三种!

师: (-2a-5) 2=[- (2a+5) 2]= (2a+5) 2=4a2+20a+25, 从这个解题过程可知: (-2a-5) 2= (2a+5) 2, 请同学们观察一下, -2a-5与2a+5是什么关系?你发现什么规律?

生4:-2a-5与2a+5是互为相反数的关系.

生5:如果两个代数式互为相反数, 那么它们的平方的结果相等.

师:计算 (-2a+5) 2, 然后向大家介绍你的做法.

生6: (-2a+5) 2=[- (2a-5) ]2= (2a-5) 2=4a2-20a+25.

(-2a+5) 2= (5-2a) 2=25-20a+4a2.

师:你们认为哪种做法简单?为什么?

师:总结一下, 按照符号分类, 利用完全平方公式计算的题目有哪几种?你分别怎么解决?

生:小组交流, 各抒己见.

反思在课堂教学中, 教师要根据教学进程和学生反应进行有效的指导与点拨, 教师的点拨适时、必要、有效.如在学生应用完全平方公式计算的过程中, 教师要及时观察学生的各种反应, 分析他们的思维状态和概念水平, 捕捉各种思维现象, 及时纠正学生思路和方法上的错误, 并分析原因, 有针对性地指导学生进行讨论和探究.在完全平方公式的应用中, 要放手让学生操作、比较、争论、分析归纳, 课堂上百家争鸣、百花齐放, 使不同层次的学生都得到了不同的发展.

教师是主导, 学生才是学习的主体, 教师的“导”只有通过学生积极主动地学习才能发挥其应有的作用.教师在课堂教学过程中, 要尽可能地留给学生思考问题的空间, 增加学生独立活动的机会, 对一些问题尽可能地让学生讨论、发表他们的见解, 学生能经过思考回答的问题一定让学生经过思考后回答, 鼓励学生自己提出问题并解决问题, 把学生的学习活动置于教师的启发引导下.由于学生之间存在个体差异, 教学中必然出现各层次学生参与程度、学习效果、所遇困难等不同的现象.因此, 教师在学生独立学习活动中, 应巡回指导检查, 要特别注意“学困生”, 善于捕捉学生的问题, 及时了解不同层次学生对所学内容的理解程度, 获取整体情况, 以便因势利导, 分层施教.

四、总结反思, 让学生加深理解、活跃思维

片段5在公式运用之后, 教师又出了一组题, 让学生进一步熟练公式, 消化巩固, 加深理解.

1. 下列等式是否成立?说明理由.

(1) (4a-3b) 2; (2) (-2x3+5y) 2;

(3) (-4m-n) 2; (4) (-xy-1) (xy+1) .

2. 用完全平方公式计算:9982

3. 合作交流:

(1) 本节课我们学习了什么内容?

(2) 在应用完全平方公式解题过程中我们应注意什么问题?

(3) 从公式的探究到应用过程中你体会到了哪些数学方法和数学思想?请举例说明.

反思在总结反思环节, 教师要引导学生对自己的思维活动过程进行回顾, 以获取学习的经验或教训.教师首先启发、引导学生对本节课进行总结, 然后进行必要的补充.在总结时, 一是要总结出本节课所讲授的概念、定理、公式等理论性的知识, 二是通过知识的发生、发展、应用过程, 体会到其中所用的数学思想、数学解题方法和技巧.学生通过对所学知识的归纳和总结, 可加深对所学知识的理解和完成对所学知识的新建构.

在本节课中, 教师通过创设趣味的教学情境, 使学生围绕某个问题进行探究, 让学生充分动手做、动眼看、动脑想、动口说, 全身心的参与教学活动, 在探究中锻炼思维, 在体验中学习感悟, 在知识应用中解决问题, 从而使学生真正体会到学数学的快乐、做数学的过程和用数学的意义.

总之, 数学教师要在教学过程中引导学生积极参与教学活动, 以科学探究为突破口, 激发学生的主动性和探究意识, 让学生经历知识的形成与应用的过程, 培养学生的数学思维能力, 从而更好地理解数学知识的意义, 掌握必要的基础知识与基本技能, 增强学好数学的愿望和信心.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社, 2001.

[2]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论.北京:高等教育出版社, 2004.10.

[3][美]布鲁纳教育过程 (邵瑞珍译) .北京:文化教育出版社, 1982.6.

[4]李德梅.发挥学生的主体参与作用, 提高数学课堂教学效率.中学数学教学研究, 2006.

平方差公式反思 篇3

平方差公式首先站起来说道：“我的形象好呀，你看，我的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方.”

完全平方公式毫不示弱：“我的形象不比你逊色，我的左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中（首末）两项是公式左边二项式中的每一项的平方，中间一项是二项式中两项乘积的2倍.”

乘法公式大伯说：“别吵！别吵！光形象好还不够，要有真本事才行！”

平方差公式说：“这个我可不含糊，只要符合‘两数和与两数差相乘的形式，就可用我平方差公式解决.如计算（xy+1）（xy-1）直接运用平方差公式，得（xy+1）（xy-1）=（xy）2-12=x2y2-1.”

完全平方公式说：“只要符合‘两数和（或差）的平方的形式，就可用我完全平方公式搞定，如计算（4x-3y）2，直接运用完全平方公式，得（4x-3y）2=（4x）2-2·4x·3y+（3y）2=16x2-24xy+9y2.”

……

平方差公式与完全平方公式争论不休.

乘法公式大伯：“别争了，其实你们本是一家人，都可由公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq（*）得到.在公式（*）中，若令p=y，q=-y，就得到平方差公式（x+y）（x-y）=x2-y2；在公式（*）中，若令p=q=y，就得到两数和的平方公式（x+y）2=2x+2xy+y2，若令p=q=-y，就得到两数差的平方公式（x-y）2=x2-2xy+y2.

有些问题单独用你们两个公式都可以解决，如x+y=5，且x-y=1，则xy=_____.

解法1：由完全平方公式，得（x+y）2=x2+2xy+y2，（x-y）2=x2-2xy+y2.

∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即52-12=4xy.∴xy=6.

解法2：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，令a=x+y，b=x-y，得2x·2y=（x+y）2-（x-y）2，即4xy=52-12.∴xy=6.

有些问题需要你们两个公式合作才能解决，如计算[（x+2）（x-2）]2，先由平方差公式，得 （x2-22）2=（x2-4）2.再由完全平方公式，得（x2）2-2·x2·4+42=x4-82+16.

再如计算：（2x+y+z）（2x-y-z），先由平方差公式，得[（2x+（y+z）][（2x）-（y+z）]=（2x）2-（y+z）2.再由完全平方公式，得4x2-（y2+2yz+z2）=4x2-y2-2yz-z2.

乘法公式大伯接着说道：“你们两个都有各自的特点，是乘法公式的重要组成部分，你们应该取长补短，齐心协力为数学王国作贡献，我劝你们不要再争什么‘老大了！”

《平方差公式》教学反思 篇4

会推导公式(a+b)(a-b)=a2-b2

二、运用平方差公式进行简单的计算。

通过教学我对本节课的反思如下：

1、本节课我从复习旧知入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生经历观察，猜测、推理、交流、等活动。对于平方差公式的教学要重视结果更要重视其发现过程，充分发挥其教育价值。不要回到传统的“讲公式、用公式、练公式、背公式”学生被动学习的局面。我在教学时没有直接让学生推导平方差公式，而是设置了一个做一做，让学生通过计算四个多项式乘以多项式的题目，让学生通过运算并观察这几个算式及其结果，自己发现规律。目的是让学生经历观察、归纳、概括公式的全过程，以培养学生学习数学的一般能力，让学生体会发现的愉悦，激发学生学习数学的兴趣，感觉效果很好。

不足：在学生将4个多项式乘多项式做完评价后，应及时把他们归纳为某式的平方差的形式，以便学生顺理成章的猜测公式的结果。

2、学生刚接触这类乘法，我设计了两个问题(1)等号左边是几个因式的积，两个因式中的每一项有什么相同或不同之处。(2)等号右边两项有什么特点?便于学生发现总结。在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，这两个数分别是什么，其次要区别相同的项和相反的项，表示两数平方差时要加括号。平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2，它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果.我很细地给学生讲了以上特点，学生容易接受，课堂气氛活跃，收到了一定的效果。

3、本节课如能将平方差公式的几何意义简要的结合说明，更能体会数学中数形结合的特点，因时间关系放在下一课时。

4、学生错误主要是：

(1)判断不出哪些项是公式中的a，哪些项是公式中的b;

(2)平方时忽视系数的平方，如(2m)2=2m2。针对这一点在课堂教学中应着重对于共性的或思维方式方面的错误及时指正，以确保达到教学效果。平方差公式是乘法公式中一个重要的公式，形式虽然简单，学生往往学起来容易，真正掌握起来困难。部分学生只是死记硬背公式，不能完全理解其含义和具体应用。

《完全平方公式》教学反思 篇5

(1)切勿把此公式与平方差公式混淆，而随意写。

(2)切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉。

(3)计算时，要先观察题目是否符合公式的条件。若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算;若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算。

今后在教学中，要注意以下几点：

1、让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征。

用完全平方公式分解因式教学反思 篇6

根据新课程标准要求和学生的起点能力，本节课的具体目标有两个，一个是会用完全平方公式分解因式，一个是会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。我以“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式组织课堂教学。整堂课教下来我觉得自己做的比较好的几点是:

1、突显特点。这节课的重点是运用完全平方公式分解因式，而完全平方式的判定是关键。所以我比较重视完全平方式特点分析，应用。尤其强调完全平方式标准模式的书写，这也是学生思维过程的暴露，有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握,提高学生解题的准确率,对提高那些拐脚的偏理科的数学尖子生的表达能力也有好处。对以后灵活掌握用配方法解一元二次方程，求代数式最值等知识有正向迁移作用。有利于学生思维能力的发展。

2、自主训练。我以先引导学生分析多项式特点，再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学。对课本上的练习题放手让学生自己完成，体现了以教师为主导，以学生为主体，及时反馈，及时巩固教学方式。

3、及时归纳。根据初一学生认知特点，教学中我给予学生及时的多归纳，总结，使学生掌握一定的条理性和规律性，有利于学生的创新和发展。如完全平方式特点形象概括（口诀记忆法，结构的对称美），因式分解步骤概括（一提二套三查），以及换元思想，配方法的提出。

4、重视动态生成。教学中我发现704班学生思维很活跃，接受能力比较强，我对例题教学作了及时调整，由师生合作完成改为先引导学生观察、分析多项式特点，再让学生自主完成解题过程。不足之处：

(1)探索用于因式分解的完全平方公式及特点分析时，没有把握好时间，这是导致后面时间不够的原因之一。

(2)用现代化教学手段的能力有待加强。（课件使用不熟悉，没有利用投影仪，这也是导致时间不够的一个原因。例如填表练习讲评时，若利用投影仪，将会节省时间，同时能充分暴露学生解题错误。）

(3)表格没有充分利用。表格最后一行我设计为空格的目的是在讲评了表格里上述内容后，插入这样一个教学环节：根据完全平方式特点，请你在表格的最后一栏里构造一个完全平方式，并分解因式。当学生基本完成后，组织学生同桌交流，交流方式为：请把你的构思告诉同伴，先一个听，一个评。然后调换角色。

(4)没有发现学生书写错误。学生扮演过程中有两处出错，我没发现。

(5)公式中的字母a,b可以表示数,单项式,多项式的广泛意义只是让学生体验，没有让学生开口表达。

浅析平方差公式在解题中的作用 篇7

例1 计算undefined

分析:此题若按习惯解法, 先乘方、再进行计算, 显然十分繁琐, 然而巧用公式a2-b2= (a+b) (a-b) , 做起来就比较简单了。

undefined

例2 把式子undefined分母有理化。

分析:形如undefined的式子的有理化因式是undefined, 其方法是利用平方差公式化去根号;此题亦可将分子变成undefined, 再利用公式进行分解因式。

解法一:原式undefined

undefined

例3 证明3599是合数。

分析:如果用一些整数进行整除的方法证明, 其难度是可想而知的。可是将3599变成3599+1-1, 然后运用公式

a2-b2= (a+b) (a-b) 就不难了。

证明:∵3599=3599+1-1=3600-1

=602-12

= (60+1) (60-1)

=61×59.

∴3599是一个合数。

对方差计算公式的探究 篇8

一、简化计算公式

因为n[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．从化简后的公式可以看出，这里数据的平均数没有参与到较复杂的运算中，这样就使计算过程大为简化，特别是当一组数据的平均数是分数时，利用这个公式求方差就更方便．如求数据3，－1，2，1，－3，3的方差时，先求其平均数[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式计算方差，就会出现很多分数的平方，计算起来比较麻烦．但若采用化简后的公式，则s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，这样就避免了多次计算分数平方的情况．

二、数据加减后的方差

若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为[x]，方差为s2，把这组数据都加上同一个常数a，得到一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均数为[x]＋a，方差为［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不变．同样，把这组数据同减去一个常数a，得到一组新数据x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均数为[x]－a，方差仍然为s2．利用方差的这个特点，可以简化方差的求解过程．比如求数据2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差时，如果直接计算，运算量较大，容易出错，观察发现，可以先将每个数据减去2 008，得到一组新的数据3，－1，2，1，－3，3，再求这组数据的方差就很容易了．

三、数据放缩后的方差

平方差公式 篇9

(3)(a+3b)(a-3b)； (4)(1-5y)(l+5y)．

例3  计算(-4a-1)(-4a+1)．

让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演．

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1．

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1．

根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项都变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果．解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-l2后得出结果．采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷．因此，我们在计算中，先要分析题目的数字特征，然后正确应用平方差公式，就能比较简捷地得到答案．

课堂练习

1．口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)； (2)(a-b)(b+a)；

(3)(-a-b)(-a+b)； (4)(a-b)(-a-b)．

2．计算下列各题：

(1)(4x-5y)(4x+5y)； (2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

教师巡视学生练习情况，请不同解法的学生，或发生错误的学生板演，教师和学生一起分析解法．

《平方差公式》教案 篇10

三、合作交流

如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.

(1)请表示图中阴影部分的面积.

(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗? a a b

(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗?

四、巩固练习

1、利用平方差公式计算

(1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b)

(3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3)

2、利用平方差公式计算

(1)803797 (2)398402

3.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中字母a，b表示( )

A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.以上都可以

4.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )

A.(a+b)(b+a) B.(-a+b)(a-b)

C.( a+b)(b- a) D.(a2-b)(b2+a)

5.下列计算中，错误的有( )

①(3a+4)(3a-4)=9a2-4;②(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2;

③(3-x)(x+3)=x2-9;④(-x+y)(x+y)=-(x-y)(x+y)=-x2-y2.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个[来源:中.考.资.源.网WWW.ZK5U.COM]

6.若x2-y2=30，且x-y=-5，则x+y的值是( )

A.5 B.6 C.-6 D.-5

7.(-2x+y)(-2x-y)=______.

8.(-3x2+2y2)(______)=9x4-4y4.

9.(a+b-1)(a-b+1)=(_____)2-(_____)2.

10.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____.

11.利用平方差公式计算：20 19 .

12.计算：(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2).

五、学习反思

我的收获：

我的疑惑：

六、当堂测试

1、下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是( ).

(A)(x+1)(1+x) (B)(1/2b+b)(-b-1/2a) (C)(-a+b)(-a-b) (D)(x2-y)(x+y2)[

2、填空：(1)(x2-2)(x2+2)=

(2)(5x-3y)( )=25x2-9y2

3、计算：

(1)(-2x+3y)(-2x-3y) (2)(a-2)(a+2)(a2+4)

4.利用平方差公式计算

①1003997 ②14 15

七、课外拓展

下列各式哪些能用平方差公式计算?怎样用?

1) (a-b+c)(a-b-c)

2) (a+2b-3)(a-2b+3)

3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)

4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)

平方差公式反思 篇11

回归分析是用数学解决实际问题时用得最多的方法 (模型) , 数百年来人们用回归模型解决了众多领域中的实际问题, 取得丰硕成果, 相应的回归理论也不断丰富和完善。平方和分解是回归模型中的重要内容, 但几乎所有讨论回归分析的教材和专著, 例如国内关于回归的经典专著 (见[1], [2]) 及最新教材包括研究生教材 (见[3], [4]) , 在讨论平方和分解时, 并没有指出什么情况下平方和分解是有效的?

为讨论这个问题, 我们在本节后半部分先给出若干基本定义, 并在第三节中加以详细讨论。事实上本文指出的问题会给实际工作者带来很多困扰。

设

y=β0+x1β1+x2β2+…+xkβk+u

是一个多自变量回归模型。它的抽样模型为

yt=β0+xt1β1+xt2β2+…+xtkβk+ut, t=1, 2, …, n (1)

模型的最小二乘估计满足平方和分解公式:

∑$(y{}_t-\overline{y}){}^2=$∑$(y{}_t-\widehat{y}{}_t+\widehat{y}{}_t-\overline{y}){}^2=$∑$(y{}_t-\widehat{y}){}^2+$∑$(\widehat{y}{}_t-\overline{y}){}^2$ (2a)

注意其中交叉项为0。记S${}_y^2$=∑$(y{}_t-\overline{y}){}^2$为总的离差平方和, S${}_v^2$=∑$(\widehat{y}{}_t-\overline{y}){}^2$为回归平方和, S${}_e^2$=∑$(y{}_t-\widehat{y}){}^2$为残差平方和, 故有

S${}_y^2$=S${}_v^2$+S${}_e^2$ (2b)

用语言表示, 就是

总离差平方和=回归平方和+残差平方和 (2c)

回归平方和占总离差平方和的比例称为判决系数, 记为R2, 即。

$R{}^2=\frac{S{}_v^2}{S{}_y^2}=\frac{{\displaystyle \sum (}\widehat{y}{}_t-\overline{y}){}^2}{{\displaystyle \sum (}y{}_t-\overline{y}){}^2}(3)$

它是衡量用自变量解释因变量y效果的重要指标, R2越接近1模型拟合效果越好。利用平方和分解R2还可表示成

$R{}^2=1-\frac{S{}_e^2}{S{}_y^2}(4)$

由于残差平方和S${}_e^2$是模型的重要指标, 许多估计与检验与S${}_e^2$有关, 是必须计算的量。故实际应用或软件设计中, 大多是按 (4) 式计算R2。但 (4) 式并不总成立。此时如果仍按 (4) 式计算, 则有可能造成R2为负值的错误。

2 Eviews软件中的一个错误

现在一些国际会议、杂志编辑部及各种赛事等, 为避免学术作假, 要求论文涉及的计算, 要使用SAS, SPSS, EVIEWS等权威商业软件计算。

但在用EVIEWS软件 (以下简称E软件) 计算回归模型时, 偶尔会遇到R2为负值的情况。显然, E软件是按 (4) 式计算才会出现R2为负值。

例1

取样本容量n=10, 自变量x1, x2, x3与随机项的观测值均取[0, 1]区间上的随机数, 因变量y按y=0.5x1+0.3x2+0.2x3+u产生, 数据见表1。

用E软件 (最新6.0版本) 分别计算有和无常数的回归模型。

模型a:有常数模型

输入指令:y c x1x2x3, 可得如下结果:

此模型R2=0.219 较小, 调整R2=-0.1709为负, 与实际数据特点相符。再考虑无常数模型模型

模型b:无常数模型

输入指令:y x1x2x3, 可得如下结果:

无常数项模型更符合数据生成过程, 从t值和p值 (概率) 而言, 模型有较大改善, 但不可思议的情况出现了, 两个平方和的比值R2竟然是负值, 显然, 平方和分解公式不总成立。

习惯上实际工作者总是先建立有常数项的回归模型, 当常数项不显著时再建无常数项的回归模型, 按回归理论, 从模型中剔除不显著变量, R2理应仅作微小降低, 而如果从模型中剔除不显著变量, R2急剧下降 (仍然>0) , 就有理由怀疑软件的正确性, 但对于实际工作者是很难发现E软件有错的这种蛛丝马迹 (见例2) 。

3 平方和分解公式成立的条件

关于各平方和的分布及相互间的独立性的证明, 需要因变量满足正态性标准假定, 且在模型的矩阵形式下更简单, 下面按模型的矩阵形式进行讨论。以下的讨论中Y, U是n维随机列向量, 1n为分量都是整数1的n维列向量, Jn=1n1′n是元素均为1的n阶方阵, X是自变量的n×k阶观测矩阵, 记

$X=(1{}_n,X)‚B=\left(\begin{array}{l}\beta {}_0\\ \beta \end{array}\right)$

是k+1维回归参数向量, 其中β′= (β1, β2, …, βk) , (1) 式可用矩阵表示成

Y=X B+U, Y～Nn (X B, σ2I) , (5)

将模型 (1) 式表成 (5) , 是将常数项视为特殊自变量。设Px为由X的列向量张成的线性子空间l (X) 的投影算子, 即Px=X (X′X) -1X′, 类似的有PX=X (X′X) -1X′, 可以验证投影算子还是对称幂等矩阵。

模型的最小二乘估计可表示为

$\widehat{B}=(X^{\prime }X){}^{-1}{X}^{\prime }Y,\widehat{Y}=X\widehat{B}={\rm P}{}_{x}Y(6)$

这时, 各平方和的二次型表示分别为:

$S{}_y^2=Y^{\prime }({\rm I}-\frac{1}{n}J{}_n)Y,S{}_v^2=Y^{\prime }({\rm P}{}_x-\frac{1}{n}J{}_n)Y,S{}_e^2=Y^{\prime }({\rm I}-{\rm P}{}_x)Y$

可以验证以上二次型的矩阵都是对称幂等矩阵。

关于多元正态随机向量Y有以下结论 (见[1]) 。若Y～Nn (μ, σ2A) , A, A1, A2为常数矩阵, 则有

命题1:如果A1A′2=0, 则A1Y与A2Y独立。

命题2:设A=A′, 则Y′AY/σ2～χ${}_m^2$ (λ) 的充要条件是A2=A, rkA=m, 其中λ=μ′Aμ是非中心化参数。

命题3:设A1, A2是对称阵, 则Y′A1Y与Y′A2Y相互独立的充要条件是A1A2=0。

关于模型含常数项时, 平方和分解成立, 各平方和的分布及独立性可由上述3个命题得到, 不在这里讨论, 以下仅讨论模型不含常数项时的结论。

不含常数项回归模型的矩阵表示式为

Y=Xβ+U, Y～Nn (Xβ, σ2I)

模型的最小二乘估计得结果如下:

$\begin{array}{l}\widehat{\beta }=(X^{\prime }X){}^{-1}{X}^{\prime }Y(7)\\ \widehat{Y}=X\widehat{\beta }=X(X^{\prime }X){}^{-1}{X}^{\prime }Y={\rm P}{}_{X}Y\end{array}$

相应的残差平方和S${}_e^2$=Y′ (I-PX) Y。注意,

$Y^{\prime }({\rm I}-\frac{1}{n}J{}_n)Y=Y^{\prime }({\rm I}-{\rm P}{}_x)Y+Y^{\prime }({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n)Y$

仍然成立, 但右端第二项不再是回归平方和, 事实上回归平方和

∑$(\widehat{Y}{}_t-\overline{y}){}^2=(\widehat{Y}-\overline{y}1{}_n)+(\widehat{Y}-\overline{y}1{}_n)=Y^{\prime }({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n)({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n)Y$

而由于$1{}_n\in \text{l}(X),1{}_n\notin \text{l}(X),({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n){}^2\ne ({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n)$不再是幂等阵。其次, 交叉项不为0:

$Y^{\prime }({\rm I}-{\rm P}{}_X)({\rm P}{}_X-\frac{1}{n}J{}_n)Y=\frac{1}{n}{Y}^{\prime }({\rm P}{}_{X}J{}_n-J{}_n)Y\ne 0$

因此, 我们有

定理1:当回归模型不含常数项时:

1) 平方和分解式 (2) 不成立;

2) 按 (4) 计算的R2与原始定义 (3) 式不等价, 且可能为负值;

3) 原回归平方和S${}_v^2$=∑$(\widehat{y}{}_t-\overline{y}){}^2$不服从χ2分布, 且S${}_v^2$与残差平方和S${}_e^2$不独立, 基于R2导出的F统计量不服从F分布。

4 新平方和分解公式及R2的重新定义

根据定理1、定理2, 在原有平方和分解体系下, 模型中的常数项是特殊自变量。这给实际应用带来尴尬, 常见一些文献中不讨论常数项的显著性, 例如邹至庄先生在一些回归模型中标出了常数项的t值 (显著) , 而一些回归模型却唯独不标常数项的t值 (猜测常数项的t值不显著, 见[5]P90, P91) , 无疑这也是原平方和分解惹的祸。考虑到常数项其实是恒取1的自变量, 理应和其它自变量一样对待, 这可以给理论分析和实际应用带来很多方便。这时, 回归模型总可以写成:

y=x1β1+x2β2+…+xkβk+u,

其中x1可以是恒取1的常数项 (对应与原来的有常数项模型) , 也可以是不恒取1的自变量 (对应于无常数项模型) 。相应地, 它的抽样模型为

yt=xt1β1+xt2β2+…+xtkβk+ut, t=1, 2, …, n.

定义新平方和分解式为:

∑y${}_t^2$=∑$(y{}_t-\widehat{y}{}_t+\widehat{y}{}_t){}^2=$∑$(y{}_t-\widehat{y}{}_t){}^2+$∑$\widehat{y}{}_t^2(9)$

它的矩阵形式为

Y′Y=Y′ (I-PX) Y+Y′PXY.

为区别原平方和分解的记号, 记$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_y^2=Y^{\prime }Y=\parallel Y\parallel {}^2‚\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2=Y^{\prime }y{\rm P}{}_{X}Y={\widehat{Y}}^{\prime }\widehat{Y}=\parallel \widehat{Y}\parallel {}^2$, 无论模型是否含常数项都成立的新平方和分解式:

$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_y^2=\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2+\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_e^2(10)$

可以重新定义度量模型拟合效果的R2,

$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2=\frac{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2=}{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_y^2=}=\frac{\parallel \widehat{Y}\parallel {}^2}{\parallel Y\parallel {}^2}=1-\frac{S{}_e^2}{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_y^2}(11)$

原R2可以理解为自变量解释因变量的波动 (平方和) 的能力, 新的$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$则是自变量解释因变量的长度平方的能力。而且$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$的几何意义更明显, 原始向量Y直交分解为$\widehat{Y}$及残差向量$Y-\widehat{Y}‚$自然也满足勾股定理, 同时自变量解释因变量的能力越强, 残差向量的长度越短, $\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$越接近1。

不难看出, 本文的关键变动是重新定义了回归平方和, 原有的与回归平方和无关的结论, 如$\widehat{\beta }$的分布及与S${}_e^2$独立, 检验βi=0的t统计量 (自由度为n-k) 等均成立。由以上定义及命题2, 命题3, 我们有

定理2:模型及相关定义 如上。则

(1) S${}_e^2$/σ2～χ${}_{n-k}^2$与$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2$独立

(2) 在β=0时有

$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2/\sigma {}^2\sim \chi {}^2(k)$及

$F=\frac{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2/k}{(1-\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2)/(n-k)}=\frac{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_v^2/k}{\stackrel{\cdots }{{\displaystyle S}}{}_e^2/(n-k)}\sim F(k,n-k)$

约翰逊等也给出了 (9) 式的分解, 且在 (9) 式两端减n$\overline{y}$2, 再验证$\overline{y}=\overline{\widehat{y}}$, 就得到原平方和分解及原R2 (见[6]) 。

而SPSS软件关于平方和分解及R2的定义与[6]相同。但在实际计算时, 若模型不含常数时SPSS软件给出的R2值是按$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$计算的。

是否采用如SPSS的弥补方案, 在模型含常数项时用R2, 在模型不含常数项时用$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$衡量拟合优度?笔者认为不妥。我们不妨来看看如下算例。

例2

表2中数据用SPSS17分别计算有常数的线性回归模型与无常数的线性回归模型, 部分结果如下。

事实上R2与$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$对比参照的对象不同, 有常数项时S${}_e^2$是S${}_y^2$的一部分 (R2自然不会出现负值) , 无常数项时S${}_e^2$不再是S${}_y^2$的一部分。

根据最小二乘估计原理, 从模型中剔除一个变量 (包括常数项) 时S${}_e^2$将增大, 相应的R2将减小。经检验常数项不显著时应从模型中剔除常数项, 这时S${}_e^2$会增加, 但因参照对象不同, $\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$不一定比R2小, 这使得由R2到$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$不再随自变量的增减保持单调, 同时弥补方案意味着将常数项视为特殊自变量, 这给理论分析带来不便。虽然本文的讨论, 对于理论工作者不难理解, 但妥协方案给大多数实际工作者的应用与计算结果分析带来困惑。

综上所述, 将$\stackrel{\cdots }{{\displaystyle R}}{}^2$替代R2, 常数项与其它自变量一样对待, 不再特殊, 势在必行。

参考文献

[1].张尧庭, 方开泰.多元统计分析引论[M].北京:科学出版社, 1982

[2].陈希孺, 王松桂.近代实用回归分析[M].南宁:广西人民出版社, 1984

[3].袁志发, 宋世德.多元统计分析[M].北京:科学出版社, 2009

[4].李静萍, 谢邦昌.多元统计分析方法与应用[M].北京:中国人民大学出版社, 2008

[5].郑宗成等译, 邹至庄著.经济计量学[M].北京:中国友谊出版公司, 1988

[6].陈旋, 叶俊译, 约翰逊等著.实用多元统计分析 (第六版) [M].北京:清华大学出版社, 2008

平方差公式教学设计 篇12

教学目标：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学过程

一、复习旧知，引入新课

1、回顾多项式与多项式相乘的运算法则

2、故事引入新课（课件出示

题目略）

二、探索规律，发现结论

1、看谁算得又对又快

计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(x+2)(x-2)= ___________;(2)(1+3a)(1－3a)=__________;(3)(x+5y)(x－5y)=_________.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？请用一句话归纳总结出等式的特点.2、验证猜想，得出结论 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.三、巩固练习，讲解例题

1、找一找，填一填（用课件出示表格题目，让学生填写，并学会用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式）

2、判断下面计算是否正确

111（1）(x1)(x1)=x2

1（）

222（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2

（）（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2

（）

3、教学例题

例1 利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；

（2）（x－2y）（x+2y）（3）（－m+n）（－m－n）巩固练习

利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）；

（2）（3a+2b）（3a－2b）

例2 利用平方差公式计算：（1）(11xy)(xy)；

（2）（ab+8）（ab－8）

44巩固练习

利用平方差公式计算：（1）(x11y)(xy)；

（2）（－mn+3）（－mn－3）3

3（四）观察思考、拓展延伸

1、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

2、练一练

计算

1、（5m－n）（－5m－n）

2、（a+b）（a－b）（a2+b2）

（五）当堂达标、自我检测

利用平方差公式计算：（1）（－x－1）（1－x）（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）

111（3）(x)(x)(x2)

4（六）课堂小结、布置作业

1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

3、作业：

1.教材习题1.9 第1题（2）、（4）、（6）；第2题

平方差公式教学设计 篇13

姓名：李 海 岩 单位：汀罗一中

一、教学内容解释

平方差公式是整式的乘除运算的延续，是后续数学学习的重要基础，同时也是从一般到特殊的认识过程的范例.对它的学习和研究丰富了教学内容，也拓展了学生的视野.平方差公式着重于研究平方差公式的发生过程.其发生过程便于学生掌握这一公式的结构特征，更能理解公式中字母的广泛含义.在教学过程中，特别是探讨知识发生的过程，并和学生一起研究知识如何从一般到特殊概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法.二、教学目标：

1.理解并掌握平方差公式的特征。

2.能在混合运算中，运用平方差公式进行直接计算。

3.学会与人合作的意识，并能与他人互相交流思维的过程和结果。

三、教学过程设计

第一环节：创设问题情境,引出本节内容

1、知识回顾：多项式与多项式相乘的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn． 设计意图：复习旧知识为新知识做铺垫。

2、计算下列各题，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x－1）；（2）（m+2）（m－2）（3）（2x+1）（2x-1）； 观察上面三个算式的结构，引导学生猜想：（a+b）（a－b）= a2－b2？从而引出新课内容。第二环节：新课讲解：

1、出示教学目标：

2、由上面的猜想我们进行验证：由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做（乘法的）平方差公式.3、教师引导学生分析平方差公式的特征：

4、引导学生用另一种方法证明平方差公式。

请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1 图2

学生活动设计：学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，两个图形阴影部分面积相等，即（a+b）（a－b）= a2－b2．

设计意图：引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式．培养学生交流与探索能力

5、练习题之一——选择题 设计意图：当堂巩固对公式的理解 第三环节：例题讲解，当堂练习

（1）（3x＋2）（3 x－2）；（2）（－x+2y）（－x－2y）

教师用PPT展示分析；（１）在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

(3x＋2)(3x－2)﹦(3x)2－22（a＋ b）（a－b）﹦a2 － b2

（２）将(2)调整成平方差公式形式计算.设计意图：通过例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法。

7、练习题之二——判断题

设计意图：加强对平方差公式特征的理解

8、练习题之三——填空题

设计意图：加强对平方差公式特征的运用 第四环节：知识应用，加深对平方差公式的理解

1、例题讲解：（1）102 ×98（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.2、练习题之四——当堂训练：运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）

设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，学生板演并巩固法则，充分发挥学生的主体性。

3、挑战极限

设计意图：让学生能够非常准确地运用平方差公式进行运算。第五环节：课堂总结：

1．通过本节课的学习我有哪些收获？ 2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？

3、通过本节课的学习你有哪些感受？

设计意图：学生归纳总结本节课的主要内容—平方差公式，交流在探索过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验．

第六环节：布置作业：

1、课本P112习题 14.2 第1题

2、预习完全平方公式

3、对于有潜力的同学还布置了一个选做作业。

设计意图： 通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，并对有困难的学生给予个别指导．

四、教学设计说明