立体几何的证明方法（推荐11篇）
一、平行与垂直关系的论证
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：
面面平行性质
//
a,
ab
//b)
线面平行性质
////
a
b
a//a//b
//
a
//
a//
2.线线、线面、面面垂直关系的转化：
在内射影a
则aOAaPOaPOaAO
l
线面垂直定义
a
la
ba a,ab
a a
面面垂直定义
l，且二面角l
成直二面角
3.平行与垂直关系的转化：
a//ba
a
a
b
a
//
面面平行判定2 面面平行性质
3ab
a//b
//a
a
4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：
二、三类角
1.三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b
）
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°
2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
新的课程标准实施以来, 立体几何部分的课时变少了, 难度变低了, 但培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力仍然是该部分内容的重要教学目标.这方面能力的考查在近几年的江苏省高考试题中也有充分的体现.如:2008年至2011年连续四年, 江苏高考数学试卷的第16题均涉及立体几何证明, 题目难度虽然不大, 但有不少学生由于证明不够规范, 失分不少.主要问题是学生在证明过程中论据不足甚至缺少论据.不少学生在有了一定的空间观念, 知道了该部分的几个重要定理的情况下却屡屡出错.究其原因, 除了对定理不够熟悉 (如部分学生对定理的条件和结论把握不清) 之外, 在证明的规范性方面学生很欠缺.
二、采用的方法
本文尝试通过几种有效的习题评讲方法, 提高学生立体几何题证明的规范性水平.
1.“曝光”法
立体几何证明部分的作业批改起来是很费力的.学生的错误也是五花八门, 但也有共性, 一部分学生是定理掌握不熟, 这部分学生可以加强他们对定理的理解和记忆.还有很大一部分学生是证明过程中论据不足, 也就是我们常说的少条件, 推理不严谨, 证明不够规范, 对于这一部分学生笔者采用“曝光”的方法——把学生的典型错误曝光在黑板上或者用投影仪投影在屏幕上, 让学生发现错误, 纠正错误, 给出避免类似错误的方法, 收到了较好的效果.
案例1
题目 如图1, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.
师:这道题错误较多, 下面将A同学的证明过程“曝光”如下.
证明 ∵AB是⊙O的直径, C是圆周上不同于A, B的任意一点,
∴AC⊥BC.
∵PA垂直于⊙O所在的平面,
∴PA⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
∴平面PAC⊥平面PBC.
师:请同学们指出A同学证明中存在的问题.
B同学:A同学的证明中, 第一个“因为、所以”之间是对的, 但后面的都有问题.
师:是的, 那请你到黑板上来给他订正, 其他同学考虑你怎样给A同学改错, B同学订正的是否正确.
B同学: (用红粉笔订正如下)
证明 ∵AB是⊙O的直径, C是圆周上不同于A, B的任意一点,
∴AC⊥BC.
∵PA垂直于⊙O所在的平面, BC⊂⊙O所在的平面,
∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC, PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC.又∵BC⊂平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC.
师:大家看B同学订正的怎么样? (学生回答:很好了.)
我们怎样做可以避免A同学所犯的错误呢?
C同学:A同学主要错误在于使用定理时, 条件不足 (论据不充分) , 可能心里知道这些条件, 但没有在证明过程中呈现出来.所以我认为A同学首先应该熟记线面关系的几个重要的性质定理及判定定理, 然后在证明时要时刻对照相关定理的条件与结论.
师:说得很好, 很有道理.我们再请A同学说说自己的想法, A同学你认为你怎样避免类似错误呢?
A同学:C同学说得很好, 我想在使用有多个条件的定理时, 应该格外小心, 这时容易少条件.
……
采用这种“曝光”的方法, 把错误展现给学生, 把纠错的机会让给学生, 把纠错后的反思留给学生, 能够充分地调动学生参与课堂的热情, 有利于提高习题评讲课的效果.
2.“对比”法
根据近两年的新课标高考要求, 立体几何部分的证明为B级要求, 以平行和垂直关系的证明、探究为主, 难度不大, 因此熟知定理、证明规范是学生得分的关键.笔者在习题评讲上采用了不规范与规范对比的方法, 使学生意识到规范证明、推理严谨的重要性, 对提高学生证明的规范性有一定的帮助.
案例2
题目 如图2, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, E, F分别是A1B, A1C的中点, 点D在B1C1上, A1D⊥B1C1.求证:EF//平面ABC. (部分)
教师让两名学生板演 (教师可故意请出证明规范和不规范的两名学生) , 两名同学分别板演如下.
D同学:证明 ∵E, F分别是A1B, A1C的中点,
∴EF//BC, EF//平面ABC.
E同学:证明 ∵E, F分别是A1B, A1C的中点,
∴EF为△A1BC的中位线.则
undefined
平面ABC.
师:请同学们对上面两位同学的证明过程作出评价, 谁的证明较好, 为什么?
F同学:E同学的证明较好, 思路很清晰, 推理严谨, 看起来也很美观.D同学的证明过程, 缺少条件, 如果考试的话会丢大部分的分.
……
通过规范证明与不规范证明的对比, 让学生作出评价, 作出选择, 使学生自觉的向规范证明的方向努力, 从而提高学生推理论证的能力.
3.“对话”法
在习题评讲时, 有时采用师生对话的方法, 也会取得较好的效果.当较多学生解答该题有困难时, 教师可以请一位有代表性的学生说说他的想法, 发现学生对于这一道题的“最近发展区”, 有针对性地提出启发性的问题, 使学生在一问一答中获得完整的求解思路.
案例3
题目 如图3, 在三棱锥P-ABC中, 点P在平面ABC内的射影H是△ABC的垂心 (三角形三条边上的高交于一点, 这点叫做这个三角形的垂心) .求证:PC⊥AB.
在平行班教学时, 多数学生对该题无法下手, 教师请具有代表性的学生说想法.
师:说说你对该题的想法?
G同学:我还不会做, 没有想好.
师:没关系, 很多同学可能也没想好.你从已知中能获得什么呢?
G同学:由已知可以得到PH⊥平面ABC, 还有CH⊥AB.
师:好, 要证明什么?
G同学:要证明PC⊥AB.
师:结合要证明的问题, 你还能从已知中挖掘出什么?请其他同学也思考一下这个问题.
G同学 (考虑片刻) :老师, 我知道了, 从已知中还可以进一步得到PH⊥AB, 又因为CH⊥AB, 所以AB⊥平面PHC, 从而有AB⊥PC, 也就是PC⊥AB.
师:说得很好, 请把详细的证明过程书写出来……
采用师生对话的方法, 能够快速地获得学生的思维症结, 针对性强, 在师生问答的过程中, 提高学生的思维水平, 同时也能够为学生自己解题提供一种自问自答寻求解题思路的示范.
三、结 论
在立体几何部分的证明题评讲时, 考虑大多数学生的接受情况, 可以灵活采用多种评讲方法.本文仅通过三个案例介绍了三种评讲方法, 相信通过我们一线教师的大胆实践, 不断思考, 还可以探索出更多更好的评讲方法, 使习题评讲课也能变得多姿多彩.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.
【关键词】树立信心 几何思想 答题思路 答题步骤
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058
几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。
一、树立面对几何证明题的信心
纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。
二、带领学生看图读图，培养几何思想
几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。
第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。
第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。
第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。
三、帮助学生理清答题思路
证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。
作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。
四、规范答题步骤
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一）
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
*8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.垂径定理
二、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.相似三角形的对应角相等。
7.圆的内接四边形的外角等于内对角。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形 梯形的中位线平行于第三边，底边。
6.平行于同一直线的两直线平行。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
一个图,你看着哪好像差根线,你就用铅笔描一下,分析一下有了这根线哪线角相等,哪相角互补之类的.不可以只盯着原图看.另外,看已知条件里,把它们标注在图里,看人家给这个条件,你可以知道什么,这个条件有什么用,可以由此推出什么.从求证出发你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了记住，做题要倒推走把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了。
ρθ
⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ 极轴
一、极坐标与参数方程选讲
1、极坐标与直角坐标的公式转换:
2、点的极坐标含义(, M ρθ: 练习:
(1 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线 C 的直角坐标 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 的直角坐标为(1,.若以原点 O 为极点, x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈
(3在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 3, 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 4, 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则△ AOB(其 中 O 为极点的面积为.提示:1 sin 2 S ab C = =3
(4在极坐标系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲线 ρ=2sin θ 与 cos 1p θ=-的交点 的极坐标为 ______.3 4 π
提示:这两条曲线的普通方程分别为 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-⎧⎨=⎩
(5 已 知 直 线 l 的 参 数 方
程 为 :2, 14x t y t =⎧⎨
=+⎩(t 为 参 数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
ρθ=,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交(6已知直线的极坐标方程为(4R π θρ=
∈,它与曲线 12cos 22sin x y α α
=+⎧⎨=+⎩(α为参数相 交于两点 A 和 B ,则(7若直线 12, 23.{x t y t =-=+(t 为参数与直线 41x ky +=垂直,则常数 k =________.6-=k(8设直线 1l 的参数方程为 113x t y t =+⎧⎨
=+⎩(t 为参数 ,直线 2l 的方程为 y=3x+4则 1l 与 2l 的 距离为 _______ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线 1l 的普通方程为 023=--y x ,故它与与 2l 的距离为 3|24|=
+。
(9 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ρsin θ=3, 则点(2, π/6到直线 l 的距离为.【解析】法 1:画出极坐标系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐标 可得答 案 2.(10在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(33 R t t y t x ∈⎩
⎨⎧-=+=参数 ,圆 C 的参数 方程为 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 参数 ∈⎩⎨
⎧+==y x ,则圆 C 的圆心坐标为.(0, 2 ,圆心 到直线 l 的距离为 22.(11在极坐标系中, P Q , 是曲线 C :4sin ρθ=上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为.4【解析】最长线段 PQ 即圆 22(2 4x y +-=的直径.(12曲线 C 的参数方程是 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧
-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 为参数 ,则曲线 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,平方后相减消去参数 t(13 已知曲线 132 14x t y t ⎧
=-+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数与曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数的交点为 A , B , ,则 AB =
(14 若直线 :l y kx =与曲线 { 2cos :sin x C y θθ=+=(参 数 ∈θR 有唯一的公共点,则实数 k =
.二、几何证明选讲
1、与切线有关 构造直角三角形
如图, AB 是 ⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , 2=PC , 若
︒=∠30CAP ,则 ⊙ O 的直径 =AB 4.切割线定理
如图 1所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A , B 两点, 已知 PA =2, 点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如图,直角三角形 ABC 中, ︒=∠90B , 4=AB ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D , 2=AD ,则 C ∠的大小为
提示 连接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C
2、相交弦定理、垂径定理
如图 AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 则 CP =______.【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由 垂径定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ∆ 中, cos30BP AP a ===
.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ⋅=⋅ 2 3 CP a =⋅,所以 98CP a =.图 1 A B C 图 3
N
3、射影定理
2, CD AD DB =⨯ 2BC BD AB =⨯, 2AC AD AB =⨯ 如 图 , AB 是 半圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 异于 A B , 的 点 , C D A B ⊥, 垂 足 为 D , 已
知 2AD =, CB =, 则 CD =
.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=
4、相似比
如图,在 ABC ∆中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,则 AB 的长为 __9 2 _________.5、圆的内接四边形对角互补 如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, MN 与⊙ O 相切 , 切点为 A , MAB ∠35︒=, 则 D ∠=.125︒
6、圆心角 =2倍圆周角
如图,点 A B C、、是圆 O 上的点,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 则圆 O 的面积等于 _________.解:连结 OA , OB ,则∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 为正三角形,圆 O 的半径 r=4AB =,于是,圆 O 的面积等于 πππ1642 2 =⨯=r 如图 , 已知△ ABC 内接于⊙ O ,点 D 在 OC 的 延长线上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 则 AD 的长为
.提示 连接 OA ,圆心角 AOD=2B=60°, AOC 是等边三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。
学习目标： 1学会运用所学知识解决垂直的证明问题；
2培养学生空间想象能力、逻辑推理能力；
3培养学生用向量的代数推理能力解决立几何中探索性问题的意
识。
重点： 能够运用所学知识证明垂直问题
难点： 垂直关系的相互转化
一、教学过程
探究1 请你总结证明线线垂直的方法？线面垂直的方法？面面垂直的方法？
探究2请你用表示线线垂直、线面垂直及面面垂直的关系
二、方法指导
例
1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，M是CC1的中点，O是底面ABCD的中心，点P在A1B1上，设直线BM与OP所成的角大小为（1）若P是A1B1的中点，求
的大小（2）若P是A1B1上的任意点，求的大小
例
2、如图，在四棱锥
和CD侧棱底面，中，底面是是直角梯形，垂直于，.的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）在侧面内找一点，使平面；
练习：在正方体ABCDA1B1
C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，A1O平面MBD求证：
1 中点用于平行问题的证明
在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.
例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.
分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.
证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.
例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.
证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.
又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.
又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.
本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.
例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.
分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.
证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.
又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.
本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.
2 中点用于垂直问题的证明
在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.
例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.
分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.
证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.
又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.
又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.
又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.
上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.
例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.
分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.
证明取BC中点O，连结AO，PO.
因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.
又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.
本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.
例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.
分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.
证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.
又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.
又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.
要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.
例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.
分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.
证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.
又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.
又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.
又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.
又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.
又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED
所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.
本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.
由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.
参考文献
[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.
[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.
[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.
[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.
[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.
【关键词】代数几何分析书写思维
【分类号】G633.6
【正文】
一、定理、定義透彻分析，学生完全熟记
很多人认为数学单纯靠理解就可学好，若是这样想，就大错特错了，数学不单纯要理解，还要记忆。如果定义定理没有记牢，或者记混乱了，那将会使你的几何证明完全颠覆，就如语文中的文不对题。因此在讲解定理、定义、公理时，要分析透彻，知道这条定理的中题设是什么，结论是什么，这至关重要，因此在教学过程中，可利用证明过程，让学生说出其中的依据，反复利用，加深印象，让学生完全熟记，从而牢牢记住了课本的定义、公理、性质及判定，为接下来的证明书写打下坚实的基础。
二、教师搭桥，学生接线
几何证明过程的书写格式与代数解题格式有很大的差异，因此，在几何入门教学时，应让学生明白最基本的几何证明过程的格式，并且知道我们推理的依据就是已经学过的定义、定理、公理，说明结论为什么正确的过程. 初一学证明，主要是在推理过程中对得出的结论加注理由，因此可以由老师给出证明过程，也就是搭桥，让学生填依据，也就是接线。这样一方面可以使学生巩固前面学过的定义、公理、性质及判定，另一方面可以培养学生的逻辑思维能力。
例如：如右下图，已知直线 、 被直线 所截，
（1）如果 ，那么 ∥ ，则
∵ （已知）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
（2）同理，如果已知 ，则
∵ （已知）
（对顶角相等）
∴ （等量代换）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）
在这个题目中，教师让学生思考由上一个条件可以得出结论所用的依据是什么，并把依据填入括号内，如此就让学生对平行线的性质与判定有了更深入的了解以及区分，如此也为接下来的学习几何证明打下了坚实的基础。
三、分析题意，正逆结合
“几何证明难”最难莫过于没有思路。怎样积累证明思路呢？这时就需要学生学会分析题目了，那么如何分析一道题呢？又如何从题目中找到证明结论的思路呢？一般的有三种思维方式：
1、正向思维。对于一般简单的题目，我们通常可以直接出题设看出结论，因此可指导学生正向思考，轻而易举得到结论。
例如：如图，已知直线 、 被直线 所截，已知 ， ，直线 、 平行吗？为什么？
本题可指导学生直接看出两个内错角相等，因此两直线平行，
2、逆向思维。逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。从相反的方向思考问题，能使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。换句话说，当学生正向思维解决不了问题时，可引导学生从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。
例如：如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直平分线上.
分析：本题中要证明点D在AC的垂直平分线上，可想到垂直平分线的判定，因此只须证明AD=DC，而BD+DC=BC，而且已知条件BD+AD=BC，因此AD=DC就可证明得出，本题就解决了。
3、正逆结合。顾名思义就是正向思维和逆向思维相结合，这种方法也是几何证明中最常用的方法。有很多题目，直接从题设很难一下子想出如何解答，也就是说没有思路，教师可以指导学生结合分析的已知条件和结论，双管齐下，从已知条件寻找所能得到的结论，联系结论所需要的条件，结合图形，看中间还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要什么，是否需要做辅助线，这样思考下去……就可以把条件和结论连接起来，就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法。
例如：如图，在△ABC的顶点 B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上
分析：由题目的条件BD和CE两条角平分线可联想到角平分线的性质，可是如何得到结论呢，这就需要学生会逆推了，可从结论要证明点P在∠BAC的平分线上，想到角平分线的判定，从这两点可知需要做辅助线了，而这里的辅助线就是过P点做到各边的垂线段，证明到∠BAC两边的垂线段相等，即PM=PH就可以了。因此证明如下：
证明：过点P作PM、PK、PH分别垂直于AB、BC、AC，垂足为M、K、H。
∵BD平分∠CBM
∴PK=PM
同理PK=PH
∴PM=PH
点P在∠BAC的平分线上
四、完善书写，有理有据
经过之前的训练，学生有了一定的基础知识，有了分析的思维方法，从而得到了解题的思路，这时就要根据我们理清的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程。而证明过程的书写，其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程，把每一个条件可得到的结论按逻辑顺序一条一条书写下来，在书写的过程中对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合，要有理有据！
参考文献
1、本章节在整个教材体系中的地位和作用
本章教材是高中数学学习的重点之一，通过研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等，运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质，使学生建立空间概念，掌握思考空间几何体的分类方法，在认识空间点、直线、平面位置的过程中，进一步提高学生的空间想像能力，发展推理能力，通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察和实验，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用。本章内容在每年的高考中都必考，在选择题、填题2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC1，ACBC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD平面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；
（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M平面
CDB1 ？
空题和解答题中均能出现，分值约20分左右，主要考查线、面之间的平行、垂直关系。
2.本章节的知识结构和框架体系
题3.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D－AEC的体积；
（Ⅲ）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.题4：如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成角为450，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=900，2PA=2BC=AD。（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定点E的位置，若不存在，说明理由。
题5：．如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面
PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；
主视图 左视图（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.俯视图
8．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是.CB
9．已知平面M、N
互相垂直，棱l上有两点A、B，F
AC
M，BDN，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，A
BD＝24 cm，则CD＝_________．
10.l是直线, 、是平面, 给出下列命题:①若l垂直于内的两条相交直线, 则l;②若l平行于, 则l平行内所有直线;③若m,l，且lm,则;④若l,且l，则;
⑤若m,l，且∥,则m∥l．
其中正确的命题的序号是(注: 把你认为正确的命题的序号都填上)．
立体几何综合检测试卷
11.已知三棱锥SABC的三视图如图所示，1.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的表面积为.在原三棱锥中给出下列命题：①BC平面SBC； 2．在阳光下一个大球放在水平面上, 球的影子伸到距球与地面接触点10米处, 同一时刻, 一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米, 则该球的半径等于.②平面SBC平面SAB；③SBAC.其中所有 3.表面积为5214．长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1正确命题的序号是.点的最短距离是．
4.已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两
垂直，则这个球的表面积为.5.直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个 数为.C
A(B)C
主视图
左视图
6．已知正三棱锥的侧面积为18 cm
2,高为3cm.S
则它的体积为．
7.一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，俯视图 可以计算出该几何体的表面积是.12.已知、 是两个不同的平面，m、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m ⊥n
2）
（ ⊥（3）n ⊥（4）m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___________． 13.三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F 分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1 将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= _____．
14.已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于．
15.(8分)已知：正方体ABCDA1B1C1D1中，AA12,E为棱CC1的中点.（1）求证：B1D1AE；（2）求证：AC//平面B1DE；（3）求三棱锥ABDE的体积.17.如图1，等腰梯形ABCD中，AD//BC,ABAD,ABC60,E是BC的中点，如图2，将ABE沿
C1
A1B1
AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC,BD,F是CD的中点，P是棱BC的中点.（1）求证：AEBD；
（2）求证：平面PEF平面ABCD；
（3）判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.A
（图1）
F AC
DA11
C1
18.（12分）在直角梯形ABCD中，AD90,ABCD,，截面CDE与SB交于SD平面ABCD,ABCDa,SD2a，在线段SA上取一点E（不含端点）
E
点F.（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当
A
CD的值是多少时，能使DMC为直角三角形？请给出证明.AB
S
16.（8分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB点D为A1C1的中点.求证：（1）BC1//平面AB1D；（2）A1C平面AB1D.2AA1, 1
E
A11
C
AB
平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：
（1）x轴将坐标平面分为两部分，x轴上方的纵坐标为正数；x轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y轴正方向（也称y轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y轴负方向（也称y轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。
反之，如果点P（a，b）在x轴上方，则b>0；如果P（a，b）在x轴下方，则b<0。
(2)y轴将坐标平面分成两部分，y轴左侧的点的横坐标为负数；y轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x轴正半轴上的点的横坐标为正数。
（3）规定坐标原点的坐标为（0，0）
（4
一、熟记文字语言、符号语言、图形语言间的相互关系
几何证明题，体现的是文字语言、符号语言、图形语言三种语言之间的相互转化与应用。在学习几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等时，不仅要理解命题中文字语言所蕴含的本质，还要熟记命题对应的符号语言和图形语言。只有将三者紧密结合，才能对几何图形的有关概念、公理、定理、性质、判定等灵活运用，进而比较顺利地写出几何证明题的推理过程。
例1：学习平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（简单说成：同位角相等，两直线平行。）我们要明确其三种语言及其本质和作用：
二、关注图形已知
有一类知识点，依托图形出现，只要有图就有其身影存在，这类知识我们可以理解为图形已知，在几何证明的推理过程中可以直接应用。例2：
三、学会“走一走，看一看”
在几何证明中常用的方法是演绎推理，演绎推理指的是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理、性质等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论的方法。在具体的证明推理中，我们要学会“走一走，看一看”。所谓“走一走”，就是从“已知”条件出发“走一走”，得“推知”；而“看一看”，则是结合“推知”看“结论”，结合“推知”“结论”看图形。这样，“边走边看”就可以顺利写出推理过程，进而推出求证的结论。
例3：如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N。
■
求证：∠1+∠2=180°。
分析一：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1=∠3①；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠3，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠3=180°②；
由①②即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
分析二：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1=∠4③；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠4，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2+∠4=180°④；
由③④即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
分析三：从“已知”条件出发“走一走”
由已知AB∥CD，可推知∠1+∠5=180°⑤；
结合“推知”看“结论”：推知引出∠5，结论含有∠2；
结合“推知”“结论”看图形：图中有∠2=∠5⑥；
由⑤⑥即可推出求证的结论∠1+∠2=180°。
总之，我们在做几何证明推理题时，要做到“心中有已知，眼中有图形，证明有结论”，这样就可以比较顺利地写出几何证明题的推理过程。
参考文献：
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