初中数学圆证明题

初中数学圆证明题（精选12篇）

初中数学圆证明题篇1

1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD

．

2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．

3．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．

4．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧ABAF，BF和AD交于E，求证：AE=BE．

5．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．

6．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．求∠ACM的度数．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？

如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．

（1）求证：OP∥CB；

（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．

如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE•的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

如图，BC是半圆O的直径，EC是切线，C是切点，割线EDB交半圆O于D，A是半圆O上一点，AD=DC，EC=3，BD=2.5

初中数学圆证明题篇2

如何针对初中数学几何证明题的特点,调动学生的主观能动性,提高几何证明题的教学效果,我结合个人教学实际,谈几点粗浅看法.

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中,有几个重点环节,如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等,这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查. 与这些知识点相关的证明题,一般来说难度不小,对于刚刚接触几何知识的初中生来讲,是一个很大的挑战. 要抓好这部分证明题的教学,我认为首先就是要尊重教材.

教材是一切教学工作的根源. 教材中有很多经典的例题,这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点,可以说,把教材上的例题讲通讲透, 学生能完全消化教材的例题,应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题. 现实状况下,有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区,认为没有什么值得仔细讲、反复讲的,尽快讲完直接进入课后练习.这种教学方式是不科学的,也是不合理的,我认为教材上的例题,至少要到边到角地讲三遍,每一遍都有不同的任务,第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件;第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论,第三遍则是让学生做好细节上的处理工作.

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求,证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练,这样的证明过程才能得到更高的评价. 教学实际中,通常遇到学生证明步骤烦琐,证明格式不规范,箭头指来指去,看得头晕眼花,不少数学老师对此大为光火. 其实,更多的时候,我们要反思自己在教学中是否做得到位,做得细心.

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够,他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了,至于其他的地方,没有必要过于苛求. 比如在板书的过程中,有的为了赶进度,图简单省事,一些看似不重要的证明步骤一笔带过,有的书写不够规范,有的字迹过于潦草,黑板上箭头指来指去,如同一幅军事作战指挥图,学生看起来很累,也很容易产生歧义.

如果教师是这种教学心态,那么也无法搞好几何证明题教学工作的,首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程,没有做好细节自然就漏洞百出,所以,要充分认识到细节的重要性,为学生做好细节示范. 其次,学高为师,身正为范, 这也是对教师教学工作的一个基本要求. 如果教学时间不是很充足,宁愿放弃示范也不能匆匆了事,一定要把握细节,注意火候,只有我们自己做得足够好,才能理直气壮对学生提要求.

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学, 离不开强化训练. 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维, 还要训练学生的答题规范性.比如,在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中,有不少的题目要求学生作辅助线,不然难以解答.

要能准确作出辅助线,并熟练地运用各种定理来证明几何题, 就需要平时进行一定量的强化训练. 这种强化训练一定不能走入了题海的误区,训练的题目最好是由老师提前把关,量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理,也不能过于简单,我认为以书本上的例题为参考,适当提高点难度为宜.比如,我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线,只要作出了辅助线, 我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程,但要注意作出辅助线后续的工作,防止学生误打误撞,只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了.

通过一定量的题目进行强化训练,学生面对各种看似复杂的图形问题,能凭着直觉作出精确的辅助线,作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来,能较大幅度提高证明题的解题效率.

总而言之,初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点,作为数学教师要抓好教材例题的讲解,教学上遇到困难及时带领学生回归教材,多多少少能获得启发和提示.同时也要端正教学心态, 在板书和示范上尽量做细做实,切忌一笔带过, 草草了事. 最后要以一定量的题目及时强化训练,帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用,这样才能提高几何证明题的教学质效.

摘要：初中数学几何证明题需要思路明确、步骤清晰、过程精练,才能得到完整的分数.如何在新一轮课程改革的背景下,取得初中几何证明题教学的新突破,是本文着重探讨的一大问题.

初中数学几何证明题解题方法探讨篇3

【关键词】树立信心几何思想答题思路答题步骤

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058

几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。

一、树立面对几何证明题的信心

纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。

二、带领学生看图读图，培养几何思想

几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。

第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。

第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。

第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。

三、帮助学生理清答题思路

证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。

作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。

四、规范答题步骤

初中数学圆证明题篇4

对来自题目的众多信息进行加工处理,是完成几何论证的主要工作,也是几何论证中的关键所在。本文主要对学生论证时思维受阻的原因作些浅析,并着重提出相应的教学对策。

一、由于不能完整剖析图形、正确判断各种信息而引起的思维受阻及其对策观察能力、作图能力、直觉能力相对较弱的学生,他们不能完整地剖析图形,不能从中找出全部对证题有用的信息,甚至造成信息错觉,致使思维受阻,表现为: 1.不能作出正确的图形,这容易曲解题中的正确信息。

对策:要求学生(1)作图时须按照题设和题断所提供的信息,注意“平行”、“直”、“等角”、“中点”等位置关系和数量关系。

(2)注意线段之间、图形之间的大小比例关系。2.抓不住图形中显示出来的对证题有用的信息, 如:相等线段和相等两角、平行线、全等三角形、特殊四边形、相似形、对称形等。

对策:在不影响图形清晰度的前提下,可将这些有用信息用一定记号标在图形上,以增强直观性,减轻记忆量,也可将这些信息按主次顺序或在图形中的位置顺序暂存入头脑中的信息库。3.不能及时摈弃图形中显示出来的否定的、多余的信息;如这两角不可能相等,那两个三角形不可能全等。

对策:通过全面剖视,仔细观察图形中的量和关系,正确判断哪些信息是有用的,否定的或多余的。

例

1、如图,已知:AB=AC,A、C、D在一直线上,CD=BE。求证:EF=FD。

对证题有用的信息是:∠B=∠ACB,BE=CD,多余的信息是∠ACB+∠BCD=180°,否定的信息是△BEF不全等于△CDF,能力低的学生容易陷入企图证明△BEF≌△CDF的“死胡同”。几何中,“形”是先导,正确的图形常使对证题有用的信息昭然若揭,反之,不正确的图形非但不能正确反映有用的信息,还会干扰正确信息的摄取,以致证题误入歧途。因此,证题者必须绘制一个足够清晰的正确图形,以便认清图形结构,完整剖析其中的位置关系、数量关系和相互制约关系。

二、由于证题策略不当而引起的思维受阻及其对策整体观念较差的学生,对于来自题目的众多信息感到纷乱无序,不善于梳理信息,因而制订不出正确的证题策略、方案,导致思维受阻。主要表现为:制订证题策略、“筛选”证题方案的能力较弱,往往无一定方案或择错方案。

对策:把来自题目的各种有用信息进行有目的的组合交错,从而萌发出多种证题方案,而这些初步方案中有真有伪、有优有劣,然后再进行“筛选”。

例2 已知:△ABC中,∠A=90°,AD为BC上的高。求证:AD+BC>AB+AC。

这里,把各种有用信息:∠BAC =∠ADB =∠ADC=90°,△ABC∽△ABD∽△ACD，BC·AD=AB·AC,……以及三角形中ABAB,AD+ DC>AC,这样得不出结论,此方案不行。

方案二:如图(1)所示,由“BC>AB,AC>AD”取BE= AB, AF= AD,连结EF、AE,以下只要证得 ∠EFG=90°即可。

方案三:如图(2)所示,由“BC>AB”,取BE=AB,作EF⊥AC,证得AD=AF便不难得到结论。此外,还可用“等积法”、“求差法”、“逆证法”、“三角比”等等来设计此题的各种论证方案。

三、由于处理信息欠妥而引起的思维受阻及其对策对接收到的信息进行处理,是几何论证的主要过程,这是一个反复使用观察、比较、分析、综合、判断、推理等一系列思维活动的过程。在这过程中逐步地简缩题设与结论之间的差距,寻找题设与结论的连接点,形成证题思路。在此过程中引起这种思维受阻的原因主要有: 1.由于证题经验不足、模式不多,因此,对待新的题目感到不知所措对策:(1)由于新题目往往是旧题目的变形或变异,或是旧题目的延伸与发展,这就用得着“凭经验办事”(但并不单纯依赖于经验),通过检索,把贮存在头脑中的证题经验和模式输出,对照新、旧题目,找出它们的共同点、相似之处和相异之处,看看已有的经验和模式能否移植到新题目上。

(2)把新题目化为一个与旧题目有着基本联系的题目或化为一个与它等价的但较简单的题目。也可先分别化简题目的题设与结论再找它与旧题目的联系。如:有时可转向证原题的逆否命题。

例3 已知:⊙O的两切线l1∥l2。另一切线CD切⊙O于E并交l1、l2于C、D。求证:CE·ED等于定值。

证题经验告诉学生,先移动CD,使CD⊥l1,则求得定值是⊙O的半径r的平方。根据CE·ED=r2这一形式、特征,检索证题模式,证题者类比地联想到直角三角形中的射影定理,但此题涉及的是圆,哪有直角三角形的影踪?看能否从图形中分割出具有射影性质的直角三角形(模式)?应连结OE。则OE⊥CD,与旧模式吻合。再连结OC、OD,需要证明 ∠COD=90°,这由题设“切线l1∥l2”及圆外一点引圆切线的有关性质易得。

2.解题能力低的学生由于直观能力、辨异能力较弱,常被错综复杂的几何图形所迷惑,思维难以逼近题目的内核,造成思路中断对策:因为复杂图形通常是由几个基本图形复合而成的,所以可从复杂图形中辨认、分离出若干个基本图形,或对残缺不全的基本图形补全(这往往是添辅助线的启示)。

例

4、已知:AD是△ABC的角平分线,BD⊥AO且交AO延长线于D,E是BC中点。求证:ED=12(AB-AC)。

此题初看似乎较难入手,但观察到“AD平分∠且AD⊥BD”,隐现出残缺的基本图形: 等腰△ABF,应把它补全(见图3),再观察到基本图形(见图4)并联想它的特性,就找到了证题途径。

四、由于已有的经验的干扰,产生负迁移时思维受阻的原因及其对策

1.几何题题态各异,每道题都有它区别于其它题目的特殊性,故常有旧的经验和模式与解新题目不相适应的情况。这时的对策是:克服证法定势、探索证题新路。

当学生用某种方法成功地证明了若干问题后,他往往倾向于用同样方法证新题目,这种证法上的心理定势必须打破。针对“新”的题目,证法上要“出新”,不能把“经验绝对化”、“模式固定化”,使知识和技能产生负迁移,而要进行创造性思维,促进正迁移。

电大离散数学证明题参考题篇5

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结

点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1(2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

k条边才能使其成为欧拉图．

2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2

五、证明题

1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．

证：若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．

反之，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC) A(BC)．

因此．A(BC)=(AB)(AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：设xA，yB，则AB，因为AB = AC，故 AC，则有yC，所以B C．

设xA，zC，则 AC，因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB．

故得B = C．

3、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设xA，则AA，因为AA=BB，故BB，则有xB，所以AB．

设xB，则BB，因为AA=BB，故AA，则有xA，所以BA．

故得A=B．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

1．试证明命题公式(P(QR))PQ与（PQ）等价．

证：(P(QR))PQ(P(QR))PQ

((PQR)P)Q

PQ（吸收律）

(PQ)（摩根律）

2．试证明(x)(P(x)R(x))(x)P(x)(x)R(x)．

分析：前提：(x)(P(x)R(x))，结论：(x)P(x)(x)R(x)．

证明(1)(x)(P(x)R(x))P

(2)P(a)R(a)ES(1)(存在指定规则)

(3)P(a)T(2)（化简）

(4)(x)P(x)EG(3)(存在推广规则)

(5)R(a)T(2)（化简）

(6)(x)R(x)EG(5)(存在推广规则)

(7)(x)P(x)(x)R(x)T(4)(6)（合取引入）

2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．

(1)f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}；(2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；

(3)f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．

解：(1)f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现．

(2)f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现．

(3)f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是天晴；

则命题公式为： P．

问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：PQ．

注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“”．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：PQ．

注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．

例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．

怎样证明圆的切线篇6

一、定理法, 简称“连 (见) 半径, 证垂直”

例1如图一, 已知AB为⊙O的直径, 点D在AB的延长线上, BD=OB, 点C在圆上,

求证:DC是⊙O的切线。

分析:要想证明DC是⊙O的切线, 只要连接OC, 证明∠OCD=90°即可。

证明:连接OC, BC。

∵AB为⊙O的直径,

∴DC是⊙O的切线。

评析:一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论, 特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可, 否则就不是圆的切线。

二、距离法, 简称“作垂直, 证半径”

例2如图二, 已知OC平分∠AOB, D是OC上任意一点, ⊙D与OA相切于点E。

求证:OB与⊙D相切。

分析:连接DE, 过点D作DF⊥OB于点F, 证明DE=DF即可, 这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得。

请同学们写出证明过程。

评析:一定要防止出现将圆上的一点当作公共点而连接出半径。同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法, 作辅助线时一定要注意表述的正确性。

初中数学圆证明题篇7

一、读题

1.读题要细心，有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.

2.要记.这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示；第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.

3.要引申.难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

二、分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题，有三种思考方式：

1.正向思维.对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出.

2.逆向思维.顾名思义，就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题，能使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了，证明题不好，做题没有思路，那一定要注意了：从现在开始，总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议从结论出发.例如：可以有这样的思考过程：要证明某两个角相等，那么结合图形可以看出，有可能是通过证两条边相等，等边对等角得出；或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要什么，是否需要做辅助线，这样思考下去……我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.

3.正逆结合.对于从结论很难分析出思路的题目，我们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们某个角的角平分线，我们就要想到会得到哪两个角相等，或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形，我们就要想到是否要做辅助线，是作高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等的辅助线.正逆结合，战无不胜.

三、书写过程

分析完了，理清思路了.就要根据证明的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程.

证明过程的书写，其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合，不能无中生有、胡说八道，要有根有据！证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键.

四、巩固提高

课后布置相应的练习，让学生及时巩固，再现所学知识，并利用类比的方法进行新知识的求解证明，进一步掌握求解证明的方法技巧，从而提高学生的能力.

以上就是我们研究的初中数学几何证明题“读”、“析”、“述”、“练”的教学模式.虽然实践表明：“读、析、述、练”这种几何证明题教学模式，有助于激发学生学习证明题的兴趣；有助于学生数学解题水平的提高；有助于学生数学学习能力的发展.但我们在以后的教学过程中，还将不断改进、不断完善，以便能更有效地提高我校初中数学教学的效率.

离散数学证明题篇8

1.用等值演算法证明下列等值式：

（1）┐(PQ)(P∨Q)∧┐(P∧Q)

（2）(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)(P∨Q)∧┐(P∧Q)

证明：（1）

┐(PQ)

┐((P→Q)∧(Q→P))

┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))

(P∧┐Q)∨(Q∧┐P)

(P∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨Q)∧(┐P∨┐Q)

(P∨Q)∧┐(P∧Q)

（2）

(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)

(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)

(P∨Q)∧┐(P∧Q)

2．构造下列推理的证明：

（1）前提：(PQ)(RS)，(QP)R，R

前提：PQ。

（2）前提：Q →P, Q  S , S  M , M∧R前提：结论：P∧Q

（3）前提：P →(Q → R), S → P , Q

结论：S →R（4）前提：(P∨Q)→(R∧S),(S∨M)→ U结论：P →U（5）前提：P →┐Q,┐R∨Q ,R∧┐S

结论：┐P（6）前提：P∨Q，P →R, Q → S结论：R∨S

证明：（1）

① R前提引入

②(QP)R前提引入

③ QP①②析取三段论

④ RS①附加规则

⑤ (PQ)(RS)前提引入

⑥ PQ④⑤拒取式

⑦(PQ)(QP)③⑥合取规则

⑧ PQ⑦置换规则

（2）

① M∧R前提引入

② M①化简规则

③ S  M前提引入

④(S → M)∧(M → S)③置换

⑤ M → S④化简规则

⑥ S② ⑥假言推理

⑦ Q  S前提引入

⑧(S → Q)∧(Q → S)⑦ 置换

⑨ S → Q⑧化简规则

⑩ Q⑥ ⑨假言推理

(11)Q →P前提引入

(12)P

(13)P∧Q

（3）

① S → P

②S

③ P

④ P →(Q → R)

⑤ Q → R

⑥ Q

⑦ R

（4）

① P

② P∨Q

③(P∨Q)→(R∧S)

④ R∧S

⑤ S

⑥ S∨M

⑦(S∨M)→ U

⑧ U

（5）

① P

② P →┐Q

③ ┐Q

④ ┐R∨Q

⑤ ┐R

⑥ R∧┐S

⑦ R

⑧ R∧┐R

（6）⑩(11)假言推理⑩(12)合取前提引入附加前提引入① ②假言推理前提引入③④ 假言推理前提引入⑤⑥假言推理附加前提引入①附加规则前提引入②③ 假言推理④化简规则⑤附加规则前提引入⑥ ⑦假言推理结论否定引入前提引入① ②假言推理前提引入③④析取三段论前提引入⑥化简规则⑤⑦合取

① ┐(R∨S)结论否定引入

② ┐R∧┐S①置换规则

③ ┐R②化简规则

④ P →R前提引入

⑤ ┐P③④拒取

⑥ ┐S②化简规则

⑦ Q → S前提引入

⑧ ┐Q⑥ ⑦拒取

⑨ ┐P∧┐Q⑤⑧合取

⑩ ┐(P∨Q)⑨置换规则

(11)P∨Q前提引入

(12)┐(P∨Q)∧(P∨Q)⑨11 合取

3．在命题逻辑中构造下列推理的证明：

（1）如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩。如果颐和园游人太多，我们就不到颐和园去玩。今天是星期六。颐和园游人太多。所以我们到圆明园玩。

（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。

（3）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。

解：（1）首先将命题符号化：

设P: 今天是星期六；Q: 我们到颐和园去玩；R:我们到圆明园去玩；S:颐和园游人多。

前提：P →(Q∨R), S → ┐Q , P , S

结论：R证明：

① ②假言推理

④ P前提引入

⑤ P →(Q ∨ R)前提引入⑥ Q ∨ R④⑤假言推理 ⑦ R③⑥析取三段论

（2）首先将命题符号化：令P：明天是晴天，Q：明天是雨天，R：我看电影，S：我看书。① S → ┐Q前提引入②S前提引入③ ┐Q

前提：P∨Q, P→R, R→┐S

结论： S→Q

证明：

① S

② R→┐S

③┐R

④ P→R

⑤ ┐P

⑥ P∨Q 附加前提引入前提引入 ①②拒取式前提引入 ③④拒取式前提引入

⑦ Q⑤⑥析取三段论

（3）首先将命题符号化：

令P：小王是理科生，Q：小王是文科生，R：小王学好数学。

前提:P→R, ┐Q→P, ┐R

结论：Q

证明：

① P→R

② ┐R

③ ┐P

④ ┐Q→P

⑤ Q

6.证明: 前提引入前提引入 ①②拒取式前提引入 ③④拒取式

①A-B=A A∩B=Φ。

②(A-B)-C =(A-C)-(B-C)

证明：①

必要性。假设A∩B≠Φ，必有x属于A∩B，则x属于A同时属于B，即x属于A但是x不属于A-B。与A-B=A矛盾。

充分性。显然A-BA。任取x∈A，则如果x属于B，则x属于A∩B，与A∩B=Φ矛盾。因此x必不属于B，即x属于A-B。从而证明了AA-B。命题得证。②

∵(A-B)-C =(A∩～B)∩～C

= A∩～B∩～C;

(A-C)-(B-C)

=(A∩～C)∩～(B∩～C)

=(A∩～C)∩(～B∪C)

=(A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C)

=(A∩～C∩～B)∪Φ

= A∩～B∩～C.∴(A-B)-C =(A-C)-(B-C)

7．设R是A上的二元关系，试证：R是传递的当且仅当R2R，其中R2表示RR。

（1）设R传递，（x，y）∈R2，t∈A使

，∈R（因为R2＝R R）

∵R传递 ∴∈R

∴R2 R

（2）设R2R，若，∈R

则∈R2，∵R2 R，∴∈R。即R传递。

8．设A是集合，R1,R2是A上的二元关系，证明：

若R1,R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。

证明:

(1)∵ R1,R2是A上的自反关系

∴ IAR1IAR2

∴IAR1R2

∴ R1R2是A上的自反关系

又∵ R1,R2是A上的对称关系

∴ R1R11R2R21

中考数学几何证明题篇9

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;

第一个问我会，求第二个问。需要过程，快呀！

连接GC、BG

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°

∴四边形ABCD为矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°，DF∥AB

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰Rt△

∵G为EF中点

∴EG=CG=FG

∵△ABE为等腰Rt△，AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB为等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

初中数学几何推理与图形证明对策篇10

关键词：初中数学几何推理图形证明

几何是要求空间感与立体感相结合的学科，在几何的推理与图形证明过程中，既充满了挑战，又包含了很多乐趣。几何推理与图形证明是数学题目中相对有趣的内容，需要解题人保持清醒的头脑，能正确运用线条来解答题目。初中数学的几何推理与图形证明着力于立体空间，解题方法也以辅助线为主。因此，初中的数学几何一定要在空间教学中做足功夫，这样可以帮助学生更好地解决难题。

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时，推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类，即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系，要大胆地猜想图形中可能存在的关联性，哪些点之间可以连成线，也可从一点或一线入手，或在一面中做出线段，使其分成多面，以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点，并运用其特点进行推算。在平时的推理中，我们应多看一些必要条件，如平行、相等、相似等字眼，也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维，可以把看似没有关系的线段和面結合在一起，这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系，只有在同一空间下的线和面才可连接，不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

（一）掌握简单图形

初做立体几何题时，学生会分不清几何与代数之间的差别，有时也会用错方式和方法，这时只要巧妙运用基本的几何图形，就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见，通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解，在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的，所以学生在做题时不用担心找不到解题方法，只要把基本的图形从复杂图形中挑出来，几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种，有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形，所以我们在运用基本图形时，可以多变化几种形式，如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等，这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

（二）图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时，我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，一步一步地进行解答，这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形，我们可以根据已知条件来进行，这样的分离方式不会遗漏任何条件，并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单，对学生解题就越有利，所以在分析图形时，积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中，题目的各个给出条件都是很重要的，通过这些，我们可以知道哪些是已经知晓的，可以直接用来解题，哪些条件能够推出结论，特别是在复杂的命题面前，这些因素都要考虑。在解题中，找到各种条件是很重要的，把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键，如从已知条件推出什么样的结论，什么样的结论该由哪些条件推理得出，包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤，题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此，掌握好各要素，并加以分析，在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

（一）辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分，辅助线可以分解图形，更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时，我们要仔细观察图形的特点，比如，三角形的辅助线多以某一顶点开始；而立方体的辅助线多是在空间中体现的，有时甚至是在不同面连接而成。

（二）合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力，单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中，只有找到几何推理的窍门并加以运用，才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系，以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后，一定要标明各个线面的名称，为后续的推理做铺垫。在几何推理中，面面证明和线线证明是很重要的，我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题，所以在几何解题中，我们要保持清醒的头脑，知道辅助线的运用及合适的位置，以便顺利完成几何题的推理过程。

参考文献：

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究：初中版，2014（10）.

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学，2014（104）.

巧用圆模型妙解物理题篇11

一、利用圆的弦分析运动时间问题

【例1】如图1所示, 在斜面上的O点竖直地固定一长为10 m的直杆AO, O点到斜面底端B点的距离也是10 m。杆顶A与B点间固定有一条钢丝, 一小球穿在钢丝上由静止从A点无摩擦地滑到B点, 求小球下滑的时间 (g取10 m/s2) 。

解析:由于本题斜面倾角未知, 故用常规解法有较大困难, 但如能合理构图, 便可迅速求解。

从题中两个“10 m”出发, 把AO延长到C, 并使 $Ο \bar{C} = Ο \bar{A} = 10 m$ , 则A、B、C三点同在以O为圆心, $Ο \bar{A}$ 为半径的圆周上, 如图2所示。利用结论:物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上, 所用时间都等于它沿圆的竖直直径自由下落所需的时间,

所以 $t = 2 \sqrt{\frac{R}{g}} = 2 s$ 。

答案:2 s

二、利用圆的弦分析动态平衡问题

【例2】如图3所示装置, 用两根细线拉住一球。现保持两绳间的夹角不变, 把整个装置顺时针缓慢转过90°, 则在转动过程中, OA、OB的拉力大小分别怎样变化?

解析:该题中两细绳拉力的大小、方向均发生了变化, 但两绳间的夹角不变, 而同弧所对的圆周角和圆心角不变, 所以, 可用以下方法。

物体受重力G、OA绳拉力F1、OB绳拉力F2, 这三个力在空间构成一封闭三角形, 且F1、F2间夹角不变。以F2为直径构造如图4所示的圆, G点绕圆周顺时针转动, 很明显, F1在D点时最大, F2一直减小。所以, OA的拉力先增大后减小, OB的拉力一直减小。

答案:OA的拉力先增大后减小;OB的拉力一直减小

三、利用圆的切线分析最值问题

【例3】一条河宽为d=200 m, 小船在静水中的速度v1=2 m/s, 水流速度v2=4 m/s。求小船过河的最短位移。

解析:由于水流速度大于船在静水中的速度, 所以, 小船不可能垂直过河, 最短位移不再等于河宽。本题用矢量图示并结合圆进行分析, 比较容易理解, 也容易求得最短位移。小船的合速度沿圆的切线方向时过河有最短位移。如图5所示, 由三角形相似可知:

$\begin{array}{l} \frac{s_{m i m}}{d} = \frac{v_{2}}{v_{1}} ‚ 所以 s_{m i m} = \frac{v_{2}}{v_{1}} d = 400 m ‚ \\ \cos θ = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{2} ‚ 所以 θ = 60 ° 。 \end{array}$

即小船过河的最短位移为400 m, 方向与下游河岸成30°角指向对岸。

答案:最短位移为400 m 方向与下游河岸成30°角指向对岸

四、利用圆的对称性分析变力做功问题

【例4】质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆环轨道运动, 已知动摩擦因数为μ。试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中摩擦力做的功。

解析:圆具有中心对称和轴对称, 利用圆的对称性, 常可突破难点。如图6所示, 分别选取小车在关于水平轴对称的1、2两点处的微位移RΔθ, 研究摩擦力的功。小车在1、2两点受力如图6所示, 由牛顿第二定律知

$\begin{array}{l} F_{Ν 1} - m g \sin θ = m \frac{v^{2}}{R} ‚ \\ F_{Ν 2} + m g \sin θ = m \frac{v^{2}}{R} ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 即 F_{Ν 1} = m \frac{v^{2}}{R} + m g \sin θ ‚ \\ F_{Ν 2} = m \frac{v^{2}}{R} - m g \sin θ ‚ \end{array}$

则小车在1、2两点运动微位移RΔθ的过程中, 摩擦力做功之和为

ΔWf=ΔWf1+ΔWf2

=-μFN1RΔθ-μFN2RΔθ

=-2μmv2Δθ

显然, ΔWf与角θ无关。故整个过程中摩擦力做的总功为

Wf=∑ΔWf=-2μmv2∑Δθ

=-2μmv2π/2=-μmv2π。

初一数学几何证明题篇12

1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于p,Q点.根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=Fp,EM=EN.过D点做BC上的高交BC于O点.过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可证Fp=2DJ。

又因为FQ=Fp,EM=EN.FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ΔCDE

∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN