角平分线的性质练习题（精选13篇）
教学目标：
使学生掌握角平分线的性质和判定定理，并能应用它解决有关的证明问题。教学内容与过程：
一、情境创设
一个Ｓ区有一货易市场，在公路与铁路所成角的平分上的Ｐ点要从Ｐ点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短，这两条路在数量上有何关系？
这节课让我们再次走进“角平分线的性质和判定”（板书课题）
二、学生探究（过渡语：老师这有个题目，看谁能又快又正确的做出来）例
1、△ABC中，AD是它的角平分线。且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC。垂足分别为E、F。求证：EB=FC
三、展示归纳 例题学生做后，解答过程生说老师写，发动学生纠正和完善，教师画龙点睛强调，最后指出这就是今天的两个例题。
四、变式练习
学生按要求完成相关练习；师安排学生到黑板前解答相关问题；师生共同纠错，并强调注意事项。
变式1：如图：△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC ,垂足分别为E、F。求证：DE=DF
A FE
BDC
变式2：在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。求证：点D在∠A的平分线上。
变式3：已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。
CDF
B
AE
五、反馈补救
在每个变式练习处理完后如有问题都进行补救，强调和画龙点睛。此环节一般在变式练习环节同步进行。
六、小结与归纳
引导学生先进行自主小结，再进行概括总结。
七、布置作业
师布置作业，学生完成作业。
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F，连接E,F，交AD于点G，AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。
A
性质的应用:
答案:6。
又因为点A∈C, 由双曲线的第一定义得|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a=6。
若3x-4y+6=5x-10, 得x+2y-8=0 (因其斜率为负, 舍去) 。于是, 3x-4y+6=-5x+10, 得2x-y-1=0。所以, 直线l的方程为:2x-y-1=0。
下面结合所说的性质给出一种解法:
恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的保障.没有数学，它们便无法达到这样可靠的程度.——爱因斯坦
一、填空题（每小题3分，共27分）
1． 到三角形三边距离都相等的点是三角形__的交点.
2． 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.DE⊥AB，垂足为E.（1）若BC=8，BD=5，则DE=__；（2）若∠B=45°，CD=4，则BE=__.
3． 如图2，△ABC中，∠C=90°.AD平分∠BAC，交BC于点D.已知AB=10 cm，CD=3 cm，则△ABD的面积为__.
4． 如图3，DB⊥AB，DC⊥AC，DB=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=__.
5． △ABC中，AB=AC.∠B、∠C的平分线交于点O，连接AO.若S△AOC=8 cm2，则S△AOB=__cm2.
6． 如图4，已知AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点.OE⊥AC于E，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离为__.
7． 如图5，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O.OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G.则OF__OG（填“＞”、“＜”或“=”）.
8． 王师傅用角尺平分一个角（如图6（1）），学生小明则用三角板平分一个角（如图6（2））.他们在∠AOB两边上分别截出OM=ON.王师傅使角尺两边的相同刻度分别与M、N重合，角尺顶点为P；小明分别过M、N作OA、OB的垂线，交于点P.则可由△OMP≌△ONP得知射线OP平分∠AOB.他们证明全等的依据分别是__和__.
9． 如图7，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P和点P′分别在边OA、OB上.给出条件：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC.如果要得到OP=OP′，只需要添加以上条件中的某一个即可.请你写出所有可能的条件的序号：__.
二、选择题（每小题3分，共27分）
10． 尺规作图中角平分线的作法的理论依据是全等三角形判定方法（）.
A. SASB. SSSC. AASD. ASA
11． 如果要作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是（）.
①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于1/2DE的长为半径作圆弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①
12． 如图8，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC上的点，则DE和DF（）.
A. 一定相等
B. 一定不相等
C. 不一定相等
D.只有当DE⊥AB、DF⊥AC时相等
13． 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D.若BC=32，且BD∶DC=9∶7，则D到边AB的距离为（）.
A. 18B. 16 C. 14 D. 12
14． 如图9，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为20、30、40.其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（）.
A. 1∶1∶1B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4D. 3∶4∶5
15． 如图10，点P到BE、BD、AC的距离相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B、∠DAC、∠ECA的平分线的交点.上述结论中，正确的有（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
16． 在△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25.在△ABC内有一点P，P点到各边的距离相等，则这个距离是（）.
A. 1B. 3C. 6D. 无法求出
17． 三条公路a、b、c的位置如图11所示.现决定在三条公路之间修建一个购物超市.若使超市到三条公路的距离都相等，则超市应建在（）.
A. 在AB、BC两边高线的交点处
B. 在BC、AC两边中线的交点处
C. 在∠α的平分线上
D. 在∠α、∠β的平分线的交点处
18． 如图12，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E.若△BCD与△ABC的面积之比为3∶8，则△ADE与△ABC的面积之比为（）.
A. 1∶3B. 1∶4C. 1∶5D. 1∶6
三、解答题
19． （8分）要在图13所示的两条公路中间建一座加油站，位置选在距两条公路的距离相等，并且到两条公路的交叉点A处的距离为2 cm（指图上距离）的地方.那么图中加油站的位置应在哪里？请说明理由.
20． （9分）如图14，点P是∠AOB内一点，PD⊥OB于D，PC⊥OA于C，且PD=PC.点E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°.求∠PEC.
21． （9分）如图15，AD是△ABC的角平分线.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.BD=CD.
求证：∠B=∠C.
22． （12分）在学习角平分线的一节课上，老师要求同学们做一道练习题.题目图形如图16，图中BD是∠ABC的平分线，且AC⊥BC，DE⊥AB.在同学们忙于画图和分析题目时，小玉同学忽然大声地说：“我有个发现！”原来，她觉得自己创造了一个在直角三角形中画锐角平分线的方法.她的方法是这样的：在Rt△ABC斜边AB上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线了.有的同学对小玉同学的画法表示怀疑.你认为她的画法正确吗？请说明理由.
四、拓展题
23． （14分）如图17，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补吗？为什么？
24． （14分）如图18，四边形ABCD中，AD∥BC.AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰在DC上.
（1）求证：AP⊥BP.
【设计理念】
数学课堂是以学生为中心的活动的课堂，通过学生动手实践、自主探索、合作交流的过程，达到知识的构建，能力的培养和意识的创新及情感的陶冶，这也是实现数学教育从“文本教育”回归到“人本教育”。
【教材分析及教法】
《角平分线的性质》是人教版八年级数学上第十一章《全等三角形》第三节第一课时。它是在学生已经掌握全等三角形的性质与判定基础上继续探究的一节新授课。学好本节内容是进一步学习轴对称和直角三角形知识的基础，在教材中起承前启后的作用。
本课以教师为指导，以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以探究式教学法和直观演示法为主的教学方法，注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。【学情分析及学法】
因为学生课前已经自学了本节课的内容对本节课的知识已经有了初步的了解，并且已经掌握了角分线的定义，全等三角形等知识。这样有利于他们类比学习本节内容。初二学生有一定的观察分析能力、逻辑思维能力和数形结合的能力，但对于角分线的特点具有的性质及逆定理比较模糊。在教学中通过分组讨论和多媒体演示能有效解决上述问题。
本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。【教学目标】
知识与技能：掌握角平分线的性质和判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．
过程与方法：经历探究角平分线性质判定的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力．了解角平分线的性质在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
情感、态度、价值观：结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。【教学重难点】
重点：角平分线性质和判定的应用．
难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.【课时安排】 2课时
【教学设计策略】
依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：
1、回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。
2、原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。
3、教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。【教学效果预测】
本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验探索过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。
【教学过程】
一、导入新课
创设情境，提出问题
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
问题：
1、集贸市场建于何处？ 比例尺为
1：20000是
2、比例尺为1：20000是什么意思？
什么意思？ 你能在图上找出S点的位置吗？
〖答案〗
1、这个集贸市场应该建在公路
与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2、在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
〖设计意图〗通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题，激发学生的求知欲．通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活,生活离不开数学,激发学生学习的积极性．
二、探索新知
1、问题：角平分线性质逆命题是否正确呢？你能
B给出证明吗？
E〖答案〗已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
Q求证：点Q在∠AOB的平分线上 证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB OD ∴∠QEO=90°,∠QDO=90°
又∵QD＝QE，OQ=OQ ∴Rt△QEO≌Rt△QDO ∴∠QOE=∠QOD ∴点Q在∠AOB的平分线上．
〖设计意图〗通过该问题让学生确信逆命题的正确性，并让学生试口述该性质，加深学生的印象．这个提问设置为学生区分用哪个性质给出了说明，同时又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．
2、揭示课题，整理概念，板书点在角的平分线上． 用符号语言表示为：
角的内部到角的两边距离相等的
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
A
∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE．
总结:应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．
3、出示例题
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
〖点拨方法〗点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． A∴PD=PE．
D同理PE=PF． NP∴PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
BF探究：连接AP，请问AP平分∠BAC吗？（能否给出简单证明）．
〖设计意图〗该例题运用了角平分线的两个性质，起到巩固新
知的作用．
三、课堂反馈训练
1、已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD
l1和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点Fl3S2在∠DAE的平分线上.S4S1l2 A S3G BCN MDE
F
EMC
〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢? 〖答案〗
证明：过点F作FG⊥BC,FM⊥AE,FN⊥AD垂足分别为G、M、N.∵FB、FC分别为∠CBD、∠BCE的角平分线
∴FG = FN, FG =FM ∴FN =FM ∴点F在∠DAE的平分线上.2、如下图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
〖点拨方法〗如上图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处.〖答案〗D.〖设计意图〗引导学生对问题进行变式，既培养学生发散性思维能力，同时也培养学生的辨别能力，让学生学会比较，养成良好的学习习惯，培养严谨的思维能力．
四、小结归纳
今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获? 〖设计意图〗发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.五、堂堂清练习
1、必做题：教科书第22页习题11.3第3、5题.2、选做题：
(1)与相交的两条直线距离相等的点在：()A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上 〖答案〗 B
3、备选题：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分
别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有：()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 〖答案〗D A
FE CD
六、板书设计 【教学反思】
在设计这节课时，我想如果在一节课的时间里把性质和判定学完，那只能是把本节课设计为探究课，而对于性质与判定的应用只能放在下一节课，于是我把这节课设计为探究课，把对角平分线的性质与判定定理的探索作为本节课的重点。本节课的教学方法是启发探究式。为了增加课堂密度和教学效果以及突破本节课的教学难点，我运
2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。
用几何画板和幻灯片制作了课件，以增加学生对角平分线上任意一点的理解。在学生探究角平分线的性质与判定时，我分别创设了情境，一是为了给学生的探究搭建平台，培养学生的动手操作能力。二是为使学生感受到数学知识来源于实际并应用于实际。同时也体现了新课程标准下的课堂应体现学生的主体性。【教学评价】
1、本节课以学生已学知识为载体，以展示思维过程为主线，以探索猜测为途径，突出能力培养和数学思想方法的渗透。
2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。
教学目标：
1、掌握两个直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2、了解并掌握角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)及其逆定理(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)及其简单应用。
3、提高综合运用知识能力。
教学重点：角平分线性质定理及逆定理
教学难点：角平分线性质定理及逆定理的应用 教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：
一、导入新课
AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？
问题1：图中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？
学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的条件可能情况有四个:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。
问题2：你能说出上述四个可判定依据吗？
说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。
2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？
二、新授
探究1 把两个直角三角形按如图摆放，已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，∠BOP=∠AOP，请说明PD =PE。
思路：证明Rt△PDO≌Rt△PEO, 得到PD=PE。归纳结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。探究2 把两个直角三角形按如图摆放，已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，PD =PE，请说明∠BOP=∠AOP。
请学生自行思考解决证明过程。
归纳结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（板书）
三、例题讲解
0P23 例题1 如图1-28，∠BAD=∠BCD=90, ∠1=∠2.(1)求证：点B在∠ADC的平分线上(2)求证：BD是∠ABC的平分线 教师指定一名学生上台板演，师生共评结果。
四、巩固练习： 课本P24 练习1、2
五、小结：角平分线性质定理及逆定理表述。
六、布置作业： P26习题1.4 A组1、2、3
1、 首先看几个特殊的角吧。
2、 对于这种再特殊不过的角，画个角平分线是很简单的。
3、 分析1：由于角的一条边是水平的，并且角度值也是具体的值，那么我们只需要做个倾斜角度为其一半的就OK了。
4、 利用相对坐标的方法或者旋转的方法都可以完成。
5、 上面的会画之后，再看看这个吧。
6、 分析2：这样的角和上一步对比，发现只有角的两条边不是特殊的了。
7、 借鉴上一个的画法，我们可以利用旋转了做，
8、 选择旋转时的转动基点。
9、 旋转的同时，要保留起始边的，所以要先复制边。
10、在旋转的时候，还是要遵循CAD的逆时针为正的原则。
11、接下来，我们看看一般的图形吧。
12、分析3：这样的三个角，边是一般的、角也不是特殊的没有数值，测量一下又不一定是特殊值。即便是特殊值，我们还是不好做的。
13、 接下来，要讲的是今天的重点，也是CAD中画角平分线的正确画法。
14、依次点击【绘图】【构造线】。
15、指定角的顶点。
16、选择角的起点。
17、选择角的端点。
18、完成后的构造线，也就是角的平线。
学校:省农垦总局宝泉岭管理局局直中学
上课教师:王君君
一、学习目标
1.请同学们充分利用全等三角形的知识, 感受数学知识在实践中的巧妙应用, 动手实验探究角平分仪的原理, 学会尺规作图, 能用多角度解决问题.养成独立观察探究、动手操作、主动验证知识的好习惯.
2.请同学们利用全等三角形的知识证明角的平分线的性质, 经历合作交流、展示汇报过程, 提升分析问题能力以及规范的书写、表述能力;提高综合运用三角形有关知识解决问题的能力.学会证明命题的数学思维和方法.通过层层递进式的推理、应用、论证, 形成数学的知识体系.
二、学习重、难点
重点:尺规作图, 角的平分线及全等三角形知识的应用.
难点:角的平分线的性质定理的探究.
三、课前准备
剪刀, 纸片, 直尺, 三角板, 圆规, 量角器, 制作角平分仪的材料 (如图钉、纸壳、小木条、橡皮筋等) .
四、课上活动
探究1:动手试验, 创设情景
请同学们准备剪刀, 自己动手剪一个角, 你有什么方法可以确定角的平分线?
沿角的平分线把纸片对折, 使OA、OB重合, 对折的纸片再任意剪一次 (PE) , 然后把纸片展开, PE、PF相等吗?为什么?
反过来如果PE=PF, 那么折痕 (OP) 一定是角的平分线吗?为什么?
请每个小组的组长组织成员相互解疑, 并汇报你们的理由.解决不了的请询问老师吧.因为这部分是我们制作角平分仪的原理哦!
探究2:制作角平分线仪
请同学们根据上述原理, 制作角平分仪.如果有困难可以参考书上P19探究来制作.
请同学们同桌或小组一起制作, 组内展示你的成果, 并请同学们画任意角, 再用角平分仪画这个角的平分线.看看谁最棒!你觉得角平分仪使用起来有哪些利弊点?
探究3:尺规作图
根据角平分仪原理, 运用直尺、圆规做一个角的平分线, 同桌或小组汇报绘图过程.
温馨提示:如果你感觉有困难请参考书上P19作图过程作图, 并明确原理, 请同学们总结作图过程中有哪些疑问, 一定要大胆地向组内、组间或老师提出.我们喜欢能提出问题的你、欣赏会提问的你、更敬佩能解决同伴问题的你哦!
探究4:电脑演示, 推理论证
1. 电脑演示角的平分线的性质;
2.总结角的平分线的性质:____________.请同学们分析角的平分线的性质这个命题的题设和结论, 画图并写出已知和求证, 独立写出证明的完整过程.看谁的完整!
已知:
求证:
证明:
结合证明过程说明:文字命题证明的几个步骤:________________________.
小试身手:巩固命题的条件和结论.看谁最聪明!
1.判断:∵如下图, AD平分∠BAC (已知)
∴BD=CD (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.)
2.如下图, AD平分∠BAC, DC⊥AC, DB⊥AB若AB=4, CD=2, 求AC和BD的长.
小结:数学小日记
今天你收获了什么__________________;
所涉及的重要的数学知识和数学方法有哪些______;
评价一下你在你们组内的表现如何______;
评价一下你们学习组或其他小组____________;
一、教学前端分析
八年级的学生已经具备基础的几何语言，有一定的推理能力，好奇心强，有探究的欲望，能在教师的引导下发现生活中的数学知识，并运用所学推出新知。但他们思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强和引导。
二、学习内容分析
本节课教学内容是在七年级学习了角平分线的概念和刚学完三角形全等的基础上进行教学的.主要来研究角平分线的性质及判定，为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，是作图、计算、证明的重要工具，为今后的几何学习作好了铺垫，具有承前启后的作用，因此本节课在教材中占有非常重要的地位。
三、教学目标分析
（1）知识与技能目标：掌握画已知角的平分线的方法，掌握角平分线的性质、判定及初步应用。
（2）过程与方法目标：提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力，了解角的平分线的性质及判定在生活中的应用，在探索角的平分线的性质中培养几何直觉与抽象概括能力。
（3）情感态度价值观目标：在探讨角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
四、教材的重点与难点分析
重点：理解角的平分线的性质以及判定并能初步运用，难点：角平分线的性质以及判定的综合运用。
五、教学策略分析：
1.教法选择：根据本节课的内容特点和学生特点，我选择问题教学法、探究教学法和引导发现法相结合。
大地中学 张聪胜
【教学目标】
1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．
2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．
3．通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情．
【教学重点】 角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．
【教学难点】 理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系．
【教学方法】 启发探究式．
【教学手段】 多媒体（投影仪，计算机）．
【教学过程】
一、复习引入：
1．角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
叫这个角的平分线．
表达方式：
如图1，∵ OC是∠AOB的平分线，∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠AOB）．
2．角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？（可由学生任选方法画出OC）．
可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用TI图形计算器．
3．创设探究角平分线性质的情境：
用两个全等的30º的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30º．学生可能拼出的图形是：
（拼法1）（拼法2）（拼法3）
选择第三种拼法（如图2）提出问题：
（1）P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE 的边有怎样的位置关系？
（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段来表示？
（3）PD、PE有怎样的数量关系？（投影）
二、探究新知：
（一）探索并证明角平分线的性质定理：
1．实验与猜想：
引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？
用TI图形计算器实验的结果：
（教师用计算机演示：点P在角平分线上运动及改变∠AOB大小，引导学生观察PD与PE的数量关系）．
引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：
命题1 在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．
2．证明与应用：
（学生写在笔记本上）
已知：如图3，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．
求证：PD＝PE．（投影）
证明：∵ OC是∠AOB的平分线，∴ ∠1=∠2．
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴ ∠ODP=∠OEP=90º．
又∵ OP=OP，∴ △ODP≌△OEP(AAS)．
∴ PD＝PE
三、作业设计
反思：
一、重视情境创设，让学生经历求知过程。本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。
一、重视学生动手操作，让学生经历探究求知过程。目的是引导学生积极成为学习的主体，自觉参与课堂，积极投入到探索过程中，教学中引导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听，用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。
二、课堂上有效利用多媒体辅助教学，增加了课堂教学效益。在学生通过动手实践、猜想、概括等活动后，用课件展示给学生，缩短了课堂教学时间，也为提高课堂教学效率提供了帮助。
三、注重对学生数学课堂学习过程的评价，尽可能做到充分理解和尊重学生的发言。对正确的发言给予真诚的肯定，对于学生发表的不对的意见有意进行冷处理，创造机会让学生去争论。学生能够在课堂上敢说、敢议、敢评。
一、成功之处
1、通过具体情境使学生能够比较容易的运用这两个定理。
许多学生学习了某个定理后，遇到相对应的题目往往不知道该用哪个定理，通过一些对应的题目，或者用数学语言给出条件，让学生得出结论，并说出用的是哪个定理，可以强化学生对定理的运用能力。
2、注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程。在证明的选题上，注意了减缓坡度，循序渐进。在开始阶段，证明方向明确，过程简单，书写容易规范化，这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心角平分线的证明问题，减缓学生几何证明的坡度。
二、不足之处
1、学生缺乏具体的自主探究几何的机会，只是培养了学生的几何证明思路。
从本节课的教学设计，到教学实施，再到教学反思的过程中，我觉得本设计有以下几个方面的亮点：
1.教学设计注重了知识的形成过程。
教学中教师应鼓励学生积极参与知识的获取过程，让学生亲历知识的发生、发展及其探求过程。
2.在教学中以问题引领学生活动，在学生活动中突出重点，突破难点。
本节课在教学实施中，通过教师问题引领，启发诱导学生自主学习、小组互动讨论等一系列活动，突出了本节课的重点，分解、突破了难点。
3.数学思想方法的渗透。
汪晓勤
（华东师大数学系, 上海, 200241）
笔者在文[1]中指出，如何将数学史融入数学教学，是HPM研究的中心课题之一。在与中学一线教师合作开发HPM案例的过程中，我们发现，教师手头缺乏有关的数学史材料；在我们提供材料之后，他们在材料的取舍上也存在一定困难。
“角平分线”是初中数学中的一个知识点，在上教版、苏教版和人教版三种教材中的具体信息见表1。
表1 三种教材中有关角平分线的内容
教材 上教版 年级 六下
所在章节
7.5 画角的和、差、倍
内 容
用折纸方法引出角平分线概念；用量角器画角平分线；角平分线的尺规作图法
苏教版 七上 七下
人教版 七上 6.2 角
11.3 探索全等三角形的条件 4.3 角
用折纸方法引出角平分线概念 用角尺的方法引出角平分线的作图 先给出角平分线的定义；再介绍折纸作角平分线的方法
八上 11.3 角的平分线的性质
通过角平分线仪器引出角平分线的作图法，通过折纸方法引出角平分线的性质定理，通过集贸市场选址问题引出上述性质定理的逆定理。
三种教材都没有涉及角平分线的具体历史，内容呈现也未采用历史的视角。1 历史、文化素材
1.1 角平分线的起源
角平分线问题或许源于生活实际，但古希腊数学家并不重视数学的实际应用，因而我们很难在古希腊数学文献中找到有关证据。而从数学内部看，角平分线问题的起源应该是很清楚的，那就是三大几何难题之一的化圆为方问题的求解。公元前5世纪，著名辩士、诗人安提丰（Antiphon）首次采用圆内接正多边形试图解决该问题：从圆内接正方形出发，不断倍增边数，当边数无限多时，圆就被化成了方，即圆面积得以求出。而倍增边数，需要通过作角平分线来完成。
古希腊人的作图工具是没有刻度的直尺和易散的圆规（双脚离开纸面后自动合拢），今称欧几里得工具。
1.2 角平分线的作图
欧几里得《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角。”[2]此即：作一个已知角的平分线。
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图1 《几何原本》卷1命题9
图2 欧几里得的角平分线作图法
欧几里得在《几何原本》中给出如下的作图法：在OA和OB上分别取点D和E，连接DE，在DE上作等边三角形DEF，则OF就是角AOB的平分线。欧几里得的作图法是书本 上作图法的特殊情形。其中，在一条已知线段上做一个正三角形，是《几何原本》第一卷的第一个命题。
1.3 角平分线的推广
知道角平分线的作图之后，我们很容易得到四等分角、八等分角、十六等分角、„的作图。问题是：我们能用尺规将一个角三等分吗？这也是古希腊三大几何难题之一——三等分角问题。古希腊数学家一次又一次的尝试均以失败而告终。直到19世纪，数学家彻底证明：三等分角的尺规作图是不可能的。一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法，有些人借助尺规以外的机械工具（如尼科梅德的蚌线），有些人构造两种不同运动（如希皮亚斯割圆曲线、阿基米德螺线），都涉及超越曲线。在欧几里得看来，这些办法都是不作数的，因为，它们不能通过尺规作图来实现。
1.4 角平分线的应用
美国数学史家和数学教育家史密斯（D.E.Smith, 1860-1944）在教师培训教材《几何教学法》中，提供了角平分线的两种实际应用[3]。如图3，要在两条街道所形成的岔路之间、距路口若干远处安装一盏路灯，问灯柱该立在何处？显然，要使路灯照在两条街上“一样亮”，就必须将灯柱立于两街所成角的平分线处。
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图3 岔路口的路灯
图4 日影实验
第二个例子是，选择一个晴天，让学生在上午9点左右，在操场上一点N处立一根高约5英尺的直竿，测量直竿影子的长度，并在影子的末端W处作一个记号；到下午3点左 右，再测量直竿的影长，等到影长与上午测得的影长NW完全相等时，在影子的末端E处做一个标记。于是，角WNE的平分线位于正南北方向，如图4所示。当太阳的影子位于NS上时，时间到了真太阳时的正午时分（与钟表上的12点有出入）。教学设计
将数学史、数学文化知识融入数学教学，必须遵循以下原则。
● 趣味性。教学内容应让学生觉得有趣才行。应该讲述数学背后的故事（当然，不能占太多时间）。
● 科学性。数学史材料应符合史实，而不是胡乱编造；数学上不能有错误。● 有效性。不是为数学史而数学史，而是为有效地完成三维目标而应用数学史。● 可学性。教学设计一定要符合学生的认知基础，易于为学生接受。
● 新颖性。HPM视角下的教学设计必须有新意、有特色，对教师专业发展起引领作用；而不是完全照本宣科，或网上下载，或人云亦云。
在上述原则，特别是有效性原则的指导下，我们来设计角平分线的教学。
2.1 引入
我们不可能按照历史上数学内部的需要来设计引入部分，而需要重构角平分线知识的发生过程。利用岔路口的路灯安装问题来引入，一方面，将教学建立在一个学生易于理解的生活情境的基础之上；另一方面，可以有效地激发学生的学习动机。这是发生教学法的基本思想。
2.2.作图
在介绍书本上的作图法之后，问学生：古代数学家又是如何作图的呢？为了体现趣味性，HPM教学设计强调恢复被课本所剥离的“人的元素”，除了增加趣味性，更重要的是让学生体会“数学有着悠久的历史”以及“数学是人类的文化活动，是人参与了数学活动”的道理。教师简单介绍古希腊数学家欧几里得和他的《几何原本》，接着介绍他的作图法。
引导学生讨论作图法背后的几何原理。2.3 引申
在向学生提出三等分角问题后，学生可能会提出用量角器作图。这时，教师可以提出问题：既然用量角器可以很快捷地解决作图问题，那为什么还要学尺规作图呢？尺规作图的意义何在呢？
除了准确性的原因以外，还有更深层次的原因。这里，教师有机会向学生讲解几何学的价值。我们为什么要学习几何学？利用几何学能解决现实问题，比如路灯安装问题。但这不是几何学的唯一价值。在古希腊，人们不看重、甚至十分鄙视这样的价值。在古希腊哲学家眼里，几何能将我们的灵魂引向真理，几何能让我们成为具有理性思维的高尚的人。所以，当一名来亚历山大向欧几里得求学的学生问：“我学了几何学，能获得什么实际好处？”欧几里得听后立即让下人丢给这名学生三个硬币，让他打道回府。在欧几里得眼里，这位实用主义者是不值一教的。
古希腊数学家坚持使用尺规，因为，尺规作图的每一步背后都是有理有据的，尺规作图是最可信的。尺规作图能够训练我们的逻辑思维，尺规作图体现了几何学在训练逻辑思维方面的价值。
为了加深学生对几何学价值的认识，教师不妨讲述美国总统林肯学习《几何原本》的真实故事。在1860年，林肯竞选总统时，他的简介上这么说[4]：
“自任国会议员以来，他学习并几乎精通了《几何原本》前6卷。他开始学习这门严密的学科，为的是提高他的能力，特别是逻辑和语言的能力。因此他酷爱《几何原本》，每次巡行，他总是随身携带它；直到能够轻而易举地证明前六卷中的所有命题为止。他常常学到深更半夜，枕边烛光摇曳，而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳。”
2.4 应用
利用角平分线来解决一些几何问题，最后解决引入时提出的实际问题，实现首尾呼应。结语
“角的平分线”是一个平凡的课题，似乎无关HPM。所以，当笔者与昔日的一名教育硕士商量，选择一个该课题进行HPM进行设计并付诸实施时，引起在读研究生们的质疑。事实上，对于多数中学教师来说，中学数学的很多知识点，其背后的历史都是一个盲点。言有易，说无难。诚然，中学数学中，并不是所有知识点都需要从HPM视角进行教学设计。但是，很多知识点之所以会被认为不适合HPM教学，是因为人们对它们背后的历史知识知之甚少。任何知识都不是从天而降，都有其自然发生、发展的历史。只有了解一个知识点的历史，我们才能对其进行HPM教学设计。所以，数学史是HPM的基础，教育取向的数学史研究是HPM研究不可或缺的一个方向。
我们可以采用“五、四、三、二、一”来总结本教学设计的特点。本设计在五项原则的指导下，采用附加式（欧几里得、林肯的故事）、复制式（欧几里得作图法）、顺应式（三等分角问题）、重构式（由实际问题引入）四种方式，在实现知识和技能、过程与方法目标的同时，有效地实现了情感、态度、价值观目标。本设计寻求平衡，采用“两条腿”走路：既强调几何学在训练逻辑思维方面的价值，也体现几何学的实际应用价值。最后，我们可以将本设计定性为一种HPM视角下的教学设计。
参考文献：
【角平分线的性质练习题】推荐阅读：
《角的平分线的性质》教学反思10-29
线段的垂直平分线导学案10-21
八年级数学教学教案:线段的垂直平分线05-28
小数的性质练习题09-16
函数的基本性质习题课07-15
平行线的性质习题10-14
面面垂直的性质的习题11-06
抛物线的几何性质习题11-07
平行线及其判定与性质练习题09-24
