函数的单调性与极值（精选6篇）
目的要求
1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.2.弄清函数极值与最值的区别与联系.3.养成整体思维的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.内容分析
1.教科书结合函数图象，直观地指出函数最大值、最小值的概念，从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的.3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.教学过程
1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)
①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?
②x=a、x=b是不是极值点?
③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?
④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解?
3.分组讨论，回答问题
①学生回答：f(x2)是极大值，f(x1)与f(x3)都是极小值.②依照极值点的定义讨论得出：f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.③直观地从函数图象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.(教师在回答完问题①②③之后，再提问：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)
④与学生共同讨论，得出求函数最值的一般方法：
i)求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.4.分析讲解例题
例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.板书讲解，巩固求函数最值的求导法的两个步骤，同时复习求函数极值的一般求法.例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积为多少?
用多媒体课件讲解：
①用课件展示题目与水箱的制作过程.②分析变量与变量的关系，确定建模思想，列出函数关系式V=f(x)，xD.③解决V=f(x)，xD求最值问题的方法(高次函数的最值，一般采用求导的方法，提醒学生注意自变量的实际意义).④用几何画板平台验证答案.5.强化训练
演板P68练习
6.归纳小结
①求函数最大值与最小值的两个步骤.②解决最值应用题的一般思路.布置作业
教科书习题2.5第4题、第5题、第
1. 定义
设函数y=f (x) 在点x0的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内的任意x (x≠x0) 恒有f (x) >f (x0) , 则称f (x0) 是函数f (x) 的极小值, 点x0是f (x) 的极小值点;如果对于该邻域内的任意x (x≠x0) 恒有f (x)
函数的极大值与极小值统称为极值, 函数的极大值点与极小值点统称为极值点.
2. 定义的理解
(1) 极值是函数值, 极值点是自变量的取值, 两者不能混淆.
(2) 函数的极值是局部概念, 它只是与极值点邻近点的函数值相比较而言, 并不意味着它在所讨论的区间内最大或最小.
(3) 函数的极大值不一定比极小值大, 函数的极小值也不一定比极大值小.
(4) 函数的极值只能在区间内部取得, 不能在区间的端点处取得.
二、取得极值的条件
1. 必要条件
定理1如果函数f (x) 在点x0处有极值, 且f' (x0) 存在, 则f' (x0) =0.
使导数为零的点 (即方程f' (x0) =0的实根) 称为函数f (x) 的驻点.
定理1的理解:
(1) 可导函数的极值点必是它的驻点, 但反过来, 函数的驻点不一定是它的极值点.例如x=0是函数f (x) =x3的驻点, 但并不是它的极值点.因此, f' (x0) =0是函数f (x) 在x0处取得极值的必要条件, 而不是充分条件.
(2) 在连续函数某些不可导的点处也能取得极值, 因此在求函数极值的时候也要考虑这些不可导的点.例如, f (x) =|x|在点x=0处有极小值f (0) =0, 而在点x=0处f (x) =|x|不可导.
2. 充分条件
定理2 (极值第一判定法) 设函数f (x) 在点x0处连续, 且在点x0的去心邻域内可导, 若在该邻域内
(1) 如果f (x) 在x0两侧的导数符号满足“左正右负”, 那么函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0) ;
(2) 如果f (x) 在x0两侧的导数符号满足“左负右正”, 那么函数f (x) 在点x0处取得极小值;
(3) 如果f (x) 在x0两侧的导数符号不变, f' (x) 的符号相同, 那么函数f (x) 在点x0处没有极值.
定理3 (极值第二判定法) 设函数f (x) 在点x0处的二阶导数存在, 且f' (x0) =0, f″ (x0) ≠0, 则
(1) 如果f″ (x0) <0, 那么函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0) ;
(2) 如果f″ (x0) >0, 那么函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0) ;
(3) 当f″ (x0) =0时, 不能判定x0处极值是否存在, 此时应该运用第一判定法.
三、极值的求法
1. 求函数极值的步骤
(1) 确定函数f (x) 的定义域.
(2) 求函数f (x) 的导数f' (x) .令f' (x) =0, 求出全部的驻点和f' (x) 不存在的点.
(3) 用驻点和导数不存在的点顺次将函数的定义域分成若干子区间, 列表讨论每个子区间f' (x) 的符号, 确定极值点, 求出函数的极值.
2. 应用举例
例1求函数f (x) =2x3-9x2+12x-3的极值和极值点.
解f (x) 的定义域为 (-∞, +∞) .
令f' (x) =0, 解得x1=1, x2=2.
用x1=1, x2=2划分定义域得子区间: (-∞, 1], (1, 2], (2, +∞) .
列表讨论:
由上表可知, 函数f (x) 的极大值点是x=1, 极大值是f (1) =2;极小值点是x=2, 极小值是f (2) =1.
令f' (x) =0, 解得驻点x1=1, 而x=0时f' (x) 不存在.
用x1=1, x=0划分定义域得子区间: (-∞, 0], (0, 1], (1, +∞) .
列表讨论:
例1、例2是利用第一判定法解题的.第一判定法应用广泛, 不要求f' (x0) 一定存在, 不仅适用于驻点, 也适用于f' (x) 不存在的点.
例3求函数f (x) =x3-3x2-9x+1的极值.
令f' (x) =0, 解得驻点x=-1, x=3.
f″ (-1) =-12<0, x=-1是极大值点, f (-1) =6是极大值;
f″ (3) =12>0, x=3是极小值点, f (3) =-26是极小值.
此例题是利用第二判定法解题的.第二判定法简便直接, 但要求f' (x0) =0且f″ (x0) ≠0, 只适用于f″ (x0) ≠0的驻点.对于一阶导数不存在的点及驻点处二阶导数f″ (x0) 为零的点, 第二判定法失效, 只能用第一判定法判断其极值情况.
例4已知f (x) =ax3+bx2+cx (a≠0) 在x=±1时取得极值, 且f (1) =-1.试求常数a, b, c的值.
分析函数f (x) 是实数域上的可导函数, 利用极值的必要条件“可导函数极值点的导数为零”, 即f' (-1) =f' (1) =0及已知条件f (1) =-1, 确定相关等式, 建立方程组求出参数a, b, c的值.此例题是极值的一个应用.
解对已知函数求导f' (x) =3ax2+2bx+c.
∵x=±1是函数f (x) 的极值点,
由f (1) =-1得a+b+c=-1. (3)
解由 (1) 、 (2) 、 (3) 组成的方程组得
摘要：本文阐述了函数极值的概念、存在条件及判定方法, 并通过实例探析了极值的求法和应用.
关键词：函数,极值,极值点,条件
参考文献
[1]谭杰锋, 高温.21世纪高职高专规划教材《高等数学》.2011.
[2]王洪涛.函数极值在经济管理中的应用.山东广播电视大学学报, 2011 (2) .
1. 函数[f（x）=lnxx-1+x12]的定义域为（ ）
A. [（0，+∞）] B. [（1，+∞）]
C. [（0，1）] D. [（0，1）?（1，+∞）]
2. 函数[f（x）=log2（x-1+1）]的值域为（ ）
A. R B. [（0，+∞）]
C. [（-∞，0）?（0，+∞）]D. [（-∞，1）?（0，+∞）]
3. 已知函数[f（x）=lgx，x>0，x+3，x≤0，]则[f（a）+f（1）][=0]，则实数[a]的值等于（ ）
A. [-3] B. [-1或3]
C. [1] D. [-3或1]
4. “[a≤0]”是“函数[f（x）=（ax-1）x]在区间[（0，+∞）]上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 设[y=（a-1）x]与[y=（1a）x（a>1且a≠2）]具有不同的单调性，则[M=（a-1）13]与[N=（1a）3] 的大小关系是（ ）
A. [M C. [M>N] D. [M≤N ] 6. 已知函数[fx=log2x，x>0，3x，x≤0，]则[ff14]的值是（ ） A. [9] B. [19] C. [-9] D. [-19] 7. 若函数[f（x）=x2+ax+1x]在[12，+∞]上是增函数，则[a]的取值范围是（ ） A. [-1，0] B. [-1，+∞] C. [0，3] D. [3，+∞] 8. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个小孔以相同的速度注入其中，注满为止. 用下面对应的图象显示该容器中水面的高度[h]和时间[t]之间的关系，其中不正确的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一个代表名额.那么各班代表人数[y]与该班人数[x]之间的函数关系用取整函数[y=[x]]（[[x]]表示不大于[x]的最大整数）可表示为（ ） A. [y=[x10]] B. [y=[x+310]] C. [y=[x+410]] D. [y=[x+510]] 10. 已知函数[f（x）=x2-2（a+2）x+a2]，[gx=][-x2+2a-2x-a2+8.][H1（x）=maxf（x），g（x），][H2（x）][=minf（x），g（x）]，（[maxp，q]表示[p，q]中的较大值，[minp，q]表示[p，q]中的较小值），记[H1x]的最小值为[A，][H2x]的最小值为[B]，则[A-B=]（ ） A. [a2-2a-16] B. [a2+2a-16] C. [-16] D. [16] 二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 已知函数[f（x）]=[x-1]，若[f（a）=3]，则实数[a]= . 12. 函数[f（x）=2|x-1|]的递增区间 . 13. 已知函数[f（x）]的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数[f（x+2）]的定义域为 ，值域为 . 14. 函数[f（x）]的定义域为[D]，若存在闭区间[[a，b]?D]，使得函数[f（x）]满足：（1）[f（x）]在[[a，b]]上是单调函数；（2）[f（x）]在[[a，b]]上的值域为[[2a，2b]]，则称区间[[a，b]]为[y=f（x）]的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是 （填函数序号）. ①[f（x）=x2（x≥0）] ②[f（x）=ex（x∈R）] ③[f（x）=1x（x>0）] ④[f（x）=4xx2+1（x≥0）] 三、解答题（共4小题，44分） 15. （10分）已知函数[g（x）=x+1]， [h（x）=1x+3]，[x∈（-3，a]]，其中[a]为常数且[a>0]，令函数[f（x）=g（x）?h（x）]. （1）求函数[f（x）]的表达式，并求其定义域； （2）当[a=14]时，求函数[f（x）]的值域. 16. （10分）运货卡车以每小时[x]千米的速度匀速行驶130千米（50≤[x]≤100）（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油[2+x2360]升，司机的工资是每小时14元. （1）求这次行车总费用[y]关于[x]的表达式； （2）当[x]为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用. 17. （12分）已知函数[g（x）=ax2-2ax+1+b][（a>0）]在[[2，3]]上有最大值4和最小值1. 设[f（x）=g（x）x]. （1）求[a，b]的值； （2）若不等式[f（2x）-k?2x≥0]在[x∈[-1，1]]上有解，求实数[k]的取值范围. 18. （12分）设函数[fx=ln x-ax]，[gx=ex][-ax]，其中[a]为实数. （1）若[fx]在[1，+∞]上是单调减函数，且[gx]在[1，+∞]上有最小值，求[a]的范围； （2）若[gx]在[-1，+∞]上是单调增函数，试求[fx]的零点个数，并证明你的结论. 由莲山课件提供http://n(n1)(nx1)x(x1)(xx1),x1,, 求当x,3时，函数C8x的值域 [解析](4,3216288338](,28]；当x[,2)时，[x]1，C8x，因为函数u在[,2)2x33x2上是减函数，得456816；C8x当x[2,3)时，因为2x(x1)6，[x]2，x3x(x1)由单调性得 28561628328，故当x,3时，函数C8x的值域是(4,](,28] 333x(x1)2由莲山课件提供http:/// 资源全部免费 一、选择题 1.下列说法正确的是() A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值 B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值 C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值 D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是() ①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函数y= 6x 1x2的极大值为()A.3B.4C.2D.5 4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的极小值为()A.e－B.0C.－1 D.1 6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于() A.6B.0C.5D.1 7．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, x0是极值点的函数是() A.yx3B.ycos2xC.ytanxxD.y1x 9.下列说法正确的是() A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C.对于f(x)x3 px2 2x1,若|p|6,则f(x)无极值; D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值.10.函数f(x)x3ax2bxa2 在x1处有极值10, 则点(a,b)为() A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在 11.函数f(x)|x2 x6|的极值点的个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 12.函数f(x) lnx x ()A.没有极值B.有极小值C.有极大值D.有极大值和极小值 C.2D.4二．填空题： 13.函数f(x)x2lnx的极小值是 14.定义在[0,2]上的函数f(x)e2x2cosx4的极值情况是 15.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是2 16.下列函数①yx3,②ytanx,③y|x3x1|,④yxex,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是 17.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.18.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.19.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.20.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.三．解答题 21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.22.函数f(x)=x+a x +b有极小值2，求a、b应满足的条件.23.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x＝1处的切线垂直于直线y=1 x-2（1）设f(x)的极大值为p，极小值为q，求p-q的值； 一、对称函数 1、定义: 对称函数可以分为关于某一轴线对称的线对称函数和关于某一点对称的点对称函数两种, 具体的定义如下:设f (x) 是定义域为D的函数, 如果可以找到一个数e, e∈R, 使得对于任意的x∈D, 有2e-x∈D, 若 (1) f (2e-x) =f (x) , 则成f (x) 为先对称函数, 且x=e为f (x) 的对称轴。 (2) 若f (2e-x) +f (x) =2f (e) , 则成f (x) 为点对称函数, 且 (e, f (e) ) 为该函数的对称点。另外, 在对称函数中e为对称函数的x轴对称特征值, f (e) 为对称函数的y轴对称特征值, 在下面的叙述中对e和f (e) 不在做特殊的介绍。如下几例便是比较简单的对称函数: (1) f (x) =2 (x-1) ²+3就是常见的线对称函数, 其中x=1为此函数的对称轴。 (2) f (x) =x+1就是一个很简单的点对称函数 (-1, 0) 便是此函数的对称点。 (2) 函数x=0是一个最简单的对称函数, 它既是线对称函数也是点对称函数。值得注意的是, 我们通常所说的奇函数就是以 (0, 0) 为对称点的点对称函数, 偶函数就是关于x=0对称的线对称函数。 2、性质: 对称函数因为其对称的特点具有一些和普通函数不同的性质, 奇偶性就是对称性的一个特例。但是研究对称函数的特点比研究函数的奇偶性更具有代表性, 下面我们就具体分析一下对称函数的性质: (1) 设f (x) 是关于x=e对称的函数, t为任意常数则f (x+t) 是关于x=e-t对称的函数。证明:若f (x) =f (2e-x) 则有f (x+t) =f (2e-x+t) =f (2e-t- (x+t) ) 即x=e-t为对称轴。 (2) 若 (e, f (e) 为函数f (x) 的对称点, 则 (e-t, f (e) +m) 为函数y=f (x+t) +m的对称点, 证明同上。 (3) 对称点相同的点对称函数其线性组合仍是点对称函数且对称点不便, 对称轴相同的先对称函数的线性组合仍是线对称函数且对称轴不变。 (4) 对称特征值相同的对称函数其积也为对称函数但对称特征值可能改变。 (5) 横轴对称特征值相同的点对称与线对称函数之积为点对称函数, 且对称特征值不变, 当函数不为零时, 其商也是点对称函数。 二、对称函数的条件极值 下面我们以多元函数为例来讨论一下对称函数条件极值的判断方法, 在多元函数中, 设多元函数F (x1, x2......, xn) , x1, x2......, xn为该函数的n个自变量, 若将函数表达式中的各个变量互调位置之后, 函数值不变则称这个函数为对称函数。例如f (x1, x2, x3) =x1+x2+x3变为对称多元函数。Lagrange法是求解对称的多元函数条件极值中十分有效的一个方法, 应用Lagrang法求解条件极值时主要需要突破一下几个问题: (1) 方程解是否唯一 (2) 方程的边界值大小, 一般情况下, 当函数的定义域为有限值时, 只要比较驻点值和边界值便可判断该驻点是否为极值点。但是在处理多元变量的函数问题时, 驻点的求解往往比较困难例如求函数f (x) =∏ (xi-1/xi) (∑xi=1) 的极值。此时很难求出该函数的驻点因此不便使用Lagrang方法。但是如果函数的对称性就可以大大减小只以为题的求解难度。可以想到如果目标函数是对称的则其解应该也具有某种性质, 因此在研究上述问题时我们首先需要知道对称函数的一些定理: (1) 设对称函数F (X1, X2, L, Xn) , 若条件为∑xi=T, 则必有唯一极值点 (1/n, 1/n, L, 1/n) .则用此对称函数的定理就变得十分容易了。及xi都取1/n即可。另外, 对称函数还具有如下定理可以用来求解极值, 例如 (1) 二元函数F (X1, X2) , 约束条件为a1x1+a2x2=t, 则可知FX有唯一极值点。 (2) 若多元函数F (X1, X2, L, Xn) 若当n=2时函数有唯一极值点。则当n取其他值时函数也有唯一极值点。以上定理有反证法很容易证明在这里不详细叙述。 三、结语 对称原理是一种思维方式对称性经常在事物的规律中表现出来当系统或数学函数以对称形式出现则必含有某种特征或特殊解的形式我们可以让对称美成为我们的一种思维习惯在求解问题时可先根据对称性作出合理推测再作进一步考虑 摘要：极值问题一直是高等数学中十分重要的一个问题, 而条件极值作为极值问题中典型的代表其重要程度便显而易见啦。在对极值问题的研究中, 我们经常会在函数自变量被限制在一个固定的范围内的条件下, 去讨论因变量的极值, 这就是我们通常所说的条件极值问题。由于自变量有一定的范围, 使得函数的极值求解变得比较复杂, 但是对于对称函数来说, 条件极值又有着几类不同的判定方法。求解判定对称函数的极值过程也充分的体现了对称思想在高等数学中的重要作用, 本文就从对称函数的极值判定这一问题入手, 重点分析一下求对称函数极值的具体的判定思路。 关键词：对称函数,条件极值,判定思路,判定过程 参考文献 [1]熊振翔:《单元及多元函数关于多点的一种插值多项式及其余项》, 《数学研究与评论》, 1986年02期。 [2]余小芬、李小梅、向星杰、刘成龙:《关于一类多元无理函数的最大值问题》, 《内江科技》, 2007年03期。 [3]刘成龙、余小芬:《一个多元函数最大值定理的别证及应用》, 《内江师范学院学报》, 2006年S1期。 【函数的单调性与极值】推荐阅读： 函数单调性与最值教案07-13 含参函数的单调性问题07-09 利用导数求函数的单调性解读11-16 函数单调性免费教案07-19 函数单调性定义证明11-22 《函数单调性》说课稿03-03 必修一数学函数单调性09-11 函数单调性奇偶性练习11-18 《函数单调性》复习课教学反思12-30函数的单调性与极值 篇4
导数--函数的极值练习题 篇5
对称函数的条件极值判定问题 篇6
