基本不等式教案（精选10篇）
教材：人教版高中数学必修5第三章
一、教学目标
1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想； 4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式方法与策略．
以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．
二、教学重点和难点
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．
三、教学过程： 1．动手操作，几何引入
的证明过程； 的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条
直角边长为，．于是，那么正方形的边长为4个直角三角形的面积之和正方形的面积由图可知，即
．
．
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
通过学生动手操作，探索发现：2．代数证明，得出结论
根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若若，则，则
． ．
学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：
（1）若，则
；（2）若，则
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：，当（在该过程中，可发现证法二（分析法）：由于要证明 只要证明 即证 即，，该式显然成立，所以，当
时取等号．
时取等号． 的取值可以是全体实数），于是
得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若若，则，则
（当且仅当（当且仅当
时，等号成立）时，等号成立）
深化认识： 称为的几何平均数；称
为的算术平均数
基本不等式又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰
探究三：如图，弦，连接． 是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的根据射影定理可得：由于Rt中直角边
斜边，于是有当且仅当点 与圆心重合时，即
时等号成立．
故而再次证明： 当时，（当且仅当
时，等号成立）
（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高
例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于（1）若，（定值），则当且仅当
时，有最小值
；
（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．
（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）
例2.求变式1.若，求的值域． 的最小值． 的函数图象，使学生再次感受在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示数形结合的数学思想． 并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．
练一练（自主练习）：
1.已知2.设，且，且，求，求的最小值． 的最小值．
5．归纳小结，反思提高 基本不等式：若，则
（当且仅当
时，等号成立）
若，则（当且仅当时，等号成立）
（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想： 若将算术平均数记为，几何平均数记为
利用电脑3D技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：
平面
在曲面的上方
6．布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题
组1、2题
（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．（3）探究作业： 现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论．
《基本不等式》教学设计说明
一、内容和内容解析
本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。
教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。
就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。
二、教学目标和目标解析
教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何解释，并能解决简单的最值问题；借助于信息技术强化数形结合的思想方法。
在教师的逐步引导下，能从较为熟悉的几何图形中抽象出基本不等式，实现对基本不等式几何背景的初步了解。
学生已经学习了不等式的基本性质，可以运用作差法给出基本不等式的证明，同时，介绍并渗透分析法证明的思想方法，从而完成基本不等式的代数证明。
进一步通过探究几何图形，给出基本不等式的几何解释，加强学生数形结合的意识。
通过应用问题的解决，明确解决应用题的一般过程。这是一个过程性目标。借助例1，引导学生尝试用基本不等式解决简单的最值问题，体会和与积的相互转化，进一步通过例2，引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，并用几何画板展示函数图形，进一步深化数形结合的思想。结合变式训练完善对基本不等式结构的理解，提升解决问题的能力，体会方法与策略。
三、教学问题诊断
在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，并选用合理的手段去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。
另外，尽可能引领学生充分理解两个基本不等式等号成立的条件，为利用基本不等式解决简单的最值问题做好铺垫。在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式件，同时又要注意区别基本不等式的使用条件为
使用的前提条
。因此，在教学过程中，借助例题落实学生领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用。而对于“一正二定三相等”的进一步强化和应用，将放于下一个课时的内容。
四、教学支持条件分析
为了能很好地展示几何图形,体会基本不等式的几何背景,教学中需要有具体的图形来帮助学生理解基本不等式的生成，感受数形结合的数学思想，所以，借助于几何画板软件来加强几何直观十分必要，同时演示动画帮助学生验证基本不等式等号取到的情况，并用电脑3D技术展示基本不等式的又一几何背景，加深对基本不等式的理解，增强教学效果。
五、教学设计流程图
教学过程的设计从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以探究活动为主线，探求基本不等式的结构形式，并进一步给出几何解释，深化对基本不等式的理解。通过典型例题的讲解，明确利用基本不等式解决简单最值问题的应用价值。数形结合的思想贯穿于整个教学过程，并时刻体现在教学活动之中。
六、教法和预期效果分析
本节课通过6个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。
同时，以多媒体课件、几何画板、电脑3D技术作为教学辅助手段，赋予学生直观感受，便于观察，从而把一个生疏的、内在的知识，变成一个可认知的、可交流的对象，提高了课堂效率。
一、听课教师的评课
平沙校区的几位数学教师听了本节课授课, 他们根据这一节课的上课情况做出了评课。
(一) 教师基本功好
1.语言幽默, 语速恰当, 吐字清晰, 抑扬顿挫;2.教态自然, 很有亲和力, 很得学生的喜欢;3.肢体语言运用合理, 手势可以感招, 眉目可以传情;4.板书有序工整, 板画自然得体, 总体设计合理。
(二) 教学设计得当
1.得到基本不等式的过程简单且顺理成章。2.用几何方法展示不等式的一种几何意义显示了数学的美。3.从基本不等式的变式得到最值定理 (用基本不等式求相关式子最值) 过渡自然。4.例题与变式及提高试题的设计由简到繁, 适合学生思维的发展。
(三) 课堂应变能力强
1.学生对初中所学的射影定理想不起来, 教师并不急于写出, 而是慢慢推导, 表面上是浪费了时间, 其实是遵循了教学规律。2.提问学生时, 能根据学生回答的情况对所学知识给予讲解, 认真聆听的同时, 能给出较好的意见。3.例2的教学给出了用二次函数的方法, 能启发学生思维, 突破局限。
(四) 不足
1.基本不等式的几何解释, 校区的学生能够掌握的不多。2.本节课的知识容量比较大, 相对于校区学生可能会消化不良。
二、我的课后反思
(一) 备课的反思
一节课的准备总的来讲是两个方面:备课和教学。备课的内容主要:备学生, 备教材, 备课堂。备学生与备教材这两方面是密不可分的。通过与校区教师的联系, 我了解到, 校区的学生和本部的学生在认知能力上是有一定的差距的。因此, 我对教材做了充分的研究后, 没有采用教材中的“赵爽弦图”提炼出基本不等式, 而是运用类比的思想提炼出的基本不等式。我在准备教案时, 例题与课堂小试身手都做了简化, 学案上的习题设计也是从简单到复杂, 让学生有一个循序渐进, 慢慢吸收掌握的过程, 以期不断地提高学生的积极性, 实现知识的真正掌握。备课堂除了指上好课堂内容, 还要注意学生的反应, 以及课堂上的一些突发情形。比如, 对学生提问, 学生回答问题的正确程度, 学生回答问题所占用的时间等等。备课堂还包含了课堂上应用哪些教学工具进行教学。
(二) 课堂教学的反思
1.课堂教学总体来说有3个步骤:引入新课, 新课讲解与学习, 课后作业与跟踪练习。在课堂教学过程中, 本节课的引入新课是采用类比的思维推出, 从而提炼出基本不等式。教材上是运用“赵爽弦图”提出的基本不等式, 哪种更好呢?更适应学生呢?更加节省时间呢?基本不等式的几何解释有几种情况, 这部分内容的设计是培养学生数与形的结合, 让学生欣赏数学中的美。但是校区的学生看起来接受得不怎么好。这部分内容可以考虑是否舍去呢?关于最值定理, 我在上课的时候是直接给出来的。如果我不是直接给出最值定理, 而是在基本不等式的运用中, 由特殊的两个例子完成, 然后让学生自己归纳得到一般性的结论。是不是后一种更好呢?但是相对于校区的学生, 哪一种更适合呢?本节课我把求最大值与求最小值放在一起处理了。是不是知识容量太大了呢?对于校区学生的情况, 是否可以把求最小值与求最大值分在两节课中完成, 一节课只讲一种, 只是利用变式教学, 让学生一种一种掌握。这种做法又会如何呢?
2.在课堂上, 我提出在运用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”。而学生对“一正、二定、三相等”是不是真正地理解呢?基本不等式的应用难点在什么地方呢?我想应该是以下三个方面: (1) “正”是不等式的使用条件, 这个容易接受; (2) 定值怎样获得应该是一个问题? (3) 相等的验证理由是什么, 学生如何理解才会深刻呢?应该如何把这些问题一一落到实处, 从而让学生真正掌握运用基本不等式求最值呢?关于 (1) 不用解释;关于 (2) 定值如何获得, 两个有未知数的式子相加, 未知数有什么特点时, 相加的结果中未知数会消失?两个有未知数的式子相乘, 未知数有什么特点时, 相乘的结果中未知数会消失?学生做了深入的思考, 找到这样式子满足的条件, 那么他们就找到了获得定值的方法。当然, 必要的情况下, 还需要对给定的式子进行必要的处理, 而处理的手段一定是有方向的。最后关于 (3) 应用基本不等式得到的值是否是最值呢?甚至有些题目还要不止一次地运用基本不等式求最值, 如何确定所得到值就是最值。这就在于等号的验证, 如果运用基本不等式都是合理的, 并且几次运用基本不等式等号成立的条件不相悖, 那么求得的值就是最值。
3.在教学设计中的几何解释:圆中垂直于直径的弦的一半不大于半径。这本意是让学生欣赏数学的美, 进一步学习数形结合的思想。但是没有充分考虑学生的认知水平, 在讲授时, 还向学生介绍了直角三角形中的射影定理, 时间上的消耗比较多。因此, 教学环节第一条:备课, 先备学生。其实, 平沙校区的学生和我们本部的学生认知能力上确实有一定的差距, 我已经充分考虑了, 但是, 没想到考虑得还是不到位。
基本不等式使用技巧：
（1）注意不等式成立的条件；
（2）如何凑配定理形式，一般有加减项变换，平方等；
（3）灵活变换基本不等式的形式并注重变形形式的应用．如[ab
（4）解题时不仅要运用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用，常见变形有：
①设[a]、[b∈R+]，则[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22]（调和均值[≤]几何均值[≤]算术均值[≤]平方均值），当且仅当[a=b]时等号成立．
②若[a、b∈R,]则[ab≤(a+b2)2≤a2+b22]，当且仅当[a=b]时等号成立.
③若[a]、[b∈R+]，[(a+b)(1a+1b)≥4]．
④若[a]、[b∈R+]，[ba+ab≥2]．
例1 求证：对于任意实数[a]、[b]、[c]，有[a2+b2][+c2≥ab+bc+ca]，当且仅当[a=b=c]时等号成立.
分析所证不等式是关于[a、b、c]的轮换对称式，注意到[a2+b2≥2ab]，然后轮换共得三个不等式，再相加即可．
证明 [a2+b2≥2ab]，[b2+c2≥2bc]，[a2+c2≥2ac]，
把上述三个式子的两边分别相加，得
[2a2+b2+c2≥2ab+bc+ca]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
另证 [a2+b2+c2-ab+bc+ca]
[=122a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca]
[=12a-b2+b-c2+a-c2≥0]，
即[a2+b2+c2≥ab+bc+ca]，
当且仅当[a=b=c]时等号成立.
变式1 已知[a、b、c∈R+,]
求证[bca+acb+abc≥a+b+c]．
证明因为[bca+acb≥2abc2ab=2c，]
即[bca+acb][≥2c].
同理[bca+abc≥2b]，[abc+acb≥2a.]
所以[2(bca+acb+abc)≥2(a+b+c)]，
因此[bca+acb+abc≥a+b+c]．
例2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求证：[a+12+b+12≤2]．
分析1为脱去左边的根号，将[a+12、b+12]看成是[1•(a+12)、1•(b+12)]，然后用均值定理可证．
证明1 因为[a+12=1⋅(a+12)≤1+a+122]
[=34+a2,]
[b+12=1⋅(b+12)≤1+b+122][=34+b2,]
所以[a+12+b+12≤34+a2+34+b2=2]．
分析2 利用不等式
[a2+b22≥(a+b2)2⇒a+b2≥(a+b2)2]
[(a>0,b>0)]．
证明2由[(a+12+b+122)2≤a+b+12]，
得[a+12+b+12≤2a+b+1]，
因为[a+b=1]，所以[a+12+b+12≤2.]
变式2 已知[a>0,b>0,a+b=1]，
求[2a+1+2b+1]的最大值．
解[∵][2a+1•2≤2a+1+22=a+32] ，
[2b+1•2≤2b+1+22=b+32]，
[∴2(2a+1+2b+1)≤a+b+3=4,]
[∴2a+1+2b+1≤22]，
当且仅当[a=b=12]时取等号，
所以[2a+1+2b+1]的最大值为[22].
例3 甲、乙两人同时从[A]地出发，沿同一条路线行到[B]地. 甲在前一半时间的行走速度为[a]，后一半时间的行走速度为[b]；乙用速度[a]走完前半段路程，用速度[b]走完后半段路程；问谁先到达[B]地？
解 设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，
则[s=a⋅t12+b⋅t12=12t1a+b]，
[t2=s2a+s2b=14t1a+b1a+1b]
[=14t12+ab+ba≥t1].
所以，当[a=b]时，[t2=t1]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[t2>t1]，甲先到[B]地．
另解设[A、B]两地的距离为[s]，甲、乙两人用时分别为[t1]、[t2]，平均速度分别为[v1]、[v2]，则
[s=a⋅t12+b⋅t12t2= s2 a+ s2 b][⇒][v1=st1=a+b2v2=st2=1121a+1b=21a+1b]
[⇒][v1≥v2].
因而，当[a=b]时，[v1=v2]，甲、乙两人同时到达[B]地；当[a≠b]时，[v1>v2]，甲先到[B]地.
2．利用基本不等式求最值
（1）使用情形
①如果[x>0,y>0,xy=P]（定值），那么当且仅当[x=y]时，[x+y]有最小值[2P]，简记为“积定、和有最小值”.
②如果[x>0,y>0,x+y=S]（定值），那么当且仅当[x=y]时[xy]有最大值[S24]，简记为“和定、积有最大值”.
（2）注意事项：
①[x、y]一定都是正数.
②求积[xy]的最大值时，应看和[x+y]是否为定值；求和[x+y]的最小值时，应看积[xy]是否为定值.
③等号是否成立.
以上简记为“一正二定三相等”.
例4 设[0 分析本题中[x]与[8-2x]的和不是定值,但易发现[2x]与[8-2x]的和为定值8,而且满足“一正”的条件,因此可以运用基本不等式求解． 解 因为[0 所以[0<2x≤4]，[8-2x≥4>0]， 故[f(x)=x(8-2x)][=12⋅2x⋅(8-2x)] [=12⋅2x⋅(8-2x)≤12⋅82=22,] 当且仅当[2x=8-2x,]即[x=2]时取等号， 所以当[x=2]时，[ymax=22]． 例5分别求当[x>0、x<0]时，函数[y=(x+4)(x+16)x]的最值． 分析 如果直接应用基本不等式，就忽略了应用基本不等式的“一正”前提，导致错误. 而函数[y=(x+4)(x+16)x]的定义域为[(-∞,0)⋃(0,+∞),]因此必须对[x]的正负加以讨论． 解（1）当[x>0]时， [y=20+x+64x≥20+2x⋅64x=36]， 当且仅当[x=64x,]即[x=8]时取等号， 所以当[x=8]时，[ymin=36]. （2）当[x<0]时，[-x>0,-64x>0,] [(-x)+(-64x)≥2(-x)(-64x)=16]， [y=20-(-x)+(-64x)≤20-16=4]， 當且仅当[-x=-64x,]即[x=-8]时取等号， 所以当[x=-8]时，[ymax=4]. 例6已知[x、y∈R+,且1x+1y=1,]求[u=2x+y]的最小值. 错解 因为[2x+y≥22xy],[1x+1y≥21xy]， 所以 [u=(2x+y)(1x+1y)≥22xy⋅21xy=42.] 错解原因在于两个不等式不能同时取等号,故取不到最值． 正解[u=(2x+y)(1x+1y)] [=3+2xy+yx] [≥3+22]． 当且仅当[2xy=yx,]即[x=2+22,y=1+2]时，等号成立,所以[umin=3+22]. 点评 运用基本不等式时,一定要遵循“一正，二定，三相等”的原则. 特别的,在取不到等号时,应借助函数单调性求解;在多次运用基本不等式时,应使满足等号的条件一致. [【练习】] 1. 证明：对任意[a>1]、[b>1]，有不等式[a2b-1+] [b2a-1≥8.] 2. 求函数[y=x2+2x2+1(x∈R)]的最小值． 3. 已知[x>3]，求函数[y=2x+8x-3]的最小值． 4. 求函数[y=xx2+x+1]的最大值． 5. 已知[12≤x≤52]，求函数[y=2x-1+5-2x]的最大值． 6. 设[x>0]，求[y=(2+1x)(1+x)]的最小值． [【参考答案】] 1. 这是一个对称不等式，当且仅当[a=b=2]时，等号成立，此时，[a2b-1=b2a-1=4=4(a-1)=4(b-1).]所以本题构造数组的结构应该是“[m2n-1,4(n-1)]”[.] 2. [x=0]时，[ymin=2] 3. [x=5]时，[ymin=14] 4. [ymax=13] 5. [x=32∈[12,52]]时取等号，所以[ymax=22] 1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程; 【教学难点】 基本不等式 等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式 的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系 2.讲授新课 1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。 2.得到结论：一般的，如果 3.思考证明：你能给出它的证明吗? 证明：因为 当 所以， ，即 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 特别的，如果a>0，b>0，我们用分别代替a、b ，可得 ， 通常我们把上式写作： 2)从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证 a+b (2) 要证(2)，只要证 a+b- 0 (3) 要证(3)，只要证 ( - ) (4) 显然，(4)是成立的。当且仅当a=b时，(4)中的等号成立。 3)理解基本不等式 的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2=CA·CB 即CD= . 这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立. 因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 例1 已知x、y都是正数，求证： (1) ≥2; (2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 分析：在运用定理： 时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0 (1) =2即 ≥2. (2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0 ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc 分析：对于此类题目，选择定理： (a>0，b>0)灵活变形，可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数 ∴a+b≥2 >0 b+c≥2 >0 一、教材内容分析 《3.1.2等式的性质》是人教版九年义务教育七年级数学上册第3章第一节的第二课时的内容，它在本章中起到承上启下的作用。在明确了一元一次方程的定义和解的基础后，本节通过观察，归纳引出等式的性质，并直接利用它们讨论较简单的一元一次方程的解法，为进一步讨论较复杂的一元一次方程的解法准备理论依据，可以说本节内容是学好本章的关键。等式的性质不仅在代数领域对解方程，分析一次函数能提供依据，同时在几何领域的线段和差，角的和差等各方面也很多的渗透。 二、教学目标 《数学课程标准》中明确指出，要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在获得对数学知识的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。遵循这一理念，结合课程标准中对该部分的要求与本节课在这一章节中的作用，结合学生实际我制订了以下教学目标： 1.知识与能力目标:（1）通过操作，观察，猜想，验证的环节归纳等式的两条基本性质，培养学生思维的准确性和深刻性。 （2）能利用等式的基本性质求出一些简单的一元一次方程的解。 2.过程与方法目标： 通过观察线段的长短变化，让学生主动的归纳等式的性质1。通过手边数学书的例子，让学生归纳等式的性质2，体会数学就在身边。在这个过程中培养学生自主获取知识的能力，由“让我学”，变成“我要学”。3.情感态度价值观目标： 利用观察、猜想、归纳，验证，应用的方法，积淀学生的数学文化涵养，鼓励学生去发现、去思考，使学生认识到数学的科学价值和应用价值，培养热爱数学，勇于探索的精神。 三、教学重难点 教学重点：通过探究得到并理解等式的性质。 教学难点：利用等式的性质对等式进行变形和解方程。 四、教学方法 教学方法：根据教学目标、重难点及学生情况，这节课我主要采用情景激趣、实验法、启发法，合作探究交流等教学方法。学习方法：主要采用通过直观观察，归纳结论培养学生分析问题的能力，通过小组讨论加强合作交流意识等学法并加强语言表达能力。学具：练习本、学案纸 五、教学过程 （一）导入 （1）通过较复杂的方程无法通过直接观察得到解为契机，引出研究等式性质的原因，让学生体会数学的有理有据和严谨性。 （2）通过一段视频（曹冲称象的故事）介绍等号的由来，等式的由来，激发学生学习的兴趣的同时也让他们感受数学也可以这样有趣，并且渗透在我们生活中的方方面面。 （二）新知探究 活动 一、探究等式的性质1 通过视频中提到的“两个长度相等的线段就是等号”这句话来设计本节课的第一个活动。 （1）观察：准备两个长度相等但颜色不同的纸条，分别将长度记为a,b。学生很容易得到a=b,然后再取两个长度相同颜色相同的纸条，长度记为c，粘贴在线段a,和线段b后面，引导学生“这是这两段线段的长度还是相等，也就是它仍然是个等号”。学生很容易得到：a+c=b+c.引导学生归纳出一个结论：等式两边同时加上一个数，结果仍然相等。这个活动主要是直观的让学生会从具体事物中抽取本质，形成一种辩证思维的意识与习惯。 （2）观察：再准备一组纸条，由老师展示减去相同的长度，大家会发现，长度还是相等的。学生通过观察，并且类比第一个结论的得出，可归纳：等式的两边同时减去一个数，结果仍相等。 （3）验证：通过观察，得出了两个结论，为了让学生充分理解这个结论。我采用一个具体数字的等式：2=2，两边同时加上3，两边同时减去1。还有一个目的是，通过具体数例：两边同时加上x，来得到：等式的两边同时加上一个式子，结果仍然相等。 （4）归纳：最后通过以上的活动得到等式性质1，并且在强调后让学生将学案纸上将性质补充完整，达到识记的目的。 （5）应用1：让学生通过几个判断题，得到在应用等式性质应该注意的地方。既由例子，总结规律。 ①由a=b,则a+3=b+3;正确 ② 由a-2=5,则a-2+2=5；错误。启示：等号两边要“同时”进行运算 ③由x=y,则x-6=y+6;错误。启示：等号两边要进行“同一种”运算。④由2x+2=4,则2x+2-1=4-2;启示：等号两边要加或减“同一个”数。 这样在做题的过程中培养学生善于总结的良好习惯，并且培养学生的数学严谨性。在后面的填空中，我分析第一个题，然后让大家类比老师的办法分析得出第二个的答案，培养学生综合分析的能力。 （6）应用2：让学生用等式性质1解决形如x+c=d形式的方程，与x=a方程根的最终形式相比较，目的是将方程左边的常数去掉，为下节的移项做铺垫。通过一个练习巩固。 活动二：探究并掌握等式性质2 衔接语：等式的两边同时加（或减去）同一个数，结果仍然成立，那么对于乘除运算会有什么的结果呢？ （1）学生参与：让一个天平做的学生随手拿出自己的书，我记为a,然后让学生再那同样的一本书放在另一手上，记为b，大家很容易得到a=b。然后两边同时再放上1本，得到2a=2c，依次类推：3a=3b,ac=bc。学生易得：等式的两边同时乘一个数，结果仍然成立。 （2）验证：通过具体的数例让学生感受一下等式的成立，然后用具体的数例验证除法，结论仍然是成立的。 （3）归纳：等式的性质2，并且在学案上准确的填写等式的性质，到达对知识点的识记。（4）应用1：仍然是通过判定题，来明确正确应用性质的前提，让学生发现问题，分析问题，解决问题，总计问题。这是一个能力逐渐提升的过程。填空题的讲述中，让学生体会数学一定是有理有据，有条理。 （5）应用2：应用等式的性质2，解决形如ax=c（a≠0）的方程，分析与x=a的区别（设计小组讨论）。为了达到这个目的，两边同时除以a。老师板演，学生练习。 活动三：等式性质的综合应用。 回到一开始出示的方程：1x54，分析与x=a的区别，3如何能解出这个方程，引导学生应用两个等式的性质达到最终目的。培养学生学有所用，灵活应用数学知识的能力。最后出示两个方程题，对学生进行检验。这里面的有一个难点就是当未知数前的系数是分数的时候，学生容易做错。我会从两个方法让学生理解，把除法换成乘法。 （三）课堂小结 结合板书，课件，让学生进行系统的小结。根据情况老师总结，学生总结。 （四）拓展提高 【学习目标】 1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程;及其在求最值时初步应用 【教学难点】 基本不等式 等号成立条件 【教学过程】 一、课题导入 基本不等式 的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。 二、讲授新课 1.问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有 。 2.总结结论：一般的，如果 (结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导) 3.思考证明：(让学生尝试给出它的证明) 4.特别的，如果a>0,b>0,我们用 分别代替a、b ，可得， 通常我们把上式写作： ①从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明：(略) ②理解基本不等式 的几何意义 探究：对课本第98页的“探究”( 几何证明) 注:在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 5、例：当时，取什么值，的值最小?最小值是多少? 6、课时小结 本节课，我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b的算术平均数( )，几何平均数( )及它们的关系( ≥ ).它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用). 7、作业： 课本第100页习题[a]组的第1、2题 板书 设 计 课题: §3.4基本不等式 一、两个不等式 二、例题及练习 一、均值不等式的应用 例1:已知。求ab的值范围。分析;本题要研究的是ab的取值范围, 可以理解其为研究对象为“积的形式”, 而已知条件中含有的不仅有ab, 也有a+b, 即既有“积的形式”, 也有“和的形式”。于是, 自然可以产生一种思路, 即:利用均值不等式将“和的形式”转化为“积的形式”, 这样, 原先的等式就转变为只含“积的形式”的不等式了。则问题迎刃而解, 得到解法如下: 类似地, 也可以轻易解决变式:已知a>0, b>0且ab-a-b-1≥0, 求a+b的最小值。 综上命题得证。类似地, 也可以应用分析法轻易地解决变式:已知0<a<1, x2+y=0, 求证: 例3:设a3+b3=2, 求证:a+b≤2。 本题在湘教版教材选修2-2第128页、选修4-5第22页中都是用反证法给予证明, 但是笔者认为这道题用反证法来证明的思路并不是那么容易想到的。实际上, 大家认真分析题目, 该题要证的是a+b≤2, 可以设法将已知条件a3+b3=2转化为与a+b有关的结论, 则可得证法如下: ∴t3≤8⇒t≤2, 则命题得证。 二、 上述不等式组可以由均值不等式轻易证得, 但它们的应用是相当灵活而且常见的。实质上:给出的是“a, b倒数和”的形式, 给出的是“a, b平方和”的形式, 因此, 自然在应用该公式时应该产生一个念头, 即:a, b的“倒数和”、“积”、“和”、“平方和”之间存在着某一不等关系, 解一道题一旦有了想法, 就很容易得到解题思路了。 例4:已知a+b=1, a, b≥0, 求证:。 分析:已知的是a+b, 即“a, b和的形式”, 要证的结论应与“a, b四次方和”有关的, 因此考虑多次运用公式进行转化。 证明:∵a, b≥0∴a2+b2≥2ab 例5:已知a, b∈R+, a+b=1, 求证: 解决该题时, 可容易证到: 当然应用均值不等式来证明该题还有一常见证法如下: 一、配凑 1. 凑系数 例1 求[y=x(8-2x)(0 分析 由[0 解 ∵[0 ∴[y=x(8-2x)=12[2x(8-2x)]] [12(2x+8-2x2)2]=8， 当且仅当[2x=8-2x]即[x=2]时取等号. ∴当[x=2]时，[y=x(8-2x)]的最大值为8. 点拨 本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值． 2. 凑项 例2 己知[x<54]，求函数[f(x)=4x-2+14x-5]的最大值． 分析 由已知[4x-5<0]，首先调整符号，又[(4x-2)⋅14x-5]不是定值，故需对[4x-2]进行凑项，得到定值. 解 ∵[x<54]，∴[5-4x>0]. ∴[f(x)=4x-2+14x-5] [=-(5-4x+15-4x])＋3 ≤-2[(5-4x)⋅15-4x]+3=-2+3=1， 当且仅当[5-4x=15-4x]，即[x=1]时等号成立. ∴当[x=1]时，[f(x)]的最大值为1. 点拨 本题既要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值． 3. 分离 例3 求[y=x2+7x+10x+1(x≠-1)]的值域. 分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出[(x+1)]，再将其分离． 解 [y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1] [=(x+1)+4x+1+5.] （1）当[x+1＞0], 即[x>-1]时， [y2(x+1)⋅4x+1+5]=9， 当且仅当[x=1]时取等号. （2）当[x+1<0]，即[x<-1]时, [y5-2(x+1)⋅4x+1]=1， 当且仅当[x=-3]时取等号. ∴[y]的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). 点拨 分式函数求最值，通常化成[y=Mg(x)]+[Ag(x)][+B(A>0,M>0,g(x)]恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值． 二、整体代换 例4 已知[a>0,b>0]，[1a+1b=1],求[t=a+2b]的最小值. 分析 不妨将[a+2b]乘以1，将1用[1a+1b]代换. 解 [(a+2b)⋅1=(a+2b)(1a+1b]) [=3+2ba+ab3+22ba⋅ab=3+22], 当且仅当[2ba=ab]时取等号. 由[2ba=ab,1a+1b=1,]得[a=2+1,b=22+1.] 即[a=2+1,b=22+1,][t=a+2b]的最小值为[3+22]. 点拨 本题巧妙运用“1”的代换，得到[t=3+2ba+ab],而[2ba]与[ab]的积为定值，即可用均值不等式求得[t=a+2b]的最小值． 三、换元 例5 求函数[y=x+22x+5]的最大值． 分析 变量代换，令[t=x+2]，则[x=t2-2][(t0)]，[y=t2t2+1=12t+1t]，再利用均值不等式即可. 解 令[t=x+2], [x=t2-2(t0)],则[y=t2t2+1.] （1）当[t=0]时，[y=0]. （2）当[t＞0]时，[y=12t+1t122t⋅1t=24]，当且仅当[2t=1t]，即[t=22]时取等号. ∴[x=-32]时,[ymax=24]. 点拨 本题通过变量代换，使问题得到简化，将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为构造“积为定值”创设了有利条件． 四、取平方 例6 求函数[y=2x-1+5-2x(12 分析 注意到[2x-1]与[5-2x]的和为定值． 解 [y2=(2x-1+5-2x)2] [=4+2(2x-1)(5-2x)4+(2x-1)+(5-2x)=8,] 又[y>0]，∴[0 当且仅当[2x-1=5-2x]，即[x=32]时取等号， ∴[ymax=22]. 点拨 本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件． 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，创造条件利用均值不等式． 平时我们听课很多都是新授课，课的模式我们也探讨很多了，而此节就课型而言应算作习题课，为何上此课型，主要是提出一种上法，让同仁加以探讨，得出几种模式。本节内容是“基本不等式的应用”，是在学生掌握用基本不等式技巧的基础上进行的，基本不等式的应用主要是两方面：一是求最值，二是它的实际应用。教学过程设计为四个环节：一是梳理基本不等式的知识点；二是练习用基本不等式求函数的最值；三是基本不等式在实际中的应用；四是高考中基本不等式的典型题型。时间安排是这样：第一环节大概5分钟；第二环节大概10分钟；第三环节大概15分钟；第四环节大概10分钟。 在实际操作时可能第一和第二环节有超时，故最后课堂内容不能在40分钟完成。当然，我的目的只是提出一种习题课的课堂模式，具体时间上我们可以通过对习题的增减来达到吻合。对于第四环节可能同仁有不同看法，认为只是让学生看一下高考题，起不到实质效果，还不如不要这个环节。我的设计意图是让学生了解此内容在近几年高考中出现的形式，并作为资料保存课后自己再练习加以巩固。 高中一二年级的老师和学生，应该要有三年一盘棋的思维和行动，每个内容上完后把近几年的经典高考题拿出来进行分析，我觉得不论对学生或老师都相当有益，如果能让学生养成这个习惯，三年时间的积累，让学生或多或少会对高考内容的重点、难点，命题的形式及命题的规律有自己的研究或者是想法，相信对他们高三的复习和迎考有很大的帮助。 ●教学目标： 1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤.●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程： 一、复习引入： 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？ 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课： 1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是：例 1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明） 解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。 （2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证： 例 2、已知 且，求证： 分析：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合，发现如果能将左边转化为 的乘积，问题就能得到解决。 2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是： ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。 例3． 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。 点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综 合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例 4、已知，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用 三、课堂练习： 1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤ 分析一：用分析法 证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad) 2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd) 2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证 分析三：用比较法 证法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.2、已知 且 求证：（分析法） 四、课堂小结： 综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 五、课后作业： 课本P25—26习题2.2—2,3,4,5,6,7,8,9 【基本不等式教案】推荐阅读： 人教a版基本不等式07-26 不等式及其基本性质测试题及答案07-13 2.1证明不等式的基本方法：比较法07-05 9.3一元一次不等式组教案07-21 二次不等式与不等式证明09-24 不等式教材分析06-28 导数证明不等式07-16 不等式证明四07-22 构造函数证不等式07-15 常见不等式的证明09-14高中数学基本不等式教学教案 篇4
3.2.1等式基本性质教案 篇5
基本不等式 篇6
抓住本质特征 用好基本不等式 篇7
基本不等式的变形技巧 篇8
基本不等式教学反思 篇9
证明基本不等式的方法 篇10
