概率知识

概率知识（共12篇）

概率知识 篇1

1、科学记数法：把一个数字写成的形式的记数方法。

2、统计图：形象地表示收集到的数据的图。

3、扇形统计图：用圆和扇形来表示总体和部分的关系，扇形大小反映部分占总体的百分比的大小;在扇形统计图中，每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与360°的比。

4、条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目。

、折线统计图：清楚地反映事物的变化情况。

6、确定事包括：肯定会发生的必然事和一定不会发生的不可能事。

7、不确定事：可能发生也可能不发生的事;不确定事发生的可能性大小不同;不确定。

8、事的概率：可用事结果除以所以可能结果求得理论概率。

9、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止的数字。

10、游戏双方公平：双方获胜的可能性相同。

11、算数平均数：简称“平均数”，最常用，受极端值得影响较大;加权平均数

12、中位数：数据按大小排列，处于中间位置的数，计算简单，受极端值得影响较小。

13、众数：一组数据中出现次数最多的数据，受极端值得影响较小，跟其他数据关系不大。

中学数学概率知识点归纳2

14、平均数、众数、中位数都是数据的代表，刻画了一组数据的“平均水平”。

1、普查：为了一定目的对考察对象进行全面调查;考察对象全体叫总体，每个考察对象叫个体。

16、抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查;从总体中抽出的一部分个体叫样本。

17、随机调查：按机会均等的原则进行调查，总体中每个个体被调查的概率相同。

18、频数：每次对象出现的次数。

19、频率：每次对象出现的次数与总次数的比值

20、级差：一组数据中最大数据与最小数据的差，刻画数据的离散程度

21、方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，刻画数据的离散程度

22、方差计算公式

23、标准方差：方差的算数平方根刻画数据的离散程度。

24、一组数据的级差、方差、标准方差越小，这组数据就越稳定。

2、利用树状图或表格方便求出某事发生的概率。

概率知识 篇2

“明天能中个500万就好了!”有很多人心里都在这么想, 可又有几人能如愿以偿.就是因为有许许多多的人相信自己可能会成为下一个幸运儿, 再加上各种媒体上报道的某某一夜暴富, 奖金不菲等使得人们纷纷跃跃欲试。彩票中奖已是我们大多数人梦寐以求的愿望.人们这种执着的做法使得这些年彩票行业不断推陈出新, 彩票事业蒸蒸日上.很简单, 只要花2元的人民币, 就可以拥有这么一次尝试的机会, 试一下自己的运气, 谁又会免俗呢?

但一张彩票的中奖机会有多少呢?据资料显示, 购买双色球中得头奖的概率约为1772万分之一, 购买超级大乐透获头奖的概率约为2142万分之一, 七乐彩头奖概率约为203万分之一, 福彩3D或排列三头奖概率1000分之一, 排列五头奖概率100000分之一, 体彩22选5的头奖概率约为26334分之一.以双色球为例, 假如你只买了一张彩票, 六个号码全对的机会是大约1772万分之一, 这个数小得已经无法想象, 大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会.如果每星期你买50张彩票, 你赢得一次大奖的时间约为5000年;即使每星期买1000张彩票, 也大致需要270年才有一次六个号码全对的机会.如果你守一个号, 可能中头奖需要48550年.这几乎是单个人力不可为的, 获奖仅是我们期盼的偶然而又偶然的事件.

那么为什么总有人能成为幸运儿呢?这是因为参与的人数是极其巨大的, 人们总是抱着撞大运的心理去参加.殊不知, 彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富.一般情况下, 彩票发行者只拿出回收的全部彩金的45%作为奖金返还, 这意味着无论奖金的比例如何分配, 无论彩票的销售总量是多少, 彩民平均付出的1元钱只能赢得0.45元的回报.从这个平均值出发, 这个游戏是绝对不划算的.

然而对于我们的家长、老师和学生而言, 应该如何看待这个有诱惑性的问题呢?上海市二期课改后的新版高中数学教材, “彩票中奖概率问题”作为教学内容被列入其中.教育部门对这一单元的教学要求是:收集各种彩票的中奖规则, 计算各种彩票的中奖概率, 学会比较分析并作出决策.此举引起了一部分家长的质疑.反对彩票进入课堂的理由还有很多.比如, 现实生活中, 彩票销售管理部门一向禁止向未成年人出售彩票;学习彩票知识是否会让孩子们分心, 而一旦他们真将所学知识运用于实际, 甚至变成小小彩民, 怎么办?但家长们用得着如此担心吗?首先, 被家长们担心的新教材的这些“博彩”内容, 其目的并不是教会学生怎样进行博彩, 而是让他们学习概率知识.而彩票中奖问题显然是学生实际生活中最有感性认识, 也最感兴趣的内容, 教材当然可以从一个硬币猜正反、行走的大雨中的行人被雷击概率、股民中新股的概率之类的具体事例, 但从教学方式的新颖性、教学手法的先进性和教育内容的贴近性的角度来讲, 彩票中奖无疑是概率论中最鲜活最生动的典例.从这点上来讲, 将彩票引入概率教材, 不但贴切, 而且及时, 将课堂知识与社会生活紧密结合, 更显示出教育者的良苦用心.事实也是, 就算彩票不引入教材, 生活在现实生活中的孩子们, 也一样能从报纸杂志和亲身经历中感受到无处不在的彩票文化.当他们为500万元大奖者的决出艳羡不已时, 当他们被彩民们的热情撞得晕眩不已时, 他们不可能毫无感受, 但无论是对“一夜暴富”的追逐, 还是对彩票投资本身, 如果缺少必要的引导和教育, 得不出客观的认识和正确的判断, 反而只会产生更令家长们担心的事情.一些地方, 中小学生热衷于私彩便是一例.因此, 将彩票引入课堂, 非但不避之不及, 反而对其进行有的放矢的教育和引导, 对今天的学生来讲无疑是好事一件, 这一点报道已经有所披露.比如, 通过学习, 一些学生算出双色球的中奖概率不到两千万分之一时, 连呼“没天理”.他们对彩票投资的风险性认识由此可见一斑.更何况, 有关彩票的法律、社会问题还可以延伸至数学概率教育以外的很多课程教育中.所以说, 彩票内容进课堂, 应是教学面向社会的好典型, 只要我们家长和教师合理引导即可.

概率与其他知识综合考查 篇3

一、概率与实数的综合

例1 如图1，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.

（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果.

（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率. 图1

解：（1）列表或画树状图如下：

（2）由列表或树状图可知，数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.所以算术平方根分别是：，2，，2，，3，，3，2.

设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A，所以P（A）=.

点评：在本题的求解过程中，一定要正确理解算术平方根与无理数之间的区别和联系，两者不能混为一谈.

二、概率与分式的综合

例2 有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写有整式x+1、x、3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张.将第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母.

（1）请写出抽取两张卡片的所有可能出现的结果（用树状图或列表法求解）；

（2）试求抽取的两张卡片的结果能组成分式的概率.

解：（1）树状图如图所示：

（2）由树状图或表中信息可知，共有6种结果，其中4种结果是分式，所以P（分式）==.

点评：注意求解第（2）小问时一定要理解分式的定义.

三、概率与整式的综合

例3 在一个袋中，装有5个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1、2、3、4、1这5个数字. 小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字恰与代数式x2-2x（x-1）+3（x -1）2-2的化简结果相同的概率是 .

解：化简x2-2x（x-1）+3（x-1）2-2

=x2-x2+2x+3（x2-x+1）-2

=x2-x2+2x+x2-2x+3-2=1.

小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字恰与代数式x2-2x（x-1）+3（x-1）2-2的化简结果相同的概率是.

点评：本题考查了整式的运算和计算概率，属于一次事件，可以直接运用概率的计算公式求取概率.

四、概率与不等式的综合

例4 已知关于x的不等式ax+3>0（其中a≠0）.

（1）当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；

（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1.将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率.

解：（1）易求得不等式的解集为x<； 在数轴上正确表示此不等式的解集（略）；

（2）取a=-1，不等式ax+3>0的解为x<3，不等式有正整数解.

取a=-2，不等式ax+3>0的解为x<，不等式有正整数解.

取a=-3，不等式ax+3>0的解为x<1，不等式没有正整数解.

取a=-4，不等式ax+3>0的解为x<，不等式没有正整数解.

……

∴整数a取-3至-10中的任意一个整数时，不等式没有正整数解.

∴P（不等式没有正整数解）==.

点评：本题将概率与不等式的知识交汇在一起，考查如何用列举法求概率，同时也考查了不等式的解法.

五、概率与方程的综合

例5 如果m是0、1、2、3中的仼一个数，如果n是0、1、2中的仼一个数，那么关于一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率 为______.

解：一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根，由根的判别式大于或等于0得，∵4m2-4n2≥0，∴m≥n所有可能出现的结果如下表所示：

可知在12种情况下，9种取值方程有实数根，所以有实数根的概率为=.

点评：本题很好地将概率与一元二次方程根的判别式相结合，可列表或画树状图将所有可能的结果列举出来，从中找到符合条件的结果，从而求出所给事件的概率.

六、概率与函数的综合

例6 抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x2+mx+n的一次项系数m和常数项n的值.

（1）这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果）

（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象的顶点恰好在x轴上的概率并说明理由.

解：（1）可以得到6×6=36个不同形式的二次函数.

（2）y=x2+mx+n=（x+）2+n-

∵二次函数图象的顶点在轴上，

∴n-=0

∴m==2（其中n、m为1～6的整数），根据上式可知，当取1～6中的完全平方数时，上式才有可能成立.

∴n的值只能取完全平方数1和4，

nlc202309012237

通过计算可知，当n=1、m=2和n=4、m=4时，满足n-=0，

由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象的顶点在轴上的概率是：=.

点评：本题把抛掷骰子与二次函数相结合，设置概率问题情境，同时考查了二次函数的意义、性质、概率的计算方法，具有一定的综合性.

七、概率与几何的综合

例7 一次数学活动中，黑板上画着如图2所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张.请结合图形解答下列两个问题：

（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由； 图2

（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，求使△BEC不能构成等腰三角形的概率.

解：（1）能.

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE≌△DCE.

∴BE=CE，∴△BEC是等腰三角形.

（2）树状图：

所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）（③④）（④①）（④②）（④③）.

由树状图可以看出，抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等，不能构成等腰三角形的结果有4种，所以使△BEC不能构成等腰三角形的概率为.

点评：解题的关键是熟练应用等腰三角形的性质与判定；树状图法适用于需要两步或两步以上完成的事件，概率=所求情况数与总情况数之比.

八、概率与统计图的综合

例8 十·一”假期，温泉公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司将购买的前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图3所示.根据统计图回答下列问题：

（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；

（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的情况下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______；

（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“抛掷正四面体骰子一次，若掷得着地一面的数字不小于2，车票给小张，否则给小李.”试分析这个规则对双方是否公平.

解：（1）由条形统计图知，前往 A地的车票有30张；

前往C地的车票占全部车票的百分数：×100%=20%.

（2）由条形统计图知，车票的总张数为100张，去 B 地的车票有50张，所以P （B）==.

（3） 由于掷得着地一面的数字不小于2的结果有三种，而小于2的结果只有一种，所以小张获得车票的概率为P=；而小李获得车票的概率为1-=.

所以这个规则对双方都不公平.

点评：本题是概率与条形统计图的综合题.首先从已知的条形统计图中获取信息，确定去A、B、C三地各自的车票张数，再根据概率的定义和条形统计图的有关知识进行解答.

上期《圆》强化练习参考答案

1.B；2.B；3.A；4.B；5.，1；6.；7.48；8. 6或2； 9.=50°，=50°，=80°；

10. 解：（1）DF与⊙O相切.

∵∠CDB=∠CAB，又∵∠CDB=∠BFD，

∴∠CAB=∠BFD，∴AC∥DF.

∵半径OD垂直于弦AC于点E，∴OD⊥DF.

∴DF与⊙O相切.

（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，

∴AE=AC=×8=4.

∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OD=AB=×10=5.

在Rt△AEO中，OE===3.

∵AC∥DF，∴△OAE∽△OFD.

∴=，∴=.

∴DF=.

11. 解：（1）直线AB与⊙P相切.

图略，过P作PD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∵AC=6 cm，BC=8cm，

∴AB==10cm.

∵P为BC中点，∴PB=4cm.

∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，

∴△PBD∽△ABC.∴=，

即=.∴PD=2.4（cm）.

当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）.

∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.∴直线AB与⊙P相切.

（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径.

∴OB=AB=5cm.连接OP，图略.

∵P为BC中点，∴OP=AC=3cm.

∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切.∴5-2t=3或2t-5=3，∴t=1或4.

∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.

九年级数学概率初步知识点 篇4

(1)必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%;

(2)不可能事件是指一定不能发生的事件;

(3)随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的.事件;

(4)随机事件的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.

(5)概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P.

(6)可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.

统计初步的有关概念

总体：所要考查对象的全体叫总体;个体：总体中每一个考查对象.

样本：从总体中所抽取的一部分个体叫总体的一个样本.

样本容量：样本中个体的数目.

样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数.

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.

统计学中的基本思想就是用样本对总体进行估计、推断，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分析规律.

数学学习方法及技巧

学好初中数学认真听课很重要

初中学生想要学好数学，在课上一定要认真听老师讲课。老师在课堂上讲的是非常重要的知识点，但是在初中数学课上选择做笔记并不是一个正确的做法。

在初中数学课上你需要做的就是跟住老师的思维，学好老师的思维方式，这个阶段要培养自己的数学逻辑思维能力。大部分的初中数学老师，对于这门学科都有自己的见解，所以跟住老师的思路久而久之就会逐渐转换成自己解题的思路。

学好初中数学要较真

数学是一门严谨的学科，对于自己不会的地区和知识点初中生绝对不能模棱两可的就过去了，而是要把它弄清楚做明白。有的同学在初中数学的学习中不会只是因为不熟而已，那么怎么办?就是多练习和多思考，数学的学习没有什么捷径和技巧，熟能生巧才是最好的学习技巧。另外，初中数学想要打高分，在做题方面一定要仔细和认真，不能马虎。

初中数学直线、线段、射线知识点复习

1.线段：线段有两个端点。

2.射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。

3.直线：将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。

4.两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

5.相交：两条直线有一个公共点时，称这两条直线相交。

6.两条直线相交有一个公共点，这个公共点叫交点。

7.中点：M点把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。

8.线段的性质：两点的所有连线中，线段最短。(两点之间，线段最短)

概率知识 篇5

一、事件的可能性

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种.种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。

二、简单事件的概率

1. 必然事件：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件;

2.不可能事件：有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件;

3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的;

4.不确定事件：有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。

三、用频率估计概率

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

四、概率的简单应用

1.有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能用试验、统计的方法估计其发生的概率。

2.对于作何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。

3.对随机事件做大量试验时，根据重复试验的特征，我们确定概率时应当注意几点:

(1)尽量经历反复实验的过程，不能想当然的作出判断;

(2)做实验时应当在相同条件下进行;

概率知识 篇6

班级:电13 姓名:苗键强 学号:2011010645

摘要: 经典寓言故事中往往隐含了与数学相关的知识,本文就经典寓言故事《狼来了》中置信概率的变化做相关分析,通过搭建的几个不同模型来对于实际问题做理论解释｡

关键词: 贝叶斯公式

概率估计

引言: 伊索寓言《狼来了》向我们讲述了这样一个故事:

从前,有个放羊娃,每天都去山上放羊｡

一天,他想了个捉弄大家寻开心的主意｡他向着山下正在种田的村民大声喊:“狼来了!狼来了!救命啊!”村民气喘吁吁地赶到山上帮忙,然而却发现被骗了｡

第二天,放羊娃故伎重演,又欺骗了村民一次｡

过了几天,狼真的来了｡放羊娃再次呼救,然而村民再也不理他了。

问题分析: 在这个故事中我们可以看到放羊娃的言语在村民心中的置信度是随着他说谎的次数增加而逐渐降低的,因此本文就此构建与之相关的几个模型来对此进行相应的解释｡

模型构建: 模型一 :(无视小孩模型)记事件A为“小孩说谎”,事件B为“小孩可信”,假设村子中有N个村民(N视为一个很大的数)｡ 在此模型中不考虑小孩的说谎的概率与其言语可信度之间的关系,且认为村民之间相互不交流,其对于小孩的印象仅取决于他的初始印象和是否上过小孩的当｡假设初始状态下，村民对孩子的印象为P1(B)=0.8｡同时若某一名村民上过小孩的当,则他对于小孩的印象下降至P2(B)=0.2,若他上过两次当,则再也不会相信该小孩了｡

则当小孩第一次说谎时,村民去帮忙的期望值为E1=0.8N 同时这这些村民对小孩的印象下降为P2(B)=0.2,而其余的0.2N的村民对小孩的印象不变｡

同理可得,小孩第二次说谎时,村民去帮忙的期望值为E2=0.8N*0.2+0.2N*0.8=0.32N,即小孩的置信度下降为0.32｡

小孩第三次说谎时,村民去帮忙的期望值为E3=(0.8*0.8+0.2*0.8)N*0.2+0.04N*0.8=0.192N，即小孩的置信度下降为0.192｡

所以在此模型中,小孩说过一次谎后,村民对他的印象下降最大(E1-E2=0.48,下降一半以上),此后则逐步下降｡

模型二:(书本模型)此模型与书本上相同,在此仅为下面的模型过渡,因此不再复述｡ 模型三:(最终模型)在此模型中,我们认为当小孩说过一次谎后,未过上山的村民根据这个其他村民传递的信息,对小孩的可信程度改变服从模型而中的规律｡同时,亲身经历过此事件的村民对小孩的可信程度则服从模型一中的规律,即上过一次当的村民自己对小孩的相信程度降为0.2,上过两次当则不会再相信小孩｡而假如该村民既上过山又有未上山的遭遇,则他对小孩的印象为此时其他从未上过山的村民的印象与他的遭遇而带来的印象的乘积｡

假设初始状态下村民对孩子的印象为P(B)=0.8｡

则小孩说了一次谎言时,上山的0.8N的村民对他的印象降为0.2,而其他的未上山的0.2N的村民对他的印象改变为P(B|A)=P(B)P(A|B)/[P(B)P(A|B)+P(B)/P(A|B)]=0.444｡故此时村民对他的总体平均印象为P(B)=0.444*0.2+0.8*0.2=0.2488｡

在小孩说了两次谎言时,上山的村民为0.8N*0.2+0.2N*0.444=0.2488N｡这其中有0.16N的村民对小孩的印象降为P1(B)=0｡

而对于这时未上山的村民而言,有两部分: 对于一部分自始至终未曾上过山的0.2N-0.888N=0.112N的村民,他们

此

时

对

小

孩的印

象

变

化

--为:P2(B)=0.2488*0.1/(0.2488*0.1+0.7512*0.5)=0.0613;而对于上过一次山,同时有一次未上山的(1-0.16-0.112)N=0.728N的村民,他们此时对小孩的印象变化为:P3(B)=0.0613*0.2=0.0123;所以此

时

村

民

对

他的总

体

印

象

为P(B)=0.0123*0.64+0.0613*0.728=0.0525｡

结论: 我们可以将以上的三个模型进行一个实际的描述: 模型一描述的情况是村民善于“记仇”,但相互之间交流不充分｡因而他们对于小孩的印象仅仅来源于自己的初始认识以及经历｡那么他们对于说谎的小孩的印象变化依次为P1(B)=0.8,P2(B)=0.32,P3(B)=0.192｡因此小孩说谎一次对自身的影响十分大｡

模型二描述的情况是村民不会记仇,即同一时间所有的村民对小孩的印象都一样,而他们之间的交流和沟通很充分,因此在此时计算村民对于小孩的印象可以运用贝叶斯公式得到P1(B)=0.8,P2(B)=0.444,P3(B)=0.138｡可以看到这一种情况下,村民对小孩的印象基本上处于一种递降的趋势｡

模型三描述的情况是村民即善于“记仇”,同时相互之间交流还很充分｡因此他们除了参考自己的历史经历外,还注意他人对于小孩的评价｡而在这一种情况下,通过计算得到了P1(B)=0.8,P2(B)=0.2488,P3(B)=0.0525｡这一种情况下,小孩的信誉下降地是最快的,而且假若小孩说过两次谎,则他的信誉几乎下降为0｡而在现实生活中我们对他人的评价主要与模型三相类似,既会参考他人的观念,也会有自己的开始看法｡比如我们现在的银行业,不仅银行会记录用户的诚信信息,而且会提交到相应的系统中去,供其他银行在对用户办理相关手续时参考。因而假若用户有过一次不良信用记录，则再向银行贷款就几乎是一件不可能的事件｡

概率知识在现实中的应用 篇7

概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

走在街头，来来往往的车辆让人联想到概率;生产、生活更是离不开概率。在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样指导着我们的实践。继股票之后，彩票也成了城乡居民经济生活中的一个热点。据统计，全国100个人中就有3个彩民。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业” (经济性购买) 彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?以从36个号码中选择7个的投注方式为例，看起来似乎并不很难，其实却是“可望而不可及”的。经计算，投一注的理论中奖概率如下：

7个正选号码全部选中, 概率为

选中5个正选号码和特别号码, 概率为

选中5个正选号码或选中4个正选号码和特别号码, 概率为;

由此看出，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。

体育比赛中，一局定胜负，虽然比赛双方获胜的机会均为二分之一，但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?以下我们用概率的观点和知识加以阐述：

由于一场比赛前两位选手的水平或胜率是一个不可测的未知数，因此，赛事组织者理应撇开比赛中甲、乙双方的原有水平，而认为在一次比赛中甲、乙双方获胜的概率各为1/2，即在一局比赛中每位选手的“胜”和“负”的发生是等可能的。以“三局两胜”制为例：将一局比赛作一次试验，那么三局比赛便可看成三次独立重复试验，用事件A表示“一局比赛中甲获胜”，显然P (A) =1/2，我们来看三次独立重复试验中事件发生的次数，以决定甲获胜的概率。按“三局二胜”制，在三次独立重复试验，甲获胜仅当事件至少发生2次，故P (甲获胜) =C32 (1-P) +C33P3=1/2。而乙方获胜的概率=甲方失败的概率=1-1/2=1/2。这表明“三局二胜”制是公平的比赛制度。同理可知“五局三胜”制也是公平的比赛制度。

日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场正规的考试仅凭运气能通过吗?我们以大学英语四级考试为例来说明这个问题。

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试，具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题以上，可以看成85重贝努利试验。

设随机变量表示答对的题数，则X～B (85, 0.25)

其分布律为P{X=K}=Ck850.25k0.75 (85-k)

当X>51时,

概率非常小，相当于1000亿个靠运气的考生中仅有0.874人能通过。所以靠运气通过考试是不可能的。

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。众所周知的保险、邮电系统发行有奖明信片的利润计算、招工考试录取分数线的预测甚至利用脚印长度估计犯人身高等无不充分利用概率知识。

如今“降水概率”已经赫然于电视和报端。有人设想，不久的将来，新闻报道中每一条消息旁都会注明“真实概率”，电视节目的预告中，每个节目旁都会写上“可视度概率”。另外，还有西瓜成熟概率、火车正点概率、药方疗效概率、广告可靠概率等。又由于概率是等可能性的表现，从某种意义上说是民主与平等的体现，因此，社会生活中的很多竞争机制都能用概率来解释其公平合理性。

总之，由于随机现象在现实世界中大量存在, 概率必将越来越显示出它巨大的威力。

摘要：随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域, 概率论是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。本文由现实生活中的部分现象探讨了概率知识的广泛应用。

关键词：随机现象,概率,应用分析

参考文献

[1]刘书田.概率统计学习辅导[M].北京:北京大学出版社, 2001.193-196.

[2]龙永红.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题[M].北京:高等教育出版社, 2004.218-221.

[3]尹庸斌.概率趣谈[M].成都:四川科学技术出版社, 1985.69-78.

概率、统计·事件与概率 篇8

1. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为（ ）

A. ① B. ②

C. ③ D. ④

2. 在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ）

A.[17] B.[27]

C.[37] D.[47]

3. 某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）

A. 0.29 B. 0.71

C. 0.52 D. 0.48

4. 点[P]在边长为1的正方形[ABCD]内运动，则动点[P]到定点[A]的距离[|PA|<1]的概率为（ ）

A. [14] B. [12]

C. [π4] D. [π]

5. 一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（ ）

A.[23] B.[13]

C.[12] D.[14]

6. 有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条， 所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）

A. [35] B. [310]

C. [25] D. [710]

7. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球. 那么取球次数恰为3次的概率是（ ）

A. [18125] B. [36125]

C. [44125] D. [81125]

8. 某学习小组有[3]名男生和[2]名女生，从中任取[2]人去参加演讲比赛，事件[A=]“至少一名男生”，[B=]“恰有一名女生”，[C=]“全是女生”，[D=]“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是（ ）

A. [A?B=B] B. [B?C=D]

C. [A?D=B] D. [A?D=C]

9. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为[920]，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）

A. 360人 B. 240人

C. 144人 D. 120人

10. 在区间[0，1]上任取三个数[a]，[b]，[c]，若点[M]在空间直角坐标系[Oxyz]中的坐标为[（a，b，c）]，则[|OM|<1]的概率是（ ）

A. [π24] B. [π12]

C. [3π32] D. [π6]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字. 若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .

12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形[ABCD]内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入[△BCD]内的频率稳定在[25]附近，那么点[A]和点[C]到直线[BD]的距离之比约为 .

13. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[△PAB]的面积大于等于[14]的概率是 .

14. 过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有的这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）一射击测试每人射击三次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记分0分，每次击中目标的概率[23]. 乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为[13].

（1）求甲得20分的概率；

（2）求甲、乙两人得分相同的概率.

16. （10分）某班拟选派4人担任志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等.

（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？

（2）设至少有[n]名男同学当选的概率为[Pn]，当[Pn≥34]时，[n]的最小值？

17. （12分）已知实数[a，b∈{-2，-1，1}].

（1）求直线[y=ax+b]不经过第一象限的概率；

（2）求直线[y=ax+b]与圆[x2+y2=1]有公共点的概率.

18. （12分）设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2][=0].

（1）若[a]是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，[b]是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

概率教案 篇9

1.4等可能概型（古典概型）

二、目的要求

教学目的：（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；

教学要求：要求学生熟练掌握等可能概率, 会计算古典概率

三、重点、难点

教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率；

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

四、授课内容

等可能概型

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个；

②每个基本事件的发生都是等可能的； 具有以上两个特点的试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型（古典概型）。计算公式：

若事件A包含k个基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪„∪{eik},这里i1,i2,„ik是1,2，„，n中某k个不同的数，则有

PAknA包含的基本事件数

S包含的基本事件数例题1：将一枚硬币抛掷3次。（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P（A1）（2）事件A2为“至少有一次出现正面”，求P（A2）。解：（1）我们考虑样本空间：

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.而A1={HTT,THT,TTH}.S2中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，故由古典概率的计算公式可得 P（A1）=

（2）由于A2={TTT},于是 P(A2)=1-P(A2)=1-=

当样本空间的元素较多时，我们一般不再将S中的元素一一列出，而只需分别求出S中与A中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由公式求出A的概率。

例题2：一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机的取一只，第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。试分别就上面的情况求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：放回抽样的情况。

以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的的两只球中至少有一只是白球”。易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即时A∪B，而C=B.在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，由此可计算出事件的概率。

每一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取。由组合法的乘法原理，共有6×6种取法，即样本空间中元素总数为6×6。对于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4×4个元素。同理B中包含2×2个元素。于是

444 P（A）= =

669

P(B)=

221= 669

由于AB=，得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(C)=P(B)=1-P(B)=

9例题3：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。

问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？ 两数之和是3的倍数的概率是多少？

⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？

分析：建立模型，画出可能出现结果的点数和表

解：由表可知，等可能的基本事件的总数是36种

(1)设“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A，事件A的结果有12种，故121P(A)

363(2)设“两次向上点数之和不低于10”为事件B，事件B的结果有6种，故61P(B)

366思考：对于此题，我们还能得到哪些相关结论呢? 变式一：总数之和是质数的概率是多少？

变式二：点数之和是多少时，概率最大且概率是多少？

变式三：如果抛掷三次，问抛掷三次的点数都是偶数的概率，以及抛掷三次得点数之和等于16的概率分别是多少？

例题4：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球

(1)共有多少个基本事件？

(2)求摸出的两个球都是红球的概率；(3)求摸出的两个球都是黄球的概率；(4)求摸出的两个球一红一黄的概率。

分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、8号，从中任取两球，有

如下等可能基本事件，枚举如

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）

（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）

（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）

（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）

（5，6）、（5，7）、（5，8）

（6，7）、（6，8）

（7，8）

共有28个等可能基本事件

（2）上述28个基本事件中只有10个基本事件是摸到两个红球（记为事件A）的事件

m105 n2814(3)设“摸出的两个球都是黄球”为事件B，事件B包含的基本事件有3个，m3故P(B)

n28(4)设“摸出的两个球是一红一黄”为事件C，事件C包含的基本事件有15m15个，故P(C)

n28故 P(A)思考：通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型概率的方法和步骤吗？

五、授课小结

1.学生反映古典概率比较难求。2．古典概型、等可能事件的概念；

六、布置作业

概率口诀【考研】 篇10

互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。

第二、三章 一维、二维随机变量

1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵 2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算 3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算

第五、六章 数理统计、参数估计 正态方和卡方出，卡方相除变F，若想得到t分布，一正n卡再相除。

样本总体相互换，矩法估计很方便； 似然函数分开算，对数求导得零蛋；

区间估计有点难，样本函数选在前； 分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。

第七章 假设检验

低概率事件 篇11

你有没有遇到过这样的人？骑着一辆破旧的自行车，但是丝毫没有妨碍他的神情可以如同驾着劳斯莱斯出游，哦，也许那开名车的人还不及他怡然自得的十分之一呢。恬淡无拘地穿着一件旧式的长裙的女孩，诱人的自信，青春的骄傲都写在了脸上。邻人请你吃一杯自家的茶，这样清清浅浅的一杯，你看到他竟也可以像喝大红袍一样享受得闭起了眼睛，这一刻，多想问问他品茗的境界。这些认真的人哪，活得是这样的有滋有味，以至于你突然兴起想仔细看一眼这千姿百态的人生。

你有没有帮过人？跑到寒冷冬夜里那个老人枯守的红薯摊前买走最后一个热气腾腾的红薯，虽然你一点也不饿。倦在客厅的沙发里看肥皂剧，一集一集地消磨，暗夜里听到楼道里有脚步声渐进，懒懒地继续着看你的故事如何峰回路转，却自然而然地伸伸手拉亮了客厅的灯，希望门缝里透出的光可以照亮那些归人回家的路。

你有没有被人帮过？自习时从前排座位扔过来的一块半截的橡皮；大一课外活动时那个在寒风中抢过你手中的交通指挥旗执拗地替你举旗的同学；雨后的大街上疾驰而过的汽车在你身边下意识地减了速，那些坑洼中的泥水没有一滴溅落在你的裙角。

概率知识 篇12

数学学习是学生亲历数学活动, 在观察、猜想、分析、推理、反思等思维活动中体会知识发生和发展的过程。从建构主义的角度来说, 数学学习是基于学习者已有经验的主动建构的过程。与之适应, 课堂教学就需要给学生提供自由的体验、活动、探究的时空环境, 让学生充分体会到数学概念、定理、性质、法则等的发生过程, 以形成具有个人系数的数学体验和主体建构。《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》 (以下简称《课标》) 对数学学习的体验性提出了明确的要求, 指出数学“学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“数学教学应根据具体的教学内容, 注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验, 即从学生实际出发, 创设有助于学生自主学习的问题情境, 引导学生通过实践、思考、探索、交流等”, 逐步“感悟数学思想, 积累数学活动经验”[1]此外, 《课标》使用“经历、体验、探索”等认知动词对数学学习的过程性目标进行了刻画, 数学体验也因此成为数学学习目标的重要维度。

二、体验式教学的内涵及其价值取向

(一) 体验式教学的内涵

1. 体验与数学体验

“体验”已经在狄尔泰 (Dilthey W.) 的生命哲学、胡塞尔 (Husserl E.E.) 的现象学、海德格尔 (Heidegger M.) 的存在论、人本主义心理学等理论中得到最早的阐释。上世纪90年代以来, “体验”的内涵和意义在哲学、心理学等学科理论中得到了进一步的诠释。在哲学认识论中, 体验是一种对立于学术认知的认识方式, 是“主体通过自身直接的活动认识客体, 并把对客体的认识纳入主体的身心之中, 通过主体的体察、内化来把握外部世界的一种认识方式。”[2]在心理学视野中, 体验主要是指人的一种特殊的心理活动与经历, 是“在对事物的真切感受和深刻理解的基础上对事物产生情感并生成意义的活动。”[3]李英综合性地吸收了哲学、心理学的研究成果, 在教育学视域下对体验的内涵进行了分析, 认为“体验既是一种活动, 又是一种结果。作为一种活动, 即主体亲历某件事并获得相应的认识和情感;作为活动的结果, 即主体从其亲历中获得的认识与情感。体验具有亲历性、个人性、缄默性。”[4]。在数学学习中, 数学体验是学习主体在亲历、探究、思考、交流等身体参与和思维活动中实现对知识的发现、认同、认知以及获得的情感和态度, 是对数学知识的个体性、缄默性、真实性的理解。数学体验的意义突出表现为赋予学习的个体性, 并获得直观、深刻且有意义的数学活动经验。

2. 体验式教学

从不同的视角考察, 不同学者对体验式教学提出了各自的观点。有学者认为“体验式教学是指教师创设教学情境, 引导学生由被动到主动、由依赖到自主、由接受性到创造性地对教育情境进行体验, 并且在体验中学会避免、战胜和转化消极的情感和错误认识, 发展、享受和利用积极的情感与正确的认识, 使学生充分感受蕴藏于这种教学活动中的欢乐与愉悦, 从而达到促进学生自主发展的目的。”[5]有学者认为“体验式教学的进行主要是组织学生体验和引导反思。旨在让学生在经历和实践中实现自我领悟, 在反思中重构自己的经验, 形成自己的行动策略的一种教学形态。”[6]就数学学科而言, 体验式教学需要教师创设生活情境, 让学生通过观察、实验、操作, 达到对数学知识的内省体念、意义生成, 使抽象的数学概念、公式等最终内化为学生能够理解的知识。特别地, 数学思想及活动经验作为缄默知识, 往往不能直接通过传授而获得, 只能在学生的学习活动过程中感受、体验、领悟。

(二) 体验式教学的价值取向

1. 关注学习的主体性

一方面, 体验式教学适应了学生的认知水平。对于思维发展尚处在具体运算阶段的小学生, 体验式教学关注了教学方式对于思维水平、认知发展的适应性, 为学生提供了具体、形象的学习素材。另一方面, 体验式教学注重学习的主体参与性。给予学生直接或间接亲历数学活动的机会, 最终实现对数学概念、法则、方法、思想等的自我理解和建构。

2. 关注学习的过程性

斯托利亚尔 (A.A Cтоляр) 指出, “数学教学是数学思维的教学, 而不仅仅是教学活动的结果 (数学知识的教学) ”[7]。体验式教学给学生提供了良好的亲历、观察、探究等体验性活动的环境, 强调学生对数学思想、方法的探索及发现的过程, 注重获得新知识的方式及方法。

3. 关注学习的活动性

体验式教学有效落实了《课标》提出的数学教学要帮助学生“感悟数学思想, 积累数学活动经验”的目标要求, 强调了数学教学的直观性、活动性、生活化和情境化。在体验性的数学活动中, 学生能够将来自外部活动 (观察、实验、交流等) 和内部活动 (判断、反思、概括、抽象等) 所获得的体验进行筛选、提取和整合, 真正有效地积累数学活动经验。

三、体验式教学在小学生概率学习中的适应性分析

《课标》指出, “认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等, 都是学习数学的重要方式。”[1]进一步说, “以学定教”为教学方式的有效选择提供了科学思路。因此, 从“学”的角度来分析, 影响教学方式的因素至少包括“学材” (数学本身、知识特征) 和“学生” (认知规律、心理特点) 。一方面, 数学学科不同的内容领域及其知识属性决定了数学教学方式的不同选择。欧内斯特 (Ernest P.) 曾说:“数学教学的问题并不在于教学的最好的方式是什么, 而在于数学是什么。如果不正视数学的本质问题, 便解决不了关于教学上的争议。”[8]另一方面, 学生的认知规律和心理特征为教学方式的合理选择提供了科学依据。奥苏泊尔 (Ausubel D.P.) 曾指出:“如果把教育心理学的所有内容简约成一条原理, 我认为影响学习的最重要的因素是学生已知的内容, 弄清这一点后进行相应的教学。”[9]柯普兰 (Copeland R.W.) 也认为:“学习从属于发展, 而不是相反。向儿童教授新概念应尽可能按其在自发的认识过程中的顺序进行。”[10]

(一) 学习主体对于体验式教学的适应性分析

对于思维发展尚处于具体运算阶段的小学生, 在教学中要充分考虑到教学方式与其思维水平、认知层次的适应性。《课标》明确提出“引导学生通过实践、思考、探索、交流等, 获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1], 强调了数学体验、活动经验对于知识学习及认知发展的重要意义。因此, 在教材、教学中给予学生丰富的活动、实验、探究等体验性质的主体参与的机会是十分必要的。在数学体验的情境下, 学习主体和学习对象之间建立了直接、深刻的联系, 这在一定程度上弥补了认知条件的局限性, 形成了更具直观的、情境化的真实理解。这种具有个人系数的真实理解因蕴含着学习主体的身心活动和情感投入, 契合和发展了学生的数学兴趣和数学思维, 从而在数学学习中显得弥足重要。[11]落实到教学中, 教师应考虑到课堂应从学生的生活经验、具体体验出发, 让其有机会在亲历数学活动 (如课堂观察、数学试验、数学游戏、数学猜想) 中形成初步的外部活动经验, 再经过反思、概括、抽象等活动, 将外部活动经验整合、条理化, 形成个人化的内部活动经验, 逐步达成对数学概念、法则、方法、思想等的内化建构和自我理解。

就概率内容学习而言, 对于思维发展处在具体运算阶段的小学生来说, 惯于用确定性思维去思考随机问题。因此, 他们要真正认识事件的随机性、可能性等概率知识, 需要经历一个由确定性思维到不确定性思维转化的过程。在这个发展过程中, 儿童主要表现出如下特征:第一, 儿童对现实世界的不确定现象是通过大量符合日常生活经验的活动来获得体验的;第二, 儿童对可能性的认识主要源自他们的生活经验。[12]因此, 他们所处的生活环境与所经历的生活对于概率判断具有重要影响;儿童对事件发生的可能性大小以及等可能性的认识, 需要通过大量的操作活动来建立。此外, 有研究表明, 直觉是影响学生概率认知的一个重要因素。[13]因此, 在概率的教学中, 要发掘和培养学生概率认知过程中有意义的直觉因素。

综上分析, 对于小学生而言, 其思维发展的水平决定了学习材料的直观性和学习方法的体验性。“小学生的认知活动往往要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的过程, 只让学生在大脑中思考, 往往会出现偏差, 甚至出现错误。”[14]特别是对于概率知识的教学及概率思维的培养, 要充分结合小学生的认知规律, 合理安排教学以适应学生的认知发展。因此, 概率教学要基于学生的心理、认知发展特点和生活经验, 合理分析和发掘教材, 设计富有体验性、探究性的数学活动, 引导学生在亲历、体验、思考、交流的情境下展开有意义的知识建构。

(二) 概率内容的特征与体验式教学的逻辑自洽性

早在1812年, 著名数学家拉普拉斯 (Laplace P.S.) 就曾指出:“很值得注意的是, 一门从考虑机会的游戏开始的科学将成为人类知识中最重要的东西, 人生的最重要的问题中的大部分事实上只是概率论的问题。”[15]概率是研究随机现象的科学, 它以一种不同于以往确定性思维的方式出现。作为不确定性数学, 概率内容的重要性不言而喻, 已然是新课程背景下基础教育阶段各个学段中的重要内容。从知识特征的角度来说, 概率作为刻画随机现象发生可能性的一个量度, 它既不同于长度、面积等比较直观的度量, 也不同于温度、亮度等我们可以感知的度量, 概率是看不见的、无法感知的, 具有抽象性。从认知目标来说, 《课标》对概率内容的认知要求在各年级、各学段之间呈现出渐进的、螺旋式的上升。并且, 各个学段概率内容的衔接始终是在“不确定现象”这一基础上, 由形象直观渐至科学定义。就小学阶段而言, 概率内容一直都是在用形象的语言进行描述, 并用“可能性”代替专业词汇“概率”, 这一阶段的认知目标主要是“在具体情境中, 通过实例感受简单的随机现象”“通过试验、游戏等活动, 感受随机现象结果发生的可能性是有大小的, 能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述, 并能进行交流”。[1]这就对概率教学提出了特殊的要求, 概率教学要基于不确定性和随机思想, 立足于认知目标的直观性要求, 为学生创造生活化、体验性的学习环境, 让学生在可观、可感的操作活动中获得数学体验, 达到对于概率内容、随机思想的感性认识。

四、小学概率内容体验式教学的几个说明

(一) 重视学生的亲身体验及主动探索

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。缺乏对随机现象的丰富体验, 学生往往较难建立随机观念。必须设计学生熟悉而感兴趣的实际问题或游戏, 让他们感受随机现象结果发生的可能性是有大小的, 并能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述;让他们亲临原始的随机环境, 主动地参与对事件发生概率的感受和探索, 丰富对概率背景的认识, 获得数学思考、数学体验, 体会随机性及随机思想, 建立正确的概率直觉。

(二) 有效利用学生的生活经验及错误经验

学生在正式学习概率内容之前, 已经广泛接触到了生活中与概率相关的实例, 对随机性的认识已经具备了一定的经验。概率教学要充分利用学生的生活经验, 善于从现实问题、生活场景中抽象出概率的模型, 让学生体验到概率内容的生活性和应用性。另一方面, 概率教学要关注到学生错误经验对于概率学习的影响。比如, “等可能性偏见” (equiprobility biases) [16,17,18]是小学生概率认知的典型错误, 他们对于随机事件可能性大小的理解倾向于认为:“既然这几种结果都有可能发生, 到底哪个发生是不清楚的。那么, 每种结果发生的可能性都是50%。”概率教学要分析学生的这些错误经验, 设计数学实验, 让学生在实际操作中体验到事件发生的可能性是有大小的。

(三) 注意外部体验与内部体验相结合

概率内容的体验式教学, 要让学生亲自经历对随机现象的探索过程, 应强调学生的亲身体验。但是, 仅仅强调学生的身体参与是不够的, 要避免将体验式教学的形式化操作走向“假体验”的误区。“数学体验式教学不只是外化的以‘活动’‘探究’等为载体的教学行为, 更是以内化的‘思想实验’‘缄默知识’等为载体的‘心灵感知’。”[19]因此, 体验式教学要有效结合学生身体参与与思想内化, 在活动体验的基础上进行深入的内部加工, 真正实现体验式教学的思维导向功能。