动量典型例题分析

动量典型例题分析（精选11篇）

动量典型例题分析 篇1

之间的质量关系是mB=1.5mA，拍摄共进行了4次，第一次是在两滑块相撞之前，以 后的三次是在碰撞之后，A原来处于静止状态，设A、B滑块在拍摄闪光照片的这段时间内是在10 cm至105 cm这段范围内运动（以滑块上的箭头位置为准），试根据闪光照片（闪光时间间隔为0.4s），求出：

(1)A、B两滑块碰撞前后的速度各为多少？

(2)根据闪光照片分析说明：两滑块碰撞前后，两个物体各自的质量与自己的速度的乘积之和是不是不变量？气垫导轨(如图)工作时，空气从导轨表面的小孔喷出，在导轨表面和滑块内表面之间形成一层薄薄的空气层，使滑块不与导轨表面直接接触，大大减小了滑块运动时的阻力．为了探究碰撞中的守恒量，在水平气垫导轨上放置两个质量均为a的滑块，每个滑块的一端分别与穿过打点计时器的纸带相连，两个打点计时器所用电源的频率均为b.气垫导轨正常工作后，接通两个打点计时器的电源，并让两滑块以不同的速度相向运动，两滑块相碰后粘在一起继续运动．右下图为某次实验打出的、点迹清晰的纸带的一部分，在纸带上以同间距的6个连续点为一段划分纸带，用刻度尺分别量出其长度s1、s2和s3.若题中各物理量的单位均为国际单位，那么，碰撞前两滑块的质量和速度大小的乘积分别为_______、_______，碰撞前两滑块的质量和速度乘积的矢量和为；碰撞后两滑块的总质量和速度大小的乘积为________．重复上述实验，多做几次寻找碰撞中的守恒量．碰撞的恢复系数的定义为，其中v10和v20分别是碰撞前两物体的速度，v1和v2分别是碰撞后两物体的速度。弹性碰撞的恢复系数e＝1，非弹性碰撞的e＜1。某同学借用验证动量守恒定律的实验装置（如图所示）验证弹性碰撞的恢复系数是否为1，实验中使用半径相等的钢质小球1和2，（它们之间的碰撞可近似视为弹性碰撞），且小球1的质量大于小球2的质量。

实验步骤如下：安装好实验装置，做好测量前的准备，并记下重垂线所指的位置O。第一步：不放小球2，让小球1从斜槽上A点由静止滚下，并落在地面上。重复多次，用尽可

能小的圆把小球的所有落点圈在里面，其圆心就是小球落点的平均位置。第二步：把小球2放在斜槽前端边缘处的C点，让小球1从A点由静止滚下，使它们碰撞。重复多次，并使用与第一步同样的方法分别标出碰撞后两小球落点的平均位置。

第三步：用刻度尺分别测量三个落地点的平均位置离O点的距离，即线段OM、OP、ON的长度。上述实验中：

（1）P点是_____________的平均位置，M点是_____________的平均位置，N点是_____________的平均位置。

（2）请写出本实验的原理

______________________________________________________________________；写出用测量量表示的恢复系数的表达式_________________________。

（3）三个落地点距O点的距离OM、OP、ON与实验所用的小球质量是否有关？

______________________________________________________________________

4一个铁球，从静止状态由10m高处自由下落，然后陷入泥潭中，从进入泥潭到静止用去0．4s，该铁球的质量为336g，求从开始下落到进入泥潭前，重力对小球的冲量为多少?从

2进入泥潭到静止，泥潭对小球的冲量为多少?(保留两位小数，g取10m／s)一个竖直向上发射的火箭，除燃料外重6 000 kg，火箭喷气速度为1 000 m/s，在开始时

2每秒大约要喷出多少质量的气体才能支持火箭的重量？如果要使火箭开始时有19.6 m/s向

上的加速度，则每秒要喷出多少气体？

62009年中国女子冰壶队首次获得了世界锦标赛冠军，这引起了人们对冰壶运动的关注。冰壶在水平冰面上的一次滑行可简化为如下过程：如图所示，运动员将静止于O点的冰壶（视为质点）沿直线推到A点放手，此后冰壶沿滑行，最后停于C点。已知冰面与各

＝r,重力加速度为g，冰壶间的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，AC＝L，（1）求冰壶在A 点的速率；

（2）求冰壶从O点到A点的运动过程中受到的冲量大小；

（3）若将段冰面与冰壶间的动摩擦因数减小为，原只能滑到C点的冰壶能停于点，求A点与B点之间的距离。

7图中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零。小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点。求

（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；

（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。光滑水平面上放着质量为mA=1kg的物块A与质量mB=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A、B均不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能EP=49J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示。放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半

2圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点C。取g=10m／s，求

（1）绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；

（2）绳拉断过程绳对B的冲量I的大小；

（3）绳拉断过程绳对A所做的功W。某兴趣小组用如图所示的装置进行实验研究。他们在水平桌面上固定一内径为d的圆柱形玻璃杯，杯口上放置一直径为3d/

2、质量为m的匀质薄圆板，板上放一质量为

2m的小物块。板中心、物块均在杯的轴线上。物块与板间动摩擦因数为μ，不计板与杯口之间的摩擦力，重力加速度为g，不考虑板翻转。

（1）对板施加指向圆心的水平外力F，设物块与板间最大静摩擦力为fmax，若物块能在板上滑动，求F应满足的条件。

（2）如果对板施加的指向圆心的水平外力是作用时间极短的较大冲击力，冲量为I。① I应满足什么条件才能使物块从板上掉下？

② 物块从开始运动到掉下时的位移s为多少？

③ 根据s与I的关系式说明要使s更小，冲量应如何改变。在光滑水平面上AB两小车中间有一弹簧，如图16－

2－

1所示，用手抓住小车并将弹簧压

缩后使小车处于静止状态.将两小车及弹簧看作一个系统，下面说法正确的是（）

A.两手同时放开后，系统总动量始终为零

B.先放开左手，再放开右手后，动量不守恒

C.先放开左手，后放开右手，总动量向左

D.无论何时放手，两手放开后，在弹簧恢复原长的过程中，系统总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零如图所示，设车厢长为L，质量为M，静止于光滑水平面上，车厢内有一质量为m的物体以初速度v0向右运动，与车厢壁来回碰撞n次后，静止在车厢中，求这时车厢的速度。如图所示，质量为m的子弹，以速度v水平射入用轻绳悬挂在空中的木块，木块的质量为M，绳长为L，子弹射入木块即停留在木块中，求子弹射入木块的瞬间绳子张力的大小如图所示，一质量m2=0.25 kg的平顶小车，车顶右端放一质量m3=0.2 kg的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数

一质量m1=0.05 kg的子弹以水平速度=0.4，小车静止在光滑的水平轨道上。现有12 m／s射中小车左端，并留在车中。子弹与车相互作用时间很短。若使小物体不从车顶上滑落，求：

(1)小车的最小长度应为多少?最后物体与车的共同速度为多少?(2)小木块在小车上滑行的时间。(g取10m／s2)质量为M，半径为R的光滑半圆槽静止在光滑水平面上,现将质量为m的小球放于半圆形槽的边缘上，并由静止开始释放，求小球滑到半圆形槽的最低位置时，槽移动的距离为多少？15 如图所示，一个质量为m的玩具蛙，蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上，若车长为

L，细杆高为h，且位于小车的中点，试求：当玩具蛙最小以多大的水平速度v跳出，才能落到桌面上。

16目前滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图，赛道光滑，FGI 为圆弧赛道，半径 R ＝6.5m , G为最低点并与水平赛道 BC 位于同一水平面，KA、DE平台的高度都为 h = 18m。B、C、F处平滑连接。滑板 a 和 b 的质量均为m，m＝ 5kg，运动员质量为M , M＝ 45kg。表演开始，运动员站在滑板 b 上，先让滑板 a 从 A 点静止下滑，t1＝0.1s后再与 b 板一起从 A 点静止下滑。滑上 BC 赛道后，运动员从 b 板跳到同方向运动的 a 板上，在空中运动的时间 t2＝0.6s。（水平方向是匀速运动）。运动员与 a 板一起沿CD 赛道上滑后冲出赛道，落在EF赛道的P点，沿赛道滑行，经过G点时，运动员受到的支持力 N = 742.5N。（滑板和运动员的所有运动都在同一竖直平面内，计算时滑板和运动员都看作质点，取 g＝ 10m/s）

（1）滑到G点时，运动员的速度是多大？

（2）运动员跳上滑板 a 后，在 BC 赛道上与滑板 a 共同运动的速度是多大？

动量典型例题分析 篇2

求商法是证明不等式的基本方法之一, 若A, B是正数且A≥B, 则A/B≥1, 若A≤B, 则A/B≤1, 反之亦然.根据这个关系证明不等式的方法称为求商法.

例1:设a, b为正数, 且a>b, 求证:.

二、求差法

求差法是证明不等式常用的基本方法之一, 其原理为, 若A-B>0, 则A>B;若A-B<0, 则A

例2:设a, b, c是满足a+b+c=1的正数, 对于实数x, y, z, 设P=ax+by+cz, Q=bx+cy+az, R=cx+ay+bz.求证:P2+Q2+R2≤x2+y2+z2.

比差法和比商法两种统称为比较法, 用比差法时, 把所得的差作合理的变形 (配方、因式分解、通分、分母有理化等) 化为易于判断符合 (>0或<0) 的式子是证题的关键.它常用于两边的差是一个次数较高的多项式或分式这一类不等式的证明, 比商法适用于两边都是幂的形式的不等式.因此要重点掌握比差法.

三、数学归纳法

数学归纳法是与自然数n有关的不等式的一种重要方法, 其方法步骤见一般中等数学教科书.对于n (n∈N) 的不等式, 当n取第一个值时不等式成立, 如果使不等式在n=k (k∈N) 时成立的假设下, 还能证明不等式在n=k+1时也成立, 那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立.

例3:设x为正数, n为自然数, 求证:..

证明:当n=1时,

右边=3

原不等式成立.

假使, n=k时命题成立, 即

则当n=k+1时

即当n=k+1时, 命题成立.

综上所述, n∈N时不等式成立.

四、数列法

数列法是证明不等式的基本方法, 常用到等比 (或等差) 数列有关公式和原数列的一些公式.

滑轮典型例题分析 篇3

解析 水平使用的滑轮与物重无关，主要与物体受到的摩擦力有关.通过受力分析可知：

F1=120N；F2=60N；F3=240N.

例2 如图2所示，G1=20N，台秤示数8N，不计滑轮重和摩擦，物体G2重（ ）.

A.2N B.18N C.28N D.20N

解析 先分析该滑轮组中的定滑轮和动滑轮，物体G1受到2股绳子向上的拉力，每股绳子拉力为F=10N；再以物体G2为研究对象，G2受到竖直向上的拉力F=10N和台秤的支持力8N，其重力为G2=10N+8N

=18N.答案选B.

例3 如图3是现代家庭经常使用的自动升降衣架的结构示意图，它可以很方便晾、取衣服，其实就是通过一些简单机械的组合来实现此功能.图中动滑轮有

个，此装置 （能/不能）改变动力的方向.

解析 当晾衣架上升时，下面的两个滑轮与晾衣架一起上升，所以下面的两个滑轮是动滑轮；当拉着晾衣架上升时，自由端的拉力可以向下，因此，此装置能改变动力的方向.答案：2；能.

郭沫若诗典型例题分析 篇4

郭沫若诗两首典型例题分析，要求同学们分析《天上的街市》诗歌是如何运用联想和想像的。并附有例题解析以及参考答案。

【例题】

《天上的街市》一诗中是如何运用联想和想像的?试分析其作用。

【解析】

本文是考查学生对联想和想像这两个概念的了解和掌握。所谓联想，就是由此事物想到彼事物的心理过程。两个事物都是客观存在的，且彼此有一定的联系：或在空间或在时间上相接近;或相似;或有对立关系，或有因果关系……所谓想像，则是在原有感悟形象的基础上创造出新形象的心理过程。这些新形象是已积累的知觉经过加工改造而成的。

【参考答案】

动量典型例题分析 篇5

例1在-720°～720°之间，写出与60°的角终边相同的角的集合S． 解与60°终边相同的角的集合为｛α|α=k·360°+60°，k∈Z｝．

令-720°＜k·360°+60°＜720°，得k=-2，-1，0，1

相应的α为-660°，-300°，60°，420°，从而S=｛-660°，-300°，60°，420°｝．

例2把1230°，-3290°写成k·360°+α(其中0°≤α＜360°，k∈Z)的形式．

分析用所给角除以360°，将余数作α．

解∵1230÷360=3余150，∴1230°=3×360°+150°．

∵-3290÷360=-10余310，∴-3290°=-10×360°+310°．

注意：负角除以360°，为保证余数为正角，试商时应使得到的负角的绝对值大于已知负角的绝对值．

例3写出终边在y轴上的角的集合．

解终边在y轴的正半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝．终边在y轴的负半轴上角的集合为｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．故终边在y轴上角的集合为

｛α|α=k·360°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=k·360°+270°，k∈Z｝．

=｛α|α=2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛α|α=(2k+1)·180°+90°，k∈Z｝ =｛α|α=n·180°+90°，n∈Z｝．

中考中不等式(组)典型例题解析 篇6

例1 (2014·山东威海)已知点p(3-m,m-1)在第二象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是().

【分析】根据第二象限内点的坐标特点,可构造不等式组,从而得出答案.

【点评】本题通过点的坐标所在的象限特点,构造出不等式组,求出不等式组中每一个不等式的解集,再把不等式的解集表示在数轴上确定其结果.

例2 (2014·贵州黔东南)解不等式组并写出它的非负整数解.

【分析】本题涉及解一元一次不等式组.先分别计算出两个不等式的解集,再确定不等式组的解集,最后找出解集范围内的非负整数解.

【点评】求不等式组的特殊解,一般先求出不等式组的解集,再在解集中找出符合要求的特殊解. 不等式组的解集可以利用数轴来确定,也可用口诀来确定“:大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小是空集. ”

例3 (2014·山东泰安)若不等式组有解,则实数a的取值范围是( ).

A. a<-36 B. a≤-36

C. a>-36 D. a≥-36

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,不等式组有解,即两个不等式的解集有公共部分,据此即可列不等式求得a的范围.

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.

例4 (2014·四川内江)已知实数x、y满足2x-3y=4,并且x≥-1,y<2,现有k=xy,则k的取值范围是 ________.

【分析】先把2x-3y=4变形得到y=(1/3)(2x-4),由y<2,得到(1/3)(2x-4)<2,解得x<5,所以x的取值范围为-1≤x<5,再用x变形k得到k=x-(1/3)(2x-4),然后利用一次函数的性质确定k的范围.

【点评】本题考查了解一元一次不等式以及确定不等式组的解集.

例5 (2014·湖南湘潭)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:

经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于1 380吨.

(1)该企业有几种购买方案?

(2)哪种方案更省钱,说明理由.

【分析】本题考查了用不等式组解决实际问题,解题关键是根据已知条件,寻找不等量关系,建立不等式模型来求解.

(1)设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8-x)台,根据企业最多支出89万元购买设备,要求月处理污水能力不低于1 380吨,列出不等式组,然后找出最合适的方案即可.

(2)计算出每一方案的花费,通过比较即可得到答案.

解:设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8-x)台,根据题意,得

解这个不等式组,得:2.5≤x≤4.5.

∵x是整数,∴x=3或x=4.

当x=3 时,8-x=5;

当x=4 时,8-x=4.

∴有2种购买方案:第一种是购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备;

第二种是购买4台A型污水处理设备,4台B型污水处理设备.

(2)当x=3时,购买资金为12×3+10×5=86(万元),

当x=4时,购买资金为12×4+10×4=88(万元).

因为88>86,

所以为了节约资金,应购污水处理设备A型号3台,B型号5台.

答:购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备更省钱.

【点评】列不等式(组)解应用题的关键是根据题意找出不等量关系,再根据相应的关系列出不等式(组). 要注意通常不等关系的给出总是以“至少“”少于“”不超过”“最大”等关键词作为标志. 有时解出不等式(组)后,还要根据实际情况适当取舍,选出符合要求的答案.

例6 (2014·贵州黔东南)某超市计划购进甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?

(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

【分析】本题综合考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用.

(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题;

(2)分情况讨论,针对甲种玩具数量不大于20件、大于20件,分别列出函数关系式即可;

(3)设购进玩具x件(x>20),分别表示出购买甲种和乙种玩具的费用,建立不等式解决问题.

解:(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,由题意得

(3)设购进玩具x件(x>20),则乙种玩具花费27x元.

当 27x=21x+180 时,x=30,

即当购进玩具正好30件时,选择购其中任一种皆可;

当 27x>21x+180 时,x>30,

即当购进玩具超过30件时,选择购甲种玩具省钱;

当 27x<21x+180 时,x<30,

即当购进玩具少于30件且大于20件时,选择购乙种玩具省钱.

“供求曲线”典型例题探究 篇7

一、供求曲线

一种商品的供给（需求）是指生产者（消费者）在一定时期内，在各种可能的价格水平下，愿意而且能够出售（购买）的该种商品的数量。 用图形表示价格与数量的关系如图1、图2所示，P（Price）表示价格，Q（Quantity）表示数量，S（Supply）表示供给曲线，D（Demand）表示需求曲线，其中纵轴OP是自变量，横轴OQ是因变量。

二、均衡价格

均衡价格是供给和需求在一定条件下相互作用、相互制约的结果。

把图1、图2整合后得到图3（供求曲线）。供给曲线S与需求曲线D的交点E（P0，Q0）表示某种商品供求平衡（市场均衡），P0就是均衡价格。但市场上商品供需数量和价格并非一成不变，所以曲线会出现左右平移现象。

1.供给影响价格

假定：人们对西瓜的需求量不变，西瓜刚刚上市，由于供给数量少，价格会上涨；当西瓜大量上市时，由于供给量增加，价格会下跌。这就是供求关系影响价格。此时供给曲线S则会向左右平移，如图4所示。

（演绎作品）设置的情境：假设甲和乙都处于球的同一端，绳的同一头，结果会怎样？为什么？——同一以差别和对立为前提，没有斗争性，就没有同一性，事物就不能存在和发展。

“矛盾”是多么晦涩难懂的概念，但通过演绎的漫画把矛盾的同一性含义，同一性和斗争性的关系直观地展现在学生面前，使抽象的问题具体化、形象化，打消了学生学习哲学的畏难情绪。

二、运用漫画教学的反思

1.选择的漫画，首先要符合教学内容，能起到辅助教学的作用。其次，漫画要具有趣味性，能激发学生学习的欲望，点燃学生学习的激情。再次，漫画一定要直观、简单，但又寓意深刻。尤其对于哲学来说，选择一幅恰当的漫画比任何语言都具有表现力、震撼力。

2.漫画素材的选择对教师的素质提出了要求，需要教师不断完善自身，钻研教材。叶澜教授说：“没有教师生命质量的提升，就很难有高的教学质量；没有教师精神的解放，就很难有学生精神的解放；没有教师的主动发展，就很难有学生的主动发展；没有教师的教育创造，就很难有学生的创造。”要想充分发挥漫画的作用，激活政治课堂，需要教师对相关知识点把握准确，寻找知识点的内在逻辑，通过一系列漫画，顺着一条主线把知识点串联在一起。

总之，巧用漫画可以使学生形成强烈的学习动机，引发学生积极思维，提高学生的综合能力，使政治课堂充满生机与活力。

（责任编辑 袁 妮）

对于文科生来说，经济学计算题就是一个“痛”，同时此类题也是高中一线政治教师教学的难点。 “供需曲线”具有直观性强、信息量大、新颖灵活、与数学结合等特点，侧重体现学生的综合能力，因此备受命题者青睐。笔者认为“供需曲线”类选择题近年来大有取代计算题之趋势。接下来，笔者就谈谈自己对“供求曲线”及其相关内容的浅薄认识。

一、供求曲线

一种商品的供给（需求）是指生产者（消费者）在一定时期内，在各种可能的价格水平下，愿意而且能够出售（购买）的该种商品的数量。 用图形表示价格与数量的关系如图1、图2所示，P（Price）表示价格，Q（Quantity）表示数量，S（Supply）表示供给曲线，D（Demand）表示需求曲线，其中纵轴OP是自变量，横轴OQ是因变量。

二、均衡价格

均衡价格是供给和需求在一定条件下相互作用、相互制约的结果。

把图1、图2整合后得到图3（供求曲线）。供给曲线S与需求曲线D的交点E（P0，Q0）表示某种商品供求平衡（市场均衡），P0就是均衡价格。但市场上商品供需数量和价格并非一成不变，所以曲线会出现左右平移现象。

1.供给影响价格

假定：人们对西瓜的需求量不变，西瓜刚刚上市，由于供给数量少，价格会上涨；当西瓜大量上市时，由于供给量增加，价格会下跌。这就是供求关系影响价格。此时供给曲线S则会向左右平移，如图4所示。

（演绎作品）设置的情境：假设甲和乙都处于球的同一端，绳的同一头，结果会怎样？为什么？——同一以差别和对立为前提，没有斗争性，就没有同一性，事物就不能存在和发展。

“矛盾”是多么晦涩难懂的概念，但通过演绎的漫画把矛盾的同一性含义，同一性和斗争性的关系直观地展现在学生面前，使抽象的问题具体化、形象化，打消了学生学习哲学的畏难情绪。

二、运用漫画教学的反思

1.选择的漫画，首先要符合教学内容，能起到辅助教学的作用。其次，漫画要具有趣味性，能激发学生学习的欲望，点燃学生学习的激情。再次，漫画一定要直观、简单，但又寓意深刻。尤其对于哲学来说，选择一幅恰当的漫画比任何语言都具有表现力、震撼力。

2.漫画素材的选择对教师的素质提出了要求，需要教师不断完善自身，钻研教材。叶澜教授说：“没有教师生命质量的提升，就很难有高的教学质量；没有教师精神的解放，就很难有学生精神的解放；没有教师的主动发展，就很难有学生的主动发展；没有教师的教育创造，就很难有学生的创造。”要想充分发挥漫画的作用，激活政治课堂，需要教师对相关知识点把握准确，寻找知识点的内在逻辑，通过一系列漫画，顺着一条主线把知识点串联在一起。

总之，巧用漫画可以使学生形成强烈的学习动机，引发学生积极思维，提高学生的综合能力，使政治课堂充满生机与活力。

（责任编辑 袁 妮）

对于文科生来说，经济学计算题就是一个“痛”，同时此类题也是高中一线政治教师教学的难点。 “供需曲线”具有直观性强、信息量大、新颖灵活、与数学结合等特点，侧重体现学生的综合能力，因此备受命题者青睐。笔者认为“供需曲线”类选择题近年来大有取代计算题之趋势。接下来，笔者就谈谈自己对“供求曲线”及其相关内容的浅薄认识。

一、供求曲线

一种商品的供给（需求）是指生产者（消费者）在一定时期内，在各种可能的价格水平下，愿意而且能够出售（购买）的该种商品的数量。 用图形表示价格与数量的关系如图1、图2所示，P（Price）表示价格，Q（Quantity）表示数量，S（Supply）表示供给曲线，D（Demand）表示需求曲线，其中纵轴OP是自变量，横轴OQ是因变量。

二、均衡价格

均衡价格是供给和需求在一定条件下相互作用、相互制约的结果。

把图1、图2整合后得到图3（供求曲线）。供给曲线S与需求曲线D的交点E（P0，Q0）表示某种商品供求平衡（市场均衡），P0就是均衡价格。但市场上商品供需数量和价格并非一成不变，所以曲线会出现左右平移现象。

1.供给影响价格

假定：人们对西瓜的需求量不变，西瓜刚刚上市，由于供给数量少，价格会上涨；当西瓜大量上市时，由于供给量增加，价格会下跌。这就是供求关系影响价格。此时供给曲线S则会向左右平移，如图4所示。

（演绎作品）设置的情境：假设甲和乙都处于球的同一端，绳的同一头，结果会怎样？为什么？——同一以差别和对立为前提，没有斗争性，就没有同一性，事物就不能存在和发展。

“矛盾”是多么晦涩难懂的概念，但通过演绎的漫画把矛盾的同一性含义，同一性和斗争性的关系直观地展现在学生面前，使抽象的问题具体化、形象化，打消了学生学习哲学的畏难情绪。

二、运用漫画教学的反思

1.选择的漫画，首先要符合教学内容，能起到辅助教学的作用。其次，漫画要具有趣味性，能激发学生学习的欲望，点燃学生学习的激情。再次，漫画一定要直观、简单，但又寓意深刻。尤其对于哲学来说，选择一幅恰当的漫画比任何语言都具有表现力、震撼力。

2.漫画素材的选择对教师的素质提出了要求，需要教师不断完善自身，钻研教材。叶澜教授说：“没有教师生命质量的提升，就很难有高的教学质量；没有教师精神的解放，就很难有学生精神的解放；没有教师的主动发展，就很难有学生的主动发展；没有教师的教育创造，就很难有学生的创造。”要想充分发挥漫画的作用，激活政治课堂，需要教师对相关知识点把握准确，寻找知识点的内在逻辑，通过一系列漫画，顺着一条主线把知识点串联在一起。

总之，巧用漫画可以使学生形成强烈的学习动机，引发学生积极思维，提高学生的综合能力，使政治课堂充满生机与活力。

应用统计典型例题 篇8

231X~22(1)(1)2

其中01为未知参数。已经取得了样本值x11,x22,x31，试求参数的矩估计与极大似然估计。

解：（i）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）

E(X)222(1)3(1)232X 433X3x53 得 矩2226（ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率

L()P(X1x1,X2x2,X3x3)

P(X11,X22,X31)

P(X11)P(X22)P(X31)22(1)225(1)

对数似然

lnL()ln25lnln(1)

dlnL()510 d1得极大似然估计为

5ˆ极 6

例2，某种电子元件的寿命（以

h记）X服从双参数指数分布，其概率密度为

1exp[(x)/],xf(x)

0,其他其中，0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，xx,,xn.设它们的失效时间分别为1,2（1）求（2）求，的最大似然估计量； ，的矩估计量。

n解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为

L(，)f(x1,x2,,xn;，)f(xi)

i1n1exp[(xi)/],x1,x2,,xni1 0,其他n1nexp((xin)/),x(1)i1 0,x(1)在求极大似然估计时，L(，)0肯定不是最大值的似然函数值，不考

n虑这部分，只考虑另一部分。

取另一部分的对数似然函数

lnL(,)nln(xin)/,x(1)

i1

nxinlnL(,)ni102 lnL(,)n0可知关于，的驻点不存在，但能判定单调性

lnL(,)n0知 由lnL(,)nln(xin)/,x(1)，i1n关于是增函数，故

ˆ极x(1)lnL(,)n将之代入到xnii1n20中得

ˆ极xx(1)

ˆˆx则极(1)，极xx(1)一定能使得似然函数达到最大，故，的极大似然估计为

ˆ极xx(1) ˆx极(1)

（2）列矩方程组（两个未知参数）

1E(X)xexp[(x)/]dxXn2112222E(X)xexp[(x)/]dx()Xini1解出

n12ˆ(XX)矩ini11nˆ2X(XX)i矩ni1 例3，设总体X~U[0,]，其中0为未知参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的一组简单随机样本，12大似然估计。

解：似然函数，即样本的联合概率密度

nx,x,,xn为样本观察值，求未知参数的极

1n,0x1,x2,,xnL()f(x1,x2,,xn;)f(xi) i10,elseL()0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然

lnL()nln,x(n)

dlnL()n0 d知lnL()nln在x(n)内是单调递减的，故的极大似然估计值为

典型例题十八 篇9

1112． 2232n2

分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注1意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从2n

下手考查即可． 例18 求证1

证明：∵111111(n2)，n2nnn(n1)n1n

∴11111111111122． 2232n2n1nn1223

典型高考例题解题思路研究 篇10

关键字：高考；综合题；解题思路

俗话说“无规矩不成方圆”，地理高考文综题答题也有一定的套路可寻。地理高考文综的高频题常常以区域为主，对区域的解读常常可以从自然和社会环境等要素来分析。本文将以高考题为例，总结出一套普遍的解题思路。

常规的解题思路如下：确定区域；明确问题指向；结合所学寻找答题点；穷盡图文资料，结合模板，找出答案。

建三江位于三江平原腹地，于1957年开始垦荒，日前面积1.24万平方千米，人口20多万，这里空气清新，水源丰富且水质优良，土壤肥沃。近年来，建三江重点种植水稻，有“中国绿色米都”之称。建三江采用现代技术科学生产，如定点监测土壤肥力并精准施肥。图1示意建三江的位置和范围。

（1）分析三江平原环境质量优良的原因（6分）

（2）分析建三江农作物病虫害较少的气候原因（6分）

（3）简述建三江水稻种植过程中化肥施用量较少的原因（4分）

（4）建三江被称为“中国绿色米都”。请说明建三江获此美誉的理由（8分）

第一步：读题，找出思考对象，确定区域。通过图文资料，我们很容易得出，思考对象是三江平原。三江平原的地理位置是如何界定？该题材料中直接指出该区域是三江平原的腹地建三江，从图中可以看出，该区域的经纬度范围47°N～48°N，132°～135°E，通过比较发现没有特殊的纬线（南北回归线，赤道，极圈）穿过，所以该区域位于五带中的北温带，气候类型属于温带季风气候。

第二步：明确问题指向。

通过已有的问题，明确问题指向，通过题目很容易就得出第一小题的问题指向为环境优良的原因；第二小题的问题指向为病虫害少的气候原因；第三小题为施肥量少的原因；第四小题为被称为“绿色米都”的理由。

第三步：结合所学知识，寻找答题点。

第（1）题，自然环境优良的原因的答题点，在环境问题（此题主要涉及环境污染和生态破坏）产生的原因中寻找。主要包括自然和人为原因，自然原因从地形、土壤、河流、植被和气候中选取；环境优良说明导致环境问题产生的人类活动（产业活动，政策导向，不合理的活动、生产技术和消费活动）较少。第（2）小题，病虫害少的气候原因，要从气候方面入手，包括温度，降水，日照，温差等，，由于虫害的生存和繁殖主要跟温带和昼夜温差有关，所以答案就出来了。第（3）小题，种植过程施肥量少，就要找农业区位因素里的土壤因素和技术因素。第（4）小题，解题的关键是理解“绿色”“米都”。“绿色”指环境质量高，污染少；“米都”说明稻米生产量大，商品率高。

第四步：穷尽图文资料，寻找有用信息。

第（1）小题，自然原因方面，通过位置分析，发现位置靠北，气候寒冷；水源丰富且水质优良，土壤肥沃，定点监测土壤肥力并精准施肥，所以排出的废水较多；于1957年开始垦荒，开垦历史较短，人类对环境影响小；日前面积1.24万平方千米，人口20多万，人均耕地0.062平方千米，空气清新，地广人稀，所以人类排放的废弃物少，环境污染小。第（2）小题，气候寒冷，冬季漫长，杀死虫害；夏季昼夜温差大，不利于害虫繁殖。第（3）小题，文字资料直接给出答案，土壤肥沃，定点监测土壤肥力并精准施肥。第（4）小题，从图文资料，很容易找到，“绿色”的特征——环境优良，水质优良，土壤肥沃，施肥量少。又由于地广人稀，所以生产规模大，商品率高，技术先进，机械水平高，总产量大。

排列典型例题解析(一) 篇11

（一）【例1】写出从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列.分析：列举法是解排列组合题的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24种.说明：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.【例2】计算下列各题.（1）A;(2)A;(3)21566An-1 An-mAn-1n-1m-1nm;(4)1!+2·2!+3·3!+„+n·n!;(5)

12!23!34!n1n!.分析：准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n1)!(nm)!(n1)![n1(m1)]!·(n－m)!·

11(n1)!

·(n－m)!·

(n1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+„+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n1)!－

1n!1，+„+

1(n1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.说明：本题（4）、（5）相当于数列求和问题，要根据通项灵活拆项，灵活运用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x1=140Ax.n1n!=

1(n1)!－

1n!，可以使问题解决得简单快捷.分析：利用排列数公式将方程转化为关于x的代数方程即可求解.解：根据原方程，x(x∈N*)应满足根据排列数公式，原方程化为

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解为x=3.说明：定义域是灵魂，对于排列数Amn要注意n、m∈N*，m≤n.342x14,x3.解得x≥3.（因x为整数，应舍去）.xx2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列数公式将不等式转化为关于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9x)!>

269!(9x2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x<8或x>13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x<8，x∈N*，故x=2，3，4，5，6，7.说明：有关以排列、组合（下一节将学到）公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解.但应注意其中的字母都必须是满足条件的自然数，不要忽视这一点.【例5】6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30种

B.360种

C.720种

D.1440种 分析：本题是排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同.解：不同的排法总数为A6=6×5×４×3×2×1=720(种）.6说明：我们要从事件的本质入手，抓住模型本质，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四个算式是否正确？正确的加以解释；不正确的说明理由.分析：解答排列题往往是一人一法，我们要从多角度思考，从不同角度分析问题.解：A中很明显，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到“占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位的方法数是A15，当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A14，„„当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A1b占位后，再排其他四人，他们有A41，当a、4种排法，可见B的算式是正确的.4C中的A6可理解为从6个位置中选4个位置让c，d，e，f占据.这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a，b的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数为C6；这两个位置让a、b占据，显然，a、b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A44种排法.可见，D的算式是对的.（下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法）上面四个算式都正确.说明：解答排列、组合题要注意一题多解的练习.【例7】八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

分析：对于排列问题我们往往直接考虑“甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排”，也可以间接考虑其反面.解法一：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（种）.425445解法二：采取“总方法数减去不合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数，看成“总方法数”，这个数目是A1A7；在这种前提下，不合题意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐两排的八人坐法”.这个数目是A1C1A13A1A5.其中第一个因数4245A1表示甲坐在第一排的方法数，C1表示从乙、丙中任选一人的方法数，A13表示把选出的42这个人安排在第一排的方法数，下一个A14则表示乙、丙中尚未安排的那个人坐在第二排的方法数，A55就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（种）.说明:直接法与间接法是我们考虑问题的两种常见思维方式，我们要根据情况合理选择.【例8】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？

分析：对于“第一节不排体育，最后一节不排数学”这一限制条件，正难则反，适合用间接法考虑.解法一：6门课总的排法是A6其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A56，5种排法，如图10－2－4中Ⅰ；数学排在最后一节有A55种排法，如图10－2－4中Ⅱ，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，如图10－2－4中Ⅲ，这种情况有A44种

54排法.因此符合条件的排法应是A66－2A5+A4=504（种）.Ⅰ ⅢⅡ 图10－2－4 说明：解答排列、组合题用间接法要注意不重复也不遗漏.【例9】三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

分析：解决排列、组合（组合下一节将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置.有两个以上约束条件，往往先考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素.解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，6三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6·A3=4320种不同的排法.363（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空挡，这样共有4个空挡，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置553中选出三个来让三个女生插入都有A36种方法，因此共有A5·A6=14400种不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的22个，有A5种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有2A5·A66=14400种不同的排法.法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8从中扣除女生排8种不同的排法，17在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来.由于两端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400种不同的排法.23A

66种不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有5A36A5=14400种不同的排法.（4）法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条

1件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只

17116能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000种不同的排法.2法二：3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A3A6862种，就能得到两端不都是女生的排法种数A8－A3A6=36000种不同的排法.86说明：间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适当的好方法，要认真搞清在什么条件下使用，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法.【例10】排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 分析：本题有限制条件，是“不相邻”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放544入舞蹈节目，共有A6种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·A6=43200种方5法.（2）先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供

545个歌唱节目放入有A55种方法，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4·A5=2880种方法.说明：对于“不相邻”排列问题，我们往往先排无限制条件元素，再让有限制元素插空排列.否则，若先排有限制元素，再让无限制条件元素插空排时，往往有限制元素有相邻情

4况.如本题（2）中，若先排歌唱节目有A55，再排舞蹈节目有A6，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求.【例11】用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8.从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数；个位数是2、4、6、8的四位偶数.这是因为零不能放在千位数上，由此得解法一和解法二.如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法四.解法一：当个位数上排“0”时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选三个来排列，故有A39个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选

12一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步计数原理有A14A8A8个.112没有重复数字的四位偶数有A39+A4A8A8=504+1792=2296（个）.解法二：当个位数字排0时，同解法一有A3个；当个位数字是2、4、6、8之一时，9千位、百位、十位上可从余下的九个数字中任选三个的排列中减去千位数是“0”的排列数，2得A1（A3－A8）个.492没有重复数字的四位偶数有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（个）.949解法三：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一

2个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列，有A15A15A8个；

千位数上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任选一个（包括0

2在内），百位、十位上从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A1A1A8个.4422没有重复数字的四位偶数有A15A15A8+A1A1A8=2296（个）.44解法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的4四位数有A10－A3个.92411其中四位奇数有A15（A13－A8）个，没有重复数字的四位偶数有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（个）.说明：这是典型的简单具有条件的排列问题，上述四种解法是最基本、常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.【例12】在3000与8000之间，（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有数字重复的奇数？

分析：本题关键是按所求条件进行准确分类.解：（1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个，共有4×A8=224（个）.（2）法一：按题目要求，个位可以是1、3、5、7、9中的任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：

2第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一个，这样的奇数有5A8A12=560（个）；

第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一

2个，满足上述条件的奇数有3A12A8=672（个）.212由分步计数原理，知所求奇数为5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位数字分类：第一类：千位是4、6中的一个，那么个位可以是1、3、5、7、129中的任一个，这样的奇数有A1； 4A5A8=560（个）第二类：千位是3、5、7中的任意一个，个位可以是1、3、5、7、9中与千位数字不重

2复的四个数中的一个，这样的奇数有A13A1A8=672（个）.422满足条件的奇数个数为A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（个）.44说明：在解答排列、组合问题时，确定不同的分类标准，就会有不同的分类方法，不管怎样分类，要尽量做到不重不漏.【例13】 一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

分析：首先由题意列出方程，再根据m、n为整数求出即可.解：原有车站n个，原有客运车票A2种，又现有(n+m)个车站，现有客运车票A2种.nmn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.nmn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－62<0.又m>1，从而得出1

12249.∴1

当m=3、4、5、6、7、8时，n均不为整数.故只有n=15时，m=2，即原有15个车站，现有17个车站.说明：上题虽是常用解法，但运算量较大，应根据m、n为整数利用整除性来解决.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解为1×62（舍去），2×31，由题意知m2,m2n131或m31,m2n12.解得m2,m31,（舍去）.n15,n14【例14】用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复数字的五位数，并把它们从小到大排列.问23140是第几个数？

分析：把这些五位数从小到大排列，可先求出比23140小的万位与千位为1×、20、21的入手，再排万位与千位为23的.解：分以下几类：

3①1××××型的五位数有A44=24个;②20×××型的五位数有A3=6个;③21×××型的五位数有A33=6个.这样，这三类数共36个.在型如23×××的数中，按从小到大的顺序分别是：23014、23041、23104、„，可见23140在这一类中，位居第4位.故从小到大算23140是第40个数.说明：本题是一个计数问题，需要按要求细心排列.【例15】用数字0、1、2、3、4、5，（1）可以组成多少个数字不重复的六位数？

（2）试求这些六位数的和.分析：本题关键是如何合理安排程序求出这些六位数的和.解：（1）因为0不能作首位，故分两步，得5A5=600（个），或A6－A5=720－120=600565（个）（即六个元素的全排列，再减去首位是0余下五个元素的全排列）.（2）求这些六位数的和，当然不能把600个数一个一个写出，再求它们的和，应该像小学生做竖式加法一样，先个位相加，再十位相加，等等.个位是1的数有4×A4个； 4个位是2的数有4×A4个； 4与上同样，个位是3、4、5的数均有4×A4个;4个位为0的数有A5个； 5„„

个位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A4与上同样，十位之和为（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十万位）各数字之和为（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.这些六位数的和为

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.说明：数字排列是一类典型排列，多掌握些数字排列问题，对其他排列就容易理解了.【例16】从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

分析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1，3，5，7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实数根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.2解：a只能在1，3，5，7中选一个有A14种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A42种，故可组成二次方程的个数为A14·A4=48个，方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2个，有A24种；c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能

2取1、3，共有A22个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A2个，故有实根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18个.说明：本题第（1）问要注意一元二次方程中二次项系数不为零的限制.本题第（2）问要分c=0和c≠0进行讨论，c≠0时，再对b的取值进行二级讨论，多次分类讨论是排列问题中较高的能力要求.【例17】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234

B.346