等腰三角形的性质学案

等腰三角形的性质学案（精选7篇）

等腰三角形的性质学案 篇1

数学精品讲义

王老师

相似三角形的性质

●学习指导

1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.

［例1］如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，点D、D′分别是BC、B′C′的中点，AE⊥BC于E，A′E′⊥B′C′于E′.求证：∠DAE＝∠D′A′E′.

［例2］已知如图2，△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，△A′B′C′的周长为72.求△A′B′C′各边的长.

图2

戴氏精品堂教育

数学精品讲义

王老师

［例3］如图3，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，且AB＝18，AC＝12，AD＝8，CE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F.

(1)求CE的值； DF(2)求证：CE＝CD.

［例4］已知，如图4，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.求证：BC2=DE(AB+BC+AC)

 戴氏精品堂教育

数学精品讲义

王老师

［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

已知：如图5，△ABC∽△A′B′C，′△ABC与△A′B′C′的相似比为k.求证：SABC2=k

SABC

图5

［例6］如图6，正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CD延长线上一点，且∠FEC=∠FCE，EF交AD于F.求证：S△AEP=4S△PDF.

戴氏精品堂教育

数学精品讲义

王老师

2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.

［例7］如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.

分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.

图7

图 8

等腰三角形的性质学案 篇2

一、与等腰三角形的周长、面积有关的计算

例1如图1, △ABC中, BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB, OD∥AB, OE∥AC, BC=15 cm, 求△ODE的周长。

分析:本题需由题意及图形先判断△OBD与△OEC为等腰三角形, 然后很容易就可导出△ODE的周长即为BC的长度。

解:∵OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠1=∠2, ∠3=∠4

∵OD∥AB, OE∥AC

∴∠1=∠5, ∠4=∠6

∴∠2=∠5, ∠3=∠6

∴OD=BD, OE=EC

∵△ODE的周长=OD+OE+DE

∴△ODE的周长=BD+EC+DE=BC

∵BC=15 cm

∴△ODE的周长为15 cm

例2等腰三角形一腰上的高为1, 这条高与底边的夹角为45°, 求此三角形的面积。

分析:由“此三角形腰上的高与底边的夹角为45°”可知, 这个三角形为等腰直角三角形。因此, 它的面积为

二、与等腰三角形的角的度数有关的计算

例3等腰三角形一腰上的高是腰长的一半时, 底角的度数为_。

分析:在等腰三角形中求角的度数, 很多时候需要考虑顶角是直角、钝角, 还是锐角。此题若分类画出图形来, 问题就会变得很简单。如图2、图3与图4:

由图2可知, 若高BD为腰AB的一半, 则∠A=30°∴底角为75°;由图3可知, 腰上的高即为腰本身, 所以不可能是腰的一半;由图4可知, 若高CD为腰AC的一半, 则∠DAC=30°∴底角为15°。因此, 此题有两个答案:底角的度数为75°或15°。

三、其他类型的计算

例析对顶三角形的性质 篇3

这条性质看似简单，但在求某些复杂图形中多个内角之和时作用可大着呢．请看下面几例．

例1图2是一个星形图案，求∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的大小．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]观察图形，我们发现连接AB、BC、CD、DE、EA都能构成对顶三角形，这样就把求这五个角之和的问题转化为求三角形内角和的问题，而三角形的内角和为180°，问题就轻松解决了．

解：连接CD，则△BOE和△COD是一组对顶三角形.

根据对顶三角形的性质可知，∠B+∠E=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E

=∠A+（∠B+∠E）+∠ACE+∠ADB

=∠A+（∠OCD+∠ODC）+∠ACE+∠ADB

=∠A+∠OCD+∠ACE+∠ADB+∠ODC

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°．

例2如图3，∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E=．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]只要连接CD就可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出这五个角的和．

解：连接CD，则△AOB和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠A+∠B=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠OCD+∠ODC+∠BCE+∠ADE+∠E

=∠ECD+∠EDC+∠E

=180°．

例3如图4，∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F= ．

<\192.168.2.1230七年级数学人教版2008年3月分析.tif>[分析：]连接CD可构造出一组对顶三角形，利用对顶三角形的性质，可以把求这六个角之和的问题转化为求四边形内角和的问题，而四边形的内角和是360°，于是问题即可解决．

解：连接CD，则△EOF和△COD是一组对顶三角形，于是可知∠E+∠F=∠OCD+∠ODC．所以有

∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠E+∠F

=∠A+∠B+∠BCE+∠ADF+∠OCD+∠ODC

=∠A+∠B+∠BCD+∠ADC

=360°．

等腰三角形的性质定理是什么 篇4

1.等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

2.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

4.等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

5.等腰三角形的`判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

6.三个角都相等的三角形是等边三角形

等腰三角形的性质和判定教学计划 篇5

察、分析、归纳概括，主动获得知识。

(2) 组织学生欣赏图片，激发学生的学习兴趣，让学生获得知识，提高能力。

(3) 在教学中，向学生渗透数学思想方法，培养学生说理的能力。

三、教材分析：

1、 等腰三角形是在三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。

2、 等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。

3、 对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。

4、 例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题。

5、 如何把握合情推理的书写及重点问题，本课中的例题也进一步做了示范，可以认真研究。

6、 本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

7、 本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。

8、 课本为学生提供自主探索的空间，然后在进行证明，将探索和证明有机的结合起来，引导学生不断感受证明的必要性。

四、教学方法

本节课采用合作探究的教学方法，在教师的引导下，通过合作探究的方式、发现、分析问题并解决问题，为学生提供从事数学活动的机会，帮助学生进行自主探究与合作交流。以活动形式展开教学，综合运用启发式、多媒体演示、互联网探索等教学手段，培养学生的.主体意识。

五、教学过程

教学目标：

1、知识与技能：经历探索——发现——猜想——证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。

2、过程与方法：会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。

3、情感态度与价值观：逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。

教学重点：等腰三角形的性质与判定定理的证明

教学难点：证明过程的书写格式，用规范的符号语言描述证明过程

教学媒体：多媒体

六、教学过程：

(一)回顾知识

1、什么叫证明?什么叫定理?

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些?

3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实?此外，还有什么被看作是基本事实?

设计说明：师提出问题，回顾旧知识，达到温故而知新的目的，学生以小组为单位讨论交流

(二)创设情境

观察图片

百度图片搜索_等腰三角形金字塔的搜索结果

1、什么叫做等腰三角形?(等腰三角形的定义)你能用刻度尺华画一个等腰三角形吗?

2、你能画出它的顶角平分线吗?等腰三角形有哪些性质?

3、上述性质你是怎么得到的?(不妨动手操作做一做)

4、这些性质都是真命题吗?能否用从基本事实出发，对它们进行证明?

(三)探索活动

1、合作与讨论：说明你所画的三角形是等腰三角形。证明：等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论：说明你所画的是顶角的平分线。

怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

定理：等腰三角形的两个底角相等，(简称：“等边对等角”)

等边对等角_百度百科

设计说明：引导学生动手操作，让学生真正成为学习的主人，教师是数学学习的引导者，教师引导学生思考探究，逐步尝试运用说理的方式进行说明，教师引导学生，文字语言，

图形语言和几何语言间的互相转换。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C

定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，(简称：“三线合一”) A

BD C4、你能写出上面定理的符号语言吗?

相似三角形的性质与判定 篇6

1. 教材内容:

《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。

2. 教材的地位和作用:

本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。

二、教学目标

1. 知识目标

(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。

(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。

2. 能力目标

体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。

3. 情感目标

使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。

三、重难点分析

1. 重点:

掌握相似三角形的性质和判定定理。

2. 难点:

灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。

3. 关键:

让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。

四、教学过程

1. 知识复习

相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF

相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形的判定:

两角对应相等的两个三角形相似;

三边对应成比例的两个三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. 知识拓展

例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。

求证: (1) AB2=BC·BD

(2) AD2=DC·BD

(3) AC2=DC·BC

(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。

解: (1) 在△ACB与△BAD中,

(2) 在△ACD与△BAD中,

(3) ∵AC垂直于BD

(4) 方法一:△ABC是直角三角形

方法二:根据射影定理得:

例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。

例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?

解:∵△PCD是等边三角形

小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。

等腰三角形的性质学案 篇7

摘 要：本文修正了中心型圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，提出并解决了三个问题。首先分析了以往错误推理的原因，接着修正了中心型圆锥曲线三角形外心的一个性质，在此基础上，探索了具有上述性质的中心型圆锥曲线内接三角形面积最值的存在性。本文的研究对于中心型圆锥曲线的教学有较好的借鉴和指导作用。

关键词：中心型圆锥曲线；椭圆；双曲线；内接三角形

一、提出问题

笔者首先就张敬坤在《数学通讯》期刊中的“圆锥曲线内接三角形外心的一组性质”（以下简称“例文”）进行了研究。例文研究了三种圆锥曲线内接三角形外心的一个性质，并且基于反证法得到了圆锥曲线内接三角形外心的一组结论：

结论1：椭圆内接三角形外心不会与其中心重合。

结论2：双曲线内接三角形外心不会与其中心重合。

结论3：抛物线内接三角形外心不会与其焦点重合。

事实上，经由图形直观地分析以及严格数学论证，我们发现例文给出的结论1和结论2是错误的，仅有结论3是正确的。

本文试图探讨有中心的圆锥曲线，如椭圆和双曲线（以下称中心型圆锥曲线）的内接三角形外心的性质。

我们首先以椭圆为例，通过图形直观分析椭圆内接三角形外心的特征。

设椭圆O：（a>b>O），以椭圆中心O为圆心，以半径a>r>b作圆，则圆O与椭圆必有四个交点A，B，C，D，则上述任意三个点组成的椭圆内接三角形的外心就是椭圆的中心O，如图1所示。易知，△ABC为直角三角形，其外心与椭圆的中心重合。

根据以上事实，本文提出并探讨以下问题：

Q1：对于中心型圆锥曲线，例文看似严密论证的不足之处在哪里？

Q2：中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心是否能够重合？

Q3：中心型圆锥曲线的内接三角形外心与其中心重合时（下面简称满足（Q2）），内接三角形面积的最大（小）值是否存在？

二、分析问题

1.探究例文的问题所在

我们仔细分析例文后，发现其问题所在：例文在推理中用到△ABC的外心O在△ABC各边的中垂线上，在没有仔细论证的情况下，想当然认为是图2中的情形，认为OD斜率与BC斜率的乘积为-1。事实上，由于O点与D点重合，OD的斜率是不存在的。而例文的证明以OD⊥BC为前提条件，这对于图1情形来说，显然是不妥当的。由此，我们得到问题Q1的结论。

结论1：例文的论证不足之处在于，使用可能不存在的图形来论证，所以得出了错误的结论。

由结论1可得，在探索一个问题时，仅靠直观分析是不够的，还应以严格的推理为基础。

2.探索中心型圆锥曲线的内接三角形外心的性质

实际上，上述四组解刚好对应着图1中的A，B，C，D四个点。任意取3点可以构成一个三角形，记为△ABC，则此△ABC为直角三角形。根据直角三角形的性质有：斜边AC的中点就是△ABC的外心，即O（0，0）。

由上面的分析可知，对于任意一个椭圆来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形。

需要注意的是，由于b对于双曲线O：（图3），我们同理可得类似的结论：

对于任意一个双曲线来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与双曲线的中心重合，且该三角形为直角三角形。类似可知，该直角三角形的顶点不能落在双曲线的顶点上。

综上，我们得到中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质特征：

结论2：对于任意一个中心型圆锥曲线来说，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形。

3.探究满足（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形面积最大（小）值是否存在

因此，当θ=，时有S→∞，故不存在最大值；当θ→∞，π，2π时，S→0，故不存在最小值。综上所述，我们得到下面的结论：

结论3：满足条件（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形中，椭圆内接三角形面积存在最大值ab，不存在最小值（可以无限趋于0）；双曲线内接三角形面积不存在最大值（可以趋于无穷大），也不存在最小值（可以无限趋于0）。

三、结论

本文分析中心型圆锥曲线内接三角形外心的性质，提出并解决了三个问题（Q1，Q2和Q3）。

首先指出例文的错误在于根据一个不存在的图形进行推理（解决了Q1）；其次，我们证明了对于任意一个中心型圆锥曲线，一定存在内接三角形，使得该三角形外心与这个圆锥曲线椭圆的中心重合，且该三角形为直角三角形（解决了Q2）；最后，我们证明了满足条件（Q2）的中心型圆锥曲线内接三角形中，椭圆内接三角形面积存在最大值ab，不存在最小值（可以无限趋于0）；双曲线内接三角形面积不存在最大值（可以趋于无穷大），也不存在最小值（可以无限趋于0）（解决了Q3）。

本文的研究对于中心型圆锥曲线的教与学都具有较好的指导与借鉴意义。

参考文献：

张敬坤.圆锥曲线内接三角形外心的一组性质[J].数学通讯，2009（20）：30-31.