抛物线的几何性质习题

抛物线的几何性质习题（推荐10篇）

抛物线的几何性质习题 篇1

2xy12.整理得：x-2xy+y-6x-6y+15=0.说明：由于抛物线不在标准位置，所以采用抛物线定义求其方程.［例3］定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点到y轴距离 的最小值，并求出此时AB中点M的坐标.选题意图：考查对抛物线知识的综合运用能力.

解：如图，设F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则

｜MN｜=1（｜AC｜+｜BD｜）.213（｜AF｜+｜BF｜）≥.221.4根据抛物线定义得：｜AC｜=｜AF｜,｜BD｜=｜BF｜.∴｜MN｜=设M点的横坐标为x，则｜MN｜=x+∴xMN1315.4244等号成立的条件是弦AB过点F，由于｜AB｜＞2p=1.∴AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是即AB的中点横坐标为

5.45，4当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2，则y1y2=-p=-21,从而 451222(y1+y2)=y1y22y1y222

42∴y1+y2=±2.∴此时AB中点的纵坐标为±

抛物线的几何性质习题 篇2

性质1 (2001年全国高考题) 如图1, 设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A, B两点, 点C在抛物线的准线上, 且BC//x轴.证明:直线AC经过原点O.

分析 此题可用代数方法证明三点共线, 即证kOA=kOC, 由于抛物线定义具有明显的几何性, 可考虑用平面几何中平行线分线段成比例的有关知识去证明.

证明 如图2, 过A作AD⊥l, D为垂足, 准线与x轴交于点E, 则AD//EF//BC, 连接AC与EF, 设它们相交于点N, 以下证明点N与O重合.

由平行线分线段成比例定理有:

undefined

又由抛物线的定义有:|BC|=|BF|, |AD|=|AF|, ∴|EN|=|NF|, 即点N为线段EF的中点, 于是点N与点O重合, 故直线AC经过原点O.

点评 连接BD, 同理可证BD也经过原点O, 即直线AC与BD相交于原点O.而且性质1的逆命题为:设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A, B两点, 连接AO, AO的延长线交抛物线的准线于C, 则BC∥x轴.我们也可证明此命题是真命题.

例1 (2009年湖北高考题改编) 如图3, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向准线l作垂线, 垂足分别为M1, N1, 记△FM1M, △FM1N1, △FNN1的面积分别为S1, S2, S3, 求Sundefined与S1S3之比.

分析 利用解决解析几何问题常用的方法——方程的思想方法来解决.把直线的方程和抛物线的方程联立, 消去x, 得到关于y的一元二次方程, 再应用韦达定理.这种方法计算很复杂.

解 如图4, 记直线l与x轴的交点为F1,

则|OF|=|OF1|=p, 连接NM1, MN1,

由性质1知NM1和MN1经过原点O,

则MM1//NN1//FF1.

设|M1F1|=h1, |N1F1|=h2,

|MM1|=d1, |NN1|=d2,

则undefined

由平行线分线段成比例有undefined

undefined

undefined

, 得undefined, 即undefined

所以undefined

故Sundefined与S1S3之比为4.

点评 ①性质1还可推广至抛物线的非焦点弦的问题:过抛物线y2=2px (p>0) 的对称轴上一点A (a, 0) (a>0) 的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向直线l:x=-a作垂线, 垂足分别为M1, N1, 则M1N与N1M相交于坐标原点.

性质2 (2009年湖北卷文) 如图5, 过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F的直线与抛物线相交于M, N两点, 自M, N向准线l作垂线, 垂足分别为M1, N1, 求证:FM1⊥FN1.

分析 此题可用代数方法, 先证直线FM1与FN1的斜率之积等于-1, 从而得到FM1⊥FN1, 但代数方法运算量大, 注意到抛物线定义的几何特性, 可考虑用平面几何的基础知识和方法来证明.

证明 由抛物线的定义得

|MF|=|MM1|, |NF|=|NN1|,

∴∠MFM1=∠MM1F, ∠NFN1=∠NN1F.

如图, 设准线l与x轴的交点为F1,

∵MM1//NN1//FF1,

∴∠F1FM1=∠MM1F, ∠F1FN1=∠NN1F,

而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=180°,

即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180°,

∴∠F1FM1+∠F1FN1=90°,

故FM1⊥FN1.

性质3 如图6, 抛物线y2=2px (p>0) 的轴和它的准线l交于点E, 经过焦点F的直线交抛物线于P, Q两点, 则∠PEF=∠QEF.

分析 如果利用抛物线的定义和三角形相似来证明, 计算比代数法要简单得多, 给人一种意想不到的效果.

证明 如图7, 过P作PP′⊥l于P′,

过Q作QQ′⊥l于Q′,

undefined

∴△PP′E相似于△QQ′E,

∴∠PEP′=∠QEQ′.

又 ∵l⊥x轴,

∴∠PEF=∠QEF.

例2 如图8, 设抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, 准线与对称轴的交点为N, 过F作直线与抛物线交于P和Q, 并使∠NQP=90°, 过P作PM⊥x轴于M, 则PM=QM.

分析 本题可以用方程的思想来解决, 但计算繁琐, 若利用性质3和圆的性质可以轻松而巧妙的解决该题.

证明 由性质3, 得∠PNM=∠QNM.

∵PM⊥x轴于M,

∴∠PMN=∠PQN=90°,

∴P, N, Q, M在以PN为直径的圆上,

∴∠PNM=∠PQM, ∠QNM=∠QPM,

∴∠PQM=∠QPM,

∴PM=QM.

点评 ①其实性质3也可拓展到非焦点弦:抛物线y2=2px (p>0) 的对称轴上一点A (a, 0) (a>0) 的直线与抛物线相交于P, Q两点, 直线l:x=-a与对称轴的交点为E, 则∠PEF=∠QEF;②性质3还可以推广到其他的圆锥曲线.

参考文献

抛物线的几个常见性质及其应用 篇3

例1对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是()

A. a＜0B. a≤2

C. 0≤a≤2D. 0＜a＜2

分析可先设点Q的坐标为(x0,y0)，再利用Q的坐标表示出|PQ|，最后利用x0的取值范围及|PQ|≥|a|恒成立的充要条件，求出a的取值范围.

解设Q(x0,y0)，由|PQ|≥a，得y20＋(x0-a)2≥a2，将y20=4x0代入，得x0(x0＋4-2a)≥0.

又因为x0≥0，所以x0＋4-2a≥0.故a≤2＋x02恒成立.

又由x0≥0，得2＋x02最小值为2，所以a≤2.选B.

点评圆锥曲线标准方程中变量的取值范围主要可用来求参数的取值范围以及函数（或表达式）的最值，一般是通过变量的范围构造不等式求解.本题用到了一个等价关系：a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min.

性质二规定含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，则点P（x0，y0）在抛物线y2=2px（p≠0）内部的充要条件是y20＜2px0,点P（x0,y0）在抛物线y2=2px（p≠0）外部的充要条件是y20＞2px0.

例2直线l过抛物线y2=2px（p≠0）的焦点，斜率存在且不为0，试问：在该抛物线上是否存在关于直线l对称的两点？说明理由.

分析直线垂直平分关于它对称的两点的连线段.由此可知，要利用斜率关系（积为-1）及中点坐标公式来解决本题.

解设直线l的斜率为k（k≠0），则其方程为y=kx-p2.假设该抛物线上存在两点A（x1，y1）,B（x2，y2）（y1≠y2）关于l对称，并设点M（x0，y0）是线段AB的中点.

则y21=2px1,y22=2px2,故（y1+y2）(y1-y2)=2p(x1-x2).

又y0=kx0-p2,y1＋y2=2y0，且y1-y2x1-x2=-1k，代入上式，得y0=-pk,x0=-p2.

由题意，点M在该抛物线内部，所以y20＜2px0，即（-pk）2＜2p-p2，可得p2(1＋k2)＜0，这显然是不可能的.因此假设不成立，即该抛物线上不存在关于直线l对称的两点.

点评本题的常规解法是：先利用斜率关系设出题中所涉及的两条直线的方程，再根据直线与抛物线相交，利用判别式Δ＞0建立不等式和中点坐标公式建立方程进行解答.其过程复杂,运算量也较大.而利用两条直线的交点在抛物线内部时满足的条件，解题过程十分简捷.

性质三过焦点F的直线与抛物线y2=2px(p＞0)交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长|AB|=x1＋x2＋p；若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2psin2α.

例3过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为α的直线与抛物线交于A,B两点，且|AB|=8，求倾斜角α.

解析设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y-0=k(x-1)，即y=kx-k.

代入抛物线方程，得k2x2-(2k2＋4)x＋k2=0.

由|AB|=8，得x1＋x2＋p=8，即2k2+4k2＋2=8，解得k=±1.故

tanα=±1,得α=π4或α=3π4.

点评求弦长时，一定要保证直线与抛物线相交，而本题中，直线过抛物线的焦点(在抛物线内)，故直线一定与抛物线相交，因此不必再用判别式来限制k的范围了.其实，利用性质三的后一个结论解本题则更容易，同学们可以一试.

例4已知圆x2＋y2-4x=0及一条抛物线，抛物线的顶点为O(0,0),焦点F是圆的圆心，过F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及圆由上而下顺次交于A,B,C,D四点.若α=arcsin55,求|AB|＋|CD|.

图1

分析如图1，可知|AB|＋|CD|=|AD|-|BC|,故要求|AB|＋|CD|，可先求出|AD|与|BC|.而利用性质三可顺利求得|AD|.

解圆x2＋y2-4x=0的圆心为点(2，0)，即为抛物线的焦点F.

又抛物线的顶点为O（0，0），所以抛物线的方程是y2=8x.

所以|AD|=2psin2α=8552=40.

又圆x2+y2-4x=0的直径|BC|=4，

所以|AB|＋|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.

点评求弦长|AD|是关键，利用性质三求解十分简捷.在解析几何中，间接法是求线段长度的常用方法.

性质四过焦点F的直线与抛物线y2=2px(p＞0)交于点A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=p24，y1y2=-p2.

例5过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于两点P,Q，过点P和抛物线顶点的直线交抛物线准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴.

图2

分析先建立适当的坐标系，然后只要分别求出点M,Q的纵坐标，再验证它们相等即可.而利用性质四可以快速地求得点M，Q的纵坐标.

证明以抛物线顶点为原点，对称轴为x轴（开口方向为x轴正方向），建立如图2所示的平面直角坐标系xOy.于是可设抛物线方程为y2=2px(p＞0).

为了方便比较，将点P,Q的横坐标分别用点P，Q的纵坐标表示.

设Py212p，y1，Qy222p，y2.

由性质四，知y1y2=-p2，所以y2=-p2y1.

直线OP的方程是y=2py1x.当x=-p2时，y=-p2y1，即为点M的纵坐标.

故点M与点Q的纵坐标相同，故MQ∥Ox，即MQ平行于抛物线的对称轴.

点评借助曲线的方程，利用曲线上点的横坐标x表示纵坐标y，或利用纵坐标y表示横坐标x是常用的手段.这样可以减少变量的个数，从而简化运算.

性质五过抛物线y2=2px(p≠0)的顶点O任作两条互相垂直的弦OA，OB，则直线AB恒过定点(2p，0).

图3

例6如图3，设点A，B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点O以外的两个动点，若OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

分析抓住条件OA⊥OB，利用性质五可得直线AB过定点N(4p，0).再由OM⊥AB，结合两直线的斜率关系，建立变量x与y的关系，即可得到点M的轨迹方程.

解由OA⊥OB，可知AB过定点N(4p，0).

设M(x，y)，当AB的斜率存在时，由OM⊥AB,即OM⊥MN,得kOMkMN=-1，可知yx·yx-4p=-1，

即(x-2p)2＋y2=4p2（x≠0,4p）.(*)

当AB⊥x轴时，点M与点N重合，x=4p,y=0,也满足方程(*).

所以点M的轨迹方程是(x-2p)2＋y2=4p2,它表示以点(2p，0)为圆心，2p为半径的圆(去掉坐标原点).

点评解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要注意直线斜率不存在的情形.

巩 固 练 习

1. 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线，交该抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2）两点，则y1y2x1x2等于()

A. 4B. -4C. p2D. -p2

2. 已知点(x，y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+12y2+3的最小值是.

3. 过抛物线y2＝9x的焦点作倾斜角为α的直线,与该抛物线交于M，N两点，且|MN|=12，求α.

4. 设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交该抛物线于A，B两点，点C在该抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.

5. 求k的取值范围，使抛物线C：y2+2y-kx=0(k≠0)上存在关于直线l：y=x-1对称的两点.

《椭圆的几何性质》教学反思 篇4

本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1―1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。 通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛

物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点;又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。

然而，课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解“顶点”定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即“顶点是椭圆与其对称轴的交点”，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲“对称性”，再讲“顶点”;二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课“顶点”之后再讲解，会显得更自然一些;三是“对称性”的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下呢?过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。以上的几点不足都提醒我今后要在研究教材上下更多的功夫。

还有在讲解完“对称性”、准备讲“离心率”之前，我穿插了一道“画椭圆的简图”的题目。并提圆相似吗?椭圆呢?引起了同学们注意。这道题起到了较好的承上启下的作用：既巩固了刚学的性质，又引发了一个问题：椭圆的“扁”的程度与哪些要素有关。大多数学生通过所画的两个椭圆长轴相同、短轴不同，从而“扁”的程度不同，很自然地回答这与有关，圆的形状是完全相同的，而椭圆的形状是否完全相同?如何刻画椭圆的“圆扁”度呢?

学生自主探究(预设：可以创造错误认识，a越大越扁?b越大越圆?联想椭圆定义 当2a定时，焦点逐渐靠近顶点，椭圆会怎么样?焦点逐渐靠近中心，又会怎么样?)

切入事先准备好的几何画板展示，固定长轴，移动交点，看变化。 教师通过多媒体展示椭圆随着离心率逐渐接近0越圆而越接近1而越扁的动画

过程。 e越大，椭圆越扁，越小越圆。讲清楚e是一个比值圆扁度用什么刻画? 为什么不b用。 a此外，在以下几个方面我还需要进一步改进：一是课堂的节奏还要稍微慢一点，比如对焦点在轴时椭圆的几个性质的给出，都是师提问生齐答，在这个过程中不少反应慢一点的同学没有足够的时间去思考，被忽略掉了，而如果把这个环节换成小组合作学习、讨论交流的方式来进行，放手把主动权交给学生，效果可能会更好，也更符合新课改的理念。二是教学语言还需要不断锤炼，因为数学老师的语言是否准确、精炼，会对学生的逻辑思维产生潜移默化的影响，要力图用清晰优美的语言艺术去感染学生。

比较过去自己曾经历过的刻板、严肃的灌输式教学，现在更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来;同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

双曲线的几何性质练习1 篇5

一、单选题(每道小题 4分 共 36分)1.渐近线为x+y=0与xy=0的双曲线的个数是 A．1 B．2 C．k(常数)D．无限多 2.[

] 中心在原点的双曲线，若它的实半轴长为2，一条准线方程是x=则该曲线的离心率的值是A．2B．22C．2D．412，[ ]

[D．2k]3.双曲线4x2ky24k0的虚轴长为A．kB．kC．4 4.双曲线x322－y212=－1的渐近线方程是[ ]A．4x+y=0，4x－y=0B．4x+y=1，4x－y=1C．2x+3y=0，2x－3y=1，2x－3y=03y=5.D．2x+

双曲线x25y241的焦点到渐近线的距离是C．5D．6[]

6.A．2B．3

13x，那么这[]如果双曲线经过点(6，双曲线方程是x2y2A．1364x2C．y2193),且它的两条渐近线方程是yx281x218y29y23B．D．11 7.双曲线的渐近线方程是y=±的方程是A．C．xx212x，焦点在坐标轴上，焦距为10，则它[ ]202yy252=1=1或y2B．x2x25x2y220y2=1=1 8.205205=1D．205如果双曲线的两条渐近线方程是：y=±32x，焦点坐标是(26，0)[ ]和(26，0)，那么它的两条准线之间的距离是A．11326B．81326C．181326D．91326

9.以坐标轴为对称轴的等轴双曲线，若其一条准线的方程为y=22，则此双曲线的方程为A．x2y2=24C．x2y2=24B．x2y2=16D．x2y2=16[ ]

二、填空题(每道小题 4分 共 8分)

1.以椭圆x216y2251的顶点为焦点，以其焦点为顶点的双曲线的方程是

x22.双曲线C和椭圆渐近线方程为49y2241的焦点重合，离心率互为倒数，则C的．

双曲线的几何性质习题2答案

一、单选题

1.D 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.D

二、填空题

双曲线的简单几何性质的教学反思 篇6

教学的实效性是课堂的生命线，在学生学习的主战场——课堂，不具有效率就不具有生命力，因此，我们会发现，有些课型只能昙花一现（公开课中），而在常规课堂几乎没有生存空间。

有效教学要使学生建立良好的知识网络体系。良好知识结构应把知识及知识形成发展的脉络及蕴含的数学思想方法、知识间的内在联系、结论的推导证明线索融合成一个有机整体，也只有这样的知识才有利于转化成长期记忆，才能够在需要时被自如调用。本课突出展现了双曲线几何性质的获得过程，特别是对于教材中出现较为突兀的虚轴和渐近线，从双曲线方程的研究中获得了很好的解释，并把双曲线几何性质及其发现获得的过程用下图展示出来，有利于学生建立双曲线几何性质的良好知识网络，此外，为了加强两种标准位置双曲线几何性质的对比和联系，在小结中又增加了让学生按表格进行梳理的要求。

有效教学要促进学生迁移运用所学，发展学生学习的积极情感。本课在研究获得双曲线的几何性质后，设计了两项任务：一是自行研究获得双曲线 的几何性质，二是练习题“研究的渐近线”，以此促进学生迁移运用所学的研究方法，加深学生对研究过程的理解和认识，并通过练习题的归纳、发现，激发学生学习的积极情感，感受数学思考发现的快乐。

有效课堂教学活动在课堂结束时，学生的学习活动不应该停止，而是在解决了原有问题后，引发学生新的思考与发现，课堂的教学应该是为了课下的不教。正常来讲，一个人知道的越多，疑问也就应该越多，需要思考研究的问题也就越多，因此，应该鼓励学生对学习过程中去反思和梳理，发现新的思考探究点，不断扩大自己的认识。本课结尾部分是出于该想法进行设计的，但是在实际教学活动中，由于时间关系，教师只能在拖堂的一分钟时间内匆匆提出，没能给予学生思考时间。

二、如何摆正教师教的主体和学生学的主体地位？

从教学的最根本目的“通过教学活动促进学生的发展”来看，这就决定了学生在教学活动中处于最核心的地位，不论是以什么样的教学方式、技巧，其效用的实现，最终都离不开学生主体的心理及思维活动，因此，教师的教必须以学生为出发点，以学生已有认知水平为基础。

从学生学习的发生条件来看，学生主体的系列心理及思维活动的发生，需要一定的数学学习情境的作用，而数学学习情境作用的大小，又取决于教师能否创设出与学生认知水平相适应的学习情境，因此，学习情境能否成为有效刺激，从而激活学生的数学学习活动（有深层次的数学思维参与）的发生，都有赖于教师教的主体能动性的发挥。

因此，两个主体的关系概括来讲，就是教师教的主体作用，应体现在如何有效促进学生学习的主体性。由此来看，教师当讲则讲，就不必去忌讳讲解，但是教师讲解的语言要能够揭示出数学的本质，要能体现数学的逻辑的力量，要能够展示数学的魅力。本课在设计过程，一直有一个矛盾，就是既要保证课堂的效率，又要确保学生学习中的发现和研究活动，比如：有些环节让学生去发现是非常困难的，因此需要较多的铺垫和相当充足的时间才可以保证，而我又不想让双曲线的渐近线的学习占用一节课时间，因为按正常课时安排是不允许的，后来在上述思考的基础上，确定了现在的设计：对于学生在现有认知基础上，多数同学可以自主探究获得的双曲线的范围、对称性设计成课前预习探究作业，把双曲线离心率的概念学习和双曲线几何性质的简单应用的例题设计成课后阅读学习，对渐近线的发现、解释、证明设计成教师引导下的探究活动，并把从双曲线方程对渐近线的代数特征解释作为教师讲解，把焦点在y轴上的双曲线几何性质的研究和练习题的解决作为学生迁移运用所学思想方法的实践活动，把反思本课研究过程中产生的疑问与思考作为学有余力的优秀学生的课后施展才能的舞台。

当然在课堂教学的实际活动中，有一些不尽人意，比如教师在学生课前预习探究成果交流阶段，如果有更好的语言功底，点评能够做到既简洁又准确，就能节省一些时间，结尾部分的反思研究过程，发现新疑问的环节就可以充分一些，但是，总体上讲，课堂容量还是显得有些太大，相对于45分钟课堂来讲太紧张了。

三、对引导性问题需要精益求精

由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，思维过程中总是表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题。因此数学问题是数学思维目的性的体现，也是数学思维活动的核心动力。因此在教学活动中，学生的思维活动主要是在问题的驱动下进行的。这就决定了合理有效的系列问题设计，和激发疑问生成的情境设计，成为能否有效促进学习主体进行深层次数学思维的关键！

从数学学习心理学和数学学习的一般规律来看，能有效促进学生数学思维发生的问题应具备如下特点：

（1）从学生知识可接受性的实际出发，确定合理的难度和适当的思维强度，即，问题使学生处于似会非会、似能解决又不能解决的感觉。

（2）问题要有利于引起学生的认知冲突和学习心向，激发学生学习兴趣，促进学生积极参与。

（3）问题的序列设置要使数学内容的呈现合理、自然，有情理之中的感觉，要有利于学生领悟数学的本质，提炼数学思想方法，灵活运用所学。

（4）从数学方法论的角度出发，问题要具有启发性，如：你认为该问题可能涉及哪些知识？解决该问题需要什么条件？我们还疏漏了什么没有？……促进学生自己提出问题、发现问题，对数学有所感悟，实现学生思维深度参与的自动发生机制。

（5）问题要有利于引领、促进学生有效反思自己的学习行为，及时整理、内省自己的思维过程，提升对知识、方法的认识。如：问题是怎样得到解决的？使用了哪些思维方法？该问题的解决方法有推广价值吗？可推广到哪些方面？……

对一道抛物线习题的引申、拓展 篇7

原题:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求证:y1y2=-p2.

由此结论发现y1y2是一个常数,此结论不难证明(略).

一、引申

1. 原题条件不变,结论变化

(1)x1x2是常数:

分析(如图1)∵A,B两交点都在抛物线上,

2. 条件与结论互换

二、拓展

例设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点.点C在抛物线的准线上,证明直线AC经过原点O.

证明(如图2)

抛物线焦点弦的一条性质及其应用 篇8

1． 抛物线焦点弦的性质：

设AB是抛物线的焦点弦，F为其焦点，直线AB的倾斜角为θ，|FA||FB|=λ（λ＞0），

则(Ⅰ)当抛物线的方程为y2=±2px(p＞0)时，λ满足sin2θ=4λ(1+λ)2；

（Ⅱ） 当抛物线的方程为x2=±2py（p＞0）时，λ满足cosθ=4λ（1+λ）2.

证明：(Ⅰ) 当抛物线的方程为y2=2px（p＞0）时，如图，设直线AB的参数方程为x=P2+tcosθ

y=tsinθ(t为参数)，代入y2=2px中得，t2sinθ-2ptcosθ-p2=0．∴ t1+t2=2pcosθsin2θ，t1•t2=-p2sin2θ．

∴ 由参数t的几何意义得，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=4p2sin4θ．

设|FA|=m，|FB|=n，则（m+n）2=4p2sin4θ①．又设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ 由抛物y2=2px(p＞0)线焦点弦的性质得，y1y2=-p2．

不妨设A(x1，y1)在x轴的上方，B（x2，y2）在x轴的下方，∴ 必有y1=msinθ

y2=-nsinθ（0＜θ＜π），代入上式得mn=p2sin2θ ②．

又m=λn,则由①,②得（λ+1）2n2=4p2sin4θ

λn2=p2sin2θ．以上两式相比可得sin2θ=4λ(1+λ)2．

当抛物线的方程为y2=-2px(p＞0)时，只需用“-p”去换上述证明过程的“p”，易得此时λ也满足sin2θ=4λ（1+λ）2．

（Ⅱ） 当抛物线的方程为x2=2py（p＞0）时，如图2，设直线AB的参数方程为x=tcosθ

y=P2+tsinθ(t为参数)，代入x2=2py中得，t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0．∴ t1+t2=2psinθcos2θ，t1•t2=-p2cos2θ．

∴ 由参数t的几何意义得，|AB|2=|t1-t2|2=（t1+t2）2-4t1t2=4p2cos4θ．

设|FA|=m，|FB|=n，则（m+1）2=4p2cos4θ ①．又设A(x1，y1)，B（x2,y2），∴ 由抛物线x2=2py（p＞0）焦点弦的性质得，x1x2=-p2．

不妨设A(x1，y1)在y轴的右侧，B(x2,y2)在y轴的左侧，∴ 必有x1=m|cosθ|

x2=-n|cosθ|（0≤θ＜π且θ≠π2），代入上式得mn=p2cos2θ②．

又m=λn,则由①,②得(λ+1)2n2=4p2cos4θ

λn2=p2cos2θ．以上两式相比可得cos2θ=4λ（1+λ）2．

当抛物线的方程为x2=-2py（p＞0）时，同样用“-p”去换上述证明过程的“p”，可得此时λ也满足cos2θ=4λ(1+λ)2．

2 性质的应用：

例1 （2008年高考全国卷Ⅱ•理15题）已知F为抛物线C∶y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于 ．

解法1：抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，∴ 可设直线AB的方程为y=x-1，将其代入y2=4x得x2-6x+1=0，∴ x1,2=3±22．∵ |FA|＞|FB|，∴ xA=3+22，xB=3-22．又|FA|=xA+1，|FB|=xB+1，∴ |FA|FB=4+224-22=3+2．

解法2：设直线AB参数方程为x=1+t2

y=t2(t为参数)，代入y2=4x中可得t2-42t-8=0，∴ t=22±4．结合参数t的几何意义得|FA||FB|=|tA|tB=22+422-4=3+2．

解法3：设|FA|与|FB|的比值为λ，则λ＞1．由本文中的公式sin2θ=4λ(1+λ)2得，sin245°=4λ(1+λ)2，解得λ=3+22．

点评：解法1是基本解法，先设出直线AB的点斜式方程，与抛物线方程联立，从而解出A、B两点的横坐标的值，然后再利用抛物线的定义，将线段|FA|与|FB|的比转化为求A、B两点的横坐标的关系比；解法2是参数解法，其核心是利用直线AB参数方程标准形式中参数t的几何意义去求解；而解法3是利用本文中所得到的公式sin2θ=4λ(1+λ)2去求解，其解法显得更为简便、优美．

例2 （2008年高考江西卷•理15题）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴的左侧），则|FA||FB|= ．

解析：该题具有与例1类似的多种解法，这里仅给出应用本文中所得到的公式cos2θ=4λ(1+λ)2的简捷解法：

抛物线的几何性质习题 篇9

北师大大兴附中数学组

韩颖 1、指导思想与理论依据：

以“培养学生的创新精神和实践能力”，“倡导自主探索，动手实践，合作交流，教 育教学理念”，采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问 题分析问题和解决问题能力”的合自主探究、体验式教学模式，通过创设符合学生认知 规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做的过程中学习，在 学的过程中思考，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。让教师落实：授人于鱼不如授人于渔。让学生做到：临渊羡鱼 不如退而结网。2

、教学背景分析：

学习内容分析：

数学几何问题的练习题 篇10

三大几何问题是:

1.三等分任意角;

2.化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆;

3.倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。

条件要求:仅用没有刻度直尺、用画弧圆规(有限次.)

破解难题决巧:

1.三等分任意角——运用数论中的筛法新素数产生数理和圆物体位移轨迹去寻找新素数元素3,才能变“不可能”为可能.

2.化圆为方——是求作一正方形使其面积等於一已知圆.等於去求一正方形面积为π.1882年林得曼证明了π的超越性，确立了化圆为方的不可能性.运用相对性原理:圆规直尺不动纸转动求圆周长,把圆周率π的超越数的`问题,转化为直线可度量;再将所得圆周长2πR乘以R/2的圆面积:πR转换为正方形面积.