均值不等式的常见题型

均值不等式的常见题型（推荐11篇）

均值不等式的常见题型 篇1

一 基本习题

2、已知正数a,b满足ab=4，那么2a+3b的最小值为()A 10 B 12 C 43 D 46

3、已知a＞0,b＞0，a+b=1则11的取值范围是()abA(2,+∞)B [2,+∞)C(4,+∞)D [4,+∞)

4、设x,y为正数，(x+y)(14)的最小值为（）xyA 6 B 9 C 12 D 15

5、设a,bR，则下列不等式中不成立的是()112ab1a2b2ab 2 DA(ab)()4 B 2ab Cababababab6、设a0,b0，则下列不等式中成立的是（）

112ab1a2b2(ab)()4ab ab22C D abA B abababab8、已知下列不等式：①x332x(xR)；②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③a2b22(ab1).其中正确的个数是()A0个 B1个 C2个 D3个

9、已知a1,0b1则logablogba的取值范围是（）A(2,)B[2,)C(,2)D(,2]

二 有关范围问题

1、若正数a,b满足abab3，则ab的取值范围是.以及ab的取值范围.2、已知x＞0,y＞0且x+2y+xy=30,求xy的最大值.3、已知x0,y0且——————。

4、问是否存在正整数k，使不等式果不存在，试说明理由。211，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是————xy11k恒成立？如果存在，求出所有k值；如abbcac 1

5、较难：设abc0，则2a21110ac25c2的最小值是（）aba(ab)A．2 B．4 C．25 D．5

6、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求

11的最小值 ab三 典型例题分析

1、若a,bR且ab1，求证：a

2、是否存在常数c，使得不等式试证明你的结论.注：考虑xy的特殊情况.3、已知x,y,z是互不相等的正数且xyz1，求证：（4、若a > b > 0,求a211b2 22xyxyc对任意正数x,y恒成立，2xyx2yx2y2xy11111)(1)(1) xyz816的最小值

b(ab)

5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy的最大值

6、已知x > 0,y > 0,且xy1,求xy的最大值 34 2

四求函数的值域或者最值

1、已知0x

均值不等式的常见题型 篇2

不定式的应用是高中数学的重点、难点.在高中数学 (必修5) 第三章《不等式》第4节中, 均值不等式定理:$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a>0‚b>0)$, 当且仅当a=b时等号成立.它是高中数学的重点内容, 通常涉及不等式的证明, 求函数的值域或最值, 还常常起到工具的作用.同学们由于对公式的理解不够透彻, 所以在解题中常常出现错误的解法, 表面上正确, 实际上是错误的.以下是我在学习均值不等式定理时的点滴体会, 希望与大家共享.

1.问题一:忽视定理中的首要条件——正数

例1 求函数$y=x+\frac{1}{x}$的值域.

错解$\because y=x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2‚$

∴函数值域为[2, +∞) .

剖析 这种解法应用均值不等式定理, 错误的是没有理解均值不等式定理成立的首要条件“正数”, 导致了错误.正确解法中本题的x要分正数, 负数给予讨论.

正解 当x>0时, $y=x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$;

$\begin{array}{l}\text{当}x<0\text{时}‚-x>0‚\\ y=-\left[(-x)+\left(-\frac{1}{x}\right)\right]\le -2\sqrt{(-x)\left(-\frac{1}{x}\right)}=-2.\end{array}$

∴综上所述, 函数的值域是 (-∞, -2]∪[2, +∞) .

2.问题二:忽视用定理求最值的要素——定值

例2 设0≤x≤2, 求函数$f(x)=\sqrt{x(8-3x)}$的最大值, 并求相应的x值.

$\begin{array}{l}\text{错}\text{解}\because 0\le x\le 2‚\\ \therefore f(x)=\sqrt{x(8-3x)}\le \frac{x+(8-3x)}{2}=4-x‚\end{array}$

当且仅当x=8-3x, 即x=2时等号成立.

∴当x=2时, 代入上式中, 右边4-x=2, 即f (x) ≤2.

∴f (x) 的最大值是2.

剖析 在运用$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a>0,b>0)$公式中, 若要$\sqrt{ab}$有最大值, 则左边a+b必须为定值, 而学生错误地把定值理解为一个式子即可.

$\begin{array}{l}\text{正}\text{解}\because 0\le x\le 2‚\\ \therefore f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3x(8-3x)}\le \frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{3x+(8-3x)}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}(\text{定}\text{值}).\end{array}$

当且仅当3x=8-3x, 即$x=\frac{4}{3}$时等号成立.

∴f (x) 的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$, 此时$x=\frac{4}{3}.$

当然此题也可以用换元法, 结合二次函数求最大值.

3.问题三:忽视均值不等式定理中的条件——等号成立

例3 求函数$f(x)=\frac{x{}^2+3}{\sqrt{x{}^2+2}}$的最小值.

$\begin{array}{l}\text{错}\text{解}\because f(x)=\frac{x{}^2+3}{\sqrt{x{}^2+2}}\\ =\frac{(x{}^2+2)+1}{\sqrt{x{}^2+2}}\\ =\sqrt{x{}^2+2}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+2}}\ge 2‚\end{array}$

∴此函数的最小值为2.

剖析 此解法应用均值不等式定理, 没有理解均值不等式定理何时取等号的问题, 其实当且仅当$\sqrt{x{}^2+2}=\frac{1}{\sqrt{x{}^2+2}}$时, x2=-1在实数范围内无解.

正解 应结合函数$f(t)=t+\frac{1}{t}$的单调性, 它在t∈[1, +∞) 上函数单调递增, t∈ (0, 1]函数单调递减.而$\sqrt{x{}^2+2}\ge \sqrt{2}$, 故原函数可以转化为$f(t)=t+\frac{1}{t}(t\ge \sqrt{2})$的最小值, 当$t=\sqrt{2}$时, $f(t)=t+\frac{1}{t}$有最小值.所以, 当x=0时, $\sqrt{x{}^2+2}=\sqrt{2}$代入可得f (x) 的最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{2}.$

在数学学习中加强对每一个条件的深刻理解是提高学习效率的一种有效方法, 结合正确解法与错误解法的比较, 更能巩固所学基础知识.同时注意高中数学各模块各章节间知识的联系, 有利数学知识横向与纵向的延伸与拓展, 有利于数学能力的培养.

均值不等式的专题 篇3

关键词：均值不等式；灵活运用

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-223-02

—、什么是均值不等式

定理：如果a,b均为正数,那么（a+b）／2≥√ab,﹝当且仅当a=b时,取等号﹞

即均植不等式:（a+b）／2≥√ab

证明:∵（a-b)2≥0

∴a2+b2≥2ab

又∵a,b均为正数,

∴（√a)2+（√b)2≥2√a√b

a+b≥2√ab

即:（a+b）／2≥√ab

1,（a+b）／2叫做正a,正b的算术平均数.

2, √ab叫做正数a,b的几何平均数.

3, 数列解释:

（a+b）／2叫做a,b的等差中项.

√ab叫做a,b的等比中项.

4.几何解释:半径不小于半弦.

5,均值不等式定理的另一种叙述:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

二、均值不等式的灵活运用

均值不等式的功能在于“积和互化”,创造应用定理的环境,常用技巧是“拆添项”和“配凑因子”.而动机在于谋求和或积得定值。正确应用定理把握三点：⑴正，⑵定，⑶相等。

例⒈求函数y=1／（x-3） +x（x＞3）的最小值

分析:函数y=1／（x-3） +x中的两项1／（x-3）与x均为正数,但其积不是定值,故应先变形为其积为定值时,才可以用均值不等式求其最值.

解:∵y=1／（x-3） +x= y=1／（x-3） +x-3+3

又∵x＞3,即x-3＞0, 1／（x-3）＞0

∴y≥2 +3=5

当仅当1／（x-3）=x-3时,即x=4时取“=”

∴y的最小值是5

例⒉求函数y=x（8-3x） （0＜x＜8／3）

分析:欲求积的最大值.x与（8-3x）均为正,但和不为定值,因此将x变为3 x再配平,使其和为定值,方可用均值不等式求其最值.

解: ∵y=x（8-3x）（0＜x＜8／3）

∴y=1／3 . 3x（8-3x）

（0＜x＜8／3）即3x＞0,8-3x＞0

y≤1／3×【（3x+8-3x）／2】2=16／3

∴Y的最大值是16／3

点拨：此题变形逆用均值不等式，ab≤（ ）2，

a，b均为正数。

例3：求函数y= （x>1）的最小值。

解：y= = = ==x+1+

=x-1++2

∵x>1，即x-1＞0 ，＞0

y≥2+2=8

当且仅当x-1= ，即x=4时，取（=）

∴y的最小值等于8

点拨：配凑因子，动机在于创造适合均值不等式的条件，积为定值。

有些分式函数可以拆分为一个整式或一个分式，或一个整式和一个分式，在变形过程中，需经过函数式加减同一个常数，若部分项积为定值，且使定理成立方可！

例4：当x>-1时，求函数f（x）= 的值域

解：∵x>-1， ∴x+1 >0

∴f（x）==

= x+1+ -5 ≥2 -5=2 -5

当且仅当x+1=即x= －1，x=－ －1时取“=”。

又因为x>-1，故－ －1舍去，所以x= －1时取“=”。

∴当函数式中x>-1时，此函数的值域可表示为【2√5 -5，∞】

点拨：本题给出f（x）= 与f（x）= 的值域求法，即简单，有快捷！

例5：若a>b>0，求证a+ 的最小值为3。

证明：∵a>b>0，即a-b>0

∴a+ =a-b+b+ ≥3 =3

当a-b=b= 时，a=2，b=1

∴ a+的最小值为3

点拨：均值不等式推广为三个元素，当a，b，c，均为正，则a+b+c≥3 ，a=b=c时，取“=”

例6：求函数y=x（1-x2） （0

解：∵00

又∵y2=x2 （1-x2）2= ×2（1-x2）（1-x2）

≤ （ ）3

= × =

当2x2=1-x2，x= ，y2=

y>0 ，x= ，y的最大值等于

点拨：本题需求其平方后的最大值，利用均值不等式推广，然后求最大值。

例7：求函数y=3x2-2x3 （0

解：因为y=3x2-2x3 =x2（3-2x）

又00， 3-2x>0

所以y=x•x（3-2x）≤ =1

当x=3-2x， x=1， y最大值为1

点拨：此题需要提取公因式，再拆x2=x•x，使其和为定值，可用均值不等式。

三、学生易犯错误

1，不注意条件均正。

2，和或积不为定值。

3，取不到最值，也看成了最值！

具体情形—省落

四、点击高考

1999，2001，2004，2010等等的高考试题中都设计了求最值问题。最值问题和我们的生活密切相关，学习就是为了指导我们解决生活中的难题！学以致用激发了同学们的学习兴趣！

今后高考展望：

1、仍将重视对基础知识的考察，但设问将不断创新，情景更加新颖。

2、仍将在知识交汇命题，加大对数学思想方法考察！

均值定理证明不等式的方法技巧 篇4

1． 轮换对称型。

例1．若a,b,c是互不相等的实数，求

证：a

b

c

abbcac.2

策略：所证不等式是关于a,b,c的轮换对称式，注意到ab即可。

证明：a,b,c是互不相等的实数，a

2ab，然后轮换相加

b

2ac,b

c

2bc,ac

2ac.b

将上面三个同向不等式即a

相加得：2a



c

2ab

bcac。

b

c

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2． 利用“1”的代换型。

例2．已知a,b,cR,且 abc1,求证： 策略：做“1”的代换。证明：

1a1b1c

abc

a



abc

b



abc

c



1a



1b



1c

9.acacbb

332229.bacbca

3.逆向运用公式型。

策略：为脱去左边的根号，将a

12,b

12转换成1

1a

2

1,1b

2



,然后逆向运

用均值不等式： 若a,bR



则 ab

ab2

.例3．已知a,bR,ab1求证： a



b

2.证明：a

1212

34

1

a

2b2b

1232

1a

1234a2.同理b12

于是有 a

ab2.点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。

4． 挖掘隐含条件证明不等式。

例4．已知a,bR,ab1求证：1









1111.ab9

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含策略:由于ab

4ab

2

着一个不等式ab



.14

证明：a,bR,ab1ab。

11111ab12

而 11111189.abababababab11

119.ab

5． 用均值不等式的变式形式证明不等式。例5．已知a,b,cR,求证： a2b2

b

c

c

a



2abc.策略：本题的关键在于对a2b2,b2c2,c2a2的处理，如果能找出

a

b与ab间的关系，问题就可以

解决，注意到



a

b

2ab2a



b



ab

2a



b





ab 其中a,b,cR即可。

证明：a,b,cR

222222

ab

abc

bc。a

b

c



c

a



三式相加得：a2b2

b

c

c

a



2abc

a

点评：解题时要注意ab2ab的变式应用。常用



b2



ab2

(其中

均值不等式教案2 篇5

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程：

一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么推广：

abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。3a1a2ann≥a1a2an。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析： 例1：求函数y2x223333(x0)的最小值。x解一： y2x311122x2332x2334∴ymin334 xxxxx33312223解二：y2x22x26x当2x即x时 x2xx23 ∴ymin26122331226324 21的最小值。

(ab)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练1 若a,bR且ab,求a由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习1.函数y3x12(x0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

六、教学后记：

均值不等式的灵活应用 篇6

均值不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能, 创造运用均值不等式的条件, 合理拆添项或配凑因式是解题的关键, 满足取等条件是前提.“和定积最大, 积定和最小”、“一正二定三相等”是常用的口诀.

例1 (1) 已知x>1, y>1且lgx+lgy=4, 则lgx·lgy的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})4(\text{B})2\\ (\text{C})1(\text{D})\frac{1}{4}\end{array}$

(2) 若点P (x, y) 在经过A (3, 0) , B (1, 1) 两点的直线上, 那么2x+4y的最小值等于 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})2\sqrt{2}(\text{B})4\sqrt{2}\\ (\text{C})16(\text{D})8\end{array}$

(3) 若2ax-by+2=0 (a, b>0) 过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心, 则ab的最大值是 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})1(\text{D})2\end{array}$

(4) 某民营企业的一种电子产品, 2006年的产量在2005年的基础上增长率为a, 2007年的产量在2006年的基础上增长率为b (a, b>0) , 若这两年的平均增长率为q, 则 ( )

$\begin{array}{l}(\text{A})q=\frac{a+b}{2}(\text{B})q\ge \frac{a+b}{2}\\ (\text{C})q\le \frac{a+b}{2}(\text{D})\text{大}\text{小}\text{关}\text{系}\text{不}\text{确}\text{定}\end{array}$

解析: (1) 选$(\text{A}).\lg x\cdot \lg y\le (\frac{\text{l}\text{g}x+\text{l}\text{g}y}{2}){}^2=4.$

(2) 选 (B) .AB的直线方程为x+2y=3, 由$2{}^x+4{}^y\ge 2\sqrt{2{}^{x+2y}}=4\sqrt{2}.$

(3) 选 (A) .圆心为 (-1, 2) , 从而a+b=1, 故$ab\le (\frac{a+b}{2}){}^2=\frac{1}{4}.$

(4) 选 (C) .由$(1+q){}^2=(1+a)(1+b)\le (\frac{1+a+1+b}{2}){}^2$而得.

例2 (1) 若正数a, b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是.

(2) 周长为$\sqrt{2}+1$的直角三角形面积的最大值为.

(3) 在△ABC中, 三边a, b, c的对角为A, B, C, 若满足2b=a+c, 则角B的取值范围是.

(4) 现有两个定值电阻, 串联后等效电阻值为R, 并联后等效电阻值为r, 若R=kr, 则实数k的取值范围是.

(5) 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市, 已知两地铁路线长400千米, 为了安全, 两列货车间距离不得小于$(\frac{v}{20}){}^2$千米, 那么这批物资全部运到B市, 最快需要小时.

解析: (1) 解法1:$ab=a+b+3\ge 2\sqrt{ab}+3$, 由题意得ab≥9, 当a=b时取等号, 故填[9, +∞) .

解法2:$ab=a+b+3\ge 3\sqrt[3]{3ab}$, 从而ab≥9, 当a=b=3时取等号, 故填[9, +∞) .

解法3:ab=a+b+3得 (a-1) b=a+3, 因为a, b为正数, 故a>1, 从而$b=\frac{a+3}{a-1}$, 所以$ab=\frac{a{}^2+3a}{a-1}=\frac{a{}^2-1+3a-3+4}{a-1}=a+4+\frac{4}{a-1}=a-1+\frac{4}{a-1}+5\ge 9$.故填[9, +∞) .

(2) 设直角边为a、b, 从而$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}=\sqrt{2}+1$, 又因为$a+b+\sqrt{a{}^2+b{}^2}\ge 2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab}=(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}$, 所以$(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}\le \sqrt{2}+1$, 故$ab\le \frac{1}{2}$, 面积$S=\frac{1}{2}ab\le \frac{1}{4}$, 故填$\frac{1}{4}.$

(3) 由余弦定理得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-(\frac{a+c}{2}){}^2}{2ac}=\frac{3(a{}^2+c{}^2)-2ac}{8ac}\ge \frac{3\cdot 2ac-2ac}{8ac}=\frac{1}{2}$, 由于余弦函数在 (0, π) 上是减函数, 故填$0<B\le \frac{\text{π}}{3}.$

(4) 设两个定值电阻的电阻值分别为R1, R2, 则$\{\begin{array}{l}R=R{}_1+R{}_2,\\ r=\frac{R{}_{1}R{}_2}{R{}_1+R{}_2}.\end{array}$又因为R=kr, 所以$k=\frac{(R{}_1+R{}_2){}^2}{R{}_{1}R{}_2}=\frac{R{}_1^2+R{}_2^2+2R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}\ge \frac{4R{}_{1}R{}_2}{R{}_{1}R{}_2}=4$, 所以实数k的取值范围是[4, +∞) .

(5) 设这批物资全部运到B市, 需要t小时, 则

$\begin{array}{l}t=\frac{400+16\times (\frac{v}{20}){}^2}{v}=\frac{400}{v}+\frac{16v}{400}\ge \\ 2\sqrt{\frac{400}{v}\cdot \frac{16v}{400}}=8\end{array}$

, 所以这批物资 全部运到B市, 最快需要8小时.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

均值不等式的常见题型 篇7

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程：

一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题）实践活动 已知条件 最优方案 解决办法

设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一

经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润）例

1、包装罐设计问题

1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示），若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)≥2л3(r h)/4 =3 2лV(当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体.例

2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？

四种常见的托福口语题型 篇8

四种常见的托福口语题型

还没有做过托福口语练习的同学也许对托福口语题型不是很了解，口语总共有四大考试类型，每一题相互独立各不相同。在这四道题当中，同学们经常看见以前的考生说托福口语第三题比较难，是不是如此呢？编辑这就为大家做一个详尽的分析。

托福口语题型有哪几种？

第1题、Independent task 1是Free Choice题，要求考生就某一常规话题用英语做45秒钟的陈述。考生对于这道题的准备应主要集中在people、place、object、event（人、地、物、事）这几个大方面。在教学的过程中，让考生扎实的准备OG、蓝Delta、TPO、真经与口语特训等教材里所出现的题目，尽管当考试时，出现的情况不是很多，但是在复习过程中准备过的具体内容在考场上的作用却非常大。比如 “Describe the place you live in”与“Which city do you travel to most”、“Who is the person you admire most”与“Whom would you choose to visit for one hour”就可以相互借用大部分内容。

第2题、Independent task 2是Paired Choice题，也就是要求考生在提供的两个选择中选择自己喜欢的一个，并用details和examples支持自己的观点。如“ If you could choose to live in the city or live in the country areas, which lifestyle would you prefer and why”，在教学过程中，应教学生迅速确定自己的立场，其余的按照 Free Choice的准备就可以了，同时比Free Choice更好的表述是考生可以采用“抨击”另一种观点的方式来准备details。但是，本题在某些时候以“Do you agree or disagree”或者“compare and contrast”的形式出现，对于后者而言，在教学中，应告诉考生不必表明自己的观点，只要陈述出两种选择的可比之处并加以诠释就可以了。

第3题、托福口语第三题是一道综合任务题，要求考生在45秒之内读完一则notice或者 announcement，然后听一段对话或者monologue（独白），在听力材料中，说话者三立教育

将就阅读材料里提到的决定发表看法。而题目通常都是要求考生对于说话者的观点进行陈述，并且要求考生复述出他或她（们）在表达自己观点时谈及的原因。所以在教学过程中，教学生抓住阅读材料里的要点，听力材料中说话者的观点，并且看清楚题目要求自己复述的是一个人还是两个人的观点也非常重要。注意这一题是客观题，不需要加入自己的观点。从这里可以看出，托福口语练习的过程中不能落下听力的练习。

第4题、是关于学术讲座的复述。这个部分要求考生在45秒之内阅读一段学术内容的文章，然后听一段教授的讲座，需要注意的是教授的讲座可能是针对阅读材料中的某一个细节进行发散性的详细讲解。这个环节的题目要求是客观陈述教授是怎样以examples和de tails来阐释reading中出现的某个术语。因此在教学过程中，要学生做reading notes时，要争取记下提到的术语的定义或者对某科学现象的分类和发展阶段等重要信息；而在做listening notes时则要对教授的举例和分类做重点记录，同时在问题出现后要抓紧30秒钟时间对reading和listening notes进行合理组织，建议考生抓紧时间标记出topic sentence的key words和supporting details，并将它们编号，帮助自己理清陈述的思路。

均值不等式在几何中的应用 篇9

设a1, a2, …, an是n个正数, 则H (n) ≤G (n) ≤A (n) ≤Q (n) , 称为均值不等式, 其中

分别称为a1, a2, …, an的调和平均数、几何平均数、算术平均数, 均方根平均数、其中几何平均数和算术平均数是中学数学最常用的不等式.均值不等式作为最重要的代数不等式之一, 人们往往只注重其代数背景, 却忽视其在几何中的运用.本文选取几何平均数和算术平均数, 浅谈均值不等式在几何中的运用.

1解决平面几何问题

例1 设圆O的半径为$\frac{1}{2}$, 两弦CD和EF均与直径AB交45°, 记AB与CD和EF的交点分别为P和Q, 求证:2PC·QE+2PD·QF<1.

分析 待求结论中PC, QE与PD, QF分别在两条不同的直线上.如何把它们和已知条件发生联系是本题能够顺利解决的关键.再仔细观察一下, 容易发现, PC, QE与PD, QF这两组关系中, PC, PD在同一条直线上, QE, QF在一条直线上.这样, 我们就可通过利用均值不等式把积的形式化为和的形式, 从而利用圆中的相关性质获取问题解决.

证明 如图1, 设M为弦CD的中点, 连接CO, MO, 则△POM为等腰直角三角形, 且

$\begin{array}{l}{\rm M}{\rm P}={\rm M}{\rm O}.\\ {\rm P}C{}^2+{\rm P}D{}^2=\\ ({\rm M}C-{\rm M}{\rm P}){}^2+({\rm M}C+{\rm M}{\rm P}){}^2\\ =2({\rm M}C{}^2+{\rm M}{\rm P}{}^2)\\ =2({\rm M}C{}^2+{\rm M}{\rm O}{}^2)=2C{\rm O}{}^2\\ =2\left(\frac{1}{2}\right){}^2=\frac{1}{2}.\end{array}$

同理:$QE{}^2+QF{}^2=\frac{1}{2}.$

由均值不等式得

PC·QE+PD·QF

$\begin{array}{l}\le \frac{{\rm P}C{}^2+QE{}^2}{2}+\frac{{\rm P}D{}^2+QF{}^2}{2}\\ =\frac{({\rm P}C{}^2+{\rm P}D{}^2)+(QE{}^2+QF{}^2)}{2}\\ =\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}.\end{array}$

仅当PC=QE及PD=QF时, 上式等号成立.如等号成立, 又因PC//QE及PD//QF, 所以PCEQ与PDFQ都是平行四边形.即CE//PQ//DF, 且CDFE是矩形, 这与CD, EF和AB交成45°角矛盾, 因此等号不能成立, 即

$\begin{array}{l}{\rm P}C\cdot QE+{\rm P}D\cdot QF＜\frac{1}{2}.\\ 2{\rm P}C\cdot QE+2{\rm P}D\cdot QF＜1.\end{array}$

其实, 数学的本质就是研究事物的空间形式和数量关系, 数量之间的大小关系也可以刻画某些量——线段、图形中等可度量的属性之间的关系.本题正是从代数的角度度量其几何属性的.

2解决立体几何问题

例2 如图2, 平行四边形PQRS截四面体ABCD, 且SR//CD, QR//AB, 求这个截面面积最大时的位置.

分析 对于确定的四面体, 其中的所有的元素都是固定的、确定的.而要求的平行四边形截面面积主要由两条相邻的边和它们的夹角确定的, 在这三个元素中, 夹角可以转化为异面直线AB, CD所成的角, 而问题的关键是寻找两条相邻的边的度量关系.由于这两条边是变化的, 故存在最值问题, 因此可以考虑均值不等式来解决.

解 设BR∶RD=m∶n, 并记AB=a, CD=b, AB 和CD的夹角为θ.

因为SR//CD, QR//AB,

所以QR和SR的夹角也为θ.

由△BSR∽△BCD, 得

$\frac{SR}{CD}=\frac{BR}{BD},SR=\frac{BR}{BD}\cdot CD=\frac{m}{m+n}\cdot b.$

由△DQR∽△DAB, 得

$\frac{QR}{AB}=\frac{DR}{DB},QR=\frac{DR}{DB}\cdot AB=\frac{n}{m+n}\cdot a.$

$\begin{array}{l}\text{故}S{}_{{\rm P}QRS}=SR\cdot QR\cdot \sin \theta \\ =\frac{mb}{m+n}\cdot \frac{na}{m+n}\cdot \sin \theta \\ =\frac{mn}{(m+n){}^2}ab\sin \theta .\end{array}$

由均值不等式, 得

(m+n) 2≥4mn.

故$S{}_{{\rm P}QRS}\le \frac{mn}{4mn}ab\sin \theta =\frac{1}{4}ab\sin \theta .$

上式仅当m=n, 即当R在BD的中点处, 其截面积SPQRS达到最大值, 为$\frac{1}{4}ab\sin \theta .$

本题考察截面的大小, 其中最关键的特点是运用函数与方程的观点, 结合三角、代数、几何等知识, 最后运用不等式以及三角函数求最值.均值不等式在表达式中的表征形式$\left(\frac{mn}{(m+n{}^2}ab\text{s}\text{i}\text{n}\theta .\right)$也是非常明显的, 运用是自然的, 体现了均值不等式在解决问题中的通性通法的价值.

3解决解析几何问题

例3 内接于圆A:x2+y2=a (a为不等于1的正数) 的矩形中, 面积最大的矩形记做B, 设内切于B的圆为C, 求A、B、C的面积比.

分析 本题的题设条件蕴含着丰富的不等式背景.问题解决的关键是“有效提取”这些信息, 运用均值不等式即可顺利解决.

解 圆的面积为S1=πa.

其内接矩形的边平行于坐标轴, 取在第一象限内的顶点 (x1, y1) , 则

x${}_1^2$+y${}_1^2$=a, (1)

设面积为S, 则

S=2x1·2y1=4x1y1

由x${}_1^2$+y${}_1^2$≥2x1y1即得

$\begin{array}{l}a\ge 2x{}_{1}y{}_1,\\ x{}_{1}y{}_1\le \frac{a}{2},\end{array}$

等号是当x1=y1时成立.这时由 (1) 得$x{}_1=y{}_1=\frac{\sqrt{2a}}{2}.$

S取最大值, 此时最大面积的矩形的顶点坐标为$\left(\pm \frac{\sqrt{2a}}{2}‚\pm \frac{\sqrt{2a}}{2}\right)$, 且其面积最大值为:S2=2a.

而B的内切圆C的方程由此可得:

$x{}^2+y{}^2=\left(\frac{\sqrt{2a}}{2}\right){}^2.$

因此它的面积为:

$S{}_3=\text{π}\left(\frac{\sqrt{2a}}{2}\right){}^2=\frac{1}{2}\text{π}a.$

所以

$S{}_1:S{}_2:S{}_3=\text{π}a:2a:\frac{1}{2}\text{π}a=2\text{π}:4:\text{π}.$

解析几何的最主要特征是从代数角度来研究几何问题, 在解题中要善于捕捉并且利用这一特征.因此当得到S=2x1·2y1=4x1y1时, 求出$x{}_1=y{}_1=\frac{\sqrt{2a}}{2}$就是水到渠成的事情了.

总之, 均值不等式在几何中的运用十分广泛, 教学中加强其在几何中的运用, 关键是需要学生打破思维定势, 突破其代数背景的干扰, 从而有效地培养学生知识迁移能力.

参考文献

一道用均值不等式解题后的反思 篇10

一、实事重现

题1若a, b>0, a+b=1.求证:3a+3b<4.

这道题的解法比较多, 其中有一种解法如下:

解假设3a+3b≥4对任意的实数a, b恒成立.

由均值不等式得

所以, 即3a+b≥4.

得a+b≥log34>1, 即a+b>1.

这与a+b=1矛盾.

故有3a+3b<4.

课后有学生来找我:“老师, 我觉得这里的解法有点问题.”我看了看没有哪里不妥, 这时他就说:“这个解法的2、3行有问题, 感觉通过a≥b, a≥c, 就得到了b≥c.这貌似不符合不等式的性质.”这两步直接体现最小值的性质, 应该给学生一些时间让他自己去考虑考虑.

“首先你敢于质疑参考答案, 值得表扬.但解法是正确的, 刚刚你说的有问题的地方, 需要仔细探讨, 题中由, 得到3a+b≥4, 到底有没有道理?道理何在?主要考虑是如何得到的.你去认真考虑考虑, 我们再来讨论.”

过了两天那名同学终于兴冲冲的拿着那道题找到我.

“老师, 我终于想明白了.”

“来说说看.”

“前面是根据均值不等式得到的, 其中2 3a+槡b是3a+3b的最小值, 又有3a+3b≥4, 所以.”

“为什么呢?”

“前面是3a+3b的最小值, 后面是小于3a+3b的一个值, 3a+3b的最小值和小于3a+3b的值, 应该是大于等于的关系.这就是原理所在了.”

“非常正确, 那你总结总结这个解题思路, 想想在解哪类题可以用到?”

“这个题在解答时, 巧妙的应用了最小值, 在解不等式里往往可用, 特别是f (x) ≤ (≥) a这种形式的, 往往可以考虑f (x) 的最值与a的关系;本题还用到反证法, 在解一些从正面无从下手, 或者是情况很复杂的题目时, 往往可以考虑应用反证法.”

二、实例反思

1.从解题及数学知识方面的反思

在上面实例中, 解题用到了反证法.反证法, 又称归谬法、背理法, 是一种论证方式, 他首先假设某命题不成立 (即在原命题的条件下, 结论不成立) , 然后推理出明显矛盾的结果, 从而下结论说原假设不成立, 原命题得证.解题中, 有时从正面出发没有一点解题思路, 或者是情况很复杂时, 考虑从反面出发用到反证法, 往往可达到柳暗花明的效果.

最小值是符合条件最小的数.如果a是集合A的最小值, 而b小于等于集合A中任意值, 则有a≥b;即一个集合的最小值a, 是所有小于等于这个集合的元素组成集合B中的最大值.同理, 如果a是集合A的最大值, 而b大于等于集合A中任意值, 则有a≤b;即一个集合的最大值a, 是所有大于等于这个集合的元素组成集合B中的最小值.

这一类的题目有很多, 例如:

题2已知x>0, y>0, 且, 求a的取值范围.

分析根据条件得到x+y的最小值, log2a小于等于x+y的最小值, 根据对数函数的单调性得出a的取值范围.对于求参数恒成立问题, 常常就应用的最小值最大值的特征.

2.从教学方面的反思

教学中常常会遇到类似的情况, 一定要正确处理学生在学习过程中的疑惑, 这些疑惑点可能成为学生进步的一个重要转折点.作为教师要根据自己的教学经验预见这些疑惑点, 面对学生的疑惑, 首先老师要有一个正确的态度, 其次老师要做好启发工作.老师的态度对学生来说是非常重要的, 一句简单的鼓励话语会使学生更加积极的去思考;老师是学生学习的领头人, 在学生学习出现偏颇时, 要及时给予纠正.要启发学生自己认真思考, 充分肯定他们思考的结果, 让他们意识到自己才是学习的主人.

三、启示

反思的目的在于学习者在学习过程中主动地发现和解决学习问题, 并主动地总结学习成功经验.通过反思培养了学生的探究性、自主性、发展性、创造性、批判性等多方面的能力.恰当使用反思帮助学生形成良好的学习习惯.

我国知名的数学教育家齐民友先生在《数学与文化》一书中, 语重心长地说:一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的, 一个不把掌握数学作为一种文化的民族的也是注定要衰落的.作为数学老师我们的任务不仅仅是教给学生数学知识, 解题方法, 需要在教给学生知识的同时, 应用恰当的方法培养学生的数学意识, 形成自己的数学品质.

参考文献

[1]李景印.一道教材习题的研究性学习[J].中学数学教学参考, 2015 (3) .

[2]章显联.数学课堂教学中“问题”资源的利用[J].数学与管理, 2006 (1) .

均值不等式的常见题型 篇11

(1)求此人落到坡面时的动能;

(2)此人水平跳出的速度为多大时,他落在坡面时的动能最小?动能的最小值为多少?

规范解答:(1)设该运动员在空中运动的时间为t,落到坡面时速度为v,在坡面上落点的横坐标为x,纵坐标为y,由运动学公式和已知条件得:x=v0t(1)

联立(1)(2)(3)(4)式得落到坡面时的动能:

谋定思路:拿到这个题目应该想到应用机械能守恒和平抛的知识来列等式.为了使水平位移最大,想到用均值不等式来求解最值问题.

以后小球做平抛运动,水平方向有:s=vt(2)

解后反思:本题中的极值问题是属于均值不等式中的“定和求积问题”.即R与H-R的和为定值,那么R(H-R)必有最大值.

二、巩固训练

1.(2010年年重庆卷)如图3所示,小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图3所示.已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为3/4d,重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度v2.(2)轻绳能承受的最大拉力是多大?(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离为多少?

答案:(1)设AD之间的竖直高度为h,

参考文献