函数奇偶性综合练习题

函数奇偶性综合练习题（共15篇）

函数奇偶性综合练习题 篇1

1.判断下列函数的奇偶性

2x2x1（1）f(x)xsinx（2）g(x)ln（3）h(x)x 2x21

（4）ylg(x21x)（5）y

2.已知f(x)x(1（6）yx1x sinx111)x212

（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明f(x)0.3.求下列实数a的值

a2xa2（1）已知函数f(x)（aR）是R上的奇函数，求a的值.x21

（2）若函数g(x)sin(2xa)是R上的偶函数，求实数a的值.4.已知函数f(x)x22|x|.（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；

（Ⅱ）判断函数f(x)在(1,0)上的单调性并加以证明．

5.求下列x的取值范围.（Ⅰ）已知函数f(x)是定义R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)lgx.若f(2x1)0，求x的取值范围.（Ⅱ）已知函数f(x)是定义R上的偶函数，且在(0,)上单调递增，f(1)0.若f(2x1)0，求x的取值范围.6.求下列函数f(x)的解析式

（1）已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)x23x，求f(x)的解析式；

（2）若函数f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式.exa是R上的偶函数.7.已知a0，函数f(x)aex

（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在(0,)上是增函数.8.已知函数f(x)exex(其中e为自然对数的底数）.（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

（2）是否存在实数t，使得不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.9.已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，当a,b[1,1]，且ab0时有

（1）判断函数f(x)的单调性，并给予证明；

函数奇偶性综合练习题 篇2

关键词：函数,奇偶性,定义域

判定函数的奇偶性,一般都依照定义严格进行,其基本思路是:(1)先考查定义域是否关于原点对称;(2)考查表达式f(-x)与f(x)是否相等或互为相反数.简言之:一看定义域,二看解析式.但要准确迅速判断某些函数的奇偶性,并不是一件容易的事情.有时需要对函数的解析式进行适当的变形,利用变形后的解析式判断函数的奇偶性,有的时候,变形还可能使定义域扩大,从而对结论的准确度产生影响.本文以一题为例,谈谈函数奇偶性的教学.

题目 : 判断函数的奇偶性.

先看定义域,要使f(x)有意义,需设实际上 ,,即对一切x∈R,f(x)恒有意义,则f(x)的定义域为R,关于原点对称.

再看解析式,分析研讨过程如下:

一、草率的“断言”

观察f(-x)与f(x)的解析式的分子和分母,都不一样,学生易得出:f(-x)≠f(x),从而断言f(x)为非奇非偶函数.

二、尝试的“醒悟”

教师提出问题:f(-x)与f(x)解析式的分子和分母都不同,就意味着f(-x)≠f(x)吗?会不会分子与分母均不同,反而能出现f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的结论呢?取特殊值先作出初步断定.

学生很容易想到求f(0)、f(1)、f(-1)、f (2)、f (-2),…实际上,可求出f (-1) =-f(1)、f(-2)=-f(2) …学生很 容易猜测,这个函数是奇函数.为此尝试证明f(-x)=-f(x).

三、解题的“疏漏”

方法1:直接证明f(-x)=-f(x).

关键:乘以再除以同一个解析式

过程:

到此为止,学生自认为已证得f(-x)=-f(x),所以是奇函数.

反思:函数f(x)的定义域应是全体实数,但我们所乘的项若有意义,需使分母即 x≠0.所以上述只证明了在x≠0时,有f(-x)=-f(x),而忽略了x=0的情形.

补证:当x=0时,有f(0)=0,f(-0)=0,所以有f(-0)=-f(0),从而对一切x∈R,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

方法2:证明

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

反思:既然f(x)作为f(-x)/f(x)的分母,应有f(x)≠0,即x≠0,但当x=0时,f(x)仍有意义,f(0)=0,所以对x=0时,应单独说明.

方法3:化简解析式f(x).

关键:分母有理化.

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

反思:在进行分母有理化时,分母所乘的项,即x≠0,但函数f(x)的定义域中会有0,所以上述解析式并不是f(x),实际上,再进行说明是奇函数即可.

评注:利用变形后的解析式判断奇偶性,一定要注意定义域的变化,上述变形定义域中丢掉了元素0,有的时候,变形还可能使定义域扩大,如:,定义域[0,+∞),不关于原点对称,为非奇非偶函数,但若化成y=x2定义域就扩大了,y=x2也成了偶函数.

四、优美的“证法”

前三种证法,均容易丢失x=0时的情形,正确解法中还需单独补充说明,我们能否找到不需进行补充说明的方法呢?

方法4:证明f(-x)+ f(x)=0.

从而f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

评注:此解法有效避免了定义域缩小的问题,减少了讨论问题,体现出了解题的简洁美.

五、结论的“推广”

将中的根号内的“1”都换成“a”,其它“1”都换成“a”,“x”都换成“bx”,也就是:

讨论函数的奇偶性.

显然a、b不同时为0,否则函数f(x)无意义.学生很可能由前面的推证,脱口而出,f(x)为奇函数.实际上,该函数是奇函数、偶函数,还是非奇非偶函数,需对字母a、b进行讨论.

1.当a=0且b≠0时,函数即为

(1) 当 b>0 时,

要使函数f(x)有意义,需使x +x≠0,则x>0,即函数f (x) 的定义域为(0,+∞),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x>0).

(2) 当 b<0 时,

要使函数f(x)有意义,需使x -x≠0,则x<0,即当函数f(x)的定义域为(-∞,0),关于原点不对称,所以为非奇非偶函数,此时f(x)=1(x<0).

综上所述,当a=0且b≠0时,函数f(x)为非奇非偶函数.

2.当b=0且a≠0时,函数即为

(1)当a>0时,f(x)=0, f(x)既是奇函数,也是偶函数.

(2)当a<0时,|a| +a=-a+a=0,函数f(x)无意义.

3.当 a≠0 且 b≠0 时,

(1) 当 a>0 时,对一切x∈R恒成立,所以函数f(x)的定义域为R,关于原点对称 . 有

而当x=0时,f(0)=0,仍有f(-0)=-f(0),所以函数f(x)为奇函数.

(2)当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,易证f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.

综上所述,当a≠0且b≠0时,函数f(x)为奇函数.

函数的奇偶性 篇3

科目：数学

年级：高一年级

内容：普通高中课程标准实验教科书人教A版1.3.2节函数的性质——奇偶性

函数奇偶性的概念形成，以及性质的简单应用（1课时）

奇偶性是函数的重要性质之一，它是通过函数的图象来研究得出的一个概念，实际上反映的是函数图像的一种对称，而我们所研究的数学领域存在着大量的对称美，因此也可以借此培养学生对数学对称美的认识，提高他们对数学的理解能力。

二、教学目标分析

知识与技能：通过对图象的理解，充分经历函数奇偶性这个概念的形成过程；会判断一些简单函数的奇偶性；初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

过程与方法：经历函数的奇偶性这个概念的形成过程，掌握判断函数奇偶性的方法。

情感·态度·价值观：通过本节内容的学习，认识数学中的对称美，陶冶他们热爱数学、欣赏数学的情操。并且让他们对数学的认识不只是停留在对图象的表面理解，让他们对数学有更进一步的认识，提高到理论层次的认识。

三、学生特征分析

通过平时的观察、了解以及测试，学生的基础处于一个理解和简单应用的水平，不能拔高要求。不过在这之前，学生已经学习了函数的单调性，掌握了单调性概念的形成过程，也会利用单调性求函数的最值，所以为利用化归的数学思想方法来理解函数的奇偶性打下了一个良好的基础。

四、教学策略选择与设计

本课题设计的基本理念：充分利用熟悉的函数的图象来形成概念，然后利用形成的数学概念来研究更多函数的奇偶性。

主要采用的教学与活动策略：

1.复习、总结数学里的一些简单对称，如中心对称、轴对称。

3.从对图象的理解来抽象出数学中奇函数和偶函数的定义。

4.利用函数的解析式来判定函数的奇偶性，并掌握基本的判定步骤。

5.奇偶性在其他方面的应用。

策略实施过程中的关键问题：

1.从图形的理解到抽象的数学概念形成，学生理解有点难度。

2.对奇函数和偶函数概念的理解应用。

五、教学资源与工具设计

多媒体教学，充分利用几何画板和电教平台。

教学参考：教材、《教师教学用书》、《新课程导学》、《新教材，新学案》、《学海导航》等等。

六、教学过程

（一）复习总结

1.点（1，2）关于y轴的对称点是 。点（1，2）关于x轴的对称点是 。点（1，2）关于原点的对称点是 。

2.一般地：点P（x，y）关于y轴的对称点是P1（-x，y），关于x轴的对称点是P2（-x，y），关于原点的对称点是 。

3.一般地：对于函数y=f（x），其图象上一点P（xf（x））关于y轴的对称点为P1 ，关于x轴的对称点为P2 ，关于原点的对称点为P3 。

八、帮助和总结

探究：已知函数f（x）满足：对任意的x、y都有f（x）+f（y）=f（x+y），试判断函数f（x）的奇偶性。

函数的奇偶性教案 篇4

伊滨一高

杨志刚

2012年11月15日

函数的奇偶性

教学目标

1、从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念;

2、会利用定义判断简单函数的奇偶性.教学重点: 函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断.教学难点: 对函数奇偶性的概念的理解.教学过程

一、导入新课

先举现实生活中对称的例子,然后启发学生发现数学中存在对称的图形,试让学生举例.(学生可能会举出yx2和yx,y1等例子)其中哪些函数的图象关

x于y轴对称？

以函数yx2为例，画出图象,让学生说出判断其图象关于y轴对称的方法.在数学上将图象关于y轴对称的函数叫做偶函数.今天将从数值角度研究图象关于y轴对称函数的自变量与函数值之间的规律.二、讲解新课

引导学生先将规律具体化,再用数学符号表示.从而发现对定义域内任意一个x,都有 f(x)= f(x)成立.最后让学生用完整的语言给出偶函数定义,不准确的地方予以提示或调整.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.注:强调“任意”两字.给出定义后可让学生举例检验他们对概念的初步认识

提出新问题:图象关于原点对称的函数的自变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?(同时打出y1的图象让学生观察研

x究)引导学生用类比的方法,得出结论,让学生给出奇函数的定义.一般地,如果对于函数

f(x)的定义域内任意一个

x,都有,f(x)f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数.三、例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x1;(2)f(x)x1x2;(3)f(x)2x;(4)f(x)|x|2;(5)f(x)(7)f(x)(9)1x2;(6)f(x)x2,x[3,1];4x2(x2)0;(8)f(x)2x1;1x22x22xf(x);(10)f(x).x22x1前三个题做完，进行一次小结,判断奇偶性,只需验证 f(x)与

f(x)之间的关系.此时提出问题如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?引导学生得出只需举一个反例就可说明.通过第(6)题引导学生得出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件的结论.由学生小结判断奇偶性的步骤之后,提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.经学生思考,可找到函数 f(x)0.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2 已知函数 f(x)既是奇函数也是偶函数,求证: f(x)0.(由学生来完成)

证明: f(x)既是奇函数也是偶函数，f(x)= f(x),且 f(x)f(x),  f(x)= f(x). 2f(x)0,即 f(x)0.进一步提问：这样的函数应有多少个呢?（学生开始可能认为只有一个,经提示可发现, f(x)0只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 f(x)0, x[1,1], f(x)0，x{2,1,0,1,2},它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.）课后反思：

1、函数奇偶性的定义;

2、函数奇偶性的判定;

3、利用函数的奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数.作业

P361、2题；P39A组6题；P39B组3题。[板书设计]

函数的奇偶性

1、定义：

2、函数奇偶性的判断；（画图）

3、例题示范；

4、例题讲解；

函数的奇偶性教案 篇5

重点：判断函数的奇偶性

难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入

1、函数的单调性、最值

2、函数的奇偶性

(1)奇函数

(2)偶函数

(3)与图象对称性的关系

(4)说明(定义域的要求)

二、例题分析

例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数

例2、证明函数 在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性

三、随堂练习

1、函数 ( )

是奇函数但不是偶函数 是偶函数但不是奇函数

既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数

2、下列4个判断中，正确的是_______.

(1) 既是奇函数又是偶函数;

(2) 是奇函数;

(3) 是偶函数;

(4) 是非奇非偶函数

《函数的奇偶性》说课稿 篇6

(一)教材特点、教材的地位与作用

本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。

函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

(二)重点、难点

1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。

2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。

(三)教学目标

1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法;

2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念;能运用函数奇偶性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教法、学法分析

1、教学方法：启发引导式

结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用“引导发现法”进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。

2、学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。

三、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学

四、教学过程

为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。

(一)设疑导入，观图激趣

让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花。

学生举例生活中的对称现象

折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点。

以y轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第二象限内图象的.痕迹，然后将纸展开。观察坐标喜之中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

(二)指导观察，形成概念

这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究。

思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何

给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律。

借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等。接着再让学生分别计算f(1)，f(-1)，f(2)，f(-2)，学生很快会得到f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f(-x)=f(x)，从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。

思考：由于对任一x,必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征。

引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称。根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书：

(1)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢 。

学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义：

(2)函数f(x)的定义域为A,且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)， 则称f(x)为奇函数

强调注意点：“定义域关于原点对称”的条件必不可少。

接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤：

(1)求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称。

(2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 3)得出结论。

给出例题，加深理解：

例1,利用定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)= x2+1

(2)f(x)=x3-x

(3)f(x)=x4-3x2-1

(4)f(x)=1/x3+1

提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象(4)这样的是什么函数呢?

得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数。

接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)

然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法：

函数f(x)是奇函数=图象关于原点对称

函数f(x)是偶函数=图象关于y轴对称

给出例2:书P63例3,再进行当堂巩固，

1。书P65ex2

2。说出下列函数的奇偶性：

Y=x4 ; Y=x-1 ;Y=x ;Y=x-2 ;Y=x5 ;Y=x-3

归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数

(三)学生探索，发展思维。

思考：1,函数y=2是什么函数

2,函数y=0有是什么函数

(四)布置作业： 课本P39习题1、3(A组) 第6题， B组第3

奇偶性是幂函数的翅膀 篇7

幂函数y=xα在第一象限的图像如图1所示, 图像恒过 (1, 1) .幂指数α>0时, 图像过点 (0, 0) , 为增函数, 其中0<α<1, 函数图像上凸递增;α>1, 函数图像下凸递增;α=0时为直线y=1 (除去点 (0, 1) ) ;α<0时为减函数.

幂函数在第四象限没有图像, 在第二、第三象限的图像要结合奇偶性才能得出.

若幂函数是奇函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、三象限;若幂函数是偶函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、二象限;若幂函数是非奇非偶函数, 等价于幂函数的图像只分布在第一象限.运用奇偶性可以减少对幂函数图像的整体记忆, 只需记忆第一象限的图像特征, 运用奇偶性可以整体分析幂函数的图像, 对幂函数的图像进行整体把握.下表为y=xα在α取值不同的情况下的图像.

例1幂函数 (m, n∈N*, 且m、n互质) 的图像如图2所示, 则 ()

A.m、n为奇数且.

B.m为偶数, n为奇数, 且.

C.m为偶数, n为奇数, 且.

D.m奇数, n为偶数, 且.

例2幂函数的图像过点, 则它的单调递增区间是 ()

A. (0, +∞)

B. (0, +∞)

C. (-∞, +∞)

D. (-∞, 0)

分析:幂函数y=xα的图像过点, 则α=-2.所以幂函数y=x-2是偶函数, 图像分布在第一、二象限, 且在第一象限内是减函数, 由对称性知, 在第二象限是增函数, 故选D.

例3函数的图像是 ()

分析:根据幂函数的图像在第一象限内的走向, 又因为函数是奇函数, 故选B.

例4已知函数 (n∈Z) 的图像与两坐标轴都无公共点, 且其图像关于y轴对称, 求n的值.

分析:因为幂函数图像与y轴无公共点, 所以n2-2n-3≤0, , 解得-1≤n≤3, 又因为n∈Z, 所以n=0, ±1, 2, 3.又因为图像关于y轴对称, 所以n2-2n-3为偶数.检验:当n=0时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=1时, n2-2n-3=-4为偶数;当n=-1时, n2-2n-3=0为偶数;当n=2时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=3时, n2-2n-3=0为偶数.因此, n的值为-1, 1或3.

例5已知函数 (m∈Z) 为偶函数, f (3) <f (5) , 且, 求m的值, 并确定f (x) 的解析式.

又∵m∈Z, 即∴m=0或1.经检验:当m=0时, -2m2+m+3=3, 为奇数 (舍去) ;当m=1时, -2m2+m+3=2, 为偶数.因此, m=1, f (x) =x2.

例6若, 求实数m的取值范围.

函数·奇偶性与周期性 篇8

1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）

A. [1-e] B. [e-1]

C. [-1-e] D. [e+1]

4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ）

A. [23] B. 2 C. 4 D. 6

5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x<0），]则[g（-2）]的值为（ ）

A. -6 B. -8 C. 4 D. 6

6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 常函数 D. 非奇非偶函数

7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称

C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称

8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 既不是奇函数又不是偶函数

D. 既是奇函数又是偶函数

9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ）

A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013

10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1

A. [f（4.5）

B. [f（7）

C. [f（7）

D. [f（4.5）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 .

12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= .

13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 .

14. 给出定义：若[m-12

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R].

（1）讨论[f（x）]的奇偶性；

（2）求[f（x）]的最小值.

16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0]是奇函数.

（1）求实数[m]的值；

（2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围.

17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0f（y）].

（1）求[f（1）]；

（2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2.

18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数.

（1）求[k]值；

（2）若[f（1）<0]，试判断函数单调性并求使不等式[f（x2+tx）+f（4-x）<0]恒成立的[t]的取值范围；

（3）若[f（1）=32]，且[g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）]，在[[1，+∞）]上的最小值为-2， 求[m]的值.

函数奇偶性的判定口诀 篇9

函数奇偶性的概念

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数(减函数)，则在区间[-b，-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数)，则在区间[-b，-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的`前提请求函数的定义域必须关于原点对称。

函数奇偶性的运用(教学设计) 篇10

函数奇偶性的运用（教学设计）

一、学习目标

1、知识与技能:了解函数奇偶性的定义，会根据定义来判断具体函数的奇偶性，能借助定义及图象特征解决奇偶性问题。

2、过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成，培养学生的观察、归纳、抽象能力

3：情感态度价值观：增强学生对数学美的体验，培养学生乐于探索的精神。

二、学习重点、难点

1、重点：函数奇偶性的运用。

2、难点：函数奇偶性的判断及运用。

三、学习过程

（一）课前预习

1、奇函数、偶函数的定义。

2、奇函数、偶函数的图象特征。

3、如何判断函数的奇偶性。

（二）重点知识，方法回顾

引导学生回顾函数奇偶性的相关知识。

1、定义：对于定义域内任意x,总有f(x)f(x)成立，则是奇函数；

对于定义域内任意x,总有f(x)f(x)成立，则是偶函数。

教学设计

2、图象特征：奇函数图象关于原点对称，定义域关于原点对称。偶函数图象关于y轴对称，定义域关于原点对称。

3、函数奇偶性的判断

定义法：先看定义域是否关于原点对称，再计算f(x)f(x)。图像法：f(x)是奇函数f(x)的图象关于x轴对称； f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称。

（三）例题的选取 选题依据

1、课程标准要求：结合具体函数，了解奇偶性的含义。考试大纲要求：了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，并能利用函数奇偶性解决一些问题。

2、考试说明要求：函数奇偶性在考察时，不是简单的考察公式等知识的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考察数学思想方法，体现以能力立意的命题原则。

3、解读定位：考试热点，一是以选择题或填空题的形式考察奇偶函数在求解析式中的应用，二是综合其他函数性质考察综合应用能力，本例题从求解函数解析式入手，揭示数学思想方法在函数奇偶性中的应用。

例题展示

ax21(a,b,cz)是奇函数，又f(1)2,f(23)，求已知函数f(x)bxca,b,c的值。

（四）例题使用

教学设计

1、例题分析：引导学生回答：①回顾所用知识，主干知识；

②题目所提供的信息； ③解题思路及过程； ④格式规范及注意事项

2、例题归纳：本题考察知识有函数奇偶性的定义，解方程，解不等式。所用方法是通过定义，结合f(1)=2, f(2)<3，通过解方程解出a,b,c,。体现的思想方法是函数与方程，函数与不等式的数学思想。

3、变式对比练习

（1）已知函数f(x)x3ax23bxc(b0)且g(x)2是奇函数，求a,c

（2）偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点p(0,1)且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式。

对比要求：①找到例与变式题的异同，包括知识，方法，考察方向；

②在解此类问题是因该注意的问题；

③规律：奇函数解析式中，偶次项系数与常数项为0，偶函数中，奇次项系数为0；

4、巩固练习

（1）若函数f(x)log(xx22a2)是一奇函数，则a的值。

1是一奇函数，则a的值。2x1(x1)(xa)（3）若函数f(x)是一奇函数，则a的值。

x（2）若函数f(x)a 学生独立完成，教师点评。

教学设计

5、拓展提升

已知f(x)是R上的奇函数，且当x(,0)时，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式。

要求：引导学生回顾例题；引导学生探索拓展题的解题思路；教师精讲。

（五）课堂小结

本节课主要学习了函数奇偶性的应用，在解题是要注意函数与方程，函数与不等式等思想方法的应用。（可以让学生自己回顾本节课学习后，所获取的知识方法，技能）

（六）作业布置

四、教学反思

函数奇偶性综合练习题 篇11

关键词：周期性;奇偶性;对称性;深刻联系

函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数的周期性、奇偶性、对称性是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用。高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题.但是学生对这些性质理解得不透彻，运用不灵活.下面对它们的联系做一些总结.

一、函数周期性、奇偶性、对称性定义及简单性质

奇函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=-f（x），那么，函数f（x）就是奇函数.

偶函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=f（x），那么，函数f（x）就是偶函数.

轴对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=f（a-x），则f（x）的图像关于x=a对称.

性质1.设a，b是任意常数，则函数f（a+x）=f（b-x）的充要条件是f（x）的图像对称.

二、奇偶性、对称性、周期性三者之间的联系

1.对称性+奇偶性周期性

性质2.如果f（x）是奇函数，且图像关于x=a对称，则得f（x）是以T=2a为周期的周期函数.

推论：一般的，若定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称，则f（x）是以（ ）为周期的周期函数.

2.对称性+周期性对称性，奇偶性

性质3.设f（x）的图像关于x=a对称，且T=b的周期函数，则f（x）的图像关于x=a+b对称.

推论：设，且，则是偶函数.

3.周期性+奇偶性对称性

性质4.如果是偶函数，且（a>0），则得的图像关于x=a对称.

性质5.如果是R上的奇函数，则得的图像关于x=a对称。

例1.函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）=（ ）

A.-9 B.9  C.-3 D.0

解析：选B.因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9.

例2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称.求证：f（x）是周期为4的周期函数.

证明：由函数f（x）的图像关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）.

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，

故有f（-x）=-f（x）.

故f（x+2）=-f（x）.

从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数.

评析：例1由函数的奇偶性得到函数的周期性，例2由函数的奇偶性与对称性得函数的周期性.

从上面的分析可以看出，函数奇偶性、周期性、对称性之间存在着联系，在解题中，若能从整体上把握并灵活运用这些性质，那么抽象函数的高考试题就能迎刃而解.

参考文献：

[1]王江.浅谈函数性质[J].数学教学，2008（4）.

[2]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社，2008-03.

浅谈函数奇偶性的教学体会 篇12

函数的奇偶性的定义如下:

(1) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么函数f (x) 叫做偶函数。

(2) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =-f (x) , 那么函数f (x) 叫做奇函数。

学习这个定义要紧紧抓住两个要点: (1) 函数的定义中的x是任一个值。 (2) 都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) )

在讲课中, 我特别注意强调x是任一个而不是某一个, 而不少同学经常要用具体的某一个值来判断函数的奇偶性, 正是对定义缺乏深刻的理解。而定义中的都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) , 表示对于任意的x都成立, 即上面的式子是一个恒等式, 而不是对于部分x成立。

应该特别注意的是, 仅仅简单地记住这个定义的两个要点是远远不够的, 因为, 函数的奇偶性的定义包含着更深刻的内涵:

(一) 定义中涉及的求f (x) , f (-x) , 这里应该强调的是:f (x) 与f (-x) 必须同时有意义。因此, 可以得出下面的结论, 函数f (x) 是奇函数 (或偶函数) 的必要条件是函数的定义域必须是关于原点对称的数集 (原点可在也可不在定义域内) 。下面, 让我们总结一下常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集。

在讲课中, 我通过对常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集进行总结, 使同学们很快就能根据数集的形式来判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 从而进一步判断出函数的奇偶性。

(二) 函数的奇偶性是整个定义域内的性质, 仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。这一点和研究函数的单调性的方法不同。

因此, 只有深刻地理解函数的奇偶性的定义的内涵, 才能正确地判断函数的奇偶性。

二、关于函数奇偶性的几个重要性质

根据函数的奇偶性的定义, 我们可以系统地总结出函数的奇偶性的几个重要性质:

(1) 对称性:奇 (偶) 函数的定义域关于原点对称。

(2) 整体性:函数的奇偶性是整体性质, 对定义域内的任意一个x都必须成立。

(3) 可逆性:①f (-x) =f (x) ⇔f (x) 是奇函数

②f (-x) =-f (x) ⇔f (x) 是偶函数

(4) 等价性:①f (-x) =f (x) ⇔f (-x) -f (x) =0

②f (-x) =-f (-x) ⇔f (-x) +f (x) =0

(5) 图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于y轴对称。

三、如何判断一个函数的奇偶性

根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性有两个步骤。首先应判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 其次是验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 对于定义域中的任意x是否成立。两个条件中尤以第一个条件最为重要, 因为如果不能满足第一个条件, 即使第二个条件成立也不能判断函数的奇偶性。不少同学在判断函数的奇偶性时经常只依据第二个条件是否成立来进行判断, 因而产生了错误。

根据判断函数的奇偶性的两个条件, 我们可以把函数按奇偶性分为: (1) 奇函数; (2) 偶函数; (3) 非奇非偶函数; (4) 既是奇函数也是偶函数四种类型。下面, 我们根据各种题型举行举例分析。

上述几个例子都是根据判断函数的奇偶性的两个步骤来判断函数的奇偶性的, 它属于比较简单的题目, 属于基本的题型。但有的题目较复杂, 例如:

由上面的例子可知, 若函数的表达式较复杂时, 一定要对式子的特点进行分析才得出恒等式是否成立的结论, 必要时应对表达式先进行化简, 再根据定义进行判断。

另外, 判断函数的奇偶性也可以根据它的图像的对称性进行判断。如果函数的图像关于原点对称, 则该函数一定是奇函数, 如果函数的图像关于y轴对称, 则该函数一定是偶函数。反之, 若函数

的图像关于原点或y轴不对称, 则该函数一定是非奇非偶函数。

四、几个判断函数奇偶性例子的错解分析

分析:上述解题结论正确, 过程错误。因为f (x) 与f (-x) 不能同时有意义。因此, 正确的解法是, 只有判断函数的定义域关于原点不对称, 就可以直接得出结论, 而不用验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 是否成立。

分析:上述解题过程是错误的。很明显, 解题过程中没有考虑f (x) 的定义域是否是关于原点对称的数集。实际上, f (x) 的定义域是关于原点不对称的数集, 因此, f (x) =x2是非奇非偶函数。这道题也可以从它图像的对称性进行判断。

总之, 只要深刻地理解函数的奇偶性的定义, 那么, 判断函数的奇偶性就不难了。

摘要：函数的奇偶性是函数的重要性质之一。本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质, 函数按奇偶性的分类, 奇偶函数的图像特征以及几个常见的判别函数的奇偶性的错例分析。

关键词：奇函数,偶函数,函数奇偶性

参考文献

[1]陆利标.中学数学教与学.奇偶性的误区——忽视定义域.2007.

[2]韩忠月.高中数学教与学.高一数学测试题, 2007.

函数奇偶性综合练习题 篇13

§1．3．2函数的奇偶性

一．定义

前提条件：定义域关于

对称 奇函数表示式：f(-x)=

;偶函数表示式: f(-x)=

二．分类：

①

②

③

④

三．图像

四．运算

① 奇+奇= ②

偶+偶= ③

奇*偶= ④

偶*偶= ⑤ 奇*奇=

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f(x)x2x3x2 x[1,2]（2）f(x)x111

（4）f(x)2 xx45（1）f(x)x

（2）f(x)x

（3）f(x)x

2．设f(x)在R上是奇函数,当x＞0时，f(x)x(1x)

试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？

解：当x＜0时，－x＞0，所以f(x)x(1x)，又因为f(x)是奇函数，所以

f(x)f(x)[x(1x)]x(1x)．

函数奇偶性综合练习题 篇14

函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.3.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二.编写意图与教学建议

教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.1.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.2.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.3.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.4.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.三.教学内容及课时安排建议

本章教学时间约13课时。其中1.3 函数的性质 占3课时。本次集体备课着重分析第二课时《函数的奇偶性》。

一．教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性； 2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想． 3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点：

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 三．学法与教学用具

学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念． 教学用具：三角板 投影仪 四．教学思路

通过讨论归纳：函数f(x)x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)|x|1是定义域为全体实数的折线；函数f(x)1是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y轴对称．观2x察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

归纳：若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(x,f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

（二）研探新知

函数的奇偶性定义： 1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f(x)x2x[1,2]

x3x2（2）f(x)

x1解：函数f(x)x,x[1,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 2x3x2函数f(x)也不是偶函数，因为它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称．

x1例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4（2）f(x)x5（3）f(x)x11（4）f(x)2 xx解：（略）

小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数； 若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数． 例3．判断下列函数的奇偶性： ①f(x)lg(4x)g(4x)

12x1(x0)2②g(x)

1x21(x0)2分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)．

|4+x＞0且4x＞0=x|4＜x＜4，它具有对称性．因为解：（1）f(x)的定义域是xf(x)lg(4x)lg(4x)f(x，所以)f(x)是偶函数，不是奇函数．

（2）当x＞0时，－x＜0，于是

11g(x)(x)21(x21)g(x)

22当x＜0时，－x＞0，于是

111g(x)(x)21x21(x21)g(x)

222综上可知，在R∪R上，g(x)是奇函数． －+例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．

教材P41思考题：

规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

例5．已知f(x)是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明：f(x)在（－∞，0）上也是增函数． 证明：（略）

小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）课本P42 练习1．2 P46 B组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

函数奇偶性综合练习题 篇15

一、函数奇偶性的定义

定义:设函数f (x) 的定义域D关于原点对称。若坌x∈D, 恒有f (-x) =f (x) , 则称f (x) 为偶函数;若坌x∈D, 恒有f (-x) =-f (x) , 则称f (x) 为奇函数。例如, y=cosx是偶函数, y=sinx是奇函数。

由定义易知: (1) 常函数y=C是偶函数, 特别地, 当C=0时, 即常函数y=0既是奇函数也是偶函数; (2) 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称; (3) 偶函数在对称区间上具有相反的单调性, 奇函数在对称区间上具有相同的单调性; (4) 奇函数f (x) 若在x=0处有定义, 则f (0) =0。

二、奇偶函数的性质

(一) 奇偶函数的四则运算

设所考虑函数的定义域关于原点对称, 且不恒取零值, 则有以下结论成立:

两个奇函数的和 (或差) 为奇函数;两个奇函数的积 (或商) 为偶函数;两个偶函数的和 (或差) 为偶函数;两个偶函数的积 (或商) 为偶函数;一个奇函数与一个偶函数的和 (或差) 既非奇函数也非偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积 (或商) 为奇函数。

(二) 奇偶函数的反函数

1.偶函数在定义域内不存在反函数;

2.奇函数若在定义域内存在反函数, 则其反函数也必为奇函数。

(三) 奇偶函数的复合函数

设函数y=f [g (x) ]是由函数y=f (u) 和u=g (x) 复合得到, 且它们的定义域均关于原点对称, 则有以下结论成立:

1.若y=f (u) 和u=g (x) 都是奇函数, 则y=f [g (x) ]是奇函数;

2.若y=f (u) 和u=g (x) 至少有一个是偶函数, 则y=[g (x) ]是偶函数。

(四) 奇偶函数的导数

设函数f (x) 在其定义域上可导, 则有以下结论成立:

1.若f (x) 是奇函数, 则f′ (x) 是偶函数;

2.若 (fx) 是偶函数, 则f′ (x) 是奇函数。

即求导改变函数的奇偶性。

(五) 奇偶函数的原函数

1.若f (x) 是连续的奇函数, 则其所有的原函数均为偶函数;

2.若f (x) 是连续的偶函数, 则其必有一个原函数为奇函数。

特别地, 设 (fx) 是在对称区间[-a, a], 上连续, 则有以下结论成立:

3.若f (x) 是奇函数, 则覬 (x) 是偶函数;

4.若f (x) 是偶函数, 则覬 (x) 是奇函数。

三、函数的奇偶性在高等数学中的应用

(一) 奇偶函数在定积分中的应用

设f (x) 是在对称区间[-a, a]上连续, 则有以下结论成立:

(二) 奇偶函数在重积分中的应用

设二重积分, 则有以下结论成立:

1.若积分区域D关于y轴对称, 则

(i) 当f (x, y) 关于x为奇函数时, 即f (-x, y) =-f (x, y) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y) 关于x为偶函数时, 即f (-x, y) =f (x, y) , 有, 其中D1={ (x, y) | (x, y) ∈D, x≥0};

2.若积分区域D关于x轴对称, 则

(i) 当f (x, y) 关于y为奇函数时, 即f (x, -y) =-f (x, y) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y) 关于y为偶函数时, 即f (x, -y) =f (x, y) , 有, 其中D1={ (x, y) | (x, y) ∈D, y≥0}。

设三重积分, 则有以下结论成立:

(1) 若积分区域Ω关于x Oy坐标面对称, 则

(i) 当f (x, y, z) 关于z为奇函数时, 即f (x, y, -z) =-f (x, y, z) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y, z) 关于z为偶函数时, 即f (x, y, -z) =f (x, y, z) , 有

, 其中Ω1={ (x, y, z) | (x, y, z) ∈Ω, z≥0};

(2) 当积分区域Ω关于y Oz坐标面对称, 且被积函数f (x, y, z) 关于x有奇偶性, 或当积分区域Ω关于z Ox坐标面对称, 且被积函数f (x, y, z) 关于y有奇偶性时有完全类似的结论, 本文不再赘述。

(三) 奇偶函数在第一类曲线积分中的应用

设第一类曲线积分, 则有以下结论成立:

1.若积分曲线L关于y轴对称, 则

(i) 当f (x, y) 关于x为奇函数时, 即f (-x, y) =-f (x, y) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y) 关于x为偶函数时, 即f (-x, y) =f (x, y) , 有, 其中L1={ (x, y) | (x, y) ∈L, x≥0};

2.若积分曲线L关于x轴对称, 则

(i) 当f (x, y) 关于y为奇函数时, 即f (x, -y) =-f (x, y) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y) 关于y为偶函数时, 即f (x, -y) =f (x, y) , 有, 其中L1={ (x, y) | (x, y) ∈L, y≥0}。

本文只讨论了平面曲线的积分, 空间曲线的积分有完全类似的结论。

(四) 奇偶函数在第一类曲面积分中的应用

设第一类曲面积分, 则有以下结论成立:

1.若积分曲面∑关于x Oy坐标面对称, 则

(i) 当f (x, y, z) 关于z为奇函数时, 即f (x, y, -z) =-f (x, y, z) , 有I=0;

(ii) 当f (x, y, z) 关于z为偶函数时, 即f (x, y, -z) f (x, y, z) , 有

, 其中∑1= ({x, y, z) (|x, y, z) ∈∑, ∑1z≥0}。

2.当积分曲面∑关于y Oz坐标面对称, 且被积函数f (x, y, z) 关于x有奇偶性, 或当积分曲面∑关于zOx坐标面对称, 且被积函数f (x, y, z) 关于y有奇偶性时有完全类似的结论, 本文不再赘述。

(五) 奇偶函数在级数展开中的应用

设函数f (x) 在x=0处可以展开为麦克劳林级数, 则有以下结论成立:

1.若f (x) 是奇函数, 则其麦克劳林级数展开式中只含有x的奇次幂项, 即

2.若f (x) 是偶函数, 则其麦克劳林级数展开式中只含有x的偶次幂项, 即

设函数f (x) 在区间[-π, π]上可以展开成傅里叶级数, 则有以下结论成立:

(1) 若f (x) 是奇函数, 则其傅里叶级数展开式中只含有正弦项, 即

(2) 若f (x) 是偶函数, 则其傅里叶级数展开式中只含有余弦项, 即

四、结语

奇偶性是研究函数性态的重要知识, 在高等数学中应用十分广泛. 本文对奇偶函数的有关结论进行较为全面的归纳总结, 以促进学生对奇偶函数的认识和理解, 提高其解题能力。

摘要：介绍了函数奇偶性的定义和图形特征, 分析了奇偶函数的性质, 并讨论了函数奇偶性在高等数学中的若干应用。

关键词：函数,奇偶性,高等数学

参考文献