高中数学解题方法作用（共12篇）
联想即有一种心理过程而引起另一种与之相连的心理过程的现象。 知识的掌握过程中的联想即以所形成的问题的表征为提取线索，去激活脑中有关的知识结构。联想是使抽象化或概括化的知识得以具体化的必要环节，解决问题总是依赖过去的知识经验。 比如在解决数学问题时，根据所形成的问题表征，去激活回忆与该问题有关的知识方法、公式、定理、定义、学过的例题、解过的题目等，并考虑能否利用它们的结果或者方法，克服在引进适当的辅助元素后加以利用，能否找出与该问题有关的一个特殊的问题或一个一般的问题或一个类似的问题。 如果能够从所给问题中辨认出符合问题目标的某个熟悉的模式，那么就能提出相应的解题设想，进而解决问题。
在解题过程中，联想活动的进行将因问题的复杂程度和学生对所学知识的掌握程度的不同，而有扩展与压缩、直接与间接。意识到知识的重现与意识到知识的重现的分别，有些情况下，学生不能联想，难以激活原来的知识结构，或者即使联想，但联想的内容错误，常受到与其相近的比较巩固的旧的知识的干扰。 其主要原因是领会水平较低或者领会错误，或原有的知识不巩固，或缺乏联想的技能。 为产生准确而灵活的联想，除了要保证知识的领会和巩固外，还要有目的的进行联想技能的训练。
解析解题途径
解析即分析事物的矛盾，分析已知和未知双方的内部联系，寻找解决矛盾的条件和方法，数学解题中的解析即统一的分析问题中各部分的内在联系，分析问题的结构。 将问题结构的各部分与原有知识结构的有关部分进行匹配，解析的结果往往表现为提出解决当前问题的各种设想、制定具体的计划与步骤。探索解决问题的方法有多种多样，比如在解决数学问题时，可以通过分析、综合等基本的思维活动，并依据已有的知识，将问题的条件或结论作适当的变更和转换。
一、不等式中函数思想的运用
函数思想在不等式中能够充分的应用, 绝大部分的不等式证明问题, 需要将问题灵活的转化, 在发现常规的解题思路不能解决的过程中, 通常说明此种解题思路是错误的, 教师需要使学生掌握良好的思维能力, 通过合理的思维转化把问题变得更简单。绝大部分的不等式问题均能够利用函数给予分析, 从而得到针对性的答案。教师应该指导学生对不同类型的函数与之间的转换关系充分了解, 促使在函数构建的过程中, 可以很容易找到适宜的类型找, 同时, 可以更快、更准的将问题解决。
例如, 已知: 不等式x2+ mx + 3 > 4x + m恒成立, 同时, 0 ≤m≤4, 且x的取值范围。在对次不等是分析与解决的过程中, 可以将x作为自变量, 随后建立函数图像, 也就是y = x2+ ( m - 4) x + 3 -m, 于是, 将不等式转变成y > 0 恒成立, 同时m∈[0, 4], 再对x的取值范围进行求解。此中方法就是根据方程的方式将问题解决, 解题过程相对较麻烦, 一旦将其转变为f ( m) = ( x - 1) m + ( x2+- 4x + 3) > 0, 且m∈[0, 4]恒成立的过程中, 就能够很容易将x的取值范围求出, 也就是x < - 1 或者x大于3。
二、方程中函数思想的运用
在数学方面来看, 方程与函数是具有紧密的联系, 函数中具有方程中全部的内涵, 而方程也是函数中的重要组成部分, 因此, 将函数思想在方程问题中应用, 是一种切实可行与便捷的方法。
例如, 已知方程 ( x - d) ( x - c) = 2, 其中方程的两个根为p与q, 同时, c < d, p < q。求: 实数c、d、p、q间的大小关系。此问题可以利用函数思想进行解答。根据函数的思想把方程转变为两个函数: 将方程式转变为f ( x) = ( x - d) ( x - c) - 2 与g ( x) = ( x - d) ( x- c) 。随后, 做一直角坐标系, 同时, 将f ( x) 与g ( x) 图像分别在直角坐标系中完成, 根据对函数图像与x轴的焦点的观察, 可以知晓答案, 也就是p < c < d < q。根据上述问题可以看出: 在对数学题解答的过程中, 学生们必须将思维角度适当的转换, 将方程问题转化为函数问题, 把部分复杂且较难的方程问题转换为函数图象与x或y轴交点的问题, 就能够更清洗、更明了地将原来问题解答。
三、数列中函数思想的运用
数列在高中数学可以是一种较特殊的函数, 通项公式即函数解析式。数列的核心指根据自变量获得离散数值的一种特殊函数。因此, 在对数列问题解答的过程中, 可以把函数模式与函数性质合理应用, 其有利于对数列的含义、通项与等差、等比数列中的单调性等相关问题更好的理解与掌握。
例如, 在对{ an} 等差数列中, 将d = ( an- ap) /n - p, 公差d的几何意义为坐标中表明此等差数列中每一项点所在直线的斜率;随后, 等差数列的求和公式Sn= na1+ 1 /2n ( n - 1) d在求解的过程中, 可以将此等式转变为Sn= 1 /2dn2+ ( a1- 1 /2d) n, 在d≠0 的情况下, 就转变为关于n的二次函数。
四、最优解问题中函数思想的运用
最优解问题是高中数学中较为常见的一种类型, 此种考察模式在绝大部分的问题中都较为常见。最优解问题, 是一种最为常见的应用函数思想辅助解决的一种问题。一旦没有合理的构建函数问题, 一般情况下其解答过程较复杂, 严重的时候回出现没有解题思路的现象, 根据题设条件科学的构建函数, 问题除了可以变得更直观、更清晰以外, 解题过程也会更简化, 所以, 数学教师在数学教学过程中, 需要对此类问题给予充分的重视, 加强对其的练习, 除了可以促使学生感受到函数思想的应用方式以外, 还可以便于对此种方法更好的掌握, 使学生了解到函数思想的应用, 可以将实际问题更好的解决。
最优解问题十分典型, 如在人们日常经济活动中, 如何根据最低成本与最短的时间, 获取经济效益的最大化, 是每个领导者与经营决策者都需要考虑的首要问题, 对于此种问题, 在数学中将其称为最优化问题, 针对此种问题, 一般情况下应该选取较好控制的一个因数作为自变量, 同时, 合理建立函数模型针对此问题进行解答。在对此类问题解析的过程中, 通过分析尽可能的将部分实际问题列出内在的函数关系式, 随后根据函数存在的有关性质, 科学的函数模式的构建, 可以促使最优解问题更直观、更简化, 同时, 也有有利于问题更快、更准地解决。
五、总结
由此可见, 教师在高中数学教学中应用函数思想, 是一项系统性与长期性的工作, 其除了可以更好地使学生认识问题与理解问题, 还可以促使课堂教学效率的不断提高, 对高中教学的发展具有促进作用。
参考文献
[1]张百香.用函数思想指导高中数学解题[J].考试周刊, 2014, (82) :59-60.
[2]聂毅.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].课堂内外, 2013, (11) :50-51.
【关键词】 高中数学 解题方法 解题技巧
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）05-023-01
数学的学习方法不同于语文、英语、政治、历史等文科学科的学习方法。文科学习时，需要学生死记硬背，产生语感，在脑子中形成深刻的记忆。学习数学时，万万不可采取此类方法。学好数学，关键在于掌握正确有效的解题方法和解题技巧，做到举一反三，触类旁通。在数学教学过程中，老师们要做的不仅仅是让学生理解课本内容，更重要的是让学生掌握解题方法，从而让学生以后在遇到相似问题时，可以自己独立解决。
1. 整体法解题技巧探究
整体法解题技巧对于数学的学习有不可磨灭的作用，因此，如何掌握好整体法解题技巧显得至关重要，下面笔者将简单介绍一下整体法解题技巧的一般步骤。
1.1构建整体法思想
传统的数学教学方式一般采用从局部到整体的模式，就好比教学生们认识大树时，先告诉他们树叶的形状，颜色，特征，然后再告诉他们大树的形状，颜色等特点。显而易见，这种传统教学方法对于数学教学来说，效果并不理想，为了提高课堂效率，老师们开始寻求新的教学方法，于是出现了整体法。整体法与传统教学方式截然不同，反其道而行，即整体法教学模式采用从整体到部分的方式，先认识大树，再认识树叶，即先了解整体再研究组成整体的各个部分。这种方法有助于学生们养成整体意识，遇到问题知道如何从体到面，再从面到点，一步一步地进行有步骤，有规律的分析。
当学生们准确掌握了整体思想的要领时，知道分析数学问题要从整体到部分，即先找出问题的主干线，然后顺着主干线找出各个部分的小问题，从而解决各式各样的复杂数学问题。学生们拿到立体几何问题时，往往像丈二的和尚，摸不着头脑，对于问题，不知道该从何下手。这个时候如果利用传统方法，解决问题的话，那么就很难了，没有主干线，思维紊乱，最终即使得出正确答案，往往也是使用了过多的时间和精力，即是事倍功半。使用整体法解题技巧，解题速度就快很多了，往往事半功倍。此时，沿着解决立体几何问题的两条主干线，即证明和计算，然后再一步一步地分析部分，从而解决所有此类数学问题。
1.2构建数学整体
要想学习好高中数学，需要将所有高中课堂上所讲的旧的数学知识都有效的组合起来，从整体出发，从而解决新的问题。学以致用的过程就是，利用旧知识构建数学整体的过程，在此过程中，切忌纠结于单个元素。有一部分同学在学习时，往往不注重对旧的知识运用，认为他们对于解决新问题没有多大作用，这就大错特错了。问题中有时需要运用我们以前学过的知识来证明，由此可见旧的知识对于解决数学问题的重要性。但是有些同学在构建数学整体过程中，往往过于纠结于单个元素，因此解题效果往往不高。比如说，计算22.5度的三角函数值，纠结单个元素的同学们就会想办法，计算22.5度的函数值。然而22.5度这并不是我们常用的三角函数值，因此计算的话，非常复杂。懂得如何构建整体的学生，知道如何避免纠结于单个元素，从整体出发，理解出题者的出题思想。利用44.5度这个熟知的函数和三角函数的正弦定理和余弦定理，从而轻松算出22.5度这个角的三角函数值。运用此方法，不仅可以简化此类数学问题的解题步骤，而且还复习了以前的数学知识，真可谓一举两得。
2. 构造法解题技巧
构造法在所有数学解题技巧中熠熠生辉，因为此类方法新颖，独特，灵活，快速，深受学生们和老师们的青睐。因此如何学好构造法的解题技巧，对于学好高中数学显得也尤为重要。下面笔者将简单介绍一下，如何学习使用构造法。
2.1注重培养学生兴趣和联想思维
兴趣是学习一切事物的前提，没有兴趣的话，即使在后面用鞭子抽打学生们，估计也没有任何一丁点效果，然而带着兴趣去学习的话，那结果就大大不同了，往往事半功倍。
构造法解题成败的关键在于学生们是否具有联想思维。构造法解题技巧就是构造与题目有关的数学模型，这种构造并不是凭空想象的，而是根据数学题目要求，通过联想思维创造出来的。
2.2注重除构造函数之外其它数学方法的学习运用
构造法作为解决数学问题的一种方法，与其它数学方法有所不同，但是在实际解题过程中，往往很难分清彼此。因此，要想更好地运用构造法的解题技巧，要学习运用好其它数学方法。构造法一般包括，构造函数、构造图形、构造方程、逆向构造。这些方法在数学方法上分别由其各自的对应项，分别为函数思想、数形结合、方程思想、逆向思维等数学思想。由此可见，构造法与其它数学解题法，无法彻底划清界限，你中有我，我中有你。
3. 总结
综上所述，掌握正确有效的解题方法和解题技巧，可以帮助学生快速解题，同时培养好的数学素养。本文以上就整体法和构造法进行了简单介绍。整体法让学生养成整体意识，遇到问题知道沿着体——面——点的路线进行分析，从而让所有问题迎刃而解。构造法新颖，独特，灵活，快速，当遇到适合使用构造法解决的数学问题时，运用此方法可以十分迅速。
参考文献：
[1]许长青.新时期我国高等教育办学主体多元化理论与实践研究[D].广西师范大学，2003.
[2]胡大欣.试论我国加大高等教育市场化改革力度的动因、问题和对策[D].暨南大学，2003.
应对策略必须抓牢：学生害怕“压轴题”，恐怕与“题海战术”有关。中考前，盲目地多做难题是有害的。从外省市中考卷或从前几年各区模拟考卷中选题时，特别要留意它是否超出今年中考的考查范围。有关部门已明确，拓展ii的教学内容不属于今年中考的范围，如代数中的“一元二次方程的根与系数的关系”、“用‘两根式’和‘顶点式’来求二次函数的解析式”、“二次函数的应用”等，几何中“圆的切线的判定和性质”、“四点共圆的性质和判定”等，因此这些内容不可能作为构造压轴题的“作料”。
为了应对压轴题，教师可以根据实际，为学生精选一二十道，但不必强求一律，对有的学生可以只要求他做其中的第(1)题或第(2)题。盲目追“新”求“难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题，结果必然是得不偿失。事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上，因此在最后总复习阶段，还是应当把功夫花在夯实基础、总结归纳上，老师要帮助学生打通思路，掌握方法，指导他们灵活运用知识。有经验的老师常常把压轴题分解为若干个“小综合题”，并进行剪裁与组合，或把外省市的某些较难的“填空题”，升格为“简答题”，把“熟题”变式为“陌生题”，让学生练习，花的时间虽不多，但能取得较好的效果。我认为：综合题的解题能力不能靠一时一日的“拔苗助长”而要靠日积月累的培养和训练。在总复习阶段，对大部分学生而言，放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使他们得益。
以上就是高中数学竞赛解题方法的相关建议，希望能帮助到您。
简单地说，《考试说明》就是对考什么、考多难、怎样考这三个问题的具体规定和解说。《教学大纲》则是编写教科书和进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。我们可以结合上一年的高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命题的变化规律。
2学习计划
弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。
拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。
执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。
3运算技巧
以“错”纠错，查漏补缺：这里说的“错”，是指把平时做作业中的错误收集起来。高三复习，各类试题要做几十套，甚至上百套。如果平时做题出错较多，就只需在试卷上把错题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷看一看。在看参考书时，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记，以后再看这本书时就会有所侧重。查漏补缺的过程就是反思的过程。
以本为本，把握通性通法：近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。尽管复习时间紧张，但我们仍然要注意回归课本。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。
4几何公式
1.把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
2.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
3.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
4.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
5.正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
6.正三角形面积√3a/4 a表示边长
7.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
8.弧长计算公式：l=nπr/180
9.扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/2
答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整。要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答。解答数学问题是有严格的格式化要求的。哪一类题型该用什么格式答题，教材上是有明确规定的，高考命题给出的标准答案是按照教材上的规定解答的，不符合要求的要扣分。
应用问题，解出结果之后要标明单位，要写出结论性的答案，要有一个专门的作答过程．
利用数学归纳法证明数学问题，完成n=n0和n=k到n=k+1的证明之后,要有一个结论性的表述：由1°,2°可知，命题对从0n开始的所有正整数都成立.凡是解不等式问题，其结果一定要写成解集的形式.求函数y= f(x)的定义域和值域：函数y= f(x)的定义域是自变量x取值的全体构成的集合；函数y= f(x)的值域是函数值y的全体构成的集合.求函数y= f(x)的单调区间问题.如:函数f(x)=1/(x-1)的单调区间--------(−∞,1)和(1, +∞).1.解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示，三角方程的通解中必须加k∈Z。在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开。
2.带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“解答”。
3.分类讨论题，一般要写综合性结论。
4.任何计算结果要最简。
5.排列组合题，无特别声明，要求出数值。
6.函数问题一般要注明定义域。
7.参数方程化普通方程，要考虑消参数过程中最后的限制范围。
8.轨迹问题
①注意轨迹与轨迹方程的区别。轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹需要说明图形情况。
②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x或y的范围。
一、有关函数单调性的分析
1．苏教版高中教材中关于函数单调性的概念解释
一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，区间ⅠA．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性．
2．函数单调性的作用
高中学生通过一次函数和二次函数的学习，已经初步的了解了函数的增减性问题．高中数学中的单调函数的学习要从函数的定义和概念出发进行了解和学习，函数的单调性是高中学生学习函数的最初了解，利用数学的符号和例子进行解释是最佳的方法，函数的单调性是一种变量的变化，学生会通过直观感受、文字描述和严格定义进行了解．函数的单调性是学习函数其他作用的基础，同时，函数的单调性也是解决一些数学问题的基础．
二、函数单调性的解题方法研究
1．用导数的知识来进行解答
可导函数的解题方法是在求导的基础上发展起来的，通常是比较简单的方法．求导是解析函数单调性的前提．高次函数和含参函数的单调性问题，也是利用求导解析函数单调性的最好方法．
比如2013年江苏高考中有这样一道题目:设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．求:(1)若函数f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围．
解:因为f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x，考虑到函数f(x)定义域为(0，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，所以a>0．令f'(x)<0得x>1/a，所以f(x)在区间(1/a，+∞)上是单调减函数．由于f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，故(1，+∞)(1/a，+∞)，从而1/a≤1，所以得a≥1．令g'(x)=ex-a=0得x=lna，当x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>lna时，g'(x)>0,g(x)单调递增;又g(x)在(1，+∞)上有最小值，所以lna>1，得a>e．所以，a的取值范围为(e，+∞)．
2．复合函数的解题技法
如果出现内外函数单调性相反，那么复合的函数就是一个减函数．如果内外函数的单调性相同就是增函数．在复合函数的解题过程中，可以把复合函数进行分解，分解成为内外两种函数，再对这两种函数的单调性进行分别的分析和研究，能够快速的得出复合函数的单调性，对于复合函数来说，分解是比较好的方法之一．
比如，判断复合函数f(x)=4x2+1的单调性，要首先区分出外层函数f(t)=4t，内层函数t=x2+1．由于内层函数是关于对称的偶函数，在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上递增;外层函数f(t)=4t作为指数函数，在(-∞，+∞)上递增．因此依据复合函数同增异减的特性可知，当x在(-∞，0)取值时，f(x)=4x2+1单调递减，当x在(0，+∞)取值时，f(x)=4x2+1单调递增．
3．用函数的图象解答
运用函数的图象可以看出函数区间的增减性趋势，然后进行解题．在单调的区间上如果图象中出现上升的形式，并且x值一直的增大，那么这种函数就是增函数．在函数单调性的教学过程中，教师可以让学生对常见的函数图象进行记忆，这对于解题是非常有帮助的．在函数的图象解题中还涉及到函数的奇偶性．奇函数在原点对称的区间上单调性相同，而偶函数在原点对称上单调性相反．
已知,(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)>0．在判断此函数为偶函数的前提下，在对第二问进行求证的时候，要证明x>0时，f(x)>0，也就是对进行验证就能减少运算的步骤．
4．函数的定义法解题技巧
已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1)，若f(1-m)-f(m2-1)<0，求m的取值范围．
解:由函数的单调性定义可知，若函数y=f(x)在区间I上为单调增函数，且f(x1)<f(x2)，那么x1<x．判断出f(x)在区间(-1,1)上是单调增函数，因此，f(1-m)-f(m2-1)<0，可化为f(1-m)<f(m2-1)，根据单调性的定义可得1-m<m2-1,-1<1-m<1,-1<m2-1<1，从而求出m的取值范围为
关键词：高中数学；排列组合；解题方法
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-100-01
高中数学教学大纲将排列组合加入到高中数学教材中，该部分内容与学生的生活有紧密的联系，且具有较强的抽象性与灵活性，这也是学生学习起来比较难以掌握的地方。排列组合概念十分简单，而运用到实际解题中学生却容易出错。随着近几年高考题着重考察学生的抽象思维能力的变化，排列组合越来越受到高考题的青睐，往往会在选择、填空、应用题中出现，学生们往往一看见排列组合的题，就会心生畏惧，对解题形成了很大的心理障碍，以致于在这方面失分。这就要求教师在平时的教学中应教给学生解题策略，使学生掌握解题技巧，从而能够无所畏惧地进行解题。现结合多年的教学经验，对高中数学中排列组合的解题方法浅谈以下几点：
一、认真区分排列与组合，提高解题正确率
乍一看排列与组合的概念十分相似，许多同学对于这两个概念根本没弄清楚。因此，在平时的教学中教师就应该向学生讲解排列与组合概念的区别，让学生明白排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有更深层次的了解，在解题的过程中也能够充分运用好。若在解题过程中忽视了排列与组合的区别，容易得出错误的结果。如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？在解这道题时有的同学没有认真读题，错误地认为是将10个相同的帽子进行排列，所以得出了 种排列方法。得出这样结果的同学在读题中未注意到完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使发生了位置的变化，排法也是同一种。因此，应这样分析：10个帽子对应着10个位置，在10个位置中选择4个红帽子的位置，剩下的位置留给黑帽子，又因为4个红帽子是完全相同的，所以属于是组合的问题，因此得出的排法应该是 种。
在平时的教学中教师应指导学生多进行练习，并能够举一反三，让学生再次遇到类似的问题能够轻而易举地得出答案。
二、引导学生掌握常用的基本解题方法
1、插空法。
插空法在排列组合题目中较为常用，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排列，再将题目中要求不相邻的元素插入到其他元素的空隙及两端。这一方法在“男女生座位”中更为多用。如：班级座位的一个纵列有7名女生和4名男生，要想将4名男生分开，任何2名男生不能前后相邻，问有多少种排法？通过分析可知7名女生不同排法有 种，7名女生中间的空隙及两端共有8个位置将4名男生插进去，共有A84种，因此，任何2名男生不得前后相邻共有 种排法。在平时的学习中应向学生灌输该方法的优点，让学生活学活用。
2、特殊优先法。
特殊优先法就是在解题过程中优先考虑有限制条件的元素，该方法在“小球排列”中较为多用。如：共有12个小球，其中1个白球，5个红球，6个蓝球，要求相同颜色的小球必须排在一起，且不能将白球放在两边，问共有多少种排法？在解这类题目时应将三种颜色的球看作一个整体，而白球受到了限制不能放在两边，所以应该优先考虑，其他两种颜色的球又各自全排列，因此，得到的结果是 种。
3、捆绑法。
指的是在解决要求某几个元素相邻问题时，可将相邻元素整体考虑。如：将7把椅子排成一列，其中a、b两把椅子必须排在一起，问共有多少种排法？类似于这样的题目可以使用捆绑法解决，将a、b两把椅子看成一个整体，与其余的5把椅子进行全排列共有 ，而a、b两把椅子的排列有 种，因此可得出共有 种排法。
在实际的教学中教师应指导学生以上以上三种常见的方法相结合，并能灵活运用。
三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣
在排列组合的教学中教师若只是枯燥地讲解，或是留给学生大量的练习题，而并不是结合学生的实际进行操作，一来学生提不起学习的兴趣，二来不能提高做题效率。因此，在教学中教师应从实际出发，寻找与学生贴近的题目，如颜色球的排列、帽子的排列、油画的排列、占位子等等很多有趣的题目。教师可以利用这些题目让学生进行实际的操作，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也间接提高了学生们的动手能力。例：占位子的问题，有五个从1-5编好号的同学，有5把同样编号的椅子，要求，只有两名同学坐在与其编号相同的椅子上，有多少种不同的方法？这样具有现实意义的题型，教师完全可以让学生亲自来体验，将五名同学和五把椅子编号，让学生在教师指导下，自己完成多种座位的方法，这样不仅调动了学生们学习的积极性，又活跃了课堂气氛，对学生们排列组合的学习是有极大益处的。
总之，在高中数学教学中，教师应注重排列组合的教学，多结合生活实际进行讲解，使学生根据不同类型的题目掌握不同的解题方法，以为后面概率的学习打下坚实的基础。而排列组合的解题方法不止上文提到的三种，在具体的教学中教师还应根据题目要求，选择合适的解题方法，有时候不同的解题方法间可结合运用，最终以学生掌握解题技巧为目的。
参考文献：
[1] 赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014（03）
[2] 王 庶.例析排列组合的常见题型[J].高中生学习（高二版），2014年11期
在近年的高中教学中，存在着一个普遍的问题：有些学生课堂似乎能够听得懂，教材内容也能读得懂，可就是在各种类型的考试中总有不少试题不会解答，以致成绩难以提高。这一问题的主要原因存在于教师的教和学生的学两个方面，应当从教师和学生两个方面下功夫才能有效解决。
从教师方面看，应积极改进教学行为：
一、强化敬业精神，提高课堂教学效果
目前实施的新一轮课程改革倡导教师要实现由教学生“学会”到教学生“会学”的转变，学校应切实加强教师职业道德建设，重点强化这部分教师的敬业精神，增强其负责意识和工作热情，引导其充满激情地上好每一节课，吃透教情和学情，把教师的教和学生的学有机地结合起来，保证《教学大纲》、《课程标准》规定的“应知”、“应会”目标的实现。
二、根据学生实际，合理确定教学的起点和难度
同级、同班高中学生之间存在着很大差别，教师要通过课堂、作业、测验、反馈和调查等方法，掌握学生的学业基础和接受能力，对不同层次的学生可制定不同层次的教学目标要求，使所有学生掌握基础知识和基本技能，会做基础题，稳拿中档分。在此基础上，再考虑适当提高优秀生的需要。
三、选择典型试题，突出课堂训练
“学习的目的全在于运用”。新课改强调要提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，课堂教学中“以训练为主线”的指导思想必须坚持。讲授新知识后，应选择具有典型性、代表性的例题向学生作解题示范，再由学生上讲台或在练习本上做同类试题，掌握解题的基本规律、方法和思路，达到举一反
三、触类旁通之程度。教师讲例题，要把重点放在试题分析和解题思维方法的构想上，使学生从中学会基本的方法和技能。
从学生方面看，应切实改进学习行为。
一、增强学习信心，端正学习态度
面对激烈的高考竞争，一些同学缺乏必胜的信念，对自己要求不严，同学们一定要明确学习目的，充分认识高中阶段是每个同学学业发展变化的关键时期，一切全在自己努力。只有下功夫，谁都能成功。从而增强信心，转变学习态度，专心致志、聚精会神地去学习。
二、抓住中心环节，课堂认真听讲
据调查，不少同学不会做题的原因，主要是对一些基础知识似懂非懂，或者缺乏解题的思路和方法。解决之法是应大力关注老师讲解例题的分析过程和解题步骤，掌握运用本节所学知识解题的基本规律及其综合运用知识分析问题的思路。这样，解题答卷能力就能从根子上提高。
三、遵循学习规律，力求融会贯通
解题能力是以扎实的知识功底作基础的，提高解题能力，必须着手知识的全面学习掌握和融会贯通。按照学习的一般规律，除课堂认真听讲外，对学习难度较大的课程，课前必须预习，读熟课文内容，找出重点和难懂的内容，为课堂学习打好基础。所有课程都应当在课后认真复习巩固。
四、强化解题练习，达到熟能生巧
1.直选法(再现法):心理学家认为识记过的知识重现在人们面前时，人们能明确地把它们再认再现出来根据题干要求，对各选项进行分析，可以直接判断正确答案
2.排除法(排谬法):主要针对较复杂的选择题，因罗列的地理事物和现象较多，一时难以做出正确选择，这时可以把这些选项与题干条件逐一对照，将错误的选项逐一排除掉，缩小判断范围然后根据题干的其他条件，在缩小的范围内再逐渐淘汰排除，最后剩下的就是正确答案，但也要做最后的复查
3.排序法:选择题中经常出现按时间组合、空间组合，时空组合的题目，这类题目的解答应根据事物的发展规律和分布规律，考生首先自己试着排序，再按题干要求，与备选答案进行对照，如果二者相符则为正确答案
4.优选法:题目提供4个选项如果都符合题干要求，但题干中又有“最”“主导”“主要”“第一”“核心”等字样，就应该采取优选法进行取舍
5.对应法:两组或两组以上的事物(现象)对应选择，必须辨明它们之间的内在联系，以免张冠李戴
6.图解法(图像法):图解法(图像法)是根据题干要求考生画出示意图来辅助解答选择题在应对地理分布、运动规律、空间想象等这些类型的考题时，可以根据题干所提供的条件绘制出图形，即以图再现题干要求，以图解文有助于分析，从而找出正确答案
7.转换法:有时命题者会用同一事实的两种解说，来检查考生的思维灵活性和知识迁移能力，考生在解题时可将命题条件转换成与该条件意义相同的另一种说法，即转换形式
8.读图法:读图法与图解法有所不同，它是根据题干提供的相关示意图、表格或图像，分析题干要求的有关问题，从而做出正确的判断
9.逆向思维法:逆向思维法是指改变思维角度来分析问题，有时候能起到事半功倍的效果
10.逻辑推理法(演绎法):任何地理事物都具有一定的地理属性和地理特征，根据题干所提供的条件，判断某种事物是否具有某种性质或结果，需要进行逻辑推理或运算才能得出正确的结论，这种方法即为逻辑推理法(演绎法)。
地理选择题巧用五法：
一是排除法:如对于给定的条件是多个的题目，可先根据题目的某一条件，在被选项中找出符合这一条件的对象，其余淘汰，缩小范围;然后再根据题目的其他条件，在缩小的范围中逐渐进一步淘汰，最后选出符合题目要求的正确选项。如果肯定某个是对的，那么排除没有该选项的也可以。
二是反证法:是通过证明逆命题是错误的，从而得出命题的正确性。
三是信息转换法:将题目中的信息转换成自己熟悉的内容或便于理解的形式，达到化难为易、快速求解的目的。
四是图解法:根据作图来辅助解答。在地理分布、运动规律、空间想像等方面,可以根据题干所提供的条件绘制出图形,即以图再现题干要求,以图解文有助于分析,从而找出正确答案。
五是数据比较法：有些地理事物的本质特征需要定量分析，并对一些相关的量和量的变化趋势进行比较，才能获得正确答案。
地理学科主观题解题技巧：
自然地理答题——找到解题的关键点。如“日照图”，最关键是根据图中的信息找到“三点”,即太阳直射点、晨昏线与纬线的切点和晨昏线与赤道的交点，找到了交点,就知道了交点所在经线的时刻和昼夜长短情况等,问题就迎刃而解了。
人文地理答题——容易丢掉“采分点”，介绍几个技巧：
一是细致与简略:应尽量具体细致,但如果没有把握,可答得适度模糊一些。
二是适当多写：问什么答什么，但如果没把握,怕把知识点漏答,就多答些点。
三是先答主要的：尽量抓知识的主要方面,实在没把握怕抓不到,则主次一起抓,但要注意把最精彩、最重要的“采分点”尽可能放在前面。
四是分值与采分点：采取找约数原理。如果该题是6分,一般需答2点、3点或6点。
五是将要点进行编号。高考阅卷通常是“采点给分”，将一个小题目的各个知识点根据题目要求合理划分为一个个的要点。对于所有的要点要进行编号，编号有利于提高答案的条理性和清晰度。
最后，提醒大家一定要保持良好的心理状态，克服对文综学科的“恐惧”。要充分认识到：学习的困难和压力是每个考生都要面对的问题，相信自己只要认真学习，刻苦努力，就一定会在高考中取得理想的成绩。
关键词：数学；思想方法；高中；应用
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）08-264-01
数学思想、数学方法很多，这里仅就高中教材中和考试题中常见的四种：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想作些探讨，让学生从中体会四种基本数学思想方法在解题中的重要作用。
函数思想就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决的思想。
方程思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型—方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想。
1、函数与方程的思想
函数与方程的思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。数学中很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，即函数与方程可相互转化。
下面来看这样一道例题：
例1：和 的定义域都是非零实数集，是偶函数，是奇函数，且求的取值范围。
分析：已知两个函数的和，求商，好象从未见过。我们不能只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“是偶函数，是奇函数”，于是就有，又有再把换成。这时不能再把 当函数解析式来看了，知道了+，-就可以把它们当成两个未知数，只需去解一个二元一次方程组问题就解决了。
由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考察的重点，它在解析几何、立体几何、数列等知识中都有广泛应用。
2、数形结合的思想
数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述，代数论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。
数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。
看一道数形结合的例题：
例2：已知关于x 的方程=px，有4个不同的实根，求实数p的取值范围。
分析：设y = = 与y=px这两个函数在同一坐标系内， 画出这两个函数的图像
（1）直线y= px与y=-（x-4x+3），x[1，3]相切时原方程有3个根。
（2）y=px与x轴重合时， 原方程有两个解， 故满足条件的直线y=px应介于这两者之间，由：得x+（p -4）x+3=0，再由△=0得，p=4±2，当p=4+2时， x=-[1，3]舍去， 所以实数p的取值范围是0在数学中只要我们注意运用数形结合思想，既可增加同学们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。
3、转化与化归的思想
转化与化归思想是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要思想方法。通过不断转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。
转化与化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用转化与化归的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义
看一个简单的例子：
例3：求函数的最值
分析：若平方、移项等，你会发现这些尝试都是徒劳无功的。我们注意到：可以把换成什么？有了，也是在上的！
从某种意义上讲，解答每一道题都是通过探索而找到解题思路，通过转化达到解题目的。转化时，一般是把一个领域内的问题转化为另一个领域内的问题；把实际问题转化为数学模型；把陌生繁复的问题转化为熟悉，简单的问题等。
4、分类讨论的思想
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”。
分类讨论时，必须遵循两个原则：（1）对存在总域的各个子域分类做到“既不重复，又不遗漏”；（2）每次分类必须按同一标准进行。数学分类思想的关键在于正确选择分类标准，要找到适当的分类标准，就必须运用辨证的逻辑思维，就必须对具体事物具体分析，在表面上极为相似的事物之间看出它们本质上的差异点，在表面上差异极大的事物之间看出它们本质上的相同点。这样才能揭示数学对象之间的内在规律，对数学对象进行有意义的分类。
分类讨论难免会有点繁琐，看似一道题，却相当于几道题的工作量。但当目标不明确时，分类讨论就是开门钥匙了！
分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。
一、数学选择题的题型特点
数学选择题属于客观性试题, 它具有概括性强, 知识小巧灵活, 覆盖面广, 且有一定的综合性和深度等特点。选择题不设中间分, 一步失误, 造成错选, 全题无分。绝大部分的数学选择题立意新颖, 构思精巧, 具有较强的迷惑性。选择支内容相关相近, 使人真伪难辨。数学选择题技巧性强, 灵活性大, 知识面广, 综合性强, 内容跨度也较大。
二、数学选择题的解题基本策略与注意点
解数学选择题, 应先仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏, 确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条件。对于选择题的答题时间, 应该控制在不超过36分钟左右, 速度越快越好, 高考要求每道选择题平均3分钟完成。灵活、巧妙、快速地选择解法, 以便快速智取。一般说来, 能定性判断的, 就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断的, 就不必采用常规解法;能使用间接法解的, 就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择支应及早排除, 以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的, 宜选最简解法等。这就是解选择题的基本策略。
解选择题的注意点:
1. 注意审题, 理解题意, 深入分析, 注意挖掘题目中的隐含条件;2.反复析题, 去伪存真, 提高解题的准确率;3.寻找突破口, 抓住关健, 化难为易, 化繁为简, 找出正确答案;4.正确推演、谨防疏漏, 稳扎稳打, 认真核对与检验, 不出现偏差;5.忌讳见题就埋头运算, 按解答题解题思路而小题大做, 费时费力, 也有可能得不到正确答案。
三、数学选择题的几种常用解题方法
由于选择题不要求写出中间过程, 只需用各种不同方法迅速、准确作出判断, 因而其解法有其独特的规律和技巧。解数学选择题的常用方法, 主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大, 如果所有选择题都用直接法解答, 不但时间不允许, 甚至有些题目根本无法解答。因此, 我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法。
1. 直接法。
直接法是解答选择题最基本、最常用的方法。它直接从题设出发, 利用数学有关知识, 通过严密的推理和准确的运算, 得出正确的结论。这种由因导果的方法是解选择题的最常用、最基本的方法。涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法。直接法的思路是肯定一个结论, 是将选择题当作解答题求解的常规解法。对一些为考查考生的逻辑推理能力和计算能力而设计编拟的定量型选择题常用直接法求解。
例1设f' (x) , g' (x) 分别为f (x) , g (x) 的导函数, 且满足f' (x) g (x) +f (x) g' (x) <0, 则当a
简析:用直接法。构造函数F (x) =f (x) g (x) , 则F' (x) =f' (x) g (x) +f (x) g' (x) <0, 知F (x) 在 (a, b) 内单调递减, 有F (x) >F (b) , 即f (x) g (x) >f (b) g (b) , 则选C.
2. 图解法。
根据题意, 画出相关的图形, 然后根据图形的画法及相关性质、特征, 得出结论。本质是将数的问题转化为图形问题, 利用图形的直观性, 再辅以简单计算, 确定正确答案, 这种解法称图解法。图解法贯穿重要数学思想——数形结合思想, 这种解法既简捷又迅速, 有很大实用性。
例2已知偶函数y=f (x) (x缀R) 满足f (x+1) =f (x-1) , 且x缀[0, 1]时, f (x) =x, 则方程f (x) =log3x的解的个数为 ()
A.1个B.2个C.3个D.4个
简析:用图解法。题意知, 函数最小正周期为T=2, 则画出如图图象, 由图象观察知, 选C.
3. 特例法。
特例法在几何中也称特形法。就是运用满足题设条件的某些特殊数值、位置、关系、图形等对各选择支进行检验或推理, 利用问题在某一特殊情况下不真, 则它在一般情况下也不真的原理, 由此判明选项真伪的方法。正确的选择对象, 在题设普遍条件下都成立的情况下, 用特殊值 (或特殊图形) 进行探求, 从而清晰、快捷地得到正确的答案, 即通过对特殊情况的研究来判断一般规律, 是解答本类选择题的最佳策略。特例法对考生的直觉思维能力和策略创造能力是一个很好的锻炼。
例3已知f (x) 是R上的增函数, 若令f (x) =f (1-x) -f (1+x) , 则F (x) 是R上的 ()
A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数
简析:用特例法。取特殊函数f (x) =x, 则F (x) =f (1-x) -f (1+x) =2, 知为减函数。则选B.
4. 筛选法。
数学选择题的解题本质就是去伪存真, 舍弃不符合题目要求的错误答案, 找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论, 以缩小选择的范围, 再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后, 结论只有一个, 则为应选项。筛选法适用于题目题设条件未知量较多或关系较复杂, 不易从正面突破, 但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的题目。筛选法思路是否定三个结论, 有些问题在仔细审视之后, 凭直觉可迅速作出筛选。
例4对于R上的可导的任意函数f (x) , 若满足 (x-1) f' (x) ≥0, 则必有 ()
简析:用筛选法。若f (x) =m (m为常数) , 则f (0) +f (2) =2f (1) , 去A、D;若f (x) 为非常数函数, 有x>1时单调递增, x<1时单调递减, 则x=1为函数的极小值点, 去B。则选C.
5. 特征法。
根据题目提供的数值、结构、整体与图形位置特征, 可进行简捷、快速推理, 从而作出正确的判断的方法称为特征法。用特征法解题, 关键是寻找选择题的条件与结论之间的特殊关系。通过对题干和选择支的关系进行分析, 挖掘出题目中的各种特征, 从而发现规律, 快速辨别真伪。
例5若, 0
简析:用特征法。则题意知tanx<0, 则x为钝角, 即cosx<0, 分析选择支, 去A、B、D, 则选C.
6. 逐验法。
通过对试题的观察、分析、确定, 将各选择支逐个代入题干中, 进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段, 以判断选择支正误的方法。
例6下列函数中, 值域为 (0, +∞) 的是 ()
简析:用逐验法。分析A:2-x≠0, 则y≠1, 不合;分析:C:x=0时y=0, 不合;D同C;则选B.
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