《平行与相交》教学设计（精选13篇）
一、指导思想与理论依据
学生是学习的主人，教师的教学应建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。学生自始至终都应该积极参与知识的形成过程。小学几何属于直观几何，小学生空间观念的发展应该是他们自己主动建构的过程。本节课通过大量的探究性活动，使学生借助观察、操作、归纳等学习方式，认识平行线和垂线的特征，发展学生空间观念。
二、教学背景分析
1、教材分析
《平行与相交》属于“空间与图形”范畴，这部分内容是在学生认识了直线、射线和线段及角的知识的基础上教学的，垂线与平行线的概念是学生以后认识三角形、平行四边形、梯形等图形的特征和进一步学习几何知识的基础，也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。
2、学情分析
根据以往教学经验发现学生由于年龄较小，理解概念中的“在同一平面内”、“永不相交”比较困难，而且垂线与平行线研究的是同一个平面内两条直线位置的相互关系，学生还没有建立表象。但他们乐于动手操作，而且有一定的知识积累和生活经验。根据小学几何的直观性、实验性的特点，加强学生的有意观察、动手操作，能够帮助学生理解概念、掌握关系。
3、教学手段与技术准备
教学手段：小组讨论、合作学习、自主探究相结合 技术准备：网络课件
三、教学目标
1、认识垂线、平行线，能正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，并会用直尺、三角板画垂线和平行线。
2、经历把生活问题抽象为数学问题的过程，发展空间观念及空间想象能力。
3、感受到数学与生活的联系，培养解决实际问题的能力。
教学重点：认识垂线和平行线，能正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，学会用直尺、三角板画垂线和平行线。
教学难点：建立垂线、平行线的空间观念。
四、教学过程
（一）创设问题情境
教师提问：我们已经学习了直线，谁能说一说直线有什么特点？（学生发言）【设计意图:创设纯数学研究的问题情境，用数学自身的魅力感染学生。】
（二）认识平行与垂直
1、画图感知
教师让学生闭眼想象在一张白纸上出现了两条直线，它们的位置关系会是什么样的？然后画在纸上。
【设计意图:使学生感受到所画的两条直线都在同一个平面内，初步建立两条直线不同位置关系的表象。】
2、观察分类
（1）学生画出两条直线的位置关系之后在全班进行展示（2）教师利用课件展示可能会出现的几种情况：
（3）教师引导学生把这些组直线进行分类，学生在小组内讨论后全班交流：重点是明确分类的标准。（4）针对学生争议比较大的三组直线，教师利用课件演示这三组直线延长后的情形——可以相交。
（5）达成分类共识-------按照“相交”与“不相交”分为两类。
【设计意图:让学生经历了知识的形成过程，以分类为主线，通过小组汇报、班级争论、教师点拨等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，特别是在对5、7、9号的判断过程中引发学生的争议，在争议的过程中使学生获得了两条直线相交与不相交的重要区别。】
3、感悟属性（1）平行线的认识
①学生通过观察不相交的两组直线，发现不相交的两条直线无论怎样延长都不会相交。然后教师说明：这样的两条直线互相平行。
②指名说说怎样的两条直线是互相平行的?学生会生成错误概念：不相交的两条直线互相平行。
③教师抓住课堂生成的这种资源完善概念：出示一个长方体盒子，指着不在同一平面内 的两条直线提问：这两条直线互相平行吗？为什么？那应该怎样来叙述呢？学生观察后发现两条直线平行的条件：不相交且在同一平面内。
④课件出示平行线的概念，并让学生说说直线a和直线b的位置关系，重点突出“互相”的含义。
【设计意图：在学生获得了平行线丰富的表象后，让学生去主动建构平行线的知识应该是水到渠成的。但是学生的概括难免会出现问题或错误，这时教师要充分发挥主导作用，充分利用学生出现的错误，并将错误当作一种生成的资源，引导学生质疑、争辩，教师加以演示，弄清错误的原因，通过师生互动获得平行线的正确概念。】
（2）垂线的认识
①通过动画，演示两条直线的位置关系从相交到垂直的变化过程。
②课件出示“互相垂直”、“垂足”等概念，并让学生用“互相垂直”说说这两条直线的位置关系。
【设计意图：课件演示两条直线从相交到垂直的变化过程，使学生很好的理解了垂直是相交的一种特殊情况，通过二次分类、分层理解，提高了学生的空间想象能力，再次明确了同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种情况。】
（3）回归生活
让学生找找在生活里见到过的互相平行与互相垂直的例子。
【设计意图：让学生充分感受到生活中处处有数学，而且我们的生活也离不开数学知识。】
（三）自主探究画法
1、让学生自己想办法画一组平行线和垂线。
2、在交流的基础上让学生思考一个问题：怎样过直线外一点，画出已知直线的平行线或垂线呢？
3、学生自学平行线与垂线的画法。
【设计意图：本节课中，我利用网络课件，放手让学生自主学习。学习方式的改变，调动了学生的兴趣，使学生由“学会”变为“会学”，由“要我学”变为“我要学”。学生带着问题，自由操作电脑，自由把握演示的时机。由于觉得自己是学习的主人，因此注意力非常集中，而且演示结束 后，如果没看清楚，还可以反复观看。这样既可充分照顾学生的个别差异性，更有利于因材施教，又可最大限度地调动学生的学习兴趣与积极性。学生有着更独立的思维空间，学生的自主精神得到体现，不但把教师从“满堂灌”中解脱出来，而且提高了教学质量。】
4、指名到黑板前板演并讲解画法。
【设计意图：既检测了学生的学习效果，又培养了学生的倾听习惯。】
（四）点到直线的距离
通过解决“怎样拉绳子最短”这样一道实际问题，在学生充分发表自己的见解后，教师通过课件的直观演示, 得出结论:点到直线的距离垂线段最短。
【设计意图：使学生体会到生活中处处有数学，数学知识在生活中的重要性。】
（五）自主检测
第一关：慎重考虑（判断对错，对的画√，错的画×）判断1 不相交的两条直线叫做平行线。判断2 ——a, a是一条平行线。
判断3 在同一平面内，两条直线不垂直就一定平行。
判断4 两条直线相交，那么这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。判断5 两条平行线间的距离处处相等。判断6 两条平行线之间只能做一条垂线。
（第一关是基本题，如果答错了，电脑会提示你重做。并且每答对一题后，电脑都会出现“恭喜你答对了，进入下一题”的提示，这样的设计激发了学生的兴趣，调动了学生的积极性。）
第二关：动手实践
①先画一条直线a，然后过直线外一点A画直线a的平行线和垂线。②画一个长5厘米，宽3.5厘米的长方形。
③铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
（第二关是提高题，学生完成后可以及时点击答案，自己订正。）第三关：智慧冲浪
①把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，看一看，这两根小棒有什么关系？ ②把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直，看一看，这两根小棒有什么关系？ ③你发现了什么？
（这一关是拓展题，利用聊天室学生之间可打破空间上的限制，相互探讨。）【设计意图：由于学生可以自主答题，打破了“齐步走”的局面，使不同层次学生的能力都能充分得到发展。学生只有在全部做对的情况下才能进入下一关的练习，这样学生的积极性反而提高。“不服输”是孩子的天性，他们会认真检查出现错误的练习题，在以后的练习中会更认真、细心，逐步达到正确、迅速的目的。教师既可以即时了解学生知识的掌握情况，又促使全班每个学生积极参与，最大限度地调动了全体学生的学习积极性,达到了课堂练习的最优化。】
（六）拓展延伸
教师导语：大家的成绩都很优秀，说明你们很会学习，也很聪明。其实，我们的祖先也很聪明，他们很早就发明了我们今天还在沿用的数学工具——规和矩，如果你想更多地了解它们，就请到“知识窗”中去查找你感兴趣的资料。
【设计意图：学生通过网页浏览自己感兴趣的内容，将数学学习由课内延伸到课外，不仅丰富了学生的课外知识，而且培养了学生的民族自豪感以及不断学习进取的信心。】
（七）全课小结，畅谈收获（1）生谈收获（2）师小结
【设计意图：梳理本节课所学内容，提升认识】
五、学习效果评价设计
1、在教学过程中关注学生的表现，如独立思考、发言、小组交流等了解学生的学习效果。
2、通过自主检测的环节，了解学生对知识的掌握情况。
六、本次教学设计与以往或其他教学设计相比的特点 本节课与以往教学设计相比有以下特点：
1、本课突出体现了可持续发展教育的十六字方针教学模式“主体探究、综合渗透、合作活动、知行并进”的原则。
2、在培养学生基础性学习能力的同时，注重培养了学生的可持续学习能力。例如：培养学生的空间观念、搜集处理信息能力、实际应用能力。
3、对学生进行数学文化的渗透，尊重文化多样性。如：规和矩的介绍。
关键词：图式教学,概念图,思维导图
数学人教版七年级下册《相交线与平行线》单元与七年级上册《几何图形初步》单元相比, 对学生的学习要求有较大的提高, 在内容呈现上既注重直观性, 又充分体现了认知过程, 给学生提供了探索、交流的空间。这一章的教学担负着一些技能的培养、能力的训练, 既有几何语言、图形方面的, 也有说理、推理方面的。这些内容, 都是进一步学习空间与图形知识的基础。所以在本章教学中, 笔者尝试采用图式教学模式, 即借助概念图、思维导图来帮助学生辨析知识点之间的关系。
一、借助概念图, 辨析概念之间的差异性……
概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示, 是用来组织知识的工具。它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中, 然后用连线将相关的概念和命题连接, 连线上标明两个概念之间的意义关系。在本单元中, 可以借助于概念图以视觉化形式呈现两角关系概念之间的联系, 凸显知识结构的细微差别。
第一小节的主要内容是相交线所成的角──邻补角、对顶角。学生已经掌握了余角、补角的概念, 它们与新概念之间有怎样的联系呢?笔者设计了下图:
在图1中, 学生容易发现“邻补角”与“补角”的异同点, 能够识别命题“邻补角互补”与“互补的角是邻补角”孰真孰假。学生也可以感受到教材难度的渐进性, 从单纯的研究数量关系, 过渡到对两角之间“关系”的全面认识。在本节内容的教学中, 应重点强调邻补角、对顶角位置上的特征。设计一些易混淆的命题让学生辨析, 如“两个角互补且有公共顶点、公共边, 那么这两个角是邻补角”、“相等且有公共顶点的两个角是对顶角”等, 让学生熟悉对顶角、邻补角的共同特征, 为以后区别同位角等奠定了基础。
第三小节, 认识同位角、内错角、同旁内角, 笔者设计了区别五种角的关系的概念图 (见图2) 。
这幅概念图有两方面的优势:
1.“识别码”是分类的重要依据。
当相交的直线只有3条时, 学生容易辨认角的关系。但随着条数的增加, 图形逐渐变得复杂, 就会出现混淆或者找不全某种关系的角。
例如:如图3, △ABC中, 直线BD与边AC交于点D, 图中有同旁内角吗?如果有, 请找出所有的同旁内角。图中有同位角吗?
识别三线八角的“识别码”是截线, 图3中共有4条直线。在寻找同旁内角的时候, 可以把这4条直线分别当成截线, 然后找出截线同侧, 被截线之间的角, 即可不重不漏地找出所有的同旁内角。如果不强调两种“识别码”之间的区别, 学生在练习中, 容易把∠ABD、∠ABC看成同位角。他们会把直线AB看成截线, 把直线BD、BC看成被截线, 认为这两个角在截线同侧, 被截线同方向。通过图2, 学生就能发现“问题”, 这两个角居然具备对顶角、邻补角的“识别码”:公共端点!所以它们不是同位角。
2. 理解同位角、内错角、同旁内角只表示特殊的位置关系。
在学习命题时, 学生受“对顶角相等”定理的负迁移, 认为“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”都是真命题。通过图2的比较, 可以让学生对概念的理解更加深刻, 不被表征的相似所迷惑, 从内在逻辑关联性上理解知识。
二、构建思维导图, 直观呈现思维的开放性
思维导图是学生把要学习的主题用方框或圆圈围起, 以画图的形式来表达自己的思想。主题可以用关键词和图象来表示, 把中心主题作为起始节点, 放射状地画出多条射线, 每条射线的末端是和主题相关联的次级节点 (次主题) , 而每一个次级节点可以成为一个新的中心主题, 以相同的方式继续向外发散, 产生更多的思维节点。
本章教学的重点是垂线的概念与平行线的判定与性质。因为这些知识是“图形与几何”领域的基础知识, 是以后学习几何的基本工具。学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识, 因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的。
在教学垂线的判定时, 笔者设计了开放式思维导图, 如图4。
学生总结出判断两直线相交得到的夹角为90°的方法各异, 有对顶角互补、邻补角相等、夹角所在的三角形另两个角和为90°等。学生在绘制思维导图的过程中, 会不断产生新的发现。这种发现激发了学生的探究能力和创造性, 变被动学习为主动学习。
在教学平行线的判定时, 为了循序渐进地提高学生的推理能力, 笔者尝试让学生自主构建思维导图, 将说理的过程视觉化、结构化。基于构建垂直判定思维导图的经验, 学生顺利地设计出自己的思维导图。
平行线的性质与判定:
平行线的判定知识点之间的关系:
如果说图6是学生对垂线的判定思维导图 (图4) 的简单模仿, 那么图7就是对知识点之间关系融会贯通后创造性的神来之笔。这种创造性体现在思维导图表现形式上的创新, 由树状发散结构转变为循环互生的关系链, 改变了图6单线思维的状态, 启发了学生的联想力和创造力。
三、整合教材, 明晰章节之间知识的延展性
教材是课堂教学的蓝本, 教师就是要将教材这个“原著”创编为教学“演出”的“剧本”, 对教材内容进行重新优化整合, 着眼于学生数学思维能力的提升, 是提高课堂教学质量的关键。数学人教版七年级下册教材所包含的内容依次为相交线与平行线、实数、平面直角坐标系等。笔者主张整合教材内容, 改变教学顺序:在相交线与平行线这个单元之后紧跟平面直角坐标系单元, 因为这两个单元在知识点之间有着密切的联系, 整合后使逻辑关系更清晰, 如图8。
教学顺序的调整, 可以使学生在学习平面直角坐标系单元新知识的同时, 对相交线与平行线单元的核心概念有更深刻的认识, 有利于渗透数形结合的思想。
图式教学, 可以用教师完全呈现的概念关系图, 也可以由学生自主构建思维导图。在分析与构建的过程中, 能将分散的数学知识点系统化, 抽象的数学原理形象化, 复杂的思维过程静态化, 提高学生的推理能力, 为实现由实验几何到论证几何的过渡打下基础。
参考文献
[1]井翠清.概念图教学法[J].现代阅读, 2011 (10) .
[2]傅锦国.巧用思维导图构建知识网络[J].科技创新与应用, 2013 (2) .
教学反思
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）08A-
0069-02
在小学阶段，“平行与相交”知识点的教学是比较枯燥和抽象的，对此，学生普遍不感兴趣，很难调动学生的积极性。笔者听过特级教师强震球关于该知识点的教学后，对如何引导学生进入教学情境，从而提高学习效率有了新的认识。
案例回放：
【片段1】
出示4组直线（如下图）：
师：黑板上画了四幅图，每幅图都有两条直线，有两只小蚂蚁沿第①、②幅图的两条直线向前走，有可能会碰头么？
生交流。
老师虚线延长第二幅图的线。
师小结：我们就把像图①图②这样的两条直线的位置关系叫做相交。
（课件展示第③、④幅图）师：两只小蚂蚁会碰头么？
小结：像图③和图④这样的两条直线的位置关系叫做互相平行。请大家用眼睛当相机，聚焦，拍下“平行”的样子。
下面找找这几幅图里面有没有互相平行的直线。（课件出示：直尺、跑道、秋千、五线谱等）
【片段2】
师：你们觉得怎样的两条直线互相平行？
（生拿出教师课前准备好的异面直线和平行线的两种学具，小组合作，放在桌面上，感知探索）
师：你发现了有什么不同？
生：互相平行的两条直线能平放在桌面上，不平行也不相交的两条直线不能平放在桌面上。
（师概括）
【片段3】
师：怎样画平行线呢？请大家看一个小动画。（视频：一个小女生开窗户）大家看窗户的左右两边在移动，平行的诀窍是什么？
生：是沿着轨道在移动。
师：哦，那能不能给尺子装一个轨道呢？
（师生合作摆放三角板和直尺）
师示范： “贴”“靠”“移”“画”。
【教学评析】
上述案例是强震球老师执教的《平行与相交》中的片段。教学设计生动、有趣，课堂环节处理巧妙，让我们在感受教者细腻灵动的教学智慧的同时，也看到他在用儿童喜欢的方式教学数学。在他的课堂上，扑面而来的是浓浓的童趣。
一、蚂蚁爬——生动“平行”的感知
上课伊始，强老师创设了两只蚂蚁沿两条直线爬行的情境。两只蚂蚁是否会碰头的问题，激发了学生学习的兴趣。动态的画面，让学生直观地理解了“相交既包括已相交的，也包括暂未相交的”。而图③、图④无论怎么延长，两只蚂蚁都不可能碰头。像图③图④这样的两条直线的位置关系叫做平行。
“平行与相交”的数学知识，本是冰冷、抽象、学生心理上排斥的，但强老师巧妙地创设了“蚂蚁爬”的动态情境，让知识变得趣味、生动、形象，让学生乐于接受。在轻松快乐的状态下，学生初步感知了“不相交的两条直线互相平行”。
二、放桌面——理解“平行”的前提
平行的前提条件是“在同一平面内”， 帮助学生理解“同一平面”一直是老师们感到头疼的问题。以前笔者在教学这一内容时，总喜欢借助粉笔盒，让学生观察粉笔盒不同面上的两条棱，让学生看到两条棱既不平行也不相交，再强调在同一平面内不相交的两条直线才互相平行。但总感觉自己解释了半天，还是有相当一部分的学生一脸茫然，每到这个环节笔者都只能无可奈何地草率收场。
在这个环节上，强老师处理得独具匠心。他让学生拿出事先备好的两种学具摆在桌面上，看看有什么发现？操作后，学生发现：互相平行的两条直线能平放在桌面上，不平行也不相交的两条直线不能平放在桌面上。学生在操作学具、查找不能平放原因的同时，分两个层次理解了平行的内涵：
1.对同一平面的理解。把桌面看成一个平面，能平放在桌面上的就在同一平面内，不能平放在桌面上的就不在同一平面内。
2.对平行的解读。不相交的两条直线不一定互相平行。只有在同一平面内，不相交的两条直线才一定互相平行！
三、推拉窗——启发“平行”的画法
以前，笔者教学平行线画法时，总是像老鸟喂食一样，“一口一口”地教学生先做什么，再做什么，也曾归纳过画图步骤“一贴、二靠、三移、四画”。自以为教得很细致、很到位，可部分学生还是手足无措，不知道尺怎么摆放。对照强老师的做法，笔者认识到：以前的教法，很多学生并没有真正理解。即使能画出来，也是“照葫芦画瓢”式的机械模仿。在学生没有真正理解时，画图步骤归纳得越简洁精当，学生的理解负担就越重。
教师何时引导，时机是否恰当？有人曾经经典地归纳：在学生彷徨迷茫时引导，在障碍阻塞处点拨。这段话用在强老师这个环节上是再恰当不过了。平行线的画法，强老师没有填鸭式的灌输，而是一开始就将问题抛给学生，让学生自己想办法解决。学生遇到了一系列困难——用米尺或练习本画，宽度有限制；将三角尺平移，又老是画歪。就在思维阻塞不通时，教师适时引进推拉窗图片点醒了学生。在推拉窗的启发下，学生们想到了为三角尺造轨道的想法。学生在寻求解决问题方案的过程中，理解了平移时要把尺靠在另一把尺上的原因，也理解了“贴、靠、移、画”的画图步骤。传统的画平行线的教法，是老师要求学生怎么做，学生却不知道如何去做，也不知道为什么要这么做。而这节课上，学生自己清楚要做什么，以及为什么这么做。由教师唱主角变成学生唱主角，学习的主动权交给了学生，学习效果自然也不同。
“平行与相交”本是抽象的，在强老师的精心铺设下，却变成有趣、生活的。陶行知曾说过：“我们必须会变小孩子，才配做小孩子的先生。”何谓“会变小孩子”？笔者想，就是要教师尽量使自己具备孩子的心灵——用孩子的大脑去思考，用孩子的眼光去看待，用孩子的情感去体验，用孩子的兴趣去爱好。
作为青岛版第四单元的内容，它的第一课时是《平行与垂直》，之后才是画平行线和垂线。在这节课的教学中，考虑到时间问题和孩子们的接受程度不同，于是我把教材的内容进行了重组，把《平行与相交》以及怎样画平行线容入到了一节课中。备课前，研修组一直在思考怎样准确把握好教学起点，努力还学生一个“真实”的数学课堂，本节课我从学生的实际出发，关注学生的生活经验和知识基础，从复习有关“直线”知识入手，唤起学生的回忆，为新知的探究学习做了较好的街接准备。同时，逐步培养学生对数学研究的兴趣，用数学自身的魅力来吸引、感染学生。身为执教者，本着实事求是的态度在课堂教学中尊重学生实际，尊重教学实际，本节课至始至终都没有提前的渗透，没有矫情的暗示，没有走秀，没有花枪，而更多的是关注课堂生成设计练习的问题，关注学生真实的生活阅历，在学生现有的知识水平、思维能力、生活体验的基础上进行教学。回顾在《平行与相交》的课堂教学中，没有花架子，没有与课堂无关的语言和行为，没有哗众取宠的调侃和媒体展示，所有的一切教学手段都是为教学服务，为学生服务。在教学中，紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，纵使这两条直线暂时没有相交，可是根据直线能无限延长的特点，它们延长之后还是会相交。这样的教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现平行与相交现象。除了从主题图中找平行现象，从生活中找，从身边找，还让学生动手指一指、拼一拼、画一画……通过这些练习，让学生进一步加深对平行概念的理解，进一步拓展知识面，使学生克服学习数学的枯燥感。让学生真正参与学习过程中来，在学习过程中提升自己的能力。
平行与相交”是鲁教版三年级上册上的内容。本课的目标主要是，结合生活情境，使学生感知两条直线的平行关系，认识平行线；通过学生的自助探索合作交流，学会用合适的方法作出一组平行线，能借助直尺、三角板等工具画平行线；培养学生思维的灵活性，发展学生的空间观念。本课的教学重点是认识平行线、画平行线，而画平行线是本课教学的难点。
1、联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。
我们的数学教学应从学生的数学现实出发，精心营造一个学生熟悉的空间，引导他们发现数学问题，探究数学规律。这节课从观察“课间十分钟”入手，以及后面出现的跑道、电线杆、秋千的吊绳等等，都是学生在生活中能看见的，通过课件对这些图形的形象演示，让学生直观看到真实世界中的“平行与相交”，为学生创造了一个研究图形特征和关系的丰富情境，加强了学生的感性认识，有利于学生用身边的数学现象理解数学知识，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。
2、关注新知的生长点，体现新知动态的生成过程。
在教学中，我紧紧抓住“以分类为主线”展开探究活动，提出“在无限大的平面上同学们想象的两条直线的样子画下来？”“能不能把这几种情况进行分分类？”这样有思考价值的问题，学生通过想一想、画一画、分一分、说一说等多种活动进行观察、思考，逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况。这样教学不仅符合学生的认知规律，而且通过分类，分层理解，既符合学生的认知规律，又有利于提高学生生活实际，让学生从自己的身边发现数学知识，进一步培养学生观察的能力，发现相交与平行现象。
3、研读教材的意图
教材编写时，一般遵循学科知识的系统性和学生的认知规律，以简练的语言呈现学习内容。学生在教材中看到的往往是思维的结果，而难以看清思维活动的过程。这就需要教师依据教材内容对教学活动进行精心设计和加工，体现数学的思维过程和思想方法。比如画平行线这一内容，教材是通过示意图来介绍平行线的画法，没有说明为什么要这样画，也没有总结画平行线的一般方法。从教学反馈看，学生虽然会模仿书上的画法，但是并不真正理解为什么要这样画，所以只要线条换了个方向，学生就无从下手了。而要画好平行线，关键就在平移。所以在教学画平行线之前，我先让学生在平移的三角形中找出平行线，让学生体会“图形的平移”和“直线的平行”之间的关系，因而，学生就能由此考虑，画平行线时我们必须要平移三角板，从而找出了怎样才能保证平移三角板的方法。学生不仅绘画了，而且理解了为什么要这样画。不足：
1、上几何课对教师的语言要求更高，更规范，所以这节课的很多语言都还需要好好推敲。
2、问题指向性要明确。
3、教师的归纳要到位，同时也要注意培养学生的归纳能力
《平行和相交》教学反思
[ 2007-3-5 22:10:00 | By: baolingling ]
《平行和相交》这一课,听过好几人上过,在进修校脱产培训时也研究过，给我留下了很深的印象，虽然课的内容很简单，但是让人弄透彻也是需要下一凡功夫的。对教材的把握和理解要怎样才能非常到位，怎样从学生的需求出发，以学生为主体，创造性的使用教材，带着这些问题我从以下几个方面谈谈自己的一点体会
1、联系学生的生活实际，让学生体验到生活中处处有数学。我们的数学教学应从学生的数学现实出发，精心营造一个学生熟悉的空间，引导他们发现数学问题，探究数学规律。这节课从学生身边熟悉的事物入手，围墙的栏杆、操场的跑道、足球场的球门、篮框的支架，都是学生在学校里经常能看见的，通过课件对这些图形的形象演示，让学生直观看到真实世界中的“平行与相交”，为学生创造了一个研究图形特征和关系的丰富情境，加强了学生的感性认识，有利于学生用身边的数学现象理解数学知识，在探讨、交流、分析中获得数学概念，拉近了抽象的数学概念与生活实际的距离。
2、对教材的把握和理解到位，精心设计教学环节。
平行概念中的“同一个平面”是学生理解的难点，于是我非常巧妙地设计了一个环节来化解这个难点。先让学生结合具体的生活场景充分感知今天研究的每组都是两条直线，再过出示教室里的门框上的两条线（一个画有绿直线，在门上；一个画有红直线在门上面的窗上）摆放两种位置。问：这时这两条直线在同一个平面内吗？把门打开后在同以个平面内吗？几名学生上来摸，感知“同一平面”的含义。
3、让学生在操作活动中加深对所学知识的体验。
教学是一个精密的工作，容不得半点马虎，在数学教学上尤甚，最近听了我校老师讲的一堂数学课，感受颇深，现将感受浅谈几点：
一、教师备课要充分，不仅备教材，更要备学生。
本节知识属于空间几何知识范畴，学生理解起来比较抽象，为此增加了许多生活中的典型事例，如从上海到青岛的公路、铁路、航运与飞机航程不同等，这些鲜活的素材丰富了抽象的课堂，使学生在兴趣盎然中理解运用新知。课前还担心在授课过程中学生会这也不懂，那也不明白，而学生在实际课堂中的表现再次提醒我：要相信学生，要从学生已有生活经验和知识经验出发，那样课堂中才能有的放矢，最大限度的发挥数学课堂的功效。
二、教师要适时运用多媒体电化教学手段，提高课堂教学的效率。课堂上通过直观、动态的画面呈现出来，充分调动了学生的兴趣，在认真观察、积极动脑的基础上发现数学问题，并出现相互辩论走走哪一条路的场面，课堂氛围紧张而激烈。在观察青岛到上海的铁路线与水运线、航运线等时，多媒体课件“点”的闪烁使学生对两座城市的地理位置一目了然，“线”的闪烁直观显示了路线的曲直长短情况。
三、充分利用学生的思维亮点，让数学课堂精彩起来。
在教学的实际过程中，要重视学生的亲身体验、自主探究、过程感悟。在教学中，教师要实践陶行知先生的“六大解放”，给学生一段时间去体悟，给他们一个空间去创造，给他们一个舞台去表演；让他们动脑去思考，用眼睛去观察，用耳朵去聆听，用自己的嘴去描述，用自己的手去操作。这种探究将超越知识范畴而扩展到情感、价值观领域，将使课堂成为学生生命成长的乐园。在测量验证阶段，一名同学汇报的方法与众不同“我不量四条路的长度，而是用四根线摆成与四条路完全一样的线路，然后把四根线拉直比较就知道中间那条路最短了。”他的发言得到同学赞叹的掌声，这样既节省了测量与计算的时间，又直观地比较出四条线段的长短。
四、教学中也暴露出许多不足与弱点。
1、对学生已有知识经验和生活经验估计不足。学生每天都要经过很多路线，对走哪条路最近他们是再熟悉不过的了，为此在两个情境中，学生很快发现数学问题并判断出最近的路线，没有老师预设的那么复杂。为此教师在备课中一定要充分了解学生的经验，相信学生的能力，这样才能真正做到以学生为主体。
一、教学目标
知识技能：了解本单元的知识点及其之间的关系；理解对顶角相等和垂线的性质；掌握平行线的判定和性质；了解命题、真命题、假命题及定理的含义，理解平移的基本性质．
数学思考：在参与猜想、观察、实验、综合实践等活动的过程中，发展说理，初步推理和语言表达能力；初步形成从特殊到一般的思维方式，了解数学知识是来源于实践，应用于实践的，了解数形结合思想，数学建模思想．
问题解决：具有初级的从数学角度发现并提出问题的能力，能尝试用不同的方法分析问题、解决问题，感受不同的方法之间的联系与差异．简单推理与相交线和平行线有关的实际问题．
情感态度：认识数学严谨、抽象和应用广泛的特点，体会数学的应用价值． 激发学习图形与几何的兴趣．
二、重难点分析
教学重点：掌握本单元知识体系，理解各知识点之间的关联，会利用相交线和平行线的有关定理解决问题．
本节课要对本单元的知识结构进行梳理，使学生了解本单元的知识体系，以及本单元知识与其他单元知识的联系．
教学难点：灵活应用本单元知识解题，会将本单元知识与其他单元知识综合运用．
本章要求把“说理”和“简单推理”作为探究结论的自然延续，对于推理由于学生还比较陌生，逐步深入地让学生学会说理成为本章的难点． 教学中教师应尽可能地按照教科书的安排，一步一步地循序渐进地引入推理论证的内容，应结合正文的相关内容进行初步的说理训练．
三、学习者学习特征分析
学生在学完本单元知识后，对某些知识可能还存在一些不同程度的问题．比如，基础知识似懂非懂、不能在解题中准确应用所学知识等等．问题比较集中的可能会是垂线的存在、唯一性及平行公理的限制条件的理解、平行线的判定和性质定理的区分及综合应用等方面，教师应注意学生出现问题比较集中的知识点，教学中作重点突破．
四、教学过程
（一）创设情境，引入新课
教师引导学生思考：在本单元的学习中自己有哪些收获？
学生自由发言，阐述自己在学习本单元知识后有什么收获，学习到了哪些知识．其中大部分的答案都是本节复习课中所要涉及到的知识，教师可以不作具体的点评，等几个学生回答后可直接引入本节主题．
（二）知识点归纳
1．本单元知识体系：
教师首先给学生3－5分钟时间通览一遍教材，对本单元有一个总体的回顾，然后与学生一起归纳本单元的知识体系，以及本单元知识以哪些单元的内容为基础，又会对今后学习哪些单元的知识有铺垫作用．
（学生在本环节中，可能会出现不太理解通览教材的含义的情况，还尝试比较详细的进行阅读，教师要引导学生只回顾知识点，以提高通览的速度．设计意图：让学生按学习的时间顺序对本章的知识点大体回顾一下，便于后面归纳知识体系．）
本单元的知识可以从与相交线与关的概念和性质、与平行线有关的判定、性质,平行线在图形变换中的应用——平移三个角度进行知识点的分类，教师可以从所学内容的特征出发，引导学生进行知识的归类：
与相交线与关的概念和性质包括两条直线相交和一条直线与另两条直线相交两大类知识，在这两类知识中，对学生的要求是不一样的．在两条直线相交部分中，要求学生了解邻补角、对顶角的概念，重点研究两直线相交的特殊情形垂直，掌握垂线的两个性质定理，这也是相交线中的难点．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．这类知识又能引申出点到直线的距离．而在一条直线与另两条直线相交部分中主要要求学生结合具体图形会辨认同位角、内错角及同旁内角．进而引出下一部分平行线的判定和性质．
在与平行线有关的判定、性质部分主要包括平行公理及推论，即平行线的存在、唯一性及平行线的传递性．这两个定理在今后的推理证明过程中经常用到，平行公理应注意限制条件，并与垂线的存在、唯一性定理区分．平行的判定定理和性质定理是本章的重点，也是今后学习三角形，四边形的基础．为解决判定、性质易混淆的难点问题，特安排命题、定理一课的教学，使学生会区分命题的条件（题设）和结论，了解命题的构成，真正理解平行线判定与性质的区别．
平行线在图形变换中的应用——平移中初步使学生感受运动变化过程中图形不变的几何性质，图形变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具．平移是一种基本的图形变换，在教学中应使学生在观察、探究、思考、归纳等活动中得出平移基本性质，并利用性质画图，进行图案设计，教学中应注意让学生严格根据平移基本性质作出平移后的图形，不可简单的等同于图画，要落实教学要求．本部分内容是让学生体会数学生活化,生活数学化的良好机会,教师要积极鼓励学生与他人合作交流,展示自己的设计,加强直观性，激发学习的兴趣．
本单元具体知识体系见下图：
2．本单元知识与其他单元知识之间的关系：
本单元知识是以上册中学习过的有关线和角的结论为基础，把余角和补角的性质等内容作为辅助工具得到的．垂直、平行的概念是承接了前面学段学过的概念．
本单元要为今后学习三角形内角和、四边形的性质和判定甚至圆这些章节的基础知识做储备，也可以说本单元的知识是整个初中数学知识体系中图形与几何部分的最基础的知识．本部分的平移将为下一章“用坐标表示平移”提供感性的直观认识．
3．本单元学习方法及对以后单元的启示：
在本单元中所采用的学习方法主要是实践操作和理论证明相结合的办法，这种学习方法在初中几何部分的知识点学习中经常使用，要求学生从操作中得出结论，进而进行说理和简单推理，对于学习今后的三角形、四边形,其他图形变换和圆等章节有比较大的帮助，具有比较重要的提示作用,也为今后严格的逻辑证明奠定了基础．
（三）典型题归纳
例1：如图,直线AB,CD,EF相交于点O．
(1)写出∠AOC,∠DOA的邻补角；
(2)写出∠EOC,∠BOE的对顶角；
(3)如果∠AOC=50°,求∠BOD,∠COB的度数．
分析：这一例题是相交线中对顶角,邻补角概念的直接应用，部分同学可能存在找不全或找不对的情况，因此教师要追问：邻补角的概念？对顶角的概念？引导学生抓住概念中两边的位置关系,着重理解 “边的反向延长线”的含义．
例2：如图,∠ABC=90°,BD⊥AC,下面结论中正确的有()
1．点A到BC的垂线段是线段AB；
2．线段BC是点C到AB的垂线段；
3．线段BD的长度小于线段BC的长度；
4．线段AD是A点BD到的距离．
（A）1个．
（B）2个．
（C）3个．
（D）4个．
分析：本题主要考查学生对点到直线距离概念掌握的准确性,体会点到直线的垂线段应由点向直线作垂线段,即垂足在直线上,部分学生会把垂足误认为是该点,也有部分学生误将垂线段与距离等同．同时该问题也应用了“垂线段最短”的性质．
例3：如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠1=∠2,∠CNF=∠BME,那么AB∥CD,MP∥NQ．说明理由．
分析：本题平行线判定和性质的综合应用题，有一定的难度．学生先要准确认识∠CNF和∠BME并非判定定理中的三类角，因此需转化为同位角、内错角或同旁内角才能应用判定定理．另外对于MP∥NQ的证明,可先用分析法让学生分析需证哪两个角相等?如此分析,直至与题目条件推得的结论对接为止．
（四）思想方法归纳
本单元所涉及到的思想方法主要有：数学来源于实践，又服务于实践；对图形进行操作，并猜测结论，进而进行说理,简单推理的探究方法；初步体会公理化的思想方法等．
五、学习评价
(一)选择题
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）．
(A)0．
(B)1．
(C)2．
(D)3．
2．下列说法中错误的个数是（）．
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种．
（4）不相交的两条直线叫做平行线．
（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．
(A）1个．
(B)2个．
(C)3个．
(D)4个．
3．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）．
(A)②③．
(B)①②③．
(C)①②④．
(D)①④．
4．如右图所示，点
(A)
(C)
在的延长线上，下列条件中能判断
．
．
（）．
．
(B)．
(D)
5．下列说法中，正确的是（）．
(A)图形的平移是指把图形沿水平方向移动．
(B)平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．
(C)“相等的角是对顶角”是一个真命题．
(D)“直角都相等”是一个假命题．
6．如右图，且，则的度数是（）．
A．．
B．
．
C．
．
D．
．
(二)填空题
7．一个角的邻补角是它的对顶角的4倍，这个角的余角为______．
8． 有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的______°时，电线杆与地面垂直．
9．如图③，按角的位置关系填空：∠A与∠1是____________；∠A与∠3是____________；∠2与∠3是____________．
10．把命题“等角的余角相等”写成“如果„„，那么„„．”的形式为________________________．
11．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD = 38°，则∠AOC =______，∠COB =______．
12．如图，AC平分∠DAB，∠1 =∠2．填空：因为AC平分∠DAB，所以∠1 =____________,所以∠2 =____________,所以AB∥____________．
(三)解答题
13．已知三角形ABC、点D，过点D作三角形ABC平移后的图形，使得点D为点A移动后的点．
14．（本题6分）如右图,AB //CD ,AD // BE ,试说明∠ABE=∠D．
∵ AB∥CD(已知)
∴ ∠ABE=____________(两直线平行,内错角相等)
∵ AD∥BE(已知)
∴ ∠D=____________（）
∴∠ABE=∠D(等量代换)
15．如图，已知
16．如图，已知，，求证：,求
和． 的度数．
17．如图，证：
答案及提示：
(一)选择题
1．B；
2．B；
3．C；
4．B；
5．B；
6．B．
(二)填空题 ．，平分，与
相交于,． 求
7．54°；
8．60°；
9．同旁内角，同位角，内错角；
10．如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
11．52°，128°；
12．∠CAB，∠CAB，CD．
(三)解答题
一、创设问题情境, 引入新知
在设计具体的导入课堂时, 我原想以书上的主题图入手, 但是垂直与平行是同一平面内两条直线的位置关系, 是课本上的“纯数学”的内容, 虽然生活中有很多现象都是关于平行与垂直的, 却没有直线的原型, 而且, 四年级学生的抽象思维能力和空间想象力都比较弱。如果从生活中的现象入手, 学生可能会存在思维上的障碍, 先后有别。若反过来, 在学生已经认识了平行与垂直的概念后, 再分析生活中的实例或摆小棒, 就不会有学生再在关于“直线和线段”的问题上绕圈子。于是, 我直接将教学过渡到数学知识的讲述与分析。首先, 用具体的应用实例将班级的小学生带到空间的现象中, 把实例中具体的直线关系画到纸上;其次, 再进行具体的分类。由于小学生早已对直线有基本的认识, 再加上他们的空间想象力, 有利于教学内容的进一步实施与开展。通过创设具体数学情境, 有助于学生对数学问题的理解, 激发学生对数学产生浓厚的兴趣。
二、学生以分类为主线, 自主探索
区别一下新旧教材, 旧教材是由“点”及“面”, 把具体的课本知识分为单独的垂直关系以及平行关系, 两个不同的内容进行具体的课堂教学, 在课堂最后再把这两部分知识统一汇总, 最终总结出, 同一平面内的两条不同直线是垂直或平行的关系。与其不同的是, 新教材通常把垂直与平行“合二为一”, 从研究与分析同一平面内的两条直线的不同关系切入, 一步步地分析, 得出直线关系可分为相交或不相交, 而且在相交直线中还存在, 相交是否成直角的情况。这样, 具体的分析与设计, 不仅仅符合广大小学生的认知规律, 而且更加利于学生展开具体的探索和逐步深入的讨论。波利亚曾经指出:“学习知识的途径是经过自己去发现。因为发现的过程加深理解, 也更容易掌握到问题的内在的规律性以及彼此之间的联系。”虽然小学生的自身能力和水平有限, 显得有些幼稚与粗糙, 创造性也很低。但是, 小学生的小小发现也都无一例外地凝结着他们的思考与付出, 也一样经历并且体验着科学家们的艰难发现过程。例如, 小学生也需要大胆构思, 与别的学生合作。同时, 也需要分析和不断修正自己的思考方式。所以, 在小学教学实践中时, 教师应该让学生以分类作为主线, 通过自己动手画出直线、观察、辨析、讨论以及最后的验证归纳等, 使班级学生认识到:同一个平面内的两条直线的关系, 只有相交或不相交两种不同情况, 在相交时, 需考虑两直线成直角或不成直角的两种不同情况。
三、具体操作, 培养空间想象力
空间想象力的逐步培养主要有如下几个不同的方面:
1. 把黑板作为一个平面, 然后将其画在图纸上, 想象着当在一平面上同时出现两条不同的直线, 培养学生的空间具体想象力;
2. 教师展示出两条看似没有而实际却相交的两条直线, 所在班级的学生需要先想象, 然后画图验证;
3. 学生对教师所举的不同例子, 即不同平面的两条直线是否相交, 进行想象并进一步验证结论;
4. 课堂拓展练习中, 通过摆不同小棒操作, 以及对“假如无数条直线和已知的某一直线平行或垂直”进行想象练习。
让班里学生自己去亲自操作, 摆放好已知平行的红色小棒和两条垂直的绿色小棒。最后, 让学生想象一共能够有多少根小棒能与已知的小棒平行或垂直, 从而逐步地发展小学生的空间想象力。
四、调整预设与生成, 完善课堂
在数学中, 预设和生成是两个统一体, 相互依存。小学课堂教学实践在预设中动态生成, 也同时在两个统一体中进行不断的优化以及整合, 进而建构, 最后生成。一节符合新课改下的小学新课程标准的课堂, 预设能够与生成做到最终的辩证统一。教师在教学实践中, 如果能够准确把握预设和生成, 便可事半功倍。例如, 当某一学生说出“双杠支架是互相平行”时, 可能会有一些班级学生持不同的意见。对此情况, 教师应该及时把握住这个有效生成, 引导学生结成在小组, 展开讨论, 说出自己的独特见解。学生也能够通过讨论, 进一步产生思维火花的碰撞, 得出更多的不同结论。然后, 请学生代表发言, 说出自己的不同看法。最后, 由教师指出结论:“两条直线是否存在平行关系的关键, 在于它们是否在同一平面内相交, 与这两条直线具体放置的方向没有任何关系。而且, 判断两条不同的直线是否垂直的关系, 看它们相交的角是不是直角。”
五、与生活结合, 感受数学的魅力
数学不但来源于日常生活, 而且也应用于日常生活, 这都是人们在千百年的具体生活中实践了的, 也是学习数学的魅力。在具体的数学课堂教学中, 教师应该引导本班学生讨论生活中遇到的垂直与平行现象, 让学生了解到“垂直与平行”在生活中随处可见, 从而发现生活中处处有数学的现象, 启发学生深入地思考:“设计师们怎么会这样设计双杠呢?”“伟大的设计师们怎么会设计这种楼房?假如设计的楼房不与地面垂直又会怎么样呢?”“假如铁轨不是互相平行的, 会有啥后果呢?”从而, 使学生充分认识到“生活离不开数学”, 使教师的教学过程回归到日常生活, 激发小学生“爱数学”和“用数学”的兴趣。
学生空间想象力的培养, 需要在学生充分操作材料、不断积累表象、丰富空间想象, 在不断自我完成知识结构重组的过程中逐步形成, 教师唯有合理依托教材, 科学预设课堂, 精心组织课堂教学, 注重数学与生活结合, 才能为学生铺设一条空间想象力快速发展的便捷大道。
摘要：几何图形无论是垂直的还是平行的, 都在日常的学习和生活中有广泛的应用, 与此同时, 广大学生的头脑中也在不断地积累各式各样的几何图形的表象。在该内容的教学中, 教师要善于从数学本身引入新知, 以几何图形的分类作为主要的分割方式, 让学生自主地去探索发现, 并在操作与想象中培养学生的空间想象能力, 同时利用数学结合生活实际进行教学, 让学生感受数学的魅力与价值。
一、考查相交线、对顶角
例1 （2011年广西柳州）如图1，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（ ）.
A. ∠2和∠3 B. ∠1和∠3
C. ∠1和∠4 D. ∠1和∠2
解析：根据对顶角的概念，只有相交线才能有对顶角，所以∠2和∠3是对顶角.
故选A.
点评：在中学数学中，我们要学习很多角，这些角的概念是今后学习的基础，理解这些角的概念，牢记它们的特征，是解题的基础.
二、考查平行线的性质
例2 （2011年湖南邵阳）如图2所示，AB∥CD，MN分别交AB、CD于点F、E.已知∠1＝35°，则∠2＝________.
解析：由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，易得∠2＝∠1＝35°.
点评：平行线的性质是平行直线所具有的特征.
三、考查垂线的概念
例3 （2011年广西梧州）如图3，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（ ）.
A．120°B．130°C．135°D．140°
解析：根据垂直的定义，直线EO⊥CD，所以∠EOD＝90°；
最后由平角定义可知，∠BOD＝180°－45°＝135°．故选C.
点评：本题考查了垂线的性质和角平分线的有关知识.如何将两直线垂直转化为角之间的关系，这其中渗透了化归与转化的思想.
四、 考查直线平行、垂直的综合应用
例4 （2011年四川广安）如图4所示，直线 a∥b．直线c与直线a、b分别相交于点A、点B， AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝58°，则∠2＝___________.
解析：因为AM⊥b，直线a∥b．所以AM⊥a，所以∠1＋∠2＝90°.又∠1＝58°，则∠2＝32°.
点评：在解答有关相交线、平行线中角的问题时，应先理清所求的角与图形中的其它各角的关系，再利用平行线、垂线的性质及对顶角的性质求解.
五、 考查图形的平移
例5 （2011年湖南郴州）作图题：如图5-1，在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
解析：如图5-2所示.
根据平移的性质确定三角形平移后三个顶点的对应点，然后依次连接对应点即可．
点评：平移的结果是由平移的方向和平移的距离决定的. 在判断时，找某一特殊点，它和它的对应点的关系与整个图形的平移关系是一致的.本题是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，此类题是近几年中考命题的热点.
练习：
1.（2011年陕西）如图6，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E .若∠1＝64°则 ∠2＝___________．
2. （2011年山东德州）如图7，直线l1∥l2， ∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于________.
A.55° B. 60° C.65° D.70°
3. （2011年山东日照）如图8，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，那么∠E的大小为（ ）.
A.70° B. 80° C.90° D.100°
4. （2010年湖北孝感）如图9，直线AB、CD相交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，若∠ECO＝30°，则∠DOT＝（ ）.
A.30° B.45° C. 60° D. 120°
5. （2011年河北）如图10，∠1＋∠2＝（ ）.
A．60° B．90° C．110° D．180°
6. （2011年浙江衢州）如图11，直尺一边 AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点 E,那么∠AEF＝______度.
7. （2011年山东聊城）如图12，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）.
A．40° B．50° C．120° D．130°
参考答案：
1.∵∠1＋∠BAC＝180°,∠1＝64°, ∴∠BAC＝116°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝58°． ∵AC∥BD， ∴∠CAE＋∠2＝180°． ∴∠2＝180°－58°＝122°．
2.C； 3.B； 4.C； 5.B； 6.70； 7.D.
依稀记得，那夜你的样子。你眼望星空，终于说出那句犹豫许久的话：“我们，究竟是平行线，还是相交线?”
平行线?相交线?我不知如何回答。只是苦笑一下，望着你有些失落与忧伤的表情，心里不禁涌起阵阵的酸涩。
我喜欢开玩笑，你也从不介意。你曾对我说：“你的玩笑让我觉得亲切，让我觉得你在乎我。”我心里高兴极了，我以为，我们会成为知已朋友;我以为，我们这段友谊会永远持续下去;我以为……
可是我错了，错得好离谱。当我收到那封带着浓浓绝交意味的信时，才真的意识到自己错了。你说，你很伤心。你说，我的`挖苦讽刺再也伤不到你，因为你的心就如冰山一样坚硬。你说，我们以后就做平行线好了……顿时，心如刀绞，眼泪不受控制地涌出眼眶。我委屈，明明玩笑一直是一样的，明明比以前还要在乎你，可为什么结果却是绝交……
我不知道当时是怎样控制住了眼泪，只觉得心很痛。在给你写的回信中，我说，不会相交的线叫做平行线。我说，平行线活得平安又枯燥。我说，我更喜欢相交线，因为它们相交。我说，也许我们的相交是个错误……
我将它递给你时，真的很想说：“原来我们的友谊如此脆弱。”却没说出口……
记得后来，你给我写了好多信，对我说了好多“对不起”。你说，你的那封信只是玩笑。你说，你不是有意伤我。你说，你不想失去这个朋友。你说，你不想和我做平行线……我看着你的信，只是叹气。后来给你写了很多回信，或长或短，内容都不一样，却始终有一句：我们应该保持距离，毕竟只是朋友。
又成了朋友，之间却有一层看不见，逾越不了的屏障。
“我们究竟是平行线，还是相交线?”低弱的声音把我从思绪中拉了回来。
“啊?”我正好对上了你的眼睛，那固执的眼神让我感觉不自在。我别过头，躲开你的视线，慢慢道：“我不知道，曾经的我们是相交线，可现在的我们，就像平行线，我不知道我们究竟是平行线还是相交线。抱歉，我回答不了。”
你眼里彻彻底底盛满了失望，苦笑道：“是啊!时间不早了，我要回去了。”转身便跑走了，望着你的背影，想了很久，终是没有想明白……
平行与相交是苏教版数学教材第四单元的内容。它是在学生已经学习了直线、线段和射线的基础上进行教学的。这一课的知识点是：让学生知道两条直线的位置关系(相交和平行)，掌握平行的概念，认识生活中的平行现象，会借助用三角板和直尺及其它工具画平行线。平面内两直线的平行与相交的位置关系在数学学科中具有重要意义，在教材中起承上启下的作用，是进一步学习图形位置关系的重要基础，比如平行四边形、梯形等知识。很少看到如这类知识点，大量的感性素材总结出的理性概念，而在实际运用概念时又要充分的利用直接的感受，小学数学知识系统中，数感的充分利用在这节课显示的淋漓尽致，因此在教材教学目标的设定中，增加了感知关系这一目标，为的就是强调数学直观感受。
说教学目标：
1、知识与能力目标：让学生结合具体情境，感知平面上两条直线的位置关系，认识平行，增强平行这一概念的数学直接感知。
2、过程与方法目标：使学生通过自主探究和合作交流，能用合适的方法作出一组平行线，能借助直尺和三角尺画出已经直线的平行线。
3、情感与态度目标：使学生通过观察、操作，形成平行线的表象，发展空间观念;初步了解生活里的平行现象，产生学习图形位置关系的兴趣。
教学重点：
结合生活中的具体实例感知两直线的位置关系，认识平行，会画平行线。
教学难点：
学会画平行线的方法。
说教法和学法：新课标要求我们在实际课堂教学中应“激发学生独立思考和创新的意识，让学生感受理解知识产生和发展的过程”。本节课借助多媒体，让学生结合具体生活情境充分感知直线的位置关系，形成同一平面内两条直线平行与相交的概念。通过让学生在折一折，，量一量，画一画的操作活动加深学生对平行线的认识。在操作活动中，不仅培养学生学会与人交流合作的能力，还调动了学生学习数学的积极参与程度。
说教学过程：
一、创设情境，充分感知
围绕三张生活图片(路灯、跑道、电线杆)
问1：图片中的直线或线段带给你最直观的感受是什么?：
问2：用最简单的方式表达出你的直观感受(可以让学生在提供的几幅直线关系中一一选择对应，也可以让孩子自己画出这种直线关系)根据学生的实际情况第一种难度较小，第二种需要现场生成，有一定难度。
二、根据感知、生成概念
根据生成出的三种位置关系，引导出相交、不相交、平行的不完全概念，回到课本，深刻认识以上三个概念，看看有哪些我们的总结是正确的，哪些有偏颇。
这个时候开始强调“同一个平面”这个概念，先看看我们刚才三组位置关系是不是在同一平面内呢(画在同一个黑板、画在同一张纸同一个平面的实际解释)，同一个几个正例的强调，再结合一些否例(不同面上不相交的非平行关系)课件的演示可以加深孩子对同一个平面内这个限制条件的必要性认识。
三、概念升华、回归生活
大家说说，在生活中你还发现哪里有平行的例子呢?
概念回归的过程必然是升华的过程，结合学生的举例和解释，老师要引导孩子注意不相交的数感解释，还要引导孩子注意解释是否在同一个平面，还要注意语句的精炼和严谨性(互相平行，谁是谁的平行线等)
四、动手操作，深化平行认识
学习数学平行线的画法，就是本课突破难点之处，如果可以老师要借助课件，结合示范，充分利用小组合作的效率优势。
(1)借助实物边沿画平行线(直尺的上下、左右边等)
(2)在方格纸上画平行线(实际教学中可能产生思维火花的一种画法，因为可以画出非水平或非竖直的平行线。)
(3)标准的三角尺和直尺的推轨式画法。
(4)利用折纸产生的折痕也可以轻松得到平行线。
五、练习部分主要是有层次的对本课知识技能进行巩固，教材上的练习就很好，如果需要可以增加一些文字判断，选择、填空等练习
1. 方程思想
几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解.
例1如图1，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2 ∶3 ∶ 4，求∠α、∠D、∠B的大小.
解： 设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.
因为 FC∥AB∥DE，所以 ∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°-3x°.
又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有
（180-3x）+（180-4x）+2x=180.
解得x=36.
所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.
[评注：]解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来.当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密.
2. 转化思想
在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化.转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化.
例2如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED∥BC.试判断∠1与∠2的关系，并说明理由.
解： 因为BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC=90°.故BD∥FG，从而可知∠2=∠3.
因为ED∥BC，所以∠1=∠3.
故∠1=∠2.
[评注：]这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理.要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化.
例3如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过.第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A=120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行.你知道∠C是多少度吗？
解： 如图3，过点B作EF∥GA，则∠1=∠A=120°.
因为∠ABC=150°，所以∠2=∠ABC-∠1=150°-120°=30°.
因为GA∥CD，EF∥GA，所以EF∥CD.
故∠2+∠C=180°.
从而可得∠C=180°-∠2=180°-30°=150°.
[评注：]在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化.
3. 分类讨论思想
在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题.这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论.
例4在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.
解： 如图4，有两种不同的情况.
在图4（1）中，因为DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.
在图4（2）中，因为DE∥AB，所以∠ABC+∠1=180°.又因为EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC+∠DEF=180°.
[评注：]题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解.
【责任编辑：潘彦坤】
十亿分之一秒——在计算机上测量时间
一个电脉冲在十亿分之一秒里行进了8 英寸．光在十亿分之一秒里掠过了一英尺．今天的计算机每秒钟能运算百万次．
让我们感受一下一台大型计算机能够以多快的速度进行工作，假定我们考虑的时间为半秒．在半秒时间内计算机能够执行以下任务：
（1）将200 张支票录入300 个不同的银行账目中；
（2）检查100 个病人的心电图；
（3）对3 000 张试卷150 000 个答案进行评分，并正确评价每个问题；
（4）为一个公司的1 000 名员工计算工资；
框架梁与剪力墙的连接方式主要分两类:1) 框架梁与剪力墙在平面内相交;2) 框架梁垂直于剪力墙相交。
1 框架梁与剪力墙在平面内相交
在11G101-1第85页谈到关于抗震框架梁KL, WKL箍筋加密区的范围, 抗震等级为一级时:箍筋加密区大于2.0hb且大于500;抗震等级为二至四级时:大于1.5hb且大于500, 如图1所示;本抗震构造措施同样是适用于框架梁与剪力墙平面连接的情况。
在13G101-11第55页也讲到当框架梁与剪力墙在平面内相交时 (如图2所示) , 按框架节点或连梁处理 (取决于梁的跨高比, 大于5时按框架节点处理, 小于5时按连梁处理) , 即梁两端的箍筋加密区范围根据抗震等级进行加密, 梁纵筋在剪力墙内的锚固长度要满足抗震要求下锚固长度La E。
某框架梁与剪力墙平面内相交施工现场见图3。
2 框架梁、剪力墙于平面外垂直相交
对于该种情况, 不能笼统的一概而论, 要根据剪力墙与框架梁两者之间的相对抗弯刚度而定, 当剪力墙平面外的刚度较大, 需要考虑剪力墙平面外地震作用力, 同时梁的截面高度也较大 (一般大框架梁都满足此要求) , 该节点趋于刚性节点, 梁的上、下纵筋, 箍筋均应按抗震框架梁的构造措施进行锚固、加密。
反之当剪力墙平面外刚度较小, 不需要考虑剪力墙平面外的地震作用力, 梁截面也较小, 考虑为半铰接、铰接时, 按一般非抗震梁构造要求进行锚固 (如图4所示) 。
又比如当框架梁的一端支座为另一垂直相交的主梁时 (见图5) , 该框架梁在此处的结点仍然可按非抗震框架梁结点处理 (见图6) 。
因此当框架梁与剪力墙垂直相交时, 需联系设计方, 确定两者之间的相对刚度关系、结点按刚接处理, 还是按铰接处理。
3 两种构造措施差异分析
上述两种构造措施的出发点, 可以从以下两个结构力学模型进行切入。综上可知, 即竖向构件作为框架梁的支座是否有足够的约束刚度, 来约束框架梁端部的转角变形使之共同受力。对于第一种情况 (见图7, 图8) :框架梁与剪力墙在平面相交时, 剪力墙在平面内有足够大的抗弯约束刚度, 它能够与框架梁形成刚节点共同变形抵抗侧向地震作用力, 这时梁内弯矩是非常大的, 同时弯曲变形带来的破坏剪力亦非常大。因此框架梁必须要满足抗震构造要求。对于第二种情况 (见图9, 图10) :框架梁与剪力墙在平面外垂直相交或框架梁一端支座为另一垂直主梁时, 首先剪力墙在平面外方向刚度较小, 地震作用力亦较小, 而且也没有足够的约束刚度来约束梁端变形保证共同抗侧力。因此该情况下, 梁内力相对第一种情况较小, 可按非抗震构造要求进行施工。
4 经济效益分析
以某框架—核心筒结构5层~9层标准层为研究对象, 其中KL4, KL5, KL6, KL7, KL8, KL9均为一端支座为钢管柱, 一端支座为剪力墙的框架梁, 共12个节点区域。经上述论证框架梁与剪力墙平面外相交时, 不考虑箍筋加密区, 从原来的144个箍筋数降至72个。每层箍筋减少量为72个箍筋, 合计重量135 kg。该单位工程共50层, 其中地上48层, 地下室2层共计节约重量钢筋梁M=50×135 kg=6 750 kg, 所以整个3号楼共能节约大概6 750 kg钢筋 (如表1所示) 。整个绿地二期T3楼和T4楼结构类似, 并且T4比T3工程量更大, 在此基数上更能有质有量节约钢筋用量, 降低工程造价。
5 结语
因此在进行框架—核心筒的施工过程中, 对于框架梁与剪力墙连接处钢筋构造, 需根据两者不同的连接方式, 在保证结构安全性、耐久性、舒适性条件下, 采取合适的构造措施, 能够有效节约钢筋用量, 控制施工成本。
摘要：结合现场施工情况, 阐述了框架梁因与剪力墙不同的连接方式而导致混凝土结构构造上的差异, 并对此差异从力学角度进行了剖析, 从而明确了该节点部位的施工技术要点, 保证结构设计薄弱点不发生转移。
关键词：框架—核心筒,连接方式,力学模型,钢筋构造
参考文献
[1]13G101-11, 施工常见问题答疑图解[Z].2013.
[2]11G101-1, 混凝土结构施工平面整体表示方法制图规则和构造详图[Z].2011.
● 相交线
1.相交线：在同一平面内，相交的两条直线。-----特点：有一个交点
2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线
-----性质：对顶角相等
-----N条直线相交有N（N—1）对对顶角
3.邻补角----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线
-----性质：邻补角互补（和为180°）
-----N条直线相交有2N（N—1）对邻补角
4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。
---性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）垂线段最短
----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
●平行线
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。-----特点：没有交点
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。
3.三线八角
形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行）名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）
4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行
（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行。
5.平行线的性质-------（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补
6.两条平行线间的距离-----就是两条平行线间的垂线段的长度。
● 命题
1.定义：判断一件事情的语句
2.组成----(1)题设（如果……）（2）结论(那么……)
3.分类----（1）真命题(2)假命题
●平移
1.定义：一个图形沿着一定的方向平行移动。
2.特点----（1）平移后图形的形状、大小不变，位置改变
（2）对应点所连接的线段平行（或在同一直线上），对应角相等。
关键知识点：教你用倒推法做证明题
1.已知：如图，BAPAPD180，12。
求证：EF
ABE
F
CPD
CD，2，练习
已知：如图，12，3B，AC//DE，且B、C、D在一条直线上。求证：AE//BD
A
1E2
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