用方程解相遇问题（通用12篇）
教者：崔红梅
教学内容：本内容是五年级上册第79页,82页的相遇问题。
教学目标：
知识与技能
结合具体事例，经历自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题的过程。
过程与方法
能根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。
情感态度价值观
体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。
教学重点：
正确地寻找数量之间的相等关系。教学难点： 掌握列方程解具有两积之和(或差)的数量关系的应用题的解法。
教具准备：
课件
教法与学法：
教法 演示引导
学法 观察，思考，尝试
教学过程：
一、课前测评 1.填空
(1)使方程左右两边相等的()解。
(2)求方程的解的过程叫做()(3)比x多5的数是10。列方程为()(4)8与x的和是56。列方程为()(5)比x少
1.06的数是()。2.填空
(1)长方形面积的字母公式是()(2)用字母来表示乘法分配率()21.5。叫做方程的。列方程为。
。(3)含有()的（）叫做方程(4)2.4与x的积是56。列方程为()(5)X 里面包含有5个0.3。列方程为()（6）解方程的根据是（）。
（7）等号的两边同时乘或除以（）（0除外），结果仍然是一个（）。
3.甲、乙两地的公路长285千米，客、货两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇。已知客车每小时行45千米，货车每小时行多少千米？（用算术方法解答）
（在相遇问题中有哪些等量关系?）
板书：甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间＝路程(甲速＋乙速)×相遇时间＝路程
4.揭示课题：如果我们要求用方程解，又该怎样解答呢?这节课我们就来学习列方程解相遇问题的应用题。(板书课题)
二、探究尝试 1.出示学习目标
学生齐读学习目标，明确学习任务 2.出示例5 例5：小林家和小云家相距4.5。小林每分钟骑250m，小云每分钟骑200m，周日早上9:00两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
1）指名读题，你了解了哪些数学信息和要解决什么问题？ 2）生汇报引导学生根据复习题的线段图画出线段图。3）相向而行，两人何时相遇是什么意思？两车相遇时，各自走的路程和两家距离有什么关系？ 汇报交流：
4）根据线段图学生找出数量间的相等关系： 5）设未知数列方程并解答。解：设两人x分钟后相遇。0.25x+0.2x＝4.5（解略）
6）汇报时启发学生用不同方法列方程，并说说方程所表示的数量间相等关系。表示相遇时，两车的速度和与时间的积等于两家的距离。
三、应用实践
师：请同学们完成牛刀小试 学生审题，试着列出方程，四、生活体验
1.分组完成“挑战自我”，比比看谁算得又对又快。学生读题理解题意，试着列方程解答。
订正时，重点让学生说一说数量间相等的关系式。2.分组完成“超越自我”，比比看谁最棒？ 帮助学生理解题意，鼓励学生尝试解答。
五、全课总结
师：这节课你有哪些收获？ 学生汇报
教师小结：相遇问题中求速度的应用题，列方程解比较简便。列方程解求速度、时间等问题时，首先要根据以前学习的相遇问题中数量间的相等关系，设未知数列方程，再正确地解答。
六、作业
说明:国家规定个人发表文章出版图书获得稿费的纳税方法是:稿费不高于800元的不纳税;稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税;稿费高于4000元的就缴纳全部稿费的11%的税。
例1:今知丁老师获得一笔稿费并缴纳个人所得税420元。问:丁老师这笔稿费有多少元
解:∵ (4000-800) ×14%=448>420,
且4000×11%=440>420,
∴丁老师的稿费高于800元而低于4000元。
设丁老师的稿费为x元, 则
(x-800) ×14%=420.
解得:x=3800.
答:丁老师这笔稿费有3800元。
例2:今知王教授出版一本著作获得一笔稿费, 他缴纳了550元的税, 王教授的这笔稿费是_______元。
解:获得4000元稿费时, 应缴纳税款为: (4000-800) ×14%=448元<550元, 而4000×11%=440<550, 可知王教授所获稿费高于4000元, 设其稿费为x元, 则
x×11%=550
解得:x=5000.
即王教授的这笔稿费是5000元。
例3:今知李老师获得一笔稿费, 并缴纳个人所得税446.60元, 问李老师这笔稿费有多少元
解:设李老师这笔稿费为x元,
①当x≤800时不纳税;
②当800
故所获得稿费可能高于800元, 而不高于4000元,
依题意, 得: (x-800) ×14%=446.60.
解得:x=3990.
③因为4000×11%=440<446.60,
故稿费可能高于4000元, 这时可列方程
x×11%=446.6。
解得:x=4060 (元) 。
因此李老师这笔稿费为3990元或4060元。
评注:稿费纳税有三种情况:
一是不纳税, 二是按14%纳税, 三是按11%纳税。
问题1 已知直线l1的方程为x－2y+2=0，直线l2的方程为2x－y－2=0．求过直线l1和直线l2交点P及原点的直线l的方程．
通常的解法是先求出直线l1和l2的交点P的坐标，再利用原点坐标即可求出直线l的方程．下面让我们再来看另一种“神奇”的解法．将直线l1的方程加上直线l2的方程，即
(x－2y+2)+(2x－y－2)=0 ①，化简得x－y=0 ②．观察上述过程中的方程①可知新方程是一个二元一次方程，故方程①表示的图形为直线．如果将点P的坐标代入方程①必定满足，从而方程①表示的直线必定过直线l1和l2的交点P．再观察方程②，发现常数项正好抵消，方程不含常数项，说明直线必定过原点．通过上面分析，我们能确定所求直线l的方程必是x－y=0．也许大家会觉得这是巧合，具有偶然性．但偶然之中必定蕴涵必然．如果将题目中的直线l2的方程改为2x－y－1=0．即题目变为
问题2 已知直线l1的方程为x－2y+2=0，直线l2的方程为2x－y－1=0．求过直线l1和直线l2交点P及原点的直线l的方程．
相信不少同学能类比上面的解题思路，得到如下解题过程：
将直线l1的方程加上两倍直线l2的方程，即(x－2y+2)+2(2x－y－1)=0，化简得5x－4y=0．此方程所表示的直线必定过直线l1和l2的交点P及原点，故所求直线l的方程为5x－4y=0．
相信大家看完问题2后，必定对我们所说的偶然之中蕴涵的必然产生了兴趣，就让我们一起展开思考，逐步解开其中的谜团，找出偶然中的必然．从上述两个问题中，我们以问题1为例，可以提炼出新方程的共同形式：(x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0，（其中λ∈R，λ为参数）．下面我们研究这个二元一次方程表示的直线有何特征．（1）给定λ的一个值，方程表示一条确定的直线，λ不同，方程表示不同的直线；（2）若设直线l1和l2的交点P的坐标为(x0, y0)，将P(x0, y0)代入方程有(x0－2y0+2)+λ(2x0－y0－2)=0，这说明直线经过l1和l2的交点P；（3）方程(x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0整理可得(2λ+1)x－(λ+2)y+(2－2λ)=0．当λ=－2时，该方程表示过交点P，且倾斜角为90°的直线；当λ≠－2时，该方程表示的直线的斜率k=2λ+1λ+2=2(λ+2)－3λ+2=2－3λ+2，可得k∈(－∞, 2)∪(2, +∞)，即方程不能表示过交点P且斜率为2的直线，也就是直线l2：2x－y－2=0．综上分析可知方程(x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0 （λ∈R， λ为参数）表示除了l2以外的过交点P的所有直线．我们称这个方程为过直线l1和l2的交点P的直线系方程．
一般地，两条直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0相交，则方程
(A1x+B1y+C1)＋λ(A2x+B2y+C2)=0 （λ∈R， λ为参数）表示除了l2以外的经过两直线交点的所有直线．称这个方程为过直线l1和l2交点的直线系方程．
在遇到求经过两直线交点的未知直线方程时，可先设出直线系方程，再利用剩下的另一个条件待定出方程里的参数λ，从而得到所求直线方程．这样就能免去解方程组的痛苦，减少解题过程的运算量．下面让我们通过具体的例题来加深理解直线系方程的应用．
例1
求过直线l1：x+2y+1=0与直线l2：2x－y+1=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解
设所求直线方程为：x+2y+1+λ(2x－y+1)=0 （λ∈R， λ为参数），当直线过原点时，代入O(0, 0)，有1+λ=0，得λ=－1，此时所求直线方程为：x－3y=0；当所求直线不过原点时，由2λ+1λ－2=－1，得λ=13，此时所求直线方程为：5x+5y+4=0.综上所述，所求直线方程为：x－3y=0或5x+5y+4=0.
变题1
已知直线l1的方程为x－2y+2=0，直线l2的方程为2x－y－2=0．求过直线l1和直线l2交点及N(4， 5)的直线l的方程．
解
设所求直线方程为(x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0，将N(4， 5)代入方程可得λ=4．整理得直线l的方程为3x－2y－2=0．
变题2
已知直线l1的方程为x－2y+2=0，直线l2的方程为2x－y－2=0．求过直线l1和直线l2交点且斜率为75的直线l的方程．
解
设所求直线方程为(x－2y+2)+λ(2x－y－2)=0，由2λ+1λ+2=75，可得λ=3．
整理得直线l的方程为7x－5y－4=0．
通过上述3题，可以总结如下：在求解直线方程时，若题中含有“过已知两直线交点”这个条件，则可以通过设出过两直线交点的直线系方程把此条件先用掉．这实际上是数学中的一种“设而不求”的思想．由于过程中并未真正求出交点坐标，从而减少了计算量，简化了解题过程．
在遇到求经过两直线交点的未知直线方程时，可设出过两直线交点的直线系方程，只要解出一个参数即可得直线方程．反之，若给出的直线方程中含有一个参数，如何去理解这条直线呢？例如直线l的方程为(λ+3)x－2(λ－1)y+3λ－7=0 （λ∈R， λ为参数）．大家知道确定直线方程需由两个已知条件求出确定直线方程的两个参数．通过观察，上面方程中含有一个参数，这说明确定直线的两个条件中尚有一个不确定，但同时也说明有一个条件已经确定．通过把方程整理成3x+2y－7－λ(x－2y+3)=0 （λ∈R， λ为参数）可以发现，当3x+2y－7=0，x－2y+3=0时，
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即当x=1，y=2时，无论λ取何值方程总有解x=1，y=2，也即直线l恒过定点P(1, 2)．上述过程实际上是将毫无规律的直线系方程按参数λ整理成过两直线交点的直线系方程，化复杂为简单，找出直线方程中隐藏的定点条件．
下面我们通过例题来巩固这种理解直线系方程的方法．
例2
已知直线l：mx+y－m－1=0 (m是参数，m∈R)．求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．
分析
通常可采用取特殊值法．取m=0，可得y=1，再取m=1，可得x+y－2=0，由y=1x+y－2=0解得x=1y=1，将(1， 1)代入方程mx+y－m－1=0检验，满足条件，从而可得直线l过定点(1， 1)．采用这种方法证明最后的代入检验不能少，如果我们采用上面将直线方程整理成过两直线交点的直线系方程的方法，则可避免最后的代入检验，过程如下．
证明
直线方程可化为:(x－1)m+y－1=0， 因为m∈R，由x－1=0，y－1=0解得x=1，y=1，即直线l过定点(1， 1)．
变题
已知3a+2b=1，求证：直线ax+by+2(x－y)－1=0恒过定点，并求出该定点坐标．
略解
将b=12(1－3a)代入方程ax+by+2(x－y)－1=0整理可得直线过定点1, 23．
通过上述两题，想必大家对如何去理解直线系方程有了深刻的认识．在此基础上，我们进一步研究，看看这种理解直线系方程的方法在实际解决直线问题中的应用．
例3
若直线y=kx+2k+1与直线y=－x+4交点在第四象限，则实数k的取值范围为 ．
分析
本题若按常规方法，应先联立两直线方程，解出交点的横、纵坐标，再根据交点在第四象限，通过解分式不等式组得到k的取值范围．这种解法过程复杂，运算量大，极易算错．若能利用直线系方程的知识看出直线y=kx+2k+1过定点，运用数形结合，则可大大简化解题过程．
解
直线方程y=kx+2k+1整理可得y=k(x+2)+1，恒过定点P(－2， 1)，斜率为k．观察图1，其中kPA=0－14－(－2)=－16， kPB=－1．
由图1可知，当直线介于PA和PB之间时，与直线y=－x+4的交点在第四象限，此时直线的斜率k应满足k∈－1， -16．
变题
若直线ax+(1－2a)y+1－a=0不通过第一象限，则实数a的取值范围是 ．
略解
直线方程ax+(1－2a)y+1－a=0过定点P(－1， -1)．结合图象可知a2a－1≤0或2a－1=0，解得0≤a≤12．
例4
求证：无论λ为何值，直线l：(2+λ)x－(1+λ)y－2(3+2λ)=0与点Q(－2, 2)的距离d都小于42．
分析
常规方法运用点到直线距离公式，距离d可整理成关于λ的函数，但由于函数表达式非常复杂，很难求出d的范围．若能利用直线系方程得出直线所过的定点，结合图形，则能使此题巧妙获解．
解
直线方程
(2+λ)x－(1+λ)y－2(3+2λ)=0
可整理为(2x－y－6)+λ(x－y－4)=0，
由2x－y－6=0，x－y－4=0得x=2，y=－2.
即直线l过定点P(2， -2)．由图2可知点Q到直线的最大距离为PQ=42，即d≤42．此时的直线l过点P且垂直于PQ，其方程为x－y－4=0．由直线系的知识知：方程
(2x－y－6)+λ(x－y－4)=0无论λ取何值都不能表示直线x－y－4=0，故d<42．
通过上述三题大家一定对直线系方程的认识更加深入，对于它在解决直线问题中的应用有了自己的领悟．下面我们再给出一个题目，希望大家在看解答之前能挑战自己，运用你对直线系知识的了解独立解决．
例5
已知直线l1：ax－2y－2a+4=0， l2：2x+a2y－2a2－4=0，其中0 分析 此题表面上看很难下手，不知道如何去作l1， l2两条直线，从而无法选择计算四边形面积的方法．如果大家仔细观察题中给出的两直线方程，能发现l1， l2都是过同一定点的直线，再结合图形，一个看似毫无头绪的问题立刻柳暗花明，迎刃而解． 解 直线l1：ax－2y－2a+4=0方程可整理为a(x－2)+(4－2y)=0，从而l1过定点P(2, 2)，且其斜率k1=a2∈(0， 1)；同理l2也过定点P(2, 2)且其斜率k2=－2a2∈－∞， -12．结合斜率的范围作出两直线图象（图3）， 图3 可得l1与y轴正半轴相交于A(0, 2－a)， l2与x轴正半轴相交于B(a2+2, 0)， l1， l2与两坐标轴围成的四边形为OBPA．连OP， 则有SOBPQ=S△AOP+S△BOP =12OA?xp+12OB?yp =a2－a+4 =a－122+154(a∈(0, 2)). 当且仅当a=12时，四边形OBPA面积最小，最小值为154． 除了过两直线交点的直线系方程外，还有其他的直线系方程．例如方程y=3x+b （b∈R， b为参数），它表示所有斜率为3的直线，称为平行直线系方程．事实上当直线方程中含有一个参数时，所得到的是具有某一公共性质的许多直线，像这样具有某一公共性质的直线的集合，叫做直线系，它们的方程叫直线系方程．在解决某些复杂的直线问题，直线系方程能起到化繁为简、化难为易的神奇作用．大家可以在实践中不断探索、积累直线系方程在解题中的应用． 教学目标： 1、结合具体事例，经历自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题的过程。 2、利用线段图分析题意，找出等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。 3、体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感，增强学好数学的信心。教学重点：掌握列方程解决相遇问题的解题方法。 教学难点：利用画线段图的方法帮助学生分析理解等量关系。教学过程 一、创设情境 1、复习 老师让薛奎志从后面走前来，你一分钟能走多少米？（100米）。一分钟能走100米，在数学中我们叫什么？（速度）谁能接着提问？10分钟走1000米，1000米叫什么？（路程）那路程、速度、时间之间的数量关系有什么样的数量关系呢？（出示幻灯片） 2、认识相遇 这是我们以前学过的，老师再叫两个同学上来，分别站在两边面对面，注意观察他们是怎么走的？听老师说开始走，直到碰面为止。他们两个碰了面就叫相遇。相遇时两个人的距离为零。像这样具有“两物、同时从两地相对而行”这种运动特点的行程问题，叫做行程问题中的“相遇问题”。（板书：相遇问题） 3、相遇问题与以前学习的行程问题有什么不同？(以前学习的行程问题是研究一个物体的运动情况，相遇问题是研究两个物体同时运动的情况。) 二、新授 出示例题 1、学生读题，学生边读边分析题意，找出已知条件和所求问题。（知道了路程和客车的速度，相遇的时间，求货车的速度） 在这里有几个关键的词我们要理解一下，相距，相向，相遇，同时。相距就是客车和货车的距离，相向就是两辆车面对面行驶，相遇就是两辆车碰面。同时就是同时出发。 2、利用线段图分析题意。 师：在数学当中我们可以利用线段图来分析题意，我们可以画一条线段来表示客车和货车的距离。用箭头表示他们行驶的方向。 3、根据线段图写出数量关系式 借助线段图我们很清楚的可以看出左边这一段距离是客车的路程，右边这一段距离是货车的路程，而他们两辆车的路程合起来就是客车和货车的距离，我们可以把他们叫做总路程。现在同学们能根据这个线段图写出一个等量关系式吗？ 客车行的路程+货车行的路程=总路程 客车的速度×相遇时间+货车的速度×相遇时间=总路程客车的速度我们知道，总路程，相遇时间也知道，只有货车的速度不知道，而货车的速度就是我们题目中要求的问题，所以我们可以把这个要求的未知量设为x，现在同学们可以用我们所学的方法来解决这个这个问题吗，有哪个同学愿意到黑板上来展示吗。 4、根据关系式列出方程并解方程 方法一： 疑问：方法二是什么意思，95加Ｘ是什么意思呢，是客车与货车1小时行驶的路程，把它看作一个整体，叫速度和。那么几个这样的速度和就等于总路程呢？3小时就是3个95加Ｘ米。 5、教师小结：刚才我们利用画线段图的方法分析了题意，然后根据线段图和速度、时间、路程的数量关系，找到了等量关系式，列出了方程。这就是我们今天学习的列方程解决相遇问题（板书列方程解决相遇问题）接下来我们就利用刚才解决问题方法再来解决一些实际问题。 三、巩固练习 打开课本15页练一练 四、课堂小结 1、这节课你学会了什么知识？有哪些收获？ 2、引导总结： a．学会了用线段图分析题意找出数量关系。 4．例1：…… 2．一元二次方程……： …… 3．一元二次方程的一般形式： …… 5．练习：…… …… …… 六、课后习题参考答案 教材P．6A2． 教材P．6B1、2． 1．（1）二次项系数：ab 一次项系数：c 常数项：d． （2）二次项系数： m-n 一次项系数：0 常数项：m＋n． 2．一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次项系数：m＋n，一次项系数：m－n，常数项：p－q． 思考题 （1）不能．如x3＋2x2－4x＝5． （2）一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3，这样的整式方程叫做一元三次方程．一般形式：ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）． 教学内容：12.1 用公式解一元二次方程(一) 教学目标： 知识与技能目标：1.使学生了解一元二次方程及整式方程的意义;2.掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 过程与方法目标：1.通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力;2.通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性. 情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识.。 教学重、难点与关键： 重点：一元二次方程的意义及一般形式. 难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。 教辅工具： 教学程序设计： 程序 1.用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程.学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力. 2.现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长? 教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题. 板书：“第十二章一元二次方程”.教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣. 学生看投影并思考问题 通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义;产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中.同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位. 探究新知1 1.复习提问 (1)什么叫做方程?曾学过哪些方程? (2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含义? (3)什么叫做分式方程? 2.引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪? 引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念. 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 3.练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程? (1)x(5x-2)=x(x+1)+4x2; (2)7x2+6=2x(3x+1); (3) (4)6x2=x; (5)2x2=5y; (6)-x2=0 4.任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数. 一般式中的“a≠0”为什么?如果a=0，则ax2+bx+c=0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解. 5.例1 把方程3x(x-1)=2(x+1)+8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项? 教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式. 讨论后回答 学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以观察、比较， 独立完成 加深理解 学生试解 问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫 反馈训练应用提高 练习1：教材P.5中1，2. 练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程?为什么?若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：. (4)(b2+1)x2-bx+b=2;(5)2tx(x-5)=7-4tx. 教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化. 要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价.题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数. 小结提高 (四)总结、扩展 引导学生从下面三方面进行小结.从方法上学到了什么方法?从知识内容上学到了什么内容?分清楚概念的区别和联系? 1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法. 2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项.归纳所学过的整式方程. 3.一元二次方程的意义与一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义. 学生讨论回答 布置作业 1.教材P.6 练习2. 2.思考题： 1)能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程?” 2)试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式(学有余力的学生思考). 反思 1.高斯消去法 (Gauss Elimination) 的解题思路 高斯消去法实质上分成两部分:一是利用列运算将矩阵A代成上三角矩阵;二是反代 (Backward Substitution) 来求得所要的答案.矩阵的基本列运算规则为: (1) 任一列均可乘以一非零的常数; (2) 将任一列乘以一常数后加到其他列; (3) 可任意对调任两列[2]. n维线性方程组常记为: 用矩阵表示为: 例如: 经两次列运算后: 得到: 再进行以下的列运算: 可以得到: 反代得到解答: 2.以三维矩阵为例找出计算机解题的思路 消去法的过程 第一步计算: 得到新的矩阵为: 接着进行第二步的列运算: 得到新矩阵: 反代: 3.n维线性方程式解的演算法 高斯消去法: (1) 由第一行开始至第n-1行, j=1, to n-1; (2) 由第j+1列至第n列, i=j+1 to n; (3) 由第一行至第n行, k=1, n. 反代法: 由j=n-1至1 4.n维线性方程式解的C程序范例 5.结束语 高斯消去法的计算量非常大, 在实际使用中最好能借助于计算机来运算, 而对于10维以上的线性方程组来说, C语言中定义的双精度数值可能也不能计算, 在计算速度方面也有所欠缺, 故而要考虑用其他方法如:迭代法、高斯-塞德尔迭代法等来求解. 摘要：介绍了如何用C语言实现线性方程组的高斯消去法的解法, 其有效性已在Turbo C中得到了验证. 关键词：高斯消去法,C语言,线性方程组 参考文献 [1]杨先娣, 滕冲, 吴黎兵等.用Matlab语言实现线性方程组的全主元三角分解法[J].数理医药学杂志, 2001 (4) :302～303. 【关键词】三元一次方程组 ； 唯一解 ； 无穷组解 ； 无解 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）22-0210-01 初中数学教学过程中，有时，会碰到一些无法解决的问题。举例如下： 例1.解方程组 3x+2y-z=1……1x-3y+z=3 ……22x+4y-z=o……3 ①+②，得4x-y=4……（4） ②+③，得3x-y=3……（5） （4）-（5），得 x=1 将x=1代入（4），得y=0 将x=1，y=0代入（2）得z=2，故方程组有唯一的一组解，x=1y=0z=2 例2.解方程组 3x+2y-z=4……16x+4y-2z=8 ……22x+4y-z=o……3 ①×2-（2），得0=0，说明（1）与（2）是同解方程，可以去掉（2），则原方程组变为3x+2y-z=4……12x+4y-z=o……3 （1）×2-3，得4x-z=8……（5） （1）×2-3×3 ，得：-8y+z=8……（6）如果令z=t，则有：4x=8+t-8y=8-tz=t 这里，t为任意实数，当时t=0，得x=2y=-1z=0是方程组的一组解； 当t=1，则得x=2+■y=-1+■z=1；当t=k，则得x=2+■y=-1+■z=k 故原方程组有无穷多组解。在这无穷多组解中，如果要求位于[0，20]区间内而且z都是8的倍数的正整数解，则需 0 例3.解方程组 3x+2y-z=4……16x+4y-2z=9……22x+4y-z=o……3 解：（1）×2-（2），得0=1，于是①与②是矛盾方程，无解，因此，例3是一个无解方程组。 关于多元一次方程组的解的存在性讨论： （1）如果方程组的所有方程都不是同解方程——其特征为：所有方程的未知数系数与常数均不成比例，则方程组有唯一的一组解。 （2）如果方程组中至少有两个方程是同解方程——其特征为：这两个方程的未知数系数与常数项成比例，则方程组具有无穷多组解。 （3）如果方程组中至少有两个方程是无解方程（即矛盾方程）——其特征为：这两个方程的未知系数成比例，而与常数项不成比例，则方程组无解。 参考文献 [1]全国九年义务教育（数学）七年级教本[M]中国教育出版社，2012，8月 [2]全国九年义务教育（数学）七年级教师用书[M]中国教育出版社2012.8月 [3]方程与不等式[M]喻绍迪编著，四川人民出版社，1981 配方法不仅是解一元二次方程的方法之一既是对前面知识的复习也是其它许多数学问题的一种数学思想方法，其发挥的作用和意义十分重要。原以为学生不容易掌握。谁知从学生的学习情况来看，效果普遍良好。从本节课的具体教学过程来分析，我有以下几点体会。 1、善于引导学生发现规律，注重培养学生的观察分析归纳问题的能力。首先复习完全平方公式及有关计算，让学生进行一些完形填空。然后让学生注意观察总结规律，然后小组总结交流得出结论。即配方法的具体步骤：①当二次项系数为1时将移常数项到方程右边；②方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③化方程左边为完全平方式；④（若方程右边为非负数）利用直接开平方法解得方程的根。这样一来学生就很容易掌握了配方法，理解起来也很容易，运用起来也很方便。 2、习题设计由易到难，符合学生的认知规律。在掌握了二次项系数为一的后。提出问题：当二次项系数不为一时你会用配方法解决吗？不少学生立即答道把系数化为一不就够了吗。于是学生很快总结出 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移常数项到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④化方程左边为完全平方式；⑤（若方程右边为非负数）利用直接开平方法解得方程的根。 3、恰到好处的设置悬念，为下节课做铺垫。我问学生配方法是不是可以解决“任何一个”一元二次方程？若不能，如何来确定它的“适用范围”？多数学生迅速开动脑筋并发现“配方法”能简便解决一部分“特殊方程”，而例如x+2x=0,4x+4x+1=0,2y－3y+3=0这些方程用“配方法”的话就相当麻烦，不如用“求根公式”或“因式分解”来解简单，这些方法后面我们将要进一步学习。由此，我抓住这个契机向学生引申：解决一个问题的途径可能有多种思路，但为了提高学习效率，我们尽量选择一个简便易行的方案，这也是解决数学问题的一种必备思想。 知识点睛 1.相遇问题：应加上括号 例题精讲 【例1】 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？ 【例2】 某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？ 【例3】 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 【例4】 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 【例5】 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 【例6】 已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管工作24小时可以将满池的水放完,对于空的水池，如果进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少时间？ 【例7】 有一个水池用两个水管注水。如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池。 (1)如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把水池注满？ (2)假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？ 灵机一动 某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？ 家庭作业 1.一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作4天后，剩下的部分由乙单独做，需要几天完成？ 2.单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 3.单独完成某工程，甲队需10天，乙队5天只能完成工作的，丙队需20天。开始三个队一起干，3天 31后甲撤出，剩余的工作乙丙一起完成。问：问甲撤出后乙丙一同工作了多少天？ 4.一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了若干天（不存在两队同一天休息）.从开始到完成共用了11天.问乙队休息了多少天？ 未知量和已知量的联系隐含在一定的问题情境中，通过分析题意，利用已有知识，力求用等式（或不等式）来刻画这种联系，是利用方程思想解题的关键.这就类似于同学们在初中所学的列方程解应用题. 利用方程思想解题的步骤：首先，确定问题可以用方程（组）来解；其次，确定问题中未知数的个数（基本量）；再次，在问题中寻找相应的等量（或不等量）关系；最后，求解方程（或方程组）. 例1若三点A（3，1），B（-2，b），C(8,11)在同一条直线上，求实数b的值. 分析我们知道两点确定一条直线，一般情况下三点是不在一条直线上的.既然三点在一条直线上，那么必定存在一种关系（等量关系）约束.至于如何寻找等量关系，取决于对“三点共线”的理解. 理解1:直线AB与直线AC的斜率相等； 理解2:点B在直线AC上； 理解3:向量AB与向量AC共线.(向量的知识在教材必修4中) 解（用理解1）因为A(3,1)，B(-2,b)，C(8,11)在同一直线上，所以kAB=kAC. 由斜率公式得b-1-2-3=11-18-3，解得b=-9. （有兴趣的同学不妨用第2、第3种理解来解解看，然后再比较一下三种解法的优劣.本题还可以利用三角形的面积公式来列方程，当然，这需要同学们知道用顶点坐标表示的三角形面积公式：S=12|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|.） 例2已知直线l过点P(0,1)，并与直线l1：x-y-1=0和l2：3x+2y+2=0分别交于点A,B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程. 分析求直线l的方程，实质上是求直线l上的两点的坐标或直线l上一点的坐标及直线l的斜率. 理解1：直线l上的一点已经确定，只需求出直线l的斜率，等量关系为“线段AB被点P平分”（中点坐标公式），为了将此等量关系用直线l的斜率表示，还需求出A,B两点的坐标（用l的斜率表示）； 理解2：直线l上的一点已经确定，只需求出直线l上另一点A的坐标，等量关系为“点B在直线l上”，还需利用中点坐标公式，根据A的坐标求出B的坐标； 理解3：假如能求出直线l上A,B两点的坐标，也能求出直线l的方程，等量关系为“线段AB被点P平分”，“点A在直线l上”，“点B在直线l上”. 解（用理解3）设A为(a,b)，B为(m,n)， 因为点A在直线l1上，点B在直线l2上， 所以a-b-1=0①，3m+2n+2=0②， 又因为线段AB被点P平分， 所以a+m2=0③，b+n2=1④， 解由①②③④组成的方程组， 得a=85,b=35,m=-85,n=75. 故A,B两点的坐标分别为85,35，-85,75, 所以直线l的方程为x+4y-4=0. （同学们不妨用第1、第2种理解来解解看，然后再比较一下优劣.本题还可以充分利用平面几何知识，直接求直线l的方程.） 例3已知点A(1,4)，B(6,2)，试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得△ABC的面积等于19？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由. 分析存在不存在点C，取决于关于点C的坐标的方程（组）有没有解，其等量关系为“点C在直线x-3y+3=0上”，“△ABC的面积等于19”. 解假设在直线x-3y+3=0上存在点C，使得△ABC的面积等于19， 设点C的坐标为(a,b),则a-3b+3=0①， 由题意知，AB=(1-6)2+(4-2)2=29，直线AB的方程为2x+5y-22=0, 所以12•29•|2a+5b-22|29=19②， 解由①②组成的方程组，得a=15,b=6或a=-6311，b=-1011, 故在直线x-3y+3=0上存在点C，使得△ABC的面积等于19.且点C的坐标为(15,6)或-6311,-1011. 例4过点P(1,3)作直线l，若l经过点A(a,0)和B(0,b)，且a,b∈N*，则可作出的直线l共有几条？ 分析粗看上去，只知道直线l过点P，这样的直线应该有无数条，但由于直线l与x轴，y轴交点的横坐标、纵坐标a,b∈N*，这在很大程度上限制了直线，因此符合条件的直线就有可能仅有有限条了.可以抓住关系“直线过点P”和“a和b∈N*”求解. 解由于P,A,B三点共线，则kPA=kPB，即0-3a-1=b-30-1，即b=3+3a-1. 因为a,b∈N*，所以a-1=1或a-1=3，即a=2或a=4，此时b=6或b=4. 故存在两条满足题意的直线l，它们的方程为3x+y-6=0和x+y-4=0. 例5直线l经过两条直线l1：2x-5y+8=0和l2：2x+3y-12=0的交点，且将这两条直线与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分，求直线l的一般式方程. 分析已知直线l经过一个点（交点），只需求出直线l的斜率k或直线l与x轴的交点即可.未知数“斜率”或“与x轴的交点的横坐标”可由条件“直线l将直线l1，l2与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分”来约束. 解（选择直线l的斜率k为未知数）设直线l的斜率为k，l1与l2的交点为P，直线l1与x轴交于点A，直线l2与x轴交于点B，直线l与x轴交于点C. 解方程组2x-5y+8=0,2x+3y-12=0,得x=94，y=52,所以点P的坐标为94,52. 设直线l的方程为y-52=kx-94，令y=0，得点C为-52k+94,0. 而点A的坐标为(-4,0)，点B的坐标为(6,0)， 图1 如图1，因为直线l将直线l1，l2与x轴围成的三角形分成面积比为3∶2的两部分， 而△PAC，△PBC是等高的， 所以AC=25AB或AC=35AB，即-52k+94-(-4)=25×10或-52k+94-(-4)=35×10， 解得k=109或k=10， 所以直线l的方程为10x-9y=0或10x-y-20=0. （其实一旦作出图形，就会发现，若选择l与x轴的交点的横坐标为未知数，则解题计算量会大为减少.） 例6已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0，两个顶点为A(1,2)，B(-1,-1)，求第三个顶点C的坐标. 分析本题有两个未知量，即C点的坐标，等量关系也是明显的，一是点C在直线2x+y-1=0上，二是直线2x+y-1=0是∠ACB的平分线（此条件用点C的坐标表示有点困难）. 解过点A且与直线2x+y-1=0垂直的直线的方程为x-2y+3=0， 解方程组2x+y-1=0,x-2y+3=0,得x=-15，y=75， 所以点A关于直线2x+y-1=0的对称点A′的坐标为2×(-15)-1,2×75-2,即-75,45， 所以直线BC（即BA′）的方程为9x+2y+11=0. 解方程组2x+y-1=0,9x+2y+11=0,得x=-135， y=315， 所以点C的坐标为-135,315. 例7已知三点A(0,0)，B(4,0)，C(1,5)，若垂直于x轴的直线l将△ABC的面积平分，求直线l的方程. 分析本题仅有一个未知量，即所求直线与x轴交点的横坐标，等量关系也是明显的，该直线将△ABC的面积平分（即两部分的面积相等）. 图2 解设直线l的方程为x=a.如图2,设点P为(1,0),显然S△ACP＜12S△ABC,所以可设l与x轴，线段BC的交点分别为D,E， 而直线BC的方程为5x+3y-20=0，令x=a，解得y=20-5a3， 由S△EDB=12S△ABC,得12×(4-a)×20-5a3=12×12×4×5，解得a=4-6或a=4+6（舍去）. 故直线l的方程为x=4-6. 思想决定行动，自觉地以数学思想方法来指导数学学习，可以收到更好的效果.另外，从更为基本的意义上说，数学学习不仅是指具体的数学知识的学习，而且也是指数学方法的学习.即使大多数同学将来未必会用到任何超出中学范围的数学知识，但数学方法,特别是数学的思想方法对同学们仍有着十分广泛的指导意义，掌握一点数学思想方法会终身受益. 巩 固 练 习 1. 已知两点A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上，若∠ACB=π2，则这样的点C有个. 2. 过点P(-1,2)的直线l与x轴和y轴分别交于A,B两点，若P为线段AB的一个三等分点（靠近点A），则直线l的斜率为. 3. 过点P(1,1)作直线l，与两坐标轴相交，所围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 4. 已知平行四边形的两条邻边所在直线的方程分别为3x+4y-2=0，2x+y+2=0，它的中心为(0,3)，求平行四边形的另外两条边所在直线的方程及平行四边形的面积. 5. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). （1） 若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2） 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 6. 在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0(x≥0)，OB：3x+y=0(x≥0)，过点P75,0的直线分别交射线OA，OB于A,B两点，若AB的中点在直线y=12x上，求直线AB的方程. 参 考 答 案 1. 3 2. 1 3. x2+y2=1或x-2+22+y-2-22=1 或x-2-22+y-2+22=1. 4. 3x+4y-22=0,2x+y-8=0,40. 5. (1) x+y+2=0或3x+y=0; (2) a≤-1. 解一元二次方程的方法很多, 具体有因式分解法[包括“十字相乘法即x2+ (p+q) x+pq= (x+p) (x+q) ”“提公因式法”“平方差公式”和“完全平方公式”]、公式法、配方法等等. 1.十字相乘法 例1 (2014年云南省, 第5题3分) 一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是 () A.x1=1, x2=2 B.x1=1, x2=﹣2 C.x1=﹣1, x2=﹣2 D.x1=﹣1, x2=2 解析:直接利用十字相乘法分解因式, 进而得出方程的根. x2﹣x﹣2=0, 由十字相乘法的得到 (x﹣2) (x+1) =0, 解得:x1=﹣1, x2=2. 答案:D. 点拨:此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程, 正确分解因式是解题关键. 2.提取公因式法 例2一元二次方程2-x=x (x-2) 的解是 () A.x=1 B.x1=0, x2=1 C.x1=2, x2=-1 D.x1=2, x2=1 解析:将原式移项的x (x-2) + (x-2) =0, 提取公因式 (x-2) 得: (x-2) (x+1) =0, 解得:x=2, x=-1. 答案:C. 点拨:解答本题的关键是移项过程中的符号变换以及公因式的观察与提取. 3.公式法 例3 (2014?呼和浩特, 第15题3分) 已知m, n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根, 则m2﹣mn+3m+n=. 解析:根据m+n=-b/a=﹣2, m·n=﹣5, 直接求出m、n即可解题. ∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根, 且一元二次方程的求根公式是 解得:, 或者, , 将代入m2﹣mn+3m+n=8; 将代入m2﹣mn+3m+n=8; 答案:8. 点拨:此题主要考查了一元二次方程求根的计算公式, 根据题意得出m和n的值是解决问题的关键. 4.直接开平方法 例4 (2014·济宁, 第13题3分) 若一元二次方程ax2=b (ab>0) 的两个根分别是m+1与2m﹣4, 则b/a=_____. 解析:利用直接开平方法解答。 ∴方程的两个根互为相反数, ∴m+1+2m﹣4=0, 解得m=1, ∴一元二次方程ax2=b (ab>0) 的两个根分别是2与﹣2, 答案:4. 点拨:本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或 (nx+m) 2=p (p≥0) 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式, 那么可得;如果方程能化成 (nx+m) 2=p (p≥0) 的形式, 那么. 5.配方法 例5 (2014·山东聊城) 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) , 此方程可变形为 () 解析:首先进行移项, 然后把二次项系数化为1, 再进行配方, 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方, 即可变形成左边是完全平方, 右边是常数的形式. 答案:C. 点拨:配方法的一般步骤: (1) 把常数项移到等号的右边; (2) 把二次项的系数化为1; (3) 等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数. 6.换元法 例6解方程 (x-1) 2-5 (x-1) +4=0时, 我们可以将x﹣1看成一个整体, 设x﹣1=y, 则原方程可化为y2﹣5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, 即x﹣1=1, 解得x=2;当y=4时, 即x﹣1=4, 解得x=5, 所以原方程的解为:x1=2, x2=5.则利用这种方法求得方程 (2x+5) 2﹣4 (2x+5) +3=0的解为 () A.x1=1, x2=3 B.x1=﹣2, x2=3 C.x1=﹣3, x2=﹣1 D.x1=﹣1, x2=﹣2 解析:首先根据题意可以设y=2x+5, 方程可以变为y2-4y+3=0, 然后解关于y的一元二次方程, 接着就可以求出x. (2x+5) 2﹣4 (2x+5) +3=0, 设y=2x+5, 方程可以变为y2﹣4y+3=0, ∴y1=1, y2=3, 当y=1时, 即2x+5=1, 解得x=﹣2; 当y=3时, 即2x+5=3, 解得x=﹣1, 所以原方程的解为:x1=﹣2, x2=﹣1. 答案:D. 【用方程解相遇问题】推荐阅读： 练习414.3用方程解决问题06-13 第一单元《用方程解决实际问题》的教学设计06-30 解方程过程的教学反思07-16 3.3解一元一次方程07-18 小学五年级数学解方程练习题05-29 《方程解应用题复习课》的教学反思06-12 解一元一次方程--移项教学设计专题07-05 列方程解稍复杂的分数应用题教案06-02 分式方程实际问题教案06-13 实际问题与列方程06-15列方程解决相遇问题教案 篇4
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