《最小公倍数》优秀教案设计

《最小公倍数》优秀教案设计（精选13篇）

《最小公倍数》优秀教案设计 篇1

最小公倍数

教材分析

该内容是在学生已经学习了“约数和倍数的意义”、“质数和合数、分解质因数”、“最大公约数”等的基础上进行教学的，既是对前面知识的综合运用，同时又是学生学习“通分”所必不可少的知识基础。因而是本单元的教学重点，是本册教材的核心内容。本课的教学，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。借鉴前面的学习方法学习后面的内容是本课设计中很重要的一个教学特色，这样设计不仅使教学变得轻松，而且能使学生在学习知识的同时掌握一些学习方法，这些学习策略和方法的掌握，对于今后的学习是很有帮助的。

学情分析

五年级学生的生活经验和知识背景更为丰富，动手欲较强，学生认识数的概念时更愿意自主参与，自己发现。再者，学生个人的解题能力有限，而小组合作则能更好地激发他们的数学思维，通过交流获得数学信息。

教学目标

（体现多维目标；体现学生思维能力培养）

（1）让学生通过具体的操作和交流活动，认识公倍数和最小公倍数，会用列举法求两个数的最小公倍数。

（2）让学生经历探索和发现数学知识的过程，积累数学活动的经验，培养学生自主探索合作交流的能力。

（3）渗透集合思想，培养学生的抽象概括能力

重点、难点

重点：公倍数与最小公倍数的概念建立。

难点：运用“公倍数与最小公倍数”解决生活实际问题

教法、学法

为了实现教学目标，达到《标准》中的要求，也为了更好的解决教学重、难点，我将本节课设计成寓教于乐的形式，将教学内容融入一环环的学生自主探索发现的过程中，引导学生动手、动脑、动口。

教 学 流 程

媒体运用

任务导学

明确

任务

师：课前我们来做个报数游戏，看谁的反应最快。请两大组的同学参加。

师：请报到3的倍数的同学起立，报到4的倍数的同学起立。你们发现了什么？他们为什么要起立两次？（因为他们报到的号数既是3的倍数又是4的倍数）是吗？咱们一起来验证一下。（师板书：12、24）

师：像这些数既是3的倍数，又是4的倍数，我们就把这些数叫做3和4的公倍数。（板书：公倍数）今天这节课我们一起来研究公倍数。

课堂探究

自主

学习

1、出示例1

师：同学们，仔细读要求，你们认为解决这个问题要注意什么？

生独立思考，领会题意和要求。

出示

合作

探究

2、合作交流，动手操作

我们每一对同桌都准备了一张方格纸和一些长3厘米、宽2厘米的长方形，下面就用这些长方形来代替瓷砖在方格纸上来摆一摆、画一画或直接算一算。

3、汇报交流

师板书：2的倍数：2、4、6、8、10、12、14……

3的倍数：3、6、9、12、15、18……

2和3的公倍数：6、12、24……

交流

展示

4、明确意义

师提出问题：为什么不能铺成边长是4厘米或9厘米的正方形？除了能铺成边长是6厘米的正方形之外，还可以铺成边长是多少厘米的正方形？最小是多少厘米？你发现能铺成的正方形的边长有什么特点？

（设计意图：这几个问题连环递进，通过第一问使学生理解4只是2的倍数，9只是3的倍数，不论是边长4厘米还是9厘米均不符合题意，从而使学生深刻理解“公”字的含义；通过第二、三问使学生发现能铺成的正方形的边长必须是2和3的公倍数，而只要符合这个条件的正方形是有无数个的，从而渗透了数形结合与极限思想。）

师：通过刚才的报数和铺正方形的过程，现在谁能用自己的话说说什么是公倍数和最小公倍数？在韦恩图上怎么表示？

5、找最小公倍数

师：是不是只有2和3才有公倍数呢？其你也举个例子里找一找他们的公倍数，有一个要求：看谁能在规定的时间里找到的公倍数最多，用的.方法最巧。

汇报交流：

师：请找到最多的同学说一说，你有什么好方法介绍给大家。

4、发现特殊关系的两个数的最小公倍数的特点

师让学生举例，然后将学生所举的例子分成了3类。启发学生：我是根据什么标准来分的？你所举的例子属于哪一类？咱们再来看一看，他们的最小公倍数有什么特点？（让举例的学生汇报最小公倍数）

得出规律：两个数是互质关系的，它们的最小公倍数就是他们的乘积；

两个数是倍数关系的，它们的最小公倍数就是较大的那个数。

如果以后让你找两个数的最小公倍数，你会怎么做？

反馈拓展

拓展

提升

13和2（）1000和25（）

18和6（）8和9（）

1和12（）9和15（）

2、师：运用公倍数的知识，可以解决许多生活中的实际问题。一天周老师和一位乐清的同学在温州参加完同学会之后，第二天要赶回来上班，从温州新南站我们了解到以下一些信息：

师：为了能同时出发，你认为周老师该选择哪些时间出发？

3、求三个数的公倍数

总结：

这节课我们学习了什么？你有什么收获？

评价

《最小公倍数》优秀教案设计 篇2

设有n个网站, 有若干条线路把他们连起来。每一个网站都能接收信息和传播信息, 但只有k个 (k≤n) 网站能够发布信息。能发布信息的网站称为“源网站”。源网站产生的信息“+”要在最短的时间内传播到其它网站。它的传播方式是这样的:拥有信息“+”的网站每一秒钟“有选择”地向与它相连但未获得该信息的某一个 (最多一个) 网站发送信息。这里所谓“有选择”是指“使信息传播的总时间最少”。例如:当n=8时, 最快的传播过程是1传2, 2传4, 4传8, 所以至少需要3秒钟。对一般情形, 至少需要耗费[log2n]秒时间 ([x]表示不小于x的最小整数) 。对给定的正整数n和k (k≤n) , 由n个网站 (其中k个源网站) 构成的通讯系统, 若每个源网站发布的信息“+”都能按上述传递方式在[log2n]秒内传播到所有网站, 则称该通讯系统为 (n, k) 广播图。如果每个网站之间都有一条线路, 显然它是 (n, k) -广播图, 但它的造价太高了。线路的条数 (以下简称“边数”) 最少的称为 (n, k) -最小广播图, 将它的边数记为f (n, k) 。请设计 (n, k) -最小广播图, 确定它的边数f (n, k) :

(1) 对k=1, 2, 3, 4给出f (n, k) 的数值;

(2) 求f (2p, 2p) , 其中p为正整数。

2 模型假设

2.1 假设每个源网站每秒内都可以同时接受和发送信息, 且信息量不限。

2.2 假设各个源网站发布的信息是不同的, 即每个源网站的信息必须共享, 最后的状态是所有网站均收到了所有源网站上的信息。

3 模型建立

3.1 问题 (1) 的解答

3.1.1 k=1

信息的传播方式如图所示, 不妨另2p-1<n≤2p, 则最快传播时间为[log2n]=p秒, 最多传播2p个站点, 有2p-1条边, 即f (2p, 1) =2p-1。

则f (n, 1) =2p-1- (2p-n) =n-1

3.1.2 k=2

相当于k=1的那一个源网站已经传播了一秒后广播的传播, 所以在边数上f (n, 2) =f (n, 1) =n-1。

3.1.3 k=3

根据题目得出:所有的网站最后都应具有所有源网站的信息, 所以源网站之间应路线最短、边数最短, 使得信息先在源网站内传播, 再由源网站将多个信息同时传播给其他非源网站, 这样才能节省时间。这相当于源网站集中在内圈、其他网站发散地连接在外围。

故我们先考虑内圈源网站的连接方式, 再考虑外圈的。

内圈有以下连接方式:

先分析第 (1) 、 (2) 种连接方式:

由于这两种方式效率相同, 但 (1) 比 (2) 多一条边, 故淘汰 (1) , 主要考虑 (2) 。

结点的信息可以在2秒内传至其他所有源结点, 然后每个源节点在p-2秒内, 传播了2p-2个节点, 生成了2p-2-1条边。则最多有3 (2p-2-1) +2条边。

当3·2p-2<n≤3·2p时, 则使用 (3) 的连接方式, (有色点为源站点, 无色点为一般站点) 。结点的信息可以在2秒内传至其他所有源结点, 然后每个源节点在p-2秒内, 传播了2p-2个节点, 生成了2p-2-1条边。则最多有4 (2p-2-1) +4条边, 即2p条边。f (n, 3) =2p- (2p-n) =n

综上:f (n, 3) =nn≤, 3·-1, 22p-1p-2<<nn≤≤23p·2p-2

3.1.4 k=4

内圈有以下两种连接方式

(1) 与3.1.3中的 (3) 类似, 易得f (n, 4) =4+4 (2p-2-1) =2p=n

(2) 由该图可知, 对于一个①结点的信息来说, 传至②需一秒, 传至另两个结点分别需2秒和3秒, 可取②④这两个源结点看成k=2的情形, 那么②剩下p-1秒可以向外传播、④剩下p-3秒可以向外传播。②结点在p-1秒内最多传播2p-1个结点, 产生2p-1-1条边, ④结点最多传播2p-3个结点, 产生2p-3-1条边。

因此按此传播的n≤2p-1+2p-3=5·2p-3时, f (n, 4) =1+ (2p-1-1) + (2p-3-1) =n-1 (第一个1表示两个源结点之间的一条边) , 与n相比根据最少边数的要求得此时f (n, 4) =n-1。当2p<n≤5·2p-3时, 只需在上述广播图中减去相应个数的最外围的1结点即可得到边数f (n, 4) 仍为n-1。

3.2 问题 (2) 的解答

要求f (2p, 2p) , 即求n=k=2p时广播图的边数。n=2p时, 最短传播时间为p秒, 在此p秒内每个源网站每秒钟均向其相邻网站传递信息 (这样才能保证传播量相同时时间最短的要求) , 即每个结点应有p条边, 又两个结点共用一条边, 所以f (2p, 2p) =2p·p/2=p2p-1, (p=0, 1, …) 。

由问题 (2) 的推论和已知结论有

推广: (1) 当n>k=2p时, 可能只需在上述2p个结点中任选n-2p个1结点并对应的添加n-2p条边, 也有可能当n大到某一值时结果变小, 即f (n, 2p) ≤f (2p, 2p) +n-2p=p2p-1+n-2p=n+2p-1 (p-2) , (2p≤n≤2p+1) 。

(2) 当 (n, k) = (2p, 2m) 、 (p≥m, m≥1) 时, 因为结点是2的倍数, 所以新的最小广播图在 (2m, 2m) 的基础上发散, 每个源结点再传播2p-2m=2m (2pm-1) 个结点、增加2p-2m条边, 所以

4 模型分析

4.1 模型的优点

首先该模型的假设对实际问题作了简化, 并得出了一些基本结论, 为3个问题的求解作好了准备工作。当k=1、2、3、4时根据我们的分析能够得出准确的函数f (n, k) 值。k较大时不易求出函数具体值, 但我们利用了对问题2的求法, 求出了k=2p时的数值解, 另外推出f (n, k) (5≤k≤n) 值域的 (n-1, 2p-1+2m-2 (m-3) ) 或者为 (2p-1+2m-2 (m-3) , 2p+2m-1 (m-2) ) , (p≥m, m≥1) 。

4.2 模型的改进

因为源信息的传播可看作树的生长, 因此还可以用树图来解释边数值。

该模型的应用显而易见:在网络特别是互联网迅速发展的今天, 网络成为人们娱乐方式的最常用选择, 对于网络经营者来说这几个问题是需要考虑的:一定用户时, 如何建立通信线路使用户最快收到服务器上的最新消息同时线路越少越好;什么时候线路的利用率最大, 即线路每时每刻都在工作;一定数量的用户和服务器时, 最多需要几条线路等等。

当然, 该模型是在对实际问题作了一些简化后得到的结果, 而在实际网络通信中也许不成立, 如两点间的通信应受带宽限制, 不可能在一秒内传递任意多的信息。所以模型的改进空间还是很大的。

摘要：最小广播图的设计方案是线路联通问题。针对此问题, 经过分析, 本模型首先建立了几个基础、重要的不等关系, 为后面的求解作好了准备。当k较小时如1、2时, 可以直观地求出函数f (n, k) :f (n, 1) =n-1, f (n, 2) =n-1.当k=3、4时将源网站的连接方式分类:可以将所有源网站同等研究、可以化为两个源网站的问题研究, 然后可以求出分段函数的值, 得到f (n, 3) =n-1, 2p-1<n≤3·2p-2n, 3·2p-2<n≤2≤p, f (n, 4) =n-1, 2p-1<n≤5·2p-3n, 5·2p-3<n≤2≤p。当k较大时不易求出函数具体值, 但我们利用了模型分析中结论 2, 将求f (n, k) 的下界转化为f (n, 5) 的下界, 在根据在求问题二时得到的结论也可以粗略的求得f (n, k) 的值域为 (n-1, 2p-1+2m-2 (m-3) ) 或者为 (2p-1+2m-2 (m-3) , 2p+2m-1 (m-2) ) , (p≥m, m≥1) 。

关键词：结点,发散,时间最短

参考文献

直接加权优化辨识的最小概率设计 篇3

摘要：研究非线性系统辨识的一种新方法一直接加权优化辨识，对于该方法中未知权重值求取，采用统计学习理论中的最小概率准则作为逼近的误差准则函数。最小概率策略选择为最小化估计误差边界应小于某指定门限值的概率，此估计误差边界来源于有限个数的数据点。将最小概率准则转化为一个最大化问题，对于此最大优化问题，通过代数运算来求解此最大化问题以得到未知权重值的显式表达式。权重估计值有类似核估计的渐近收敛特性，且为独立未知噪声方差值的显式形式。最后用仿真算例验证本文方法的有效性。

关键词：非线性系统辨识；直接加权优化辨识；最小概率设计；统计学习

中图分类号：TP273 文献标识码：A

1引言

对非线性系统辨识使用最广泛的方法是基函数法，将原非线性系统在此预选基函数下近似展开，通过调整每个权重值来使得近似误差趋于零。为简化权值的求取过程，常令第一个基函数为1，且所预先选择的基函数之间为正交基函数关系。目前存在一种新的非线性系统辨识方法直接加权优化法。该新方法选用一个关于原非线性系统输出观测数据的线性仿射函数式，考虑各种干扰噪声的存在，在最小化差的条件下得到一个最优化问题，利用最优KKT充要条件得到最佳权重值。

本文在直接加权优化法的基础上，从统计学习理论的角度出发，逼近误差的范数选择为最小化估计误差边界小于某指定的门限值的概率，此估计误差边界来源于有限个数的数据点。基于最小化误差边界概率的估计具有许多特征：1）未知权重的估计值有形如核估计的渐近收敛特性，同时在最小概率下针对任意给定个数的数据观测值是最优的；2）未知权重值的计算过程简单，估计值可表示出具体形式，此形式是独立于未知噪声方差值。

2直接加权优化辨识

b_t为在时刻t时输出观测值y（t）前的未知权重值。通过调整这些未知权重值可使得上式能充分逼近原非线性函数f（φ（t））。在逼近过程中，要使得逼近误差要充分小，需要施加约束条件：

非线性函数f（φ（t））虽是未知的，但可假定其是连续可微的，且具有Lipschitz常数L₁，即：

未知权重值的估计性能通过均方逼近误差来衡量：

因f是未知非线性函数，通常的办法是最小化估计误差的上界，如平均上界值：

上式E表示取统计期望运算。

3最小概率设计

观测（7）式可知，对不大的数据个数N，最小化平均上界不能很好地衡量逼近性能。因此需要增加对平均上界估计的渐近方差分析。为弥补此不足，本文提出最小概率设计用以在给定有限个数数据下，寻找最优权重值。最小概率设计法可叙述如下：给定边界门限值ζ²，求解权重值b_t使得估计误差大于门限值ζ²的概率Pr ob{（f（x）-f（x））²≥ζ²}最小。即由最小概率法得到的最优权重值满足在任意给定的数据个数N下，估计误差大于门限值ζ²的概率最小。但（f（z）-f（x））²的显式形式是未知的，可取其上界作为考虑值。

通过定义变量z，权重值的求解可使得概率Prob{z≥ζ²}最小。因变量b_l=1-b₁-b₂-…b_l-1包含两项，且第二项为一个随机变量。

利用e（t）为零均值、方差值为σ_e²的独立同分布随机白噪声，随机变量z₀具有如下概率分布函数：

因此随机变量z的概率分布为：

由（15）式可见，最优权重值独立于白噪声的方差σ_e²。

4未知权重值的优化求解

因（15）式的优化问题是非凸的，其求解过程不能利用现有的凸优化算法，故求解显得较复

在最大化问题（17）式中令b₁=1及b_t=0，t>1可知，此优化结果通常是正值。根据优化理论中最优性的必要条件可知，b_t要成为（17）式的解，需要满足最大化目标函数的一阶偏导数为0。即有：

（29）式为未知权重值b_t的一个显式形式，其无需用迭代过程来求解。每一个权重值与给定的概率水平门限、数据个数和所有的观测区间长度相关。

5仿真算例

为了验证本节所提出算法的有效性，现给出如下非线性系统：

e（t）是均值为零的独立同分布随机白噪声，其方差为0.1，给定的输入信号以及真实的输出见图1，辨识时取门限值ζ²为0.04，图1给出系统实际输出曲线、采用本节方法辨识的系统输出曲线以及文献方法辨识的输出曲线，从图2可以看出本节方法辨识的输出曲线明显与实际输出曲线比较吻合，而采用文献方法辨识的输出曲线误差较本节方法明显偏大，图3给出了本节方法的估计误差曲线，明显看到估计误差超过0.04的概率很小，基本满足了算法设定的要求。

6结语

《最小公倍数》优秀教案设计 篇4

概况： 人教版五年级下数学《公倍数和最小公倍数》

课题：公倍数和最小公倍数

课型方式：平台互动方式

课时安排：1课时

主备教师：张秋梅

目标

1,认识公倍数和最小公倍数，掌握找两个数的公倍数的方法。

2,培养学生运用数学知识发现问题和解决问题的能力。

内容提要

通过解决游戏情景中的问题，学生体会和认识了公倍数、最小公倍数，理解了最小公倍数知识的形成和内部结构特征，学生面对生动有趣的游戏情景，会自觉地调动起已有的生活经验和旧知参与到解决问题的过程中来，会达到事半功倍的效果。

由于学习最大公因数时，学生已经对例举法、集合圈有了认识，学生能独立完成老师的问题，自主探究理解4的倍数，6的倍数及4和6的公倍数和最小公倍数。

这个内容在学生掌握用列举法求两个数的最小公倍数之后安排，A、B两组题分别呈现具有特殊关系的情况，学生求出同一组数的最小公倍数，并找出相同的特点，通过交流、举例内化成求最小公倍数的技能。因为学生已经有最大公约数中特殊关系的知识，能够理解同组两个数之间的特殊关系，以及它们的最小公倍数的规律。

这环节设计让学生应用所学知识解决生活中的、身边的有关问题，让学生认识到数学知识的有用性，培养学生数学的兴趣;学生在操作过程中解决了问题，既锻炼了动手能力，又帮助树立了学好数学的信心。

一、游戏激趣，领会概念

1、师生互动游戏：“我说你做”

学号是2的倍数的同学举左手;学号是3的倍数的同学举右手。

2、观察发现，采访举双手学生：你为什么左右手都举起来?(相机板书题：公倍数和最小公倍数)

过渡：介绍本节课以闯三关，夺取智慧星方式进行。

二、自主探索，交流方法

第一关：殊途同归☆☆☆

你能用自己喜欢的方式找出4和6的公倍数有哪些吗?其中最小公倍数是多少呢?

1、生独立完成。

2、小组内交互，比一比:你们的方法有什么不同?

3、全班交流汇报，归纳总结。

三、合作探究，发现规律，巩固提升

第二关：小猴过河☆☆☆☆

快速找出每组的最小公倍数，并说说你们发现了什么?

2和63和95和20

2和53和114和9

1、四人小组分工合作

2、小组汇报探究成果。

四、学以致用，回归生活

第三关：我的地盘我作主☆☆☆☆☆

上饶县石人中心小学艺术周书画作品比赛获奖作品中，书法作品12幅，规格为长3分米，宽2分米;绘画作品6幅，规格为长4分米，宽3分米。现学校有规格不同的展板若干块，如果你是负责作品展出的老师，你会选择那种展板呢?

1、团队讨论方案，并动手操作试一试。

2、团队展示合作成果，解说方案特征。

五、回顾整理，总结提升。

本节课你有什么收获?

一、游戏激趣，领会概念

1、听+做+看

2、想+说:你为什么左右手都举起来?(强化1次)

二、自主探索，交流方法

1、做+想+说

生独自按自己喜欢的方式表达。(微卡、强化1次、防花架子)

2、想+讲+小动+静

组内交互，比一比:我们的方法有什么不同?(小组+约定+口头表达、强化1次防与学生为敌、防假合作)

3、看+想+讲

根据学生汇报，相机课件演示，预设多个链接(强化4-5次、防形式单一)

三、合作探究，发现规律，巩固提升

1、想+做+讲(小组+约定强化1-2次防假合作)

2、说+听+看(强化2次)

说：你发现了什么规律?

四、学以致用，回归生活

1、想+做(大动+约定)

(强化2次、防假合作防与学生为敌防形式单一)

2、说+听+想(强化2次)

说：你们是怎样想的?

五、回顾整理，总结提升

想+说+听

最小公倍数教案 篇5

第一课时

最小公倍数

（一）一

教学内容

最小公倍数

（一）教材第88、89页的内容及第91页练习十七的第1、2题。

二

教学目标

．理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义。

2．通过解决实际问题，初步了解两个数的公倍数和最小公倍数在现实生活中的应用。

3．培养学生抽象、概括的能力。

三

重点难点

理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义。

四

教具准备

多媒体，学生操作用长方形纸片（长3cm，宽2cm）与方格纸。

五

教学过程

（一）导入

前面，我们通过研究两个数的因数，掌握了公因数和最大公因数的知识。今天，我们来研究两个数的倍数。

（二）教学实施

．在数轴上标出4、6的倍数所在的点。

拿出老师课前发的画有两条直线的纸。

在第一条直线上找出4的倍数所在的点，画上黑点。在第二条直线上找出6的倍数所在的点，圈上小圆圈。

2．引入公倍数。

4和6的公倍数还有哪些？有没有最大公倍数？

(3）有没有最小公倍数？4和6的最小公倍数是几？（板书：最小公倍数）

4的倍数

6的倍数

4和6的功倍数

5.引出例1。

前面学习公因数和最大公因数时，我们研究了用正方形地砖铺地的实际问题。今天，我们再来研究一个用长方形墙砖铺成正方形的实际问题出示例1。

(1）操作探究。

学生任意选择操作方式。

①用长方形学具拼正方形。

②在印有格子的纸上面画出用长方形墙砖拼成的正方形。边操作、边思考：拼成的正方形边长是多少？与长方形墙砖的长和宽有什么关系？

(2）反馈并揭示意义。

①请选用第一种操作方式的学生上来演示拼的过程，并说一说拼出的正方形边长是多少。老师根据学生的演示板书正方形边长，如6dm

②请选第二种操作方式的学生汇报，老师让多媒体闪现边长为6dm、12dm„„的正方形（如下图），③正方形边长还有可能是几？你是怎样知道的？

④观察所拼成的边长是6dm、12dm、18dm„的正方形与墙砖的长3dm、宽2dm的关系。体会正方形的边长正好是3和2的公倍数，而6是这两个数的最小公倍数。

思考：两个数的公倍数与最小公倍数之间有什么关系？(最小公倍乘2乘3„就是这两个数的其他公倍数。）

⑤阅读教材第88、89页的内容，进一步体会公倍数和最小公倍数的实际意义。

6．运用新知识，解决问题。

(1）画一画，说一说。

小松鼠一次能跳2格，小猴一次能跳3格，它们从同一点往前跳，跳到第几格时第一次跳到同一点，第2次跳到同一点是在第几格？第3次呢？

引导学生将本题与例1比较：内容不同，但数学意义相同，都是求2和3的公倍数和最小公倍数。

(2）完成教材第89页的“做一做”。

学生独立思考，写出答案并交流：4人一组正好分完，说明总人数是4的倍数；6人一组正好分完，说明总人数是6的倍数。总人数在40以内，所以是求40以内4和6的公倍数。

(3）独立完成教材第91页练习十七的第2题。

(4）完成教材第91页练习十七的第1题。

指导学生找到写出两个数的公倍数的简便方法，先找出两个数的最小公倍数，再用最小公倍数乘

2、乘3．得到其他公倍数

（四）思维训练

本节课我们共同研究了公倍数和最小公倍数的意义，并通过解决铺长方形地砖的问题，了解了两个数的公倍数和最小公倍数在生活中的应用。

后记：

第二课时

最小公倍数

（二）一

教学内容

教材第90页的内容及第91、92页练习十七的第3一9题。

二

教学目标

．通过教学，使学生巩固对两个数的公倍数和最小公倍数的意义的理解，掌握求两个数最小公倍数的方法。

2．培养学生用多种方法解决问题的能力。

3．培养学生归纳、概括的能力。

三

重点难点

．重点：掌握掌握求两个数的最小公倍数的方法。

2．难点：灵活选择求两个数的最小公倍数的方法。

四

教具准备

投影。

五

数学过程

（一）导入

上节课我们学习了两个数的公倍数和最小公倍数的意义，这节课我们继续学习有关最小公倍数的知识。

（二）教学实施

．出示例2。

怎样求6和8的最小公倍数？

(1）学生先独立思考，用自己的想法试着找出6和8的最小公倍数。

(2）小组讨论，互相启发，再全班交流。

(3）可能出现以下几种方法：

方法一：先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

6的倍数：6，12,18，24，30，36，42，48„

8的倍数：8，16，24，32，40，48„

方法二：先写出8的倍数，再从小到大圈出6的倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。

8的倍数：8,16,24,32,40，48„

方法三：先写出6的倍数，再看6的倍数中哪些是8的倍数，从中找出最小的。

方法四：从小到大写出8的倍数，边写边判断是不是6的倍数，第一个是6的倍数的，就是8和6的最小公倍数。

2，完成教材第90页的“做一做”。

学生先独立完成，观察每组数有什么特点，再进行交流。

引导学生总结出求两数的最小公倍数的两种特殊情况：

(1）当两数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。

(2）当两数只有公因数1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。

指出：像这样能够直接看出最小公倍数的，就不用再从头去找公倍数了。

3．完成教材第91页练习十七的第3题。

学生先独立完成，然后说一说哪几组数属于特殊情况？

再让学生说一说这几组数的最大公因数是什么？

你能总结一下找两个数的最大公因数和最小公倍数的一般方法与特殊情况分别是什么吗？

学生先互相交流，再汇报，总结：

(1）如果两个数成倍数关系，那么其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。

(2）如果两个数只有公因数1，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的积。

(3）一般情况，可以先写出一个数的因数或倍数，再从中找另一个数的因数或倍数，区别是最大公因数从大到小找，最小公倍数从小到大找。

随着学生的总结汇报，老师出示下表。

4．完成教材第91页练习十七的第5题。

学生独立完成，并说明理由。

5．完成教材第91、92页练习十七的第4、6、7、8题。让学生先独立思考，做出解答。然后让学生汇报自己的解法，并提问：为什么是求两个数的最小公倍数？

6．完成教材第92页练习十七的第9题。

学有余力的学生试着完成，并说一说思考过程。

可以这样想：先从小到大写出36的所有因数，然后从中依次观察哪两个数的最小公倍数是36。

（三）思维训练

．火车站是410路和901路汽车的始发站，410路每隔10分钟发一次车，901路每隔15分钟发一次车，这两路汽车同时在早5:30同时发车后，到中午12时10分有多少次是同时发车的？

2．兄弟三人同一天从家出发外出打工，老大15天回家一次，老二20天回家一次，老三10天回家一次，下一次兄弟3人同一天从家出发至少需要多少天？

3．已知a、b的最大公因数是12，最小公倍数是72，且a、b不成倍数关系。求a、b各是多少？

（四）课堂小结

本节课我们研究了求两个数最小公倍数的方法。一般情况下，我们可以先找出一个数的倍数，再从小到大，找出另一个数的倍数，从而找到两个数的最小公倍数。另外，还有两种特殊情况：一种是两数成倍数关系时，较大数是这两个数的最小公倍数；另一种是两数只有公因数1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。我们通过本节课的学习，还对求两个数的最大公因数与最小公倍数进行了对比，并能熟练应用最小公倍数的知识解决生活中的实际问题

《最小公倍数》优秀教案设计 篇6

1、理解公倍数,最小公倍数的意义.

2、会用列举法,分解质因数,短除法求两个数的最小公倍数.

3、会求是互质数或有倍数关系的两个数的最小公倍数.

4、在知识的探究过程中,培养大胆质疑的习惯.

教学过程:

一、导入:

同学们,昨天我们班在舞台旁30米长的花带上每隔2米种一株桂花，树种的太密了，下午要重种，改成每隔3米种一株。现在大家出出主意，下午怎样种才能又快又好的完成任务呢?我一边说一边把课前准备好的图片分给各小组，让各小组讨论交流后交由小组长汇报本组的方案。各组讨论后出现以下三种情况：

1、全部拔起，重新测量后再种

2、头尾不动，把中间的全部拔起，重新测量后再种

3、除头、尾不动外，还有6米、12米、18米、24米共六株不用拔，只需拔10株，在每两株中间种一株，这样重种5株就可以啦。

师：刚才有4组采用了第三种方案该种的，这种方案确实比前两种方案要好，现在请你们说说是怎么发现这些株数不用重种的?

生：通过测量的方法发现的。还发现了6、12不仅是2的倍数同时也是3的倍数，所以觉得是2和3的公倍数就都不用动。

师：你们怎么想到“公倍数”这么个好听的名字的?

生：我们前面学习的几个公有的因数叫公因数，最大的叫最大公因数。那现在两个公有倍数就叫公倍数，30是最大的就叫最大公倍数。

师：大家还有不同的意见吗?

生：(议论纷纷)这个不是最大的，还有更大的。。。。

师：确实如此，大家真能干!这节课我们就一起来探究这个问题。(出示课题：公倍数最小公倍数)

师:谁能用自己的话说一说什么叫公倍数

(几个数共有的倍数,叫做这几个数的公倍数)

这一个是最小的,我们又称它为什么

补充课题:最小公倍数谁能再来说一说什么叫最小公倍数

(其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数)

今天我们就来研究公倍数与最小公倍数.

二、探究:

看了这个课题,你想在这节课中了解些什么请学生写在纸上,并贴到黑板上.

(为什么不求最大公倍数求最小公倍数有哪些方法 哪些情况下可以很快说出两个数的最小公倍数是几 等)

四人一组合作解决1～2个问题,举例说明,组长笔录.可以翻书请教,在P.69～71.

成果汇报:

(1)公倍数有多少个 (公倍数的个数是无限的,没有最大公倍数.)

(2)求最小公倍数的几种方法:

①枚举法:

根据学生举例填写集合圈并说出各部分所表示的内容:

②分解质因数:如:12与30的最小公倍数

12= 2 × 2 × 3

30= 2 × 3 × 5

60= 2 × 3 × 2 × 5

12独有的质因数 30独有的`质因数

最小公倍数是两个数全部公有质因数与各自独有之因数的乘积.

[12,30]=2×3×2×5=60

从这两个分解质因数的式子里你能看出12于30的最大公约数是几

最大公约数与最小公倍数之间有什么关系

(12= 6 × 2

30= 6 × 5

6 × 2 × 5 = 60)

最大公因数 各自独有的质因数

最小公倍数是两个数的最大公因数与各自独有质因数的乘积.

③短除法:如:36和45的最小公倍数

3 36 45 用公因数去除

3 12 15

4 5 除到商是互质数为止

[36,45]=3×3×4×5=180

讨论:与求最大公因数比较有什么异同之处

(相同处:都用公因数去除, 除到商是互质数为止.

不同处:求最大公因数只要把公有的质因数相乘,求最小公倍数还要乘以各自独有的质因数.)

短除法与分解质因数有什么联系

任选一种方法,求下列各组数的最小公倍数(第一组必做,其它可任选,看谁做的又快又多又正确):

16和20 65和130 4和15 18和24

得出两个特殊情况:当两个数是互质数时,最小公倍数是这两个数的乘积;

当两个数有倍数关系时,最小公倍数是较大的数.

《最小公倍数》优秀教案设计 篇7

目前, 根据内、外轮理想的转角性能关系不断修正得到的转向梯形机构仅能近似满足阿克曼原理的转角关系, 因此需要研究梯形机构的优化设计方法。只有从理论上深刻研究转向梯形机构的函数关系和几何约束关系, 才能从根本上改善汽车转向时的各项性能。本文使用数学上的有约束非线性最小值优化方法对转向梯形数学模型内、外轮转角之间的隐函数关系进行了分析和求解, 得出了整体式转向梯形模型的内、外轮转角的函数关系。

1 转向梯形机构分析

文中以整体式转向梯形 (如图1所示) 为研究对象进行优化分析。在图1中, m, M和S分别为转向梯形臂、底边和梯形顶边的长度, L为轴距, P为转向梯形两腰的交点到前轴的距离, γ0为梯形底角。本文作者通过运用MATLAB中的最优化工具箱的相关函数, 重点对梯形结构参数进行优化, 从而达到外转向轮实际转角与期望转角相对误差最小的目的。

2 转向梯形机构的数学建模

2.1 基本假设

本文采用结构简单、工作可靠的整体式转向梯形机构, 而不考虑其他侧偏因素及前轮定位参数对转向的影响。

2.2 转向梯形目标函数的建立

(1) 首先建立理想转向梯形内、外导向轮转角函数。某汽车内、外轮转角关系如图2所示, 记外、内导向轮转角分别为β和α, 则由阿克曼原理公式可得:

对上式化简得β的函数为:

将M=1 575、L=4 144代入式 (2) 得:

1-转向横拉杠;2-转向梯形臂;3-前轴

(2) 建立实际转向梯形内、外导向轮转角函数。图3为实际内、外轮转角关系, θmin为最小传动角。当内侧转向车轮的实际转角为α时, 内侧车轮转到c1点, 外侧车轮转到d1点, 此时N为线段c1b之间的距离, c1b与ab和bd1之间的夹角分别为δ1和δ2, 通过转向梯形获得的外侧转向车轮的实际转角为β′。在△ac1b中, β′与α的关系可推导如下:

在△c1bd1中, 有:

由式 (3) 、式 (4) 得:

从图3中可以看出:

其中:k为梯形臂与梯形底边之比, k=m/M。

(3) 转向梯形的目标函数。设计转向梯形时, 应使其实际与理想外导向轮转角函数的差值尽可能小, 差值越小, 优化设计得到的转向性能越好。一般取内侧转向轮转角αi同轴的外侧转向轮实际转角β′ (αi) 与理想转角β (αi) 之间相对误差的加权累加最小作为目标函数f (x) :

其中:x为设计变量;αmax为车辆最小转弯半径时内侧转向轮最大角;ω (αi) 为加权函数。

加权函数取值如下:

将式 (9) ~式 (11) 联立求解得:

2.3 独立变量的选择

考虑到车辆设计时其宽度范围有一定的限制, M的大小受总布置约束的限制较严, 优化设计时可以当作一定值来考虑, 故用梯形臂长与底边之比来代替上述M和m两个参数。这样, 实际对梯形机构进行优化设计时, 变量x为梯形臂比k与底角γ0两个独立的变量, 变量x可表示为:x=[k, γ0]。

2.4 限制条件

(1) 传动角限制条件。如图3所示, 在△abd1和△ac1d1中, 记∠ac1d1=δ3, 则有:

联立式 (8) 、式 (13) 、式 (14) 得:

因为设计时通常应保证最小传动角大于40°, 所以有θmin=180°-δ3≥40°, 即:

(2) 几何约束条件。根据转向梯形机构的布置与设计经验, 0.11 M≤m≤0.15 M, 故设计变量梯形臂比k和底角γ0有如下选择范围:

代入相关数值得:

故取

至此, 转向梯形机构优化设计的数学模型为:

把M=1 575和L=4 144代入式 (24) 得:

不难发现, 该数学模型是小型约束非线性问题, 常用的求解方式是复合形法、插值法、改进的实数遗传算法等数学方法。

3 优化结果及分析

通过运用MATLAB中的最优化工具箱中的相关函数求解本文中的优化设计问题, 设定不同的初始值得出不同结果, 如表1所示。

在优化梯形臂比k以及底角γ0的过程中, 根据不同的初始值对结论进行了验证, 首先根据给定初始值进行优化得出优化结果, 即得出表1中的第一组数据[0.11, 74.207];然后保证梯形臂比不变, 改变梯形底角的初始值, 优化得到第二行的结果[0.12, 74.308];接着保证梯形底角不变, 改变梯形臂比, 得到第三组优化结果[0.12, 74.359];之后, 初始值的两个值都进行改变, 得到表1中的一组数据[0.13, 74.401]。综合以上结果, 不难发现梯形臂比的最优值基本维持在0.12附近, 而梯形底角的最优值基本维持在74°附近, 最终得到最优解[0.12, 74]。

4 结论

(1) 使用数学上的有约束非线性最小值优化方法对转向梯形数学模型内外轮转角之间的函数关系进行了分析和求解, 得出了整体式转向梯形模型的内外轮转角的函数关系。

(2) 最终得到梯形臂比和梯形底角的最优解是[0.12, 74]。

参考文献

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[2]王计广, 邢号彬, 常秀岩, 等.基于MATLAB优化工具箱的整体式转向梯形优化设计[J].研究与开发, 2011, 12 (10) :60-62.

[3]王朝琦.车辆前轮定位参数和转向梯形优化的研究[D].洛阳:河南科技大学, 2008:40-41.

[4]周祥基.汽车转向传动机构的类型分析与优化设计[D].南京:东南大学, 2005:52-53.

[5]王望予.汽车设计[M].北京:机械工业出版社, 2004.

[6]王霄锋.汽车底盘设计[M].北京:清华大学出版社, 2010.

[7]黄松.轻型高机动越野汽车转向梯形研究[J].武汉理工大学学报, 2009, 31 (3) :134-138.

[8]王军.汽车整体式转向梯形的优化设计[J].装备制造技术, 2010, 24 (12) :38-42.

[9]王霄锋, 胡涛.不同整体式转向梯形机构分析方法的对比研究[J].汽车技术, 2005, 18 (8) :8-11.

《最小公倍数》优秀教案设计 篇8

教学目的：

1、进一步理解和掌握整除的意义。

2、理解、掌握约数和倍数的意义，知道约数、倍数的相互依

存关系，渗透辨证唯物主义思想教育。

3、让学生通过小组合作、交流，尝试解决问题;培养学生的

数学交流能力和合作能力。

4、激发学生的学习兴趣，通过自学、讨论等方式的学习，培

养学生自主学习能力。

教学准备：

1、两张卡片、2、多媒体演示课件

〔评析〕为了体现当今新的教育观，即在课堂教学中，不仅要使儿童掌握一定的数学基础知识和基本技能，同时还要有目的去培养学生的数

学能力。所以制定的目标体系全面、恰当。

教学过程：

一、复习整理、进一步理解和掌握整除的意义

1、整除的含义

①让学生在小卡片上写一道除法算式

②黑板上展示学生的除法算式

〔评析〕学生的学习材料是自己寻找的，而不是教师或书本给定的材料，它们来源于学生自己，这样的学习，可以使学生一开始就处于积极

状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于继续学习下去，而无须教师强迫学生学习。

③教师提出问题：A、哪一道除法算式的被除数能被除数整除

B、在什么情况下，才可以说“一个数能被另一个数整除”

④让学生分小组合作、交流，解决以上两个问题

⑤学生交流完毕，每小组派代表汇报本小组研究成果

〔评析〕让学生合作、交流，尝试解决问题，这样的教学即给了学生一个人人参与、自主探索的机会，使学生理解和掌握了知识;又使学生

在平等、自由、真诚悦纳的情意关系中学会了与人共处。

2、抽象概括整除的概念

①师：如果用字母a表示被除数，用字母b表示除数，在什么情况下，a能被b整除?

②生：略

③师：让学生完整地概括整除的意义

〔评析〕由于学生对整除的含义有了进一步的理解。所以通过学生讨论，师生对话，抽象概括出整除的概念，这样的教学，符合学生的认知

规律，同时可培养学生的抽象概括能力。

3、巩固练习

①下面哪一组的第一个数能被第二个数整除

17和549和73.6和1.210和10

②下面四个数中谁能被谁整除

2、3、6、12

〔评析〕概念初步后，为了有效巩固，恰到好处增加了练习，练习题设计时，考虑到不同学生的发展，增加了开放题，这不仅激发了学生的

学习兴趣，而且又加深了学生对整除的理解

二、新知教学，了解约数和倍数的意义

1、提出问题，看书自学

①在什么情况下，a是b的倍数，b是a的约数。

②约数和倍数中的数一般指什么数?不包括什么数?

③你能仿照书中的(例1)举一个例子，说明一个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的约数

2、学生自学，并回答问题及举例、说明理由。

〔评析〕教师提出问题，学生带着问题去自学，这样的学习，即体现了学生在课堂教学中的主体地位和作用，又培养了学生独立思考及自学

能力。

3、明确约数和倍数的关系

根据实例提出问题：45能被15整除，能不能单独说45是倍数、15是约数，为什么?

生：略

师生共同小结：约数和倍数是相互依存的关系，不能单独地说一个数是倍数或约数。

〔评析〕通过以上的学习，学生明确了一个数是否是另一个数的倍数或约数时，必须是以整除为前提，约数和倍数是相互依存的概念，不能

独立存在。突出了教学的重点，准确地把握了教学关键。

4、巩固练习

①下面每组数中，谁是谁的倍数?谁是谁的约数?

36和97和1445和451和100

②下列数中，谁是谁的倍数?谁又是谁的约数?

1、2、6、12

③游戏

规则：老师出示一个数，看你手中的卡片是否符合老师提出的条件，符合的请举起你的卡片。

a、我是12，12能整除谁?

你们是我的什么数?我又是你们的什么数?

b、我是19，谁是我的约数?

c、我是2，谁是我的倍数?

d、我是1，谁是我的倍数?(小结：1是所有自然数的约数)

e、让全体同学举起卡片，让具有数字6的同学指出自己的约数

〔评析〕练习题设计时，考虑到不同的学生要有不同的发展，即有层次，又有坡度，形式又有多样。即重视基本知识的训练，同时还将知识

性、趣味性有机地结合。学生兴趣盎然，思维敏捷。通过练习，即巩固了知识，又使全体学生不同程度得到了发展

五、回顾反思，谈各人的收获。

师：今天我们研究了什么?又是怎样研究的?你有什么收获?

〔评析〕让学生总结本节课学习的方法，并谈自己的收获，这个过程不仅使学生明白了许多道理，而且使学生加深了对知识的理解和掌握;

诱发了学生的创造性思维。学生的收获不仅只有知识，还包括能力、方法、情感等，学生体验到学习之乐，增强了学好数学的信心。

〔反思〕：素质教育的重要着眼点是改变学生的学习方式。实施素质教育就必须要以学生的发展为本，要改变学生在原有的教育教学条件下

所形成的那种偏重于记忆和理解、立足于接受教师知识传输的学习方式，帮助学生形成一种主动探究知识、并重视解决实际问题的积极学习方式

，这是一种有利于终身学习、发展学习的方式。为了倡导这种学习方式，使素质教育落到实处，笔者在设计约数和倍数的意义这一课时，采用了

以问题为中心，在教师的指导下，让学生以合作交流、讨论、自学等形式主动地去获取知识、应用知识、解决问题，从而使学生的创新精神和实

践能力的发展有了切实的落脚点。

综观整堂课，教师教得非常少，而学生讲得非常多，学生之间合作交流多，学生自主学习多，教师只是一个组织者和参与者，学生真正成为

学习的主人，不仅积极参与每一个教学环节，切身感受了学习数学的快乐，品尝了成功的喜悦，而且不同的学生得到不同的发展，满足了学生求

《最小公倍数》教学设计 篇9

一、活动激趣，理解概念。

师：体育课上我们都报数，今天这节课上也请大家报数（1－30），但是你还要记住自身所报的数是多少。

生：报数1、2、3......师：请所报数是2的倍数的同学站起来，再请所报数是3的倍数的同学站起来（同学按要求起立后坐下）其他同学从他们起立的次数上看你能发现什么？

生：我发现有同学两次都站起来了。

师：报哪些数的同学两次都站起来了？

生：报6、12、18......的同学。

师：报6的同学你能说说你为什么两次都要站起来吗？

生：我报的数6既是2的倍数，又是3的倍数，所以两次都要站起来。

师：说的好。6既是2的倍数，又是3的倍数，可以说6是2和3公有的倍数。报12的同学你能说说吗？

生：我报的数12也是2和3公有的倍数，所以也要两次都站起来。

师：说的有理。这样的数还有吗？

生：18、24、30......师：像6、12、18等这些数都是2和3公有的倍数，可以简称为是2和3的公倍数（板书：公倍数）。想一想2和3的公倍数有哪些？

生：6、12、18、24、30......师：说的真好。2和3的公倍数中6最小，我们称它是2和3的最小公倍数。（接上面板书前添写“最小”）

2和3的公倍数很多，最大的公倍数是几？没有。

所以研究两个数的公倍数的问题一般只研究最小公倍数。今天，我们就学习有关两个数的最小公倍数的知识。

二、自主探索求公倍数和最小公倍数的方法。

1、用列举的方法求两个数的最小公倍数。出示题目：你能找出12和18的最小的公倍数吗？

提问：根据你对公倍数的理解，你准备怎样解决这个问题？（静思一分钟）学生交流，独立尝试。（完成在练习纸上），最后交流反馈。

一一列举出12和18的倍数，再找公倍数。12的倍数有：12、24、36、48、60、72„„

18的倍数有：18、36、54、72、90、108„„（板书：注意省略号）12和18的公倍数有：

36、72„„（引导学生逐个检查并打圈。）12和18的最小公倍数是：36。

反馈情况。

谈话：除了将2个数的倍数分别一一列举，再找出它们的公倍数和最小公倍数。质疑：能不能更快捷一些，只列举出1个数的倍数，再从中找出它们的公倍数呢？学生尝试（练习纸）[学生板演] 谈话：从9的倍数中找6的倍数，还是从6的倍数中找9的倍数，都只要从一个数的倍数中找出另一个数的倍数，就是它们的公倍数，你更喜欢哪一种？为什么？

2、用短除法求两个数的最小公倍数。

教师：刚才我们用一个一个地找一个数的倍数的方法能找出两个数的公倍数和最小公倍数，但这样找公倍数有一个什么样的问题呢？

学生：太麻烦了。

教师：所以我们要找到一个比较简便的求最小公倍数的方法，求最大公约数比较简便的方法是什么？

学生：用分解质因数的方法。

教师：我们来探究一下能不能用分解质因数的方法求几个数的最小公倍数，以求12和18的最小公倍数为例，请同学们先把12和18分解质因数。

学生完成后，抽一个学生的作业在视频展示台上展示出来，集体订正，教师板书其结果： 12＝2×2×3 18＝2×3×3 教师：作为12和18的最小公倍数，你们认为应该是哪些质因数的乘积呢？

学生探究，首先看全部质因数乘起来是不是12和18的公倍数，如2×2×3×2×3×3＝216,让学生意识到这个数是12和18的公倍数，但不是最小公倍数。

教师：那么怎样乘起来才是它们的最小公倍数呢？ 要求学生讨论出相乘时，相同的质因数只取一个就行了。教师：试一试。

学生写出：2×3×2×3＝36 教师：这个数是12和18的最小公倍数吗？与前面使用列举法得到的结果相同吗？

教师：谁来说一说怎样用分解质因数的方法求几个数的最小公倍数。

学生：把这几个数分别分解质因数，再把它们的质因数相乘，但公有的质因数各取一个。教师：在实际操作时我们用不着一个一个地分解质因数，用短除式可以作一次性的分解。用课件显示把两次分解合到一个短除式的过程，学生再试着写短除式，让学生明白要用这两个数的公有的质因数去除，除到两个数的商是公因数只有1为止。

教师：在这个短除式中，哪些是这两个数公有的质因数，哪些是两个数各自独有的质因数呢？

引导学生说出在短除式中，作为除数的数是两个数公有的质因数，作为最后的商的数是两个数各自独有的质因数。

教师：所以，用短除式找两个数的最小公倍数时，最后应该把哪些数乘起来呢？ 学生：把除数和商乘起来．教师板书：2×3×2×3＝36。

请学生用上面的方法求出6和15的最小公倍数，做完后集体订正。教师：同学们能总结用短除式求两个数的最小公倍数的方法吗？

求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从最小的开始），一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后的两个商连乘起来。

三、巩固练习。

1、做“自主练习”第1题：找出下面每组数的最小公倍数。6和15 16和12 15和20 21和28 放手让学生独立完成，通过交流和对比让学生体会用短除法求最小公倍数的优越性。

2、做“自主练习”第2题：数学游戏。生1：学号是4的倍数的同学举右手。生2：学号是6的倍数的同学举左手。你发现了什么？

引导学生发现：举两只手的同学的学号就是4和6的公倍数。

3、小强每步走2个桩，爸爸每步走3个桩。你能在父子两人都踩到的木桩上涂上红色吗？ 提问：涂色的方格里写的数与2和3有什么关系？

四、课堂小结：

师生共同小结以下内容：

1、这节课学习了什么内容？

2、什么叫公倍数？什么叫最小公倍数？怎样用短除式求两个数的最小公倍数？

3、通过这节课的学习，你掌握了哪些学习方法？

《最小公倍数》优秀教案设计 篇10

一、设计思想

要学好单片机设计关键是动手实验。目前单片机教学中使用的单片机实验箱虽然功能全, 但体积大、成本高, 属于学校的固定资产, 不适宜提供给学生进行课外实践训练。所以, 一部分学有余力的学生想在课外深入学习以能获得更大的提高, 却往往找不到一款合适的、价格低廉的最小系统板。

本文设计的单片机最小系统的目标是实现模块化、在线编程、和PC机采用USB通信、成本低。其中利用USB总线实现在线编程是其最大特色。通常的单片机最小系统板大多采用标准R S-232串行接口与P C机通信, 实现程序的下载或调试。随着USB通用串行总线的发展, USB产品的应用范围不断扩大, PC机上各种端口正逐渐被U S B端口取代。但目前大多数单片机支持的是R S232标准, 很多单片机的开发软件也是基于RS232标准设计的, 为了使单片机系统能够与只有USB接口的PC机或笔记本电脑通信, 需要设计一种USB-UART转换模块。该转换模块可最大限度的降低单片机系统开发的成本, 既保留了单片机内部提供的串口资源, 也不用对PC机的应用开发软件做改动。本文介绍一种基于南京沁恒公司的CH341为USB/RS-232转换芯片的单片机最小系统设计。

二、单片机最小系统硬件设计

最小系统的设计思想是能提供两种运行模式:下载模式和工作模式。当为下载模式时, 最小系统模块和USB-UART转换模块相连, 无需外接电源, 由USB串口下载程序;当为工作模式时, 最小系统既可与USB-UART串口转换模块相连, 由它提供工作电源;也可单独外接电源, 最小系统的RS232端口可作为单独的串口, 以提高系统的灵活性。最小系统与USB-UART转换模块的连接示意图 (如图1所示) 。

1. 最小系统硬件设计

单片机最小系统包括SST51单片机, 复位电路, 系统时钟电路, 标准TTL-RS232电平转换电路, 地址、数据及控制电路总线接口 (38P I N) , 同时提供+5V电源输出。其电路设计如图2所示。其中SST51单片机选用的是具有IAP功能的SST89E52/54/58/516RD单片机, 其指令系统及引脚排列与MCS-51兼容, 但片内资源和性能指标有很大提升。

2. USB-UART串口转换设计

USB-UART串口转换芯片采用的是CH341, 它是由南京沁恒公司提供的一款USB总线转接芯片, 通过USB总线提供异步串口、打印口、并口以及常用的2线和4线等同步串行接口。

在异步串口方式下, C H341提供串口发送使能、串口接收就绪等交互式的速率控制信号以及常用的MODEM联络信号, 用于将普通的串口设备直接升级到U S B总线。该芯片的特点是USB固件已被封装到了芯片内部, 兼容USB V2.0, 外围元器件只需晶振和电容, 在应用上CH341就和普通的串转并接口芯片一样, 用户不用了解具体USB协议以及USB固件编程。USB-UART串口转换模块可以将程序下载到单片机上, 同时通过USB口为单片机和其它模块提供电源, 该模块被设计成与最小系统板相对独立的模块 (如图3所示) 。

从图中可以看出, 该模块提供了USB接口电路, 包括4根信号线:D+, D-, VCC, GND, 可直接与PC机的USB口相连, 由PC机的USB口提供电源;CH341的TXD和RXD信号分别与SP3232E电平转换芯片的对应引脚相连, 以实现数据的收发;TEN引脚接地, 保证CH341实现数据的发送。

为了使C H341正常工作, 还需要驱动程序的支持, 南京沁恒公司提供了相关的驱动程序:c h341s98.sys, ch341ser.inf, ch341ser.sys, ch341ser.vxd, 并提供了安装程序。当安装完成后, PC机就能够自动识别由CH341来的串口信息。

三、应用举例

由于系统设计时是以模块化结构为宗旨, 在最小系统板上留出了38PIN的总线接口, 所以在进行应用设计时, 只需保证接口引脚和最小系统板的引脚对应即可, 可以将设计重点放到应用系统本身的功能上。本文以交通灯为例来说明最小系统的应用。

1. 交通灯电路设计

本系统设计的交通灯模块要实现双干线路口的交通信号灯的定时变化。设计12个发光二级管, 分别表示东、西、南、北四个方向红、黄、绿灯;设计8个LED数码管, 用于显示各状态的剩余时间;设计东西方向和南北方向紧急按键各一个, 以便于紧急情况的处理。

要实现上述功能, 模块用到的单片机资源应包括定时器、两个外中断及多个并口。定时器用来实现正常的计时;两个外中断接收按键信号以处理紧急事件;P1口用来控制12个发光二极管, 由于东西和南北方向的信号灯是相同的, 故只用了P1口的6个口线;P0口和P2口的低4位分别作为L E D数码管的位选和片选信号, P2口的高4位用来作为译码信号, 送给L E D数码管的驱动芯片74LS245。该应用模块的接口设计如图4所示。

2. 程序下载

SST89E52系列单片机提供了SSTEasy IAP在线下载软件。安装成功后, 打开SSTEasy IAP软件, 将单片机用USB-UART串口转换模块与计算机相连, 选择CPU型号和串口号, 打开“检测MCU选项”, 点击“检测MCU固件版本号及选项”, 当看到单片机的固件信息时, 说明已连接成功。点击“Open File”, 选择要下载到单片机的hex或bin文件, 可在“文件缓冲区”内看到该文件的数据信息, 点击“下载”, 注意此时需要冷启动单片机, 即可将程序下载到单片机。

四、结束语

本文针对高校学生普遍存在单片机设计训练不足的现状, 设计了一种基于USB串行下载的单片机最小系统板, 它采用模块化设计思想, 能用于各种不同的应用系统。该设计可作为课堂教学、单片机课程设计、毕业设计、课外电子实践和电子竞赛训练等的通用最小系统板, 学生可基于该最小系统板开发各种目标程序, 极大减少了单片机系统的开发周期和成本, 对培养学生应用设计能力和创新意识、提高就业竞争力具有重要意义。

摘要：为解决高校学生单片机设计训练少、实验设备昂贵的问题, 设计了一种基于USB总线的单片机最小系统板。介绍了USB总线转接芯片CH341的功能特点, 给出了利用CH341及RS232电平转换芯片实现USB和RS232转换的硬件电路, 详细介绍了单片机最小系统设计思想和硬件电路设计, 并给出了应用实例。该最小系统板可应用于单片机教学的各个环节。

关键词：单片机最小系统,USB总线转接芯片,RS232

参考文献

[1]余善恩, 尚群立.RS232设备到USB设备的升级及USB设备的开发[J].计算机工程, 2007.2, 256-258.

2《最小公倍数》教学设计 篇11

教材内容:书第68、69页的例1、2和“做一做”及第71页1-5题 教学目标:

1、知识与技能：建立公倍数与最小公倍数的概念，掌握求两个数最小公倍数的方法。

2、过程与方法：通过动手操作、独立思考、合作探究、合作交流等方式，建立公倍数和最小公倍数的概念，培养发现问题、解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：学会用数学的眼光观察生活、思考问题。积极参与对数学问题的探究活动。真真切切地体验到学习数学的快乐和价值。

教学重点:建立两个数的公倍数的概念，理解最小公倍数的概念。教学难点:会求两个数的最小公倍数的方法。教学用具：电教平台，常规学具。教学过程:

一、以趣激疑，初步感知：

1、体育课上经常要报数，今天比比谁的声音最洪亮，请几组同学报数。请报到2、3倍数的同学分别起立。

问：你发现了什么？为什么有的人起立了两次？让报6的同学说说为什么两次都站起来了。（让学生初步体会到有些数既是2的倍数又是3的倍数。）[设计意图：教师努力营造让学生爱学，乐学的课堂教学环境，密切联系有趣的生活实例，通过游戏，创设教学环境，使学生在愉快的教学氛围中学习数学。]

2、多媒体出示：

2的倍数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20„„

3的倍数：3、6、9、12、15、18、21„„

师：像6、12„„既是2的倍数又是3的倍数，我们就可以说6、12„„是2和3的公倍数。（板书：公倍数）看到“公倍数”你有什么问题吗？

3、刚才我们从报数中认识了公倍数，公倍数能在生活中帮助我们做什么呢？

二、动手操作，建立概念：

1、（课件出示生活情境）老师家要装修厨房的一块边长为12分米的正方形墙壁，需要铺满墙砖，我要求整块整块的铺，不能切割墙砖。工人师傅告诉我，有两款墙砖，一种长3分米，宽2分米的墙砖，另一种是长5分米，宽3分米的墙砖。老师应该选哪种墙砖能把正方形墙壁铺满呢？

（1）学生活动：分小组活动进行动手操作。学生通过摆一摆，画一画，得到不同的方案。

（2）汇报方案：学生交流自己的想法。在实物投影上摆：摆两个长方形，长是6厘米，宽是2厘米，摆同样的三排，就是正方形了。（3）适时追问：正方形墙面的边长和墙砖的长和宽有什么关系？ 让学生自主发现：按照要求进行，所铺成的正方形边长是长方形墙砖长和宽的公倍数这一结论。

（4）再次追问：大家为什么都不选择长5分米，宽3分米的墙砖？学生很容易答出：因为12不是5和3的公倍数。

（5）小结：通过大家的交流和分析，看来所铺正方形墙壁的边长必须是长方形墙砖长3分米，宽2分米的公倍数。

【设计意图：本环节，学生的学习积极性和主动性被充分地调动了起来，主动地借助各种外部的物质材料来展示自己内部的思维过程。】

2、同一种墙砖摆多个正方形。

（1）谈话：用长3分米，宽2分米的长方形墙砖，整块整块的铺，还可以铺成边长是多少分米的正方形墙壁？

（2）填写表格。（空间想象能力好的学生能直接想到这些正方形的边长都是2和3的公倍数，想象不出来的，允许动手摆一摆，画一画。）（3）展示交流。用实物投影仪展示学生的表格并让学生交流想法。

学生能够答出：发现这些正方形的边长是长方形墙砖长和宽的公倍数。

（4）追问：3和2有没有最小的公倍数，最小的公倍数是几？（课件出示两个空白的集合圈）。谈话：还可以用集合圈的形式表示3的倍数和2的倍数。

（课件演示集合圈交叉重叠的数字。）

（5）揭示最小公倍数的概念：其中6是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。（板书：最小公倍数）【设计意图：可以看出，此环节把这节课推向了高潮。学生的数学知识是通过他们自己主动探究构建起来的，真切地体会到数学与外部生活世界的联系。】

3、完成教材第89 页的“做一做”。

学生独立思考，写出答案并交流：4 人一组正好分完，说明总人数是4 的倍数；6 人一组正好分完，说明总人数是6 的倍数。总人数在40 以内，所以是求40 以内4 和6的公倍数。

【设计意图：老师让学生在“生活“和“数学”的交替中体验数学，把生活常识、活动经验提炼上升为数学知识。】

三、自主探究，归纳方法。

1、出示问题：怎样求6和8这两个数的最小公倍数。

2、学生完成作业纸。给学生独立思考的时间。当学生有了想法后，把过程写到作业纸。（有困难的可以同桌或小组进行交流。）

3、学生进行汇报。（让使用不同方法的学生把过程在黑板上展示。）

4、在汇报方案时：学生可能用集合圈的方式找6和8的最小公倍数；可能用列举6的倍数和8的倍数的方法；还可能用只列举6的倍数的方法•••

5、谈话：大家都提供了各自的方法，老师非常欣赏。我这有个方法。可以把6的倍数和8的倍数在有方向的直线上表示出来。

（教材中出现了数轴上表示倍数的方法，考虑到学生想不到这种方法，教师参与活动中，最后展示这种图形结合的方法。）

6、找出下列每组数的最小公倍数。

3和6

2和8 5和6

4和9 观察：你能发现什么规律？（如果两个数成倍数关系，那么其中的较大数就是它们的最小公倍数。如果两个数只有公因数1，那么它们的最小公倍数就是它们的积。）

7、介绍分解质因数的方法。例如：60 = 2×2×3×5，42 = 2×3×7，60 和 42 的最小公倍数 = 2×3×2×5×7 = 420。【设计意图：老师使学生们在课堂上始终保持着旺盛的求知欲，学生在课堂上求知欲得到满足、好胜心得到鼓励、探究能力得到发展，】

四、实际应用，回归生活。

1、写出下列每组数的最小公倍数。

2和8 3和8 6和15 18和9

4和5 1和7 30和10

8和10 学生独立完成。

2、判断题：

（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（）（2）两个数的积一定是这两个数的公倍数。（）

3、李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，至少多少天以后给这两种花同时浇水？（月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。）4、36可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？

【设计意图：数学教育的出发点和归宿都应当是学生熟悉的现实生活。使学生得到抽象化的数学知识之后，及时把它们应用到新的现实问题中。】

五、全课总结：本节课学习，你现在能说出什么叫最小公倍数吗？你要记住求最小公倍数的方法。

《公倍数与最小公倍数》教学设计 篇12

教学目标：

1、会利用列举法和短除法找出两个数的公倍数和最小公倍数。

2、理解分倍数和最小公倍数的含义。

3、在探索中发现，在发现中体验数学的自身规律的魅力，从而激发学生持久的学习兴趣。教学重点：

教学难点理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义，能正确地运用和列举法和短除法确定两个数的最小公倍数。

教学方法合作学习法、小组探究法、知识迁移法 教学准备：复习题

教学过程:

一、温故知新

1、什么叫公因数？

2、什么叫最大公因数？

3、写出下列各组的最大公因数

3和7 4和6 9和18 12和30 引出新课

二、师生共研

1、公倍数和最小公倍数的认识。

以4和6这组数为例，就在50以内数表中找一找。你发现了什么？（1）4的倍数：4、8、12、13、20、24、28、32、36、40、44、48。（2）6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48。（3）两个都有的：12、24、36、48。引出课题：公倍数和最小公倍数

2、怎样找出两个数的最小公倍数——介绍短除法

（1）让学生以小组的形式探讨，看看如何用短除法来求两个数的最小公倍数。再交流。

（2）反馈时围饶着以下几个方面交流： 短除式中除数是2的什么数？

为什么在得出商2和3时不再往下除？ 4和6的最小公倍数是怎么计算的？（3）师生共同探究与交流。

（4）试一试：你能找出12和16的公倍数和最小公倍数吗？ 让学生用自己喜欢的方式找一找，再用另一种验证。重点反馈短除法。

3、探究特殊关系的两数怎样确定它们的最小公倍数。先让学生独立完成 思考后交流自己的发现

三、全课总结

1、这节课我们交的新朋友是什么？你现在对它知道多少？

2、怎样找两个数的最小公倍数？（1）先定关系

（2）确定用什么方法找

3、有什么问题或发现？

《最小公倍数》优秀教案设计 篇13

导频辅助信道估计是NC-OFDM系统中的关键技术之一[2,3]。由文献[4]可知, 当子载波连续分布时, 等间隔等功率的导频是最优的。然而, 在NC-OFDM系统中, 由于可用的频段是非连续和动态变化的, 如果使用等间隔导频设计, 某些导频就可能位于主用户的频段内干扰主用户的正常通信。因此对于NC-OFDM系统需要寻找新的导频设计方法。现有文献[5-6]是在子载波总功率受限的条件下, 以信道估计MSE (Minimum Mean Square Error) 最小化为准则寻找适用于NC-OFDM系统的最优或次优导频, 不考虑导频的总功率问题。众所周知, 如果子载波的总功率一定, 那么导频总功率越大, 势必会提供较好的信道估计性能, 但是会降低数据子载波的总功率, 影响数据传输的系统性能。

2006年参加巴塞罗那GSMA全球移动通信大会, 中国移动公司王建宙做了节能减排的演讲, 中国移动已经在悄悄改变世界电信市场的格局。而在环保方面, 业界也正听到来自中国的声音[7]。因此在保证系统性能的条件下, 降低总功率已经成为移动通信领域的关键问题。

本文首先给出基于NC-OFDM的认知无线电系统模型, 推导了导频辅助信道估计的MSE表达式;在此基础上, 利用圆盘定理推导MSE一定时导频子载波功率和导频位置的函数关系。对给定的导频位置, 可以求出最优的导频子载波功率。仿真分析比较了不同导频设计方法所需要的导频总功率。

1 NC-OFDM系统模型和信道MSE

NC-OFDM系统模型[8]如图1所示。接收端移去循环前缀, 进行FFT后的信号可表示为

式中:X=[X (0) , X (1) , …, X (K-1) ]T, Y=[Y (0) , Y (1) , …, Y (K-1) ]T分别表示发送的频域信号和接收的频域信号;K为总的子载波数;W是均值为0、方差为σW2的加性高斯白噪声;h=[h (0) , …, h (L-1) ]T为信道的冲激响应, L是信道路径个数;FL为傅里叶变换矩阵的前L列, 其中 (F) mn=e-j2πmn/K, m=0, …, K-1, n=0, …, L-1;diag (·) 表示对角阵。

设有P个导频信号, P={p0, …, pP-1}为导频位置的集合。由式 (1) 得

式中:YP, XP, FP, WP分别为Y, X, F, W所对应的{p0, p1, …, pP-1}行所组成的向量或矩阵。设diag (XP) FP为A, 则有

由最小二乘法得

由式 (4) 得到信道MSE的表达式为

式中:PP=[ω0, ω1, …, ωP-1]T为导频功率的集合。

设W为导频总功率, , 设Q=FΗΡdiag (PP) FΡ, Q的展开式为

因此MSE又可表示为

式中:λ0, λ1, …, λL-1是Q的L个特征值。

2 NC-OFDM系统导频设计

本文导频设计的思想是:对给定的MSE设计导频, 使导频的总功率最小。

由Q的展开式看出, 导频总功率可表示为

基于最小功率导频设计的数学模型为

约束条件为

当MSE一定时, W在λ0=λ1=…=λL-1时取最小, 最小值记为W*, 。将λi (i=0, 1, …, L-1) 全相等时的特征值记为λ*i。{λ (l) }越接近{λ* (l) }, 则W越接近W*。

记。由圆盘定理得

由式 (11) 得[9]

记, 观察矩阵Q, 可以看出Q对角线左下角和右上角所对应的元素的模是相等的。所以式 (12) 又可以表示为

记χ的上界为χub, 则χub为

又有

利用等差比数列, 并将式 (15) 代入式 (14) , 可得

本文提出的导频设计方法是基于式 (16) , 使χub最小, 即β最大, 有

2.1 导频位置的设计

文献[9]推导出导频位置设计的闭合表达式, 简化了设计的复杂度。但是为了保证频带边缘处能获得良好的信道估计值, 频带两边必须各插入一个导频, 并且各个活动频段内分配的导频数应和频段宽度成正比。这里对文献[9]的方法进行改进。

假设NC-OFDM系统有H个不连续频带, 记为Α0, Α1, …, ΑH-1, 各个频带活动子载波数为N0, N1, …, NH-1, 活动子载波的总数为N。导频位置的设计采用以下步骤:

1) 导频的总数为P, 根据每个频带的宽度分配每个频带所需的导频数为

式中:Pm表示第m个频段分配的导频数;int (·) 表示对指定数进行四舍五入取整。

2) 对于第m个频段Am, 在频段两端各插入一个导频。如果Pm-2>0, 则将剩余导频按照文献[9]中的方法插入到第m个频段中。

3) 令步骤2) 中的m从1遍历到H。

2.2 导频功率的设计

当导频子载波的位置确定后, 式 (17) 中的β是关于导频子载波功率的函数。因此导频功率设计目标是:找到一种导频功率分配方法, 使式 (17) 最大。设计步骤如下:

1) 根据给定的MSE, 算出理想情况下最小导频总功率W*。比如MSE=a, 则

2) 令W=W*。导频功率设计的数学模型是

式中:, 导频位置确定后, αmn是关于m, n的常数。

3) 运用约束条件下的拉格朗日极值法[10]解式 (20) 中的数学模型, 求解出各个导频所分配的功率ωi, i=0, 1, …, P-1。

4) ωi表示功率, 因此ωi>0。若步骤3) 中出现负值, 如ωj<0, 则将ωi以降序排列。找出位于排列前面的k个值, 使其与ωj的和Ψ大于0。将的值作为功率分配给这k+1个导频子载波。

3 仿真实验与分析

假设信道的冲激响应{h (l) }是均值为0的复高斯随机变量, 并且是不相关的。在仿真实验中考虑两种情况:

1) 活动子载波是随机产生的。

2) 整个频带被划分为几个长度相同的子频带。在每个子频带中有R子载波。活动子频带的选择是随机的。

仿真实验中, NC-OFDM系统的参数设置为:总的子载波数K=32, 信道最大时延扩展径数L=5, 导频子载波个数P=8, 在情况2) 中R=4。N/K=0.5 (50%的子载波是活动子载波) 。

图2展示了情况1和情况2下, 利用这里提出的改进算法设计的导频序列分布图。从图2可以看到, 各个活动频段内分配的导频数和频段宽度成正比, 这样能够获得更好的信道估计性能。

图3和图4分别是情况1下的信道MSE性能仿真图和BER性能仿真图, 图5和图6是情况2下的信道MSE性能仿真图和BER性能仿真图, 其中k=32, N/k=0.5。在仿真实验中, 比较了两种导频设计方法的性能:1) 文献[9]提出的闭合表达式导频设计 (CFPD) ;2) 这里所提出的文献[9]的改进方法 (IMPD) 。由仿真图可以看出, 改进后的导频设计方法在MSE性能和BER性能上都有所提高。比如在情况1下, 信噪比为2 d B时, IMPD的信道MSE比CFPD的减少了55%, BER比CFPD的减少了20%;在情况2下, 信噪比为2 d B时, IMPD的信道MSE比CFPD的减少了70%, 误比特率比CFPD的减少了33%。

图7和图8比较了情况1和情况2下3种导频设计方法的导频总功率。这3种方法的导频位置都采用提出的改进算法进行设计, 导频功率的设计采用以下方法:1) 用这里提出的最小功率法给各个导频分配功率 (IMMP-PD) ;2) 各个导频等功率 (IMEPPD) ;3) 导频功率随机分配 (IMSPPD) 。从仿真结果看出, 当信道均方误差相同时, IMMPPD的导频总功率小于IMEPPD和IMSPPD的总功率。比如在图7中, 信道均方误差为2×10-3时, IMMPPD的导频总功率比IMEPPD少了16%, 比IMSPPD少了33%。在图8中信道均方误差为4×10-3时, IMMPPD的导频总功率比IMEPPD少了6%, 比IMSPPD少了13%。

4 小结

本文研究了NC-OFDM系统的导频设计问题。从基本的信号模型入手, 首先设计了导频位置, 然后推出了导频功率的闭合表达式;接着, 以此表达式为准则, 为各个导频分配功率。分析表明, 该方法具有较低的计算复杂度。仿真实验表明, 在信道MSE相同的条件下, 该方法具有较小的导频总功率。

摘要：以导频总功率最小化为准则, 提出了一种适用非连续正交频分复用系统的导频设计方法。与传统的子载波总功率受限的导频设计方法相比, 对给定的导频辅助信道估计最小均方误差指标, 需要较小的导频总功率, 从而提高了数据传输的功率利用率, 这也响应了当今社会提倡的节能减排的号召。仿真结果证明了该结论。

关键词：NC-OFDM,MSE,导频,功率

参考文献

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[8]尹长川.多载波宽带无线通信技术[M].北京:北京邮电大学出版社, 2004.

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