正弦定理教学案例2

正弦定理教学案例2（精选13篇）

正弦定理教学案例2 篇1

第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

大毛毛虫★倾情搜集★精品资料大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

2大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

21大毛毛虫★倾情搜集★精品资料大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°

正弦定理教学案例2 篇2

根据本教材的结构和内容分析, 结合着二年级学生他们的认知结构及其心理特征, 我制定了以下的教学目标:

(一) 知识与技能:掌握正弦定理, 余弦定理;三角形形状的判断依据;利用正、余弦定理进行边角互换;正、余弦定理综合运用。

(二) 过程与方法:

(1) 通过对实际问题的探索, 培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

(2) 增强学生的协作能力和数学交流能力。

(3) 发展学生的创新意识和创新能力。

2教学的重、难点

本着职业中学数学新课程标准, 在吃透教材基础上, 我确定了以下的教学重点和难点。

(一) 教学重点:正弦定理理解及应用;余弦定理理解及应用;利用正、余弦定理进行边角互换;正、余弦定理的综合运用。重点的依据:只有掌握了定理及其最基本的应用, 才能理解和掌握定理在实际中的灵活应用。

(二) 教学难点:正余弦定理在解三角形时的应用思路;在解决实际问题过程中怎样选择正余弦定理。

难点的依据:给定的题目边和角的量, 比较抽象;学生没有这方面的基础知识。为了讲清教材的重、难点, 使学生能够达到本节内容设定的教学目标, 我再从教法和学法上谈谈:

3教学方法:启发引导式

(1) 引导学生在证明正余弦定理时各自用最简单易懂的方法;

(2) 启发学生注意正余弦定理的变形式, 并总结正余弦定理的适用题型的特点, 在恰当时机正确选用正弦定理达到求解、求证目的;

(3) 启发学生在求解三角形问题时, 注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系, 从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的。

4学法

在学法上, 采用探究, 发现, 归纳, 练习。从问题出发, 引导学生分析问题, 让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程, 让学生更深刻的理解和掌握正余弦定理及其应用。

5教学过程设计

整堂课的安排:导入1min, 正弦定理的推导5min, 探究公式的应用15min, 熟悉公式的应用20min, 课堂小结3min, 布置作业1min。

给出一个问题, 让学生能够解决部分问题, 引出本堂课的主题。以直角三角形做引子推导出比值关系式, 目的是解决开始提出的问题;然后提出定义, 并且根据定义初步说明用公式的需要满足条件。为学生自己总结埋下伏笔。

概念提出后配备三个例题, 第一个例题要求学生根据条件首先画好图, 然后对照公式, 代入数据计算, 这个题目同时让学生回忆了两角和差的正弦公式, 第二题可以边讲边板演, 让学生判断题目的完整性, 这里有一个学生容易忽视的东西, 即在三角形中已知正弦值求角是有两解。第三题要引导学生发现两解中有一解不成立。三个例题中第一个解决了已知角及一边问题, 第二、第三解决两边及一边对角问题, 并且层层引导启发学生在利用正弦定理解决问题时该注意哪些问题。

接下来配以两组练习让学生熟悉公式, 特别是在最后一个问题中, 要让学生看出无解。

练习完成后, 然学生根据开始时对定义的理解的提示总结本堂课主要内容, 以学生为主, 教师适当引导、补充。布置作业时主要还是围绕正弦定理公式的应用, 补充一个三角形面积公式的推导参照正弦定理的推导。

在课堂小结是根据板书上面回顾本堂课利用数形结合的方法, 学会综合分析问题。提示学生注意解题的完整性。

课后配备了相应的题目增强学生分析问题、解决问题的能力。

板书设计中重点板出分析的过程, 解题过程可以通过多媒体向学生展示出来, 可以节约时间。

6教学基本评价

(1) 通过学生的探究以及与学生的问答交流, 发现其思维过程, 在鼓励的基础上, 纠正偏差.

(2) 在学生讨论、交流、合作时, 教师通过观察, 就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价, 以此来调动学生参与活动的积极性。

(3) 通过应用 (上黑板板演、问答交流等) 来检验学生学习的效果, 并在讲评中, 肯定优点, 指出不足。

(4) 通过作业, 反馈信息, 再次对本节课做出评价, 以便查漏补缺, 指导今后的教学。

7教学反思

(1) 改进思想:注意评价手段的多样化, 发挥教学评价的激励功能;在资源整合中, 加强数学知识与专业的结合。

(2) 存在问题:由于课堂时间有限, 安排的内容丰富紧凑, 如果学生的积极性调动得好, 不仅教学目标能够有效达成, 学生的思维也能得到有效提高, 一旦学生不够活跃或者注意力不集中, 教学目标不仅不能达成还会影响后续教学。

(3) 教学亮点:通过数形结合的方法让学生理解正弦定理和余弦定理在何种情况下使用。对教材进行了优化处理。例题与练习的配备由浅入深。

摘要：《正弦定理、余弦定理》是江苏省职业学校文化课教材第四册第15章三角计算及其应用第四节。在此之前, 学生们已经学习了三角函数相关知识及向量的相关知识, 这为学习本节内容的学习起到了铺垫的作用。这部分课程是三角函数应用最为广泛的部分, 可以把前面所学的三角相关知识点融入到本章节中, 本节内容非常重视计算能力的培养, 而且在对口单招考试中是必考题型。因此, 本节内容在三角函数中具有不容忽视的重要的地位。

关键词：正弦定理,余弦定理,教学过程

参考文献

正弦定理教学案例2 篇3

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

正弦定理教学反思篇4

1.在教学过程中，我注重引导学生的思维发生，发展，让学生体会数学问题是如何解决的，给学生解决问题的一般思路。从学生熟悉的直角三角形边角关系，把锐角三角形和钝角三角形的问题也转化为直角三角形的性，从而得到解决，并渗透了分类讨论思想和数形结合思想等思想。

2.在教学中我恰当地利用多媒体技术，是突破教学难点的一个重要手段.利用《几何画板》探究比值的值，由动到静，取得了很好的效果，加深了学生的印象.

正弦定理的教学反思篇5

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：

①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣;

②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下;

③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。

④第五个学生的展示的结论有一个角应是105，他给出的是75，而我没有发现，这是我在教学过程中的一个很大失误。

正弦定理教学案例2 篇6

教学目标

进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.

教学重难点

教学重点：熟练运用定理.

教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.

教学过程

一、复习准备：

1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.

2. 讨论各公式所求解的三角形类型.

二、讲授新课：

1. 教学三角形的解的讨论：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?

②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)

② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.

2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.

分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.

② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.

分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断

③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.

分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?

3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.

三、巩固练习：

正弦定理证明六法篇7

正弦定理:在一个三角形中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即:

1 利用三角函数的定义证明

(I) 如图 (1) △ABC是锐角三角形

证:过点A作AD⊥BC于点D

由三角函数的定义, 得:

AD=AC·sin C,

(II) 如图 (2) 已知:△ABC是直角三角形

证:由三角函数的定义可得

(III) 如图 (3) 已知:△ABC是钝角三角形

由 (I) 得, AD=AC·sinC=ABsinB

再过点C作高, 便可得

2 利用投影定理证明

投影定理:任意ΔABC中, a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=a cos B+b cos A

(I) 如图 (4) ΔABC为锐角三角形

证:∵点O为ΔABC的外接圆圆心

推得∠OBC=∠OCB

在ΔOBC中, 利用投影定理:

(II) 如图 (5) ΔABC为直角三角形

因此在ΔABC中,

而∠ABC、∠ACB为锐角仿 (I) 可利用投影定理得

(III) 如图 (6) ΔABC为钝角三角形

由 (I) 可得结论

3 利用余弦定理证明

(I) 如图 (4) ΔABC为锐角三角形, 由上一种方法 (1) 式可得

sin∠BAC=sin (90°-∠OBC) =cos∠OBC

在ΔOBC中, 利用余弦定理:

(II) ΔABC为直角三角形∵∠A=90°

(III) 如图 (6) ΔABC为钝角三角形, 由上一种方法 (2) 式可得

sin∠BAC=sin (90°+∠OBC) =cos∠OBC

在ΔOBC中, 利用余弦定理:

而∠ABC、∠AC为锐角, 仿 (Ⅰ) 可得bsinB=2R;

4 利用面积公式证明

由面积公式S△ABC

两边同除以即得:

5 利用向量证明

(I) 如图 (7) ΔABC为斜三角形

过A作单位向量j垂直于

同理, 若过C作j垂直于

(II) ΔABC为直角三角形时不再赘述了

6利用外接圆转化为直角三角形进行证明

(I) 如图 (8) 所示, ΔABC为锐角三角形

(II) 如图 (9) 所示, ΔABC为直角三角形易得

(III) 如图 (10) 所示, ΔABC为钝角三角形

通过对正弦定理的证明方法的探讨, 旨在揭示数学知识之间的联系, 展示数学证明方法的内在美。

参考文献

[1]应洪尧.从正弦定理的证明看新《课标》理念的变化.http://www.longzhong.com.cn/lgzx/lunwen/list.asp?unid=340.

[2]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第一册 (下) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

用好正弦、余弦定理篇8

例1

已知在△ABC中，A=45°， C=30°， c=10，求a， b和B.

分析已知两角A， B，可由A+B+C=180°求出角C，再用正弦定理求出其他角和边.

解因为A=45°， C=30°，

所以B=180°-（A+C）=105°.

由asinA=csinC得a=csinAsinC=10×sin45°sin30°=102.

由bsinB=csinC得b=csinBsinC=10×sin105°sin30°=20sin75°=20×6+24=56+52.

所以a=102， b=56+52， B=105°.

评注

解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理的综合应用.有时解三角形的方法不一定只有一种，如本例中b也可以用余弦定理来求.

例2

在△ABC中，已知a=2， b=22， C=15°，求角A，B和边c的值.

分析由条件和角C为边a， b的夹角，自然应先由余弦定理求边c的值.

解由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=8-43，所以c=6-2.

再由正弦定理asinA=csinC，得sinA=asinCc=12，因b＞a，故A=30°，所以B=180°-A-C=135°.

评注已知两边及其夹角解斜三角形可运用余弦定理.求出第三边后，再灵活选用正弦、余弦定理求角.若选用正弦定理来解，要注意避免增解的情况，一般根据大边对大角的性质判断出较小的角，先求小角，后求大角；本题求角也可用余弦定理，由于余弦函数在［0， π］上单调递减，这种方法还不需要讨论角的大小，有兴趣的同学不妨动手一试.

已知△ABC中，a∶b∶c=2∶6∶（3+1），求△ABC的各角度数.

分析题目中给出三边的比例，却没有给出一条线段的长度，余弦定理还使用不起来，引入一个字母k，用k表示a， b， c，再由余弦定理求解各角.

解因为a∶b∶c=2∶6∶（3+1），所以令a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0）.

由余弦定理有cosA=b2+c2-a22bc=22，所以A=45°.故cosB=a2+c2-b22ac=12，故B=60°.

所以C=180°-A-B=75°.

评注根据问题给出的条件a∶b∶c=2∶6∶（3+1），设a=2k， b=6k， c=（3+1）k（k＞0），为使用余弦定理求角创造条件，这里应充分肯定k的桥梁作用！一桥飞架南北，天堑变通途！

例4

在△ABC中，已知a=3， b=2， B=45°，求边c.

分析本题是已知三角形的两边及其中某一边的对角，求第三条边，一种方法是先由正弦定理求出另一边所对的角，再由内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求第三条边；另一种方法是直接由余弦定理建立方程然后求解.

解法1因为asinA=bsinB，

所以sinA=asinBb=3×sin45°2=32.

又b＜a，所以B＜A.所以A=60°或120°.

当A=60°时，C=75°，

c=bsinCsinB=2sin75°sin45°=6+22；

当A=120°时，C=15°，

c=bsinCsinB=2sin15°sin45°=6-22.

解法2因为b2=a2+c2-2accosB，所以2=3+c2-23cos45°c，即c2-6c+1=0.解得c=6±22.

评注① 已知三角形的两边及其中某一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解.

② 解三角形时，主要用到两种数学思想方法：一是利用图形和三角形几何性质进行分类讨论的思想方法；二是函数方程的思想方法.

1. 已知在△ABC中，A=30°， B＝30°.

（1）若a=1，求b， c和C；

（2）若c=1，求a， b和C.

2. 已知在△ABC中，a=3， b=2.

（1）若A=60°，求边c；

（2）若B=30°，求边c.

（2） C=180°-A-B=120°， a=c•sinAsinC=33， b=c•sinBsinC=33.

2 （1）因为a2=b2+c2-2bccosA，所以3=2+c2-22c•cos60°，即c2-2c-1=0，解得c=2+62；

正弦定理、余弦定理模拟试题篇9

1.在ABC中，a2，b22，B45，则A为（）

A.60或120B.60C.30或150D.30

2.在C中，若

A.30sinAcosB，则B（）abB.45C.60D.90

3.在ABC中，a2b2c2bc，则A等于（）

A.60B.45

B.75C.120D.304.在ABC中，A60，b16，面积S3，则a等于()A..C.49D.51

225.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是()

A.135B.120C.60D.90

6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、则塔高为()60，4002003mB.mD.mC.m 3333A27.在ABC中，sinBsinCcos，则ABC是（）2A.A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程2的根，5x7x60则三角形的另一边长为（）

A.52B.2C.16D.4

9.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_______，b________

10.在ABC中，化简bcosCccosB___________

11.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，则cosA___________

12.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8 : 5，60

则这个三角形的面积为___________

13.(14分)在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为45(31)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需

D 时间。

西 A

正弦定理教案[定稿] 篇10

一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系； 2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作．

三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课 师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，.推进新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得 而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并

注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评:(1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程:(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法原则可得 ,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B) ∴.(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等价于(形式2).我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根据正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．分析:此例题属于BsinA＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理， sinB =≈0.899 9.因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）当B≈64°时， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）当B≈116°时， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去. ∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业

（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.

正弦定理教学案例2 篇11

1. 正弦定理余弦定理

( 1) 正弦定理⇒余弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a2= b2+ c2- 2bc·cos A.

证明: 由正弦定理(R 是 △ABC的外接圆半径) 得:

∴ 原式得证.

( 2) 余弦定理⇒正弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证:

2. 余弦定理射影定理

( 1) 余弦定理⇒射影定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a = b·cos C + c·cos B.

∴ 原式得证.

( 2) 射影定理⇒余弦定理

已知△ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求证: a2= b2+ c2- 2bc·cos A.

证明: 原命题即证a2- b2= c2- 2bc·cos A.

由正弦定理( R是△ABC的外接圆半径) 得:

∴ 原式得证.

《正弦定理》评课篇12

高三年

曾灿波

本节课基本上实现了教学目标，从正弦定理的发现、向量法证明及正弦定理的简单应用实现了知识目标，并在教学过程中培养学生观察、分解和应用所学知识解决问题的能力。通过设置情境，培养学生的独立探究意识，激发学生的学习兴趣。下面就该教师的教学过程谈几点个人体会：

在引入阶段，教师通过PPT展示了学生熟知的三国人物及一个小故事，由此引入分别在河两岸的两点间的距离的测量问题。由此激发学生对于本节课所学内容的期待，教师的表情，肢体语言丰富，拉近了师生间的距离。

在新课阶段，通过教师的引导与学生的探究发现：正弦定理在直角三角形中是成立的。由此提出了一个问题：任意三角形中，这一结论是否成立。

在探究一般结论的过程中，教师把主要精力集中在锐角三角形的情形，通过向量工具证明了正弦定理在锐角三角形中也成立。对于钝角三角形的情形，教师稍做提示，留有余地，给学生课后思考、探究的空间。

整个教学过程体现了由特殊到一般的思想，符合学生的认识规律。教师通过引入三角形的外接圆，用几何法证明了正弦定理中式子的比值等于该三角形个接圆半径的两倍。由此体现了数形结合的思想，证明过程直观明了。在板书写出正弦定理后，教师与同学一起分析了正弦定理的两个简单应用1、2、已知三角形两角及任一边，求其它几何要素；已知两边及其中一边的对角，求其它几何要素。

本节课的第一个例子实际上是第1种类型的应用，在分析完第一个例题之后，教师回归引入中的问题，让学生设计一个方案测量不可到达两点间的距离，愚以为这个环节可放到本节课最后再来进行。第二个例题就是第2种类型的应用，也是本节课的难点所在。在第二例的解决过程中会碰到三角形有两解的问题。在本例的教学过程，愚认为应该在适当的提示之后给学生充分的思考和解决问题的时间，在学生充分思考并有部分同学犯了错之后，再来展示解题过程并强调最后的三角形两解问题可能会给学生留下更深刻的印象。而这样的处理方法同样适用于本例的变式。

本例变式1仍然是第2种类型的应用，而此时三角形只有一解，需要利用相关知识（如三角形大边对大角等）进行判断并舍去一解。变式2仍然是第2种类型的另外一种结果。

通过上述例题的分析，教师再次归纳了正弦定理的两种重要应用。并在上述例2及变式的基础上对第2种类型的问题作了详细的讨论及总结。在这一过程中利用了几何画板的动态过程给学生最直观的展示，从几何方面深化学生的认识，做到数形结合，从而进一步突破难点。当然如果能利用几何画板的点追踪或者轨迹功能，效果可能会现好。本节课的课堂总结如果能花更多的时间强调一下重点及难点，相信会有更好的效果。

教师在课堂小结后给了学生充分的课堂练习的时间，并巡视完成情况，对其中存在的问题进行讲评。