线性代数教学大纲

线性代数教学大纲（精选8篇）

线性代数教学大纲篇1

一．课程基本信息

开课单位：数理学院

课程编号：05030034a

英文名称：linear algebra

学时：总计32学时，其中理论授课28学时，习题课4学时。学分：2.0学分

面向对象：全校工科专业

教材：

《线性代数》，同济大学教学教研室编著，高等教育出版社，2007年5月第五版

主要教学参考书目或资料：

1.线性代数》，奕汝书编著，清华大学出版社

2.《线性代数》，武汉大学数学系

3.《线性代数辅导》，胡元德等编著，清华大学出版社 4.《线性代数试题选解》（研究生试题选），魏宗宣编著

二．教学目的和任务

线性代数是高等学校理工科有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程课程的基础。为适应培养面向21世纪人才的需要,要求学生比较系统理解线性代数的基本概念,基本理论,掌握线性代数的基本计算方法.要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。本课程所讲的理论和方法，早已被广泛应用于各个学科和各个领域。它是建立在多维空间多元素基础上的，在计算机日益普及的今天，它作用更能充分发挥出来。所以本课程的社会地位和作用也日益显得突出和重要。工科大学生必须具备本课程的知识，才能更好地适应社会主义建设的需要。

通过本课程的学习，应使学生获得在应用科学中常用的矩阵方法，线性方程解法、二次型理论等实用性极强的基础知识，使学生能用这些方法解决一些实际问题，提高学生解决实际问题能力。同时，也为学生今后扩大知识面打下必要的数学基础。

三．教学目标与要求

通过对这门课的学习，使学生了解行列式、矩阵、向量组的定义和性质，掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，利用矩阵的初等变换求解方程组及逆矩阵、向量组的线性相关性，利用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。

四．教学内容、学时分配及其基本要求

第一章 n阶行列式（6学时）

（一）教学内容

1、二阶与三阶行列式

2、全排列及逆序数

3、n阶行列式定义

4、对换

5、行列式性质

6、行列式按行列展开

7、克莱姆法则

（二）基本要求

1、知道n阶行列式定义，了解行列式性质，熟练掌握二、三阶行列式计算法。

2、了解按行(列)展开行列式的方法，掌握四阶和四阶以上行列式的计算法。

3、掌握用克莱姆法（Gramer法则）解线性方程组的方法。第二章矩阵及其运算（4学时）

（一）教学内容

1、矩阵

2、矩阵的运算

3、逆矩阵

4、矩阵分块法

（二）基本要求

1、理解矩阵概念，知道单位阵、对角阵、对称阵、三角阵、正交阵等常用矩阵及其性质。

2、熟练掌握矩阵加法、乘法、转置、方阵行列式的运算及其运算规律。

3、理解逆矩阵概念及逆阵存在的充要条件，掌握逆矩阵的求法。

4、掌握分块矩阵的运算和分块对角阵的性质及其应用。第三章矩阵的初等变换与线性方程组（6学时）

（一）教学内容

1、矩阵的初等变换

2、初等矩阵

3、矩阵的秩

4、线性方程组的解

（二）基本要求

1、掌握矩阵的初等变换和初等方阵的基本理论及其应用。

2、理解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩，知道满秩矩阵的性质。

3、掌握利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的大小比较及与未知元个数n的关系判别线性方程组有无解；有多少组解(即解的存在性与唯一性的判别)的基本方法

第四章向量组的线性相关性（8学时）

（一）教学内容

1、向量组及其线性组合

2、向量组的线性相关性

3、向量组的秩

4、线性方程组的解的结构

5、向量空间

6、习题课

（二）基本要求

1、理解n维向量的概念并掌握其运算规律。

2、理解向量组的线性相关、线性无关的概念。

3、了解向量组线性相关、线性无关的几个重要性质。

4、理解向量组的秩的概念，会求向量组的秩和最大无关组，并会用最大无关组表示其余的向量。

5、了解n维向量空间中的空间、基、维数、坐标等概念，会求基，会用基来线性表示所属空间的其余向量。

第五章相似矩阵及二次型（8学时）

（一）教学内容

1、向量的内积，长度及正交性

2、方阵的特征值与特征向量

3、相似矩阵

4、实对称阵的相似对角阵

5、二次型及其标准形

6、用配方法化二次型为标准形

7、正定二次型

8、习题课

（二）基本要求

1、理解矩阵的特征值和特征向量的概念，并掌握其求法。

2、了解相似矩阵的概念和性质。

3、了解矩阵对角化的充要条件，会求实对称阵的相似对角阵。

4、掌握将线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）法。

5、掌握二次型及其矩阵表示法。

6、掌握用正交变换法化二次型为标准形。

7、了解惯性定律、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。

五．教学方法及手段

采用启发式教学方法，配合多媒体教学，充分使用现代化教学手段。

六．考核方式及考核方法

考核方式为“闭卷考试”。成绩评定：平时成绩30%+考核成绩70%。

七．其它说明

如果条件允许，可以安排一定学时的数学实验课，用MATLAB语言实现一些繁琐的计算，如矩阵求逆、线性方程组求解等。

线性代数教学大纲篇2

线性代数是理工科本科生的必修课程, 是研究生入学考试必考的数学科目之一.这门课成绩的好坏, 直接影响到学生将来考研的成绩.从应用来看, 工程计算上遇有太多变量时, 时常将问题线性化, 然后用线性代数方法处理问题, 足见这门课的重要性.如何教好这门课, 是值得我们每一位上课老师深思的问题.这门课有些概念, 对于初学者来说, 的确太抽象了, 作为老师, 该怎么教, 才能让学生产生学习兴趣, 才能自觉去钻研这门课?我想用这篇文章抛砖引玉, 希望引起同行们的广泛讨论, 共同提高教学水平.

1.为什么要学习线性代数

这个问题有必要向学生作些简要介绍.否则, 由于这门课比较抽象, 学生可能没兴趣学这门课.作为这门课程的老师, 应该对此有些了解.

线性代数的计算方法是处理现代工程计算的重要方法, 比如线性性质、向量、线性空间、矩阵等等, 在工程计算中, 经常用到.有时工程上研究的问题相当复杂, 用到成百上千的变量, 这样复杂的问题, 用矩阵来处理, 是比较好的方法.线性代数已成为现代工程技术人员必修的课程之一.

线性拟合和非线性拟合是数据处理常用的方法, 以往由于计算手段的限制, 非线性拟合几乎无法实现.因此, 传统的数据处理方法中非线性问题线性化计算是一种基本手段.目前, 尽管计算机数据处理已经很普遍, 但由于习惯于传统的方法, 或是由于非线性拟合过程常遇到不收敛等问题, 非线性问题线性化计算这一传统的数据处理方法仍在广泛使用.作为线性代数的主要软件工具有MATLAB, 它是矩阵计算的主要工具.

从数学上来讲, 很多非线性化问题可以通过一些数学变换化成线性问题.比如一些非线性回归问题就可以通过变量的倒代换对数变换等化成线性回归问题.我们也可以利用泰勒公式, 将一个复杂函数化成近似的多项式, 再将多项式转化为线性方程 (这只要将各个幂函数当作一个新变量就可以) .

2.抓住核心内容和核心方法

工科线性代数, 课时比较少, 我们学校只有32学时.在这么短时间内, 要教好或学好这门课程, 老师要下些工夫, 学生也要有足够的学习兴趣和精力的投入.若老师抓不住核心内容和核心方法, 就很难教好这门课.线性代数课, 一般包括行列式、向量、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间.由于课时少, 我们实在是没时间讲解线性空间的内容, 只能讲解向量空间一些基本概念, 并在线性方程组中讲解向量空间时加以应用.

线性代数课程的核心内容是线性方程组, 核心方法是矩阵的初等变换方法.行列式、克莱姆法则、向量、矩阵都围绕着线性方程组展开.克莱姆法则, 解决了当系数矩阵是方阵时, 何时有唯一解, 并用行列式给出了解的表达式, 在线性方程组理论中有重要价值.向量模型为线性方程组解决了解空间模型的问题, 认为线性方程组的解是向量空间中的向量, 可以定义解向量之间的线性运算.矩阵运算为线性方程组的求解提供了行初等变换方法, 利用这个方法, 可以判别非齐次线性方程组是否有解, 用行初等变换求解.向量线性关系为线性方程组通解提供了理论基础, 非齐次线性方程组的任一解都可由其本身的一个特解及对应齐次线性方程组基础解系的线性运算来表示.矩阵特征值、特征向量、二次型内容, 是线性方程组理论及方法的一个应用, 这个应用也为空间解析几何中讨论二次曲线、二次曲面标准形问题提供了很好的方法.矩阵的初等变换方法, 可以用于求行列式, 求向量组的秩, 并判别向量组是否线性相关, 求向量组的最大线性无关组, 用最大线性无关组线性表示其余向量, 求逆矩阵, 用行初等变换求解线性方程组的通解, 求矩阵的特征向量.

3.用实际问题引入线性代数的基本概念, 用反例说明一些运算的“奇怪”性质

在讲解矩阵相乘、向量 (几何学及力学中, 向量是作为有大小并有方向的量, 而在线性代数中, 向量是作为有序数组) 、向量线性运算、向量线性相关、向量线性无关等基本概念时, 要尽可能地用一些实际问题来引入, 不要直接给出定义, 以免让学生觉得太抽象, 还以为这只是数学老师在故弄玄虚.在这方面, 李尚志教授就做得很好, 值得我们学习.

我们可以用坐标变换公式来引入一般的线性变换, 由线性变换的复合 (简单点, 就讲3个变量的线性变换的复合) 引入矩阵相乘概念.也可以借用销售与收益的模型 (收益矩阵=销量矩阵×价格矩阵) 来引入矩阵相乘的概念.在高等数学中, 两个向量的内积也可看作一个行矩阵与一个列矩阵相乘.

由于我们的工资表、成绩表、线性方程组的解, 都只关心各个项的取值, 而且取值的顺序不同, 所代表的意义就不相同, 因此, 我们有必要研究有序数组, 把这种有序数组称为向量.线性代数中讲的向量就是有序数组, 这一点一定要强调.因为, 我们发现不少同学做线性代数作业时, 向量还是标出箭头, 没办法忘记几何、力学中所讲的向量, 把握不住线性代数中所讲的向量与几何、力学中所讲的向量的共性.由具体过渡到抽象, 必须忘记一个一个具体的事物, 而只把握住这些事物的共性.这就是所谓“聪明难, 糊涂难, 由聪明变糊涂更难”! (郑板桥语)

为什么平面直角坐标系, 要而且只要两条坐标轴?为什么空间直角坐标系, 要而且只要三条坐标轴?我相信, 很多没学过线性代数的同学都没法回答这个问题.为什么有些线性方程组中, 方程个数会比未知数个数更多?根据学生在中学的经验, 线性方程组中方程个数应该与未知数个数一样多, 才能确定未知数的取值.那么, 这是否意味着方程个数太多了, 也就是说有些方程是多余的?有些方程只是另外一些方程通过同解变换就可得到的?由这些问题展开讨论, 我们就可引入向量组的线性运算、线性相关、线性无关的概念了.像这样由一些具体问题引入抽象的概念, 原本抽象的概念就变得很自然了.

施密特正交化方法, 在三维向量空间中, 实际上可以理解为向量的正交分解.给定线性无关向量组α1, α2, α3, 记ξ1=α1, 用α2减去α2在ξ1方向的分向量得到ξ2, 用α3减去α3在ξ1, ξ2方向的分向量得到ξ3, 则ξ1, ξ2, ξ3是与α1, α2, α3等价的正交向量组.向量α在ξ方向的分向量是ξ方向单位向量的倍向量, 其系数就是向量α与ξ方向单位向量的内积 (即α在ξ方向的投影) , 这一点可用空间解析几何中向量的投影作为基础知识.有了三维空间中向量组的正交化方法, 就很容易推广到一般的n维向量空间, 得到n维向量空间中的施密特正交化方法.

为什么要讲相似矩阵?很多学过线性代数的同学都不知道为什么要学相似矩阵.其实, 这可以从矩阵计算的需要来讲.我们知道, 与对角矩阵相似的矩阵, 其矩阵多项式 (甚至矩阵幂级数) 的计算, 都非常简单.那么, 一个矩阵相似于一个对角矩阵的条件是什么呢?将矩阵相似的表达式用分块矩阵相乘形式展开, 就发现我们必须从矩阵特征值、特征向量学起.只要抓住了关键问题, 由关键问题顺藤摸瓜, 就会引出一大堆的小问题, 由各个小问题引入相应的概念, 学生就不再觉得抽象.只要学生不觉得抽象, 这门课就好学了.

在实数、复数运算中, a-a=b-b, ab=ba, (a-b) (a+b) =a2-b2, (a+b) 2=a2+2ab+b2, 若a≠0, ax=ab, 则x=b (消去律成立) .在矩阵运算中, 相似的运算律成立吗?在一元线性方程中, 若a≠0, 则方程ax=b有唯一解x=a-1b=ba-1.在线性方程组中, 若A≠0, 则线性方程组Ax=b也有唯一解, 并可类似地表示为x=A-1b=bA-1吗?若可以, A-1是什么?A-1乘在b的左边和右边都有意义吗?即使有意义 (当A, b是同阶数的方阵时, A-1b, bA-1都有意义) , 它们会相等吗?像这些问题, 我们都可以构造反例来说明, 使学生学起来对概念的理解会更清晰.文献[7]中, 孙兵提供了一些反例, 作为老师, 我们平时就要多积累一些反例, 当学生觉得以上运算的“怪现象”难以理解时, 我们就可以拿出反例说明问题.

4.通过线性代数的学习, 培养学生的团队合作精神

我们所处的社会是个竞争的社会.竞争, 就要有实力!个人的力量总是微不足道的, 然而, 团结起来力量大!我们的学生, 总是要面对社会的, 为了学生将来能很快适应社会, 我们有必要在教学过程中, 培养学生的竞争意识, 培养学生的团队合作精神.我们可以将学生分成若干个小组, 给每个小组出一个比较难点的题目, 让学生课后讨论.只要做对了, 或对问题有比较好的想法, 我们就给这一组的同学平时成绩加上适当的分数作为鼓励.这个比较难的题目, 学生实在做不出的话, 老师可以适当提示一下, 目的在于鼓励学生继续做下去.在分组时, 注意成绩好的与成绩稍差的, 要相互搭配 (谁成绩好, 谁成绩稍差, 老师在平时改作业时, 要注意做些记录) , 男女同学也要相互搭配, 这样他们讨论起来才有兴趣, 才更卖劲!做得比较好的, 要在班上表扬, 让学生感觉自己的劳动得到了老师和同学的认可.优秀学生是表扬与激励出来的!这种表扬, 也可增强同学们的集体荣誉感, 对培养学生的团队合作精神很有帮助.

5.对优秀学生要特别培养, 努力提高研究生升学率

我们培养的学生, 在毕业时, 总有一部分学生要再深造的.为了提高研究生升学率, 我们有必要在课件中穿插一些研究生升学考试题, 扩大同学们的知识面.在讲解研究生考题时, 要尽可能精讲, 讲清楚题目中所包含的知识面、解题方法的多样性.在选题时, 尽可能选综合程度比较高的题, 这样就可以通过精选出来的题将教材上的知识点穿插起来, 让同学有“一日游遍三川五岳”的感觉.学习优秀的学生从中受益匪浅, 学习一般的同学也增长了见识.

摘要：本文总结了作者上线性代数课的一些经验, 老师应该向学生讲清楚为什么必须学线性代数, 要抓住核心内容和核心方法, 要积累一些反例, 要培养学生的团队合作精神, 对优秀学生要进行特别培养, 努力提高研究生升学率.

关键词：线性代数,核心内容,核心方法,反例,团队合作

参考文献

[1]王郁文, 梁逸曾, 等.非线性问题线性化计算的改进[J].计算机与应用化学, 2005, 22 (4) :295-300.

[2]汪荣鑫.数理统计[M].西安:西安交通大学出版社, 2011.

[3]刘二根.线性代数[M].南昌:江西高校出版社, 2010.

[4]杨文茂, 李全英.空间解析几何[M].武汉:武汉大学出版社, 1999.

[5]李尚志.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2006年5月.

[6]李尚志.让抽象变得显然[J].中国大学教学, 2006 (7) :11-13.

线性代数教学方法探讨篇3

关键词：线性代数；教学方法；数学建模；课件

线性代数是大学数学的一门重要基础课，主要讲授矩阵理论、与矩阵相结合的有限维向量空间及线性变换理论。线性代数中的概念直接由数学符号定义，很少由引例来导入，所以相对于微积分来说，线性代数显得更加抽象难懂。对于学生来说，一拿到教材，首先看到的是线性代数教材中的实例少，大多是一些概念、性质、定理、推论以及计算，第一直觉就是线性代数非常抽象而且不太实用，从而导致学生缺乏主动学习的积极性。经过一段时间的学习后，学生们又会发现线性代数的知识点很多而且前后纵横交错，学习起来难度很大，从而导致学生畏惧心理，很被动的跟着老师学习，这样就会使得线性代数的教学任务很难高质量地完成。那么，针对学生对线性代数的心理特点以及线性代数的课程特点，教师该选择什么样的教学方法和教学手段呢?笔者根据自己多年的教学实践，总结出点自己的教学经验，与同行探讨。

一、要学生从主观上充分认识到线性代数课程的重要性

日常生活中，我们都有这样的感觉：当我们认为某件事很重要且需要认真对待时，完成的效果会很好；相反，如果某件事没有引起我们足够的重视，应付完成时，结果可想而知。所以，让学生从思想上重视线性代数是E好该门课的前提。每年线代代数课程的第一节课，笔者都会拿出一半的时间来告诉学生们线性代数课程的重要性：

1线性代数课程抽象、严谨、逻辑性强，学习该课程可以很好锻炼我们的思维能力。

2全国大学生数学建模竞赛活动的深入开展，为学好线性代数这门基础课的学生提供了很好的机会。

3工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题和稳定问题、动态经济模型，常可归结为线性代数中的一个方阵的特征值和特征向量的问题。

根据这几点，学生自然地感觉到线性代数这门课是学有所用的，会比较自觉地学习这门课程，这样就建立了一个良性循环，从而大家可以轻松地高质量地完成教学任务。

二、在线性代数教学中引入应用实例，增强学科的趣味性

线性代数的内容大多是抽象的理论，繁琐的计算往往难以让人体会到线性代数的现实意义，也很难激发学生的学习兴趣，考虑到这种因素，在教学的过程中尽可能地研究一些典型的应用实例。比如行列式和矩阵概念的引入：

1比如在讲行列式的概念时，我们可以从计算平行四边形的面积和平行六面体的体积引入，指出n阶行列式是将其本质抽象出来而作的一个推广。

2比如在矩阵概念的概念时，我们可以从简单的经济问题入手，让学生了解知识的应用背景，表明学习矩阵是为生产实践服务的，从而提高学生学习的积极性。

三、多媒体课件的精心设计

线性代数内容多、学时少，为提高课堂教学效益，在讲课中必须注意黑板与多媒体教学的有机结合。因此，我们要制作适合自己教学风格的、有利于学生有效学习的多媒体课件，在制作和应用课件上课的时候，我们要注意以下几个方面的关系：

1主角与配角。多媒体课堂教学过程主要包含四个要素：教师、学生、教材和媒体。

正确把握四者之间的关系，有助于更好地进行课堂教学。首先，应该明确的是，学生是课堂上的主体，一切服务都是为了学生能够更好地掌握所学知识，这个主体地位是不能改变的。多媒体教学课件能够提供的信息量大，教师在上课的时候要合理安排好时间，比如：内容在屏幕上停留的时间、与学生互动的时间、需要教师板书的时间、收集学生反馈的时间等等。

2留住与逝去。大多数学生反映，听多媒体数学课很疲劳，跟不上记笔记，大脑也来不及思考，对概念的理解是含含糊糊，似懂非懂，下课后脑袋就一片空白，感觉什么都没记住。还有就是一些例题的讲解时，千万不要在屏幕上显示出完整的求解过程，这样势必中断他们的思路，其思维的连续性和独立性必然被破坏，降低学生的思维水平。所以，制作课件时，要从教学策略、教学内容以及学生的有效接受能力三方面进行充分考虑。对于重要的例题和较复杂的理论证明，必须选择一到两个典型的例子在黑板上进行完整的求解和推导，使学生跟上老师的思路，而对于线性代数一些简单的概念、性质以及例题等，则可以通过多媒体给学生演示。

3原创与拿来。多媒体教学时，部分老师把从网上下载的或通过其他渠道得来的课件直接应用于教学，用后会发现大多数课件不适合自己的讲课风格，授课效果大打折扣。教师在授课时不要直接套用别人的课件，要根据自己授课的风格和设计情况制作课件。在设计时，一定要把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式。

通过多年的教学实践，充分证明自己精心设计的课件达到了能用、好用、实用的预期目标，确实为自己与所教学生提供了一个能充分整合现代教学技术与教学资源的平台。在这个平台上，教师不仅可以充分发挥自身特长，同时也大大减轻了教师的身心劳累程度，而且确实取得相当不错的教学效果。

四、给学生思考和练习的时间。让学生轻松和快乐学习

1线性代数内容多，课时少，满堂灌有时是不可避免的，很明显这种教学效果不好，会让学生有一种完全被动的全盘接受的感觉，学习的兴趣和积极性会受到很大的冲击。其实，在教学过程中，教师的作用更重要的是去引导学生思考，让他们根据自己的知识水平构建一个知识框架，然后用他们自己的方式来理解知识和记忆知识。对学生来讲，这样学习的效果远远比一味接受老师的灌输来的好。可能有些老师认为时间不允许，其实重复性的知识可以给让学生自己做，或者课后做。所以在一个知識点讲完后，可以给学生设计思考点，让学生有点时间来思考问题，等到对方百思不得其解的时候给他们呈现出答案，这比直接给他们答案要有意义的多。

2线性代数课尤其注意学生的计算能力，只“看”屏幕是不行的，教师在讲解完一个例题的求解过程后，可以安排出一定的时间叫一个学生到讲台上解题，其余的学生在下面解题，有时甚至可以搞课堂练习突击，让学生求解完题后上交练习，这样可以保证学生都能积极参与到课堂上来。

以上是笔者在近几年的教学中总结出来的一些经验心得，写出来与大家探讨，以求找到更好的教学方法为学生服务，使学生真正掌握线性代数这门课。

线性代数与空间几何,教学大纲篇4

Linear Algebra and Analytic Geometry A

课程编码：09A00110

学分：3.课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：56

其中讲课：56

实验或实践：0

上机：0 适用专业：信息科学与工程、机械工程、自动化与电气控制、土木建筑、资源与环境、物理科学与技术等学院理工类各专业

推荐教材：于朝霞张苏梅苗丽安主编.线性代数与空间解析几何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.参考书目：

1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2001.3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、冯良贵等编著.线性代数与解析几何.北京：科学出版社，2013.5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安：西安交通大学出版社，2006.6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.北京：高等教育出版社，2005.课程的教学目的与任务

线性代数与空间解析几何具有较强的抽象性与逻辑性，所介绍的方法广泛地应用于各个学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

通过本课程的教学，使得学生系统地获取线性代数与空间解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，了解代数与几何的相互渗透关系，会用代数理论去解决几何方面的问题，具有较熟练的运算能力。通过本课程的学习使学生初步熟悉和了解抽象的、严格的代数证明方法，理解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，提高空间想象、抽象思维、逻辑推理的能力。学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

课程的基本要求

通过本课程的学习，要求学生达到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟记行列式的性质，掌握行列式的基本计算方法。2.掌握矩阵的基本运算，理解矩阵秩的概念及初等矩阵与初等变换的关系性质。

3.理解线性相关性、向量组的秩的概念，掌握线性相关性的性质及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直线、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形状。

5.理解线性方程组解的存在定理、解的结构定理，掌握其在讨论空间平面位置关系中的应用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方阵可相似对角化的条件及方法，正交变换化二次型为标准形的方法。掌握二次型理论在判别三元二次方程所表示的几何形状的应用。7.借助矩阵的初等行变换熟练掌握各类线性问题解的刻画及求解方法步骤。8.掌握线性方程组理论及二次型理论在几何上的应用。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议

本课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次.其中，概念、理论用“理解”一词表述的，方法、运算用“掌握”一词表述的，属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用；概念、理论用“了解”一词表述的，方法、运算用“会”或“了解”表述的，也是教学中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章：行列式

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解n阶行列式的定义。

2．理解行列式的性质，掌握行列式的计算。3.了解克拉默(Cramer)法则。

[教学重点与难点] 行列式的性质，行列式的计算。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 1.1 二阶与三阶行列式 1.1.1 二阶行列式 1.1.2 三阶行列式

1.2 n阶行列式的定义 1.2.1 排列与逆序数 1.2.2 n阶行列式的定义 1.3 行列式的性质与计算

1.3.1 行列式的性质 1.3.2 行列式的计算 1.4 克拉默法则习题课

第二章：矩阵及其运算

建议学时：10 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的概念，知道某些特殊矩阵的定义及性质。2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。

3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件。4．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。

5．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。6．了解分块矩阵的运算，掌握准对角矩阵的运算性质。[教学重点与难点]

重点：矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。矩阵的各类运算及运算性质。矩阵可逆的充要条件。初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩、矩阵方程的解的方法。

难点：矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容]

2.1 矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的概念 2.1.2 矩阵的运算 2.2 逆矩阵 2.2.1逆矩阵的定义 2.2.2 方阵可逆的充要条件 2.3 分块矩阵及其运算 2.3.1 分块矩阵的概念 2.3.2 分块矩阵的运算

2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2.4.1 矩阵的初等变换 2.4.2 矩阵秩的概念与求法 2.5 初等矩阵

2.5.1 初等矩阵及其性质 2.5.2 用初等变换求逆矩阵习题课

第三章：向量与向量空间

建议学时：10 [教学目的与要求]

1.了解空间直角坐标系、几何向量的坐标表示及运算。

2.理解n维向量的概念、理解线性相关性概念。会判别向量组的线性相关性。

3.理解向量组的最大无关组、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。

4.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数。

[教学重点与难点]

重点：向量组的线性相关性的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间、基底及维数的概念。

难点：向量组的线性相关性、向量组的最大无关组与秩及相关证明题。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的基本概念 3.1.2 几何向量的线性运算 3.2 空间直角坐标系 3.2.1 空间直角坐标系 3.2.2 几何向量的坐标表示 3.2.3 用坐标进行向量运算

3.3 n维向量及其线性运算 3.3.1 n维向量的概念 3.3.2 n维向量的线性运算 3.4 向量组的线性相关性 3.4.1 向量组及其线性组合 3.4.2 线性相关与线性无关的概念 3.4.3 线性相关性的性质 3.4.4 线性相关性的判定 3.5 向量组的秩

3.5.1 最大线性无关组 3.5.2 向量组的秩

3.5.3 矩阵的秩与向量组的秩的关系 3.6 向量空间

3.6.1 向量空间的概念 3.6.2 坐标变换习题课

第四章：欧氏空间

建议学时：8 [教学目的与要求]

1.理解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵;会求几何向量的内积和外积。

2.掌握空间直线的标准式方程与平面的点法式、一般式方程。3.理解空间曲面、空间曲线的概念，会求空间曲线在坐标面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示图形的形状。

[教学重点与难点] 标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 4.1 向量的内积

欧氏空间 4.1.1 R3中向量的内积

4.1.2 n维向量的内积

欧氏空间 4.2 标准正交基

4.3 R3中向量的外积和混合积

4.3.1 向量的外积 4.4 R3中的直线与平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空间直线及其方程 4.4.3 位置关系 4.5 空间曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋转曲面 4.5.3 柱面

4.6 空间曲线及其方程 4.6.1 空间曲线的一般方程 4.6.2 空间曲线的参数方程 4.6.3 空间曲线在坐标面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 椭球面 4.7.2 抛物面 4.7.3 双曲面 4.7.4 二次锥面习题课

第五章：线性方程组

建议学时：6 [教学目的与要求]

1．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。2．理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解的概念及解的结构。3．熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。

4.掌握线性方程组解的理论在向量组的线性相关性和在几何上的应用。

[教学重点与难点] 齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的概念；非齐次线性方程组有解的判断及通解结构；用矩阵的初等行变换求解线性方程组；线性方程组解的理论在几何上的应用。[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 5.1 线性方程组有解的充要条件 5.2 线性方程组解的结构 5.2.1 齐次线性方程组解的结构 5.2.2 非齐次线性方程组解的结构

5.3 用初等变换解线性方程组及线性方程组的应用 5.3.1 用矩阵的初等行变换求解线性方程组

5.3.2 线性方程组应用举例（只介绍在几何中的应用）习题课

第六章：特征值、特征向量及相似矩阵

建议学时：8 [教学目的与要求]

1．理解矩阵的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩阵的概念与性质，理解矩阵可相似对角化的充要条件。

[教学重点与难点]

重点：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法；实对称矩阵的相似对角化。

难点：矩阵可相似对角化的条件及相关问题。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 6.1 特征值与特征向量 6.1.1 特征值与特征向量的概念 6.1.2 特征值与特征向量的性质 6.2相似矩阵

6.2.1 相似矩阵的概念及性质 6.2.2 方阵的相似对角化问题 6.3 实对称矩阵及其对角化

6.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 6.3.2 实对称矩阵的正交相似对角化习题课

第七章：二次型

建议学时：6 [教学目的与要求]

1.了解二次型及其矩阵表示、二次型的秩及二次型的标准形等概念。

2.掌握用正交变换将二次型化为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形。3.会用二次型理论讨论讨论一般二次曲面的形状。[教学重点与难点] 用正交变换化二次型为标准型。

[授

课

方

法] 以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课堂练习为辅。[授

课

内

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定义及其矩阵 7.1.2 矩阵的合同 7.2 化二次型为标准形

7.2.1 用正交变换化二次型为标准形 7.2.2 用配方法化二次型为标准形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的惯性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的应用 7.4.2 二次曲面方程化标准形

习题课

撰稿人：张苏梅

线性代数教学大纲篇5

高等数学、线性代数、概率论和数理统计是大学数学的三门基础课程。相比较而言，线性代数抽象程度高、理论性强，既不同于概率统计与生活联系紧密，趣味性强，又不同于高等数学学分多、课时多，受学生重视。所以，多数学生学习线性代数的兴趣不高，重视程度不够，给教学工作带来较大难度。如何激发学生的学习兴趣，增加教学的生动性，成为数学教师应探索的实际问题。结合以往教学经验，本文将针对这一问题提出三个教学要点。

一、理论联系实际，通过实例提高大学生的学习兴趣和重视程度

学生对线性代数兴趣不高，主要是因为该课程过于抽象、学习难度大。因此，教师在教授线性代数时，要结合教学内容，列举应用线性代数知识和方法解决实际问题的具体实例，讲授线性代数知识，提高学生的学习兴趣和学习积极性。备课时，教师要从其他相关学科（如物理学、计算机程序等学科）中寻找应用线性代数知识解决问题的具体事例。比如，教师讲授“线性方程组的解”的理论知识后，可以介绍投入产出模型，即通过编制投入产出表，运用矩阵和线性方程组进行运算，揭示国民经济各部门的内在联系[1]；

在工农业生产、经济管理及交通等方面，经常涉及使用或分配劳动力、原材料和资金等问题，采用线性规划模型，运用矩阵和“线性方程组解”的理论，使费用最小或利润最大[1]。此外，还有人口模型、数据的最小二乘处理等都应该用线性代数知识解决具体问题。总之，“兴趣是最好的老师”，通过寻找、列举线性代数解决问题的具体事例，提高学生学习兴趣，是有效开展线性代数教学的方法之一。

二、加强知识内容间的内在联系，深化学生对知识内容的理解

线性代数知识是紧密联系的整体。但由于它的概念定义比较抽象，学生不易掌握概念间、不同章节内容间的联系，且抓不住逻辑主线，知识之间的融会贯通能力弱。针对这个问题，笔者认为课堂教学要抓住以下三个要点。

首先，既要让学生清楚概念的内涵和外延，又要让学生思考、理解概念的不同侧面。例如，教材中对矩阵的秩的定义是：设在矩阵a中有一个不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么d称为矩阵a的最高阶非零子式，数r称为矩阵a的秩，记作r（a）[2]。显然，定义中包含三个要点：（1）a中至少有一个r阶子式不为零；（2）所有r阶以上子式均为零；（3）若所有r+1阶子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零。其中，要点（2）和要点（3）是等价条件。同时，“r阶子式是否可以为零？”“小于r阶的子式是否可以为零？”等问题，都是矩阵的秩概念的外延内容，同样需要搞清楚，以加深对该知识点的理解。

其次，有意识地加强概念间、定理间的内在联系和理解运用。例如，提醒学生观察并发现矩阵的秩和向量组的秩的定义的相似之处，进一步引出重要定理--矩阵的秩等于向量组的秩。以同济大学线性代数第五版为例，第三章矩阵的初等变换与线性方程组中定理五至定理七，分别对应第四章向量组的线性相关性中的定理一至定理三。所以，讲授第四章定理一前，不妨先回忆第三章的三个定理，然后对比讲授第四章的三个定理。通过类似的比较分析，使学生清楚掌握定理间的异同，从而加深对定理的理解记忆，起到事半功倍的效果。

考研新大纲线性代数命题规律篇6

数学考试大纲刚刚已经出来了，和相比，概率稍微有些变化，数三的“两个及两个以上随机变量的函数的分布”改为“两个及两个以上随机变量简单函数的分布”，而高数只是将“克莱姆法则”改为“克拉默法则”，线性代数基本没有变化。这是数学学科本身的严谨性和稳定性的体现，对于考研的同学们来说也是一个好消息。线性代数每年考查的题型题量很固定，考查内容也很稳定，以考察计算题为主，相对来说，是同学们复习比较好拿分的科目。下面我就线性代数的考查特点给大家做一个分析。

线性代数一共六章的内容。其中第一章行列式，它在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题和选择题为主，但它是必考内容，即便没有单独考查的题目，也会在其它的试题中给以考查，如求特征值就是计算相应的行列式。行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，同学们要掌握降阶法求行列式，以及其它的像爪型、三对角、范德蒙、行和或列和相等的行列式的求法。矩阵是后面各章节的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始末。这部分考点较多，像逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵、矩阵的幂、矩阵的行列式等概念的定义、性质、运算等等是每年考研的重点内容，同学们在复习的时候一定要注意归纳总结才可能掌握好。向量组的线性相关性是线性代数的重点也是考研的难点，大家复习的时候一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定方法并能灵活应用，还要弄清楚线性表出、向量组的秩及线性方程组等之间的联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。历年考题中，方程组是每年必考的题目，这也是线性代数部分考查的重点内容。要掌握齐次和非齐次线性方程组的解的判定定理，能够熟练求解线性方程组。这部分内容是重点考查解答题的章节。特征值和特征向量也是考研的重点内容之一，题多分值大，共有三部分内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相对而言，这部分计算量是比较大的，复习的`时候一定要加强练习。由于二次型与它的实对称矩阵是一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，只要正确写出二次型所对应的实对称矩阵，就可以利用相似对角化的方法解决二次型的问题了。解线性方程组和矩阵相似对角化是每年两道大题最容易考查的地方。

线性代数的知识点比较多而且比较松散，而考研数学试题的综合性非常强，所以大家在复习的时候一定要注意总结常用的结论、性质，例如伴随矩阵的秩、矩阵相乘的秩等等，抓住重点，解决难点，只要我们把握住了命题规律，就一定能取得线代的高分，并最终取得考研数学的胜利。

线性代数教学改革探析篇7

1 灵活使用多种教学方法

传统的教学方法是人们一直以来使用的粉笔加黑板的教学模式。对于线性代数来说, 其学科的特点决定了要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与计算能力, 因此定理与结论的推导过程就必须再现知识的发现与推理过程, 这是一个循序渐进的过程, 传统的粉笔加黑板的教学模式在这个过程中起了重要的作用。但另一方面如果用板书, 一个复杂的矩阵, 一个线性方程组就会浪费很多的时间, 真正有效的教学时间大打折扣。采用多媒体技术, 直接通过多媒体设备将所要讲授的内容呈现在屏幕上, 可以省去大量的书写板书的时间。另外, 线性代数是一门内容极其枯燥的基础性学科, 多媒体教学可以全方位、多角度的激发学生的好奇心和求知欲, 使他们产生学习的动机, 从而提高教学质量。

将多媒体技术与板书进行有效的结合, 发挥各自的优势, 共同提高线性代数的教学质量。在教学中, 不是每次课都可以利用多媒体进行教学, 要根据授课内容的需要进行选择。基本概念以及阶数较高的矩阵或行列式可以用多媒体进行呈现, 但定理的推导及例题的计算需要在黑板上书写完整的过程。

要进行多媒体教学, 就要制作多媒体课件, 在制作多媒体课件时应该注意以下几个问题:多媒体课件的制作不能过于鲜艳, 以至学生对视频或某些变化过程感兴趣, 而知识本身并不能引起他们的关注;课件的内容要简洁、重点突出, 只呈现概念、注记、定理、推论、说明以及例题, 详细的证明过程以及解题过程应书写在黑板上;字体的大小要合适, 要保证每个学生都能看清楚;课件每一页的内容不能同时出现, 应该随着讲课的进度而逐步显示。

2 教学内容与学生专业结合

线性代数的教学是为后继课程的学习服务的, 后继专业课程需要用到线性代数的知识, 因此针对不同专业的学生, 我们有必要对教学内容进行调整。在实际教学中, 首先要了解线性代数在该专业后继课程中的应用, 其次找到在该领域应用的典型案例, 在介绍新的概念之前, 以典型案例为主引入线性代数的基本概念, 这样不但使学生能够理解抽象的基本概念, 还为后继课程的学习打下了基础。针对不同的专业寻找不同的案例, 可以提高教学质量。

3 将MATLAB软件引入到教学中

MATLAB是美国Math Works公司出品的商业数学软件, 主要用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算。MATLAB除了基本的数值计算功能和图形图像处理功能外, 还提供了很多处理数学问题的专门工具箱, 如符号数学工具箱、统计工具箱、优化工具箱和偏微分方程工具箱等。

线性代数中的运算法则非常简单, 但具体运算特别繁琐。比如计算行列式、求矩阵的秩、求逆矩阵、求矩阵的特征值与特征向量、解方程组等, 如果矩阵或行列式的阶数较高, 那么计算非常困难, 在MATLAB中有专门的工具箱, 只需输入矩阵或行列式以及相应命令, 就可以进行相关的计算。在课堂教学中, 教师首先给学生讲授每一种计算的推导过程, 让学生明白计算的步骤与方法。然后让学生参与计算一些简单的阶数较低的相关运算, 最后介绍实现这种计算的MATLAB命令。利用多媒体进行课堂演练, 将MATLAB所得结果与手动计算的结果进行比较, 不仅可以提高学生学习的兴趣, 而且也可以使学生能够接受用MATLAB软件进行计算。 (下转第381页) (上接第82页) 将MATLAB软件引入到线性代数教学中, 使教师和学生都能从繁琐的计算中解脱出来, 提高教学效率。教师在讲授基本概念、基本理论、基本方法的基础上, 重点培养学生利用线性代数的知识解决实际问题的能力。这需要学生将实际问题通过数学建模的思想转化为一个数学模型, 基于线性代数的基本理论与方法, 借助MATLAB软件解决实际问题。培养学生自主学习的能力, 提高学生对问题的理解能力、动手能力和科研实践能力。同时也提高了理工科学生利用现代计算工具来解决复杂计算问题的能力。

4 完善网络教学平台建设

网络教学资源平台对提高教学质量起着重要的作用。线性代数的内容较多、学时有限, 一部分学生不能够在课堂内将所有内容都掌握, 网络教学平台可以为学生提供课外学习的机会。但是大部分院校网络教学资源平台上只有线性代数各个章节的课件, 讲义。教师有必要进行线性代数应用案例库建设, 案例可以涉及理工科的各个专业, 甚至包括线性代数在后续专业课程及相关学科的应用。通过这些案例, 可以使学生了解线性代数在各个领域的应用, 同时更深刻的理解线性代数的基本概念、基本理论与基本方法。另外也可以培养学生解决实际问题的能力。S

摘要：线性代数是高校理工科专业的一门公共必修课, 也是一门应用非常广泛的基础课。针对教学内容抽象性强的特点, 结合本人在教学实践中的体会, 提出灵活使用多种教学方式、讲授内容与专业结合、在教学中引入Matlab工具箱、完善网络教学资源平台建设等方法, 从而提高教学质量。

关键词：线性代数,教学改革,网络资源

参考文献

[1]付玖春.《高等数学》教学中多媒体技术的应用[J].内蒙古农业大学学报:社会科学版, 2009 (6) :150-151.

[2]张俊.线性代数教学实践与改革[J].西南民族大学学报, 2011 (37) :23-25.

浅谈线性代数的教学方法篇8

关键词：线性代数；观点；教学方式

引言：线性代数的应用，涉及的范围十分广泛，例如数学、物理学，亦或是其他技术学科之中，因此线性代数在各种代数分支中，可以说是占据着首要位置。而线性代数同样是理工科大学各专业的基础课，学习线性代数对于培养学生的逻辑推理能力、计算能力、抽象思维能力以及工程实践中的具体应用能力有着不可忽视的作用。而线性代数这门学科，通常在大一大二年级设置，对于初学者来说，线性代数的困难，一度让学生们感觉束手无策。那么，如何解决这一问题，如何调动学生们学习的乐趣，让这门学科的成绩提升上来，无疑成为了老师们教学的关键。

一、代数概念区分

（一）行列式和矩阵

行列式和矩阵，是解析线性代数的关键，而这二者之间，有着密切的联系，却又不能将其等同。那么，首先，要确定二者各自的定义，注意二者之间的符号差异，其具体表现在：

1.矩阵，行列式。

2.表现形状。

由此可见，行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等。

3.意义差距。

矩阵是数的表格，而行列式则是一个数，亦可说是一个算式。

（二）行列式与矩阵计算方法的不同

线性代数涉及的计算内容，对于初学者来说，很难。甚至，很多同学觉得，面对计算时，有种无从下手的感觉。一般求解方程组的时候，有些同学生搬硬套，直接采取克拉默法则求解。如果同学们能够清楚二者之间的差别，知道只有方阵才能有对应的行列式，不相等的矩阵无法用行列式进行计算的话，就不会出现这种错误。

二、针对行列式和矩阵的差别，采取对比教学法

线性代数中的行列式和矩阵容易混淆，其中涉及的概念以及数乘运算，是学生们最为困扰的一点。如何将它们区分开来，这是一个关键问题。这里采取对比的教学方法，可以加深同学们的印象，有着不错的教学效果。

学生在学习行列式和矩阵初等变换后，容易将二者的符号弄混淆。尤其是二者符号书写上面完全一致，但它们本质是不同的。例如行列式的运算表示的是数值运算，变换过程中用“=”连接，且前面会出现负号“-”。而矩阵变形过程中，不会出现负号“-”，也不会出现系数“ ”。

（一）矩阵、行列式的加法和数乘

矩阵的加法运算时，两个同型矩阵相加是指它们的对应元素相加。行列式的某一列或是某一行两数相加，也是对应元素相加。但区别是，矩阵中的每一个元素都是两数之和时，此矩阵等于两个矩阵的和。而行列式则是等于两个行列式的和。至于数乘运算，二者的差别要更大一些。矩阵式只有公因子可以提到矩阵符号外，而行列式只需要满足一行，或是一列的公因子，就可以提到符号外。

（二）矩阵的等价、相似、合同的充分必要条件

矩阵的等价性质分为三方面，分别是反身性、对称性、传递性。两个矩阵，等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵，使得。

矩阵的相似关系：设，均为数域上阶可逆矩阵，矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）。同样的，矩阵的相似关系也有三个性质，分别是反身性、对称性、传递性。

矩阵合同的性质：反身性，任意矩阵都与自身合同；对称性，如果与合同，那么与也合同；传递性，如果与合同，又与合同，，那么与合同；合同的两矩阵有相同的二次型标准型；在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵；矩阵合同与数域有关。

三、善于发现和利用反例

线性代数中存在很多抽象的概念，如何将这些抽象的概念掌握，如何在初学时掌握一定的技巧，避免走入误区，这一点，十分关键。如果能够举一些反例，相比较之下，就会加深学生对概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩阵运算的时候，可以告诉学生，矩阵乘法不满足交换律。但这样的强调，并不能引起学生们的注意。这时候，举出一个反例，用错误的计算点醒学生，就会取得一个不错的效果。

四、举一反三，一题多解

一道题的正确解答方法不单单只有一个，那么发散学生的解题思路，开拓学生的视野，将所学知识有效的串联起来，对于养成学生发散思维，有着重要影响。

例1：已知向量组，，线性无关，，，，证明：向量组，，也线性无关。

证法1：设有，，，使得，

即，