指数函数及其性质免费

指数函数及其性质免费（通用8篇）

指数函数及其性质免费 篇1

一、教学内容分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

二、课标分析：

课程标准要求：

① 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

三、学情分析：

学生已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中重要的一部分内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不是太难。

学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力。通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心，富有激情、思维活跃。

四、教学目标：

知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。

过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

五、教学重点、难点：

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

六、教法分析与学法指导

一、教学方法：

1、教材的处理：由实例引入定义，在根据定义利用描点法画出函数图像，通过图像引导学生发现，概括出函数的性质。

2、教法的选择：根据本节特点，我主要运用问题情景教学法、启发发现法、讨论法。设计意图：这些方法充分体现教师为主导、学生为主体、训练为主线的“三为主”教学原则，充分调动学生的积极性。在教学的同时，培养学生各方面的能力，并有利于既定目标的渗透。教学用具：多媒体、三角板、直尺。

二、学法分析: 高一学生虽然已经学习掌握了指数与指数运算等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。（1）让学生利用图形直观感受；

（2）让学生“设问、尝试、讨论、归纳、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。通过本节课的学习，教会学生以下几点：善于思考，勤于动手，善于记忆的学习习惯和数形结合的数学思想方法。

七、教学过程：

（一）创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,„„一个这样的细胞分裂

x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2。

问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。

学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84。

（二）导入新课

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。xx函数y＝

2、y＝0.84 分别以01的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。

（三）新课讲授 1．指数函数的定义

一般地，函数是R。设计意图：为按的含义：

叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域

xx

两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，引导学生用区间表示：（0，1）∪（1，+∞）

问题：指数函数定义中，为什么规定“况？

设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢？这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。

对于底数的分类，可将问题分解为：

”如果不这样规定会出现什么情(1)若a<0会有什么问题？（如(2)若a=0会有什么问题？（对于

x，则在实数范围内相应的函数值不存在）都无意义），(3)若 a=1又会怎么样？（1无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且

.在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。

教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。

1：指出下列函数那些是指数函数：

2：若函数

是指数函数，则a=------3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。2．指数函数的图像及性质

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤：列表、描点、连线 思考如何列表取值？ 教师与学生共同作出

图像。

设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响。对于

时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。

师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

特别地，函数值的分布情况如下：

设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。

（四）巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

（五）课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？

设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

（六）布置作业

1、练习B组第2题；习题3-1A组第3题 思考题

2、A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:第一天给A先生1元,第二天给A先生2元，第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,„,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗？又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗？

3、观察指数函数的图象，比较a,b,c,d,的大小。

设计意图：课后思考的安排，激发学生的学习兴趣，主要为学有余力的学生准备的。并为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作铺垫。

指数函数及其性质免费 篇2

f (-x) =f (x) =f (|x|) =f (-|x|) .

1. 解不等式

例1设偶函数f (x) 满足f (x) =x3-8 (x≥0) , 则{x|f (x-2) >0}= ()

(A) {x|x<-2或x>4}.

(B) {x|x<0或x>4}.

(C) {x|x<0或x>6}.

(D) {x|x<-2或x>2}.

分析这道题的常规思路是利用函数的奇偶性求出函数f (x) 在 (-∞, 0) 上的解析式.然后再分x-2≥0和x-2<0两种情况讨论.如此求解, 则显麻烦, 若用上述性质可以不求解析式, 也无须分类讨论.

解因为f (x) 是偶函数,

所以f (x) =f (|x|) =|x|3-8,

从而f (x-2) =f (|x-2|) =|x-2|3-8.

由于f (x-2) >0,

即|x-2|3-8>0,

解得x>4或x<0.

2 求参数范围

例2 f (x) 是定义在[-1, 1]上的偶函数, f (x) 在区间[0, 1]上单调递减, 若f (1-m) <f (m) , 求实数m的取值范围.

分析因为1-m和m的符号不确定, 所以这道题的常规思路是对1-m和m的符号分四种情况讨论, 比较繁琐.以下利用文首的性质解决.

解因为f (x) 是偶函数,

所以f (x) =f (|x|) ,

从而不等式f (1-m) <f (m) 可转换成

f (|1-m|) <f (|m|) .

又因为当x≥0时, f (x) 单调递减,

则有|1-m|>|m|.

又f (x) 是定义在[-1, 1]上,

所以-1≤1-m≤1且-1≤m≤1,

故实数a的取值范围为

(-∞, -1]∪[2, +∞) .

3 比较大小

例4 f (x) 是定义在R上的偶函数, 在 (-∞, 0]上是减函数, 又x1>0, x2<0, 且x1+x2>0, 则 ()

(A) f (x1) =f (x2) .

(B) f (x1) >f (x2) .

(C) f (x1) <f (x2) .

(D) f (x1) 与f (x2) 的大小不能确定.

解因为x1>0, x2<0, 且x1+x2>0, 所以由实数的加法法则有|x1|>|x2|.

由于f (x) 是偶函数,

所以f (x) =f (-|x|) ,

从而f (x1) =f (-|x1|) ,

f (x2) =f (-|x2|) .

又|x1|>|x2|,

所以-|x1|<-|x2|<0.

因为f (x) 在 (-∞, 0]上是减函数,

所以 (-|x|) (-|x|) ,

原函数及其性质讨论 篇3

关键词原函数;连续性;奇偶性;周期性

原函数与导数、不定积分、定积分有着紧密联系，原函数和定积分的关系问题是数学分析的基础之一.由于平时一般只重视计算，容易造成对一些概念和理论的误解和疏忽，这样不利于进一步学习和研究，因而正确理解原函数及其性质对于学习数学分析有着重要意义。

一、相关定义和定理

定义1设函数 与 在区间I上都有定义.若 则称 为 在区间I上的一个原函数.

定义2函数 在区间I上的全体原函数称为 在I上的不定积分，记作 .

定理1若函数 在区间I上连续,则 在I上存在原函数 ，即

定理2设 是在区间I上的一个原函数,则：

（ⅰ）F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常数；

（ⅱ）f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.

二、原函数及其检验

1.由定义1可以得到:原函数 在区间I上每一点都可导.也就是说在每一点都要可导,否则 就不是 的原函数.

例1 :当 时, 当 时,

但 就不是 在 上的原函数,由于在 是不可导的.我们只能得到:是 在 上的原函数.

2.在求原函数时,区间是不可加的. 即由 是 在 和 上的原函数,不能推出 一定是 在 上的原函数.

我们从已知只能得到 ，而不能说 . 因为 可能不存在，即使存在也不一定 ，也就说在x=b点不一定可导.

3.当定义域为若干个分离的区间时,任意两个原函数之间不能断定就差一个常数.

例2 :已知 是 在 上的一个原函数;

且 也是在 上的一个原函数;

但 并非为一个常数.

4.原函数的检验

通过定义2我们知道函数 的不定积分是 的原函数的全体，而对被积函数 的恒等变换的公式不同，或所用的求积分方法不同，求出的结果其形式就可能不同.可见函数 的原函数不但不唯一，而且其形式也可能各种各样.平时在检验时一般有两种检验方法.方法一，将函数求导，若得到的是函数 ，则该函数就是 的原函数.方法二，由定理2可知原函数，只可能相差一个常数，所以如果能将其中一个函数通过恒等变换化为与另一函数只相差一个常数，则若其中一个函数是 的原函数，则另一个函数也是原函数.

例3 :判断以下函数是否为 的原函数

①②③

解: 方法一：对三个函数求导后都是 ，故全部都是 的原函数;

方法二：对①求导，得 ，故①是 的原函数

①，②，③都是 的原函数.

三、原函数的区间及其连续性

由定义1看出原函数与指定的区间有关，往往在求原函数时，忽略了原函数的定义区间从而造成在积分计算时发生错误.

例如， 因为 ，所以 显然计算是错误的.原因就在 并不是 在区间 的原函数.我们有这样一个定理：

定理3设 在 上连续，a

证明：在 上连续由定理1可知 在 上原函数存在且连续

令 则 是 的一个原函数，从而存在常数 使得：

又 在 处连续

上 的不定积分为：

回头看 在 上是 的原函数.

由牛顿——莱布尼茨公式算得：

若函数 在 上连续，而 被分成若干小区间，又 在每一小区间上的原函数是已知的，则也可用上述方法求出 在 上的原函数.

例4 :求 在 上的原函数

解:

.

其中， 所以在

上 有原函数

令

则 是 在 上的一个原函数，且 .

在 上 和 同是 的原函数.

⑴ ,

对任意整数n,由 在 的连续性及⑴有

⑵

在⑴中取 即 因此

从而由⑵我们得到

这样我们就得到 在 上的不定积分是

其中

四、原函数的若干性质

性质1在区间I上，奇函数的原函数是偶函数

证明：设 是奇函数， 则 为 的原函数， 的任一原函数

则 （C为常数）

得证

性质2在区间I上，偶函数的原函数等于一个奇函数与一任意常数之和

证明：设 是偶函数

即 为奇函数

由 性质2得证

性质3 若 是 上的连续周期函数， 是 的一个原函数，且 也是周期函数，则 与 有相同的周期

证明：设 的周期为T， 的周期为G，则 在 上连续，从而存在最大最小值分别设为 ；令 ，则在 上有

有

对任意自然数n成立，故

得 T是 的周期

又 G是 的周期

与 有相同的周期

性质4 若 是 上连续的周期函数，其周期为T， 是它的一个原函数则 可以表示为一个周期函数与一个线性函数的和

证明：设 则 是一个周期函数，且周期为T

又 有

即 = ，由a的任意性,所以 是以T为周期的周期函数，性质4得证.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]张秋光.高等数学[M].长沙:湖南科学技术出版社,2002.

[3]四川大学高等数学教研组.高等数学[M].北京:人民教育出版社,1979.

[4]樊映川等.高等数学讲义[M].北京:人民教育出版社,1977.

指数函数及其性质(第一课时) 篇4

学习目标

①通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，能准确作出指数函数的图象，并能根据图象理解和掌握指数函数的性质.②在学习的过程中体会研究体会指数函数及其性质的方法，了解具体到一般的讨论方法及数形结合的思想；培养学生观察问题，分析问题的能力.学习过程

一、课前准备

自学教材P54-56，完成学案

二、问题导学

探究一：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）

（2）

（3）

（5）

（6）

（7）

（8）

（＞1，且）1.指数函数的定义

一般地，函数

叫做指数函数（其中），是自变量，函数的定义域为

准确理解指数函数的概念要注意以下几点： ⑴指数函数解析式（＞0且≠1）的结构特征：

①底数：大于零且不等于1的常数

②指数：变量x ③系数：1 ⑵为什么规定底数大于零且不等于1 ①

②若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.③若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，而象，不符合的的形式，所以不是指数函数。

探究二：指数函数的图象和性质

研究方法：

画出函数图象，结合图象研究函数性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

1、观察下图在同一坐标系画出的y=2x和y=的图象，体会指数函数图象的特征.-1

讨论：

（1）函数?y=2x和y=的图象有何关系？如何由y=2x的图象画出y=?的图象？

（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质.? 变底数为?3和 后呢？（研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性）

（3）y=2x和y=的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

试试：必过定点

；

满足，则的取值范围是

探究三：根据图象归纳指数函数的性质.观察用电脑软件画出的函数图象.说明：1 y=

y=

y= 5

y=3

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.问题2：完成下表 图象特征 函数性质

＞1 0＜＜1 ＞1 0＜＜1

向轴正负方向无限延伸

图象关于原点和轴不对称

函数图象都在轴上方

函数图象都过定点（0，1）=1

自左向右，图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数

在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 ＞0，1 ＞0，1

在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 ＜0，1 ＜0，问题3：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若

（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有（4）当＞1时，若＜，则＜； 根据上例归纳指数函数的性质.? ＞1 0＜＜1 图象

性质

定义域

值域

过定点，即x=

时，y=

函数值的变化

当＞0时，当＜0时，当＞0时，当＜0时，单调性

在R上是

函数 在R上是

函数

三、典型例题：

例1：函数是指数函数，求的值

例2：已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

体会：要求出指数函数，需要几个条件？ 例3：求下列函数的定义域与值域：（1）

（2）

例4： 当

四、归纳小结

1、理解指数函数

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好

B.较好

C.一般

D.较差

五、课堂检测

1.判断下列函数是否是指数函数

2．函数的定义域和值域依次分别是

（）A．{}和{}

B．{}和{} C．{}和{}

D．{}和{} 3.函数的图像必经过点

（）A．(0，1)

B．(1，1)

C．(2，3)

D．(2，4)4．下列函数中，值域为R+的是（）

A、y=5

B、y=()1-x

C、y=

D、y= 5.在某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成（）

A、8

B、16

C、256

D、32 6.若函数是奇函数，则为__________.7．．已知当其值域为时，求的取值范围。

指数函数及其性质教学设计解读 篇5

①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。②.掌握指数函数的性质及应用。

③.理解指数函数的简单应用模型 , 认识数学与现实生活及其他学科的联系。2.情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.②培养学生观察问题,分析问题的能力.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想;3.过程与方法

让学生通过观察函数图象,进而研究指数型函数的性质 , 主要通过小组讨论、小 组展示、及时评价完成整个导学过程

【学习重点】

熟练掌握指数函数的的概念,图象和性质及指数型增长模型.【学习难点】

用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象,性质。【导学过程】

教学内容 师生互动 设计意图 互 查

每组两名同学互查识记 内容

教师提问记忆方法,学 生回答,其他同学可以 相互借鉴。

复习指 数 函 数 的图象及性质, 为 本 节 课 中 的 内 容 储 备 知 识 基础。展 系吗?→请用一句话概括 下 图 是 指 数 函 数 2x y =, 3x

y =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象,请指出它们各 自对应的图象.教师随时点评,引导, 欣赏,鼓励.每组选派一名代表课堂 上展示交流成果,组内 同学补充。其他同学可

让 学 生 从 图 象 直 观 的 理 解 指 数函数, 从变化 中 找 到 不 变 的 规律, 提高学生 的 总 结 归 纳 能 示 交 流

结论: 针对展示交流成果提出 问题, 进一步加深理解.力 教学内容 师生互动 设计意图

展 示 交 流 探究二:指数形式的函数定义域、值域:

求下列函数的定义域、值域:(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函 数是否是指数函数,加 深学生对指数函数概念 的理解。

学生小组讨论,交流。每组选派一名代表课堂 上展示交流成果,组内

同学补充。其他同学可 针对展示交流成果提出 问题, 进一步加深理解.所 给 函 数 虽 然 不是指数函数, 但 是 由 指 数 函 数 得 到 的 复 合 函数, 其性质与 指 数 函 数 密 切 相关, 通过训练 能 够 培 养 学 生 的 创 造 性 思 维 能力。

能 力 提 升 探 究 探究三:如何应用函数模型解决问题?→强 调数学应用思想

我国人口问题非常突出, 在耕地面积只占世 界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人口。因此,中国的人口问题是公认的社会问题。1999年底中国人口已达到 13亿,年增长率 约为 1%。为了有效地控制人口过快增长, 实行计划生育成为我国一项基本国策。(Ⅰ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000年初起, x 年后我国的人口 y 将达到多 少?(Ⅱ 从 2000年起 20年后到 2020年初我 国的人口将达到多少?(精确到亿 小结:类似上面此题,设原值为 N ,平

均增长率为 P ,则对于经过时间 x 后总量(1 ,(1 x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈ 像 等形如

=kax ,(a >0且 a ≠ 1,k ≠ 0的函数是一种 指数型函数.老师引导,鼓励学生上 台板演可以暴露学生存 在的问题,老师及时予 以纠正,并呈现学生的 思维过程

指 数 型 函 数 模 型 是 一 种 生 活, 生产中常见 的 非 常 重 要 的 函数模型, 通过 学习能 够 提 高 学 生 的 数 学 应 用思想 课 堂 检 测

1、函

数(f x =的 定 义 域 是。

2、当 x ∈[-2,0]时,函数 1 32 x y + =-的 值域是。

3、若函数 1

(3 x y m =+的图象不经过第一 象限,则 m 的取值范围是。

4、一片树林中现有木材 30000m 3,如果每 年增长 10%,经过 x 年树林中有木材 y m 3,(1写出 x , y 间的函数关系式;(2经过 2年,树林中木材有多少? 学生独立完成

通 过 课 堂 小 测快速反馈, 既 可 以 把 学 生 取 得 的 进 步 变 成 有形的事实, 使 之受到鼓励, 乐 于 接 受 下 一 个 任务, 又可以及 时 发 现 学 生 存 在的问题, 及时 矫 正 乃 至 调 节 教学的进度, 从 而 有 效 地 提 高 课 堂 教 学 的 效 率。

课 堂 小 结 1.知识内容 2.方法思想 师生共同完成

让 学 生 明 白 本 节 课 的 重 难 点 在哪, 同时使学 生 回 顾 本 节 课 的题型, 总结方 法思想, 提高自 学能力。

课 堂 评 价 表扬:优秀小组:;优秀 个人:。存在的问题:。

课 后 作 业

1、函数(1 x y a a =>的图象是（2、函数 y=|2x-2|的图象是(帮 助 学 生 巩 固 所学知识、反馈 课堂教学效果, 使 下 一 节 课 的 教学有的放矢, 将课堂延伸, 使 学 生 将 课 堂 所 学 内 容 再 认 识 和升华, 同时培 养 学 生 的 探 究 意识.3

3、已知函数 []9232, 1,2x x y x =-⋅+∈, 求这个函数的值域。

4、已知函数 21(21 x x f x-=+(1求 f(x的定义域和值域;(2判断函数 f(x的奇偶性;(3证明 f(x在(-∞, +∞ 上是增函数。

《对数函数及其性质》教学反思 篇6

高亚

（渠县第二中学渠县635200）

本节课在学习了指数函数及其性质以后，学生通过类比学习的方法很容易进入学习探究的状态，因此我采用了知识迁移及类比的学习方法进行本节课的设计。

首先，复习有关指数函数知识及简单运算，通过创设文物考古的情境，估算出出土文物或古遗址的年代，引入对数函数的概念。一方面体现了“数学源于现实，寓于现实，用于现实”，另一方面使学生产生强烈的探索欲望。然后，让学生亲自动手画两个图象，我借助电脑手段，通过描点作图，引导学生说出图像特征及变化规律，并从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。在性质的分析环节中，给予简单的提示（如，从图形观察特征，并用数学符号语言描述等），学生基本上能够运用类比指数函数的性质，说出对数函数的定义域、值域、单调性、过定点、函数值的变化情况等。性质的应用的设计我采用了求定义域及比较大小两个例题及练习，学生完成得还不错。最后用了几分钟总结本堂课所学知识点。

本堂课有两个亮点。第一，借助电脑，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高了学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性，增强教学内容的表现形式，在贯彻教学的直观性原则上发挥其独特的优势。第二，由图形变化特征引导学生自己总结出对数函数的性质。使学生积极思维、主动获取知识，从而养成良好的学习方法。

并逐步学会独立提出问题、解决问题。总之，调动学生的非智力因素来促进智力因素的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题，从而发扬钻研精神、勇于探索创新。从课堂效果和学生的作业看来，我认为本堂课还存在着以下两个精品论文 参考文献 不足之处。第一，内容多，讲得太快，由于大部分学生数学基础较差，理解能力，运算能力，思维能力不高，课堂上应多给学生缓冲的时间。

比如，在例题讲解的环节，时间上还应多给予学生独立思考的时间。本堂课不应该一节课讲完，应分为两节课来讲，这样才能使课堂简洁。教学语言要更简练着实，教学中应充分挖掘教材内在的魅力，通过生动的比喻，夸张等方法打动学生。有句广告词说：“简约而不简单。”简简单单教数学，实实在在学数学是新课程，新时代对数学课堂教学本质回归的热切期盼。努力让课堂化繁为简，以小见大，以少胜多，充分发挥学生的主体性，促进师生和谐流畅的交流。第二，教学中手势动作不够丰富。如果一堂课教师只仅仅靠单一的语言交流而没有其他辅助的交流，学生听课就一定会象听讲座，听理论培训一样感觉，课堂的气氛就显得死板而毫无生气，更不能很好地调动学生的主观能动性。据有关资料显示：在信息传递中，一句话只表明了说话者要表达的内容的百分之七，声音则占所要表达内容的百分之三十五，而剩下的百分之五十多的内容却来自于说话者的姿态，动作，表情等。由此可见，教师课堂上手势动作的运用对于学生获取信息就非常重要。因而，合理的运用有效的手势动作，用于教师的辅助教学，一定会收到事半功倍的效果。既让教师的语言表达更加完美准确，又能易于学生理解并接受，达到意想不到的效果。

通过认真的反思，同时参考学生提出的意见，针对学生存在的共性问题，决定举出一些例题讲解，加强学生练习力度，从练习中发现问题，利用晚自习补充讲解，直到大部分学生理解掌握为止。

指数函数及其性质免费 篇7

1. 情境简约,引发学生认知需求

很多课堂的导入都是从情境开始的,根据教学内容创设简约的情境可以让学生把更多的时间精力花在学习探究上,而不是在情境里“流连忘返”,白白浪费宝贵的课堂时间.因此鉴于前面指数函数的学习是由细胞分裂问题引入的,本节课我还是从学生熟悉的细胞分裂问题出发,设置了第一个情境:

情境一某细胞分裂过程中,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……细胞个数y是分裂次数x的函数y=2x,知道分裂次数x,就能求出细胞的个数y.那么如果知道了细胞个数y,如何求分裂的次数x呢?

首先通过问题知道了细胞个数y,如何求分裂的次数x呢?

为了让学生感知的表象更加丰富,我设计了放射性物质剩留量问题作为第二个情境:

情境二某种放射性物质不断变为其他物质,每经过一年,这种物质的质量是原来的84%,经过的时间x年与物质剩余量y的关系式为y=0.84x,如果把x年也可以看作物质剩余量y的函数是什么呢?

这样,我从生物学中的细胞分裂问题到放射性物质剩留量问题设置了两个问题情境,来引发学生对新知识的认知需求,由指数式得到对数式,让学生感受到指数函数与对数函数有联系.这两个问题情境不是很复杂的,符合学生智力发展的情境,因此这两个问题的提出,学生容易上手,能使学生集中精力,引发对新知识的认知需求,从而对问题作深入有效的探索研究.

2. 问题驱动,促进学生学会思考

“在数学学习中,数学问题是引发学生思维与探索活动的向导.有了问题,学生的好奇心才能激发;有了问题,学生的思维才开始启动.”设计适当的问题,尤其是围绕一个主线的问题串,使学生处于一种一波未平一波又起的问题情境之中,为学生营造一个又一个跌宕而自由的适合学生发展的学习空间.通过问题开始启动思维,开始思考,从而形成学生解决问题的方法.

因此,为了帮助学生完成对对数函数定义的研究,我设计了如下的问题串:

问题一:上面的对数式中,如果用x表示自变量,y表示它的函数,能得到怎样的式子?

问题二:类比指数函数,你能得到此类函数的一般式吗?

问题三:在y=logax中,a有什么限制条件吗?请结合指数式给以解释.

问题四:对数函数y=logax(a>0,a≠1)的自变量x和因变量y与指数函数y=ax(a>0,a≠1)的自变量x和因变量y之间有什么关系?对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域和值域与指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域和值域之间又有什么关系呢?

由教师层层设问,引导学生类比指数函数迁移得到对数函数的定义,并以此为载体,渗透“由特殊到一般”的数学思想.特别第四个问题使学生能更好地理解对数函数的定义域、值域.在解决问题的过程中,学生既复习了旧知,又学习了新知,既掌握了知识,更学会了探求知识的方法,同时也促进了学生参与学习的主动性.

3. 活动引导,促进学生学会探索

仅有问题是不够的,教师还要倡导积极主动、勇于探索的学习方式,力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动,使学生在老师的引领下学会探索,学会学习,从而更好地培养学生探索知识的能力,有效地提高学生的数学素养.

本节课我设计了如下几个画图活动,引导学生得到通过图像来研究函数的性质.

(1)在同一坐标系内画出函数y=log2x和的图像.

(2)作出函数y=log3x的图像(进一步作出的图像).

(3)作出函数y=lgx的图像(进一步作出的图像).

(4)让学生任意说一个数为对数的底,作出对数函数图像.

通过这四个活动,学生对对数函数的图像的感性认识步步加深、丰富,感受到对数函数的图像也可分a>1和0

4. 例题精简,促进学生学会应用

学习数学,不能仅仅停留在掌握知识的层面上,必须学会整合知识,学会对知识的应用.只有具备对知识应用的自觉性和主动性,知识才可能真正转成学习者自身的素质和实践能力.因此教师在设计例题时要做到精简,例题有层次,要让学生循序渐进,学会对所学知识的应用.本节课我设计了如下两个例题:

例1求下列函数的定义域:

例2利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个数的大小:

例1求定义域主要考查学生对对数函数定义中底数a和定义域(0,+∞)的理解.例2是比较两个对数值的大小,采用变式,既有连贯性,又分层突破,虽只有四组数比较大小,但是知识点一个不少.通过这两个例题,让学生立足于所学知识,给学生思考的时间与空间,主动参与问题解决,学会学习.

指数函数及其性质免费 篇8

我们首先一起回顾一下奇函数的定义：

定义一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数.

由奇函数的定义可知，奇函数的图像都是关于原点对称的，故函数的最大值点关于原点的对称点就是该函数的最小值点，即函数的最大值和最小值互为相反数，由此可得：

性质1已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，则函数的最大值f（x）max与函数的最小值f（x）min之间满足f（x）max+f（x）min=0.

例1已知函数f（x）=xcosx+sinxcosx+2+2（其中x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=.

分析学生拿到这道题的思路，首先是希望通过解析式，判断出函数在[-8π，8π]上的单调性，然后再根据单调性求出函数的最大值和最小值.但在实际操作时会发现，函数的表达式过于复杂，通过简单的求导是没有办法很快地判断出函数的单调性的.在这种情况下，我们就可以考虑用奇函数的性质来解决.根据题设条件中的定义区间[-8π，8π]是一个关于原点对称的区间，可以联想到函数奇偶性，通过证明可以很快得到，表达式中除去常数项所得的g（x）=xcosx+sinxcosx+2是一个奇函数，根据性质2可知，函数g（x）的最大值和最小值之和必为0，从而就可快速地求出原函数的最值之和.

解令g（x）=xcosx+sinxcosx+2，则f（x）=g（x）+2.因为g（-x）=（-x）cos（-x）+sin（-x）cos（-x）+2=-xcosx-sinxcosx+2=-xcosx+sinxcosx+2=-g（x），所以函数g（x）是[-8π，8π]上的奇函数，由奇函数的性质可知g（x）max+g（x）min=0，故M+m=f（x）max+f（x）min=[g（x）max+2]+[g（x）min+2]=g（x）max+g（x）min+4=4.

评注按照常规做法先判断函数单调性后再分别求出M、m是很困难的，而考虑到奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数这一性质，就可以巧妙地解决这个问题.

性质1主要是针对定义区间上的两个特殊点——最大值点和最小值点关于原点对称这一特征所得的结论，如果把这一性质推广一下，把这一对特殊点推广到奇函数上任意一对关于原点的对称点时，我们又可以发现，只要自变量关于原点对称，它们所对应的函数值也互为相反数.从而有：

性质2已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且a、b∈A，若a+b=0，则f（a）+f（b）=0.

证明已知a+b=0，即a=-b，因为函数y=f（x）是奇函数，所以f（a）=f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）=0.

例2已知f（x）=4x-12x+1-2x，若f（a）=2-1，则f（-a）=.

分析这类题目的常规思路是将已知的函数值f（a）直接代入函数解析式，求出其中未知量a，再进一步求解.但问题是，在求解未知量a的值的过程中，涉及的计算往往会很复杂，甚至在有的题中未知量不止一个，所给条件根本不足以解出未知量.这种情况下，常规思路就行不通了，此刻就需要发挥奇函数的作用了.通过观察题设条件，注意到题中出现了f（a）与f（-a）两个特殊的值，从而联想到函数的奇偶性，再观察、化简原函数f（x）=4x-12x+1-2x，则可以发现函数y=f（x）本身是一个奇函数，而且a与-a又是两个互为相反数，由此就可以应用奇函数的性质2来解决这个问题.

解将原函数化简可得f（x）=4x-12x+1-2x=12（2x-2-x）-2x，

因为f（-x）=12（2-x-2x）+2x=-f（x），所以函数y=f（x）是R上的奇函数.

由奇函数的性质可知f（a）+f（-a）=0，故f（-a）=1-2.

评注本题充分运用了奇函数的性质，不需要经过任何繁琐的计算，就可以简单而又快捷的求出了答案，并有效地避免了常规做法中所遇到的求解未知数a的问题，由此可见，合理的运用奇函数的性质来解题，最大的优点是避免了复杂的计算，简化了解题过程.

从性质2可知，在奇函数的定义区间中，任意两个互为相反数的自变量所对应的函数值之和必为0，那反之是否成立？根据函数的定义可知，对于定义域内的任意一个自变量x都有唯一的y与之对应，但同一个y却可以有多个x与之对应，所以对于定义在A上的奇函数y=f（x）而言，由a+b=0可以推出f（a）+f（b）=0，反之f（a）+f（b）=0不能得到a+b=0.但是如果能加上一定的条件，使函数的自变量与函数值之间能够一一对应，那反面就可以成立了.由此我们考虑了一类特殊奇函数——单调奇函数，可得：

性质3已知函数y=f（x）是定义在A上的单调奇函数，且a、b∈A，若a+b=0，则f（a）+f（b）=0；反之，若f（a）+f（b）=0，亦有a+b=0.

正面在性质2中已经证明，现在对反面进行简单证明.

证明由f（a）+f（b）=0得f（a）=-f（b），因为函数y=f（x）是奇函数，所以f（a）=-f（b）=f（-b），又因为函数y=f（x）在定义区间上是单调的，函数值与自变量之间是一一对应的，所以a=-b，即a+b=0.

例3已知α、β∈[-π4，π4]，a∈R，且α3+sinα-2a=0，4β3+sinβcosβ+a=0，则cos（α+2β）=.

分析这道题很容易从表面迷惑学生，认为它是一道考查三角运算的问题，但真正下手去做时，却发现除了可以利用二倍角公式将sinβcosβ化简为12sin2β之外，接下来三角的知识就毫无用武之地了.事实上，这个问题考查三角只是表面，真正隐藏在题目背后的却是函数的问题，从何而知？当我们用三角公式将4β3+sinβcosβ+a=0转化为4β3+12sin2β+a=0后，再进一步化简可得：（2β）3+sin2β+2a=0，这时，把两个等式α3+sinα-2a=0与（2β）3+sin2β+2a=0放在一起观察特征，可以发现有个共同的函数隐含在里面，即f（x）=x3+sinx，很容易知道这是一个奇函数，而且在区间[-π2，π2]上单调递增.再将原来的两个等式表示为f（α）-2a=0和f（2β）+2a=0，即f（α）=2a、f（2β）=-2a，就可以发现这两个函数值恰好互为相反数，从而就可以利用单调奇函数的性质来解决这个问题.

解将已知等式4β3+sinβcosβ+a=0变形为（2β）3+sin2β+2a=0，令f（x）=x3+sinx，则α3+sinα-2a=0与（2β）3+sin2β+2a=0可化为f（α）-2a=0和f（2β）+2a=0，即f（α）=2a、f（2β）=-2a.因为f（-x）=（-x）3+sin（-x）=-（x3+sinx）=-f（x），所以函数y=f（x）是[-π2，π2]上的奇函数.又因为f′（x）=3x2+cosx，当x∈[-π2，π2]时，f′（x）≥0恒成立，所以函数y=f（x）在[-π2，π2]上单调递增.由f（α）=2a、f（2β）=-2a可知f（α）+f（2β）=0，根据单调奇函数的性质可知α+2β=0，所以cos（α+2β）=1.

性质3主要反映了单调奇函数中任意一对关于原点对称的对应点之间所满足的一个等量关系.如果我们把研究对象从关于原点对称的对应点转变成非对称点时，那情况又会发生何种变化？为了更好的说明情况，不妨假设奇函数y=f（x）是定义域上的单调递增函数，点（a，f（a））、（b，f（b））是函数上任意两点，且a+b≠0，则产生两种情况，一种是a+b>0，另一种是a+b<0.结合单调递增的奇函数的图像可以发现，当a+b>0时，f（a）+f（b）>0；当a+b<0时，f（a）+f（b）<0；反之亦成立，即：

性质4已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且在A上单调递增，其中a、b∈A，当a+b>0时，有f（a）+f（b）>0，反之，当f（a）+f（b）>0时，a+b>0也成立；当a+b<0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b<0也成立.

证明根据已知a+b>0，得a>-b，由函数在A上单调递增，可知f（a）>f（-b），又因为函数是奇函数，f（-b）=-f（b），所以f（a）>-f（b），即f（a）+f（b）>0.

另一方面，由f（a）+f（b）>0得f（a）>-f（b），因为f（-b）=-f（b），所以f（a）>f（-b），因为函数是单调增函数，所以a>-b，即a+b>0.

同理可证：当a+b<0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b<0也成立.

性质4研究的对象是单调递增的奇函数，该性质在单调递减的奇函数中也是成立的，即：

性质4的延伸已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且在A上单调递减，其中a、b∈A，当a+b>0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b>0也成立；当a+b<0时，有f（a）+f（b）>0，反之，当f（a）+f（b）>0时，a+b<0也成立.

例4解不等式x3+3x+8（x+2）3+6x+2<0.

分析这个不等式用常规方法去解，是没办法解决的，因为如果将不等式进行通分，就涉及到解6次的不等式，很显然这已经完全超出了高中知识的范畴.但是通过观察，很容易发现一个规律，不等式中的8（x+2）3+6x+2，可以转化成与前面x3+3x相仿的形式，即（2x+2）3+3（2x+2），这就是这个问题的突破口，这里同样涉及到了一个单调奇函数f（x）=x3+3x，通过性质3就可以把复杂的不等式进行简化，从而解出不等式.

解令f（x）=x3+3x，则f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），且f′（x）=3x2+3≥0恒成立，所以函数y=f（x）是奇函数且在R上单调递增.将原不等式化简为x3+3x+（2x+2）3+3（2x+2）<0，即f（x）+f（2x+2）<0，因为函数y=f（x）是奇函数且在R上单调递增，所以根据性质得x+2x+2<0，即x2+2x+2x+2<0，所以原不等式的解集为{xx<-2}.

评注高次不等式是解不等式中的难点，在这个问题中，我们合理地运用了单调奇函数的性质，把高次不等式转化成了可以进行求解的分式不等式，从而快速地解决了问题，在这个问题中，充分体现出利用奇函数的性质解题的优点.

上面的几个性质研究对象是奇函数，现在如果对奇函数做一个平面移动，打破原函数的奇偶性，但不改变图像的对称性，又能得到什么？我们把性质3中的单调奇函数的图像进行整体平移，将原来的对称中心由（0，0）平移到直角坐标系中任意一点（m，n），得到新的单调函数y=g（x）.在性质3中，我们研究的是单调奇函数y=f（x）上两个关于原点（0，0）对称的点（a，f（a））、（b，f（b））之间的关系.现在相应的在单调函数y=g（x）上也取两个关于对称中心（m，n）对称的点（a，g（a））、（b，g（b）），则a、b之间满足条件a+b=2m，g（a）、g（b）之间满足条件g（a）+g（b）=2n，则可以推出下面结论：

性质5已知函数y=g（x）是定义在A上的单调函数，且关于点（m，n）对称，取a、b∈A，若a+b=2m，则g（a）+g（b）=2n；反之，若g（a）+g（b）=2n，亦有a+b=2m.

证明因为函数y=g（x）关于点（m，n）对称，所以x∈A，都有g（x）+g（2m-x）=2n成立，令x=a，则g（a）+g（2m-a）=2n.因为a+b=2m，即2m-a=b，所以g（a）+g（b）=2n成立.

反之，因为函数y=g（x）关于点（m，n）对称，所以必然有g（a）+g（2m-a）=2n，又因为g（a）+g（b）=2n，所以g（2m-a）=g（b），因为函数y=g（x）是定义在A上的单调函数，所以函数值与自变量之间是一一对应的，故2m-a=b，即a+b=2m成立.

例5已知函数f（x）=x-2x-1+2，是否存在实数a，使得f（3a-x）+f（x-a）=6，对定义域内任意x都成立.

分析这个问题如果直接代入求解，很显然是行不通的.这时需要对解析式做个变换，转化为f（x）=（x-1）-2（x-1）+3，就可以发现，这个函数是将一个单调奇函数g（x）=x-2x向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，所以函数y=f（x）关于点（1，3）对称，再根据性质就可得出结果.

解将函数转化为f（x）=（x-1）-2（x-1）+3，令g（x）=x-2x，因为g（-x）=（-x）-2（-x）=-（x-2x）=-g（x），且g′（x）=1+2x2≥0恒成立，所以函数g（x）是单调奇函数.通过图像平移的知识可以知道，函数y=f（x）是由函数y=g（x）向右平移1个单位，再向上平移3个单位而得，所以函数y=f（x）是一个单调函数，且关于点（1，3）对称.根据性质，当f（3a-x）+f（x-a）=6=2×3成立时，有（3a-x）+（x-a）=2，即a=1.

奇函数的性质有很多，本文呈现的只是其中很有限的一部分.通过这一部分，能够很好地看出，熟练掌握奇函数的性质，根据不同的问题，灵活的选用性质来解题，往往能够开阔我们的解题思路，优化我们的解题过程.让学生通过认真审题，学会从题中挖掘奇函数的特征，探究问题的实质，寻找恰当的解题思路，更快、更好地去解决问题.本文只是对奇函数的性质进行简单的探索，抛砖引玉，希望给读者一些启发.