勾股定理的应用教学反思

勾股定理的应用教学反思（共18篇）

勾股定理的应用教学反思 篇1

勾股定理的应用教学反思

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

勾股定理的应用教学反思 篇2

一、课前思想认识

“动能定理”是进入高中物理学习以来, 第一次真正用能量的观点来解决问题的开始, 是高中物理中学生第一次学到的定理 (以前学习的都是定律) , 也是高中物理学中唯一的一个定理 (因动量定理在这一轮课程中没有编入教材) 。学生已经习惯于用牛顿运动定律来解决问题, 而对这突如其来的动能定理从感情和习惯上都难以接受, 在解题时, 学生会在不知不觉中还是用牛顿定律来处理。动能定理不仅仅是学习和处理问题的转折点, 也是一种思想观念的转变。所以, 动能定理在教材中的地位至关重要, 它是学生从此建立能量观点的起点, 从某种意义上说, 学生树立了能量的观点, 真正建立了能量的思想, 也就得到了高中物理学的真谛。

鉴于“动能定理”如此重要的地位和作用, 所以我在课前设计时力图从生活中学生感兴趣体育比赛有关动能定理应用上来入手。

二、授课过程情况及应对策略

在运用动能定理解决最基本、最简单的问题入手, 出示第1题, 设计了三种物理情境, 让学生自己完成, 同时让三名学生到黑板上演习, 结果学生全用牛顿运动定律解题。

师:以上三位同学能用所学的牛顿运动定律解决以上问题, 很好!请思考用我们刚学过的动能定理如何解决呢?

再作, 再板演, 结果学生几乎还是用不好动能定理。此时, 我脸上就有点挂不住了, 心中有些急, 有些小火, 但凭借多年的经验, 很快也就镇静下来, 学生想做做不出来, 不做而又有些不甘心, 这种“不愤不启, 不悱不发”的教学情境, 不正是我们教师在课堂上一直追求的情境吗!机不可失。“以其所知, 寓其不知, 使其知之”, 于是我眼前一亮, 教育机智和教学智慧全来了。

师:看来大家非常重感情, 对牛顿运动定律真可谓情有独钟, 可谓感情笃深呀 (学生大笑, 课堂气氛活跃起来了) !然而, 面对新的环境, 我们总要结识一些“新朋友”吧, “结识新朋友不忘老朋友”, 这很好。现在我们继续试着结识动能定理这位新朋友, 看它有什么特点, 有什么优点, 怎么应用, 好吗?

生:好!

充分利用这一时机进行引导, 学生此时听得非常认真, 对动能定理的初步应用有所动情。师生一起比较两种解题方法的不同及动能定理的优势, 反馈练习2学生基本能在课堂上完成, 两个学生板演的也基本上知道了运动定理的运用, 收效不错。

师:请同学总结一下用动能定理解题的步骤。

让学生总结, 在我的引导下, 基本上能总结出。至此, 一堂课就应该快接近尾声了。反馈练习3在让学生思考时, 我走到学生中间, 后面一个听课的同办公室同事向我建议, 不要练这道题了, 接着讲设计的第二个问题变力做功吧。其实当时已经快下课了, 草率地分析完第二个问题的踢足球一题, 下课铃响了。没来得及总结, 下课了。

也许是因为有人听讲的原因, 也许这是我的一个借口吧, 也许感觉这节课的亮点应该在第二个问题变力做功, 因为有这精心准备的学生视频, 总想在这节课里拿出来表现一下。总之, 这节课, 从头至尾, 我忽视了一个重要的问题, 那就是学生, 设计的太多, 与生成出现了不相吻合, 此时, 不应着急, 不应让学生感觉我在强行力图引导他们用动能定理。既然出现了学生习惯用牛顿定律, 不如索性让他们尽量用好了, 一直用到第三题, 之后, 再让他们自己进行比较, 自己去发现, 到底用哪种方法方便。这样才符合认知规律, 让学生来总结、发现动能定理的好处。

三、课后反思及再次课堂体验

吃一堑, 长一智。以上的内容, 我在另一个教学班中, 大胆地让学生去比较、对比, 让他们自己去发现, 让他们在做中发现, 在学中寻找, 到底哪种方法方便。尤其是在第3题的过程中, 我让两个学生去板演, 一个用牛顿运动定律, 一个用动能定理 (他分了两个过程) , 优劣明显。最精彩的是这时有学生举手, 说他只用一个方程就做出来了, 众学生目光齐看向他, 他自豪地到黑板前写下, 众学生瞠目结舌, 之后, 恍然大悟, 皆点头称赞 (当然也有不服气的学生) 。让学生尽情地用自己想用的方法去解决问题, 他们在做中逐渐地体会哪种方法方便。“在做中学, 在学中做。”接着留下伏笔:以上我们已经初步体会到动能定理解题的方便之处, 请同学们试着继续比较用牛顿运动定律和动能定理处理变力做功问题。在第二节课时, 只用了大约半节课的时间, 学生就体会到了牛顿运动定律难以解决的问题, 动能定理亦然能够解决, 从而让学生知道动能定理的特点。

四、了解学生学情帮助学生渡过思维上的难关

课堂教学过程中, 一定要注意学生学的情况, 让真实的学习情况反映到课堂上来, 要我们去了解学情, 根据学生已经知道的, 去寓其不知, 达到“温故知新”的效果。尤其在课堂教学上, 根据学情, 当学情与预设出现冲突时, 应大胆地以学情为主, 充分利用好学生出现学习困难和出现问题这些教学资源, 引领学生深入探究, 以真正帮助学生渡过认知上的学习难关。

我听过很多同行的课, 自己也反思过, 说起来容易做时难。在课堂教学过程中, 一旦出现学生学习困难, 或出现重复性的错误时, 教师应理解学生, 耐心地跟他们一起去体会他们的学习过程, 从学生的角度去思考, 当学生出现错误的理解时, 我们不要急, 做到“不以物喜, 不以已悲”, 不要用我们的表情和心理暗示, 让学生感到我们在急, 我们在笑他的笨。

平时学生苦思冥想而不理解的问题, 到教师这一问, 教师甚至连题都没太看, 就把问题解决了, 学生好佩服我们教师, 佩服之余, 难免学生要想:“对呀, 我怎么就没有想到, 我想了半天, 没想到, 而老师一下就想出来了, 是我笨吗?嗯, 是我笨, 我真笨, 我怎么就没有想到呀, 一定是我笨。”其实, 不是学生笨, 教师不论是年龄还是知识结构及思维, 一般情况下是学生所不及的, 况且教师只教这一科, 又是重复多少次了, “闻道有先后, 术业有专攻”。如果我们在适当的时候让学生明白这一点, 讲解的时候再从他们的角度入手分析, 帮他们树立信心, 我想学生就不会出现类似的情况了。

作为启迪学生智慧的教师, 在学生学习过程中遇到困难和难关需要我们帮助的时候, 关键是我们要从他们的认识角度思考去帮他们度过认知上的难关, 而不是无意之中显示教师自己的聪明与智慧, 真正的教育智慧是让学生心理感觉很有信心的去自己学会。

五、教师要做到“不以物喜, 不以己悲”

“未来的竞争不在硝烟弥漫的战场, 也不在激烈竞争的商场, 而在生动活泼的课堂。”每一个现代化的人, 在成长过程中, 从幼年到成人, 几乎都是在学校成长的, 而在学校的主要时间和成长阵地, 几乎全在课堂, 生动活泼的课堂是学生健康成长所必须的, 也是一个民族复兴的主阵地。作为教师这一课堂主宰者, 如何让我们的课堂生动活泼, 关系着一个民族振兴的伟业, 这一职业真是很关键、很神圣的, 容不得我们教师有半点大意。

对“勾股定理”的教学反思 篇3

关键词：教学反思；勾股定理

反思之一：教学观念的转变。

“教师教，学生听，教师问，学生答，教师出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻碍了现代教育的发展。这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，《新课标》要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

上这节课前教师可以给学生布置任务：查阅有关勾股定理的资料（可上网查，也可查阅报刊、书籍），提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上，同时培养学生的自学能力及归类总结能力。

反思之二：教学方式的转变。

学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。现在的数学教学到处充斥着过量的、重复的题目训练。

笔者认为真正的教学方式的转变要体现在这两个方面：一是要关注学生学习的过程。首先要关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等；同时要关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。二是要关注学生学习的知识性及其实际应用。本节课的主要目的是掌握勾股定理，体会数形结合的思想。现在情况是学生知道了勾股定理而不知道在实际生活中如何运用勾股定理，我们在学生了解勾股定理以后可以出一个类似于《九章算术》中的应用题：在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖与水面平齐，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

教学方式的转变在关注知识的形成同时，更加关注知识的应用，特别是所学知识在生活中的应用，真正起到学有所用而不是枯燥的理论知识。这一点上在新课标中体现的尤为明显。

反思之三：多媒体的重要辅助作用。

课堂教学中要正确地、充分地引导学生探究知识的形成过程，应创造让学生主动参与学习过程的条件，培养学生的观察能力、合作能力、探究能力，从而达到提高学生数学素质的目的。多媒体教学的优化组合，在帮助学生形成知识的过程中扮演着重要的角色。

通过面积计算来猜想勾股定理或是通过面积割补来验证勾股定理并不是所有的学生都是很清楚，教者可通过多媒体来演示其过程不仅使知识的形成更加的直观化，而且可以提高学生的学习兴趣。

反思之四：转变教学的评价方式，提高学生的自信心。

评价对于学生来说有两种评价的方式。一种是以他人评价为基础的，另一种是以自我评价为基础的。每个人素质生成都经历着这两种评价方式的发展过程，经历着一个从学会评价他人到学会评价自己的发展过程。实施他人评价，完善素质发展的他人监控机制很有必要。每个人都要以他人为镜，从他人这面镜子中照见自我。但发展的成熟、素质的完善主要建立在自我评价的基础上，是以素质的自我评价、自我调节、自我教育为标志的。因此要改变单纯由教师评价的现状，提倡评价主体的多元化，把教师评价、同学评价、家长评价及学生的自评相结合。

在本节课的教学中，教者可以从多方面对学生进行合适的评价。如以学生的课前知识准备是一种态度的评价，上课的拼图能力是一种动手能力的评价，对所得结论的分析是对猜想能力的一种评价，对实际问题的分析是转化能力的一种评价等等。只有老师给予学生适时的适当的评价，才能使学生充分认识到自身的价值，从而达到提高学生学习自信心的目的，反过来自信心的提高又促使学生学习的积极性大幅度的提高，真正达到从他律转为自律的目的。也只有这样才能提高课堂的教学效果，提高学生的学习成绩。

《勾股定理的逆定理》教学反思 篇4

在这节课的学习，我采用了学生为主体，教师引导的教学方式。首先由教师创设情境，提出问题，让学生回顾思考;然后由学生运用勾股定理的逆定理的知识解决实际问题，使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的运用过程，品尝着成功后带来的乐趣。例如例题学习：某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

这是一个勾股定理逆定理的.应用题，我通过引导学生理解题意、画图分析、运用勾股定理的逆定理加以解答。分析和解答过程如下：

分析：我们根据题意画出图形可以看出，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的方向了。

解：根据题意画出如下图形PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30∵242+182=302即PQ2+PR2=QR2∴∠RPQ=90°由“远航”号沿东北方向航行可知：∠QPS=45°∴∠RPS=45°即“海天”号沿西北方向航行。

在解决这个问题的过程中，不仅使学生学到获取知识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气。

《勾股定理》教学反思 篇5

已知直角三角形中的两条直角边求斜边，这是上节课学习的内容。在上节课学习过程中，学生已经练习过。但为什么本节课中仍然有部分学生出错呢?究其原因，是因为上节课学习的内容太多，方法也较多、较灵活，因而学生对每一个内容与方法都仍是一种感性的认识，而仍没达到理解掌握的程度。因此，当让学生自己独立完成问题时，往往就产生了思维上存在的缺点，从而出现各种错误。另一方面，教学中我们往往会采用一种“一问齐答”的问答形式，这样会容易掩盖学生的真实想法。其实，在解答此问题时，教师很容易就走进了这样的问答方式，原因在于我们认为这样的问题太简单了，上节课学生也似学会了，于是便产生了一种忽视的教学。可现实却往往不是这样的，我们认为简单的知识对于学生(特别是基础较弱的学生)来说，往往是不简单的。因此，教学中应尽量少用“一问齐答”的欺骗教师的问答方式，让学生充分发表自己的意见，同时引导学生分析错误，养成反思的意识，只有这样，才能真正使学生学有所获。

同一个问题的不同变式，可以让学生自我检查对知识与方法是否能真正达到理解、掌握与运用，从而提高学生学习的自信心。解答这个问题的方法其实就是验证勾股定理所用到的方法——面积法。在课堂教学之初始让学生回忆上一堂课的方法，有了一个初步的印象，在这里再提出来时学生就不会感到突然和陌生，达到承上启下的作用。另一方面，教师在讲解问题的解答时，并不是把问题的解答方法与过程全部一下子出来，而是引导学生经过一步步的思考，让学生自己在思考与感悟中得到问题的解答，这样可以培养学生思考问题的方法，提高学生的思维能力。如果此时能对已经解答出来的同学大力表扬，并让学生引导学生来解答余下的问题，那么效果会更好。

数学问题生活化，用数学知识解决生活中的实际问题，是课程改革后数学课堂教学必须实施的内容。在解答实际生活中的问题时，关键在于把生活问题转化为数学问题，让生活问题数学化，然后才能得以解决。在这个过程中，很多时候需要教师帮助学生去理解、转化，而更多时候需要的是学生自己探索、尝试，并在失败中寻找成功的途径。本题教学中，如果能让学生自己反思答案与方法的合理性，那么效果会更好了。课前预设与课堂生成，

这是课程改革以来出现的最多问题之一。课堂教学任务要完成，而课堂又要还给学生，充分发挥学生的自主性，那么如何处理好这个问题呢?在本课最后的这个环节里，如果能引导学生归纳本课学生的方法，特别是面积法，然后再给一个简单的问题来巩固，那么效果肯定会比这样匆匆结束课堂要好。但是，这部分知识内容又什么时候来解决呢?不解决行不行呢?这是课后困扰我的问题。“课堂教学应基于自身班级学生的具体情况，不论是课前预设(备课)还是课堂教学过程，都应以使绝大部分学生能真正学习掌握好为基础。”经过本节课的教学后，我自己对有效的课堂产生了一个这样的认识。在以“知识为中心”还是以“学生学习为中心”的这个问题上，我想应以学生为中心，同时兼顾教学内容的完成，如果发生矛盾时，那么我想是不是仍应以学生为中心呢?这样教学任务完成不了怎么办呢?影响教学进度又怎么办呢?考试又怎么办呢?……。其实，归根到底是：考试了怎么办呢?课程改革已走到了第七个年头，考试始终是一根有形无形的指挥棒在影响着我们每堂课的教学，在影响着我们的教学观念与教学方法，甚至于影响我们的教学理想。其实我们都很清楚，这样匆匆的进行课堂教学，虽然表面上看是完成了教学内容，但实际上学生并没有掌握好，考试时真的出现时学生仍是无法解答，那么，这样的教学岂不是也是无效的吗?无效的教学是不是在浪费学生的精力与时间呢?这样是不是有点自欺欺人了呢?想到这，我越感不安了

《勾股定理》习题课教学反思 篇6

数学学习中工作量最大的部分就是解数学习题，这也是讲所学基础知识转化为基本技能的必经之路，没有大量习题的跟进是不可能很好的形成基本解题技能的。习题课就是通过各种相关习题的练习，期望能够巩固和深化对所学基础知识的理解和认识，将这些基础知识尽快的转化为基本技能。

今天是第十七章《勾股定理》的一节全章小结部分的习题课，在学生讲解习题的时候，讲的`最不好的地方就是这个或这类习题的解题思路和解题的方法，还有就是解题的基本入手点。也就是说很多的孩子，他们在做课后习题的时候，没有在分析、思考各类习题的解题思路或方法或入手点方面投入更多的精力，这一点也是我们的学生学习一直不能有大幅度提高的主要问题，也是制约他们有效学习的基本因素。

新的课程理念把教师的角色定义为“教师是学生学习的组织者、引导者和合作者”，教师的主要作用是组织、引导、参与学生的课堂学习活动。而教师在学生的学习活动中更多的是一种指导的作用，而教师的指导更多的应该侧重于方法、思想的指导。教师必须介入的就是解题的思路和方法。在这一点上应该是必须的。特别是习题课，教师可以完全不讲题，但是在解题方法、思路、入手点这些方面必修介入，以提高学生学习的效率和效果。

勾股定理的应用教学反思 篇7

一、微分中值定理的教学思考

微分中值定理是这章的开头部分，其作用和地位显而易见.这部分教学主要讲清以下两个问题，第一个问题是要讲清为什么要讲这部分内容，也就是其重要性.从教材内容上看，前面我们已经讲解了导数及微分，让学生明白了导数及微分的重要性，但没有讲解究竟如何应用导数的问题，因此有必要进一步加强研究导数的应用，而微分中值定理是导数应用的理论支撑，它是后面研究函数的极限、单调性、凹凸性、最值等的基础.从微积分产生的历史来看，微积分的产生可以归结为四大问题，其中之一为函数的最值问题，而解决函数最值问题的理论前提和基础就是微分中值定理.第二个问题就是要讲清罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理这三个定理内容及相互间的联系.这三个定理在条件和结论上都有很大的相似性，它们之间有很密切的内在联系.为了方便叙述，我们简单地罗列一下内容.罗尔定理：如果函数f (x)满足(1)在闭区间[a, b]上连续;(2)在开区间(a, b)内可导;(3)在区间端点处函数值相等，即f (a)=f (b)，那么在(a, b)内至少有一点ξ∈(a, b)，使得f′(ξ)=0.拉格朗日定理：如果函数f (x)满足(1)在闭区间[a, b]上连续;(2)在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点ξ∈(a, b)，使得f (b)-f (a)=f′(ξ)(b-a)柯西中值定理：如果函数f (x)和F (x)满足(1)在闭区间[a, b]上连续;(2)在开区间(a, b)内可导;(3)对任一x∈(a, b), F′(x)≠0，那么在(a, b)内至少有一点ξ∈(a, b)，使得[f (b)-(a)]/[F (b)-F (a)]=f′(ξ)/F′(ξ).从条件上看，三个定理都有闭区间[a, b]上连续和开区间(a, b)内可导的共性条件.从结论上来看，它们都是通过导数联系函数增量与自变量的关系.那么条件和结论如何联系的呢?我们可以按照如下方式进行分析.罗尔定理条件(1)表明f (x)对应的曲线在闭区间[a, b]上是不间断的，条件(2)表明曲线在开区间(a, b)内光滑.条件(3)表明曲线在闭区间[a, b]上的平均变化率即[f (b)-f (a)](b-a)为0.结论表明f (x)对应的曲线在开区间(a, b)内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f (x)在闭区间[a, b]上的平均变化率为0.拉格朗日中值定理条件与罗尔定理条件(1) (2)一样，结论表明f (x)对应的曲线在开区间(a, b)内有平行于两端点连线的切线或者在某点的切线的斜率等于f (x)在闭区间[a, b]上的平均变化率为[f (b)-f (a)](b-a).柯西中值定理与拉格朗日中值定理类似，只不过要通过其中两个函数的关系看出参数方程的形式而已.从条件和结论可以看出三个定理的密切相关性，也可以从定理的证明看出它们之间的关系.在讲条件和结论关系时，要注意强调条件是结论成立的必要条件而非充分条件.

二、导数应用的教学思考

导数应用的内容丰富，在这里我们主要讲罗比达法则、函数的单调性、函数的极值及最值等方面.

1. 关于罗比达法则教学方法方面.

我们要强调极限未定式的类型判别和转换方法，同时强调该法则不是万能的和唯一的.极限未定式类型分为0/0，∞/∞，∞-∞，0·∞，1∞，∞0, 00等类型，其中0/0和∞/∞为基本类型，可以直接使用罗比达法则求极限，而其他几种类型必须转换为基本类型才能使用.其中∞-∞和0·∞类型既可以转化为0/0型，又可以转化成∞/∞型，这样在计算极限时就要选择转化方向，其标准是通过求导后求极限变得更简单，易求出结果.最后三种类型属于幂指函数类型，该类型可以通过取对数或写出指数函数形式转化成基本类型.同时要强调的是用罗比达法则求极限的前提和条件，即使可以使用该法则求极限也不一定是最简单的，只有和其他方法如等价无穷小替换法、四则运算求极限方法结合起来才能更有效地解决求极限的问题.

2. 关于函数的单调性的教学.

函数的单调性是函数的基本形态之一，也是学生比较熟悉的概念.在教学时，第一步，我们可以从高中简单的例子着手，让学生回顾相关的内容.第二步，设置一些复杂的例子，这些例子难以用高中的方法来解决，从而引出本节课的主题———用导数研究函数单调性.第三步，通过观察函数单调性的图形特征，结合导数的几何意义，让学生猜出判断函数单调性的条件.第四步，通过单调性定义，联系拉格朗日中值定理，给出严格证明.最后通过例题讲解定理的应用，说明判断函数单调性关键在于判断函数导数的符号.同时强调，一阶导数大于零(或小于零)只是函数单调增加(或减少)的充分而非必要条件.

3. 关于函数的极值和最值的教学.

函数的极值和最值是导数应用的最重要部分，它是利用导数解决实际问题的具体训练，也是最优化理论的基础.在概念引入时可以设计从回顾单调性的定理或例题出发引出单调增加区间和单调减少区间的分界点，从而引出极值点的概念，进一步可以引进最值的概念.从引入的例子进一步分析函数在何时达到极值，从引入例子的图形很容易看出函数达到极值的条件，从而归纳出可导函数取得极值的必要和一阶充分条件.由一阶充分条件分析可以得出函数的二阶充分条件，要注意的是二阶充分条件是在驻点处的二阶导数符号不等于0就可保证函数的极值性.由求极值的方法立即可得出求最值的方法，从而为导数解决实际问题提供方法.但在实际问题中函数f (x)往往不是现成的，需要通过分析实际问题，得出函数关系，进而转化为最值问题，因此在课堂教学中要有意识地培养学生的数学建模意识，培养运用数学知识解决实际问题的能力.

摘要：微分中值定理和导数应用是微积分课程的重要组成部分和微分学的核心内容之一, 同时它也是微积分课程教学的重点和难点问题.本文就如何做好这部分的教学做了研究与探讨.

关键词：微分中值定理,导数应用,微积分课程教学

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学:上册 (6版) [M].北京:高等教学出版社.

应用勾股定理的常见错误 篇8

一、忽视定理的使用条件

例1 在边长均为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长。

错解 由“勾3股4弦5”得AB=5cm。

剖析 只有在直角三角形的条件下,才能应用勾股定理。而本题并未说明△ABC是直角三角形,因此,要用三角形三边的关系求解。

正解 由AB >AC,AB

二、受思维定式的影响

例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长。

错解 第三边长为==5。

剖析 同学们都习惯了“勾三股四弦五”的说法,这意味着两直角边为3和4时,斜边长为5。但这一理解的前提是3、4为直角边。而本题中并未作任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,也可能为直角边。

正解 (1)当两直角边为3和4时,第三边长为==5;

(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为=。

三、混淆勾股定理及其逆定理的概念

例3 下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()。

A.1、2、3 B.32,42,52 C.,, D.,,

错解 选B

剖析 未能区分勾股定理及其逆定理,对概念的理解流于表面形式。判断直角三角形时,应将所给数据进行平方,看是否满足a2+b2=c2的形式。

正解 因为()2+()2=()2,故答案选C。

四、利用勾股定理解题的格式不当

例4 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,求AC的长。

错解 在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC2=AB2-BC2===3。即AC的长是3 cm。

剖析 AC的长确实是3 cm,不过问题出在求解过程中的格式书写不当,即AC2=AB2-BC2≠。

正解 在Rt△ABC中,因为∠C=90°,AB=5 cm,BC=4 cm,

所以由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,所以AC====3。即AC的长是3 cm。

五、出现漏解的情况

例5 已知:在△ABC中,AB=15 cm,AC=13 cm,高AD=12 cm,求S。

错解 如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2)。

剖析 由于给定的条件中并没有给出图形,所以求解时除了要考虑如图1的情况外,还要考虑如图2的情况,即要画出所有可能的图形。错解正是漏掉了如图2的情形。

正解 分两种情况:①如图1,在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,得BD====9;CD====5。所以BC=BD+ CD=9+5=14。故S=BC•AD=×14×12=84(cm2);②如图2,在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理,得BD====9,CD====5。所以BC=BD-CD=9-5=4。故S=BC•AD=×4×12=24(cm2)。

六、逻辑推理错误

例6 已知:在△ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求∠C的度数。

错解 因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2,

所以由勾股定理逆定理可知∠C=90°。

剖析 本题错在逻辑推理错误,一开始列出(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2这个等式,其实就等于默认了a2+b2=c2,这是错误的。

正解 因为a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1;

而c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2。

正弦定理的教学反思 篇9

在知识目标方面：通过创设适宜的数学情境，引导鼓励学生大胆地提出问题、引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问推向深入。通过问题的提出、解题方法的探索、到问题的解决、方法的总结、及练习题中方法的应用，都能紧抓公式及公式的变式，运用从特殊到一般、再从一般到特殊的思想方法达成知识目标。通过练习及六个变式问题调动学生的学习热情，进而采用“正弦定理”、“大边对大角”、“三角形内角和定理”、“数形结合”等知识与方法有效突破本节课的教学难点。使学生明白这一类数学问题该怎样解，让学生做到“学会数学，会学数学”。

在能力目标方面：通过例题、练习及六个变式问题，培养学生观察、归纳、概括新知识的能力;通过“故意出错”，让学生“质疑”、“找错”、“改错”，从而使学生的思维具有批判性，优化他们的思维品质;通过课后练习及课后思考，进一步培养学生的数学意识，解决数学问题的能力。

在情感态度与价值观方面：本节课也很注重对学生非智力因素的培养，注重情感交流与情感的建立与培养。并在教学过程中做到：与学生真诚相处、平等交流;依据自己的个人特点采取适当的方法与技巧，注重充分发挥教师的个人人格魅力，而非千篇 一律的“柔声细语”;能借助信息技术及其它手段，营造一种氛围，一种情境，通过“课前音乐背景”的设置，“课堂上的掌声鼓励”“形体语言与语言艺术”的运用等，力争营造一种愉快、轻松的氛围，创建一个有助于师生，生生思维交流的“情感场”，使数学教学更具有生命力，感染力。使学生在感悟数学的过程中感受数学的魅力，体验数学产生的`美感与幸福感。

《正弦定理》教学反思 篇10

1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

勾股定理的两个变形及其应用 篇11

1985年9月28日,侯明辉发现了具有重要应用价值的数学三弦定理.这个定理是:过圆上一点引该圆任意三条弦,则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积的和.这一定理的发现,得到了国内一些知名专家的肯定和赞誉,认为该定理是中学数学中的一个新亮点.

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则a2+b2=c2.这是同学们所熟知的勾股定理.本文给出勾股定理的两个变形,并举例说明其应用,供同学们参考.

一､勾股定理的两个变形

由勾股定理a2+b2=c2,可得到下面两个变形.

变形1: (a+b)2-2ab=c2. 变形2: (a-b)2+2ab=c2.

通过这两个变形,我们可以从a､b､c､a+b､a-b､ab中任意两个出发,求出其他各个量.

二､应用举例

应用上述两个变形求解某些直角三角形问题,十分简便.

例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7,S△ABC=6,求AB的长.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= AC·BC=6,得AC·BC=12.由变形1及AC+BC=7,得AB2=72-2×12=25,则AB=5.

例2 一个直角三角形的周长是2+ ,斜边上的中线长是1,求这个直角三角形的面积.

解:设这个直角三角形的两条直角边分别为a､b,斜边为c.由a+b+c=2+ ,而斜边上的中线长是1,所以c=2,从而得a+b= .由变形1,得 2-2ab=22,故得ab=1.所以这个直角三角形的面积为 ab= .

例3 已知一个三角形的一边长为2,这条边上的中线长为1,另两条边长的和为1+ ,求这两条边长的积.

解:在△ABC中,设BC+AC=1+ ,AB=2.因为AB边上的中线长为1,所以∠C=90°.由变形1知,1+ 2-2BC·AC=22,得BC·AC= ,即为所求.

例4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a>b.如果S△ABC=30,c=13,求a+b与a-b的值.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= ab=30,得ab=60.由变形1,得(a+b)2-2×60=132,得a+b=17.由变形2,得(a-b)2+2×60=132,得(a-b)2=49,因a>b,故a-b=7.

例5 在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.如果c= ,a-b= ,求△ABC的周长.

解:因∠C=90°,故由变形2,得(a-b)2+2ab=c2,即 2+2ab= 2,所以ab=3.由变形1,得(a+b)2-2ab= 2,则(a+b)2= +6= ,所以a+b= .所以,△ABC的周长= + =6.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

勾股定理的应用教学反思 篇12

关键词：高中数学,探究式教学,二项式定理

在以往传统的教育观念中, 一直以“师讲生听”为主要的教育方式, 学生在课堂上被动接受知识, 不能够主动学习。 这种学习方法事倍功半, 很难让学生真正从学习中找到快乐, 从而更牢固地掌握知识。 在新课改中, 学生学习的“自主性”是其中极为重要的一部分, 改变了以往以老师为本、学生为辅的局面。 让学生能够真正融入课堂中, 成为学习的主人。 让学生主动思考, 学习知识是自主学习的关键一步。 探究式教学是其中极为重要的一种教学方式。

1.问题提出的背景

1.1时代发展的需求。

21世纪科学技术发展迅速, 国际竞争日趋激烈, 科技的发展代表着国力。 时代的发展要求教育做出相应改革, 这也是对传统基础教育提出的新要求。 布鲁纳的思想观点是:学习过程由过去、转变、评价三个部分组成, 教师在教学过程中应当尽可能让学生对学习产生兴趣, 引导学生自己发现、思考问题, 并在最后自己得出结论。 对于这个时代而言, 国家所需要的人才是需要能够适应社会环境、独立思考的“学习型”人才, 对于培养学生的自主学习能力十分重要。

1.2新课改提出的要求。

东北师范大学的校长史宁认为: 教育的好坏取决于两个方面:一要看其是否有利于学生发展;二要看其是否有利于国家的发展。 基于这两个方面, 国家在新一轮课改中更看重自主创新型人才。 在当今社会发展过程中, 新思想、新工艺、新技术是十分重要的, 以往单一的知识型人才在当今社会已经变得越来越不重要, 现在的社会需要的是能可持续学习、自主创新的人才。 学生学会自主学习, 独立思考对其一生都有着重大意义。创新型人才的培养是国家重要的发展战略。 创新型人才能够坚持源源不断为国家带来改变, 能够为国家带来独立的创新型科技。

1.3高中数学教学现状。

在以往的高中数学教学过程中, 基本都是以老师 “满堂灌”为主, 一节课从始至终老师都在讲解。 其中好的一方面是能够快速增加学生的知识量, 能够短时间内提高学生的考试成绩, 为升学考试提供保障。 不利于学生发展的一面则是进入大学后学生不知道如何学习, 不知道怎样听讲、做笔记和利用自己的空余时间。 他们缺乏独立的思想和自主学习能力, 这一现状在大学生中很普遍。 现在高中老师在教学过程中讲解得很详细, 无论是整体的知识框架还是一些细节的知识点, 全部由老师灌输给学生, 由老师牵引着学生走, 这对学生的独立学习、思考能力有极大的限制。 这种教学模式下的学生, 他们只想知道课本上的知识是什么, 只是想牢记一些公式, 而对于为什么会产生这样的公式, 为什么会有这样的结论他们并不关心。 事实上, 学会独立学习和思考比学习知识本身更重要。 学生只有学会独立自主地学习和思考, 才能够更全面地认知, 才能够不断提升自己, 不断创新。 这种思想在学生进入社会以后有着显著体现。 因此, 基于社会的发展, 国家的需要, 新课改必须改变以往的传统教学方式。

2.探究式教学与数学探究式教学的研究综述

2.1什么是教学探究式教学?

探究式教学是由美国著名科学家施瓦布在20世纪50年代的教育运动中首先提出的。 他认为在学校教学过程中, 学生应该自己独立发现问题、 解决问题, 并且在探索过程中获取知识, 培养自己独立学习的能力和创造力。

探究式教学是指学生在学习过程中, 通过发现问题, 独立思考, 收集和处理信息, 调研等方法最后解决问题的一种教学方式。 这种教学方式十分关注学生的内心世界———使学生有探究、获得新知识的体验, 并使学生勇于担当责任和自主创新等。 探究式教学与其他教学方式相比, 它具有开放性、问题性和实践性等特征。 学者研究认为:经历探究过程, 获得情感体验, 知识的积累和更多的开放式互动, 能够使学生更好地学习。

2.2什么是数学探究式教学?

数学探究式教学是老师通过各种措施把学生学习过程中发现的问题凸现出来, 使学生在学习过程中自己发现问题, 思考并解决的一种教学方法。 它以问题为载体, 让学生自己收集、处理和分析这些问题, 有助于学生了解数学概念和结论的产生过程, 初步尝试自己理解这些数学知识, 最后对其有深层次的认知。

3.实际案例

3.1实际问题, 引入课题。

良好的开端是成功之始, 在高中数学课堂教学过程中, 注重通过情景引入问题, 在分析问题中导入课题, 不但有利于学生明确学习目标, 而且能够激发学生的学习兴趣。 高中生的抽象能力有了一定的发展, 但还没有完全成熟, 通过老师引入一些实际问题, 能够让学生更具体地思考, 激发学生的学习兴趣和求知欲。 导入问题:

小明在2012年准备投入100万与朋友做生意, 投入后有两种回报方式:一种是选择年利率 (12%) 或者单利 (10%) 收回本息, 另一种则是按年利率10%, 每年复利, 10年后可收回本息。请问投资人该选择哪一种投资方式更有利? 按单利来计算, 10年后本金和利息和为10× (1+12%×100) =130 (万元) , 按照每年复利来计算, 10年后的本金和利息总和为10× (1+100%) 10, 这种公式计较麻烦, 如何不使用计算工具而快速得到答案, 所以在教学中先让学生对公式进行求解, 然后老师顺势提出 (a+b) n的课题。

从课堂教学中不难看出, 学生对于这种实际生活中的案例更积极, 有着更强烈的求知欲望, 主动学习, 学习效率会更高。

3.2联合探究, 发现规律。

在学生急于找到答案时, 老师不要直接将答案告诉学生, 而是要一步步引导学生, 与学生一起探究问题, 让学生能够深入体会, 了解知识。

问题引导推导:

然后将n替换为具体数字引导学生再次探究。 比如n=4或n=5: (a+b) 4=a3+3a2b+3ab2+b3, (a+b) 4+4a3b+6a2b2, 通过引导学生观察公式的进行归纳总结:每个不取b的情况有一种, 即C40种, 所以a4的系数是C40;恰有一个取b的情况有C41, 所以a3b的系数是C41;4个都取b的情况有C44, 所以b4的系数是C44, 然后得到:

引导归纳猜想。

由 (a+b) 4联想到 (a+b) n的展开公式, 在这个过程中老师应该深入到各个小组过程中, 根据学生的想法进行引导, 与学生讨论, 从而得到以下公式:

在合作探究过程中, 学生处于主体地位, 老师只起到引导作用, 探究过程中要注重引导学生在合作中发现知识, 告别传统的教学模式, 让学生自己思考, 发现并解决问题。

3.3成果交流, 推广结论

探究过程中, 学生小组对二项式有了大致了解, 并有了自己的结论。 但并不是所有学生都掌握了这个知识, 所以就需要老师指定几个学生上讲台将自己小组的思考、 交流成果板书下来, 并由学生自己讲解, 这样对于讲解者和听讲者都是一次巩固, 并允许学生积极发言, 顺利沟通和讨论, 在相互讨论中使学生对知识点有全面把握。

3.4体验定理

当学生在课堂上通过思考, 合作探究和讨论掌握了知识点后, 老师应该引导学生使用其掌握的知识点解决实际生活中的问题, 让学生能够学以致用, 对知识有更深入的了解。 在这个过程中, 学生可以相互提问和解决问题, 从而更全面地了解知识。

结语

在社会的发展和新课改的推动下, 基础教育的改革越来越重要, 转变传统的教学模式, 让学生处于学习的主导地位, 是基础教学中必不可少的转变。 但这一转变也不可一蹴而就, 应当循序渐进, 使学生能够主动、深入地学习。 只有在这种自主性学习的过程中, 才能不断提高数学课堂教学效率, 让学生更好地学习自己, 发展知识。

参考文献

[1]周振羽.启发探究式在高中数学课堂教学中的应用——以“二项式定理”教学为例[J].考试:教研版, 2012 (9X) :41-42.

[2]黄小杰.简析探究式教学在高中数学教学中的运用——以“二面角”教学为例[J].广西教育b:中教版, 2013 (6) :79-79.

《余弦定理》教学反思 篇13

教学中，引导学生从已学知识进行多角度分析问题，从而培养了学生思考问题的灵活性，在得到定理猜想后，找出证明定理的办法，揭示了蕴含在处理问题中的数学思想方法，不仅知其然，而且知其所以然．在引导学生推导出公式《余弦定理》，培养学生善于观察，归纳，发现特点，总结规律的好习惯．通过和勾股定理的比较，得出勾股定理是余弦定理的特殊情况，使学生加深了对余弦定理的理解，思维问题更加深入，提高了思维能力．

常言说：要学以致用。余弦定理的应用是本节教学的重要一环．所以，例题的选择和讲解是学习本节课的重要一环．例1、例2是余弦定理的简单应用，目的在于巩固余弦定理知识，加深对定理的理解；练习是余弦定理的变形应用，通过本题的训练，使学生更灵活地应用余弦定理，使定理的应用提高到了新的高度；通过解题比较，加深了对正、余弦定理的理解，体现了两者的联系，训练了学生从多角度、多方面思考问题的习惯．

本节课的教学设计是在吸取传统教学模式下的优点，结合新课改的要求进行改进设计的，以引导为主，重在发展学生的数学思维能力，培养其提出问题、解决问题的能力．

1、余弦定理是解三角形的重要依据。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．

2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理．

垂径定理---教学反思 篇14

“垂径定理”是圆的重要性质之一，也是全章的基础之一，在整章中占有举足轻重的地位是今后研究圆与其他图形位置关系和数量关系的基础，这些知识在日常生活和生产中有广泛的应用，由于垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，因此，它是整节书的重点，由于垂径定理的题设和结论都较复杂，因此，理解和证明定理是本节课的难点，在教学中也是一节较难把握的课。

在准备《垂径定理》一节的组内公开课时，我的教案被推翻和自我推翻了6次，试讲了3个班级，每次试讲完，张老师和王老师以及数学组的其它老师都会给我很真实和诚恳的意见，尽管如此，在正式讲课时，仍然不是很顺利，课后我对这节课的讲课过程及我自身进行了深刻的反思。

一、注重对学生的培养和教学语言的锤炼

《 垂径定理》这节课要求学生通过老师的引导，用简洁的语言总结出垂径定理的内容，而在平时的讲课过程中我不够注重过对学生总结概念的培养和训练，导致真正讲课时需要学生总结，却总结不出来，而我显然和学生的默契度不够，所以，在引导时，学生不能领会老师的意图。在数学教学中，一些结论的表述是很重要的,而我在这节课上有些引导词不是很到位，需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫，在去听其他数学老师的课时,要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句以及教学环节之间的过渡语句。

二、注重透彻的剖析

一些该让学生知道的知识点，点拨得不够透彻。如不能够用数量关系求的，应该要适当地引导学生设未知数，而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数。同样在已知一条边，不够条件求解时，也要引导学生利用未知数来解题的这种题目，引导得不够，或者说引导得不够深刻，学生就会觉得是老师直接将知识倒向他，而他不一定能接受。另外，涉及求弦长的问题时，应引导学生先通过构造直角三角形，先求弦长的一半，再利用垂径定理去求弦长。而这些疏忽也与我的教学经验少以及对教材的研究不透彻有很大关系。我将吸取这次讲课的经验教训，多向组内有经验的老师多请教，多研究教材，为下一轮教学做基础。

三、注重教学安排

在学案设计方面，在时间上把握得不够准确，对学情预估不足，设计的学案内容太多，垂径定理的推论其实可以放在下节课，这样就不会使得后面讲推论的时间太短、太仓促，而这样也可以使前面的练习时间更充裕。在多媒体中练习题量太小，而且题型较单一，可以再多做些找相等的量的基础训练。

四、注重常规辅助线及知识的总结

这节课还有个作图思想要灌输给学生，即教学生如果见到弦心距、弦，那么直接连半径构成直角三角形；如果就是只知道一条弦，就要连弦心距都要作出来，而我对后一种情形的训练不到位，导致学生在解决铅球问题时，束手无策.五、注重调动学生的学习积极性。

由于我上课时的语言和情绪比较平淡，使得讲课重点不够突出，和学生的互动也显得很被动。在这样的情境下，学生很难集中精神完成整节课，更无法激发学生的学习兴趣。因此，我在教学中必须要注重学生学习积极性的调动，讲课时突出重点，引导学生突破难点。

通过反思这一课的课堂教学，我发现部分学生对知识的理解不够，不能灵活应用知识于实际生活。对这一课进行全面反思后，我认识到要善于处理好教学中知识传授与能力培养的关系，巧妙地引导学生解决生活中的数学问题。不断地激发学生的学习积极性与主动性，培养学生思维能力、想象力和创新精神，使每个学生的身心都能得到充分的发展。这些失误给了我了一个今后努力的方向。

当然，本节课也有值得今后借鉴的地方：

一、培养学生会用数学知识解决实际问题

数学来源于生活，又服务于生活。在实际生活中，数、形随处可见，无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探索和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，数学知识离我们很近。不过，学生在解决实际问题的过程中，主要存在几点困难，一是学生见到实际问题就畏惧，尤其是对于题目较长的实际问题更加抵触，根本不想读题；二是学生对实际问题背景不熟悉，熟悉问题背景花费一定时间；三是对于实际问题，学生不知如何下手解决，所用知识是什么，用什么思想方法解决。为了克服这种困难，本节课专门设计了一个较为贴近生活的实际问题，这样做的好处，一是体现问题具有现实的用途——数学的有用性，二是与本节课的知识内容及数学思想方法有直接关系。这个问题解决了，以后学生再见到类似的实际问题时，就不会感到陌生。

二、充分体现学生的主体地位

教学中，要把尊重学生、关注学生的发展动态始终放在第一位。给学生多次展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心。

在知识发生发展与应用过程中，注重知识的总结和数学思想方法的渗透，教给学生解决问题的办法，使学生学会学习。

勾股定理的应用教学反思 篇15

一、教学内容分析

本节课以勾股定理解决实际问题为载体, 通过对它的学习和研究, 体现数学建模的过程, 帮助学生形成应用意识, 其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣, 能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐.

二、教学过程设计

1. 情境引入

师:暑假里我走过两座桥———润扬大桥和南京长江三桥 (多媒体显示两座桥的图片) , 这两座桥的夜景非常美丽, 我们来仔细观察一下, 这两座桥有什么共同的特征?

这两座桥都是斜拉桥, 斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形, 如果我们知道了索塔的高, 怎样计算拉索的长呢? 这就是我们今天要学习的勾股定理的应用———生活篇. (师板书课题:2.7勾股定理的应用)

2. 简单应用

师:到了南京第二天, 我决定去游玩玄武湖, 到达中央路时, 我发现玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形 (如图1) . 从B处到C处, 如果直接走湖底隧道BC, 将比绕道BA (约1.36千米) 和AC (约2.95千米) 减少多少行程 (精确到0.1千米) ?

生1: 根据勾股定理可以求出BC的长度, 然后用AB与AC的和减去BC, 所得的结果就是减少的行程.

评析这是一次旅行, 由公路与隧道引出, 贴近学生的生活, 激发学生继续探索下去的兴趣. 引导学生观察路线的最佳选择方案, 通过运用勾股定理, 从而解决实际的问题.

师:进入玄武湖, 我们看到几只小鸟停在树上欢快地歌唱, 其中一只小鸟从一棵树飞到了另外一棵树上. 这两棵树之间相距12米, 一棵树高16米, 另一棵树高11米, 那么这只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端至少要多少米呢?

生2:作辅助线得到直角三角形, 可以求出两条直角边分别为5米和12米, 由勾股定理可以求出小鸟飞行的最短距离为13米.

评析对于没有直接给出直角三角形的实际问题, 通过已知条件在图形中构造直角三角形, 从而运用勾股定理解决问题.

3. 深层拓展

师:我们继续前行, 看到满池的荷花, 忽然想到南宋诗人杨万里的一首绝句“接天莲叶无穷碧, 映日荷花别样红”. 在池塘边有几个游人正在那里摘荷叶, 由于靠岸边的荷叶都已经被摘掉了, 只能去采摘离岸更远的荷叶. 这一幅场景让我想起了《九章算术》里的一道题目, 叫作“引葭赴岸”.

“今有池方一丈, 葭生其中央, 出水一尺, 引葭赴岸, 适与岸齐, 问水深、葭长各几何? ”

“有一个池塘, 其底面是边长为10尺的正方形 , 一棵芦苇AB生长在它的中央, 高出水面部分BC为1尺. 如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边, 那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′. 水深和芦苇长各多少尺? ”

生3:可以看出这个图形 (图2) 里有直角三角形ACB′, 但只知道CB′的长度为5, 还有AC与AB′的关系, 可以设AC = x, 则AB′ = x + 1, 利用勾股定理可以求出x的值.

评析选用这个问题作为勾股定理深层拓展的主要原因有二:其一, 通过这个问题的讨论, 学生可以进一步了解我国古代人民的聪明才智和勾股定理的悠久历史;其二, 这个问题是引导学生感悟数学思想的一个载体. 在这个题目的教学中, 不仅要关注勾股定理的应用, 而且要把教学的重点放在引导学生感悟求解这个问题中所蕴含的数学思想.

师:我们租了两条游船, 开始游览玄武湖.一船沿北偏西60°方向行驶, 速度是6千米 / 小时, 一船沿南偏西30°方向行驶, 速度是8千米/小时. 经过多长时间我们两船之间的距离正好是20千米呢?

生4:设时间为t, 可知OA = 6t, OB = 8t, 利用勾股定理得到 (6t) 2+ (8t) 2= 400, 求出t = 2小时.

评析这个问题同样是只知道一个量, 需要借助于时间这个未知量来建立方程, 从而解决问题.

4. 巩固训练

师:经历了这一次南京之旅, 我们学到了很多知识, 下面让我们运用这些知识来解决这样一道生活中的问题.

如图3, 一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上, 梯子的顶端距地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑1米, 那么它的底端是否也滑动1米?

评析学生经过前面两题的训练已经掌握了此类题目的解法, 即找出两个量之间的关系, 从而根据勾股定理列出方程, 解决实际中的问题. 通过本题加深学生对勾股定理应用的理解.

5. 提升总结

师:通过本节课的学习, 你对勾股定理有怎样的新的认识? 你有什么收获?

评析让学生再一次回顾勾股定理在实际生活中的应用, 总结本节课中所用到的数学思想方法. 将实际问题通过构造直角三角形转化为数学问题, 从而通过勾股定理来解决.

6. 课后延伸

作业:课本67页习题2.7第1题, 第2题, 第4题.

三、课后总结

透视数学中考题中的勾股定理应用 篇16

一、 直接用勾股定理计算

例1 （2015·吉林长春）如图1，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______.

【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4，再根据勾股定理即可求出BE的长.

解：过E作EM⊥AB于M，如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，

∵△ABE的面积为8，

∴AB×EM=8，得：EM=4，

即AD=DC=BC=AB=4，

∵CE=3，由勾股定理得：BC2+CE2=BE2，

∴BE2=42+32=25，

∴BE=5.

【点评】本题求出正方形边长是关键，求出边长后直接利用勾股定理进行计算.

二、 勾股定理和逆定理并用证垂直

例2 （2013·内蒙古包头）如图3，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=_______度.

【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案.

解：连接EE′，如图4，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′，

∴∠EBE′是直角，

∴△EBE′是直角三角形，

∵△ABE与△CBE′全等，

∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，

∴∠BEE′=∠BE′E=45°，

∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，

∴EC2=E′C2+EE′2，

∴△EE′C是直角三角形，

∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=90°+45°=135°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.

三、 利用勾股定理解决实际问题

例3 （2015·福建厦门）已知A，B，C三地位置如图5所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向，则B地在C地的_______方向.

【分析】根据勾股定理来求AB的长度.由于∠C=90°，A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

解：∵∠C=90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，

∴AB2=AC2+BC2，∴AB2=42+32=25，

∴AB=5（km）.

又∵A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角.这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

四、 利用勾股定理经典图创设问题

例4 （2015·湖南株洲）如图6是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于_______.

【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2，另一方面利用面积关系：正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和，得出AE×DE=48，再利用勾股定理得出AE2+DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14，最后解二元一次方程组即可算出DE长，即AH的长.

解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100-4=96，

设AE为a，DE为b，即4×ab=96，

∴2ab=96，a2+b2=100，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，

∴a+b=14，∵a-b=2，

解得：a=8，b=6，

∴AE=8，DE=6，∴AH=DE=6.

【点评】勾股定理有着悠久的历史，它曾经引起很多人的兴趣.本题就是在我国汉代数学家赵爽创制的弦图的基础上改编得到的.本题考查的就是弦图中的各线段之间、图形面积之间的关系和勾股定理.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）

《垂径定理》教学反思 篇17

在教学方法与教材处理方面，根据现在的教材特点，教学内容以及在新课标理念的指导下，最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。

同时，在教学中，我充分利用教具和投影仪，提高教学效率。在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力，结合学生实际情况作适当的拓广。

我参加这次教学技能大赛，获益良多主要体现在以下几个方面：

(1)在数学教学中，一些结论的表述是很重要的，而我在这节课上有些表述确实不是很正确;而且我在课堂上，尤其是知识点的联系方面的引导词，更加需要再努力钻研。今后我将在这方面下工夫，在去听其他数学老师的课时，要注意其他老师在知识点同知识点之间的过渡语句。

(2)一些该让学生知道的知识点，讲得不够透彻。如CD是直径，其实应该可以拓展为过圆心的直线(要多强调，而不是一笔带过);不能够用数量关系求的，应该要适当地引导学生设未知数。而不是直接告诉学生这种题目就是要设未知数。同样在已知一条边，不够条件求解时，也要引导学生利用未知数来解题的这种题目，引导得不够，或者话引导得不够深刻，学生就会觉得是老师直接将知识倒向他，而他不一定能接受。

(3)在学案设计方面，在时间上把握得不够准确，设计的学案内容太多，在这节课上如果估计过量已经足够的话，垂径定理的推论其实可以放在下节课。这样就不会使得后面讲推论的时间太短，太仓促。前面复习用的时间太长，在复习的部分应该多加些关于勾股定理的计算的题目，使学生在后面解直角三角形时能够更加快，更熟练;而学案中练习题的量太少，而且是题型太单一，可以再做多些找相等的量的基础训练，对B班的学生更加熟悉垂径定理，基础题目的掌握对B班大有好处。

(4)其实这节课还有个作图思想要灌输比学生，即是教学生如果见到弦心距，弦，那么直接连半径构成直角三角形;如果就是只知道一条弦的题目，就要边弦心距都要作出来，而这两种题目我的训练都不到位。

(5)还有其他很多问题：例题的讲解不够详细，深刻。给学生思考的时间不够;题目的梯度设计得不是很好……

正弦定理教学设计及反思 篇18

及反思

【教学课题】1.1.1正弦定理（第一课时）

【教学背景】本节课所面对的是普通高中招生中最后的一批学生，学习成绩较差，中考成绩大多在280分左右。自身缺少良好的学习习惯和一定的数学学习能力。因此在教学设计时，以基础知识，基本方法的学习和应用为主。在教学过程中，采用了以学生互动探究为主的“五二五”教学模式，以提高学生的学习兴趣。

【教析分析】本章是高中数学必修5的第一章第一节内容，是初中解直角三角形的拓展和延续，重点揭示了三角形边、角之间的数量关系。运用它可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。在高考中也常与三角函数、平面向量等知识结合在一起考考察。

【学习目标】通过对任意三角面积的探索，理解正弦定理的内容及其推导过程；能够通过观察、归纳、猜想，由特殊到一般得到正弦定理，体验数学发现与创造的历程；掌握正弦定理并能够运用正弦定理解决一些简单的求边角问题。

【学习重点】正弦定理的几种形式。

【学习难点】正弦定理的推导与证明。

【学习方法】自主学习、合作探究

【教学手段】多媒体辅助教学

【学习过程】

一、复习引入

在直角三角形中是如何定义边角关系？

任意三角形的高怎么求？

二、合作探究

（要求：学生先独立思考，再以小组为单位交流讨论结果，并派代表展示本组的讨论结果。）探究一：在△ABC中,分别以a,b,c为底边，求出相应边的高，并求出△ABC的面积。

结论：对任意△ABC都有===.探究二：你能利用三角形的面积公式，做适当的变形，探寻出各角与其对边的关系吗？

探究三：正弦定理说明在一个三角形中，各边与所对角的正弦的比相等，你能想办法求出这个比值吗？

三、阅读教材，记忆公式

我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？

已知求;

已知求.四、小组合作，成果展示（要求：一、三、五组先做第一题再做第二题词，二、四、六组先做第二题再做第一题；每组派两位同学到黑板上板书，一位同学讲解。评价标准：书写规范，内容准确，声音洪亮，思路清晰。）

1、在中，a=3,b=3 ,B=60,求a边所对角的正弦值。

2、在中，A=60，B=75，a=10,求边c。

五、课堂小结

（学生小结，相互补充。）

六、能力提升

在ABC中，已知A450,a2,b2,求B。

七、检测评价

长江作业本2，3，4，5题。【教学反思】

本节课较好的完成了教学任务，实现了教学目标。在教学过程设计上充分考虑了学生的实际情况，从复习初中所学的直角三角形的边角关系引入，为学生接下来探究三角形的面积做好铺垫和引导。而不会让学生感到很突兀，不知道从哪个角度入手。我的这个引入设计看上去很简单，但却是有心之作，是以学生为中心的一个设计。从后面对三角形面积的探究来看，这一个引入做的还是很成功的。

本节课的第一个探究环节是对三角形面积公式的研究推导，学生先独立思考再小组交流讨论，让他们有了一定的结论和方法之后再交流讨论，很好的保护了学生自主学习的空间，又给予了他们展示自己解决问题能力的机会，同时学会了倾听别人的想法，让基础较差的同学在交流中得到点拨，成绩较好的同学在争论中加深了自己对问题的理解和思考。最后由学生展示探究结果，教师给予适当的评价和鼓励，让学生有学习的成就感，让他们有了继续学习的动力和兴趣。

本节课的第二个探究环节是由三角形的面积公式变形推导出正弦定理，这一环节比较简单，操作性强，学生一点就通。正弦定理的证明方法有很多，比如利用三角形全等、三角形的外接圆、向量法等，本节课我对教材做了改编，利用三角形的面积公式来推导正弦定理，思路自然，目标明确，易于学生接受和探究。在具体推导时，要注重学生思维的发展过程，这是数学的灵魂。

a的值。这一环节对于学生来说是一个难点。在sinA

a教学中恰当的使用了多媒体技术，利用几何画板探寻比值的值，由动到静，取得了很好sinA本节课的第三个探究环节是探寻比值的效果。也让学生感受到了数学是很有趣的。

在完成了正弦定理的推导之后，设计了两个简单的求边角问题。让学生进一步熟悉正弦定理的形式和结构特征。并让学生在每组的黑板上板书并讲解，即促使学生养成规范答题的习惯，又提升了数学语言的表达能力，还反馈了本节课的学习效果。