怎么证明面面平行（共10篇）
怎么证明面面平行
线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直
2.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直
面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线
2
证明：∵平面α∥平面β
∴平面α和平面β没有公共点
又a 在平面α上，b 在平面β上
∴直线a、b没有公共点
又∵α∩γ=a，β∩γ=b
∴a在平面 γ上，b 在平面γ上
∴a∥b.
3
用反证法
命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β
证明:假设AB不平行于β
则AB交β于点P，点P∈β
又因为P∈AB，所以P∈α
α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。
4
【直线与平面平行的判定】
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的.方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个
5
用反证法
命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β
证明:假设AB不平行于β
则AB交β于点P，点P∈β
又因为P∈AB，所以P∈α
α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。
6
线线平行→线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
两直线平行，同位角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。
两条直线a，b被第三条直线c所截，在c的同旁，且在a，b的`同一侧的两个角称为同位角;两条直线a，b被第三条直线c所截，分别在截线的两侧，且夹在a，b之间的两个角叫做内错角;两条直线a，b被第三条直线c所截，在c的同旁，且在被截两条直线a，b之间的两个角叫做同旁内角。两条直线a，b被第三条直线c所截会出现“三线八角”，其中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。
一、选择题
1．下列条件中,能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2． 直线a，b,c及平面，，使a//b成立的条件是（）
A．a//,bB．a//,b//C．a//c,b//cD．a//,b
3．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（）A．内的所有直线与m异面B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行D．内的直线与m都相交．，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同直线，在下列条件下，可判定∥β的是（）
A．，β都平行于直线a，bB．内有三个不共线点到β的距离相等 C．a，b是内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥，b∥，a∥β，b∥β
5．两条直线a，b满足a∥b，b，则a与平面的关系是（）
A．a∥B．a与相交C．a与不相交
D．a
6．设a,b表示直线，,表示平面，P是空间一点，下面命题中正确的是（）A．a，则a//B．a//，b，则a//b
C．//,a,b，则a//bD．Pa,P,a//,//，则a
7．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）
A.异面B.相交C.平行D.不能确定
8.直线和平面平行是指该直线与平面内的（）
(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交
9.若直线a,b都与平面平行，则a和b的位置关系是（）(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或相交或是异面直线
二、填空题
1．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是．
3．a，b，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
①
a∥cb∥c∥b;②a∥∥c
aa∥b;③∥;b∥∥c
④
∥c
a∥;⑤∥∥∥⑥
a∥a∥c∥a∥
其中正确的命题是________________.4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，DD1，DC中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BD D1．
三、解答题
1、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA
上的点, A
且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.E
HB
D
FC
2.如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上． 问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.PE
C
A
B3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.D
1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)面OC1D//面AB1D1．A 1
C
A
B
4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。
C
E
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是
例题解析:
例1.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.例2.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N
求证：MN//平面BCE
例3.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、例4.如图，在空间四边形ABCD中，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证：PQ∥平面ACD.例5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
巩固练习：
1.若l//，A，则下列说法正确的是（）
A.过A在平面内可作无数条直线与l平行B.过A在平面内仅可作一条直线与l平行 C.过A在平面内可作两条直线与l平行D.与A的位置有关
2.若直线a∥直线b，且a∥平面，则b与a的位置关系是（）
A、一定平行B、不平行C、平行或相交D、平行或在平面内 3.如图在四面体中，若直线EF
和GH
相交，则它们的交点一定（）.A.在直线DB上B.在直线AB上
C.在直线CB上D.都不对
4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（A．异面B．相交C．平行D．不确定
5.已知平面、β和直线m，给出条件：①m∥；②m⊥；③m⊂；④⊥β；⑤∥β.为使m∥β，应选择下面四个选项中的()
A．①④B．①⑤C．②⑤D．③⑤ 6.若直线l与平面α的一条平行线平行，则l和的位置关系是()
A.lB.l//C.l或l//D.l和相交
7若直线a在平面内，直线a,b是异面直线，则直线b和平面的位置关系是()A．相交B.平行C.相交或平行D.相交且垂直
8.若直线l上有两点P、Q到平面的距离相等，则直线l与平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.平行、相交或在平面内 9.下列命题正确的个数是()
(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥
(2)若直线l与平面α平行，l与平面内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面内一直线b平行，则a∥ A.0个B.1个C.2个D.3个
10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N
是AB，PC的中点．求证：MN//平面PAD．
11.如图,S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD上的点，且求证：MN//平面SBC
12.如图A、B、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.求证：面ABC∥面ABC.AMSM=
BNND,13.如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60o的角，且ADBC2，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．（１）求证：四边形EGFH为平行四边形；
2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有:1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行.2、三角形或梯形的中位线定理.3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选C认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JLZE一B/（一、图月一飞/匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行.例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B).例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF.(l)求证:EF//Bc
(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面
与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：
(1)平行—没有公共点;
(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2.两个平面平行的判定定理表述为：
4.两个平面平行具有如下性质：
(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：“若面面平行,则线面平行”。
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：“若面面平行,则线线平行”。
(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等
用反证法
A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p
B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。
设有交点R，那么
做三角形pQR
pR垂直pQQR垂直pQ
没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180
1、如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．
2、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF求证：AE=CF．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？ 说明理由.4、如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FD
5．如图20—1—26，平行四边形ABCD中，AC是对角线，DF⊥AC于F，BE ⊥AC于E，连接BF、DE，你认为四边形BEDF是平行四边形吗?给出合理的解释．
6、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。
A
BEFD
7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.8.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC的长.9.如图所示，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF.10.如图所示，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
11、如图所示，ABCD中的对角线AC、BD相交于O，EF经过点O与AD延长线交于E，与CB延长线交于F。E求证：OE=OF
D
A
12.如图, ABCD 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,DGE100.(1)求证：DF=BG;(2)求AFD的度数.D
AF
ECBG
CB13、如图，ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH。求证：EF、GH互相平分。
AE
BF
14.如图，□ABCD O为D的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，•点E、F在直线MN上，且OE=OF．
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；
（2）求证：∠MAE=∠NCF．
15．如图12-1-8，△ABC中AB＝AC，点P在BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于E、F，试证明线段PE+PF=AB．
D
16如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．
17．已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF，AC与EF交于点O．求证：
OE=OF
18如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
19如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．
20、如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．
21．如图20—1—11，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?试说明理由．
命题一般由条件和结论组成。通常可以写成如果…那么…的形式。如果引出的是条件那么引出的是结论。
正确的为真命题不正确的为假命题
要证明一个命题是假命题通常要举一个例子，使它具备问题得条件不具备问题得结论，我们称这样的例子为反例。
经过证明的真命题为定理
平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么
两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行）
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质：两直线平行同位角相等
两直线平行内错角相等
两直线平行同旁内角互补
平行线及其判定练习题
一、选择题:
1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
A
D
AE
DA
E
C
(1)(2)(3)2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()
A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是()
A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列说法错误的是()
A.同位角不一定相等B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行
5.不相邻的两个直角,如果它们有一边在同一直线上,那么另一边相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交
二、填空题:
1.在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是______.2.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.CD3.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是
三、训练平台:(每小题15分,共30分)
1.如图所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,试说明DC∥AB.A
2.如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=•30°,试说明AB∥CD.E
AC
四、提高训练:
K
H
BD
如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?•为什么?
de
abc
五、探索发现:
如图所示,请写出能够得到直线AB∥CD的所有直接条件.24AC
B
657D
六、中考题与竞赛题:
(2000.江苏)如图所示,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:•①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为()
A.①②B.①③C.①④D.③④
c
41a
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
【判断直线与平面平行的方法】
(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;
(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;
(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的`直线必平行于另一个平面。
【平面与直线平行的性质】
定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。
注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。
3
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，
因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
所以，MN//平面ACD
本题就用到一个关键概念：重心三分中线
设E为BD的中点，连接AE，CE
则M在AE上，且有AM=2ME
N在CE上，且有CN=2NE
在三角形ACE中，
因为，EM:EA=1:3
EN:EC=1:3
所以，MN//AC
AC属于平面ACD，MN不在平面ACD内，即无公共点
1、如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，且∠ADB=∠DBC.求证：四边形ABCD是平行四边形.2、如图2，E、F、G、H
分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.HD
CFB3、如图，□ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O，求证EO=FO.4、如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F.（1）求证：△ABE≌△DFE；
1、如图所示：
⑴ ∠1=∠2，求证:∠3=∠5 4L
1⑵∠4+∠6=1800,求证:∠1=∠36
5322、如图所示：
A D
⑴ AB∥DE,∠A=∠D，求证: AC∥DF ⑵ AC∥DF, ∠A=∠D,求证:∠B=∠11 2E C3、如图所示：
B ⑴ ∠DCE=∠A，DC∥EF,求证: AB∥EF
⑵ AB∥CD, CD∥EF,求证:∠A=∠E CE F4、如图所示：
⑴ ∠1=∠2,∠3=∠4,AB∥CD, A1B
求证: BE∥CF
AB∥CD, BE∥CF,求证:∠1=∠4 2⑵⑶ AB∥CD,BE、CF为角平分线,求证:BE∥CF
⑷ BE∥CF,BE、CF为角平分线,求证:AB∥CD5、如图所示：
A
⑴ ∠B=∠4,∠1=∠2,求证:CD∥EF
⑵∠1=∠2,CD∥EF,求证:DG∥BC D
⑶ ∠B=∠4,CD∥EF,求证:∠1=∠2
1G
E C6、如图所示：
⑴ BE为角平分线,∠1=∠3,求证:∠3=∠
5⑵∠1=∠3,∠4=∠C,求证:
BE为角平分线 AE1⑶ BE为角平分线,∠4=∠C,求证:∠5=2∠
37、如图所示：
⑴ AF∥DE,∠A=∠D,求证: AB∥CD
⑵ ∠A=∠D,AB∥CD,求证:∠1=∠2
⑶ ∠1=∠3,∠B=∠C,求证:∠A=∠D
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