数学思想变式训练

数学思想变式训练（精选9篇）

数学思想变式训练 篇1

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。所谓“变式训练”，就是有针对性地设计一组题，采用一题多解，多题一解，多图一题，一题多变，对此辨析，逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、网络化，提高解题能力。

教学案例：

（一）一题多图

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，有DE=AD+BE，请说明为什么？ ②当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，有DE=AD－BE,请说明为什么？

①当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

感悟：

通过一题多图可以让学生掌握类比的数学思想。

（二）一题多变

一题多变主要在平面几何中用应广泛需要老师们认真总结练习。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

（三）一题多解

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。

方法

1、两次全等证明

方法

2、角平分线定理和一次全等综合证明。

方法

3、线段垂直平分线逆定理证明。

方法

4、“三线合一”证明。

感悟：

通过一题多解培养学生的发散思维和创新能力，使学生的能力大大提高。更能展现出教师的魅力。

数学思想变式训练 篇2

1. 发挥学生的主体作用, 注重学生的参与性.

在数学教学中, 学生作为独立的个体, 其行为和思维表现是丰富多彩的.因此教师在课堂教学中, 要充分发扬教学民主, 发挥学生的主体作用, 让学生参与到“变式”中来, 把学生对问题的不同解题方式变成学生对同一问题的解题变式.这样不仅能充分调动学生的积极性, 形成师生的共同交融和参与, 而且能让学生在主动发现、主动探索中完成“应用———理解———形成技能———培养能力”的认知过程, 发展思维和建立新旧知识之间的联系.

七年级有一道练习题:聪聪站在两堵围墙的外面, 他想测量两堵墙在地面上所形成的角的度数, 但他又不能进入围墙, 请你帮聪聪想个办法测量, 并说明理由.我当时在课堂上让学生自己想出尽可能多的解题思路, 然后分小组讨论.在小组讨论中学生发现了更多的解题思路, 有利用补角原理、对顶角相等定理的, 还有的学生运用平行线的内错角相等、平行线同位角相等的原理.在这一过程中, 学生的创造性思维被启发, 一方面完成了教学的任务, 对旧知识进行了复习, 而另一方面, 学生在解决任务的过程中学会了利用变式, 对同一问题找出了不同的解题思路.

2. 在概念和定理讲解中有意识培养学生运用变式思考问题.

变式教学是在教学中使学生确切掌握概念和定理的重要方法之一.数学中每一个概念和定理都有一个形成过程, 但教材中往往是直接给出或以逻辑推理的形式出现, 学生看不到它们的形成过程.长期以来, 学生认为数学概念和定理都是规定的, 是不必讲道理的, 阻碍了学生的发现、创新思维.为此, 教师在教学中要有意识地通过变式揭示概念和定理的形成、发现的全过程, 让学生既要知其然, 也要知其所以然.

以“两条直线异面”概念的教学为例.我在教学中采用了以下两类变式:一方面我通过日常生活中的直观材料组织已有的感性经验, 使学生理解概念的具体含义;另一方面, 我利用不同的图形变式作为直观材料和抽象概念之间的过渡.通过第二种变式, 帮助学生把已有的感性经验上升为抽象水平, 理解概念图形的基本特征, 进而把握概念的外延空间.学生很快就掌握了两条直线异面的概念.

3. 在习题任务中进行变式训练.

在习题训练中锻炼学生运用变式的能力, 是一个简捷而有效的方法.学生在运用变式的过程中体验到了成功的喜悦.同时, 通过变式训练, 学生发现, 很多数学知识不需要题海战术, 也能很轻松地掌握解题技巧.通过习题任务中的一题多解和一题多变, 使学生体会到解决问题的关键在于知识的迁移, 培养学生的变式思维.

例如:我曾在课堂上让学生做过下面的习题:

按图示的方式, 用火柴棒搭三角形.搭1个三角形需要3根火柴棒, 搭2个三角形需要 () 根火柴棒, 搭

3 个三角形需要 () 根火柴棒.

问题引申, 搭10个这样的三角形需要多少根火柴棒?搭100个呢?你是怎样得到的?如果用x表示所搭三角形的个数, 那么搭x个这样的三角形需要多少根火柴棒?你是怎样计算出的?这些变式题除了能培养学生思维的发散性和灵活性, 更能提高学生分析问题的能力, 掌握分析问题的方法, 学会去粗取精、去伪存真、洞察事物本质的本领, 达到举一反三、融会贯通的目的, 使学生在求异思变中创新, 养成良好的创造思维品质和变式学习的能力.

4. 联系生活实践, 增强变式应用能力.

变式教学研究除在习题训练中改变条件、结论和在概念定理中运用变式之外, 联系生产、生活的实际背景也是实施变式教学的一种有效途径.而且将数学问题置于实际背景之中, 不仅是激发学生学习兴趣的有效方法, 提高学生从实际问题中抽象出数学问题的能力, 而且有利于增强学生的应用意识, 有利于扩展学生的视野, 提高实践能力.

例如, 大家比较熟悉的24点游戏, 教师可以为调动学生的学习气氛在课堂之中穿插这样的计算问题:聪聪在玩“24点游戏”时, 他从一副扑克牌中刚好抽出了4个5, 请你用“+”, “-”, “×”, “÷”或“括号”组成一个算式, 使结果等于24, 所列算式是什么呢?在课堂上学生的积极性被调动起来, 而且学生意识到数学是和实际生活息息相关的, 增强了他们的数学学习兴趣.

综上所述, 在数学教学中应用变式教学, 可引导学生多方位、多角度地思考问题, 深入理解概念本质, 灵活运用定理公式, 提高解题的应变能力, 能有效培养学生的数学思维能力, 优化思维品质, 同时也促进了学生创造性思维能力和实践能力的不断提高.

摘要：变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式, 不仅有着广泛的经验基础, 而且也经过了实践的检验.《新课程标准》倡导的创新育人理念, 在数学教学中需要通过变式教学来实现.那么, 如何实现新课程理念与传统变式教学的整合, 有效地培养创新意识, 有意识地实施变式呢?本文结合自身的教学实践, 从四个方面对该问题进行了阐述.

关键词：数学教学,变式训练,途径

参考文献

[1]张俊.新课标视野下的变式教学[J].中学数学研究, 2007 (12) :15-17.

[2]李云飞.运用变式教学, 提高数学能力[J].中学数学教学, 2005 (12) :17-18.

[3]姚惠英.初中数学课堂有效性教学初探——善于给例题“变脸”[J].科学教育研究, 2007 (9) :63-64.

用变式训练提高高中数学课堂效率 篇3

数学是人类活动的基本工具，学好数学也是社会对人才的基本要求。因此，提高数学课堂的效率十分必要，变式训练是数学教学中普遍采用的教学手段，也是行之有效的教学手段。高中数学课堂也可以利用变式训练来加强学生数学能力的提高。

一、利用变式训练加深概念理解

从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去发现和探索，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。

如在讲函数的定义域时，一个函数的定义域是自变量的取值范围。实际上学生对自变量和变量，难以辨析，此时可以做如下变形：

变式1：若函数f（x）的定义域是[-1，1]，求f（2x）的定义域；

变式2：若函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（x）的定义域；

变式3：若函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求f（log2x）的定义域。

通过以上的变式，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。

二、利用变式训练增强学生对公式、定理及性质的运用

数学能力的发展和形成，有赖于掌握定理、公式和法则去进行推理论证和演算。在复习定理、公式和法则的教学过程中，利用此类变式问题可明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围、注意事项等关键之处，进而培养学生严密的逻辑推理论证能力和正确演算能力。

例如在研究三棱锥（即四面体）顶点的射影与底面三角形“各心”的关系时就可设置以下问题：

（1）当三棱锥是正三棱锥时；

（2）当三条侧棱的长均相等时；

（3）当侧棱与底面所成的角都相等时；

（4）当顶点与底面三边距离相等时；

（5）当三条侧棱两两垂直时；

（6）当三条侧棱分别与所对侧面垂直时。

通过不断变换命题的条件，引深拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生在挑战中寻找乐趣，培养了思维的深刻性，同时也进一步巩固了对于线线、线面垂直关系，尤其是三垂线定理的掌握。防止学生形式地、机械地背诵、套用公式和定理，提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。

三、利用变式训练提高学生在解题思维与探索能力

（一） 多题一解，适当变式，培养学生求同存异的思维能力

许多数学习题看似不同，但它们的解题的思路、方法是一样的，这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。

例如：（1）已知a，b∈R+，且a+b=1，求（■+1）（1+■）的取值范围。

（2）已知a，b∈R+，且2a+3b=1，求（■+1）（1+■）的取值范围。

（3）已知a，b∈R+，且2a+3b=4，求（■+1）（1+■）的取值范围。

这些题目都是对均值定理的应用，教师要把这类题目成组展现给学生，让学生在比较中感悟它们的共性。

（二） 一题多解，触类旁通，培养学生思维的灵活性

一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。既能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，又能引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。

例如，已知向量■=（2，0），■=（2，2），■=（■COSa，■sina），则■与■夹角的范围是（ ）

A. [■，■] B. [0，■]

C. [■，■] D. [■，■]

这题学生一般想到利用■=■+■，先求出■，然后用两向量夹角的余弦公式求解，但是还可以运用另外一种简单方法。那就是利用■=■+■=（2+■cosa，2+■sina，可以判断出点A的轨迹是以（2，2）为圆心，■为半径的圆。然后利用数形结合求出夹角的范围了。这个题从不同的角度进行多向思维，把各个知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。

（三） 一题多变，总结规律，培养学生探索能力

通过变式训练，不是解决一个问题，而是解决一类问题，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识。从而使一个题目延伸出一类题目，达到举一反三、触类旁通的目的。

例如，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G，H分别是CB，CD上的点，CH∶CB=CG∶CD=2∶3，求证：四边形EFGH是梯形。

这道题目的是加强对公理4的理解和应用，对这个题目可从改变条件，探索新的结论和改变图形的角度进行很多变化。

变式1：条件不变，该求证HE与GF交于一点。

学生在上题中已证得EFGH是梯形，对结论的深化不是难事，关键是在不改变条件的情况下，要对结论进行探索。

变式2：已知条件为E、F、G、H分别是AB、AD、CB、CD的中点，（1）则四边形EFGH的形状。（平行四边形）（2）且AC=BD，则四边形EFGH的形状。（菱形）（3）且，则四边形EFGH的形状。（矩形）（4）且AC=BD，则四边形EFGH的形状。（正方形）（5）且AB=BC，AD=DC，则四边形EFGH的形状。（矩形）

变式3：已知条件，E、H分别为AB，BC的中点，AF∶FD=3，过H、E、F做一平面交CD于G，（1）CG∶CD（2）求证：EF与GH交于一点。

通过改变条件得到不同结论的变式，可以大大激发学生的兴趣，变式2的一组题目跟初中平面几何的题目有类似性，可以促进学生从平面到空间的迁移，变式3有例题及前两个变式的基础，教师为学生的巩固掌握打好了支架，学生要理解就比较容易了。

变式4：设图形G、H分别是CB、CD反向延长线上的点，其余条件不变，求证：EFGH是梯形。

变式5；当图形G、H分别是CB、CD反向延长线上的点时，（1）四边形图形EFGH是平行四边形，求CG∶CB。（2）在（1）的基础上满足什么条件时，再补充条件使四边形EFGH是矩形。

变式4、变式5改变了图形中G、H的位置，但线段的一些基本关系没变，学生已有上面变式的经验，较容易掌握。但变式5中（2）是一个开放性题目，对所补充条件，每个学生考虑的角度不同会得出不同的答案，如EH⊥BD，或AB=AD且BC=DC，对于学生的探索，推理过程只要存在着一定得合理成分，教师都应该予以肯定，并做出适当的点评，让学生对自己的探索充满信心。

总而言之，数学变式训练以一胜多、举一反三的变式教学，给数学教学注入了生机和活力，提高了学生的兴趣，调动了学生的积极性，使其学得轻松，并且避免“题海”，从而提高了课堂教学效率和教学质量，对学生掌握知识、促进思维和培养能力等方面起着非常重要的作用。“变”与“不变”，都要让学生去体验。教师的作用应该主要是引导和点拨，使学生去思考和比较，发现变式问题中的“变”与“不变”。

四、利用变式训练培养学生数学思想方法的应用意识

数学思想方法在高中数学学习中具有重要地位，为了加深学生对数学思想方法的领悟和应用，我们以二次函数为例做如下变式训练：

例：求函数y=x2-2x-1的最值。

变式1：

（1）求函数y=x2-2x-2，x∈[-1，3]的最值；

（2）求函数y=x2-2x-2，x∈[-4，0]的最值；

（3）求函数y=x2-2x-2，x∈[3，5]的最值。

改变定义域的范围，将问题转化为某一区间上求最值，让学生体会分类讨论的思想，同时也为下面进一步的变式做好铺垫。

变式2：

（1）已知函数y=x2-2x-2，x∈[t，t+1]，求函数的最值；

（2）已知函数y=x2-2x-2，在x∈[0，t]上有最小值-2，最大值-1，求实数t的取值范围；

（3）已知函数y=x2-2ax-a，x∈[3，5]，求函数的最值；

将原来具体数据抽象为区间含参数或表达式问题，将具体问题抽象化，特殊问题一般化，从而渗透数形结合、分类讨论、概括与抽象等数学思想方法。

变式3：

（1）已知不等式x2-2ax-a>0在区间[2，4]上恒成立，求a的取值范围；

（2）已知不等式x2-2ax-a≥0在区间[2，4]上恒成立，求a的取值范围；

（3）已知不等式x2-2ax-a>0在区间（2，4）上恒成立，求a的取值范围；

（4）存在x∈[2，4]，使得不等式x2-2ax-a≥0恒成立，求a的取值范围。

由原来求函数的最值问题，变成不等式恒成立问题和存在性问题，既巩固了求最值问题，又解决了一类新的问题。令f（x）=x2-2ax-a，则不等式x2-2ax-a>0恒成立，即f（x）>0恒成立，可转化为f（x）min>0；或者结合图像，f（x）>0恒成立就是函数图像在x轴上方；或者分离变量，最终转化为求新函数的最值问题。

总之我们在教学实践中，经常性的进行一系列的变式训练，利用变换条件，变换题型，变换解法等形式多样，内容丰富的变式训练，可以让学生从中领悟和归纳数学思想，可以很好的提高学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。

数学思想变式训练 篇4

开题论证报告

曲江中学：陈松艳

一、研究问题的表述

《山区初中数学变式训练教学策略研究》，主要研究山区初中学生的学习行为和效果，研究山区初中数学的教法发现不足和缺憾，然后着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，观察克服的程度，再加以改进，总结经验，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。研究山区初中数学教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。既要大面积提高教学质量，又要满足学生个性差异，变式教学，变式设计适合不同学生的练习和作业，又不加重学生的课业负担。

二、问题的提出

1、对当前山区教育形式和“变式教育”的认识

新课程标准提出：“教育应该面向全体学生，让每个孩子都成为对社会有用的人才”。所以现代教育过程中根据学生个性差异因材施教，促进学生个性发展，尊重学生个性的独创性教育显得十分重要。教育者要为每一位学生提供同样的学习机会，也要帮助每一位学生充分发展。究其核心就是要尊重学生个性差异，运用各种方法、创造各种条件引导学生主动探究和创造学习。“有效的数学学习活动不能单纯地模仿和记忆”，“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。数学教学是需要在学生形成初步知识和技能后加以应用的实践训练，即解题。以其来加深和巩固已获知识，那么怎样的问题训练可以既帮助学生提高数学素质和数学能力，而又不重蹈“题海”呢？“变式教学”是很好的载体，符合时代的要求。有效教学追求的是学生对知识的内化，能够把所学的知识积极转化为自己的知识结构的一部分，数学课堂的“变式教学”，既让学生理解数学知识（概念系统）、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力。“变式教学”围绕一两道数学问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化，使学生得以掌握与提高，是培养学生举一反

三、灵活转换、独立思考能力，从而减轻学生学业负担，培养创新能力的有益途径之一。

2、对山区教学现状的考虑

从山区初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是 “狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。思维变的狭窄，对所学知识往往只注重数学表象，而忽视了数学知识的核心——数学思想。这些促使我们思考：实施怎样的数学课堂教学，既能让学生理解数学知识（概念系统）、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力呢？

为此，我们提出“尝试变式教育，促进学生和谐发展的实践与研究”这一课题。希望探索构建和谐课堂教学的策略及机制，促进学生素质的和谐发展。

三、本课题研究的基本内容

本课题主要是研究在初中数学课堂教学过程中，探讨如何通过教师合理安排变式教学，呈现数学教学的本质内涵，达到学生高效的学习目的，逐步探索提高初中数学教与学的有效程度的途径与方法。

四、研究的重点

1、研究学生：着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。

2、研究教法：给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。

3、研究教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。

五、研究的难点

1、通过变式教学，对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，帮助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。

2、通过变式教学，解决如何优化学生思维素质的问题，以及如何使学生贯通教学思想的问题。

3、通过变式教学，有效地帮助学生理解学习对象的本质属性以及建立学习对象与已有知识的内在合理联系。锻炼学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效性，也就是提高学生自我学习、自我发现、自我反思、自我发展、自我完善的能力，从而全面减轻学生过重的课业负担，真正达到“轻负高质”。

六、国内国外同类课题的研究现状

关于变式教学，国内外专家学者都进行了大量的研究，发表了许多相关文章，不同的学者从不同的角度提出了各自的看法，其中比较有代表性的可以分为以下几个方面：

（一）一些专著关于变式教学的研究

1、由青浦县数学教改实验小组主编的《学会教学》一书中，顾泠沅教授对变式教学有了探讨和研究，他当时提出的“概念变式”、“空间变式”、“背景变式”、“变异维度”等有关变式教学的一系列理论和方法，很好的联系实际教学，为实际教学提供了变式教学的模式和理论依据，能够很好的应用到实际教学中。曹才翰先生总结青浦经验时曾说：变式教学摆脱了“教师示范例题、学生模仿例题”的模式，给开发教学提供了条件。

2、刘长春、张文娣在《中学数学变式教学与能力培养》一书中系统地介绍了数学变式教学的教学原则、基本内容和理论指导，详细地论述了数学变式的方法以及数学变式的途径，并分别给出了概念课、定理课、习题课、复习课以及评价课的教学模式。

3、很多初中数学教师，对变式教学也有过很多的探讨和研究。

（二）一些期刊关于变式教学的研究

钟海平在“中学教学参考”中发表《搭建变式教学平台，培养学生数学思维》，该文章以实际教学中的案例为载体，采用分类的方法对变式教学的做法及其在学生思维的培养方面进行阐述。

陈迪军在“数学通报”上发表《变式教学诱发一题多解》，该文通过对变式题的探讨，进一步激发了学生的数学思维，锻炼了学生的随机应变能力。通过变式题目的练习启发学生从不同角度思考问题，加强各知识之间的纵横联系，起到举一反三，融会贯通的作用。

聂文喜在“数学通报”中发表《一道课本习题的变式教学》，该文以一道课本习题变式为例进行点评，旨在以此说明教师在教学过程中不能就题论题，教师应引导学生进一步挖掘题目的内在含义，使学生认识到教材的重要性，完善了学生的知识结构和认知结构。

鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾泠沅在《变式教学研究》一文中从变式教学的角度，根据以往关于变式教学的理论，又根据学习对象的两重性，将数学变式分为概念变式和过程变式。

（三）一些学位论文关于变式教学的研究

陶贵斌在《数学变式题教学的实验与探究》一文中提到，中国的数学教育理论工作者和一线教师对“变式题教学”的理论研究较少，甚至还存在一些模糊和错误的理论认识。他在此文中从理论和实践的角度系统的对“变式题教学”进行剖析和反思，在已有研究的基础上，对“变式”的内涵特征、“变式题及变式题教学”的内涵及特征作了充分的补充，给出“变式题教学”的案例，概括了“变式题”的构造方法及教学功能，又从实践的层面提出了“变式题教学”应遵循的原则。

聂必凯在《数学变式教学的探索性研究》中系统的研究了已有变式教学的论述之后，又主要从基本图形的变式、导入情景的变式、教学事例的变式、教学活动的变式、外部表征的变式五个方面研究了过程性变式教学的实施形式与意义。

众所周知，西方学者比较重视理论与实践相结合，对变式教学的研究也不例外，他们提出许多理论，其中比较典型的有“马登理论”与“脚手架”理论。

七、本课题研究的理论意义和实践意义

众所周知，针对农村初中学生，数学的学习存在很多的不足，学习质量与城区学生存在差距，在农村初中，大多重视分数，放松了学生思维能力的培养，所以在数学的实际应用方面落后于发达地区的学生，为加强农村初中学生的思维能力，提升学生对数学的实际应用能力，先、现选取变式练习为课题入手进行研究，希望找到好的学习方法。长期以来，在“应试教育”的压迫，“掐头去尾抓中断”的“题海战术”严重困扰着我国的中学教学，导致好多学生讨厌数学，是限制学生在教学活动中的积极性、主动性和创造性的主要根源。综上所述在中学数学教学中变换习题形式有以下意义：

1、“一题多变”有利于培养学生的发散思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，通过对例题的灵活变化，引导学生灵活多变，触类旁通，寻求解决问题的办法，能很好的提起学生学习的积极性，从而能很好的变化出新颖的问题。让学生在变化中感受学习数学的乐趣。

2、“一题多解”有利于培养学生自主学习的能力和创新思维能力。自主学习能力并不是先天就有的，也不是每个人一开始就能做得特别好的，这种学习能力的培养和实现还需要在我们的实际课堂教学中慢慢的改进。所以在习题中能很好变化解法，从而活跃学生的思维能力，使学生能够更好的创新。

3、“一法多用”有利于减轻学生过重的学业负担，激发学生的数学学习兴趣。现阶段的数学教学仍然是在学习新知识的基础上，教师举例讲解，学生模仿练习，然后学生课后独立完成作业的传统教学方法。这样往往为了提高学生的数学成绩，师生容易走人“题海战术”的误区，从而增加了学生的学习负担。

综上所述，对该课题进行深入研究有较好的理论、实际意义的。

八、课题研究的有利条件

1、此课题的研究得到了学校的大力支持和帮助。

2、本课题组成员都达到了本科学历，并且许多成员从教多年，具有丰富的经验，课题组成员年龄结构合理，平均年龄较年轻，有充沛的精力完成课题研究。

3、我校这么多年宝贵的成功经验和良好的校风为该课题的研究提供了切实可行办法。

4、课题参与成员分布教育教学的各个层次并且有5位班主任，为课题的研究提供了稳定和不同层次的实验对象，有利于实验工作的开展和课题的顺利完成。

九、课题研究中可能遇到的问题及解决措施

1、我校教师编制紧张，研究时间受限，任务重。本课题组成员会进一步做好协调工作绝不影响课题研究的进度。

2、由于我校图书室藏书有限，资料搜集不全面及时，届时我们课题组会充分利用各种网络资源，各种渠道解决这一问题。

十、课题研究人的研究水平、组织能力和课题组成员的总体研究水平课题负责人陈松艳：本科学历，中学一级教师，有扎实的数学基本功，多年来教学成绩显著；有多篇论文在省、州、县级评审中获奖或发表，具有较强的组织能力和研究能力，能组织和承担此课题的研究。

沈文龙，专科学历，中学高级教师；朱仟任、刘海飞、李婷婷、何自钿、阿新明、卢志伟，本科学历，中学一级教师；王怡景、宋宣飞，本科学历，中学二级教师；课题组成员中基本上都是校级数学骨干教师，有丰富的教学经验，多年来教学成绩显著，有多篇论文在省、州、县评审中获奖或发表，有较强的研究能力。

十一、课题研究的方法及步骤

1、研究方法：调查法、比较分析法、文献资料法、行动研究法、经验总结法等，主要采用行动研究法。

2、研究步骤：（1）准备阶段

2015年3月 ——2015年4月。学习有关文献，设计制定课题研究方案，撰写开题论证报告。

（2）实施阶段

2015年5月 ——2015年6月，集数学学科组的力量研讨当前数学课堂教学效率不高的原因，探讨“变式训练教学法”在数学学科中将如何开展和运用，才能真正变数学课堂为高效课堂；调查学生学习数学的兴趣、以及课堂学习效率。2015年7月 ——2015年10月，具体分块实施课题方案，撰写实验性报告和阶段总结报告，摄制课堂实录，收集相关资料。

2015年11月——2015年12月，分析课题实施情况，完善课题实施方案。2016年1月——2016年3月，继续分块实施课题方案，撰写实验性报告和阶段性报告，摄制课堂实录，收集相关资料。

（3）总结阶段

2016年3月——2016年6月，进行资料整理和数据处理，汇编教学论文，制作课堂实录光盘，收集课件，撰写本课题结题报告，课题结题。

十二、课题组成员分工

1、课题组由组长陈松艳负责，主要统筹课题研究与实施工作，包括组织策划、制定课题实施计划和实施过程，开题论证报告，阶段性课题研究报告，结题报告等。

2、着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。由王怡景、宋宣飞、李婷婷负责。

3、给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。由陈松艳、刘海飞、沈文龙、朱仟任负责。

4、不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。由沈文龙、陈松艳、刘海飞、李婷婷等负责。

5、何自钿、卢志伟、阿新明负责收集、整理相关资料，包括公开课、课堂教学实录、课件制作等。

初一数学思想暑假专题训练11 篇5

整体代入思想

221、已知代数式3x－4x+6的值为9，则x4x6的值为()3 A．18 B．12 C．9 D．7

2、先化简，再求值

3、计算：a1a4a2

2，其中a满足a－2a－1=0． 22a2aa4a4a2

11111111…1…

2008234200723411111111…+ 234200823412007

4、(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买 4支圆珠笔、4本日记本需__________元．

2x1x

15、(08苏州)解方程：60．

x2x

6、如图⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0．5 cm，则图中的阴影部分的面积是()2

A．12cm B．2222cm C．cm D．cm 846

7、计算：

11111111111111。

200523200423200523200423

8、甲、乙、丙三种商品，若购甲种4件、乙种7件、丙种1件共需36元，若购甲 种5件、乙种8件、丙种2件共需45元，若购甲、乙、丙商品各一件，共需多少元？

数形结合思想专题

1、实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|a的结果是（）

A、2a+b B、2a C、a D、b

2、从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯

形（如图），然后拼成一个平行四边形，那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式_________。

3、如图，已知平面直角坐标系内三点A（0，3）、B（2，4）、C（3，0），求四边形ABCO的面积。已知a＜0，b＞0，且ab＜0，则a、b、a、-b的大小关系是___________。5 3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其它所有的队各赛一场），总的比赛场数是多少？4个球队呢？5个球队呢？写出m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式。（利用数列知识也可以解答）

O1OnAÈ三个队Ó四个队图5五个队O2图6O3

6、如图所示，把一个大长方形分割成4个小长方形，你能用三种方法表示这个长方形的面积吗？

7、利用数轴解答：有一座3层楼房着火,消防员搭梯子爬往3楼去抢救物品,当他爬到正中1级时,2楼窗口喷出火来,他就往下退了3级,等到火过去了,他又爬上了7级,这时候屋顶有两块砖掉下来,他又后退了2级,幸好没有打着他,他又爬上8级,这时候他距离梯子最高层还有1级,问这个梯子共有多少级?

8、.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米.问：（1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇?（2）两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？

分类讨论思想

1、计算：x13x。

2、已知：x3,y7，求xy的值=___________。

3、已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为-----------。

4、已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.5、下列说法正确的是（）

A、两条线段相交有且只有一个交点。B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。C、两条射线不平行就相交。D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

6、已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点，求AM的长。

7、在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。

8、已知AOB60o,过O作一条射线OC，射线OE平分AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。

2ADBD·DC，则∠BCA的度数为

9、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且_____________。

10、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

11、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

12、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）

A.30° B.75°

C.105°

D.30°或75°

13、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

14、、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

15、已知x，y为直角三角形两边的长，满足_____________。

x24y25y60，则第三边的长为

转化思想专题

1、如图，A、B两点被一座小山隔开，现在需测量A、B之间的距离，有皮尺，木桩若干，请你用学过的知识设计一种测量方案。如图1，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A 180 B 150 C 135 D 120

AEDCBEO图1D12CABC1EDA2



3、一个零件的形状如图3所示，按规定∠BAC=90，∠B=21，∠C=20，检验工人量得∠BDC=130，就断定这个零件不合格，运用所学知识说明零件不合格的理由。

4、如图，AB//CD，∠1=∠B，∠2=∠D，试说明BE⊥DE

图2图3B

5、已知， 1aa3abb14,则_________。

2a2b7abbx(x1)(3x5y)144

6、解方程组2

x4x5y24

m1np1mnpm1np135357，23511

7、若m、n、p同时满足下面二式：2，求2的取值范围。

数学思想变式训练 篇6

题组训练・变式复习・动态求解-立体图形的表面积复习课教学片断及反思

教学片段 在“立体图形的表面积”复习课上,笔者依次出示了一组习题:习题1:一个长方体的.底面是面积为100平方厘米的正方形,它的侧面展开图正好是一个正方形,这个正方体的表面积是多少平方厘米?

作 者：李步良  作者单位：江苏省翔宇集团宝应县实验小学陈士才数学工作室 刊 名：贵州教育 英文刊名：GUIZHOU EDUCATION 年，卷(期)： “”(22) 分类号：G63 关键词： 

数学思想变式训练 篇7

一、变式训练的概念及要点

变式, 顾名思义, 是指相对于某种范式 (数学教材中具体的知识要点、典型例题、思维模式) 的变形形式, 通过不断地变更问题的情境或是改变思维的角度, 在保持事物的本质特征不变的情况下, 使事物外在的、非本质的属性不断地迁移、变化.在初中数学教学中, 教师以某一题为原型, 进行有目的的相关的改变, 属于同一个类型的题目的变式之间有共同点, 也有不同点.结合理论与实践, 变式训练可以被定义为:通过将某一原型中的某些因素, 例如条件、结论、形式、图形、内容等, 进行适当的变化, 让学生们进行练习, 也就是通过一个原型的变式的训练, 锻炼学生们解决一类问题的变化的技能.

变式训练主要是针对学生的技能和思维的训练.教师在进行课程相关的变式设计的时候要注意几点.一是, 所设计的变式的内容不能超出当前的教学范围, 必须符合学生们实际所具备的认知水平、数学知识和技能, 太高会带给学生们一种无助感, 太低会让学生们产生轻视心理, 无论是哪种, 都不利于学生学习动机的激发, 不利于教学的顺利进行, 不利于实现教学目标.二是, 在数学问题的变式设计过程中, 要注意变式之间的差异性.虽然变式强调“变”, 但不是简简单单地变, 而要让学生们觉得是有意义的行为, 不是简单的重复劳动, 所以在设计问题变式的时候, 要注意张弛有度.三是, 在设计数学问题变式的过程中, 不仅要注意变式内容的难易程度和内涵性, 还要注意设计的变式问题的典型性, 注意知识之间的联系, 使其具有一定的延伸性, 给学生们留下充足的思维空间去开动脑筋, 充分调动学生们的学习积极性.

二、变式类型

在初中数学教学的过程中, 变式训练的应用日趋频繁.我结合现有文献及个人实际教学总结, 数学问题变式大致可以分为两大类:一类是就数学问题的条件、结论等进行变式;另一类是对数学问题进行延伸、拓展, 与其他数学知识相联系.

在第一类变式中, 我们通常可以见到条件变式和结论变式.条件变式, 顾名思义, 就是改变数学问题原型中的某一或某些条件, 形成变式.例如:

题目已知椭圆内有一点P (1, 1) , F为椭圆43的右焦点, 在椭圆上有一点M, 使|MP|+2|MF|取得最小值, 求点M的坐标.

改变条件可得到如下变式:

变式1已知抛物线y2=4x, 点P (2, 1) , 求抛物线上一点M, 使|MP|+|MF|取得最小值, 求点M的坐标.

变式2已知双曲线, 点P (2, 1) , F为双曲线3的右焦点, 曲线右支上有一点M, 使取得最小值, 求点M的坐标.

在进行条件变式训练的过程中, 可以让学生们分清相似的概念或是了解题型情景之间的区别与联系, 减少在应用时因为混淆而发生错误的概率, 有效地提高学生们的数学成绩.

结论变式中通常是将结论作为题目中条件, 进行练习.例如:

题目把函数y=3x的图像按a平移得到的函数解析式为y=3x-2-2, 求a.

变式1把函数y=f (x) 的图像按a= (2, -2) 平移得到的函数解析式为y=3x-2-2, 求函数y=f (x) 的解析式.

变式2把函数y=3x的图像按a= (2, -2) 平移得到的函数解析式为y=f (x) , 求函数y=f (x) 的解析式.

在这反反复复之间, 不仅锻炼了学生的解题技能, 也锻炼了学生的思维.

在第二大类中, 变式可以分为延伸变式和类比变式.波利亚曾说过:“解题不单单是为了找到答案”, “把习题看做是精密研究的对象, 而把解答习题看做是设计和发明的目标.”所以, 要想让学生们的认知和能力的内化更上一层楼, 教师可以引导学生了解问题, 激发学生来体验参与、设计、变化的过程, 拓宽学生们的解题思路.例如:

题目 过点A (0, 4) 可作几条直线与双曲线有且只有一个公共点?

变式1找一点A, 使过点A可作3条直线与双曲线有且只有一个公共点.

变式2能否找到一点A, 使过点A可作1条直线与双曲线有且只有一个公共点?

至于类比变式, 可如下例一样:

题目已知数列{an}是等差数列, Sn是前n项的和, 求证:S6, S12-S6, S18-S12成等差数列.

变式已知数列{an}是等比数列, Sn是前n项的和, 求证:S6, S12-S6, S18-S12成等比数列.

通过类比变式的训练, 让学生的解题技能更灵活, 提高学生们的应变能力.

三、结束语

变式训练在数学教学中的应用 篇8

变式训练的方式是一题多解、一题多变、多题一解、多图一题等；变式训练的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动，发展能力。

一般解几何题分四个阶段，即弄清问题、考虑使用方法、观察条件是否具备、思考需求结论。如何将变式训练体现在数学教学中？举例如下。

例：如图1所示，点C在线段AB上，△ACD，△BCE均为正三角形，求证：AE=BD。

一、分析

1.弄清问题：本题是线段相等，属三角形全等问题。

2.常用方法：三角形全等，利用等边三角形性质加以证明。

3.具备条件：△DCB≌△ACE，缺一组角相等。

4.所缺条件是角相等问题，显然∠ACD=∠ECB=60°，而∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE

证明：∵△ACD，△BCE均为正三角形，

∴DC=CA，CB=CE，∠ACD=∠ECB=60°

∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，

即∠DCB=∠ACE。

在△DCB和△ACE中，

DC=CA，

∠DCB=∠ACE，

CB=CE，

∴△DCB≌△ACE（SAS），

∴AE=DB。

二、從变式训练角度分析此题

变式一：如图2所示，若点C不在AB上，△ACD，△BCE均为正三角形，求证：AE=BD。

变式二：如图3所示，C点是线段AB上的一点，△ACD，△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求证：（1）CM=CN；（2）MN∥AB。

变式三：如图4所示，若C点在AB上，△ACD，△BCE均为正三角形，AE与BD交于点F，试求∠DFE的度数，并证明BF-CF=EF。

变式四：如图5所示，以RT△ABC的两直角边AC，BC为边向外作等边△ACE和等边△BCF，BE和AF相交于点D，求证：EC，FC是△DEF的内角平分线。

变式五：如图6所示，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。

本例，从一题、一图变化而来。近年来中考试题广度、深度、应用、创新实践能力考查度有所增加，以上几题均属于同深度习题。

因此，在解题过程中，我们往往不是只对问题进行直接的解决，而是把其转化为某个熟悉的、特殊的问题来解决。这种解决问题的思想方法就是转化思想方法。转化思想方法是数学中最基本、最重要的思想方法之一，变式训练进行“一题多变”的探究，通过“转化”实现“多题一解”，以培养学生思维的灵活性和深刻性。

“变式训练”这种方法是培养学生良好思维品质的良好素材，尤其是培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性、敏捷性有极其重要的意义，同时也是学困生转化的好方法，特别是由于思维品质的差异而造成所导致的学困生的转化，对于“减负”也有重要意义。

数学思想变式训练 篇9

——“问题—亲历—变式—梳理”数学课堂教学模式实践

Johann Friedrich Herbart and John Dewey equilibrium ——Problems expericnced variable practice carding mathematics Classroom

teaching

mode

陈六一：江苏省苏州市阳山实验小学校，苏州市高新区阳山花苑一区95号，邮编：215151，电邮：2403802455@qq.com，电话：***。

【摘要】

通过“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，探索“有趣、有疑、有创”的小学数学教学。有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；有疑，即教师问得巧，学生问得妙；有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。当然以一定理论支撑下的教学模式，可以兑现前述的“三有”好课观；更为重要的是，丰富的课堂教学实践，又反过来映衬了教学模式的可行性：在模式的实践中平衡直接经验与间接经验，平衡过程与结果。课堂环节的递进围绕着“三线”开展：以思维为主线，以有趣为导线，以思想为隐线。【关键词】

问题

变式

亲身经历

数学现实

实现数学

【引言】

如同一千个读者就有一千个哈姆雷特，何谓一节好的数学课？想必一千个数学老师也有一千种解读。例如李炳亭老师认为好课要看状态、看参与、看流程、看效果、看师德；而叶澜教授心中则有这样的好课标准：有意义、有效率、生成性、常态性、有待完善。因为课堂教学毕竟至少是科学的，所以研究过往的数学课堂教学经验，总能找寻到一些规律，得到一些启示。于是在《一堂好的数学课是个什么样子》①一文中，笔者以为好的小学数学课堂教学，可以从“三有”着力——有趣、有疑、有创。所谓有趣，即教师教得趣味盎然，学生学得妙趣横生；所谓有疑，即教师问得巧，学生问得妙；所谓有创，也就是教师情理之中的设计，孕育学生思维意料之外的精彩。这是我十七年一线小学数学教学实践的思悟，有着个体经验的特殊性，但依然可追溯其理论源头。

“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。”②

“兴趣既是学习的原因，也是学习的结果。也就是说，兴趣导致学习，而学习产生更大的兴趣。”③

从教学行为上看，教师要完成如下任务：（1）激发学生的数学学习兴趣和动机；

（2）通过问题情境等多种形式向学生提出学习任务；

（3）引导学生针对学习任务开展数学活动（包括尝试探究、变式训练等）；（4）对学生的学习活动进行反馈和调节；

（5）对学生的学习结果做出诊断和评估，必要时给予补救教学。④

【正文】

以理论武装的经验貌似具有了形而上的底气，进而，笔者提出“问题—亲历—变式—梳理”的小学数学课堂教学模式，以行动兑现理念。

一、问题——发端教与学

《九章算术》中的246个问题，是我们教师创设数学问题很好的摹本，可惜我们没有继承发扬，以至于提出好的问题成了我们一线数学教师的奢侈品。那何为问题？指的就是需要学生研究并加以解决的数学矛盾，或者疑难的数学题目。以问题为出发点是小学数学课堂教学首要的一个策略。主要基于两个理由：第一，任何数学知识都有其产生的背景，它往往建立在解决问题需要的基础上，而且是自然诞生的，是水到渠成的结晶；第二，由难度适当的问题或者在学生数学现实的区域内，亦或真切的生活情境需要新知，而引起的认知冲突，可以激发学生的 求知欲和思维的积极性，提高小学生学习数学的兴趣。例1-1：苏教版六年级上册《方程》例题1教材呈现如下：

我觉得直接引用教材问题，学生“看个究竟的动机”不高，其

一、西安距离我的教学地苏州太远，学生不熟悉；其

二、问题不好玩，学生会觉得问题解决不过是做题而已。于是，我进行了改编——

师：想知道老师的身高嘛？ 生：当然想。

师：我不想直接告诉你，咋办？

生：老师，你和佳佳同学差不多高，大概165厘米吧？

师：拉关系，好办法。告诉大家，虽然老师很矮，但还是愿意和姚明拉上关系。

生：哈哈大笑。

师：大家都知道姚明有多高？ 生：227厘米。

师板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍„„ 生：不可能，老师矮得没那么夸张。

师接着板书：姚明身高227厘米，是数学陈老师身高的3倍少271厘米，老师身高多少厘米？

课堂效果正如我所料，一个个兴致高昂。课堂中问题固然可以由老师设计提出，但更要研究学生提出的问题，一如《学记》要求教师“善问”和“善待问”：“善问者如攻坚木，先其易者，后节其目，及其久也相说以解。不善问者反此。善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。不善答问者反此。”但当前实际的小学教学频频出现曹才翰、章建跃教授的担 3 忧：课堂中老师“缺乏问题意识，解答结构良好的问题多，引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不力。”⑤

例1-2：一个学生向我提出：“老师，其实三角形、长方形、正方形、平行四边形都可以看做梯形。”和学生分享交流后，我觉得这个问题很有意思，待到课堂我请这位同学在班级里提出，学生们也颇感好奇。于是一段新奇的探索开始了——

S三角形=（a+b）h÷2=（0+a）h÷2=ah÷2

S长方形=（a+b）h÷2=（a+ a）b÷2=a b

S正方形=（a+b）h÷2=（a+ a）a÷2=a2 S平行四边形=（a+b）h÷2=（a+ a）h÷2=a h

二、亲历——经验过程中厚积薄发

课堂中学生须得亲身经历思维活动的认知操作过程，包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比、猜想等等；课堂中学生还应该亲身经历或成功或失败或懊恼或兴奋的精神体验。

例2-1：在《三角形的内角和》的课堂，学生通过计算一副三角尺两个不同的直角三角形内角和是180度，提出猜想：“任意三角形的内角和都是180度。”接着学生们各自根据自己的认知、经验实际操作验证。

生1：画出各种形状的三角形若干个，分别测量各个角的度数，然后计算。

生2：画出各种形状的三角形若干个，依次剪下每个三角形的三个角，看是否平成一个平角。

生3：

（1）

（2）

（3）

„„

需要提醒的是，任何有效的学习，都是一个主动建构的过程，但是这种主动是在主体拥有学习动机的前提下进行的；可是学习并不完全是为了适应学生目前的环境，不乏学生意识不到学习对于自己成长的作用，因此不愿意为学习付出应有的努力。还有很多数学知识与生活实际之间具有间接性，加之抽象严密的逻辑 4 让很多学生心生恐惧，因此数学的学习相对于其他学科的学习更加被动。然而，有效学习数学是建立在学生心理活动的基础之上，所以当学生的非智力因素（动机、兴趣、情感、意志、性格等等）真切参与到认知活动中来，智力才会发生作用。

三、变式——超越直接经验

变式：中国数学教学的传统，也是中国“双基教学”的精华。通过变更学生认识数学知识的视角，显现数学知识的隐蔽要素，显现数学知识的本质特征。儿童的成长不完全建立在“直接经验”之上，就像不能让儿童亲自吸毒的办法来认识“罂粟”的危害一样。那么由教师设计练习，学生接受变式训练达到熟能生巧，也是一种意义学习，发现学习，而并不是传统的就是机械的，糟糕的。

顾冷沅先生在总结上海青浦经验时，使用了“概念变式”和“过程变式”的两种分类。⑥

1、当概念被认为是静止对象时，概念性变式是卓有成效的方法。

例3-1：《乘法分配律》练习中出示“23×62+23×38，23×23+23×77，23×101—23，23×102，23×23+23×78—23，（34×67+34×58）×8，8100÷90+8100÷10，（400+40+4）×25”。

这些变式是抽象的数字与符号，但相对于乘法分配律的意义来说则是具体的。

2、如果知识是通过一系列过程的发展而形成的，那么帮助学生体验知识的“生长经历”就成了引入新知的必由之路。

例3-2：《乘法分配律》的学习中，我设计了如下过程式变式，帮助学生逐步建立乘法分配律的概念。（1）情境感知

出示算式23×（62+38），请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，一条裤子38元，阿姨买了这样的衣服23套，一共用去多少元？接着出示算式23×62+23×38，还请同学们用买衣服的情境编题，学生：一件上衣62元，阿姨买了23件，一条裤子38元，阿姨也买了23件。那么阿姨一共用去多少元？

学生观察，得出两个题目表达的内容完全一样，可以只用一个情境，并且两个算式的而结果也肯定一样。老师请同学们自己选择不同的数据，继续编题，并写出算式：18×39+18×38=18×（39+38），20×60+20×40=20×（60+40）„„

5（2）抽象感知

师：这样的等式写得完吗？不需要情境你能再写出几个类似的等式吗？ 生：18×139+18×138=18×（139+138），25×18+25×82=25×（18+82）„„ 师：很棒！这些等式百分之百的正确，请教你是用什么方法写出这些等式的？ 生：这里有规律的，两个乘法算式相加，如果有相同的因数，可以这个因数乘其他两个因数的和。（3）用符号概括

师：这样的算式永远写不完，那可以用一个什么办法把这些算式都包含进去？

生：▲×□+▲×◇=▲×（□+◇）

生：a×b+a×c=a×（b+c）（4）灵活运用

师：名名同学计算12×（13+4）=12×13+4，错在哪里？与正确答案相差多少？

变式，也切合建构主义者提出的“随机通达教学”：对同一内容的学习要在不同时间多次进行，每次的情境都是改组的，分别针对知识的不同侧面。这样，在每一次的教学中，学生都能获得知识的新理解，从而使学生对概念形成多角度的理解，并与具体情境联系起来，形成背景行经验。

四、梳理——以“数学现实”发展到“实现数学”

例4-1：《平行四边形的面积》变式教学之后，老师提出：今天有哪些收获？老师不满足于学生“学习了平行四边形的面积公式S=ah。”接着启发学生总结出“要想求出平行四边形的面积，需想办法找到对应的底和高的长度；同理，求底，则需要面积与高的数据，求高，则需要面积与底的数据。”还启发学生得到“推倒平行四边形的面积公式是把平行四边形转化为长方形，那么我们没有学的三角形面积公式、梯形面积公式，也可以转化为学过的图形面积公式。”甚至有学生说出“通过今天的学习，我明白了不懂的知识可以经过转化，变成自己掌握的知识。”

梳理环节的设计，受益于波利亚“怎样解题表”的启迪，在“怎样解题表”中，波利亚的第四阶段是“回顾，检查已经得到的答案”。这是一个非常有远见的做法，不但帮助接替者验证了答案的准确度，更使得解题思路清晰可现，解题方法与学习者“数学现实”予以同化或者顺应。那课堂教学中，通过回顾梳理所学 6 的知识、技能、方法、经验、思想，可帮助学行内化认知，正迁移思想方法，使得学生脑海里的知识趋向结构化，由“学会” 达到“会学”。

例4-2：刘德武老师在《一卷卫生纸有多长》一课上，让学生通过估计、实验、计算的方法，算出了卫生纸的长度，最后为了验证结果，学生用直接测量的方法，测出了卫生纸的长度。随后，刘老师提出了一个问题：“我们花了大半节课的时间去计算一卷卫生纸的长度，但用测量的方法只花了两分钟的时间，而且测量结果比计算结果更准确，我们折腾那么长时间干嘛呀？”

学生的回答可是精彩。

生1：如果是很大的一卷纸，要直接测量是很费事的。生2：如果不打开卷，测量是不可能的。

生3：在数学课上我们学到了方法，在生活中多有用啊！

生4：这种学习，可以锻炼自己的思维，比直接测量有用，可以使我们更加聪明。

生5：这种研究不是简单地练习，不是做题后再做题，而是在研究中得到发展，我喜欢这样的数学课。

梳理亲历探索这卷卫生纸的长度的过程、方法，对卫生纸到底有多长的结果并不重要，重要的是学生在回顾中，体悟了探究的意义，体验了数学的应用价值，思维含量，以“数学现实”发展到了“实现数学”。

【结语】

教学中，可依次按照“问题—亲历—变式—梳理”的顺序推进教学过程，但是这四个环节也并非一定是必然的前后起承关系。例如学生在“亲历”、“变式”、环节教学中，学生自然可以相机提出问题，学生的良好问题改变了教师的预设，教师机智的处理生成，进一步促进教学相长。例如学生亲历思维活动之后，老师可以帮助“后进生”回顾操作方法、推理思路等，顺利过渡到变式练习„„

其实，追溯当代教学理论的哲学源头，基本上都是从赫尔巴特和杜威的教学思想演变发展而来。⑦赫尔巴特知识观的核心是重视间接经验的学习，他认为主体与客观二元分立，客体独立于认知主体，知识的客观性对主体具有制约作用。因此赫尔巴特主张教学可靠性知识的理解与接受，学生要学习具有系统性的课本知识，教师的任务是揭示确定性知识的内在联系。赫尔巴特的教学思想非常适宜 我们中华“自上而下”的文化土壤。杜威强调直接经验的学习，“儿童中心论”是其教育思想的要义，他建构起主体与客体、经验与自然、物质与精神相互依赖、双向维系的整体性“生命存在论”，主张学生在“做”与“思维”的过程中学习。

进行“问题—亲历—变式—梳理”模式的课堂实践，如以上案例教学，尝试平衡“赫尔巴特对直接经验的偏见性与杜威教育就是经验的改组、知识是不确定的” 这两种教育理念。因为这不是非此即彼之争，反而应该在吸取对方长处，优势互补中求发展；因为这种发展可以平衡直接经验与间接经验，可以平衡过程与结果。

【参考文献】

①：陈六一，《考试》综合版【J】2013年第5期，北京，41。

②：教育部，《义务教育数学课程标准》（2011年版）【M】，2012，北京，2。③：斯滕伯格、威廉姆斯，2012，北京，《斯滕伯格教育心理学》【M】，304。④：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，18-19。⑤：曹才翰、章建跃，2007，北京，《数学教育心理学》【M】，282。⑥：张奠宙：2009，上海，《中国数学双基教学》【M】，72。

⑦：孔企平、张维忠、黄荣金，2003，北京，《数学新课程与数学学习》【M】，228。

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