解析几何教学研究

解析几何教学研究

解析几何教学研究 篇1

学习解析几何知识，“解析法”思想始终贯穿在全章的每个知识点，同时“转化、讨论”思想也相映其中，无形中增添了数学的魅力以及优化了知识结构，解析几何初步教学反思。在学习直线与方程时，重点是学习直线方程的五种形式，以直线作为研究对象，通过引进坐标系，借助“数形结合”思想，从方程的角度来研究直线，包括位置关系及度量关系。大多数学生普遍反映：相对立体几何而言，平面解析几何的学习是轻松的、容易的，但是，也存在“运算量大，解题过程繁琐，结果容易出错”等致命的弱点等，无疑也影响了解题的质量及效率。

在进行直线与方程的教学中，要重视过程教仅要重视公式的应用，教师更要充分展示公式的背景，与学生一道经历公式的形成过程，同时在应用中巩固公式，教学反思《解析几何初步教学反思》。在推导公式的过程中，要让学生充分体验推导中所体现的数学思想、方法，从中学会学习，乐于学习。应该说，自己在教学过程中也是遵循上述思路开展教学的，而且也取得了一定的效果。下面谈一下对直线与方程的教学反思：

（1）教学目标与要求的反思：

基本上达到了预定教学的目标，由于个别学生基础较差，没有达到教学目标与要求，课后要对他们进行个别辅导。

（2）教学过程的反思：

通过问题引入，从简单到复杂，由特殊到一般思维方法，让学生参与到教学中去，学生的积极性很高，但师生互动与沟通缺少一点默契，尤其基础较差的学生，有待以后不断改进。

（3）教学结果的反思：

解析几何教学研究 篇2

关键词：高中,平面解析几何,有效教学

1. 绪论

1.1 高中平面解析几何有效教学内涵及意义

有效教学, 即是指在遵循教学活动的客观规律的前提下, 教师用最少的时间和精力, 实现尽可能高的教学目标, 实现最好的教学效果, 以此满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的活动.

在现代社会, 人们在对低效率教学方法认识的基础上, 提出了一种相对新型的教学观念, 即有效教学. 有效教学并不是一种短期就能实现目标的教育理念和方法, 它是对现代教学实践的总结. 在高中平面解析几何教学实践活动中, 应用有效教学方法, 不仅可以利用最少的时间和精力取得较好效果, 而且还可以提升教学效率. 高中平面解析几何有效教学要实现的目标主要是: 一方面要提高学生的综合素质, 培养学生的创新意识;另外, 有效教学还要求教师在教学活动中, 要充分发挥自身的组织能力, 引导学生学习. 也即是要注重以学生的为主体, 为学生服务, 最后在建立良好师生关系的同时, 也实现最终的教学目标.

1.2 高中平面解析几何有效教学的发展

现代社会, 大多学者都致力于寻找关于高效课堂教学的途径与方法, 并且研究数学有效教学的文献又很多. 但是, 关于高中平面解析几何有效教学的研究内容却很少. 其中, 兰学波, 分析高中平面解析几何有效教学概念和相关要素, 探讨在高中平面解析几何有效教学中运用的策略. 陈亚琴, 以苏教版的高中数学为例, 就“解析几何的生活性、人文性”来进行简要的讨论, 从而对我国高中平面解析几何有效教学提供相关的理论基础. 龙正武, 探析了平面解析几何教学效率的提高方式, 并认为多培养学生的分析和比较算法的能力, 并坚持对学生进行分步骤有针对性的、有效的训练, 那么我们一定能提高解析几何的教学效率.

2. 高中平面解析几何有效教学的障碍

2.1 灌输式教学模式和教育教学评价体系

在现代的教学活动中, 灌输式教学模式仍然存在. 在高中平面解析几何教学活动中, 也存在灌输式教学的方式. 教师往往忽略学生的主体地位, 不注重自身的引导, 在上课前, 大多是教师进行课前预习, 把所要传授内容全部列出. 而在课堂上, 教师只是进行内容的灌输, 完全忽略学生的积极性和主动性, 教学活动效率低. 另外, 学校的教育教学评价体系也不够完善, 很多的教学评价在固定的模式下进行, 不能真正实现教学评价的目的.

2.2 学校的教学理念陈旧及一线教师教学任务紧凑

目前, 很多学校还延续着过去比较陈旧的教学理念. 在高中平面解析几何教学活动中, 教育理念也很陈旧, 很多教师仍然认为, 传统的死板的教学模式才能达到教育目标, 要对学生进行严格的教育, 教师要发挥自身的主导作用, 这样才能实现教育的目标. 另外, 一些教学活动中缺乏有经验的教师, 少数的一线教师教育任务非常的沉重.

2.3 历年高考题得分率低使得高考复习阶段得不到重视

在我国的现代教育中, 高考仍然是比较重要的一部分.在高中平面解析几何教学活动中, 由于历年高考题得分率低, 致使平面解析几何教学在高考复习阶段得不到重视. 长此以往, 高中平面解析几何教学活动就不能很好的进行, 这样不仅会导致学生不能全方面的学习数学知识, 而且还会致使整个教学活动的效率低下.

3. 高中平面解析几何有效教学的策略

3.1 充分的授课

在进行高中平面解析几何教学活动中, 学生和教师都应该做好充分的课前准备. 课前准备是教学活动顺利进行的前提和基础. 首先, 教师要熟悉平面解析几何的相关概念、发展背景, 以及要明确授课的方式, 熟悉所要解析的几何内容, 摒弃传统的灌输式的教学模式, 尽量运用多种数学解题方法.另外, 在教学活动中, 要明确教学目标, 让学生清楚该知识点在整个平面解析几何学习中的作用. 同时, 教师要将大问题分解为多个小问题, 逐步深入, 促使高中平面解析几何的讲授方法更加的科学合理.

3.2 多样化教学

在高中平面解析几何教学活动中, 要摒弃传统的教学理念, 敢于接受新思想, 和新观念, 敢于运用新的教学模式和工具. 平面解析几何是一直是我国中学教学内容中的重要组成部分, 在其教学活动中, 我们可以采用灵活的模式, 可以采用以学生为主导的分组讨论式. 另外, 高中平面解析几何教学实践, 更加重视知识传授, 而平面解析是一种比较抽象的思维方式, 只依靠教师来进行课堂讲解, 会促使学生的想象力较为被动, 而现代的多媒体教学可以让平面解析几何的知识显得更加形象和生动, 这样的教学活动不仅可以启发学生的想象力, 还可以激发学生的兴趣.

3.3 引导学生投入学习过程

在高考的教育背景下, 平面解析几何的教学过程中, 要注重引导学生学习, 避免因为得分率低而忽略对平面解析几何的学习. 高考在每个学生的学习征程中都是比较重要的一部分, 而平面解析几何教学中, 要发挥教师的组织和协调能力, 注重平面解析几何在整个高中数学教课中的分量, 引导学生投入到学习中, 特别是一些互动学习的活动, 从而促使教学效率的提高.

4. 结论

探讨解析几何教学中的教学技巧 篇3

关键词：解析几何；教学技巧；数学学习

解析几何作为数学的一大类别，无论对于普通高等学校还是职业高等学校都是不可或缺的基础课程，但同其他基础课程相比，它又具有相对难度，此课程的教学目标不仅仅在于对学生基础解题能力的培养，更在于对学生整体思维能力的锻炼，良好的教学方式能促进学生在获得解题技巧的同时，提升思维能力，因此数学教师在解析几何教学上的教学技巧显得尤为重要，它关系着学生综合素质的提高。本文就解析几何的几点教学技巧展开讨论，以期为解析几何教学模式的改革提供理论支持。

一、多媒体辅助教学和传统教学有机结合

随着信息时代的不断进步，数学教学向着信息化的方向发展，和传统的板书教学相比，其具有很大的优越性，主要体现在学生数学兴趣的激发、课堂吸引力的增强和教学效率的提高上，同时它还兼具环保性、健康性强。在日常教学中，教师在教学的同时，尽量注重知识的补充和对知识面的拓展，着力讲解重点和难点，加强学生的理解，从历年来的教学实践中发现，在对参数方程和二次曲面进行讲解时，学生往往难以进行抽象思维，而同时它们也是教学的重点。因此，在计算机技术的发展基础上，运用计算机的图像制作、显示功能使得能对此章节的内容进行具体的图形配合教学，这样就能加深学生的理解和运用。然而，多媒体教学的有效利用远不止于此，在使得课堂生动、丰富内涵的同时它还具有独特的教学成效，在数学教学中的难点解决上也具有显著功效。

二、注重挖掘课本中蕴涵的数学思想方法

历年来通过对数学教材的研究发现，教材中主要存在明、暗两条思考线路，其中，明线是指，依据传统的数学逻辑进行知识体系的编织和组建，具有显性，是数学学习中的一般外在形式，传统的数学教学是以此進行知识链接讲解的。暗线则是指，课本中蕴涵在数学知识表象下的内在发生、发展的过程，能对数学的逻辑进行核心的解释，是数学体系的灵魂，但由于其具有隐性，且与内在知识链接紧密，往往在实践教学时被老师忽略。因此在解析几何的数学教学过程中，必须不断地发掘知识的内在链接形式，并理解内涵，从而以双主线的方式讲解数学。

几何是构建在空间中的数学科学，因此位置是解析几何的关键概念，位差是指两点之间的位置差，数学上用向量对其进行科学描述，对向量之间的代数化运算是解析几何的基本内容，向量上的位积也反映其空间的上相关特性，所以要注重向量代数工具的应用，对几何进行降维的思考。

三、解析几何中概念教学的应用

针对解析几何的难理解性，解析几何的概念教学也是相当重要的，在对课本进行讲解时，要注重对内涵的深刻理解，在掌握基本概念的基础上，对其的衍生应用也要进行理解，拓展解题思维。因此在教学中应注重各概念的限定条件、应用范围，对其进行综合讲解，结合实际运用，主要可以从以下几方面进行：

1.对某概念讨论相关对象进行细致的讲解，包括背景关系以及与其他章节知识或概念的区别。

2.注意概念应用范围、限定条件及其内涵意义。

3.对概念术语、名称的应用由来进行讲解，并将概念结合日常用语，用以区别其他概念。

4.对概念的一些衍生等价概念进行内涵和应用的讲解。

5.围绕概念的中心，对概念的基本性质进行理解，并理解它在应用中的作用，理解派生出的一些重要的数学思想方法等。

四、解析几何教学中要强化对数学思想方法的探讨

在解析几何教学中，运用数学思想方法是解决问题的关键，有利于提高学生的整体思维能力。数学思想是数学基本理论的内涵上升，是数学知识的关键所在，只有在日常的学习中反复积累才能形成一定的体系，数学课堂上应注重引导学生进行问题思考，积累解题经验，从而促进学生数学思想的形成。

解析几何的教学实践中，以一定形式的数学意识形态进行数学思维能力的培养，并强调思想的指导作用，运用各种教学软、硬件，对学生的解题能力以及思维能力进行培养是解析几何教学的关键。只有在日常教学实践中，不断地积累经验，总结数学思想，发现课本的内在关系，运用多元化的思想寻求解答，才能不断地完善解析几何教学模式，提高教学质量。

参考文献：

［１］钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学［M］.北京:北京师范大学出版社，1999.

［２］巩子坤.论数学思想方法视域下的解析几何课程改革［J］.曲阜师范大学学报，2006，32（1）:125-128.

［３］王敬庚.高观点下的解析几何［J］.数学教育学报，1994，3（1）:79-83.

几何直观教学实例 篇4

几何直观是《新课标》新增加的核心概念之一。它就是凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，帮助学生突破数学理解上的难点。几何直观是数形结合思想地更好体现，通过图形的直观性质来阐明数与数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透。

下面以“点与圆的位置关系”的一个问题为例说明一下：

问题：公路ＭＮ和公路ＰＱ在点Ｐ处交汇，公路ＰＱ上点Ａ处有一所学校，点Ａ到公路MN的距离为80M.现有一拖拉机在公路MN上以18千米/小时的速度沿PQ方向行驶,拖拉机行驶时周围100m以内都受到噪声影响,试问该校受影响的时间为多少秒？

分析：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，并且影响学校的条件是在其周围100m以内

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

鉴于以上两点的分析，我们可以大体知道影响学校的区域应该是以A为圆心100m为半径的一个区域，对于拖拉机在这个过程中可以抽象成一个点，从而可以转化成一个“点与圆的位置关系”的一个题目，由此画出几何图形

从这个例子可以看出，拖拉机被看成一个点，影响学校的区域被认为是一个圆，从而转化成一个“点与圆的位置”关系的题目：拖拉机在B、C两点时，认为是点在圆上；拖拉机在BC之间运动时，认为是点在圆内。把这个复杂的问题通过几何图形展示出来，使得问题简单化，比较容易解决。

这样借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，提高了学生的思维能力和解决问题的能力。当然，在进行几何直观的教学中，离不开合情推理和演绎推理，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。几何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个中学数学学习过程中。

解：由所画的图形可知学校受影响的范围是公路ＭＮ上的BC路段，由题意可知AB=AC=100米

在RtΔABD中，根据勾股定理可得，BD=60（米）

∴BC=2BD=120（米）

∵18千米/小时=300米/分

∴

学校受影响的时间就是拖拉机从C点到D点所需的时间：120÷300=0.4（分）

解析几何教学研究 篇5

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仅供参考

从高考解几题谈求参数取值范围的九个背景

解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。由于不少考生在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，本文通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，期望对考生的备考有所帮助。

背景之一：题目所给的条件

利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。这是求范围问题最显然的一个背景。

x2y2例1：椭圆221ab(acb0,c为半焦距)的焦点为F1、F2，点P(x, y)为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是___。

222|PF1||PF2||F1F2|解：设P(x1, y)，∠F1PF2是钝角cos∠F1PF2 =

2|PF1||PF2|0|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(xc)2y2(xc)2y24c2x2y2b22a2b22a22222222cx2(ax)cxcbx(cb)22caa22a2a2cb2xcb2。cc说明：利用∠F1PF2为钝角，得到一个不等式是解题的关键。把本题特殊化就可以得到2000年全国高考题理科第14题：

x2y21的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标椭圆94的取值范围是__________。

（答案为 x(3535)），55梯形双曲线例2：（2000年全国高考题理科第22题）如图，已知ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段AC所成的比为，过点C、D、E三点，且以A、B为焦点。当

23时，求双曲线离心率e的取值范围。34-1

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因此，点P在以M、N 为焦点，实轴长为2m的双曲线上，故

x2y2=1 22m1m②

m2(1m2)将①式代入②，解得x

15m22由xm且1m0，得15m2022255，又m0 m55∴m(55,0)(0,)55说明：P到x轴、y轴距离之比为2，所以P不能在x轴上，由此得到m0，这一隐含条件容易忽视。

x2y21的 例4：（2004年全国卷Ⅲ理科21题 文科22题）设椭圆

m1两个焦点是F1(－c, 0)与F2(c, 0)(c > 0)，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直。

(1)求实数m的取值范围；

(2)设l相应于焦点F2的准线，直线PF2与l相交于Q，若的方程。

解：(1)依题设有m＋1>1,即m > 0，c =m,设点P的坐标为(x0, y0)，由PF1⊥PF2，得

QF2|PF|23，求直线PF2y0y201x0y20m ① x0cx0c2x0m12122,y0 y01联立，解得x0将①与

mmm1由此得

m21m10m101 m1 mm0故m[1, +)

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(2)答案为y =(32)(x-2)(解答略)背景之三：二次方程有解的条件

直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。

y2例5：（全国高考题）给定双曲线x－= 1，过点B(1，1)能否作直线

2２l，使l与所给双曲线交于P1及P2，且点B是线段P1P2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：画出图像知，当直线斜率不存在时，满足题设条件的l不存在。

y21，得当直线l斜率存在时，设为k，则l方程为y = k(x－1)＋1，联立x22(2k2)x2(2k22k)xk22k30。

x1x22k22k1,即22k2,此时 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则2k2(2k22k)24(2k2)(k22k3)0,不满足2k20且0。

故满足已知条件的直线l不存在。

例6：（2004年湖北省高考题理科20题 文科20题）直线l:ykx1与双曲线C:2x2y21的右支交于不同的两点A、B。

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

22解：(1)将直线ykx1代入双曲线方程，并整理得(k2)x2kx20

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

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k22022(2k)8(k2)02k2 22k0k2202k2(2)答案是存在k66满足题设。5说明：问题(1)涉及到直线与双曲线右支相交的问题，转化为方程有不等 的两正根，由方程根的分布的充要条件建立不等式组即可。

背景之四：已知变量的范围

利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。

1、双参数中知道其中一个参数的范围；

例7：（2004年浙江省高考题理科21题 文科22题）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1, 0)，点P、Q在双曲线的右支上，点M(m, 0)到直线AP的距离为1。

(1)若直线AP的斜率为k，且|k|[(2)当m3,3]，求实数m的取值范围； 321时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程

解：(1)由条件知直线AP的方程为yk(x1),即kxyk0，因为点 M到直线AP的距离为1，所以

|mkk|k121|m1|k21112。|k|k∵|k|[3,3] 3∴232323|m1|21m3或1m1 3332323][1,3] 33故m[1,1(2)答案是x2(221)y21（解答略）

例8：（2004年全国高考卷Ⅱ理科21题）给定抛物线C:y4x，F是C的焦点，过点

用心 爱心 专心

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相交于不同的点A、B。

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA5PB，求a的值。12x222y1解：(1)由C与l相交于两个不同的点，故知方程a有两个不同的实数解，消

xy1去y并整理得：(1a2)x22a2x2a20

21a00a2且a1 由2222(2a)4(1a)(2a)01a2∴双曲线的离心率ea∵0a11 2a2且a1

∴e6且e2 26,2)(2,)2故e((2)略

说明：先求出a的范围，再建立e与a的函数关系式，即可求出e的范围。

例10：直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，直线l经过点(2,0)和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

解：由方程组ykx122xy1，消去y得：(1k2)x22kx20

设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20，AB中点M(x0,y0)，则有：

4k28(1k2)02kxx01k2 1221k2xx01221k用心 爱心 专心

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∵x0x1x2k1k1,ykx1,即M(,)0021k21k21k21k2设直线l的方程为ym(xb),则b2m,而my001，则有x02k22k211172k2k22(k)2，它在(1,2)上单调递减。m4811 ∵22m∴b2m(,22)(2,)

说明：这类问题可先求出一个变量的范围，另一个变量范围就相应可求出来了。背景之五：点在圆锥曲线内域或外域的充要条件

如果我们规定圆锥曲线包含焦点的区域称为圆锥曲线的内域，同时坐标平面被圆锥曲线所划分的另一部分称为圆锥曲线的外域，则点P(x0,y0)，在

22x0y0x2y2椭圆221内（外）域的充要条件是221(1)；点P(x0,y0)在双曲线

abab22x0y0x2y21内（外）域的充要条件是221(1)；点P(x0,y0)在抛物线

aba2b222y22px(p0)的内（外）域的充要条件是y02px0(y02px0)。以这些充要条件为背景的范围问题利用上述不等式可获解。

x2y21，试确定m的取 例11：（1986年全国高考题）已知椭圆C:43值范围，使得对于直线l:y4xm，椭圆C上有不同的两点P，Q关于该直线对称。

解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0)，则：

x12y12

14322x2y21

①

②

①－②得，3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)03(x1x2)=x4(y1y2)1y(y1y2)304()0y03x0

x1x2242用心 爱心 专心

③

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由此易知焦点F到准线y = 1的距离p的范围是1p3。

a2a23caea 又pcae2∴132a3a2 23背景之八：平均值不等式

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质。利用代数基本不等式是求范围的又一方法。

例14：已知直线l过定点A(3, 0)，倾斜角为，试求的范围，使得曲线C:yx2的所有弦都不能被直线l垂直平分。

解：当直线的斜率为0或不存在时，符合题意。

2设直线l的方程为yk(x3)，被它垂直平分的弦的两端点为B(t1,t12)，C(t2,t2)，2t1t2t12t2,)(t1t2),kBCt1t2。则BC中点P(221tt12k当线段BC被l垂直平分时，有2t1t2 2tttt2121k(3)22tt1111(26k1)(12)22k。2k224k∴符合题意的直线斜率k∴[0,11,即tan。222][arctan1,)。2说明：本题的求解利用补集法，即先求弦能被l垂直平分的直线l的斜率，取其补集就是满足题设的斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，就可以求出的范围。

背景之九：目标函数的值域

要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数kf(t)，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。

x2y2例15：P(x,y)是椭圆221(ab0)上任一点，F1、F2是两个焦点，求

ab用心 爱心 专心

0

用心 爱心 专心

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(2)设直线l的方程为ykxb，依题意k0,b0,则T(0,b)，分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则

|ST||ST||OT||OT||b||b| |SP||SQ||PP||QQ||y1||y2|12yx由y22(k2b)yb20 2ykxb∴y1y22(k2b),y1y2b2 方法1：∴

①

|ST||ST|11|b|()2|b||SP||SQ|y1y2112|b|2 2y1y2b∵y1、y2可取一切不相等的正数 ∴|ST||ST|的取值范围是(2,)|SP||SQ|y1y2|ST||ST|2(k2b)方法2：∴ |b||b|2|SP||SQ|y1y2b|ST||ST|2(k2b)2(k2b)2k2当b0时，b22 2|SP||SQ|bbb|ST||ST|2(k2b)2(k2b)当b0时，b|SP||SQ|bb2又由方程①有两个相异实根，得

4(k2b)24b24k2(k22b)0，于是k22b0，即k22b

所以|ST||ST|2(2bb)2 |SP||SQ|b2k2∵当b0时，可取一切正数

k∴|ST||ST|的取值范围是(2,)|SP||SQ||ST||ST|与P、Q两点纵坐标之间的关系，是快速求解第(2)个|SP||SQ|说明：利用图形找到

用心 爱心 专心

知识改变命运

百度提升自我

解析几何教学研究 篇6

1.几何画板在解析几何概念形成过程中的应用体会

传统教学手段中学习几何概念的手段是依靠学生机械地记忆, 再配上模型或挂图加以说明, 因为教学道具、图形等是静态的, 有时教师即使花费大量的时间和精力讲解, 效果依然不佳。而几何画板可以通过动态演示的方式将抽象的概念具体化, 有效促进学生对数学概念本质的理解。

案例1:在圆锥曲线定义上的应用体会。在传统教学过程中给椭圆下定义的时候通常是给出具体模型: 在木板上钉两枚钉子, 钉子两头系上绳子, 再用铅笔拉直绳子作画得出椭圆图像, 画出图像后将图像复制到黑板上, 对其中的钉子、绳子长度等要素抽象化得到椭圆的定义。因为在黑板上给出椭圆的静态图, 所以从客观实物图像到抽象图像的过程很难呈现, 给出椭圆定义后学生只能对定义机械记忆, 难以深入理解。笔者利用几何画板做了如下演示:

点M在椭圆轨迹上运动, 给学生展示了椭圆的抽象过程, 弥补了传统数学教学中实物教学和图形教学的不足, 使学生看到实物图像到几何图形的演变过程, 帮助学生建立起几何图形和客观实物之间的联系, 使学生由实物形状想象出几何图形, 由几何图形想象出实物形状, 提高学生的几何抽象能力。

2.几何画板在解析几何求轨迹方程中的应用体会

在解析几何中求曲线的轨迹方程是个重点内容, 其中有大量的问题是求中点的轨迹方程, 对于这类问题, 传统教学方式是给出规范化的解题步骤, 让学生按照步骤解题, 导致学生对题目中两种曲线轨迹上点与点的关系不能从整体上把握, 终仍然是机械式、记忆式地学习。学习其实并非学生对知识的被动接纳, 而是在自己已有知识经验基础上的主动建构。只有学生主动建构, 不断调整自己的内部知识结构, 才能获得成功, 脱离对问题本质的认识、机械化的学习显然达不到让学生主动建构的要求。要让学生充分理解轨迹问题, 必须让学生体验到轨迹的生成过程, 通过几何画板快速方便地达到这目的。

案例2:在求中点轨迹方程上的应用体会。在解析几何中有个典型的例题:已知圆的方程为x2+y2=4, 求圆上任意一点到x轴上的垂线段的中点轨迹方程。在日常教学过程中笔者发现学生常常混淆圆的轨迹方程与圆上点的坐标及中点坐标之间的联系, 对类似的问题似懂非懂。为此笔者设计几何画板课件如下:

已知圆的方程为x2+y2=4, 求圆上任间一点到x轴上的垂线段的中点轨迹方程。

通过几何画板将点M随着点P移动产生轨迹的过程直观、形象地展示在学生的眼前。学生通过观察清晰地理解坐标间的联系、轨迹间的联系, 以及坐标与轨迹方程的联系, 深刻地认识知识之间的联系。从而使学生对本问题可以从整体上把握, 有利于学生系统地把握和认识数学知识的能力。借助几何画板有效突破教学难点, 显然是传统教学所无法拟比的。

高等院校解析几何教学改革浅谈 篇7

【关键词】解析几何 ； 教学改革 ； 现代教育技术

【基金项目】广西高等学校特色专业及课程一体化建设项目（GXTSZY2220）《数学与应用数学》；河池学院重点学科《应用数学》（2007）和《统计学》（2013）；2011年度院级青年科研立项A类项目（2011A-N009）。

【中图分类号】O182-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）7-0001-02

解析几何是一门较为基础的课程，它是大学很多其他课程的基础，如高等几何、微分几何、数学分析、高等数学等。此外，解析几何的思想方法已渗透到中学的各个部分之中，它对提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及培养学生的创造能力也起着非常重要的作用。本文作者从几年的教学经验中，针对教学过程中发现的问题，谈谈师范院校解析几何这门课程的教学改革。本文针对的教材是吕林根，许子道等编写的《解析几何》教材。

1.重视第一章——向量与坐标的学习，联系中学初等几何的内容，培养学生对本门课程的兴趣

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，把几何的研究从形的定性研究推进到可以计算的定量的层面，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。因此，教材《解析几何》第一章所列内容向量与坐标是全书的工具和基础.第一章的作用在本门课程的另一个重点内容平面与空间直线的教学中体现得尤为突出。在那里，平面方程和空间直线方程的建立，不过是向量互垂、向量共面、向量共线條件的应用。各种各样的距离不过是向量的模的计算，而各种各样的角的计算统统可归为两向量的夹角的计算，因此，在整个解析几何教学过程中，注重第一章的学习，在第一章多花一些时间和功夫，掌握工具，打牢基础，是很有必要的。这一章的特点是基本概念多、灵活技巧少，因此这一章的教学可采用概念符号鉴别法，自始至终紧扣每一个概念和符号的内涵，许多问题便迎刃而解了。另外这一章里前三节是高中已学过的内容，可让学生先自学当做复习旧知，然后老师在强调重点概念，这样学生对要掌握的知识印象更深刻。

在本章向量的学习内容中涉及到利用向量法解决初等问题的内容，在讲授这些内容的时，让学生感受到利用解析几何的内容和方法，可以很简便地处理一些初等问题。而方法上比中学的方法简单很多，能激起学生的学习兴趣，又能掌握好现所学的知识，对后面内容的学习有深远的影响。

1.1利用向量方法可以简便证明初等几何中有关平行、垂直、相交等结论

例如证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分等。

1.2 利用向量法可以证明有关三角形、平行四边形的一些量

比如三角形余弦定理、正弦定理、面积的海伦公式的，而且方法简便。

1.3 利用向量运算可以简便地算一些几何量

比如利用向量积的模可以计算三角形、平行四边形的面积，利用三向量的混合积的绝对值可以计算四面体、平行六面体的体积等。

2.在教学中要注意培养学生的空间想象能力，注重提高学生对空间图形的绘制技能和技巧，为后续课程如微积分的学习打下坚实基础

微积分是理工科学习的一门必修课，而重积分的计算是微积分学的一个重要的内容，计算重积分的一个关键就是要能够根据曲面的方程绘制出一些简单曲面的图形，很多学生在学习这部分内容时都觉得绘制图形很难，这就需要在解析几何第2、3、4章的学习中打好基础。

2.1 强调空间图形方程的一般形式

解析几何就是用代数的方法来研究几何。它的基本的数学思想就是数形结合，通过标架，建立了空间的点、向量、有序数组的一一对应关系。点构成曲线（面），变数构成方程，点与数组既因坐标系的建立而联系起来，曲线（面）与方程自然也可通过坐标系而结合起来。从而，研究曲线与曲面的几何问题就可归结为研究其方程的代数问题了。由几何到代数，再由代数到几何。几何条件的代数表示，代数式子及代数步骤的几何解释，这是贯穿整个解析几何内容始终的数学思想和方法。抓住了这一思想和方法，就是抓住了关键，这样的例子是很多的。建立平面曲线的方程和建立空间曲面方程，基本的方法都是把曲线（曲面）上点所满足的几何条件用代数式子写出来。由几何条件到代数式子的勾通桥梁都是坐标系.所不同的只是空间范围而已。如平面图图形在平面范围（二维）里面讨论是用二元方程F（x，y）=0或一元函数y=f（x）来表达。方程x2+y2=1在平面上表示xoy平面上的单位圆。三元方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）表示空间的曲面，如三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示平面，而方程x2+y2=1在空间表示准线为xoy平面上的单位圆，母线平行于z轴的柱面。空间曲线一般是表现为空间两个曲面的交线，所以用方程组F1（x，y，z）=0F2（x，y，z）=0来表示，如空间直线的一般方程为？仔1：A1x+B1y+C1z+D1=0，？仔2：A2x+B2y+C2z+D2=0.，表现为两个平面的交线。因此拿到一个方程要分析是什么图形一定要注意它是在二维（平面）还是在三维（空间）里讨论，因一个方程在二维平面表示曲线，而在三维空间表示曲面，如方程x2+y2=1。掌握图形方程的一般形式让学生从以前的认识中走出来。另外要特别强调，在三维空间一个方程F（x，y，z）=0或二元函数z=f（x，y）只能表示空间的曲面，不能表示空间曲线，空间曲线必须要用方程组来表示，有不少学生总喜欢把空间直线方程写成Ax+By+Cz+D=0的形式，这是一个明显的错误。endprint

2.2对“消去”、“联立”等每一代数步骤都能作出相应的几何解释

在代数上从两个三元方程消去一个元，这样的几何意义就是求空间曲线L的射影柱面，例如在空间坐标系中，方程组x2+y2+z2=9 （1）z=1 （2）表示一个圆，它为球面（1）和平面（2）的交线，将（2）代入（1）消去z得x2+y2=8（3）表示求出刚才的圆对xoy面的射影柱面，它是一个圆柱面，（2）与（3）联立得x2+y2=8 （1）z=1 （2）即用圆柱面和平面的交线来表示刚才的那个圆。对这样的方法步骤理解透彻，学生就能举一反三，应用自如地去自己讨论问题。如用截面法去讨论单叶双曲面的形状时，学生就会很容易理解。

3.以学生为本，充分发挥学生学习的主动性

启发式是一切好的教学方法的公因子，坚持启发式，废止注入式、填鸭式、满堂灌。学生是学习的主体，一定要调动主体的参与意识， “平面与空间直线”一章在整个解析几何中占了很大的分量和篇幅，在教材中整整列了8节，若由教师顺着教材按步就班，至少要安排16学时。但统览教材，进行合理的教学设计，本章无非是三个内容：1）如何建立平面方程；2）如何建立空间直线方程；3）空间中点、直线、平面的相关位置。在向量工具熟练掌握的基础上，建立平面方程，不过是两向量互垂、三向量共面的具体应用。建立空间直线方程，不过是两向量共线的具体应用。至于空间中点、直线、平面的各种位置关系，在中学立体几何就已学过，只不过在这里要通过坐标、向量、方程来定量地研究它们。经过教师启发，学生自己构建了这样一个知识体系：（1）空间中点、直线、平面的各种位置关系；（2）每一种位置的判别条件；（3）每一种位置下需要研究的问题，在学生自己构建的这个知识体系下，学生可以自己动手进行研究，自己检验知识掌握的情况，教师只作一些指点。这样做，学生与中学知识联系，亲身体验向量的工具作用，主动地参与进来，主动地自己探索，学起来感觉到轻松而充实，初步尝到了自己作为学习主体的甜头。

4.充分使用现代教育技术手段

现代教育技术的快速发展加快了课程改革的进度。解析几何的教学过程中，空间概念、方程的建立以及曲面的研究等都离不开图形，如果将几何图形画在黑板上，不但看起来不清楚而且其准确性也较差，利用幻灯片投影教学、利用录像片和VCD 教学、利用多媒体组合的教学手段教学。作为现代教育技术典型代表多媒体的辅助教学， 不仅有利于提高课堂的教学效率和教学质量，更有利于提高学生的空间想象能力。它可以对重要的几何概念进行图形化和实物化分析讲解，对几何图形运用多媒体技术制作了图文并茂的教学软件和学习系列课件， 使教学内容的文字和图形结合自然、形象、直观。通过动态演示形象地揭示几何概念的内涵， 清晰地展现几何图形的构造和特点， 达到传统式课堂教学难以达到的效果。譬如，在椭球面教学过程中，通过电脑演示，用不同的平面截椭球面获得曲线的形状，重点突出，用“平行截线法”来对曲面的性质进行研究，很好地展现了对象的形成过程，进而揭示了对象的本质，这样一来，就明显提高了课堂教学效果，同时教学的信息量也增加了。又如， 对于空间解析几何中柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面这一章内容， 可根据柱面、锥面、旋转曲面具有较为突出的几何特征的特点， 我们可以利用Maple、Mathematica 以及Flash 等軟件画出它们的图像， 并以动画的形式展现出图像形成的过程。在这种形象、逼真的学习环境下诱导学生开展积极思维， 然后用PowerPoint 依次给出柱面、锥面旋转曲面的曲线方程及其母线、准线等相关概念， 通过系统的讲解使学生得到启发， 深入理解所讲内容。这样既调动学生学习的积极性， 又培养他们分析和解决问题的能力。

5.改革考核办法

考试是教学过程中的重要环节， 是检验学生学习掌握情况、评价教学质量的手段。纯粹的闭卷考核方式重记忆、轻理解， 重知识、轻智力， 重理论、轻实践， 在某种程度上存在着一些弊端。所以， 改革考核方式将具有重要意义。对于解析几何课程的考核可采取“多模块， 取总评”的考核方式， 比如， 可将解析几何的考核分为平时作业、其中测验、上机考试（ 如实验设计能力的考核、计算机数学软件的使用等考核） 、期末理论考试四个模块，每个模块设定相应的比重， 然后取总评成绩。这种考核方式， 除了要让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练， 有利于应用型人才的培养。

参考文献

[1]吕林根，许子道等编. 解析几何.北京：高等教育出版社.

[2]马立.谈《解析几何》课程教学内容与教学方法的改革[J]， 曲靖师范学院学报，2001，20（3），95-99.

[3]李琦.空间解析几何教学改革[J]， 锦州师范学院学报，1998，6，17-99.

[4]陈蕾.高等院校解析几何教学改革的探索[J]， 南昌教育学院学报，2011，26（9），41-43.

[5]普昭年，陈华喜.应用型本科院校《空间解析几何》课程教学改革初探[J]，廊坊师范学院学报，2011，11（2），98-101.

刍议小学数学几何教学 篇8

摘 要：数学是小学教育基础教学内容，关系到学生数学思维的培养，关系到学生抽象能力的提升。几何是小学数学教学中的重要组成部分，?P系到学生对生活中空间的认识和描述。所以，做好几何教学，保证教学质量是提升儿童空间观念的必然选择。本文就小学数学几何教学策略进行了分析研究。

关键词：小学数学；几何；抽象思维

图形和几何作为小学生数学概念的重要内容，在实际的课程中常常会发现教学目标不明确、学生理解能力差等问题。对此，教师必须要积极运用多种教学方式，帮助学生认识到几何教学中图形的特征、大小、位置关系等，引导学生感受图形变化背后的几何知识。

一、从生活实际出发，重视直观教学

对于儿童来说，尤其是低年级的儿童，通过观察和操作建立学习经验是学生几何学习的起点。通过游戏儿童可以积累一定的几何经验，比如通过积木搭建某种图案的时候，他们已经可以区分积木的不同形状，他们选择用球形的积木作为人的脑袋，长方体形状作为人的四肢。同样，儿童在利用积木搭建房屋的时候，他们会注意到一些图案的对称性。

所以在低年级开展几何教学的过程中，教师可以利用学生对直观物体的体验帮助他们区分几何图形。比如通过拼、搭等活动让他们利用直观物体对对象进行分类，用火柴棍构建图形来加深学生对图形特征的认识。

二、注意经验积累

几何图形的性质还是形成具有空间观念的基础，儿童在明确几何图形的性质特征后，从具体的观察对象开展，建立关于图形形状特征的认识。必须要先经过儿童的观察才能认识图形性质，了解图形性质之间的关系。儿童观察可以从多个角度进行，可以直观的观察具体实物，也可以观察几何模型。实物观察可以提高学生对形状的认识，比如对正方体实物的观察可以让学生认识到正方体有6个面，12条同样长的棱等；几何模型的观察，可以帮助学生对图形的性质进行观察，比如通过圆柱体的侧面展开图学生可以直观认识到圆柱体的侧面是一个长方形，并且底面是一个圆形。要让学生学会“虚实”结合的进行观察。学生在观察物体及图形时，由于往往只能从一个角度进行观察，如观察长方体时，有时只能看到一个面，有时能同时看到两个面，最多同时看到三个面，但无论从哪个角度观察都是不能同时看到长方体的六个面，无法观察到完整的一个长方体整体，在解决问题时就需要学生在观察时想象出观察不到的面的情况，甚至有时要想象出不同的角度可以看到什么图形，从而引导学生不仅观察形体的表面现象，更要透过表面现象观察形体的本质，学生在这样边观察边想象的活动中，才能更有效的积累空间经验，发展空间观念，提高空间想象能力。

三、强化动手操作

儿童学习几何知识更多的是直观几何，即经验几何。所以，儿童获得几何知识形成空间意识主要是靠他们动手操作得来的。在这个过程中，通过不断对物体的搭建、分类、组合来提高自己对几何知识的想象力，积累丰富经验。

比如低年级学生几何学习操作可以加深他们对直观特征的认识。老师通过让学生去触摸卡片来区分图片的形状所获得的经验就不如让儿童自己用小木棒去搭建这些图形所获得的经验更好。等学生经验稍微高点后，就可以开始更为抽象的几何学习。比如对长方形计算面积的学习是通过方格形式获得的。通过割补的方法来学习习近平行四边形或者是三角形的计算方法。

四、提倡生活应用

从生活中获得的经验是学生几何思维发展的重要途径，课程教学中教师需要积极利用学生生活经验，提高学生将几何知识和几何能力应用性，解决生活中的几何问题。让学生在几何知识的应用过程中发展空间意识，培养学生抽象思维能力。

五、丰富学生的想象力和交流能力

儿童几何语言的学习是学生在对图形操作实验完成后，通过交流逐渐发展起来的。运用几何语言是提高学生几何概念的重要途径。学生在经过不断尝试后才能实现几何概念的准确传输，才能促进儿童空间思维的发展。所以在教师教学的过程中应多利用图形描述法，让学生描述其所看到的图形的各个部分的名称和结构给另外一个学生听，使得这个同学可以准确画出原图。

六、结束语

总而言之，小学数学几何学习对儿童来说不仅仅要学习知识，更需要提升他们的空间观念和空间能力。教师必须要认识到几何教学的重要性，从直观教学、丰富学生想象力、促进学生交流、强化动手操作、促进学生在生活中的应用等各个方面来提高学生度几何知识学习的质量，从而培养学生空间意识，提升学生抽象思维能力。

参考文献：

立体几何教学反思 篇9

李秀友 新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力，重视学生的可持续发展，培养学生终身学习的能力，因此我们应该更新教育观念，真正做到变注入式教学为启发式，变学生被动听课为主动参与，变单纯知识传授为知能并重。在教学中让学生自己观察，让学生自己思考，让学生自己表述，让学生自己动手，让学生自己得出结论。

立体几何是高中数学相对比较容易的一部分，从目前复习情况来看，学生学不好的原因大致有三个：一是没有建立立体感和空间概念；二是基础知识不牢固；三是表述不规范。以下是我在教学中对如何帮助学生学好立体几何的一些反思：

1、建立空间概念，强化空间思维能力

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。建立空间观念要做到：

（1）重视看图能力的培养：对于一个几何体，可从不同的角度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感。

（2）加强画图能力的培养：掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的位置关系，所成的角，所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感，除此之外，还要体会到用语言叙述的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完全不同，往往从一个方向上看不清的图形，从另方向上可能一目了然。

（3）加强认图能力的培养：对立体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的位置关系；又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看穿。

此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

案例一：起始课中注意空间立体感的培养

立体几何第一节课导入部分中，我要求学生共同完成一个任务。首先，用一张纸经过剪裁、折叠做成一个正方体；然后，画出所做的正方体。通过这个任务的完成大大提高了学生的学习兴趣，使学生感悟数学世界的简洁美、和谐美，培养学生审美意识。课后，我留的作业是画可两个课本中你感兴趣的立体图形。进一步帮助学生建立空间立体感。

案例二：游戏中感受数学美

在讲解《

9、2空间直线》这节课中我让学生做一个游戏：用一张纸对折，把它看成两个相交平面，我们在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：①平行直线；②相交直线；③异面直线。然后画出你做的图形并观察所画直线和两平面交线的关系。游戏中同学们都积极动手、动脑，充分调动学生主观能动性，通过自己的努力认识到3种直线的位置关系，建立空间立体观念，并进而研究三种直线位置关系的画法。

其实在每节课中都能设立这样的实际操作的问题，并且让同学在自制一些空间几何模型后反复观察，这样有益于建立空间观念。让同学对这些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，同样也是建立空间观念的好方法。

2、平面几何基础使立体几何学习事半功倍

因为无论什么样的立体几何问题，都是在平面上处理的，因而平面几何知识的掌握与否也影响立体几何的学习。因而在教学过程中要注意对平面几何知识的复习。要让学生在做题时找到所需平面和相应的点、线的位置关系，要把立体问题，转化为平面问题，其实也需要很多经验和技巧，通过多给学生作题，使他们自己慢慢体会。

3、教学中注重 “转化”思想的培养

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

（1）两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

（2）异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

（3）面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

（4）三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

4、教学中注重规范的训练

不少学生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求学生在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分内容的学习中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。所以要让学生明确几何语言是最讲究言之有据，言之有理。也就是说没有根据的话不要说，不符合定理的话不要说。

至于怎样培养学生证明立体几何问题可从下面两个角度去研究：

（1）把几何中所有的定理分类。按定理的已知条件分类是性质定理，按定理的结论分类是判定定理。

如：平行于同一条直线的两条直线平行，既可以把它看成是两条直线平行的性质定理，也可以把它看 成是两条直线平行的判定定理。又如：如果两个平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。它既是两个平面平行的性质定理 又是两条直线平行的判定定理。

这样分类之后，就可以做到需要什么就可以找到什么，比如：我们要证明直线和平面垂直，可以用下面的定理：

①直线和平面垂直的判定定理

②两条平行垂直于同一个平面

③一条直线和两个平行平面同时垂直