方程教学案例与分析

方程教学案例与分析（精选8篇）

方程教学案例与分析篇1

【案例位臵】青岛版五年级上册第四单元

【目标定位】

1、结合具体情境理解方程的产生的必要性，引导学生转变思维方式，实现由“算数思维”向“代数思维”的转变；

2、在实现思维转变的过程中，渗透方程函数思想，体会对比、数形结合等数学方法；

3、在解决问题的过程中，学生体验数学的魅力，感受数学与生活的联系。

【重、难点定位】

学生思维方式的转变，“代数思维”的渗透【课前热身】

课前游戏：说反义词，感受——“顺”“逆”存在多——（少）大——（小）高——（矮）增多——（减少）上升——（下降）

我比xxx高10厘米——xxx比老师矮10厘米我比xxx重10千克——xxx比老师轻10千克【新课实施】

一、问题引入，对比——“顺”“逆”思维师：今天到场的学生30人，我所任教的班级比今天到场的学生多20人。我所任教的班级有多少人？生：30+20=50

师：为什么选择“加法”呢？

生：老师任教的班级比我们多，所以就用加法呀！

师：平时给你们上数学课的老师年龄是35岁，她比我大5岁。今年我多少岁？生：35-5=30

师：不是“大”吗，怎么成“减”了呢？

生：是“大”啊，但是反过来就是“老师您比我们老师小5岁”，不就得减嘛。

师：看来虽然都是一个简单算式解决的问题，在脑子里的思考方式是不一样的。第一个是简单的顺向思考问题，而第二个问题则需要逆向思考。

【设计意图】：在以往的教学中，教师往往忽视在学生脑海中对平时简单数学问题的一种“归臵”，一上课就从简单问题入手去研究方程，让很多孩子一头雾水，明明很简单的算式就能解决的问题，我为何再去理解“等量关系”，再去学个方程，于是后来的努力在孩子们的抵触心理下立马“事倍功半”。我在教学初加上这个环节，归臵了孩子常见问题中实际是两种不同的思考方式，一种是顺向思考，另一种是逆向思考。而问题就是在逆向思考中发现的。对比了两种思维方式，为孩子学得更清楚做好了准备。

二、探求新知，接受——“代数思维”

1、借助顺向思考，感受复杂数量关系

师：今天到场学生30人，会议安排听课的老师是学生的10倍还多8人。听课的老师有多少人？生：30x10+8=308

师：我觉得里面的信息挺复杂呀，同学们怎么就这么快解决了呢？生：虽然信息很多，但是他说老师的人数是学生的10倍还多8人，学生人数我们知道，用学生人数乘10再加上多出来的8人，不就是要求的教师人数嘛。

（师可出示此题的数量关系，为了直观可采用图形式）

师：那咱们可以这样认为，即使信息再多，只要是顺着这个关系式思考，都是比较简单的，那么大家想挑战可能会出现在哪类问题中？生：逆向思考的问题！

【设计意图】：这个问题的答案相信学生会脱口而出，但是我们的算式实际是借助于什么样的等量关系列出的呢？学生之前未作思考，我就利用这个简单问题让孩子们清楚该题中有两个数量（学生人数和教师人数），而它们的关系是：学生人数x10+8=教师人数。而这个等量关系式太抽象我们可以先借助于图形让孩子更好地理解。

2、借助一系列逆向思考问题，感受寻求“新工具”的迫切

师：今天听课老师是368人，是专家人数的9倍还多8人。专家有多少人？

生1：(368-8)÷9 生2：368÷9-8

（在这里同学们的反应势必慢下来，而且意见肯定会发生分歧，出现这种现象都是非常正常的，这意味着孩子们用算术法解决这样的问题是有难度的）

师：我发现同学们的反应慢了而且意见也不一致了，这说明挑战出现了！怎么办？生：解决它

师：我们先看看为什么会出现困难，这个题好像好刚才差不多呀，都是几倍还多多少呀，刚才很顺利，现在怎么就麻烦了呢？

生：虽然这个也是谁是谁的几倍还多多少，可是这次我们不知道专家有多少人，而是知道后面的教师人数呀，那么我们需要倒回去呀！（其实孩子们未必就能像我们设想的一样表述那么清晰，但是这个问题势必会刺激学生关注题目中的数量关系，去分析怎么就出困难了呢？尽管孩子们的语言不会准确，但他们的意思肯定都指向对题目中数量关系的分析，这就足够了！）

师：其实同学们的意思我听明白了，（结合课件中的图形演示）虽然这个问题和刚才的类似，但是这次我们知道了教师人数，但不知道前面的专家人数，所以我们需要倒回去做出逆向思考。那么就在“往回倒时”同学们有了困难。

【设计意图】学生对题目中相等的数量关系的理解和感悟重要吗？相当重要，但是我们怎样把孩子们的眼光从他们惯性的去寻求结果上转移到对数量关系的分析上需要老师的智慧，明确告诉孩子：你们找找题目中的数量之间的关系？孩子们会很茫然，但是如果我们把问题换成：“明明和刚才差不多的问题，怎么这个就困难了呢？”这个离孩子们很近的问题来激发他们去用自己的语言表述题目中的数量关系，即使他们说不准确或者并不像我们需要的那么清晰又怎么样呢？至少孩子们主动地去需求了题目中的数量关系，而不是接受和模仿。生：从这个图上我们可以看出应该先减后除。（借助图形孩子们应该理解了算术法解决的正确方法，不做过多处理。）

师：其实生活中还会不会有这种需要我们倒回去的麻烦问题呢？生：肯定有！

（出示：今天在宾馆就餐的教师128人，安排了10桌还多8人，每桌有多少人？）

师：咱先来判断一下这是不是个麻烦问题

生：根据这个问题我们应该知道每桌人数x10再加上多出来的8人就是一共就餐的人数，但是一共就餐的人数我们知道，可是每桌人数不知道，所以是个麻烦问题！

（教师可根据孩子们的意思适时总结，出现数量关系，并且标出已知量，和未知量，让孩子清晰看到这是个逆向思考问题。）

师：其实生活中这样的问题很多，甚至还有比这个更麻烦的倒不回去的问题，我们面对这样的问题，会有一种梦想，如果……

（让孩子们看到生活中同类问题会有很多很多，从而激发他们抽取同类问题的共性，找到此类问题的难点，继而激发他们建立新的数学模型，找到新的数学工具的欲望）生：如果也能把他们变成顺着思考的该多好啊！师：对呀

生：可是我们前面有不知道的数呀!那怎么办呀

生：我们可以用字母来代替呀！用a或者其他字母都行呀！

师：对呀，不过为了交流方便人们习惯用x来代表这个不知道的量。生：可是这样的式子还是没算出数来呀！

师：这样的式子我会解（教师把最后的结果写在后面）

【设计意图】无疑前面的所有工作都是这一环节的铺垫，方程函数思想的接受对于孩子们来说是个很大的转弯，也是个很大的难点，我认为也是方程教学最该完成的思想方法上的目标。

3、体验感悟“新工具”的便利，总结方程特征和定义

师：既然我们研制出这么好的式子帮我们解决这些麻烦问题，咱们就来感受一下他的便利（出示问题：一个排球28元，学校购买了一个排球和两个足球共花了138元。问：一个足球多少元钱？）生：28+2x=138

师：这样的式子这么好用，咱们给起个名字吧生：……

师：其实这样的式子就是咱们听说的方程。那么你认为什么是方程呢？生:……

师：含未知数的等式就是方程。为什么含未知数，为什么得是等式？生：……

三、练习巩固

1、判断哪些式子是方程

【设计意图】：对知识目标的检查

2、看图列方程

【设计意图】：对知识目标的检查

3、拓展问题

有两个数甲数和乙数，它们的和是190，差是50.这两个数分别是多少？

【设计意图】：对思想方法目标实现的检测

四、总结提升

1、你知道吗：《九章算术》是我国著名的数学著作，在收有的246个数学问题中，方程术是最高的数学成就。而直到1559年,法国数学家布脱才发明了与方程术相似的算法,比起我国,晚了一千六百多年。

你认同——方程术是最高的数学成就，这句话吗？为什么？

2、解决问题的两种工具：算式和方程，分别适合于哪些问题？

3、这节课我们只是简单认识了方程，那么同学们认为关于方程还需要学习什么？（如何解方程……）

【课例反思】以上是我对“方程”教学的一次大胆尝试，从同仁们的反应来看，“风味”十分独特，这节课尽管存在一些问题，但我想从这样尝试中看看其中的收获

1、首先从学生的反映看，在这节课中，出现了很多我们想听到的声音，比如：在我问“你认为什么是方程呢？”孩子们回答“有字母的式子”“就是解决一些很难的逆向思考问题时列的式子”……在我给出方程的标准定以后，我又追问孩子们“你认为为什么要含字母？”孩子们回答：“因为我们有一个数不知道，但我们又想把它放在前面”“因为我们想把那种需要逆回来的问题顺着题目意思思考”……在最后我介绍了方程术的课外小知识，特别强调“方程术是最高成就”你认为这句话过分吗？孩子们回答：“不过分，方程让我以前很多头疼的问题变得很简单了”“用方程来解决那种复杂的逆向思考问题简单多了”……在整个教学过程中也许老师和学生的语言并不是那么严谨，但我认为对“方程”这种数学模型的感悟十分到位，有时内心的准确感悟是不是比语言的精确表述更重要呢？、从数学建模的规律看。顾沛教授谈到基本的数学思想有三种，数学抽象思想，数学推理思想和数学建模思想。而和本节课相关的方程思想就是数学建模思想派生出来的下一步思想。所以我认为方程思想的的渗透应该遵循数学建模的规律，那就是先让孩子们从不同的问题中抽象出一类相同的困难或问题，然后找到一种工具解决这类问题，再把这种工具符号化，模型化，最后再建立的这种新模型投射到生活中，去解决更多的问题。而我对“方程”教学的尝试基本遵循了这样的规律。

方程教学案例与分析篇2

课堂上我曾提出过这样的建议:在列方程解决实际问题时, 我们一般按条件叙述的顺序寻找等量关系, 再列方程。那么学生为什么喜欢列这样的方程呢?带着这个疑惑, 我找了其中几位同学进行简单的交流。

师:我想了解一下, 你们在列方程时, 都是怎么想的?

生:老师, 您上课时不是说过, 列方程时也可以这样列的吗?

师:这样列方程本身没有问题, 但我想了解一下你们为什么不根据单价×数量=总价列成6.5x=78, 而列成78÷x=6.5?

生:我看到总价已经告诉我们了, 要求数量, 肯定要用除法计算。但如果直接用总价除以单价等于数量, 这样就不符合列方程的要求, 所以就列成78÷x=6.5。

师:哦!我明白了, 你哪里是列方程解应用题, 完全是“凑方程”啊!

接着我简要地分析了列方程的几个步骤, 重点强调“先找等量关系再列方程”的关键要求, 并特别指出按照题目的叙述顺序来找等量关系的思考方法, 希望你们纠正先推理后凑方程的算术思维方式, 认真总结列方程解应用题的思考方法。

学生们很礼貌地向老师表示感谢, 离开了办公室。办公室同事却饶有兴趣地讨论了起来。有的说, 学生之所以列出这样的方程, 说明学生在建构方程的过程中, 原有的知识经验 (算术思路) 起着巨大的惯性作用, 阻碍着学生对方程思想方法的理解。当遇到逆向问题时, 学生会条件反射般地根据题目的已知和问题之间的数量关系来进行逆向推理。有的说, 列方程解应用题的教学不适宜让学生列不同的方程, 因为除了等量关系是按照题目叙述顺序来列的外, 其他方程都是需要逆向思维的, 不利于学生巩固刚刚建立的方程思想。还有的说, 其实学生这样列方程本身并没有错, 随着学习的深入, 特别是对于越来越复杂的问题, 他们想用算术方法也用不起来, 到时候就自然而然地会选择列方程解答了, 用不着费力气纠正的。

听了同事们的讨论, 我沉思良久。我感觉到学生之所以喜欢列成那样的方程, 显然是受教材上“还可以怎样列方程”的影响。按照教材的编排意图“还可以怎样列方程”, “不仅有利于学生更完整地掌握列方程解决实际问题的方法, 而且有利于学生体会列方程解应用题的灵活性”。同时, 教材分析也指出:“对不同的方程可以肯定, 但不要求学生一题多解。”为什么不要求?我的理解是担心学生的逆向思维对刚刚建立的方程思想产生不利影响。那我们的教学中是否真的可以回避“还可以怎样列方程”?如果不能绕开, 又该怎样处理“还可以怎样列方程”?这样的要求对于方程思想的建构有着怎样的教学意义?看来, 简单的教学内容蕴含着不简单的教学问题!下面谈谈我对这一现象反思后的粗浅认识。

一、多样中寻找本质, 感悟方程思想方法的特点

学生为什么喜欢“凑方程”, 固然与学生原有的算术思维惯性有关, 但我们是否给了学生一个扭转惯性的弹性空间也很重要。列方程的本质就是建构一个模型, 然后利用模型来帮助我们解决问题。模型是什么呢?模型反映了数量间的等量关系。不管一个什么实际问题, 都有相应的等量关系, 不同的人可能有不同的理解。比如, 教材例7 (苏教版五年级下册) 提供的信息“小刚的成绩比小军的成绩少0.06米”, 有的人可能会认为最基本的关系应当是小军的成绩-0.06=小刚的成绩。也有人认为是小军的成绩-小刚的成绩=0.06米或者小刚的成绩+0.06米=小军的成绩。这种差异是因为每一个人的思维方式不同而造成的。我们不可能要求所有学生都按照一个思维模式进行, 教学必须依赖学生自己主动的变化来接纳新的要求。从这个意义上讲, “还可以怎样列方程”体现了对不同学生的思维习惯的尊重, 同时也为学生对数量关系的概念形成提供经验生长的空间。因此, 我以为“还可以怎样列方程”不仅不要回避, 相反, 应主动地让学生呈现出来, 以此来引发学生的学习活动深入开展, 并在此过程中逐步感悟方程思想方法。

为了更好地帮助学生感受方程思想方法的特点, 还可以进行顺逆问题的对比练习。比如出示:下面各组题你觉得哪一题适合用方程解答?

A1:商场销售彩电, 原价2000元, 为回馈消费者, 每台优惠200元, 现价多少元?

A2:商场销售彩电, 为回馈消费者, 每台优惠200元, 现价销售2000元, 求原价多少元?

B1:白兔有200只, 是黑兔的5倍, 黑兔有多少只?

B2:白兔有200只, 黑兔是白兔的5倍, 黑兔有多少只?

C1:平行四边形的底为200米, 高为80米, 它的面积是多少平方米?

C2:平行四边形的底为200米, 面积是16000平方米, 求它的高是多少米?

这样让学生在具有顺逆情境的实际问题的对比中, 充分感悟到抓住等量关系对于解决逆向问题的简单方便, 从而形成寻找最本质数量关系的思想方法。

二、多样中渗透灵活, 丰富解决问题的策略意识

列方程解决问题的关键是找到问题中数量之间的相等关系, 把已知和未知更紧密地联系在一起, 看成地位相同的量共同参与运算。这是与列式解答的算术思路截然不同的。但这并不是说列方程就不能进行逆向思维, 相反, 因为逆向思维的参与而使得方程呈现出多样性。其实, 从长远来看, 采用什么方法解决问题, 不是以我们的主观想法来决定的, 而是要根据题目的特点和具体的情景来决定。解题的关键在于深入思考、弄清情景, 情景才是决定我们采用何种解决问题的策略的唯一标准, 而不应该在于用方程还是用算术。在我看来, 逆向思维、推理分析等思维能力的培养, 依然是相当重要的。人往往更倾向于按着正常的习惯思考问题, 如此下去便容易使我们形成所谓的定向思维。这样下去对数学学习是非常不利的 (这里强调的是思维固化) , 所以我们要重视适当地引导学生学会反向思考的方法。但重视逆向思维, 并不是提倡算术方法, 更不是鼓励学生在列方程的过程中大量地使用逆向推理。重要的是为学生今后遇到复杂问题时在分析数量关系与选择解决问题的策略上提供一些“直觉”经验, 可以帮助学生更快一些、更准一些把握题目里的等量关系, 从而列出更简单一点的方程。

站在这一角度, 我们再来看“还可以怎样列方程”, 除了突出数量间的本质关系外, 也要尊重学生寻找等量关系的不同思维模式 (这里强调的是根据不同的等量关系模型列方程, 与算术思路要作截然区分的) 。为了更有效地增强学生找等量关系的能力, 我认为在教学列方程解决问题时可以适当做一些数量关系的“举一反三”训练, 以帮助学生提高寻找和调整等量关系的能力, 进而增强列方程解决问题的策略意识。这样的训练, 可以帮助学生更好地深入情境, 理解题目中的数量关系, 而不至于陷入唯一的基本思路“绝境”上。如果学生具有灵活寻找等量关系的能力, 那么我们就不用担心学生会对以后的学习产生思维“混乱”了, 相反, 学生的思维会在一个更高的平台上应对自如。

方程教学案例与分析篇3

【关键词】过程教育；一元一次方程；教学分析；教学解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导过程教育，以全面发挥数学的育人功能.但在以浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第五章第1节《一元一次方程》为载体的“多人同课异构”式的教研活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存在偏差，也没有体现以学为中心思想.网上查阅同类课例发现也有类似现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，对这节课的教学进行若干分析与解读，分析与解读结果得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

1一元一次方程的产生背景及产生方式

一元一次方程是系统认识方程的继续——从方程到具体的一元一次方程，它是刻画现实世界数量关系的有效模型，它是在学生认识代数式和小学里初步认识方程概念基础上提出来的.一元一次方程的产生方式可用图1表示.

图1一元一次方程产生方式

2《一元一次方程》涉及的数学结果及其地位与作用

根据数学结果的含义，从一元一次方程的概念体系中可以分析出《一元一次方程》涉及的数学结果有：产生一元一次方程的方法；一元一次方程的概念（包括名称、定义、属性、示例）及定义一元一次方程的步骤；用尝试检验法解一元一次方程的方法.其逻辑关系可用图2表示.根据数学结果的地位与作用的含义，可以分析出《一元一次方程》的地位与作用是：方程是数学中的核心概念，而一元一次方程是最简单的特殊方程.根据具体问题中的条件列出方程和用尝试检验法解一元一次方程是后继学习所需要的基本技能.从具体到抽象和特殊到一般的研究方法及定义一元一次方程的步骤对后继学习有指导作用.

图2《一元一次方程》涉及数学结果的逻辑关系

3《一元一次方程》的认知过程、认知条件及认知价值

3.1产生一元一次方程的认知过程、认知条件及认知价值

尽管一元一次方程可以看成是从现实生活中抽象出来的，也可以看成是数学自身逻辑的产物.但从现实生活中抽象出一元一次方程，能体现《课标（2011年版）》提出的“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画实现世界数量关系的有效模型”的教学要求，能反映方程的数学本质——引进适当的表示未知数的字母，建立未知量与已知量之间的相等关系，以及研究这些相等关系的思想方法（解方程（组）的思想方法），也能分解列方程的难点.因此，选择从现实生活中抽象出一元一次方程的方式更合适.这样其思维过程是“审题→分析→列方程”；其必要条件是“能析出问题中的数量关系”；其支持性条件是“具有抽象思想、列式经验”；其认知价值有：列方程的过程有能力发展点，其蕴含的生活常识、抽象思想、模型化思想等对发展学生智力有积极作用.

3.2获得一元一次方程概念的认知过程、认知条件及认知价值

尽管《课标（2011年版）》对一元一次方程的概念没有提出具体的教学要求，但浙教版教材将一元一次方程概念处于归纳层次.根据奥苏贝尔的“概念形成”理论，获得一元一次方程概念的认知过程和认知条件可用图3表示.从图3中可以看出：

（1）获得一元一次方程概念的基本步骤是：①从实际问题中抽象出特定的一元一次方程；②观察特定一元一次方程的个体特征；③归纳特定一元一次方程的共同特征；④抽象一元一次方程的本质特征；⑤用文字语言定义和用符号语言表示一元一次方程.

（2）获得一元一次方程概念的必要条件是具有实际问题转化为一元一次方程的抽象思想和列式经验.

（3）获得一元一次方程概念的支持性条件包括：①观察数或式特征的经验；②归纳思想；③抽象思想；④定义的经验.

（4）获得一元一次方程概念的认知价值有：观察所列方程特征的过程能发展学生多角度观察事物特征的意识与能力，获得一元一次方程概念的思维策略与思维过程及其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示思想等对后继学习其他形式的方程有指导作用.图3获得一元一次方程概念的认知过程和认知条件

3.3用尝试检验法解一元一次方程的认知过程、认知条件及认知价值

对于一些未知数的取值是整数的简单方程，可用尝试检验法来求它的解.课本安排用尝试检验法解一元一次方程的意图是：①插入尝试检验法是因为本节课的内容比较单薄；②插入尝试检验法是巩固求代数式的值和方程解概念的需要；③插入尝试检验法也有为用尝试检验法解二元一次方程作铺垫之意；④插入尝试检验法又能感悟函数思想；⑤插入尝试检验法还能发展学生能力和个性.用尝试检验法解一元一次方程的基本步骤是：先确定未知数的一个较小的取值范围；再确定未知数可取的值；然后逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解.其必要条件是有确定未知数可取的值和求代数式值的经验；其支持性条件是有一般到特殊思想和化归思想等.其认知价值有：能发展一般到特殊的推理能力、运算能力、观察能力等，能感悟其蕴含的化归思想、函数思想等.

4学生的认知基础及可能会遇到的认知障碍

尽管学生有将生活问题转化为数学问题的经历与经验，但根据生活情境列出一元一次方程可能会使部分学生感到困难，感悟一元一次方程是刻画实现世界数量关系的有效模型及方程方法的先进性也有一定的难度；尽管学生有定义研究对象的经历与经验，但估计大多数学生没有多角度观察事物特征的意识，部分学生可能说不出获得一元一次方程概念的思维过程，感悟具体到抽象的思维策略及蕴含的归纳思想、抽象思想等也有一定的难度；尽管学生有求代数式值的经历与经验，但用尝试检验法解一元一次方程的过程比较复杂，可能部分学生会感到困难，特别是确定未知数的取值范围部分学生会遇到困难.

5《一元一次方程》的教学目标、教学重难点、教学结构

5.1《一元一次方程》的教学目标.根据《课标（2011年版）》倡导的学习结果分类理论和上述三维度分析结果，可以确定《一元一次方程》的教学目标是：

（1）经历列算式和方程的过程，能根据具体问题的条件列出方程和算式，能感悟列方程的思维过程，对方程方法的先进性有个性化体验.

（2）参与定义一元一次方程的活动，能多角度观察所列方程的特征，能说出一元一次方程的本质特征和方程解的概念，能知道获得一元一次方程概念的基本步骤，对发现所列方程的特征有个性化表现，对其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示等有个性化体验.

（3）探索解特定的一元一次方程，能知道尝试检验法的含义及其适用条件，能说出用尝试检验法解特定一元一次方程的基本步骤，对其蕴含的数学思想方法有个性化体验.

（4）参与尝试知识应用的活动，会在具体情境中辨别一元一次方程，会用方程解的概念解决有关问题，能用尝试检验法解特定的一元一次方程，对尝试检验法有个性化感悟.

5.2《一元一次方程》的教学重难点.根据教学重难点的含义和上述三维度分析结果，可以确定《一元一次方程》的教学重难点是：

（1）教学重点：一元一次方程概念及方程解的概念，尝试检验法.

（2）教学难点：用尝试检验法解特定的一元一次方程.

5.3《一元一次方程》的教学结构.根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律及上述三维度分析结果，《一元一次方程》的教学结构可用图4表示.图4《一元一次方程》教学结构框图

6经历再认列算式和方程过程的教学

（1）教师指出：我们知道，含有未知数的等式叫做方程.我们也有用算术方法和方程方法解决实际问题的经历与经验.在这两种方法中，哪种方法更具有先进性？请大家根据下列问题中的条件分别列出算式和方程.

问题1一件衣服按8折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少元？

①求这件衣服的原价可列出算式：.

②若设这件衣服的原价为x元，则可列出方程：.

问题2物体在水下，水深每增加1033米承受的压力就会增加1个大气压.当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个大气压.问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？

①求它又继续下潜的米数可列出算式：.

②若设它又继续下潜了x米，则可列出方程：.

问题3小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投了20次.小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和张明各投进多少个？

①求张明投进的个数可列出算式：.

②若设张明投进x个，则可列出方程：.

（2）教师在学生独立学习基础上组织学生交互反馈，同时教师进行评价.

（3）教师引导学生反思：列方程要经历哪几个步骤？列方程简单还是列算式简单？

（4）教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

（5）教师指出：正因为用方程解决实际问题是人类的一个伟大创举，就有系统地研究方程的必要.上述所列的这类方程有何特征？怎样求解？有何用处？本章我们就研究这些问题.（揭示课题）

解析目前在这个环节的教学中，有些教师采用从一个背景中演变出多个方程的方式，并且列方程之后的反思过程缺失.这不利于学生感悟一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型和方程方法的先进性.这里以有代表性的实际问题为载体，引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，既有根据条件列算式和方程的过程，以产生定义对象所需要的具体一元一次方程，又有列算式和方程之后的反思，以再认列方程的思维过程和感悟方程方法的先进性.这体现了过程教育和以学为中心思想，也发挥了导入性教学的基本功能——建立内在联系和激发学生的学习兴趣.

7参与定义一元一次方程活动的教学

（1）教师要求学生依次思考下列问题：

①方程“80%x=72”与算式“72÷80%”有何差异？方程“80%x=72”与整式“80%x”有何差异？

②方程“80%x=72，340+110.33x=500，2x+123=14”有何共同特征？（提示：可从字母个数、字母次数、代数式类型、整理后方程的形式等多个视角进行观察）

③这类方程的本质特征是什么？

（2）教师在组织学生交互反馈的基础上，给出一元一次方程及其解的概念.

（3）教师引导学生反思：获得一元一次方程概念经历了哪几个步骤？你认为还需要进一步研究什么？

（4）教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

解析目前在这个环节的教学中，普遍存在归纳所列方程特征的认知过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题.这不利于发展学生的能力与个性及积淀获得数学概念的思维活动经验.这里以产生的具体方程为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，既有“观察→归纳→抽象→定义与表示”的过程，以形成一元一次方程的有关概念，发展多角度看问题的意识，又有获得概念之后的反思，以感悟获得一元一次方程概念的思维过程和明确进一步需要研究的问题.这体现了过程教育和以学为中心思想，也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范.

8探索解特定一元一次方程的教学

（1）教师提出问题：在上面“小强、小杰、张明参加投篮比赛”的问题中，我们列出的方程是“2x+123=14”.怎样解这个方程？

（2）学生尝试用等式的性质解这个方程.（大多数学生能用等式性质解这个方程）

（3）教师提出问题：还能用其他方法来解这个方程吗？如果回答有困难，请大家依次思考下列问题：

①这个问题中的未知数x有何特征？

②x的大致取值范围是什么？

③x在这个取值范围内可取哪些值？

④将x可取的值分别代入代数式2x+123，其对应的代数式的值分别是什么？

⑤根据方程解的概念，哪个x的值是方程2x+123=14的解？

（4）教师在学生独立学习基础上组织学生进行交互反馈与评价.

（5）教师引导学生总结用尝试检验法解一元一次方程的基本步骤.

（限于篇幅，解析过程略）

《等式与方程》教学反思篇4

本节课是在学生学会用字母表示数的基础上进行教学的，方程作为一种重要的思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。本节课的教学设计是从学生已有的知识和经验出发，旨在引导学生经历将现实问题数学化的过程。

整节课先从观察天平两边的物体质量入手，先得出等式的含义，再结合具体的问题情境，使学生通过观察、分析和比较，在思考和交流中由具体到抽象，一步步地揭示出方程的含义。在例1和例2的教学基础上，及时组织学生讨论“等式和方程”有什么联系?帮助学生感受等式和方程的联系与区别，体会方程就是一类特殊的等式。当学生对等式和方程的联系与区别已有深刻领会后，让学生自己试着用语言来表述。“试一试”中，有些学生列出如“20-12=X”这样的方程，这时要进行强调，告诉学生尽量避免将未知数单独放在等式的一边。由于线段图很形象直观，学生看到了线段图上的大括号就想到了这是表示把两部分结合起来，很快就列出加法的方程。练一练的第一大题，对学生来说是重点，也是容易错的地方，很多学生只找出了不含未知数的等式，而没有想到方程也是等式，在这里要强调找的方法，先找等式，再在等式里找出方程。练习一的第二大题中的第2幅图“原有X本书，借出56本，还剩60本”，用方程表示数量关系时，还有部分学生写出了56+60=X这样的方程。这时，我便及时指出这样写的不合理性，让学生及时改正，强调过后，后面的练习题学生就顺利多了，没再出现以上这样的情况。

在教学过程中，我还有很多细节问题没有注意到，师父都给我一一指出来了。让我明白，课堂教学中教师应该做一个敏锐的观察者和引导者，针对学生出现的问题，应该及时地给予点拨和纠正，这样才能帮助学生排除学习中的困惑，让他们少走弯路，更好地理解和消化。

反思二：等式与方程教学反思

在之前的学习中，学生已经认识了等式以及用字母表示数，本节课主要是让学生借助具

体情境，从直观感知出发引出抽象的数学式子，从理性的角度理解并掌握等式与方程的意义。同时在观察、分析、比较、抽象、概括、交流合作中，体会方程与等式之间的异同点。能对方程与等式作出正确的判断。能在具体情境中根据数量关系列出符合题意的方程。最后，在活动中，培养学生良好的习惯，让学生获得成功的体验，进一步树立学好数学的信心，激发学习数学的兴趣。

在新授过程中，以旧知为起点，学生都能接受方程的意义、等式与方程的关系、看图列出方程。但是在判断哪些是等式，哪些是方程时，6+x=14许多学生写成是方程、而漏写了等式。当补充习题上再次出现同类问题时，还是有相当部分的学生出现疏漏。这说明学生还是没有深入理解等式与方程之间的关系。怎么会漏了等式呢?第一、虽然学生一直接触的是等式，但是他们一直是直观上感知着不同的式子，但不知道其实含有“=”的就是数学上的等式，更不用说等式的定义：左右两边相等的式子叫等式。学生的理解还不透彻、扎实。针对这一问题，我主要是让学生抓住等式的关键特征：“=”。更进一步，如果有了“=”还有了未知数，那这个等式还是方程。但是部分学生对于这样的式子

“+=100、60-a=55+b”不认为是方程。他们认为未知数一定是X、Y......，而不是其它符号。针对这一问题，我们通过讨论得出：只要不是具体数值，无论是符号，还是任意字母，都可以表示未知数。第二、学生的思维定势在作祟。因为一直以来我们的题目都是单选，没有多选的，导致学生不能肯定是写等式、方程，还是两个都写呢?当然第二方面也是由于学生理解概念不扎实、透彻，只有通过不同变式练习的辨析，学生才能逐步认清等式与方程的“真面目”。

从中，我也深知教学不能只是灌输，而是要边教边学，在教学中及时发现问题，寻找原因，解决问题，达到提升学生的知识与能力，培养学生思维的最终目的。

反思三：等式与方程教学反思

《等式与方程》这节课的教学内容较为简单，重点内容是认识方程和方程与等式之间的关系。我在教学这节课内容时通过例1的教学让学生自己>总结出什么是等式：含有等号的式子叫等式。再区别等式与我们以前的算式，如8+2是算式，而8+2=10就是等式。

例2是让学生观察天平写出算式，再根据天平的指针是否指向0刻度线来判断左右两边的算式是否相等。接下来回答课本上的问题：“那些是等式?”学生很容易就能回答出右

边的两个是等式。那左边的两个叫什么呢?学生们思考了一下，没有一个人能回答的出来，此时我告诉学生这叫不等式。当学生们听了“不等式”三个字之后都笑了，当时我还没有反应过来，当我再说到“不等式”时，我明白学生们为什么会笑了，他们以为我说的是“不懂事”，所以我立马把“不等式”三个字写到黑板上，原来闹了一个小笑话。

对于方程的定义：含有未知数的等式叫方程，学生们明白定义中的关键字是未知数和等式，明白了这点我再问例1中的等式50+50=100是方程吗?学生们说不是，因为没有未知数。方程与等式之间有什么关系?指名几位学生回答，一般都能明白，但语言表述的不是很清晰，最后葛晨曦和赵龙新总结说：方程肯定是等式，但等式不一定是方程，总结的很好。

“练一练”，让学生自己写一些方程，通过指名回答，发现学生们的方程一般都是5X=60、12+X=30等，考虑到学生是否以为未知数只能表示正数?所以我在黑板上写了这样一个等式让学生判断它是否是方程：2+X=0，学生们纷纷说不是，我说它符合方程的定义吗?学生若有所思的说符合，原来未知数还可以表示负数。我接着问未知数除了可以表示正数和负数还可以表示什么?分数和小数，于是我要求他们再写几个未知数能表示分数、小数和负数的方程。未知数我们可以用任何一个字母来表示，但我们习惯性用字母X来表示。等式X+Y=20是方程吗?学生们基本上都能回答“是”，原因是因为有上面的思考，对于判断是否是方程，学生们会看方程的定义来判断。

下课后，有学生问我，这样的等式后面要写单位吗?这是我在上课时忽略的地方，含有未知数的等式也就是方程列出来之后，后面不需要带单位。

反思四：等式与方程教学反思

《等式与方程》是五下第一单元的第一课时，本课是在学生完成整数、小数的认识及四则运算的学习，学生已经积累了较多的数量关系知识，并且学生已经学会了用字母表示数的基础上教学的，学生有能力理解并掌握方程这一重要的数学思想方法。上课之前我先根据班级学生情况设计了教案和课件，希望在课上能根据教案的安排来教学，对于本节课的重点内容等式与方程的关系希望通过学生小组讨论来解决，而对于本节课的难点方程的计划让学生自己举例来强化记忆。课上也是通过这样的思路进行教学的，但教学过程中还是出现了很多问题，学生作业中也出现了一些意想不到的错误，先

分析本节课中出现的几个主要问题。

1、提出的问题指向性不明，学生不知如何作答。在教学例1的时候，学生写出了

《式与方程》教学反思篇5

本节课是“数与代数”领域复习内容的第三阶段，主要让学生进一步认识用字母表示数的意义，理解方程与等式的区别，熟练运用等式的性质解方程，选择合适的方法解决实际的问题，体验“数学建模”的思想，积累数学活动的经验，积淀数学素养。

有了这些理论的支撑，我很关注学生的已有知识储备，首先对他们的课前预习进行调查，侧重点我放在了“方程”上，先理解概念“含有未知数的等式叫做方程。”然后复习解方程，及其等式的性质，方程是初中阶段“代数思想”向小学阶段渗透的典型范例。因而在复习时不能满足于各知识方法技能的掌握情况更要关注学生的认知结构中是否把方程的思想作为一种解决问题的有效方法和策略，拥有自觉运用方程思想的意识和行为。实际学习中，学生运用方程解决问题的意识很薄弱。

《实际问题与方程》教学反思篇6

例1的教学，我是按照“求谁设谁”的思路来讲的。

第一步，看一看求的是谁？学生很明显的就能够知道求的是原跳远记录，而求得是它，我们就把它设成x,而这个时候，我便教授了未知量，即我们不知道的量就是未知量，所以求谁，谁就是未知量。

第二步，找关系。找的关系就是题目中告诉我们的。比原纪录多，在数学上就用到了四则运算的加，也就能够得到数学关系上的原纪录+超出部分=小明的成绩。

最后列式，则把具体的数字带进去，原纪录是x，超出部分0.06，小明成绩4.21，列的式子也就变成了x+0.06=4.21.将实际问题与方程的解法来分步的教给学生，学生学起来明显的变得轻松，但是找未知量对学生而言还存在着一些困难。

例如做一做中的“我们拿桶接了半小时，共接了1.8kg的水，求每分钟浪费多少水？”明明我们看来很简单的问题，学生却找不到未知量应该是什么，只有极少的同学能够知道要把每分钟浪费的水设成未知数x。

这就让我意识到了，在方程里，有很多变化的问题，学生不能够把握，因此在设计下一节课的时候，我在一开始就让未知量在条件中变没了，组织学生根据之前积累的知识去寻找关系，具体设置的题目有这样差不多的几个：

1、长方形的长是6m，面积是24平方米，宽是多少？

2、小明走了半个小时，走了120m，小明每分钟走多少m？

3、小红买了5只钢笔，花了24元，每支钢笔多少元？

像这样的，未知量在问题中的，让学生直接去问题里面看，这个时候，考验学生的就变成了学生的积累情况了。

1、考验的是面积的计算公式

2、考验的是速度=路程÷时间

3、考验的是单价=总价÷数量

而对于题目中的“比去年高”、“超过原纪录”、“二倍”、“二倍少”……学生根据题意用加减乘除列式，学生掌握的情况则比较好。

用方程解决生活中的实际问题，就是让学生找准未知数，读懂题目中的数量关系，而日常规律的积累也占据着十分重要的位置。

选修“圆锥曲线与方程”教材分析篇7

一、对教材处理的建议

(一) 明确解析几何的基本思想方法。

解析法 (坐标法) ;突出用方程研究曲线, 用代数方法研究曲线的几何性质;强调解析几何解决问题数形结合的重要性;自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。

解析几何的基本思想方法是解析法 (坐标法;突出用方程研究曲线, 用代数方法研究曲线的几何问题。在《普通高中课程标准实验教科书·数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程, 然后通过它们的方程, 研究它们的几何性质。从大的范围看, “曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系, 它用数及其运算为工具, 在平面直角坐标系下, 用代数方法研究几何问题, 是数形结合的重要方面。

(二) 抓住轨迹问题的本质———变化过程中的不变量, 建立曲线的方程。

轨迹是由动点运动形成的曲线 (或几何图形) , 其特点是, 动点在运动变化过程中, 始终有保持不变的量, 由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程, 判断轨迹的形状, 研究轨迹的几何性质。

三种圆锥曲线的几何特征明显。在椭圆的学习过程中, 我们从圆出发, 给出“探究”栏目, 通过把细绳的两端分开, 让学生观察轨迹的形状, 建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程, 探究形成轨迹的动点满足的几何条件, 展现曲线的典型几何特征。在此基础上, 给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称———椭圆。通过观察椭圆的形状, 引导学生建立适当的直角坐标系, 用点的坐标表示距离, 建立椭圆的标准方程。其他两种圆锥曲线:双曲线与抛物线, 虽然它们的几何特征与椭圆不同, 但其引入过程及标准方程的建立过程, 都是与椭圆相类比展开的。

(三) 注重实际背景和应用。

实际上, 圆锥曲线与人类生活、生产及科研有着紧密的联系。本章引言说明三种圆锥曲线都是用不垂直与圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴的夹角, 可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入, 目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中, 还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面, 等等。

在教材的拓展栏目中, 还安排了“探究与发现———为什么截口曲线是椭圆”;“阅读与思考———圆锥曲线的光学性质及其应用”。安排了大量的实例, 注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。

(四) 重视信息技术工具的作用。

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用, 发挥的空间也比较大。在教材中, 安排了很多“信息技术应用”的内容。

(1) 利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程, 通过改变截面与圆锥曲线的夹角, 得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。

(2) 运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点, 非常容易探索动点轨迹的形状。一方面, 信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境, 在动态演示中, 观察轨迹形成的原因、轨迹的形状, 发现结论、形成猜想。另一方面, 当我们求出轨迹的方程后, 可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状, 加深对方程所表示的曲线形状的理解。比如在教学中, 对双曲线渐近线的研究是难点。从直观上看, 双曲线的两支是向外无限延伸的, 始终在渐近线形成的一组对顶角中, 不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目, 让学生通过观察, 发现双曲线的这一性质。正文中并没有给出严格证明, 拓展性栏目“探究与发现———为什么的渐近线”给出了严格的证明, 但不作为教学要求。渐近线的概念比较抽象, 学生对它的理解需要一个过程。

二、值得注意的问题

(一) 注意整个“解析几何”知识的前后衔接, 准确把握教学要求。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程, 以及 (文) 选修1-1, (理) 选修2-1中的圆锥曲线与方程, 系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。要注意知识内容的衔接, 把相关内容放在平面解析几何内容的通盘考虑, 切实把握每部分的教学要求。特别注意的是新课程标准规定的教学要求中, 椭圆的内容要求“理解”, 双曲线的内容只作“了解”, 抛物线的内容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

准确地把握教学要求包括两个方面, 第一是把握好新课标的精神, 第二是把握好学生的实际。根据新课标的精神, 圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容, 但目前由于考试的影响, 这一部分教学的要求比较高, 题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限, 全体学生都必须掌握的重点课程应以最基础的知识和最基本的技能为主, 要使学生切实把基础打好, 不要过分重视技巧性很强的难题。从学生的学习规律来说, 训练不能一次完成, 要循序渐进, 打好基础才能有较大的发展余地, 急于求成是不可取的;学生的基础、兴趣、志向是不同的, 要根据学生的实际提出恰当的教学要求, 这样学生才有学习的积极性, 才能使学生达到预定的教学要求。

(二) 圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义, 以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求。

教学中, 老师经常说到圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程, 尽管是非常经典的内容, 但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义, 椭圆、双曲线的“第二定义”在教材的相关部分的例题有所体现, 但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用———用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆”和“信息技术应用———用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”, 但是不作要求。

在教材中安排了一个拓展性栏目“探究与发现———圆锥曲线的离心率与统一方程”, 供学有余力的学生学习参考。但是这些大纲明确说明不作为基本要求, 不要给学生补充这方面的内容。不然就给学生增加了难度, 也增加了老师的负担。

方程教学案例与分析篇8

坐标系与参数方程命题的重点是两种形式方程的转化以及直线和圆、直线与椭圆的位置关系，这主要包括特殊曲线的极坐标方程的求解以及极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化等，这也是高考命题的主要热点.

二、知识整理

1.极坐标

（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引出一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ，有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）.

（2）极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标为（ρ，θ），则它们之间的关系为x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到关系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.

2.直线的极坐标方程

（1）若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

（2）几个特殊位置的直线的极坐标方程

θ=α（ρ∈R）表示过极点且与极轴成α角的直线（如图①）;ρcosθ=a表示过（a，0）且垂直于极轴的直线（如图②）;ρsinθ=b表示过（b，π2）且平行于极轴的直线（如图③）.

3.圆的极坐标方程

（1）若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

（2）几个特殊位置的圆的极坐标方程

ρ=r表示圆心在极点，半径为r的圆（如图④）.

ρ=2rcosθ表示圆心在（r，0），半径为r的圆（如图⑤）.ρ=2rsinθ表示圆心在（r，π2），半径为r的圆（如图⑥）.

4.曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点坐标x，y都是某个变量t的函数x=f（t）

y=g（t）并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.

5.一些常见曲线的参数方程

（1）过点P0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数），设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.

（2）圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为x=a+rcosθ

y=b+rsinθ（θ为参数）.

（3）椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ（θ为参数）.

（4）抛物线方程y2=2px（p>0）的参数方程为x=2pt2

y=2pt（t为参数）.

二、复习指导

（1）准确把握一个区别：极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，不能把直角坐标系中的公式直接应用到极坐标中，如直角坐标系中的两点间距离公式就不能在极坐系中使用.

（2）熟练掌握两个转化：一是参数方程向普通方程转化的基本方法就是消参数法，但要注意参数的取值范围对普通方程中变量的限制;二是极坐标与直角坐标的转化，要准确记忆相应公式，这是转化的基础.

（3）灵活应用一个性质，即在解决直线和圆的位置关系时，要注意灵活利用几何性质——即平面几何中有关圆的结论来求解，减少运算量，提高解题的速度和准确度.

三、典例全解

1.求解参数方程相关问题的简便方法

例1 将参数方程x=3t-5

y=-2t+1（t为参数），化成普通方程，并判断它是什么曲线？

分析：参数方程中的两个方程都是关于t的一次方程，由其中任意一个都可以解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程即可，也可以将两个方程分别乘上某个数，把t的系数化成相同，然后两式相减即可.

解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2·x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

法二：参数方程可变形为2x=6t-10

-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

点评：代入消参法与加减消参法是解决参数方程化为普通方程最常用的两种方法，本例的解法一就是代入消参法，从参数方程中选出x=3t-5，解出参数t=x+53，然后把参数t的表达式代入y=-2t+1，消去参数t，即可把已知参数方程化为普通方程;解法二采用的是加减消参法，将参数方程中的两个方程分别乘上某个常数，把t的系数化相同，然后两式相减即可.注意：不是所有的参数方程都可以化成普通方程，化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，这种消参的过程不能增加或减少曲线上的点，即要求参数方程和普通方程是等价的，因此在消参时要注意以下两个方面：（1）根据参数条件，明确x，y的取值范围;（2）消去参数后，普通方程要与原参数方程的取值范围保持一致，为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论出x，y的变化范围，再对方程进行转化.

2.参数方程与极坐标方程的综合问题

例2 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是x=-35t+2

y=45t（t为参数），（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值.

分析：第（1）问利用极坐标公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;第（2）问的方法比较多，可以利用数形结合法求解，可以通过圆的参数方程求解，也可以利用参数法、极坐标法或整体代换法求解.

解析：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.

（2）法一（几何法）将直线l的参数方程转化为普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0），又由（1），知曲线C为圆，圆心C的坐标为（0，1），半径r=1，所以|MC|=5，利用数形结合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值为5+1.

法二（参数法）由（1）知曲线C即圆x2+y2-2y=0的标准方程为x2+（y-1）2=1，圆的参数方程为x=cosα

y=1+sinα（α为参数），N为曲线C上一动点，设N（cosα，1+sinα），由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），所以

|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2

=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）

≤6+25=5+1，

即|MN|的最大值为5+1.

法三（极坐标法）由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），在极坐标系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得

|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值为5+1.

点评：圆上的动点到定点距离的最值问题可用代数法或几何法求解，代数法就是设圆上动点的坐标，利用圆的方程以及距离公式建立目标函数，转化为函数的最值问题求解，如本例第（2）问中的解法二就是利用圆的参数方程，将其转化为求解三角函数的最值问题;而解法三直接利用圆的极坐标方程和余弦定理建立关于极角的目标函数求解最值.几何法就是利用圆的性质直接判断最值，如本例中第（2）问中的解法一直接利用圆心到定点的距离和圆的半径表示最值，显然利用几何法求解更为简捷直观.

3.巧选“定点” 妙用参数方程的典例赏析

过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）有着广泛的应用，深刻理解参数t的几何意义，恰当选择方程中的“定点”，是灵活运用直线参数方程解题的关键，下面例说巧妙选择定点的几种常见路径.

（1）选已知点为定点

如果直线或直线系经过已知点，那么可尝试以该已知点为方程中的“定点”.

例3 如图，已知焦点在x轴上的椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于两点M、N，设∠MF1F2=α（0≤α<π），当α为何值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

解析：建立如图所示的坐标系，则椭圆方程为

x29+y2=1，F1（-22，0），设MN：x=-22+tcosα

y=tsinα

（t为参数），将其代入椭圆方程得：

（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，

由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，∵α∈[0，π），∴α=π6或α=5π6.

（2）选动弦的中点为“定点”

如果以动弦的中点为方程中的“定点”，那么由参数t的几何意义可得t1+t2=0，用好这一关系式常可使求解大为简化.

例4 已知椭圆C：x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，C上有不同两点关于l对称.

解析：设两对称点为A、B，线段AB的中点为M（x0，4x0+m），则AB：x=x0+tcosα

y=4x0+m+tsinα（t为参数），将其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，∵tA+tB=0，∴3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又∵AB⊥l，∴tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA·tB<03x20+4（4x0+m）2-12<0，将①代入上式，得3m2+4·9m2-12<0，解得m∈（-21313，21313）.

（3）选弦的定比分点为“定点”

如果以弦AB的定比分点P（λ=APPB）为方程中的“定点”，那么由t的几何意义可将定比条件转化为相应参数间的关系式tAtB=λ.

例5 已知椭圆C：x24+y23=1，若过C的右焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1>y2），且|AF||BF|=2，求直线l的方程.

解析：F（1，0），设l的方程为x=1+tcosα

y=tsinα（t为参数，α为钝角），将其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，设A、B对应参数为t1，t2，则

t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，

t1·t2=-93cos2α+4sin2α<0 ②，

又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，

将③分别代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，∴8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1>y2，得tanα<0，

故l的方程为y=-52（x-1）.

（4）选所求点为“定点”

如果选取所求点为方程中的“定点”，那么可将该点所满足的几何性质直接用相应的参数t去刻划.