方差教学反思

方差教学反思（共15篇）

方差教学反思 篇1

问题的提出：课本是由国家射击队选拔运动员的问题引入的，创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，但数据比较复杂。所以我改用了甲、乙两人五次考试的成绩，甲：85，90，90，90，95;乙：95，85，95，85，90;那学生计算起来比较简单。

方差公式的探索和推导：学生会对下列问题有疑惑：为什么不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢?

1、求平均数：甲=90，甲同学成绩与平均成绩的差=0

乙=90，乙同学成绩与平均成绩的差=0

所以不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小。

2、为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢?各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方后还是不能比较它们波动的大小。

3、如果两组数据不一样多，怎么解决数据个数的影响?

可去掉甲中的一个90分。从而推导出方差的概念和公式。

这样层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。学生对于公式比较难记住，可让学生分成四个步骤：①求平均数②求差③求差的平方和④再求平均数。

解决实际问题：为了培养学生会应用方差解决实际问题的能力，在对例1的教学中，我始终只做一个引领者，学生是解决问题的主人。在解决问题时，学生会容易漏写最后两步，因为<，所以甲比乙更整齐。

巩固练习：学生独立完成课本后的练习，时间充裕的时候还可以多在练习册上练几题。加深学生对方差的理解和提高他们运用知识的能力。

以上过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进的教学风格，注重培养了学生的能力和良好的学习态度，很好地完成了这节课的教学任务，达到了既定的教学目标。更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

心得体会：

1、创造性的用教材，在使用教材的过程中融入了自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取了更好的内容对教材深加工。

2、整个教学活动始终建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的，体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。

3、在整个过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进，学生作为学习的主人，注重学生能力的培养和探究精神。

方差教学反思 篇2

关键词：方差分析,概率论,数理统计

一、引言

《概率论与数理统计》是一门研究随机现象及其规律的数学基础学科, 有着很强的理论性和应用性. 目前很多高校在此门课程上只重视数学理论知识的学习, 忽视学生应用能力的培养. 为此, 现抽取同一专业2 个班级进行对比试验, 假设两个班级学生的基础相当, 同一授课教师在两个班级中分别使用不同的教学方法: 1 班使用传统教学方法, 2班使用引入统计软件的教学方法. 其他条件例如教学内容、考试内容等基本一致, 学期后通过期末概率论与数理统计成绩进行比较分析, 主要分析方法为单因素方差分析.

二、单因素方差分析基本原理

方差分析可分为单因素方差分析、多因素方差分析, 以及协方差分析.

( 一) 单因素方差分析的基本思想

单因素方差分析用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了影响. 这里将“概率论与数理统计成绩”作为观测变量, “教学手段”作为控制变量. 单因素方差分析的思想重在剖析观测变量的方差, 认为观测变量值的变动受到控制变量和随机变量两方面的影响. 将观测变量总的离差平方和 ( SST) 分解成组间离差平方和SSA和组内离差平方和SSE, 其数学表述为: SST = SSA + SSE. 通过比较观测变量总离差平方和中各部分所占的比例, 推断控制变量是否对观测变量带来了显著影响.

( 二) 单因素方差分析的数学模型

设 μi表示在水平Ai下观测变量X的真实平均值, 则在Ai下每次试验结果xij应该是在真实平均值 μi的左右随机波动, 这个随机波动量记为 εij. 因此, 方差分析的数学模型为

xij= μi+ εij, i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, r.

εij相互独立且 εij服从正态分布N ( 0, σ2) , μi, σ2> 0 为未知. 研究因素的影响是否显著, 归结为k个总体是否具有相同的均值, 这就要检验统计假设:

εij相互独立且εij服从正态分布N (0, σ2) , μi, σ2>0为未知且满足α1+α2+…+αk=0.要检验的统计假设可化为:

三、实证分析

现利用SPSS 17. 0 软件分析不同教学方法对学生概率论与数理统计期末成绩的影响. 选择菜单“分析→均值比较→单因素ANOVA”, 将“概率论与数理统计成绩”作为观测变量, “教学手段”作为控制变量进行单因素方差分析.

( 一) 方差齐性检验结果

不同教学方法下期末成绩的方差齐性检验值为2. 243, 其相伴概率为Sig. = 0. 137, 如果显著性水平设为0. 05, 由于相伴概率大于显著性水平, 认为不同教学方法下期末成绩的总体方差是相等的, 满足了方差分析的前提条件.

( 二) 不同教学方法的方差检验结果

观测变量期末成绩的总离差平方和为11847. 873, 可解释的变差为2897.507, 自由度为1, 均方为2897. 507; 抽样误差引起的变差为8950. 366, 自由度为124, 均方为72. 180; 相除所得的F统计量的观测值为40. 143. 1 其相伴概率Sig. = 0.000 < 显著性水平0. 05, 认为不同教学方法对概率论与数理统计期末成绩产生了显著影响.

( 三) 表3. 3 表明, 2 班的平均成绩明显高于1 班, 即引入统计软件的教学方法优于传统教学方法

四、对《概率论与数理统计》课程的教学思考

通过两个班级的期末成绩进行实证分析, 得知引入统计软件的教学方法优于传统教学方法. 建议在以后的课堂上可以将理论知识与实际背景相结合, 引入SPSS等统计软件, 更好的培养学生分析和解决实际问题的能力. 加强SPSS等软件的介绍, 使学生了解和熟悉运用软件进行数据分析, 提高学生的学习兴趣, 培养学生的动手能力.

参考文献

“方差”帮你决策 篇3

例1 (2009年江西省)经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25) kg的最为畅销。为了控制西瓜的质量,农科所采用A、B两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):

A:4.14.85.44.94.75.04.94.85.85.2

5.04.85.24.95.25.04.85.25.15.0

B:4.54.94.84.55.25.15.04.54.74.9

5.45.54.65.34.85.05.25.35.05.3

(1)若质量为(5±0.25) kg的为优等品,根据以上信息完成下表:

(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好。

解析 这是一道利用统计知识进行方案决策的试题。第(1)问直接从所给数据中即可回答;第(2)问要从不同的角度考虑,得到的结论可能不一样。

(1)依次为16颗、10颗。

(2)从优等品数量的角度看,因A技术种植的西瓜优等品数量较多,所以A技术较好;

从平均数的角度看,因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5 kg,所以A技术较好;

从方差的角度看,因B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;

从市场销售角度看,因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多,且平均质量更接近5 kg,因而更适合推广A种技术。

点评本题是一道与数据有关的开放性试题。主要考查利用数据的平均数和方差处理数据的能力。

例2 (2009年湖南省衡阳市)甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次,每次射靶的成绩情况如图所示。

(1)请你根据图中的数据填写下表:

(2)从平均数和方差相结合看,分析谁的成绩好些。

解析利用平均数、方差的计算公式和众数的意义以及折线图中呈现的信息,易求解第(1)小题;解第(2)小题应结合第(1)小题的结果,从平均数、方差方面进行分析。

(1)甲的平均数是6,方差是0.4。乙的众数是6。

(2)甲、乙两人射靶成绩的平均数都是6,但甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。

《平方差公式》教学反思 篇4

1、把数学问题“蕴藏”在游戏中。

导入新课，是课堂教学的重要一环。“好的开始是成功的一半”，首先是一个智力抢答，学生通过抢答初步感知平方差公式，接下来，采用小组合作学习的方式，利用“四问”让学生进行试验操作，学生选择的字母有很多种，让它们都有其共性。由此,学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出(a+b)(a-b)=a2-b2.经过不断的尝试小组合作学习方式的教学，我发现也真正体会到，只要我们给学生创造一个自由活动的空间，学生便会还给我们一个意外的惊喜。

2、充分重视“自主、合作、探究”的教学方式的运用。

把探究的机会留给学生，让学生在动脑思考中构建知识，真正成为教学活动的主体。使他们在活动中进行规律的总结，并且通过交流练习、应用，深化了对规律的理解。学生对知识的掌握往往通过练习来达到目的。新授后要有针对性强的有效训练，让学生对所学知识建立初步的表象，以达到对知识的理解、掌握及应用，实现从感性认识到理性认识的升华。在此设计了三个层次的有效训练，让学生体会平方差公式的特点：第一层次是直接运用公式，第二层次是将式子进行适当变形后应用公式，第三个层次是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧。

3、 自置悬念，享受成功

以四人小组为单位，各小组出两道具有平方差公式的结构特征的题目，看谁出得有水平。学生每人都设计了题目，任意叫了四位学生在黑板上写，经评价结果都对了。这种方法，不仅令人耳目一新，而且把学生引入不协调——探究——发现——解决问题的一个学习过程，使学生获得思维之趣，参与之乐，成功之悦。

4、切实落在实效上

本节课在采用小组学习之后，为了让学生的巩固有效果，采用了学生上台讲解、作业实物投影的方式来进行，多种方式的选择，让学生暴露出自己的问题，然后通过生生互动、师生互动解决问题，实现问题及时处理，学习效果不错。

5、值得注意的是：

1、节奏的把握上

这一节我觉得不是很顺，尤其在从几何角度解释平方差公式、例2⑵的其他计算方法等问题上，花了不少时间，节奏把握的不是很好。

2、充分发挥学生的主体地位上

方差教学反思 篇5

上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入;②形成;③明确表述;④辨析;⑤巩固应用;⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。

我的教学流程是按照“引入――猜想――证明――辨析――应用――归纳――检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。

当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上;在处理学生练习时，为了抓紧时间完

成进度没有把学生的出错点讲透讲细;游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来;当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。

平方差公式教学设计 篇6

教学目标：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学过程

一、复习旧知，引入新课

1、回顾多项式与多项式相乘的运算法则

2、故事引入新课（课件出示

题目略）

二、探索规律，发现结论

1、看谁算得又对又快

计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(x+2)(x-2)= ___________;(2)(1+3a)(1－3a)=__________;(3)(x+5y)(x－5y)=_________.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？请用一句话归纳总结出等式的特点.2、验证猜想，得出结论 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.三、巩固练习，讲解例题

1、找一找，填一填（用课件出示表格题目，让学生填写，并学会用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式）

2、判断下面计算是否正确

111（1）(x1)(x1)=x2

1（）

222（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2

（）（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2

（）

3、教学例题

例1 利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；

（2）（x－2y）（x+2y）（3）（－m+n）（－m－n）巩固练习

利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）；

（2）（3a+2b）（3a－2b）

例2 利用平方差公式计算：（1）(11xy)(xy)；

（2）（ab+8）（ab－8）

44巩固练习

利用平方差公式计算：（1）(x11y)(xy)；

（2）（－mn+3）（－mn－3）3

3（四）观察思考、拓展延伸

1、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

2、练一练

计算

1、（5m－n）（－5m－n）

2、（a+b）（a－b）（a2+b2）

（五）当堂达标、自我检测

利用平方差公式计算：（1）（－x－1）（1－x）（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）

111（3）(x)(x)(x2)

4（六）课堂小结、布置作业

1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

3、作业：

1.教材习题1.9 第1题（2）、（4）、（6）；第2题

方差教学反思 篇7

VaR是指风险价值模型,是一种衡量金融风险的工具之一,它试图通过一个简单的数字来总结一个资产组合的全部风险。VaR的含义可为,在市场正常波动下,某一金融资产或者证券组合的最大可能损失,VaR方法已经成为目前金融界用来测定市场风险的主要方法。

一、数据选取

上证可转换债券指数由上海证券交易所发布,其样本由在上海证券交易所上市的可转换债券组成。我选取的样本时期从2004年1月2日到2016年1月8日,共2919个样本。全部数据均来源于Wind资讯终端。为计算日收益率,采用如下的公式:

其中,rt是转债指数的日收益率,Pt是转债指数的日收盘价。

二、基于GARCH模型的VaR方差—协方差模型

假设收益率序列{r}服从正态分布,使用正态分布,并应用GARCH模型计算时间序列的条件方差ht,可以得到基于GARCH模型的每日VaR的计量模型,结果可表示为下列形式:

其中,Pt-1为前一日股价指数;Zα是置信度,为标准正态分布的临界值,当α=0.05时,Zα=1.645;ht是转债收益率序列的条件方差。

为建立基于GARCH模型的计算VaR的方差协方差模型,首先进行转债收益率序列异方差性(ARCH)检验。上证转债收益率序列滞后1-5阶大于统计量Q和LM的概率都小于0.01,表明我国转债收益率序列存在明显的异方差性。

资金量的变化是影响可转换债券收益的重要因素之一,因而以转债成交额变化率为自变量,记为x,,式中lt、It-1分别为当期和上一期成交额。通过比较各种模型的回归结果,GARCH(1,1)-M模型的结果比较理想。

通过GARCH(1,1)-M模型,可以得到ht。将其代入公式(1),可以得到可转换债券市场的每日VaR值,该值给出了转债市场价格指数在一置信概率下的最大损失下界,回归的结果见表。

上证转债最大前五个VaR值全部集中在2015年7月,即投资者面临转债指数下跌的风险比较大。其中,上证转债在2015年7月13日VaR值最大,为42.36点,说明在95%的置信概率下上证转债指数未来最大可能下跌42点,投资者面临的很大风险,债市出现如此大风险的主要归结为宏观经济风险和股市风险,如2015年中我国宏观经济面临较大的下行压力,而2015年7月,A股市场出现的历史性暴跌,引起了市场的极大恐慌。

三、结论

本文使用基于GARCH模型的VaR方差—协方差模型,得到了在传统的参数方法下可转换债券市场的风险状况。基于GARCH模型的VaR方差—协方差模型的结果表明,我国可转债市场面临的风险相对较大,但不排除某一较长时期内风险较小的可能。

参考文献

[1]Li X D.Value at risk based on the volatility,skewness and kurtosis[J].Journal of Alternative Investment,2002,5,4-6.

运用方差解竞赛题 篇8

例1 （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数z，使得实数x，y满足：x+y+z=5，xy+yz+zx=3.

解：由已知，得x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3.

∵x、y的方差S2=[（x2+y2）-（x+y）2]=[（x+y）2-2xy] =[（5-z）2-2（z2-5z+3）] ≥0，∴3z2-10z-13≤0，解得-1≤z≤，所以z的最大值为.

例2 （江苏省初中数学竞赛试题）已知：p3+q3=2，其中p、q是实数，则p+q的最大值为 .

解：不妨设p+q=k，由已知p3+q3=2，即 （p+q）（p2+q2-pq）=2，得k（k2-3pq）=2，∴pq=（k2-）.

又∵p、q的方差是S2=[（p2+q2）-（p+q）2] =[（p+q）2-2pq]=[k2-（k2-）]≥0，即3k2≥4k2-.由k>0，得0

例3 （前苏奥尔德荣尼基市第三届初中数学竞赛试题）已知x+y+z=1，求证：x2+y2+z2≥.

证明：由x、y、z的方差S2=[（x2+y2+z2）-（x+y+z）2]≥0.将x+y+z=1代人上式并整理得x2+y2+z2 ≥.

例4 （吉林省初中数学竞赛试题）设a、b满足a2-bc-8a+7=0……（1）b2+c2+bc-6a+6=0……（2）试求a的取值范围.

解：由（1）得bc=a2-8a+7…（3）.

由（2）-（1），得（b+c）2=（a-1）2（4）.

由（2）得b2+c2=-bc+6a-6（5）.

将（3）代入（5），得b2+c2=-a2+14a-13（6）.

因为b、c的方差为S2=[（b2+c2）-

（b+c）2]=[（-a2+14a-13）-（a-1）2]≥0. 化简，得a2-10a+9≤0，∴1 ≤a≤9.

从上面的几个例题可以看出，在运用方差公式解决数学中的最值问题时，只要灵活巧妙地将问题转化成公式的形式，即根据条件将问题转化成x12+x22+…+xn2及x1+x2+…+xn的代数式的形式，就能简单明了地解决问题.

平方差公式教学设计 篇9

姓名：李 海 岩 单位：汀罗一中

一、教学内容解释

平方差公式是整式的乘除运算的延续，是后续数学学习的重要基础，同时也是从一般到特殊的认识过程的范例.对它的学习和研究丰富了教学内容，也拓展了学生的视野.平方差公式着重于研究平方差公式的发生过程.其发生过程便于学生掌握这一公式的结构特征，更能理解公式中字母的广泛含义.在教学过程中，特别是探讨知识发生的过程，并和学生一起研究知识如何从一般到特殊概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法.二、教学目标：

1.理解并掌握平方差公式的特征。

2.能在混合运算中，运用平方差公式进行直接计算。

3.学会与人合作的意识，并能与他人互相交流思维的过程和结果。

三、教学过程设计

第一环节：创设问题情境,引出本节内容

1、知识回顾：多项式与多项式相乘的法则：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn． 设计意图：复习旧知识为新知识做铺垫。

2、计算下列各题，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x－1）；（2）（m+2）（m－2）（3）（2x+1）（2x-1）； 观察上面三个算式的结构，引导学生猜想：（a+b）（a－b）= a2－b2？从而引出新课内容。第二环节：新课讲解：

1、出示教学目标：

2、由上面的猜想我们进行验证：由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做（乘法的）平方差公式.3、教师引导学生分析平方差公式的特征：

4、引导学生用另一种方法证明平方差公式。

请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1 图2

学生活动设计：学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，两个图形阴影部分面积相等，即（a+b）（a－b）= a2－b2．

设计意图：引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式．培养学生交流与探索能力

5、练习题之一——选择题 设计意图：当堂巩固对公式的理解 第三环节：例题讲解，当堂练习

（1）（3x＋2）（3 x－2）；（2）（－x+2y）（－x－2y）

教师用PPT展示分析；（１）在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

(3x＋2)(3x－2)﹦(3x)2－22（a＋ b）（a－b）﹦a2 － b2

（２）将(2)调整成平方差公式形式计算.设计意图：通过例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法。

7、练习题之二——判断题

设计意图：加强对平方差公式特征的理解

8、练习题之三——填空题

设计意图：加强对平方差公式特征的运用 第四环节：知识应用，加深对平方差公式的理解

1、例题讲解：（1）102 ×98（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.2、练习题之四——当堂训练：运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）

设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，学生板演并巩固法则，充分发挥学生的主体性。

3、挑战极限

设计意图：让学生能够非常准确地运用平方差公式进行运算。第五环节：课堂总结：

1．通过本节课的学习我有哪些收获？ 2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？

3、通过本节课的学习你有哪些感受？

设计意图：学生归纳总结本节课的主要内容—平方差公式，交流在探索过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验．

第六环节：布置作业：

1、课本P112习题 14.2 第1题

2、预习完全平方公式

3、对于有潜力的同学还布置了一个选做作业。

设计意图： 通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，并对有困难的学生给予个别指导．

四、教学设计说明

乘法公式(平方差)教学设计 篇10

──平方差公式

湖北省襄樊市襄阳区城关一中 朱小平湖北省襄樊市襄阳区教研室 赵素芬 湖北省襄樊市教学研究室 吴明龙

一、内容和内容解析

【内容】 八年级上册第15章第2节第一课时乘法公式──平方差公式

【内容解析】“平方差公式”是初中阶段学生学习“乘法公式”的第一个公式，让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的推导过程，学生从已有的认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，运算结果特别简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用：既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便,又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；从公式的探究推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．要想熟练而正确的应用公式解决问题，学生必须对公式结构特征进行剖析，在剖析中加深了对公式特征和表达形式的理解与掌握，又为学生学习掌握其他数学公式提供了学习的模板．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具备核心的地位．让学生体会研究“公式问题”的“基本套路”：从一般问题（整式乘法）中发现特殊情况（平方差），举三反一，再考察特殊情况存在的共性及合理性，进而归纳出特殊情况的一般特征，归纳得到公式并用文字、符号表示；能够辨析公式，明确其结构特征，在实践中加以应用，举一反三，体会它存在的必要性和便捷性．同时为学生感悟和体验数学思想与方法（归纳、转化、数形结合）也搭建了一个不可多得的平台．

基于上述分析，确定本节的教学重点是；

理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用此公式进行计算．

二、目标和目标解析

【目标】

1、了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．

2、经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．

3、在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣．

【目标解析】学生经历公式的形成过程：从“特例──一般”用“归纳──猜想──验证──数学符号”表示等过程，进一步发展学生的符号感、培养他们的合情推理和归纳的能力；让学生能理解公式中a、b 各代表什么，能够分析、运用平方差公式的结构特征解决问题；让学生在经历从具体到抽象，从一般到特殊中，寻找规律，自我归纳，明确解决同类问题的基本套路，积累数学活动的经验，感受“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣；在自主探究、合作交流的过程中体验学习的快乐和幸福，从而能主动地去理解数学、感悟数学的精神．

三、教学问题诊断分析

学生的认知基础有：第一、七年级学生已有用字母表示数的基础．第二、学生已学习了多项式的乘法，但本节课所给特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握（如字母表示负数，多项式等），在平方差公式的灵活运用时常发生多种错误，如：① 符号错误（-5a-3）（+5a-3）=25a-9 ② 系数不平方（2a-1）（2a+1）=2a-1 ③ 不能运用公式的而运用公式（a+0.5b）（b-0.5 a）=a-0.25b，其原因就是只了解公式（a+b）（a-b）=a-b的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征．

鉴于此，本节的教学难点是：

理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式．

四、教学支持条件分析

利用多媒体展示教学的部分环节，如创设情景、公式的几何意义等，从而支持课堂教学，突出重点，突破难点．

五、教学过程设计

（一）创设情境，快乐起航

2222

从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应道:“好吧”．回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗？学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．

[设计意图]从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．

（二）自主探索，获取新知

问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题．再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）

（1）（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn(4)（a+5）（a-5）

(2)(x+3)(y+4)=xy+4x+3y+12（5）(p+q)(p-q)(3)(y+3)(y-2)=y+y-6（6）（2x+1）（2x-1）

问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？

（视学生活动情况，可预设以下两个追问）

（追问1）：（4）（5）（6）题在形式和结果上与其它各题有什么区别？

（追问2）：观察、分析（4）（5）（6）左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？（小组讨论）

（4）（a+5）（a-5）= a-5a+5a-5 = a-5

（5）(p+q)(p-q)= p-pq+pq-q = pb

相同项 相反项 相同项-相反项

[a与a] [b与-b]

[设计意图]揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“一箭双雕”．

（四）数形结合，几何说理

问题5：现在，你知道张老汉是否吃亏了吗？吃亏了多少？

追问：如果将张老汉所租的正方形土地的一边减少b米，相邻另一边增加b米，现在的土地面积是多少？原来的土地面积是多少？两者相比，发生了怎样的变化？请你将图（1）重新拼图，验证结论的正确性．它说明了什么公式？

[设计意图]使学生直观地经历变化的过程，从数形结合的角度加深对公式的理解．

（五）巩固运用，内化新知

开心一试 真我巧变

1.你能用□和○分别代表a和b来表示平方差公式吗？

(□+○)(□－○)=□－○

2.请你根据等式在□和○里填数或式

如（2a +⑤）（2a －⑤）=2a-⑤

教师可根据学生的回答，补充多项式的形式．

小结：其中□（即a）和○（即b）可以表示数，单项式或多项式．

[设计意图] 这道开放题的设计，以剖析a、b的广泛含义为目的，对于认清公式的结构特征起到事半功倍的作用，在后面公式的运用中相信学生会更加得心应手．

2锋芒毕露 模拟演练

3．填一填

[设计意图] 设计此题旨在将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，举一反三，加深对字母含义广泛性的理解．

你挑我选 慧眼识珠

4．判断对错，如果有错，如何改正？（大组竞赛）

(1)（x-2）（x+2）=x-2（）(2)（2a+5）（2a-5）=2a-25（）

(3)（-1+3m）（1+3m）=1-9m（）(4)（a+b）（b-a）=a-b（）

(5)（1/3-4xy）(1/3+4xy)=1/9-16xy（）(6)（4x+3b）（4x-3b）=16x-9（）

[设计意图] 对学生常出现的错误，进行预设，防微杜渐．

例 题：计算

（1）10298（2）（y+2）（y-2）－（y-1）（y+5）

222

2大显身手 巧用善用

5．计算

(1)5149(2)（3x+4）（3x－4）－（x+3）（x－2）

[设计意图] 通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．

争我风采 易如反掌

6.变式练习

(1)填空： ①(-m+___)(n+____)=n-m

② 写出与（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________________．

③(5a+b+3c)(5a+b-3c)=A-B,则A=_______B=______.(2)计算:(x+y)(x-y)(x+y),并根据此题自编一道类似的题，同桌交换做一做．

（3）2008-20092007

[设计意图] 通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征的理解，连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高．

（六）小结梳理，布置作业

1.小结

（1）本节课你学到了什么数学知识？

（a+b）（a-b）=a-b

（2）平方差公式的结构特征是什么？

左边：两个因式中一定有相同项和相反项

右边：相同项的平方减去相反项的平方．

（3）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合）

2.作业

（1）课内作业

①、P156 T1

②、先化简，再求值 x(x+2)-(x+1)(x-1),其中x=1/

2（2）课外探究

从边长为a的大正方形纸板中，挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形，再拼成一个平行四边形．如图所示，那么通过计算平行四边形的面积，可以验证公式 ________．

[设计意图] 数形结合，从几何意义上理解代数公式，多方位的去理解新知、运用新知，加深学生对平方差公式的理解．

六、目标检测设计

（一）选择题

1、下列各式计算中，结果正确的是（）

A、（x-3）（x+3）=x-6 B、（x+5）（3x-5）=3x-2

5C、（-x-y）（x+y）=x-y D、（2ab-c）（c+2ab）=4ab-c2、下列各式相乘，能用平方差公式计算的是（）

（1）（2a-3b）（3b-2a）（2）（-2a+3b）（-2a-3b）

（3）（2a+3b）（-2a-3b）（4）（2a+3b+c）（2a+3b-c）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

(二)计算

（1）（-3x+2）（-3x-2）（2）（4x-3）（4x+3）-（x-2）(2-x)

（三）填一填

（1）（-x+__）(___-2y)= x-4y（2）(-6m+___)(2n+___)=4n-36m

（四）小强去商店买了9.8千克的食品，每千克10.2元，售货员正准备拿计算器计算，小强却一口说出了答案，你能像小强那样快速算出答案吗？

“平方差公式”的变形与应用 篇11

一、找准a,b，正确套用

例1计算(-3x-5)(3x-5).

分析：两个因式中-5是相同项，3x是相反项.即-5相当于公式中的a，3x相当于公式中的b.

解：(-3x-5)(3x-5)=（-5）²-（3x）²

=25-9x².

二、改变系数，灵活套用

例2计算（2a+4b)(a-2b).

分析：观察题目的特点，将（2a+4b)提取系数2后，得2（a+2b），再观察可直接套用公式.

解：（2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)

=2(a²-4b²)

=2a²-8b².

三、巧妙组合，分组应用

例3计算（a-b+c-d)(a+b-c-d).

分析：两个因式中的a,d前边的符号分别相同，而b,c前边的符号分别相反，所以可进行适当的变化，再用平方差公式解决.

解：（a-b+c-d)(a+b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]

=(a-d)²-(b-c)²

=a²-2ad+d²-b²+2bc-c².

例4计算（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴).

分析：观察本题特点，可调整顺序连续使用平方差公式.

解：（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴)

=(x-y)(x+y)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x²-y²)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x⁴-y⁴)(x⁴+y⁴)

=(x⁴)²-(y⁴)²

=x⁸-y⁸.

四、因题而异，逆向使用

例5计算（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)².

分析：观察题目特点，可逆用公式.

解：（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)²

=[(x+2y-3z)+(x-2y+3z)][(x+2y-3z)-(x-2y+3z)]

=[x+2y-3z+x-2y+3z][x+2y-3z-x+2y-3z]

=2x(4y-6z)

=8xy-12xz.

五、拆项变形，重组使用

例6计算（a-b+1)(a+b-3).

分析：观察式子的特点，可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式，然后利用平方差公式计算.

解：（a-b+1)(a+b-3)

=(a-b+2-1)(a+b-2-1)

=[(a-1)-(b-2)][(a-1)+(b-2)]

=(a-1)2-(b-2)²

=a²-2a+1-b²+4b-4

正确认识极差、方差与标准差 篇12

一组数据中最大值与最小值的差, 能反映这组数据的变化范围, 这样的差叫做极差.

用方差的算术平方根

来描述一组数据的离散程度, 并把它叫做这组数据的标准差.

二、理解极差、方差与标准差联系与区别

极差、方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度统计量, 它们具有各自的特点:极差是一组数据中最大值与最小值的差, 因此, 极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况.方差或标准差反映了一组数据的波动大小, 方差或标准差越大, 数据的波动越大;方差或标准差越小, 数据的波动越小.必须注意的是:当两组数据的平均数相等或比较接近时, 才能利用方差或标准差比较两组数据的离散程度.

如, 甲、乙两名射击选手各自射击十组, 按射击的时间顺序把十组射中靶的环数值记入下表:

根据上表数据, 可以完成下列分析表对甲、乙两名射击选手各自射击十组的成绩进行分析:

因此, 如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛, 那么可以看出甲射击成绩的平均数和众数与乙射击成绩的平均数和众数相等, 但甲射击成绩的中位数、极差和方差都比乙射击成绩的中位数、极差和方差小, 即甲射击的成绩较乙相对稳定.

再看下列两组数据:

(1) -3、0、0、0、3;

(2) -3、-2、1、2、2.

我们同样可以分别求得这两组数据的平均数、极差和方差, 并填入下表:

由此可以看出:平均数相同的两组数据, 极差大的一组数据方差不一定大.

三、灵活应用极差、方差或标准差解决实际问题

例为了声援扬州“世纪申遗”, 某校举办了一次运河知识竞赛, 满分10分, 学生得分均为整数, 成绩达到6分以上 (包括6分) 为合格, 达到9分以上 (包括9分) 为优秀, 这次竞赛中, 甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.

(1) 补充完成下面的成绩统计分析表:

(2) 小明同学说:“这次竞赛我得了7分, 在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知, 小明是_____ (填“甲”或“乙”) 组的学生;

(3) 甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组, 所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法, 认为他们组的成绩更好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.

【分析】应用平均数、中位数的概念和意义即可解决问题 (1) 和 (2) , 问题 (3) , 则从不同的角度观察问题将得到不同的结论, 支持乙组同学观点, 即需从支持乙组同学的数据优势进行分析.

(2) 观察上表可知, 甲组的中位数是6, 乙组的是7.5, 小明是7分, 超过甲组的中位数, 低于乙组的中位数, 所以应该甲组的学生;

(3) 从统计图和表格中可以看出:乙组的平均分、中位数都高于甲组, 方差小于甲组, 且集中在中上游, 所以支持乙组同学的观点, 即乙组成绩好于甲组.

样本方差证明 篇13

样本方差有2种表达方式：

S2

n1n(Xi)2-----（1）ni1

1n

Sn1(Xi)2-----（2）n1i12

从理论上说这2种定义都是可行的，现实生活中更经常使用方程（2），是因为方程（2）是总体方差真实值2的无偏估计量，而（1）是有偏估计量。无偏性在应用中非常重要，估计量只有无偏才能保证在样本数目足够大时无限趋近于真实值，估计才有意义。证明方程（2）的无偏性如下，思路是对估计量求期望，看是否等于总体方差：

n1E(Sn1)E[(Xi)2]n1i1

n1E{[(Xi)()]2}n1i1

nn12E{[(Xi)2(Xi)()n()2}n1i1i12

n1{E(Xi)22nE()2nE()2}n1i1

n1{E(Xi)2nE()2}n1i1

212{nn()}n1n

2

证毕。

如果有问题，可随时联系我。

祝好！

20.2.2方差教案 篇14

设计人：伍启明

教师寄语：相信自己，你是最棒的！

学习目标：

1、理解方差的意义，掌握如何刻画一组数据波动的大小。

2、掌握方差的计算公式并会初步运用方差解决实际问题。、通过实践观察，掌握衡量一组数据波动大小的方法和规律，逐步形成解决问题的基本策略和方法。

学习重点：理解方差的意义，熟练运用方差公式进行方差计算，并能运用方差衡量一组数据波动大小。

学习难点：理解方差的意义，准确记忆方差公式。学习过程：

一、前置准备：

在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄如下： 甲队 26 25 28 28 25 28 26 28 27 28 乙队 28 27 25 28 27 26 28 27 27 26（1）计算两队参赛选手的极差？

（2）你能说出两队参赛选手年龄的波动大小吗？

二、新课学习：

1、为了直观看出甲乙两队参赛选手年龄的分布情况，请完成下列图形：

2、从图中你能看出哪些信息？

3、运用方差公式计算甲乙两队参赛选手年龄的方差 解：

4、认真观察散点图和上述计算结果思考：用一组数据的方差来刻画它的波动大小有什么规律？

5、通过例题学习，用一组数据的方差来刻画数据波动大小的解题步骤是什么？

三、巩固提高：

1、填空题：

（1）一组数据：2，1，0，x，1的平均数是0，则x=.方差S22（2）如果样本方差S.14(x12)(x22)(x32)(x42)，2222那么这个样本的平均数为.样本容量为.2、选择题：

（1）样本方差的作用是（）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小 D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小（2）一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（）A、等于a B、不等于 a C、大于 a D、小于a 3.甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是（）甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？

四、思维拓展：已知x1,x2,x3的平均数x10，方差S23，则2x1,2x2,2x3的平均数为，方差为.五、课堂小结：

（1）本节课学到了什么？

基于光线跟踪的方差阴影图算法 篇15

1 方差阴影图算法

普通的阴影图算法虽然可以快速绘制出阴影,但在复杂场景下走样比较严重。所以我们采用方差阴影图算法VSM(Variance shadow map)来产生柔和阴影的效果。本文算法主要是在三维物体空间的光线跟踪算法的基础上,与二维图像空间的方差阴影图算法的结合,在保证阴影质量的同时,使得场景的绘制速度达到可交互的级别。和传统的阴影图算法一样,首先以光源为视点对场景进行渲染,对于方差阴影图算法来说这一步需要获取深度值和深度值的平方。通过下面的公式来计算均值 μ 和方差σ2:

然后用一个单侧版本的切比雪夫不等式,如公式(5)所示来计算所渲染像素点的所接受光照的权值Pmax相乘

求得光线与场景中每个点的深度值,选则以交点hitpoint为中心附近的9宫格(也可以更多,那样效果更好)像素来进行求取均值和方差。根据附近3x3像素范围内方差和均值所求得的系数与相应的光强相乘得到该点的光强。

具体的判断方法:假设第一次以光源为视点,进行渲染,所得的深度为d为光源到hitpoint的距离,进行复杂的齐次矩阵坐标变换后第二次从视点进行渲染的时候,所得的交点与光源的距离为t。如果t<u,(u就是上文中的均值)该点被照亮,则将光线的光强与权值Pmax相乘,如果t>u,则该点被遮挡,处于阴影之中,颜色直接设置成背景色。

2 Opti X简介

本文算法就是利用Opti X来完成的。Opti X是由英伟达推出的光线跟踪引擎,为GPU硬件提供大规模并行计算的框架,依靠这个框架可以使光线跟踪的算法达到可交互式的目的。Opti X本身并不是一个光线跟踪器,而是一个可扩展的基于光线跟踪算法的应用程序框架。Opti X程序有两部分组成:1)主机API(host-based API);2)CUDA C程序系统(CUDA C-based programming system)。

3 实验结果分析

实验使用的计算机基本配置:Intel(R)Xeon E3-1255 v3CPU,4G主存,NV Quadro K2000 GPU,编译环境为vs2013。实验使用的模型是Bunny模型,包含的三角形面片数量为14000个。我们采用英伟达的optix光线跟踪加速程序框架来实现方差阴影图。像素设置为1024*768,实验结果如图2:

从图中可以清晰看出兔子模型所产生的阴影效果图的边缘是模糊渐变,阴影的效果接近柔和阴影的真实感效果。

根据实验结果,总结出该方法有以下几个优点:

1)使得光源变为聚光灯,其角度基本和视域体的角度相切,光源发射的所有光线所进行的光线跟踪计算达到最小,因为跟踪的光线减少了。这样就使得渲染场景所进行的计算大大减少;

2)阴影的效果近似柔和,由上图兔子阴影的边缘可以看出,由于该效果是在点光源下产生的,所以对于光线的处理速度非常快,效果比纯粹的过滤阴影图要快很多;

3)不需要进行阴影测试,由于把距离参数保存在矩阵当中,所以也减少了计算量和内存空间。该算法结果的帧数能达到20 左右,可以达到交互式的级别。如果把光源换成面光源来处理,只需要进行少量的点光源采样就可以达到柔和阴影的效果,图3是通过面光源产生的柔和阴影效果;

4)该算法不需要进行预计算。

摘要：提出了基于三维物体空间的光线跟踪算法和基于二维屏幕空间的方差阴影图算法的结合来进行真实感场景的渲染,进而产生真实感效果较好的阴影效果。经典的蒙特卡罗光线跟踪算法在进行三维场景的渲染时需要进行大量的求交计算,对光线进行递归的跟踪求解来模拟现实场景中的光线,通过大量间接光照的计算来获得较强的真实感效果。而阴影又是影响场景真实感的重要因素,算法以渲染的像素为中心,依靠附近的像素来计算该点的深度的均值和方差,来判定该点所获得的光照系数。实验表明,通过本文的算法可以实现较好的阴影效果并且拥有较快的渲染效率。

关键词：光线跟踪,方差阴影图,求交计算

参考文献

[1]Glassner A S.An Introduction to Ray Tracing.Academic Press(1991).

[2]Kalojanov J,Slusallek P.A Parallel Algorithm for Constructionof Uniform Grids.In:Proc.of the Conference on High Perfor-mance Graphics,2009:23-28.

[3]Hasenfratz J M,Lapierre M,Holzschuch N,et al.A Survey ofReal-time Soft Shadows Algorithms.Computer Graphics Fo-rum 22,2003:753-774.

[4]Donnelly W,Lauritzen A.Variance Shadow Maps.In:Proc.of2006 Symposium on Interactive 3D Graphics and Games,2006:161-165.