大数的认识
教学内容：计算工具的认识 教学目标：
1． 使学生知道计算工具发展的简单历史，认识算盘，了解珠算的计算方法。
2． 认识计算器，了解计算器的使用方法。3． 培养学生爱科学，学科学的思想。教学重点：介绍数字键和运算键 教学难点：键盘操作与显示的关系。教具准备：算盘，计算器。教学过程：
一、学前准备
1、谈话。
教师：同学们，你们去过超市吗？当你们同家人在那买了生活和学习用品后，兴高采烈地去结帐时，结帐处的阿姨是怎样给你们算帐的呢？用计算器算帐有什么好处吗？想一想，什么土地方，哪些行业的人员会使用计算器或计算机呢？
2、了解学生调查的情况。（调查作业提前布置）教师：昨天让大家回家调查发结帐时所用到的工具。谁能给大家说说。算盘也是一种计算工具，谁能给大家介绍一些关于算盘的知识呢？
二、探究新知
1、计算工具发展的简单历史（课件简单介绍计算工具的发展）
2、珠算（1）介绍珠算
用算盘作为工具进行计算的方法，叫做珠算。珠算是我国劳动人民在长期的生产、计算实践中，首创的一门科学的计算技术，是我国珍贵的历史产物之一。据记载，十五世纪初期，珠算已经得到广泛的应用，并先后流传到朝鲜、日本、韩国等邻邦，成为东亚各国广泛使用的一种计算方法。
（2）认识算盘
认识算盘各部分名称：梁、档、框、顶珠、上珠、下珠、底珠。
3、算盘的计数方法。
算盘上每一档代表一个数位，计数前先要确定某一档做个位，定位是有算盘计数的特殊要求，再从个位向左依次是十位、百位、千位等与整数的数位顺序一致。
使用算盘时，只有把算珠拨到靠梁时，才表示算盘上有数，算珠都靠框时，表示没有数。
说明：“5”一般不用5个下珠表示，而是用一个上珠表示，“10”一般不用一个上珠和五个下珠表示，也不用两个上珠表示，而用十位上的一个下珠表示，这一点与十进制计数法是一致的。
4、珠算拨珠方法 用拇指拨上1、2、3、4、用食指拨去世、2、3、4、用中指拨上5，拨去5 用拇指和中指联合拨上6、7、8、9，再有食指和中指同时拨去6、7、8、9。
5、了解计算器的知识（1）了解计算器的外观
一、回顾交流, 了解情况
“回顾交流”是指上课伊始先让学生回顾本单元所学习的内容, 并进行小组交流, 说一说自己已经掌握了哪些知识, 还有什么不懂的问题;“了解情况”是教师根据学生的交流情况调整自己课前预设的复习方案, 使复习更具针对性, 更有实效。在教学“大数的认识整理与复习” (人教版四年级上册) 时, 先让学生回顾这一单元学习了哪些内容, 然后在小组内进行交流, 再指名汇报各组的交流情况, 还可以让学生说一说学习本单元存在哪些困惑与问题, 哪些地方还未弄懂……从而了解学生对本单元知识的掌握情况。
二、自主梳理, 引导建构
整理与复习课的教学, 教师要善于引导学生自主梳理出本单元相关知识点, 形成知识的结构网络。梳理建构是在学生充分回忆复习内容涉及的各个知识点后, 引导学生以小组合作的形式, 讨论、研究知识之间的内在联系, 归纳编织, 合理构建, 形成结构编码。在学生梳理建构过程中, 教师应主动参与, 注意观察, 并适时、适当点拨与引导。为了使学生能够梳理建构, 平时教学中应该有机渗透编织知识结构的基本方法, 如:列表结构编织、树状结构编织、网状结构编织等。使学生对本单元知识点形成知识网络, 加深对所学知识的理解与掌握。如, 在“大数的认识整理与复习”教学时, 可采取边练习边整理来建构知识的结构网络。例如:
师:水是生命之源。老师收集了几个城市2007年废水的排放总量, 请大家记录下来。 (要求:老师报数据, 学生认真听并记录在练习纸上。)
莆田:1000000000吨;
福州:150026020吨;
泉州:61900000吨;
漳州:62000008吨;
福清:8060705吨。
1. 复习写法。
师:请大家交流一下各自的写法。这些数你们记录得既快又准确, 用了什么好方法?在写数的时候要注意什么问题? (让学生说一说数的写法。教师板书:数的写法)
2. 复习读法。
师:你们在读这些数时又有什么好方法呢? (让学生进一步掌握“四位分级法”。教师根据学生的回答板书:数的读法)
3. 复习数位顺序表。
师:哪位同学来介绍一下数位顺序表?
(课件出示“数位顺序表”。)
师:个级表示几个什么?万级呢?亿级呢?每两个相邻单位之间的进率是多少?
(学生讨论交流, 教师评价指导。)
4. 复习比较大数的大小。
师:你能按一定顺序排一排这几个城市的废水排放量吗?
说说你是怎么排的?在比较数的大小时我们要注意些什么?
5. 复习改写和求近似数。
师:你能把这些数分分类吗?可以按什么分类?
(引导学生按整万、整亿的数分一类;不是整万、整亿的数分为另一类。)
教学省略“万”、“亿”后面的尾数, 求近似数。
出示:1000000000吨=10亿吨
61900000吨=6190万吨
(要求学生说一说是怎样改写的, 说出改写的方法要点。)
师:下面各数省略万或亿后面的尾数后约是多少?
(出示:150026020吨;8060705吨。先让学生说, 教师再归纳指导。)
师:省略“万”或“亿”后面的尾数, 要看下一位上的数, 用“四舍五入法”取舍后面的数, 并加上一个“万”或“亿”字;注意要用“≈”号。
通过收集几个城市2007年废水的排放总量, 引导学生进行写数、读数、比较、改写、省略以及复习数位顺序表, 系统地复习整理本单元知识点, 形成知识结构网络。
三、综合训练, 拓展提高
复习课的练习不能等同于新授课中的练习, 复习课中的练习应该实现从基础性向综合性过渡, 应该更具针对性、综合性、开放性和实践性。
(1) 针对性练习:针对学生交流时出现的问题以及本单元易混易错的概念或知识, 设计以判断、选择、比较、改错为主的练习, 目的在于澄清学生的错误认识。所以课前应精心预设习题, 练习时可针对学生的情况有所取舍。
(2) 综合性练习:练习题涉及的知识点较多, 要求学生能综合运用所学知识灵活解决问题, 以检测学生知识掌握的程度。
(3) 开放性练习:开放性练习的形式较多, 如练习题的条件、问题或缺少、或不确定;习题的答案不唯一;解决问题的方法多样化等等。开放性练习对不同层次的学生都有训练作用。如, 在“大数的认识整理与复习”课教学时, 可设置如下的练习题。
1. 填一填。
(1) 从个位起, 第五位是 () , 计数单位是 () ;第九位是 () , 计数单位是 () ;第十二位是 () , 计数单位是 () 。
(2) 10个一千是 () , 10个百万是 () , 10个一千万是 () 。
(3) 2752006009是 () 位数, 它的最高位是 () 。读作:_________。
(4) 30300030最高位的3表示 () , 中间的3表示 () , 最后的3表示 () 。
(5) 七百亿零九百五十写作:___。
(6) 千位是8, 十万位是3, 亿位是5, 其余各位上的数字都是0, 这个数是 () 。
2. 写一写:用3、2、8、9和3个0按要求写出七位数。
(1) 最大的数;
(2) 最小的数;
(3) 一个0都不读的数;
(4) 只读出1个0的数;
(5) 要读出2个0的数;
我们都很好奇，她这位新找到的如意郎君究竟是何方神圣，竟能够让个性挑剔到近乎完美的她，如此投入？经过几位好事的朋友再三催促，她终于答应约他出来，请大家喝下午茶。
根据当天的目击者表示，“还好啦！就是很平常的一个男人嘛！哪有她讲的那么好，什么一百分啊？跟她前面的几任男友比起来，也好不到哪里去呀。”
关于恋情的耳语，总是很快会再传回到当事人的耳朵，她不在乎别人闲话什么，只是很认真地想与我分享。
她说：“我自己觉得我长大了，我知道自己要的是什么。失恋多次的经验，让我发现：恋爱的对象没有十全十美的，只要对方的条件，符合我所最在意的几项，他就是我的一百分。”
幸福，永远属于知道自己要的是什么的人，听了她的告白，我很感动。
爱情刚开始的时候，看不到对方的优点、看不到对方的缺点，所看到的，只是自己最在意的几项特点。很多朋友告诉我，初次约会回家，心里甜甜的。而偏偏这些好感，并不足以帮助双方度过爱情的难关。
交往一阵子以后，所有的优点和缺点，才会慢慢浮现。比较糟糕的是：情人们往往对优点视而不见，对缺点如数家珍。
“我那个啊！什么都好，就是懒散了点，而且不怎么爱干净。”“想娶我吗？除非他把老是迟到的毛病改一改。”“如果，他不是那么节俭、吝啬的话，我会更爱他。”……一旦爱情卡在这些小机关里，即使双方算尽聪明都无法幸福长久。
只要发现情人的优点比缺点多，就该让自己爱得心甘情愿一点。我常建议身边的有情人：“要多看优点、少看缺点。”其实，我知道很难完全做到。
所以，不如退而求其次，认真记下所有的优点，以及缺点，然后看看到底是优点多过缺点，还是缺点多过优点。只要发现对方优点比缺点多的时候，就该让自己心甘情愿一点，不要老是念着对方的缺点。
以多击寡。我把它称之为“爱情的大数法则”的第一种应用。优点多于缺点，就是以多击寡，借此克服自己的心理障碍，比较愿意死心塌地爱着他。
列出自己期望中的二十项条件，然后筛选出最在意的前三项，只要符合这三项要件的情人，便是一百分。
掌握重点。这是“爱情的大数法则”的应用之二。有效删除干扰你的讯号，抓住幸福的重点。
第三种应用“爱情的大数法则”的方式，是对照法。我相信：每个人身上有安定的因子，也有不安定的灵魂。当你跟这个人在一起的时候，感觉想要安定下来的因子大于不安定灵魂时，就可以开始做和他长相厮守的准备了，不必等到完全确定自己玩累了才想收心。只怕是等你玩累了，爱你的人也跑光啰！
幸福思考，聪明行动——谈恋爱，不能太贪心，也不能完全都没有企图心。
1、结合具体情境认识计数单位万、十万、百万、千万、亿，了解十进制计数法。
2、经历运用万以上的数表示事物的过程，感受大数的意义，培养数感。
3、对大数目进行合理的估计，自觉与同伴交流，体验合作成功的乐趣。
4、多渠道收集信息、处理信息，在学习知识的同时了解搜集信息的途径和方法。
教学重点：
感受计数单位十万和亿。
教学难点：
感受大数的意义、发展数感。
教学准备：
计数器（每个小组的学生各一个）、课件。
教学过程：
一、创设情境，提出问题。
师：为了使同学们读到更多的书，这两年我们学校增进了很多的图书。在一些中学和大学校园里还建有规模更大的图书馆，想不想跟老师一起去看看？
生：想。
师：课件出示情境图：清华大学附属中学图书馆约有图书十万册）（指一名学生）你的表情告诉大家，你有话想说。
生：书真多啊。
师：老师还带来一组咱们班同学从网上查找的资料，谁来读给大家听？（课件展示课本上所提供的一段资料）中山大学图书馆累计藏书约4086000册。山东省图书馆累计藏书约5094600册。中国国家图书馆累计藏书约21600900册。美国国会图书馆累计藏书约119000000册。指一名学生试读，生面露难色，眉头紧皱。
师：大家遇到困难了，生活中像这样的大数还有很多，今天我们就来认识和研究生活中这样的大数。（板书课题：万以上数的认识）
二、自主学习，小组探究。
1．感知十万的数。
（1）师：同学们说清华大学附属中学图书馆的书有很多，十万是多少呢？谁来说说看。学生自由说。用课件出示：1小盒订书钉有1000个。师：我们一起数数看一大盒装了几小盒呢？（课件动态演示，学生数）引导学生继续往下想：两大盒有多少个订书钉？3大盒呢？5大盒、8大盒、9大盒、10大盒呢？学生跟随老师的提示，进行想象。课件动态演示十大盒订书钉叠在一起的情景。让学生结合自己的生活经验来描述一下十万是多少？师生共同小结：十个一万是十万。
（2）师课件出示人民大会堂图片。
师：我国雄伟的的人民大会堂，它能容纳一万人，如果要容纳十万人，需要几个这样的人民大会堂？
生：10个。
师：也就是说，10个这样的人民大会堂才能容纳十万人。那你见过十万个人聚集在一起的情景吗？让学生结合自己的生活经验来描述一下十万是多少。
（3）师课件出示计数器。
师引导学生在万位上一个一个地拨珠子。学生跟随一万一万地数，当数到10万时。师引导生领悟：在万位的前一位，这一个珠子代表的是一个十万。并理解10个一万是十万；万和十万之间的进率是10。（随着学生的回答，课件演示其过程）师板书：10个一万是十万学生以小组为单位，用计数器自己探索一百万、一千万、一亿、十亿、一百亿、一千亿之间的关系和进率。
师生总结：10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。
2．感知万以上的数结合资料引导学生想象。
（1）一般情况下，成年人的头发约有10万根，同学们闭上眼睛想象一下，10个成年人的头发集合在一起大约有多少根？100个人呢？1000个人呢？（学生边想象边回答）1000个正常成年人的头发大约有一亿根。
（2）钟表上的秒针跳动一亿下需要用三年多的时间。让我们跟随秒针跳动的速度来数数看。
三、汇报交流，评价质疑。
1．认识计数单位，了解数位顺序表。
介绍：像一、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都叫计数单位。讨论：细心的小朋友可能注意到了，亿后面为什么加，你怎么理解？师：每个计数单位要占据一定的位置叫做数位。因此就有了数位顺序表。学生独立完成数位顺序表，然后小组交流。
2．小组合作，研究数级的划分。
师：为了使用的方便，我们能不能给这些数位划分一下小组，然后给每一个小组起一个你们认为比较合理的名称。
小组合作探究，然后各小组汇报交流。学生在小组内讨论哪种分法更合理。师：两种分法都有道理，但是经过人们长期的使用验证，第二种分法使用起来更合理、方便。老师介绍数级的划分方法。
3．了解十进制计数法。
引导学生仔细观察数位顺序表，你能发现什么？课件出示：每相邻两个计数单位之间的进率是十，这种计数方法叫做十进制计数法。讨论：相邻是什么意思？你怎样理解？
师：大家理解得都很好，我们一起了解一点相关知识。生：就是挨着的两个计数单位。
四、抽象概括，总结提升。
师：我想通过这节课的学习，大家能不能运用今天所学的知识读出这些大数来呢？课件出示：中山大学图书馆累计藏书约4086000册。山东省图书馆累计藏书约5094600册。中国国家图书馆累计藏书约21600900册。美国国会图书馆累计藏书约119000000册。学生试试。（有的学生不会）有关这部分知识我们下节课接着学习，会使我们更熟练的认识大数。
五、巩固应用，拓展提高。
1．第五页的第二题。
让学生回忆今年伦敦奥运会开幕式的场景，感受大数，并用大数进行表述通过练习建立数的概念，培养学生的数感。
2．这节课你有哪些收获？
大数，学生在日常生活中已经有所接触了，但受学生年龄的影响，对大数是比较陌生的，尤其是亿以上的数，只知道比较大，但到底是多大?这些数在生活中又有什么用处呢?如果只是在教学中告诉学生大数比较大，只是口头上去感受这个数的大小，那么学生对大数的概念还是比较抽象的，不能从实质上去理解，所以在课前我就让学生去收集万以上的数，目的旨在让学生在收集的时候先感性体会一下，知道这些数在生活中的用处。至于较为确切的感受大数，教材针对这个问题在第4页安排了阅读材料“你知道吗?”，并在后面设置了“一亿有多大?”这节活动课。通过这2个方面以及学生在生活中对大数感觉的逐渐培养，对大数概念的理解变得相对容易。
这部分教学主要的难题在另一方面。在读写大数的教学中，数中有零和数的末尾有零的大数的读写是教学中的一大难点。因为读写的时候，有时写着的0不读出来，有时又要全部读出来，有时有写0要读，有些0不读;写数时，所有的0又都要写下来。写数往往会出现少读、少写或多读、多写的情况。怎样才能较好地解决这个难点呢?根据以前的教学经验，让学生在读数和写数时都画上分级线，强化四位一级，这样可以比较好的解决这个问题，同时针对部分较弱的学生，让他们自己用硬纸板制作数位顺序表，每次读数和写数时先在数位顺序表中进行，熟练后再慢慢的用四位分级的方式进行，感觉效果是比较好的。但是在这里一定要注意一个问题，就是分级一定要从右往左，最后一个数级不一定能满足4个数位。这样时间长了以后，学生掌握的还是比较好的。
1．本单元教材内容
本单元是本册教材的起始单元，是在学生认识和掌握万以内数的基础上学习的。生活中大数广泛存在，对大数的认识既是万以内数的读写巩固和扩展，也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一。本单元由“亿以内数的认识”和“亿以上数的认识”两个部分组成。各部分内容之间的安排如下表：
课题内容
亿以内的数的认识
主题图出现5个省（市）、自治区的总人口数，让学生初步感知大数，了解中国的人口状况，渗透国情教育。
亿以内数的读法
例1北京天坛图。呈现首都北京市人口数。让学生知道生活中有比万大的数。类推每相邻两个计算单位之间的关系，知道数级、数位。
例2读含两级的数。亿以内数的写法
例3写含两级的数。通过电视新闻呈现亿以内的数，让学生对照数位表写出相应的数。渗透环保教育。
例4亿以内数的大小比较。
例5将整万的数改写成以“万”作单位的数。
例6将非整万的数用“四舍五入”的方法改写成以“万”作单位的近似数。
数的产生
介绍古时人们的记数法、记数符号（数字），介绍阿拉伯数字，自然数。十进制计数法
介绍数位顺序表，由万级数位扩展到亿级数位；介绍十进制计数法。亿以上数的认识 例1读含三级的数。例2写含三级的数。
例3将整亿的数改写成以“亿”作单位的数；将非整亿的数用“四舍五入”的方法改写成以“亿”作单位的数。
计算工具的认识
介绍算盘、电子计算器。用计算器计算
运用计算器进行四则运算，探索计算规律。2．教学目标
（1）使学生在认识万以内数的基础上，进一步认识计数单位“万”、“十万”、“百万”、“千万”和“亿”，知道亿以内及以上各个计数单位的名称和相邻两个单位之间的关系。
（2）掌握数位顺序表，根据数级正确地读写大数，会比较大数的大小，会将整万、整亿的数分别改写成用“万”和“亿”作单位的数，会用“四舍五入”法把一个大数省略万位或亿位后面的尾数，求出它的近似数。（3）在认数过程中，使学生体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步培养数感。
3．教学重难点
公钥密码体制能够适应网络的开放性要求, 在数字签名、身份认证、电子支付等协议中具有不可替代的作用。公钥密码体制建立在数论和代数中的一些数学难题的基础上, 算法复杂, 运算效率比较低, 一直制约着公钥密码体制的发展, 如何快速实现公钥密码算法已成为密码学界普遍关注的问题。模运算在公钥密码算法中使用广泛, 如RSA[1]、DSA[2]以及椭圆曲线[3]等公钥密码算法中, 均需用到模运算。模运算是公钥密码算法中最基本的、使用频率最高的运算之一, 而除法运算是模运算的主要前提, 因此除法运算也是公钥密码学中的基本运算。除法运算的效率是影响公钥密码算法效率提高的关键因素之一, 提高大数除法的算法效率在公钥密码体系中具有重大意义, 也一直是密码学领域中关注的课题[4,5,6,7,8,9]。本文通过建立预处理表, 有效地减少了试除法过程中大数乘法次数, 提出了一种快速实现大数除法的方法。相对于普通的试商法, 改进后的算法时间复杂度降低到O (n) 。
1改进的大数相除算法
1.1预备知识
常用的大数相除法主要有:求倒数法 (牛顿迭代法) 、改进的求倒数法和试除法。前两种算法对于得到的商值精确度不如第三种方法, 并且不能同时得到余数。下面回顾一下这三种方法。
1) 求倒数法
用求倒数法[10]实现大数除法的思想是将除式X/Y化为的形式, 故可先求出Y的倒数1/Y, 再与X做乘积即可得到商值。求倒数可用牛顿迭代法, 牛顿迭代法是将非线性方程线性化, 从而得到迭代序列的一种方法。
对于方程f (x) =0, 设x0为它的一个近似根, 则函数f (x) 在x0附近截取泰勒多项式展开的线性部分, 作为非线性方程f (x) =0的近似方程, 即泰勒展开式的前两项:
则f (x) =0转化成f (x0) +f' (x0) (x-x0) =0, 这是一个线性方程。
设f' (x0) ≠0, 则有:
取x作为原方程新的近似根x1, 再代入方程, 如此反复, 得到迭代公式:
对于求除数Y的倒数, 构造非线性方程其中x为除数Y的倒数, 把f (x) =0代入牛顿迭代序列式 (3) 得到求倒数的牛顿迭代公式:
其中xn为第n次迭代的近似根, 迭代次数越多, 精度越高。
牛顿迭代法求倒数, 需要迭代logn次, 对于每一次迭代, 需要进行两次移位和两次乘法, 算法时间复杂度为O (nlog2n) 。
2) 改进的求倒数法
牛顿迭代法是局部收敛的, 对初值的要求是苛刻的, 若初值不在局部收敛的邻域内, 则难保证迭代的收敛性, 而在实际应用中, 往往很难给出与准确值充分接近的初值。针对这个问题, 可对牛顿迭代法求倒数进行改进[11]。改进算法的思想是将除式X/Y化为的形式, 根据分子分母同乘一个不为0的数, 商不变的性质, 对分母迭代变换, 使得分母的值趋向于1。在对分母进行迭代变换的同时, 对分子做相同的变换, 分母越趋近于1, 分子越趋近于商值。分母的迭代方法如下:
观察函数f (x) =x (2-x) , x∈ (0, 1) , f (x) 在其定义域内单调递增, 且随着x的增长趋近于1。将分母乘以一个常数a, 使得a Y∈ (0, 1) , 令x0=a Y, 将x0代入方程, 得x1, 再将x1作为原来的分母的值, 再代入方程, 如此反复, 得迭代公式:
由于每次迭代过程中仍然需要两次移位和两次乘法, 因此, 时间复杂度仍为O (nlog2n) 。
3) 试除法
相对于传统的除法运算思想, 我们往往进行估商运算。设两个大数X和Y, 其中, X的位数为m, Y的位数为n, 且X>Y, 所求X/Y。取X的高n位, 与Y作比较, 试除, 然后相减移位, 依次类推, 得最后的商值。算法步骤如下:
其中, result[i]存放每次试除的商值, Result对所得出的各个商值进行整合, 得到最后的商值;temp存放依次试出来的商;X'存放每次被除数与商和除数乘积的差值;Mod存放最后得到的余数。该算法需要多次试商移位运算, 从而需要大量的大数相乘和移位, 其时间复杂度为O (n2) [12]。
1.2本文算法改进思想
本文主要从两方面着手来提高算法的效率:一方面, 通过构建预处理表减少大数相乘的次数;另一方面, 采用窗口滑动方法提高大数相减的效率。
在普通的除法中, 要不断进行试商, 做乘法, 再比较做检验。然而, 对于公钥密码学中要求的位数较大的整数, 这种方法实行起来效率太低, 直接影响到加密算法的实现效率。通过观察, 试商过程中所做的乘法基本都是除数重复与1-9所做的乘法运算, 为了减少试商过程中不必要的乘法运算次数, 提高算法的整体效率, 本文主要对乘法做预处理如下:
建立一个二维预处理表Table[10][2], Table[i][0] (其中i值为0-9) 中存储的是0-9, 即为按位取商时提供方便。Table[0][1]和Table[1][1]分别存放0值和除数的值, Table[2][1]-Table[9][1]依次赋值为2-9和除数的乘积, 然后每次试商的时候直接进行查表比较即可得到相应的商值。使用该算法, 只需进行比较, 不需重复地做乘法, 就可得出相应的商值, 大大减少了大数相乘的次数, 提高了算法效率。
在大数除法中, 尽管预处理方法减少了乘法的次数, 但仍需要用到大量的减法运算, 故提高减法的效率对于大数除法也具有重要的意义。任何一个可计算问题的求解时间都与其规模有关, 规模越小, 所需的求解时间也就越少。针对这一思想, 文章采用窗口滑动的方法[13,14,15], 被减数分解成m个独立的整数组合, 即X=x[m-1]x[m-2]…x[1]x[0], 把大整数按位分解到窗口中, 进行窗口滑动求解。
设减式X-Y, 其中X, Y的长度分别为m, n, 且m>n。首先, 取被除数高n位x[m-1]x[m-2]…x[m-n]放入窗口中, 与除数做除法, 即根据Table表中预先存储的除数与0-9的乘积作比较, 记录相应的商值, 同时, 用除数与查询的乘积做减法, 完成该次减法后将窗口向下滑动一位, 即被除数的第x[m- (n+1) ]位落入窗口中, 若此状态时窗口中的值小于除数, 即在该位商0, 并将窗口继续向后滑动, 直至窗口内的值大于除数时, 再在Table表中查询相应商值。不断重复上述过程, 即逐位向后滑动窗口, 查询预处理表直至被除数的最后一位。
算法步骤如下:
其中, Table[10][2]为预处理表, 分别存放的除数与0-9的乘积;X'存放每次被除数与商和除数乘积的差值;result[i]存放每次试商的结果;Result存放由result[i]整合的最终商值;Mod存放余数。该算法中, 只需进行查表操作, 即可得到相应的商值, 之后只需进行相减移位即可, 该算法的时间复杂度为O (n) 。
2算法的分析与比较
2.1复杂度的比较
通过对以上部分的复杂度分析, 可得到上面提到的几种算法的复杂度比较表 (如表1所示) 。
由表1, 可明显看出, 改进后的算法时间复杂度最低, 占用空间最多。这是因为, 本文方法做了预处理, 需要存储预处理表, 占据一定的空间, 以牺牲空间为代价, 赢取了时间。本文的核心思想为以空间换取时间, 如今计算机硬件迅速发展, 为本文改进算法的实现提供了可行性条件。
2.2算法实现时间的比较
针对所提出的改进的算法, 进行了实验验证。实验使用Java编程语言[16], 对改进的大数相除算法进行了实现, 计算机配置如下:
以下是对普通算法和改进后的算法进行实验实现, 分别对操作位数为100, 200, 500, 800, 1 000, 1 500, 2 000, 2 500, 3 000时的运行时间做详细记录, 并对每种规模的操作数随机抽取其中的10组数据求取时间平均值, 得到算法运行位数—时间表 (如表2所示) 。
由表2可以看出, 改进算法的运行时间明显低于普通除法的运算时间。其中, 普通除法随着位数的增大运行时间增长迅速, 尤其在位数达到1 000位以上, 时间增长更加明显。对于各个位数阶段的数据, 改进的算法相比普通除法的效率都有所提高, 并且当位数大于1 500位, 提高的倍数可达到100倍以上。由于普通算法运行时间的数量级变化较大, 不便将其数据和改进算法的数据显示在同一图示中, 所以只根据表2中位数在1 000位以内的算法运行时间数据, 使用Matlab作图[17], 得到图1所示的时间比较。
由图1可明显看出, 在误差范围内, 普通算法的位数—时间函数随着位数的增长基本呈幂函数趋势增长, 而改进的算法的位数—时间函数随着位数的增长基本呈对数函数增长。从整体来看, 即随着位数的增长, 普通算法的时间增长速率逐渐变大, 改进算法的时间增长率越来越小。
实验结果表明, 位数越大, 改进后的算法效率越高, 越能体现出用预处理法来实现大数除法的优势, 充分证明改进的大数除法的高效性和可用性。
3算法在RSA加解密算法中的应用
3.1 RSA加解密算法的基本过程
(1) 独立选取保密大素数p和q, 并计算n=p×q, φ (n) = (p-1) (q-1) , n与φ (n) 均需保密;
(2) 通过gcd (e, φ (n) ) =1来随机选取加密密钥e, 1≤e≤φ (n) , e是公开的;
(3) 通过ed≡1modφ (n) 来计算解密密钥d, d是保密的。
以下分别为加、解密过程, 其中m为明文, c为密文。
加密:c=Ek (m) =memodn;
解密:m=Dk (c) =cdmodn。
3.2大数除法在RSA算法中应用及分析
根据3.1节可知RSA加、解密过程中用到大数的加、减、乘、除、模等运算。其中, (1) 中判断大素数一般使用拉宾米勒算法; (2) 与 (3) 中计算最大公约数和解密密钥过程是使用辗转相除法;加、解密过程使用大数模幂运算, 而模幂运算过程可以逐步分解为:模幂→模乘→模运算→除法运算。
由以上分析可看出整个RSA加、解密过程中需要多次用到大数除法运算。经实验结果可得, 改进后的大整数除法运算效率有很显著的提高, 从而提高RSA算法效率。
4结语
Netflix自制剧《纸牌屋》第二季来袭，火热程度不亚于第一季，连美国总统奥巴马都在Twitter上追剧，给它打了一个大大的广告。这部号称白宫“甄嬛传”的政治阴谋剧不仅在观众中引起热潮，也在影视制作行业内部掀起一场关于“大数据如何让艺术变得可预测”的讨论。
Netflix对《纸牌屋》的走红毫不意外，因为这是一部“精打细算”出来的作品。从题材到导演和主演的选择，背后都有庞大的数据支持，大数据的应用，让《纸牌屋》变得可控、可测，一切都在意料之中。
《纸牌屋》是Netflix一次成功的大数据实验，在Netflix，所有的信息，从用户到影片，都可以量化。Netflix有一套独特的计算方法，用户的行为、喜好，最终都演变成数据，成为它决策的依据。
Netflix比你还了解你自己
1999年，当Netflix刚成立的时候，用户只能租DVD观看，Netflix还没有大数据的概念。随着互联网的出现，在线观看视频逐渐超过观看电视，Netflix才开始有意识地利用自身的优势运用起大数据。
Netflix在全球有3000万用户，每天产生3000万次播放，400万次评分，300万次搜索，同时还有其他诸如地理位置数据、播放设备信息、观看频率、速度等种种信息。庞大的用户群每天在Netflix上产生各种行为，形成了一个巨大的数据库。
究竟哪些用户数据才是有用的？Netflix也经历了一个摸索的阶段。最初，同其他公司一样，它会收集用户的一些个人信息，如性别、年龄，但后来发现，“一个60岁的女性和20岁的男性有什么区别？”前者可能也会看《钢铁侠》、《哈利·波特》，后者也会看肥皂剧。
意识到这一点后，他们很快放弃了这样的信息，转而关注用户喜欢什么，更重要的是，他们不喜欢什么。
因为对于Netflix这样一家视频网站，它的目标就是要保证用户能在合适的时间找到合适的视频观看，所以，Netflix要揣摩用户的喜好，给他们做出最佳的推荐，这样才能确保用户在这里不会“空手而归”。
Netflix淡化了用户评分、预测评分等“显”信息的作用，将重心放在一些“潜”信息的收集，如用户喜欢看什么，接下来又会看什么。公司的产品开发副总裁Todd Yellin认为，传统的做法是，用户说喜欢看国外电影或者纪录片，公司就给他们推荐这类影片。但实际上，很多人只不过是随便在网上发表评论，在实际的观影选择中，可能会大相径庭。而随着用户越来越多的在线观影，他们实际上看了什么比他们的评级更重要。
现在，Netflix开始追踪用户是如何下拉页面，他们会点击哪里，哪些推荐是他们会忽略掉的，甚至还会追踪用户看一个视频时的速度，以及用户是喜欢在周末看喜剧，还是在一周的某一天看特定类型的影视剧等，根据用户习惯给他们做推荐。
在《纸牌屋》上映前，Netflix做了10个版本的预告片，每个版本都是根据用户之前的观影习惯推荐给不同类型的用户。例如，如果你是凯文·史派西的粉丝，推荐给你的就是他的特辑，如果你看过许多女性做主角的影片，你看到的就是一部女性为主的特辑。
《纸牌屋》是Netflix第一次战略性的运用大数据。该剧第一季推出后两周内，有10%的Netflix用户观看了全剧，80%的观影者给出“好”或者“超好”的评级。第一季播出后，2013年第一季度在美国用户增加了200万，比前一季度增加了7%，全球新增用户100万。根据The Altantic Wire，新增的300万用户的收益就已经追回了Netflix在《纸牌屋》上的投资。据一项调查显示，86%的Netflix用户因为《纸牌屋》表示不会退订。
2014年2月14日第二季全面上线后，Netflix不但用户数增加了10%，股价也从2013年1月初的90多美元上涨到现在的430多美元。
此外，Netflix还利用大数据来决定引进哪些影片。尽管大片很多，但Netflix每个月7.99美元的订阅费不足以支撑它引进所有热播大片，它通常只会选择那些用户点播率高的片子，这就存在一个选择的问题。用Netflix前产品工程副总裁John Ciancutti的话说，物有所值和让用户高兴是Netflix选择的核心。例如，当一部片子很火的时候，版税也异常得高。Netflix可能会花高价买下几个月的播放权，但也可以通过大数据分析，拿这笔钱购买其他6部由同一个人主演或者导演的电影，也能博得用户的喜爱。
解构好莱坞电影
Netflix对大数据的运用有意思的地方在于它解构了好莱坞电影。登录Netflix的网站，人们会迷惑于它呈现的电影类型，例如，“1980年代的国外邪恶故事片”、“情感类对抗体制片”、“基于真实生活的忠诚故事片”……这种有别于一般的电影分类的方式，也是Netflix运用大数据的杰作。
Netflix曾花钱雇人来看电影，它提取出影片的主题、主角、情节、结尾、色彩、道德情感等多个角度和属性，要求观影者对各个属性进行评分。Netflix还会抓取一些画面，分析画面的色彩、用户播放时的音量、背景音乐等元素中，哪一些会对用户的观影决定产生影响。
Netflix利用收集起来的数据构成了一个美国电影预测数据库，这成了它的一个宝藏。这些数据的意义在于，它带有用户的观影习惯在其中，尽管它无法说明如何制作一部电视剧，但却能告诉Netflix哪一类用户喜欢哪一类型的影片。
基于用户对影片的评判角度和观影习惯，Netflix形成了自己的一套“语法”，这体现在它的网页上就是对影片类型的独特描述手法，它对电影的描述通常包含了以下元素：国家、拍摄地点、主题（婚姻、动作、奇幻）、描述影片的形容词（浪漫的、惊险的、强视觉冲击的）、时间等，如“奥斯卡浪漫虐恋”，“视觉冲击强劲的外国怀旧篇”。
事实就是，当Netflix越了解自己的用户，用户与Netflix之间的关系就越牢固。因为这种从用户观看一部影片的角度进行分类的方法，抓住了用户的观影心理，效果甚于广告。在Netflix上，推荐引擎比搜索引擎更能体现服务价值，75%的Netflix用户会受到Netflix推荐的影响，选择观看Netflix推荐的作品。
所以，在推出《纸牌屋》的时候，Netflix没有打广告，只是在自己的网站上做了推荐，结果令人意想不到的好。而Netflix一口气连推出13集的做法，也是源自于对用户数据的掌握：根据Netflix掌握的数据，人们更喜欢一次连着看几集，而不喜欢一集一集地看。
当人们坐在沙发上一口气看完了13集之后，迅速在社交媒体上展开大讨论，这又带来《纸牌屋》新一轮的关注。
大数据的应用是影视制作行业的一次革新，它在让影视作品变得更加可测、可衡量的同时，也带来人们对艺术创作的担忧。人们担心，在影视作品中引入大数据，会让艺术变得像算术一样机械，从而丧失作品的生命力。
2．十进制计数法。
3．亿以上数的认识。
4．计算工具的认识。
二、与实验教材的主要区别
1.例题的编排增加了一些衔接语，使内容更具连贯性；还注意体现学生探索学习的过程，尽量为教学提供一定的引导。
2.读数、写数例题的编排更具层次性，强调分级读、写数的好处；对大数的读法、写法法则，以学生讨论、探究、填空的形式加以显示。
3.增加了将一个数写成扩展式的例题。用不同形式来认识数，也为中学学习科学记数法做一定铺垫。
4.将把一个数改写成用“亿”作单位的数和省略亿位后面的尾数求近似数，分别安排例题教学，以避免学生将二者混淆。
5.计算工具的发展原来是阅读资料，现将其作为正文，以连环画形式，配以简要的文字，让学生初步了解计算工具发展的历程。随后单独介绍了算盘、计算器。
6.增加了“你知道吗”的版块，在原来的基础上增至六个。主要围绕：对一亿的感知、数的分级、非位置制计数方法、记数符号的来历、位置制计数方法、计算器特殊按键的介绍等进行，丰富学生对大数的认识，充分体会阿拉伯数字的特点和十进制计数法的优势。
7.新增了“整理和复习”。
三、具体内容
（一）亿以内数的认识
1．例1：认识计数单位和亿以内的数位顺序表。
首先通过呈现北京市的人口数，说明学习比万大的数的必要性。然后借助计数器，利用动态拨珠的形式，在原有的计数单位的基础上，引出新的计数单位“十万”、“百万”、“千万”、“亿”，并让学生初步感知相邻计数单位间的十进关系。在有了计数单位后，简要说明了用数字表示数的方法，由此引出数位和数位顺序表。并让学生结合北京市人口数，利用数位顺序表进一步体会“位值”的含义。
教学时应注意激活学生已有的知识经验，促进知识迁移。由万以内的数引出比万大的数，由已知的计数单位引出新的计数单位，激活学生已有的知识和经验，使其在学习中发挥积极的迁移作用。例如，在计数器万位上拨数，一万一万地数，数到十万，让学生凭借已有的知识和经验解决“十万怎样表示”的问题，经历“满十进一”的过程，引出计数单位“十万”。还应注意让学生了解“数位”的意义，体会“位值”的含义。在认识亿以内的计数单位后，要说明：“在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。”使学生初步体会计数单位按一定顺序排列的作用。引出数位顺序表后，通过说出北京市人口数中一些数字表示的含义体会“位值”的含义。
2．例
2、例3：读亿以内的数。
教材的编排分了两个层次：第一个层次是教学读整万的数，让学生体会读数的本质，第二个层次是教学读一般的含两级的数，总结读数的方法。
例2的编排让他们自己去探索、发现整万数的读法的思路。第1个学生是迁移了“万以内数的读法”：也就是由高到低按顺序把每个计数单位都读了出来，这实际上也体现读数的本质：就是读出计数单位的个数。第2个学生则归并了“万”字，简便了读法。从而让学生感受数学的简洁，加深对万级数的读法的认识。此外，例2给出的4个数也很有代表性。
例3是教学读含有两级的数，第一个数没有0，给出读法；后边两个数，中间和末尾都有0，没有给出读法。特别是有关“0”的读法。例3的数据的选择也突出了读数的重点和难点。
3．例4：写数。
通过北京大钟寺的永乐大钟上铸字的信息，引出写数活动。对照数位顺序表，出现4个不同的数。第一个给出了写法，采用画竖线的形式，凸现了先分级、再写数的思路，其余3个则让学生自己探究写出。总结出写数的方法。
4．例5：数的大小比较。
教材首先给出了2011年6个国家到我国旅游的人数，为学生学习亿以内数的大小比较提供了生动的学习资源。法则，重点突出了两个方面：位数相同的情况和位数不同的情况下，如何进行大小比较。
5．例6：大数的改写。
探讨把整万数改写成用“万”作单位的数。小精灵的话，则凸显了把整万数写成用“万”作单位的数的意义和作用。
例题后面的“做一做”提供了丰富的素材，一方面让学生在“改写”中深化对所学知识和方法的理解，另一方面了解一些科普知识和信息，开阔学生的视野。
6．例7：用“四舍五入”法求近似数。
学习将非整万的数改写成用“万”作单位的近似数的方法。
教学时，可举一些实例说明近似数在生产和生活中的应用。比如，用一个省或一个市的人口、全国小学生数、全国粮食产量等方面的实例，说明在实际生活中，一般没必要十分精确地表示一个事物的量，常用近似数来表示。
7．数的产生。
教材通过图文配合的方式，简要地介绍了数的产生和数字的演变过程。通过出示实物记数、结绳记数、刻道记数3幅图，展现了古人一一对应的记数方法。随后简要说明了数字产生的原由，并列举了三种古代数字，体现了数字也是逐步发展和完善的，并通过小精灵的话说明了统一数字的必要性。
然后呈现了0~9的阿拉伯数字，并以首先通过小精灵的话说明了数字的作用，加深学生对数的产生和发展的认识。最后用简练的文字揭示自然数的概念与特点，一方面对以前所学的数学知识进行概括和总结，另一方面也为以后把数的范围扩展到分数、小数做准备。
（二）十进制计数法
教材首先运用两个实例，说明比亿大的数在生活中的应用。凸显学习更大的数的必要性。然后在亿以内数的认识的基础上，通过利用计数器数数，认识新的计数单位“十亿”“百亿”“千亿”。此基础上，“扩展”数位顺序表，系统整理计数单位、数位、数级等知识，并概括出“十进制计数法”，并为亿以上数的认识和读、写作好准备。
（三）亿以上数的认识
1．例1：亿以上数的读法。
教材通过呈现地球不堪人口重负的画面，让学生在感受大数，学习亿以上数的读法的同时。提供了3个亿以上的数。让学生借助数位顺序表把亿以内数的读法迁移到读亿以上的数之中。在读法的总结上，特别注意引导学生先分级，再读数和重点关注“0”的读法问题。
2．例2：亿以上数的写法。
教材结合数位顺序表，呈现了1个整亿数和两个非整亿数，让学生通过思考与尝试、讨论与交流，自主迁移、探究写法，并注意引导学生先分级，再按级写。
“做一做”第2题采取题组形式，把个级数、整万数、整亿数对照编排，使学生进一步体会分级写数的特点，更好地掌握写数方法。
3．例3：把整亿的数改写成用“亿”作单位的数。
第一个呈现改写结果，其余2个让学生独立完成，熟悉改写的方法。
4．例4：非整亿的数用“四舍五入”法求出近似数，再改写成用“亿”作单位的数。
所以这里用色块和文字标注的形式说明如何用“四舍五入”法省略一个数亿位后面的尾数，求出它的近似数，然后直接改写成用“亿”作单位的数。
下面的阅读材料介绍了我国古代用算筹计数的方法，让学生体会位值制，感受我国古代的数学成就。并由此了解数字“0”的产生，丰富对“0”的认识。
（四）计算工具的认识
实验教材是放在“阅读材料”里的，修订教材把它作为了正式教学内容。让学生初步了解计算工具的发展和现状，激发学生探究数学的欲望，增强学生学好数学的信心。
教材用简洁的文字与画面揭示了计算工具的发展历程：由两千多年前的算筹到现在的笔记本电脑、平板电脑等，让学生比较全面地了解了人类在计算工具方面的探索与发明，受到爱科学、学科学的教育。在此基础上，再引出对算盘和计算器的详细介绍。
接下来教材说明了算盘发明的意义和作用，让学生了解算盘在生活中的应用。接着呈现中国算盘和日本算盘的实物图，让学生感受算盘的影响和传播的广泛。最后，呈现了3幅直观图要求学生写出算盘上表示的数，因为二年级已经学过用算盘记数，所以这里简单回顾介绍一下即可。(见“算盘的数学文化”)
对于“计算器”的认识，通过呈现结账这一情境，让学生了解到计算器是人们日常生活中广泛使用的计算工具，并说明计算器的优点是操作简便，算得又对又快。然后呈现了计算器的实物图，并标注了显示屏及两个功能键的名称，其余键的功能和使用方法，则让学生自己探索、交流。接下来的例1教学用计算器进行加、减、乘、除基本的四则运算。教材呈现了加法计算的例子，减、乘、除法式题，则由学生自己尝试操作。例2教学用计算器探索规律。通过计算探索规律，培养学生观察、推理的能力。
“大数的认识”——数感的培养
四、教学建议
本单元是小学生整数认识的最后阶段，也是系统整理整数概念、读写法则等的过程。
1.结合具体情境，让学生感受大数的意义，培养数感。
使学生感受大数的意义：一是提供生活中大数运用的事例，突出学习大数的必要性；二是在具体的情境中，真切感受大数。
2.加强基础知识、基本概念的教学，让学生经历“再创造”的过程。
大数的认识中，万以上的数、计数单位、数位、数级、十进制计数法、大数的读写法则、近似数等，都是数学最基础的知识。因此，必须加强基础知识、基本概念的教学，给学生打下坚实的数学基础。
3.紧紧抓住数的分级，引导学生探索数的读、写方法。
本周数学教研活动，我有幸听了曾老师《大数的认识》大数的写法一课。听了曾老师的课令我感触颇多同时得到了许多启发，这些感触和启发正是我要在今后的教学中需要注意和改进的地方。
一、注重知识的迁移，寻找学生“最近发展区”。曾老师在教授亿以内数写法之前，首先引导学生回忆和巩固万以内数的.写法。抓住了万以内数和亿以内数写法的相通点，让学生在回忆和巩固万以内数写法的过程中初步领会了亿以内数的写法，为下面如何正确写亿以内数做了很好的引导和铺垫。
教师在教授新课时应当关注新知识与已有知识间的关系，在课堂教学中将新知识与学生已有知识建立起自然联系。寻找到“最近发展区”，这样的教学有助于学生花更少的时间掌握新知识。
二、重视方法的培养，寻求数学学习的规律。曾老师在本课中很重视大数写法的方法教学。反复提醒学生亿以内数写法中应该找到关键字“万”，并做好标记。引导学生认识到“万”字之前是万级上的数，“万”字之后就是个级上的数，借助数位顺序表由高级写起，从高位到低位一位一位的写。学生对方法的掌握不仅提高了学生的解题速度，同时提高了正确率。
欧拉幼年聪明好学，他父亲希望他“子承父业”，但欧拉却不热衷于宗教.1720年，13岁的欧拉进入了巴塞尔大学，学习神学、医学、东方语言.由于他非常勤奋，显露出很高的才能，受到该大学著名数学家约翰·伯努利教授的赏识. 伯努利教授决定单独教他数学，这样一来，欧拉同约翰·伯努利的两个儿子尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利结成了好朋友.这里要特别说明的是，伯努利家族是个数学家族，祖孙四代共出了十位数学家.
欧拉15岁大学毕业，第二年获得硕士学位.在伯努利家庭的影响下，欧拉决心以数学为终生的事业.他18岁开始发表论文，19岁发表了关于船桅的论文，荣获巴黎科学院奖金，以后，他几乎连年获奖，奖金成了他的固定收入. 欧拉大学毕业后，经丹尼尔·伯努利的推荐，应沙皇叶卡特琳娜一世女王之约，来到俄国的首都圣彼得堡.在他23岁那年,他就成了圣彼得堡科学院的数学教授.
在沙皇时代，由于生活条件较差，加上夜以继日的工作、研究，欧拉在1735年，得了眼病，右眼失明.
1741年，欧拉因普鲁士国王的邀请到柏林科学院供职并兼任物理数学所所长.1759年，欧拉成为柏林科学院的领导人.1741~1766年，虽然欧拉过得不是十分愉快，但他为柏林与圣彼堡这两个科学院提交了几百篇论文，他成功地将数学应用于各种实验科学与技术领域，为普鲁士王国解决了大量的社会实际问题.
欧拉59岁时，因沙皇女王叶卡特琳娜二世诚恳地聘请，欧拉重回圣彼得堡.在一次研究计算慧星轨道的新方法时，旧病复发，导致左眼失明.
灾难接踵而至，1771年圣彼得堡一场大火，把欧拉的藏书及大量研究成果化为灰烬，接二连三的打击，并没有使欧拉丧失斗志，他发誓要把损失夺回来，眼睛看不见，他就口述，由他儿子记录，继续写作.欧拉凭着他惊人的记忆力和心算能力，一直没有间断研究，时间长达17年之久.
欧拉对数学的贡献是巨大的.1748年在瑞士洛桑出版了《无穷小分析引论》，这是第一部把微积分与初等数学结合起来的分析学著作.1755年发表了《微分学原理》，1768年~1774年发表了《积分学原理》，这对牛顿和莱布尼茨的微积分与傅立叶级数理论的发展起了巨大的推动作用.1774年出版的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，使变分法成为一个新的数学分支. 欧拉还是复变函数论的先驱者.他对数论也有很深入地研究，如著名的哥德巴赫猜想，就是哥德巴赫在与他的讨论中提出的.1770年,欧拉口述了《代数学完整引论》，而它也成为欧洲几代人的教科书. 欧拉在概率论、微分几何、代数拓扑学等方面都有重大贡献，在初等数学的算术、代数、几何、三角学中的成果更是不胜枚举.根据已经出版的欧拉书信与手稿来看，其中数学所占的比例为40%，位居首位，从这些手稿中可以发现，他不仅是杰出的数学家，而且是理论联系实际的巨匠.他着眼实践，在社会与科学需要的推动下从事数学研究，反过来，又用数学理论促进各门自然科学的发展.
欧拉对数学符号的创立及推广也有很大的贡献，比如用e表示自然对数的底数，用i表示“负根号一”，用f(x)作为函数的符号，л虽不是欧拉首先提出的，但是在欧拉倡导下推广普及的.同时，欧拉非常重视人才，奖掖后生，法国的拉格朗日就是在欧拉的提拔下，成为著名的数学家.
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