高中数学《与函数概念》教学设计

高中数学《与函数概念》教学设计

高中数学《与函数概念》教学设计 篇1

一、理顺初高中函数的定义

初中教材中的函数是按变量说的观点定义的:如果在某个变化过程中有两个变量x、y, 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, 按照某个对应法则, y都有唯一确定的值与之对应, 那么y就是x的函数, x叫自变量, x的取值范围叫函数的定义域, 和x的值对应的y的值叫函数值, 函数值的集合叫函数的值域.它的优点是自然、形象和直观、通俗地描述了变化, 它致命的弊端就是对函数的实质———对应缺少充分地刻画, 以致不能明确函数是x、y双方变化的总体, 却把y定义成x的函数, 这与函数是反映变量间的关系相悖, 究竟函数是指f?, 还是f (x) , 还是y=f (x) ?使学生不易区别三者的关系.

高中教材中函数是按对应说和集合说的观点综合起来来定义的:设A, B两个非空的数集, 如果按照某种对应关系f, 使对应于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f (x) 和它对应, 那么就称f:A→B为集中A到集中B的一个函数, 记做y=f (x) , x∈A.这样定义既解决了初中函数定义的弊端, 又很清楚知道集中A就是函数的定义域, 值域是B或B的子集.f是函数的对应关系.

初中、高中函数定义实质上是一样的, 只是叙述的出发点不同而已, 传统定义是从运动变化的观点出发, 近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发.高中函数定义有以下优点: (1) 体现数学知识的系统性, 也显示出时代信息, 为学生今后的学习作准备; (2) 它抓住了函数的实质———对应, 是一种对应法则; (3) 凸显数学内容的生活化和现实性, 函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型; (4) 变抽象内容形象化, 替换后学生会感到函数概念不再那么抽象难懂, 好像伸手会触摸到一样, 身边到处都有函数; (5) 它以集合为基础, 更具普遍性.

教师可以提问:y=f (x) 一定是函数的解析式吗?回答是不一定, 可以举出高中数学教材中的实例二和实例三.函数的解析式, 图象, 表格都是函数的表示方法.即y=f (x) 表示y是x的函数, 但f (x) 不一定是解析式.另外当f (x) 是一个解析式时, 如果把x, y看作是并列的未知量或者点的坐标, 那么y=f (x) 也可以看做是一个方程.有一点要注意:函数用解析式表示时可以看做方程, 但方程不一定是函数.

二、加强数形结合的应用

数学是人们对客观世界进行定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论, 并且广泛应用的过程.高中数学中所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数, 对每一类函数都是利用其图象来研究其性质的, 所以作图在教学中显得无比重要.我认为这一部分的教学要教学生做到心中有形, 函数图象就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像, 只要心中有形, 函数性质就比较直观, 处理问题时就会得心应手.函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用.可以说整个高中数学都是从数到形, 然后从形回到数 (即利用图形来研究数的性质) .

例如, 求函数y=logax2-2x-8的递增区间.

简解:令t=x2-2x-8= (x-1) 2-9,

t=0时, x=-2或x=4, 知函数t的图象是变形后的抛物线, 其对称轴为x=1, 函数t与x轴的交点的横坐标是x=-2或x=4并且开口向上, 其中x∈ (-2, 4) 的部分由x轴下方翻转到x轴上方, 结合复合函数y=logat, t=x2-2x-8的单调性, 再分别考虑a>1和0

答案:a>1时函数y的递增区间为 (-2, 1], (4, +∞) ;0

又如, 表1是某校高一 (1) 班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:

请对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

简解:把次数当x轴, 成绩当y轴, 进行描点, 每个人的成绩, 还有平均成绩各自连成一条曲线, 就能基本上看出王伟的成绩最好, 都在平均分上面;张城的成绩最差, 都在平均分下面;赵磊成绩居中, 在平均分上下波动.关健是学生解题方法想不到, 引导学生如何去找解题方法.解题思想是什么?

另外还要学会能够看懂实际问题的图形, 从中来解决一些问题.

下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事.

(1) 我离开家不久, 发现自己把作业本忘记在家里了, 于是立刻返回家里取了作业本再上学.

(2) 我骑着车一路以常速行驶, 只是在途中遇到一次交通堵塞, 耽搁了一些时间.

(3) 我出发后, 心情轻松, 缓缓行进, 后来为了赶时间开始加速.

这是课本的练习题, 要让学生真正掌握题目的意义, 教师要认真分析.特别是 (2) 和 (3) , 增函数都懂, 区别在哪?

如果纵坐标改为离开学校的距离, 那么 (1) , (2) , (3) , (4) 又是什么意义呢?函数学生比较害怕, 教师应该题目多变形一些让学生熟悉.

三、容易混淆的函数知识点

1. 函数与函数值

y=f (x) , y=f (x+1) , y=f (f (x) ) , y=1, x∈R等都是函数.f (2) , f (a) , f (b-1) 等是函数值.函数与函数值的区别在于:自变量x用具体的数或字母代入得到的结论是函数值;自变量还是变化的结论是函数.另外已知f (x) =x2-x, 求f (x+1) 和已知f (x+1) =x2-x, 求f (x) 是两个完全不同的题目.

2. 映射与函数

新课程高中数学课本先给出函数的概念, 函数的表示法, 最后才给出映射的概念.这是跟以前高中课本最大的区别.这样编排的目的是让学生感到函数不再那么可怕, 它还是一种特殊的映射.但学生对映射的撑握其实并不好.映射概念中对于集中A中任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应, 学生很难理解, 或理解的一知半解.这估计是编者事先没想到的.

比如, 问题1

集合A=R, 集合B=R, 对应关系是求倒数;集合A当中的元素0经常被学生忽略产生错误.

还有问题2, 问题3分不清.

问题2:集合A={三角形}, 集合B={圆}, 对应关系f:每一个三角形都对应它的外接园.

问题3:集合A={圆}, 集合B={三角形}, 对应关系f:每一个圆都对应它的内接三角形.

正确答案问题2是映射, 问题3不是映射.

判断一个对应是不是映射要严格按照映射的定义来验证.

既然函数是一种特殊的映射, 所以判断一个图象是不是表示函数就按映射的定义来考虑.

3. 函数与零点

函数的零点是新课程改革后一个重要的知识点, 每年高考都有涉及.年年考, 但考生得分并不高, 到底什么原因呢?关健是概念没理解透切.方程f (x) =0有实数根圳函数y=f (x) 的图象与x轴有交点圳函数y=f (x) 有零点, 这是书本的定义.学生老是把零点理解成点.实际上定义不但交待方程的根x是函数的零点, 还告诉函数的零点如何求.一是求方程f (x) =0的实数根, 二是求y=f (x) 图象与x轴交点的横坐标, 甚至还可以推广到两个函数图象交点的横坐标.

高中数学《与函数概念》教学设计 篇2

[关键词]函数；高中数学；解题；模型

函数概念认知对高中数学解题的干预，函数模型在高中习题中有着很大的作用，只有很好地利用函数模型对数学习题进行解题，才能高效地解决问题。函数是一直困扰高中生的一大问题，普遍高中生都对函数习题的解法不够了解，不会则难，产生了畏难的情绪，只有很好地认知函数概念才能从根本上对函数问题提供解决的方法。函数概念的基本认知是高中生必须具备的知识。

一、对函数概念的了解

1.函数的重要性

函数一般存在于高中习题，在高中生的认知中函数一直是很难的知识，只有解决函数这一大难题才有可能提高数学成绩。函数就是利用函数模型来解决一般的实际生活中会发生的问题，在高中数学的学习中，函数就是在整个学习中的一个大难题，大部分高中生对函数概念的认知存在着障碍，而只有对函数概念有一定的了解之后才能对高中习题有效的解决。

在整个高中的数学学习中，函数是最难学最难懂但同时也是最重要的数学知识。很遗憾大部分的高中生对函数没有一定了解，在函数概念认知上都存在着障碍，要想突破函数概念的认知障碍是很难的，但并不是没有办法的。所以只有对函数概念和函数模型进行一定的了解，深入分析才能更好的解决关于函数的数学问题。在高考中，函数及其相关内容也是考查的重点和难点，占有很大的比重，题型灵活多变.深刻地把握函数概念对于高中数学的学习及解题具有重要的意义，所以了解函数概念也是必不可少的。

2.函数的概念

函数的概念：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f（x）.

关于函数的概念一般来讲就是用X和Y来表示的，这只是一个函数模型，在习题当中总会存在着许多实际的问题，这就要求高中生要运用函数模型来解决这些实际存在的问题。对于函数模型的认知障碍就是这样形成的，一般来说，同学们对于函数并不陌生，但是要把函数运用在实际问题的解决上就不一样了，也就是不会灵活运用函数模型，这样就导致了函数概念的认知障碍。所以说，在运用方面的能力还是需要提高，而提高函数模型的运用能力，就必须要深刻的了解函数概念。

二、函数的了解方法

1.参考资料

对于函数的了解要通过参考资料来解决，翻阅一些关于对函数模型做出解释的书籍来了解函数概念，这是最根本简单快捷的了解方法。

2.实地思考

因为一般来说，函数习题都是根据一些实际生活中的问题，那么只要结合实际生活，把习题放在生活中去解决，那么一切的问题就会变得生活化、简单化了，在这个时候只要将函数模型运用进去就会很快的解决了函数的问题。

三、举例分析

理论总是枯燥的只有举出实际例子来分析说明才能更让人信服，下面就是一道高中关于函数的习题：

纳税是每个公民应尽的义务，从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳 一定的营业税。某地区税务部门对餐饮业的征收标准如下表 每月的营业额 1000 元以下（包括 1000 元） 征税情况 300 元 1000 元以下（包括 1000 元）部分征收 超过 1000 元 300 元， 超过部分的税率为 4%

1）写出每月征收的税金 y（元）与营业额 x（元）之间的函数关系式；

2）某饭店 5 月份的营业额是 35000 元，这个月该饭店应缴纳税金多少？

这道练习习题就是根据一般的纳税出题的，工作、消费等都要纳税，结合实际的生活来分析，纳税是按照一定的比例来进行的，题目中也有说明，根据这些来设定函数税金 y（元）与营业额 x（元）之间的函数关系式，这样的分析方法是在解决习题，同时也解决了实际生活中的问题，以后遇到类似的问题就迎刃而解了。

函数概念的认知对高中数学的干预和影响很大，以一道函数解答题来作为例子分析是为了加深高中生对函数概念的认知，灵活的运用函数模型去解决实际生活中的问题。

四、结论

在整个高中的学习中，函数的学习占比重很大，但同时函数也毋庸置疑的成为了困扰高中生学习数学的一大难题。一般的高中生对于函数概念具有认知的障碍，而如果无法正常认知函数概念就没有办法灵活的运用函数模型去解决一些实际生活中的问题。在高考中，数学占的比重很大，在数学习题中，函数又占的比重较大，所以高中生学习函数并且学好函数是必须要做的。参考资料了解函数概念，实地思考结合实际运用函数模型解决习题中和实际生活中存在的问题，这就是对函数概念认知对数学解题的干预所坐车的研究成果。

参考文献：

[1]付文华.函数概念认知对高中数学解题的干预[J].数理化解题研究，2012-05-11.

[2]李丛.高一数学三角函数认知障碍及对策研究[J].课程与教学论，2009-05-06.

[3]朱丹.如何有效降低函数概念的认知障碍[J].中学数学教学，2012-02-10.

高中函数概念教学设计 篇3

1.内容

函数的概念.

2.内容解析

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具.在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且也是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其它学科中也有广泛应用;在高等数学中，函数是基本数学对象;在实际应用中，函数是数学建模的重要基础.

学生在初中学习了函数概念.函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性.与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念;明确了定义域、值域;引入抽象符号f(x).

函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f.即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应.这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”.集合A，B及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念.

(2)理解 的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数.

(3)在具体函数实例到一般函数概念的概括过程中，培养学生的数学抽象素养.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

(1)学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念.

(2)学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号f表示对应关系的必要性.

(3)学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养.

三、教学问题诊断分析

学生在初中学习函数概念时，没有涉及自变量与函数值的取值范围，也不知道为何要研究变量的取值范围，这是教学中首先遇到的问题.教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较，让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.

如何认识函数的对应关系，就成为了第二个教学问题.教学中，要让学生通过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系，通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应，由此抽象出函数的对应关系f的本质.

在对四个实例分析的基础上，学生认识到了函数自变量的取值范围、函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性，但如何在此基础上让学生进行归纳，抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养，成为第三个教学问题，也是本节课的教学难点.教学中可以将四个实例各自得到的三个要素表格化，让学生从表格中抽象出函数要素及其表示，并在此基础上给出一般的函数概念.

在得出函数概念后，如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数，建立知识之间的联系，是第四个教学问题.教学中，除让学生按函数定义，仿照四个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外，还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习，也可以根据学生的学习状态适当增加一些问题供他们练习.

四、教学支持条件分析

本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念，会涉及函数值的计算、图象的运用及分析所得信息的综合，因此可以借助于信息技术解决以上问题，以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和概念的抽象上.

五、教学过程设计

引导语：在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具. 例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如，你能用已有的函数知识判断y=x与

是否相同吗?要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.

(一)函数概念的抽象

问题1：请同学们根据如下情境回答问题：

某“复兴号”高速列车加速到350 kmMh后保持匀速运行半小时.

(1)这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示?这是一个函数吗?为什么?

(2)如果有人说：“根据对应关系S=350 t，这趟列车加速到350 kmMh后，运行1 h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗?

(3)你认为如何表述S与t的对应关系才是精确的?

师生活动：教师给出问题后让学生先独立思考并写出回答要点，再小组交流，并提醒学生先不要看教科书.

让学生分组收集并归纳问题的回答要点，并将要点反馈给教师(有条件的学校可以利用信息技术平台收集与呈现学生的回答要点)，教师在全班交流的基础上进行适当点评.

学生对问题(3)可能会有困难，教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.

设计意图：问题(1)是为了让学生回顾初中所学函数概念，用“是否满足定义要求”来回答问题;问题(2)是要激发认知冲突，发现其中的不严谨;问题(3)是为了让学生关注到t的变化范围，并尝试用精确的语言表述.

问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：

(1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资?

(2)一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗?

(3)你能仿照问题1中对S与t的.对应关系的精确表示，给出这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗?

追问：问题1和2中的函数对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗?为什么?

师生活动：学生阅读题目后，自主回答.

设计意图：问题(1)是引导学生使用不同方法，例如表格的形式：

解析式w=350d;等等.

问题(3)是让学生模仿问题1的方法给出描述，既让他们熟悉表述方法，同时训练抽象概括能力.

通过追问，使学生进一步关注到定义域、值域问题.

问题3：如图所示是北京市11月23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)变化图.

(1)如何根据该图确定这一天内任一时刻t的空气质量指数(AQI)的值I?

(2)你认为这里的I是t的函数吗?如果是，你能仿照前面的方法描述I与t的对应关系吗?

师生活动：教师用PPT或其他方式呈现问题3，给学生适当时间阅读思考.

有些学生可能认为I不是时间t的函数，对此可进行如下追问.

追问：(1)你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗?这个值是否唯一存在?

(2)对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，你会用什么方法寻找此时对应的I值?

在追问的基础上，教师阐释：因为对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t，都有唯一确定的AQI的值与之对应，所以我们可以根据初中所学的函数定义，得出I是t的函数，而且还可以断定I的取值范围也是确定的，不过从图中我们不能确定这个范围.如果我们设I的取值范围为C，那么从图中可以确定，

对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应，因此I是t的函数.

设计意图：学生根据图象描述对应关系有困难，特别是在值域不能完全确定时，通过引入一个较大范围的集合，使函数值“落入其中”，这是学生经验中不具备的.实际上，如果用映射的观点看，这时的映射就是非满射.为此，在问题(1)之后，先让学生认可图象表示一个函数，然后再通过教师讲解，给出对应关系的描述方法，从而化解难点.这里，只要学生能够理解I是t的函数，并能够接受这种描述方式就可以了.

(1)你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?为什么?

(2)如果是，你能仿照前面的说法给出精确的语言刻画吗?

(3)如果我们引入B4={ r|0≤r≤1}，将对应关系表述为“对于任意一个年份y，都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗?

师生活动：教师用PPT呈现上述内容和问题，学生思考后，通过信息技术平台或其它方式对“恩格尔系数r是年份y的函数吗?”进行“是”与“不是”的选择性投票，教师根据投票情况进行点评，从而解决问题(1).

让学生不看教科书，分组练习用集合与对应的语言刻画函数，并让学生代表发言，教师给予点评，从而解决问题(2).

学生给出的函数值取值范围可能是表中r的10个值，教师在肯定的基础上进行引导：根据恩格尔系数的定义，r的取值范围是B4={ r|0≤r≤1}，以B4为年份与所对应的r值所在的集合更具有一般性.

设计意图：与问题3的情况类似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在疑惑，通过问题引导学生思考，教师再作适当讲解，从而使学生接受之.另外，对于函数值所在的集合B4的合理性，以教师从恩格尔系数的定义的角度进行解释即可.

问题5：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗?

师生活动：给学生充分思考的时间，引导学生重新回顾用集合语言与对应关系刻画函数的过程.如果学生归纳、概括有困难，可以给出下表帮助学生思考：

教师引导学生得出：

(Ⅰ)都包含两个非空数集，用A，B来表示;

(Ⅱ)都有一个对应关系;

(Ⅲ)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.

在上述归纳的基础上，教师讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.然后给出函数的一般性定义，并解释函数的记号y=f(x)，x∈A.

设计意图：让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合与对应语言刻画的一般性函数概念.在此过程中，要突破“如何在四个实例基础上让学生进行归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生数学抽象素养”这一难点，突出“在学生初中已有函数认识基础上，通过实例归纳概括出函数的基本特征(要素)，用集合与对应的语言建立函数的概念”这一教学重点.

(二)函数概念的初步应用

问题6：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数?

师生活动：在学生思考后，教师用一次函数与二次函数进行示范，学生用反比例函数进行练习.

学生完成教科书中的练习第1题～第3题，教师对学生的练习进行点评.

设计意图：用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系与值域是函数的三个要素.

问题7：你能构建一个问题情境，使其中函数的对应关系为y=x(10-x)吗?

师生活动：在学生思考后，教师以例1进行示范.

如果学生学习基础好，可以让他们完成教科书例1后的探究：“构建其它问题情景，并用解析式y=x(10-x)描述其中的变量关系”;对学习基础一般的同学，要求他们完成教科书练习第4题.

设计意图：让学生在完成例1的过程中，进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解.

(三)课堂小结、布置作业

教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：

(1)什么是函数?其三要素是什么?

(2)对于对应关系f，你有哪些认识?

(3)与初中学习过的函数概念相比，你对函数又有什么新的认识?

(4)本节课我们是怎样得到函数概念的?结合本节课的学习，你对如何学习数学又有什么体会?

师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结.要强调如下几点：

(1)函数的定义是判断一个对应关系是不是函数的标准;

(2)要通过具体例子理解函数的对应关系f的特征，特别是对于“A中任意一个数”“B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会;

(3)对应关系f的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式，但它们的实质相同，在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验;等等.

设计意图：引导学生从函数概念的内涵、要素的归纳过程、关键词的理解等角度进行小结，进一步加深对函数概念的理解.

布置作业：教科书习题3.1第1，11，14题.

六、目标检测设计

1.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979~的变化情况.

(1)臭氧层空洞的面积是时间的函数，这个函数的对应关系是

(2)上述函数的定义域是______________

值域是__________

设计意图：考查学生对函数三个要素的认识，巩固函数概念.

2.习题3.1第8题：如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么你能获得关于这些量的哪些函数?

高中数学《与函数概念》教学设计 篇4

关于教育理论，我自己在大学学过一些教育理论，我在这里想结合加涅的信息加工理论，对我自己的《对数函数》这一节教学实录进行分析。下面包含了这六个方面的内容：学情分析、教材分析、教学目标、教学重难点、教学过程和教学反思（自我反思和师傅对我的点评）。1学情分析

刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。大多数学生处于既喜欢学习数学，又害怕学习数学的矛盾心理状态之中。最根本的心理障碍是解数学题有困难，他们感到听教师讲例题有劲，自己做题目苦恼!所以只依赖老师讲，不肯自觉做；对于学习方法，明知要着重理解，但还是习惯于独立地记忆，所以不能举一反三，触类旁通。2教材分析

对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解。由于以对数为基础的对数函数概念十分抽象，它是高中

阶段学生最不易掌握的函数类型，同时初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=logax(a>0且a≠0）a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

教学目标：(1)理解对数函数的概念，能正确画出对数函数的图象，知道对数函数的常用性质。

(2)能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小。

(3)通过对数函数图象及性质的探究，渗透化归、分类讨论以及数形结合的思想。

4教学重点和难点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质是本课的重点。难点是底数a对图象的影响及对数函数性质的灵活运用。5教学过程

·复习回顾

我们已经学习了指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义，并说出这两种运算的本质区别。(学生思考并交流)·问题情境

引用细胞分裂和放射性物质的例子，师生交流，共同归纳总结，老师板书对数函数的定义。

设计意图：从生活实例引入，有利于激发学生的探究热情，提高学生将实际问题数学化的能力。通过从实际问题抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力。

·合作探究

根据指数函数y=a与对数函数y=xlogax(a>0且a≠0)的定义域、值域之间的关系写 1

出对数函数的定义域及值域。

设计意图：通过旧知引入新知，有助于学生 同化新知识。

·新知运用

例1根据对数函数定义填空: 1)函数y = log05(4-x)的定义域是()2)函数ylog5-x定义域是()(其中a>0且a≠0)a 设计意图：本例主要考查对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题（对教材例题的加工），使教学过程更紧凑。

·实验探究

1xy和ylog1x让学生画 教师给出两组函数:（1）y2和ylog（2）x；222x出它们的图象，观察、探究这两组图象之间的关系。学生可相互讨论、交流自己的结论。

教师利用PPT演示上述两组图象的形成过程，揭示它们之间的关系，再引导学生得出对数函数的定义域、值域、定点、单调性等基本性质(逐渐形成下表，明确底数a是确定对数函数的要素)。

┌─┬───────────┬──────────┐ │ │y=logax(a>1)│Y=logax(0

设计意图：注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，进一步体会函数作图的一般方法。同时，启发学生通过对数与指数的关系将对数函数的图象转化为指数函数的图象，体会数学知识间的相互联系以及转化的思想方法。拓宽学生探究的思路和方法，提高探究的效率和质量。教师还可通过信息技术增强学生的直观感受，发挥多元表征的作用。

·新知运用

例2比较下列各组数中两个值的大小:(1)log23，log2 3（2)log051 log052(3)log5，loga5.9

设计意图：通过运用对数函数的图象与性质解决一些简单的问题，促进学生对对数函数性质的掌握和理解，体会具体问题具体分析以及分类讨论的数学思想方法。

·回顾小结

通过本节课你还有什么问题或疑惑?生说师评。

·布置作业

书面作业:(1)(必做题)课本第70页习题第2,3题;(2)(思考题)已知函数f(x)= 2log（，若定义域为R，求实数a的取值范围;若值域为R，求实数a的取值范x-2ax3）2围。

探究作业:对数函数y = log2x二与y = log1X之间存在什么关系?进而研究函数y=f(x)

2与函数y=-f(x)图象之间的关系。

设计意图:设置思考与探究作业的目的是加强新旧知识间的联系，有利于将新知顺利地嵌入到已有的知识网络中。

6教学反思

函数是高中数学的主线，对数函数是高中数学的难点之一，为了调动学生学习的积极性，本课从实例出发，启发引导学生得到对数函数的定义。在概念理解上，通过步步设问、课堂讨论来加深理解。先让学生亲自动手画两个图象，教师再借助电脑，通过描点作图，演示作图过程及图象变化的动画过程；再引导学生说出图象特征及变化规律，从而得出对数函数的性质，提高学生的形数结合的能力。本课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。

听课点评(杨萌整理): 师傅任老师首先肯定我的语言表达相当清晰。但板书中，对数中的底数的位置应该下移一些，避免学生的误解。（板书的注意）任老师认为教科书中细胞分裂的例子对于对数而言是可以的，但是对于对数函数是不合适的。虽然学生不一定会认识到有问题存在，但作为教师应该要斟酌。

任老师还指出，如果在上课时强调了对数函数的单调性与底数a有关，问题就可以减少很多。而且还应该讲出为什么要学习对数函数，渗透变换的思想；师傅还说应该告诉学生研究函数图象及性质的目的，是为了不用每次比较大小都要画图象。应该告诉学生单调性不能靠眼睛看出来，它是有严格的定义的，在以后的学习中会解决，这样才能使学生形成正确的数学观。

在教学临场处理上，师傅肯定了我老师不急于否定学生的做法，用例子分析求函数定义域时不能将函数变形，因为变形不一定等价。

高中数学幂函数教案设计 篇5

教学目标：

1、掌握幂函数的概念;熟悉α=1，2，3，?， -1时的1幂函数的图象和性质;能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

教师：将幂函数 图象提前画在小黑板上。

四、教学导图：

情境引入 函数的概念幂 课堂练习

画出α=1，2，3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习例题分析 课堂小结 课后作业

教学设计

教学过程：

(一)教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。

师生活动：

教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W千克，老师总共需要花的钱P是多少?

教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少?

教师：回答的非常正确。面积S= . 下面的问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了?

教师：对。正方体的体积V= 。第四个问题，如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多少了?

教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S的二分之一次方。那么我们的边长a= 。最后一个问题，认真听，某人 内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少?

教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s

所以v= = 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了?

教师：非常好，第三个表达式了?

教师：第四个表达式了?

教师：第五个了?

教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。

教师：第二个表达式?

教师：第三个表达式?

教师：第四个表达式?

教师： 第五个表达式?

教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请同学起来给大家分享一下你观察的结果。给大家一分钟时间思考。(一分钟后。。。)有那个同学主动给大家分享一下你得出哪些共同特征?

教师：还有其他的共同特征吗?

教师：同学们都回答的非常正确哈。以后了我们就把具有这样性质的函数叫做幂函数。现在我们来给幂函数下个确的定义。一般的，他形如 的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。同学们一定要注意，幂函数与前面学习的指数函数对数函数一样，都是形式化 定义，必须具有定义所给的形式，才能叫做幂函数，否者都不是幂函数。

(二)教学内容： 幂函数与指数函数的区别与联系。

设计意图：巩固幂函数的概念，让学生回顾前面学过的幂函数的特例，较少陌生感，并且用联系的观点，让学生比较幂函数与指数函数的区别，从而加深对幂函数概念的的理解与掌握。

师生活动：

教师：有的同学已经发现，今天学习的幂函数与前面学习的指数函数形式上有些相似，但是老师高手你们她们两个函数有着本质的区别。黑板上已经有五个幂函数的具体例子，请同学们说几个前面学习过的指数函数的例子。

教师：非常好。还有其他的吗?

教师：那现在我们通过观察黑板上的例子找到这两个函数本质上的区别与联系.同学们发现了吗?她们有哪些相同点?哪些不同点?

教师：不同了?

教师：回答非常正确哈。所以同学们一定不要混淆了这两类函数，记清楚那个函数的自变量在底数，那个函数的自变量在指数。我们已经明确给出了幂函数的定义，并且却别了幂函数与指数函数。现在我们来做一个练习。

(三)教学内容：课堂练习

设计意图：进一步巩固幂函数概念的理解.

师生活动：

教师： 练习，判断下列函数是否为幂函数 。请同学么能严格按照定义，自己动手做一下这几个题目。好。。。第一个是幂函数吗?

教师：为什么了?

教师：非常正确，第二个?

教师：很好，第三个了?

教师：到底是还不是?好好根据定义判断，也不要忘了形式间的等价转换。

教师：对的，它是一个幂函数，因为我们知道 ，所以根据定义就是一个幂函数。第四个了?

高中数学《与函数概念》教学设计 篇6

近几年, 美国数学教育家杜宾斯基提出一种构建主义学说———APOS理论, 这个理论分四个阶段, 分别是action ( 操作) 、procees ( 过程) 、object ( 对象) 、scheme ( 图式) , 取每个阶段单词的第一个字母, 组成APOS. 这个理论的四个阶段是循序渐进的, 它反映了学生学习数学概念过程中真实的思维过程, 体现了数学知识形成的规律性. 它的最大优点是增加了“活动”环节, 通过亲自操作、探索, 让学生对概念的形成过程有一个充分体验, 知其产生的现实背景和丰富的寓意. 基于APOS理论的指引, 笔者对“锐角三角函数 ( 1) ”这节课的教学作了一些探索, 交流如下:

二、课堂设计

1. 操作阶段———在情境里感知

操作阶段要求学生通过一系列操作活动获取对概念的初步认识, 在教学中不能忽视该阶段对学生概念形成的作用, 要让学生从操作体验中逐步形成对概念本质的理解, 在情境里初步感受概念的内涵. 本节课以一个角为起点, 通过构造直角三角形的方法为正弦三角函数的定义做铺垫.

问题1: 星期六下午, 小红和小强约好爬南山, 两人分别从南山脚下西面和东面出发, 在这个过程中请回答下列问题: ( 1) 小红在上山过程中, 哪些量是常量, 哪些量是变量? ( 坡角、上升高度、所走的路程) ( 2) 小红在斜坡上任意位置时, 上升高度和所走路程的比值是否发生变化? 小强呢?

学生1: 坡角是不变的, 所以是常量, 上升高度和所走的路程是变量.

学生2: 在Rt△ABD中, 根据“在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半”, 可得小红上升高度与所走路程的比是1/2, 这个比值是固定的.

学生3: 在Rt△ADC中, 根据“在等腰直角三角形中, 两直角边与斜边的比是可得小强上升高度与所走路程的比是, 这个比值也固定.

教师: 也就是说, 在直角三角形中无论是30°角, 还是45°角, 它的对边与斜边的比都是确定的, 而且是唯一的.

教师: 如果这个坡角改为50°, 那么上升的高度与所走路程的比值确定吗?

问题2: ( 动手操作) 画∠MAN =50°, 在AM上取一点D, 过点D作DE⊥AN于点E, 用刻度尺量出AD和DE的长度, 并计算DE/AD的值; 再在AM上取一点F, 过点F作FH⊥AN于点H, 用刻度尺量出AF和FH的长度, 并计算FH/AF的值 ( 长度精确到1 mm, 比值保留两位小数) . 然后将这两个比值作比较, 你有什么发现?

学生4: 比值相等.

学生5: 我算出的比值虽不相等, 但很接近.

设计意图: 在APOS理论中达到操作阶段, 已知一个角∠MAN, 通过添辅助线构造Rt△DAE和Rt△FAH, 得出∠A的对边与斜边的比值, 为正弦三角函数的定义做铺垫———必须把锐角放在直角三角形中.

2. 过程阶段———在感知中思考

APOS教学模式要求学生进行丰富的操作体验后, 对操作的对象的特征进行思考, 从而获得一些共同的属性特征, 最终在大脑里构建作为独立完整的概念. 当学生通过作垂线构造了直角三角形, 得出50°这个锐角的对边与斜边的比值都相等以后, 引导学生思考为什么会相等, 然后一起解决疑惑, 从而初步形成概念.

教师: ( 如图2) 刚才我们通过测量得出DE/AD与FH/AF的值相等, 而有些同学得出的比值很接近, 那是因为实验有误差. 通过实验得出的结论不严谨, 能否用我们学过的理论知识来说明呢?

学生5: 可以用三角形相似来证明. 因为Rt△DAE∽Rt△FAH, 所以DE/FH=AD/AF, 所以DE/AD=FH/AF.

教师: 其实同学们还可以把刚才得出的比值和你的同伴比较一下, 你发现什么规律?

学生们窃窃私语, 发现自己得出的比值和别人的比值相等.

教师: 是不是周围同学们的比值都相等或者很接近啊?你们知道原因吗?

学生6: 因为我们画的锐角都是50°, 又有一个角是直角, 所以这些直角三角形也都相似, 根据相似三角形对应边的比值相等就可以得出.

教师: 很好, 哪名同学能用一句话来讲述一下刚才你们的发现?

学生7: 当锐角是50°时, 它的对边与斜边的比值也是确定的.

学生8: 也就是说, 当一个锐角确定时, 以这个锐角为内角构造的直角三角形中, 它的对边与斜边的比值是确定的.如当锐角是30°时, 以30°为内角构造的三角形中, 对边与斜边的比值是1/2; 当锐角是45°时, 它的对边与斜边的比值是当锐角是50°时, 它的对边与斜边的比值约是0. 77. 这些比值只与锐角的大小有关, 而与这个角的边上点的位置无关.

教师: 如果设这个锐角为α, 那么对于α的任何一个度数, 它的对边与斜边的比值都是唯一确定的. 记α的对边与斜边的比值为sinα, 则sinα =∠α的对边/斜边.

设计意图: 从30°, 45°角到任意度数的角, 不断地操作、分析、思考, 使学生的思维得到内化、整合、压缩, 形成过程模式, 抽象出一个正弦三角函数的定义, 对正弦三角函数概念的认识逐渐由感性认识转向理性认识.

3. 对象阶段———在思考时辨析

对象阶段是把概念压缩成为独立对象的阶段, 这个过程需要对之前获得的概念属性作进一步整合、巩固, 经过反复思考、辨析, 把概念作为独立的整体理解, 从而归纳形成正弦三角函数的概念.

教师: ( 下定义) 如图, 在∠MAN中, 在边AM上取一点P, 过点P作PQ⊥AN于点Q, ∠A的对边PQ与斜边AP的比, 记作sinA, 即sinA =PQ/AP, sinA就叫作∠A的正弦, 或正弦三角函数. 如若∠A =30°, 那么sinA = sin30° =1/2, 若∠A =45°, 那么

师生归纳: ①sinA是一个整体, 分开就没有意义, 也不是sin与A相乘;

②sinA不是一个角, 是两条线段长度的比值, 所以没有单位, 这个比值的大小与这个锐角大小有关 ( 要求学生用定义解释) ;

③sinA的取值范围: 0 < sinA < 1 ( 要求学生用定义解释) .

例1 ( 1) 如图4, 在Rt△ABC中, ∠B =90°, AB =3, BC =5, 求sinA和sinC的值;

(2) 在正方形网格中, ∠AOB如图5放置, 求sin∠AOB的值;

(3) 如图6, 在△ABC中, ∠A =30°, AB =10求sinB的值.

分析 ( 1) 直角三角形已存在, 直接利用定义; ( 2) 直角三角形虽然有, 但需要找出来, 培养视图能力; ( 3) 没有直角, 需要学生自己构造.

设计意图: 通过练习, 让学生将三角函数的概念作为已知对象应用到习题中, 也从不同角度加深学生对概念的认识, 促进学生对概念的构建. 如 ( 2) 题把角放在网格中, 要求学生自己找出网格中的直角三角形.

4. 图式阶段——— 在辨析后储存

图式阶段的形成要经过长期的学习来完善, 起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号, 还要经过学习建立起概念与其他概念、图形等的联系, 在头脑中形成对概念的理解的综合框架, 以便于概念的图式储存于学生的大脑中. 如例2就要求学生不但要理解三角函数的概念, 还要与勾股定理、三角形内角和定理等结合综合运用.

例2如图7, ∠ACB =90°, CD⊥AB于点D, 若AC = 5, CD = 3, 求sinB的值.

( 课堂练习、小结及作业略)

分析本题有两种解题思路. 方法一, 因为以∠B为内角的直角三角形有两个, 所以要先选定把∠B放在哪个直角三角形中, 再根据定义求; 方法二, 由概念的外延引申, 只要角度相等, 它的正弦值就相等, 可先求∠ACD的正弦值.

设计意图: 通过例2的训练, 帮助学生明确正弦三角函数概念的本质属性和非本质属性, 揭示蕴含在概念中的知识技能和思想方法, 使概念以一种完整的心理图式储存于学生的大脑中, 并在解决问题时创设与问题相关的图式.

APOS理论是一种数学概念教学论. 通过学习和实践, 笔者深刻体会到学生的主体地位和教师的主导作用. 教师要设计一些有效而又可操作的活动, 让学生真正参与其中, 经历概念的发生、发展的过程, 这样不仅有助于学生理解概念的本质, 深化概念内涵, 拓展概念的外延, 也能使学生对概念留下深刻的印象, 而且能启迪学生的思维. 在实际的教学过程中, 如何教好数学概念, 怎样的概念教学更有效, 这些都值得我们教师在教学实践中认真研究、积极探索和不断反思. 尽管APOS理论为我们提供了数学概念教学的模式, 但需要根据实际情况, 理智、审慎而科学地运用.

摘要：本文借助APOS理论, 通过操作、过程、对象、图式四个阶段, 对锐角三角函数 (1) 的课题展开研究, 从中深刻体会到学生的主体地位和教师的主导作用, 充分体现出新课标的教学理念.APOS理论对初中数学概念教学是一种比较有效的教学依据.

浅谈初中数学函数概念的教学 篇7

【关键词】 初中數学 函数概念 教学

1. 概念渗透阶段，初步认识变量之间的相互关系

函数与我们每个人的生活息息相关，函数关系充斥着我们的生活，函数概念是中学数学中的核心概念，函数思想贯穿中学教材的始终。首先，从初一代数“对字母表示数的认识”开始，学生体验、认识到了“变量”，在教学中教师要促使学生感受到变量的意义，体验变量的概念.其次，在“代数式的值”、“数轴和坐标”的教学中再渗透变量的含义，让学生通过对代数式中字母取值之间的相互关系，渗透关于“对应”概念的初步思想，感受到变量之间的相互联系。最后，随着代数式、方程的研究渗透这一观念，特别是“二元一次方程”的教学环节中，进一步促进学生感受两个变量之间是彼此关联的。通过这样的铺垫，经过一定量的知识累积，引导学生体会变量之间的相互依存的关系。

2. 概念认知阶段，逐步感知变量之间的内在联系

在初二几何部分教学中，教材中涉及函数关系的例子非常多。比如“角的平分线的定义”、“中点的定义”、“角度之间的互余、互补”等都揭示了两个变量之间的联系。另外像“平行线四边形的性质”、“中位线定理”等等都蕴涵着函数关系。一方面，教师在传授这些知识点的 过程中要有不断渗透变量的意识，即在现实生活中存在着大量的变量，且变量之间并不是独立的，而是相互联系的；另一方面，要指导学生在学习这些知识的过程中熟悉把“几何问题代数化”的方法，为函数的代数和几何方法的相结合打好必要的基础，为后续函数概念的学习作好充分的铺垫。

函数概念的形成用物理上的知识点渗透变量意识，是非常直观而且有效的方法。物理书中的很多知识点都是促成学生形成函数概念的较好素材。比如速度计算公式v=st中的速度、时间和路程，压强计算公式P=F/S中压力、受力面积和压强之间的关系都是典型的函数关系。从多方面、多学科进行渗透，强化变量之间是相互联系的观念。

3. 概念引入阶段，顺利形成函数概念的感知认识

“建构主义学习理论”认为：“应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。”

在学生对变量意识以及变量之间相互依存关系有了初步认识以后，函数概念的教学前期准备工作已经基本完成，接下来就可以开始函数概念的讲授了。教师在教授函数概念时，一定要合理设置教学情境，要让学生清醒地感受到变量意识，然后再讲清楚“自变量”、“函数”的名称及含义，并引导学生学会运用这些名词来叙述变量间的依存关系，从而熟悉函数概念。

当然学生这时对函数的理解还并不太清晰，正比例函数、一次函数都是比较简单的函数，在实际生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中对应边之间的比例关系是正比例函数等等。具体例子可以使学生清楚地认识到两个变量之间的联系及共性，函数的概念就会逐渐在学生的脑海中留下印记，在以后的反比例函数和二次函数的教学中，可以进一步促进学生深入理解函数概念的内涵与实质。教师在实际教学中能从整体上把握教学，就可以挖掘出最适宜的教学方法，使学生深刻理解函数的实质。

4. 概念延伸阶段，逐渐适应函数的学习方法

函数的学习方法与以前代数和几何的学习方法有着明显的不同。进入函数表达式开始，由于函数的表达是多样化的，有图像法、列表法、解析式法等，许多学生很不适应，怎样在教学函数时使学生逐渐适应这种多样化呢？在函数概念的实际教学中，我一般采用教师引导式：先从实际问题引入概念，鼓励学生以讨论的方式，注重分析启发、巩固反馈，使学生一点点地认识到函数概念的共同特性；了解不同的方法表示函数的方法在不同情况下的使用情况。

另外，“数形结合法”是函数学习的最重要的学习方法，它和代数方法、几何方法有着明显的不同。

学生对“数形结合法”的适应需要一定的时间，因为学生对代数解析式与几何图形之间的对应还不适应，从正比例函数到反比例函数，最后进入二次函数的学习过程中，要使学生认识到几种函数的直观对应关系：一次函数对应直线，反比例函数对应双曲线，二次函数对应抛物线.通过对图像的认识与感知，学生体会到“数形结合法”的优点：“准确简洁的解析式，直观形象的图像。”

总之，学习函数概念首先要有观念上的转变，其次要具备抽象思维能力，提高学生的抽象思维能力和学生的认识能力是使学生形成函数思想的基础。所以教师在进入函数概念的教学过程中，要把传授知识和培养思维能力有机结合起来，实现观念上的转变。这就要求教师要从整体上处理好教材，使函数概念的教学活动成为一个有机整体，这样才能在教学活动中真正有效地提高学生的素质。

参考文献：

[1] 义务教育数学课程标准研制组.初中数学新课程标准（最新2007修订）[S].北京：北京师范大学出版社，2007.

[2] 刘运宜.平面几何代数化背景探源[J].中学数学杂志（初中版），2009（1）.

[3] 薛国凤，王亚晖.当代西方建构主义教学理论评析[J].高等教育研究，2003（1）.

[4] 黄世芳.探讨运用数形结合的思想分析解决问题[J].现代教育教研，2009（6）.

高中数学《与函数概念》教学设计 篇8

今天，数学已渗透于各行各业，这充分说明了数学的可应用性，它对我国现代化所起的作用是多方面的、深刻的、富有成效的，而且往往是其他方面所不能替代的.函数在高中数学中是具有统帅地位的内容：函数是整个高中阶段数学学习的基础，也是高等数学学习的基础.函数是高中数学的必修内容，是构建整个高中数学的主旋律.函数作为高中数学的重要基础概念之一，它的观点和思想方法贯穿了整个高中代数的全过程.同时在高中阶段，函数以其高度的抽象性和数学思想应用的广泛性成为历届高考考查的重点.函数学习有利于培养学生的数学思维能力，因此需要牢固掌握.一、旧教材中函数的内容编排与知识体系结构分析 1.旧版教材函数的内容编排分析

过去的人教版(下称旧版教材)将“函数”列为一章，将“映射与函数”设为标题作为第一节，先学习“映射”，再学习“函数”，将“函数”作为一种特殊的映射来展开.在介绍“函数”性质时，旧版教材介绍了单调性与奇偶性.在介绍奇偶性时，旧版教材对奇偶性的编写顺序还是按照传统的传授方式，先给出概念，再介绍奇偶性的特点.旧版教材将函数中的反函数这一部分内容作为重点内容之一来编排，由它展开的相关内容也比较多.整个一章，旧版教材采取传统的介绍形式，按照数学的逻辑性逐步展开.旧版教材没有对幂函数进行系统介绍，而是延续初中所学内容.2.知识体系结构分析

函数是一个抽象的学习内容，旧版教材注意到了从一定的背景知识入手，引出新的学习内容，教材中函数内容的呈现模式较多遵循着“实际例子(问题)——数学解答——从过程中提炼出数学概念——对概念性质的深化研究”这一模式.这种呈现模式更显出一种收敛性、结构化，即从一些作为“引子”的例子出发引出函数的各种概念，并进而着重讨论各种性质与形式变化.呈现的重点是对于知识条理化、结构化的掌握与理解.函数思想是函数相关知识的一个重要组成部分.在数学教学中，如果能重视函数思想及其方法的传授，就有利于帮助学生掌握开启知识的钥匙，也就有利于加速知识转化为能力的进程.数学家乔治·波利亚在数学教学中强调把“有益的思考方式和应有的思维习惯”放在教学的首位，他认为活的、生动的方法能让学生学到数学的更多知识.这些精辟的论述都说明了数学思想方法是数学的精髓.函数具有多种表示性，它表现在两个方面：一是定义域表示的多样性，主要体现在集合表示法、不等式表示法、区间表示法；二是一个具体函数表示的多样性，即一个函数可以给出它的几种表示，如自然语言表示、图像表示、表格表示、解析表示、箭头表示等.二、新版教材中函数内容编排分析

新教材以现代观点建立合理的学科结构体系，以现代观点讲述科学知识的基本概念和原理.计算机的应用走进课堂，删改了部分陈旧繁琐的知识，大大减轻了学生的负担，使得有更多的时间与空间进行新知识的探索思考.比如在讲授“函数和映射”的时候，将名字

和映射联系了起来，知识给出得实用、自然.在用映射定义函数的时候，简洁透彻，课文的题目就是“函数是一类特殊的映射”，特别重视函数表示方法的应用.课文联系到了“某农场的防洪大堤”“没有使用收款机的商店”“医院及时了解住院病人的病情”等有价值的实际问题.还利用课后“多知道一点”补充了“标尺法”和“函数法”两种表示函数的方法，专门讲授利用图像研究函数的性质，并在阅读和思考中研究了计算机编程语言中的函数和在数学实验中用计算机做函数的图像及列函数表.与旧教材相比，新教材的的内容较少，只有集合与函数、指数函数、对数函数和幂函数这几部分内容，真正地减轻了学生的负担.给出知识的方式也有所变化.三、在新教材下如何实施函数教学 1.函数教学要激发全体学生的参与感

首先要培养学生的参与意识.比如在教学中要求学生结合实际情况，每人再举一例说明“一个量随另一个量的变化而变化”.学生稍加思考后积极回答，如“水费随水量的变化而变化”“生活费随餐数的变化而变化”“衣服随时间的变化而变化”，等等.这样不但使学生深刻理解了函数的概念，而且促使全体学生参与，活跃了其思维，增强了其学习信心.2.函数教学要为学生提供参与的机会

在教学过程中教师要根据教材的特点和学生的实际情况，想方设法创造条件，为学生提供参与和学习的机会，从而提高他们探求知识

和自学的能力.学生在掌握函数概念后，我设计了这样几个问题：(1)y=2x+3；(2)y=x；(3)直角三角形的两个锐角的度数分别为x，y，用x表示y的关系式；(4)从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式.所有这些问题中自变量的取值范围是什么?学生通过思考、比较、互相讨论可得出函数定义包含的三层意思，这使学生有了发现规律的时间和空间，能更好地开发其智力.3.函数教学要培养学生使用数学的习惯

高中数学《与函数概念》教学设计 篇9

关键词：高中函数教学；信息技术；整合

函数在数学中主要用于描述两个变量的对应关系，是代数学中最重要的基本概念之一。函数思想及观点贯穿高中数学的整个教学全程，在近年高考试题中，涉及函数知识的题型比例和难度也呈增大趋势，可见函数课程在高中数学教学中的重要性。然而，过去的函数教学常常以教师讲解为主，致使原本就过于抽象的教学内容显得更加枯燥无味，长此以往，便会促使学生对函数内容产生厌学心理，进而造成“教师难教，学生难学”的怪现象。信息技术因具有网络化、智能化、自主化、共享化等特点，而越来越受现代教育者亲睐，并被当做一种新型高效的教学辅助手段广泛传用。高中函数的教学若能有效融合信息技术，必定是教学改革的一大突破，从而有望解决高中函数的教学难题。

一、高中数学函数教学面临的困境

函数概念和函数图形理解困难是目前高中生在函数学习上最突出的两大障碍。其中，函数概念的难以理解在于其抽象性和复杂性。通常函数概念在高中数学教材中并不单独存在，而更多是与代数、肩头、表等内容相融合，造成表象上十分隐晦。如果没有科学的教学方法，光靠教师口头讲解和学生自行分析，学生不但无法理解到位，反而还会容易陷入死记硬背的误区。另外，数形结合思想在高中函數学习中所占比例加大，然而高中生在转换图形和数学语言方面的能力还比较弱，很多时候并不能正确理解和应用函数图形，以致于无形中对函数图像产生焦虑和恐惧心理。如此一来，由于学生对部分抽象图形、概念难以理解和掌握，导致函数板块的其它重要知识点也无法很好衔接，进而极大阻碍了学生对于函数知识的深入学习和运用。

二、信息技术与高中数学函数教学整合的教学模式分析

所谓函数教学与信息技术相整合，是指在常规的函数教学中合理切入以上信息技术手段，借助信息技术的特有功能去弥补常规教学方式的不足，从而使得教学质量有所提高。整合式函数教学上常用到的信息技术软件或设备有计算机、互联网、投影仪、PPT、Flash、word、几何画板等。近年来，介于新课改兴起，我国在函数教学与信息技术整合的教学方法上相继形成了不少经典模式，下面选取几种有针对性的整合模式介绍如下：

1、情境创设型——运用信息技术引入函数概念，让抽象概念直观化。利用信息技术的图像动态再现功能，可以将枯燥刻板的文字符号转化为动画或图形。用在函数教学中，能够让抽象的函数概念以直观、生动的画面形式展现在学生面前，便于学生在脑海中对每个概念的形成和运用有一个清晰的思路，从而帮助学生正确理解、感受和应用函数知识。

2、合作探讨型——运用信息技术创建合作交流平台，引导学生深入探讨。函数知识的获取并不能单纯依靠教师的传授与讲解，特别是高中阶段的学生，其本身已具备了一定信息技术应用能力，只要提供良好的学习平台加以引导，便能使学生自身优势得以充分发挥，从而增强学生学习信心、调动学生学习积极性。合作交流平台的建立是信息技术与高中函数教学有效整合的另一种体现，通过交流平台，教师可以组织开展与数学函数课程相关学习、讨论、操作等项目，促进学生之间相互交流合作、共同探讨，并引导学生积极探索更有效的学习方法。

3、方法渗透型——借助信息技术拓宽学生思维，培养学生自学能力。对于逻辑思维不强且缺乏学习方法的学生来说，高中函数知识的学习固然是极其枯燥的。为了激起学生学习热情，教师有必要利用信息技术与函数教学整合的新教学模式，围绕学生不易理解的函数概念或图像问题，引导学生正确运用互联网、计算机等信息技术手段来打开思路，并找到更科学有效的函数学习方法。例如，在解答函数图像转换问题时，教师可以边讲解边用几何画板和文字处理软件记录下问题的分析过程，让函数概念与图形的特征特性以及两者的内在关系在多媒体屏幕上得以展现，以便于学生直观理解和思考函数图形的变换过程。此外，教师还应鼓励和指导学生在网络上收集函数学习资料、下载函数测试习题或参加函数知识研讨，并利用Excel、word、PPT等工具将有用信息整理成电子文档，以便相互传阅、共同学习。如此一来，既拓宽了学生的思维广度和知识结构，也利于学生自主学习及探究能力的提高。

结语：综上所述，信息技术所包含的很多功能软件和设备，在高中函数教学中均能发挥积极作用。教师在教学过程中，既需重视信息技术与函数教学有效整合教学模式的应用，也要依据教学经验不断总结和探讨出新的教学方法，以适应信息高速发展时代下的人才培养要求。毕竟随着时代更替，人才的衡量标准已不再满足于知识的丰富程度，而更关键是能够高效运用新科技手段来协助整合、吸收和获取新知识。

高中数学《与函数概念》教学设计 篇10

1. 数学概念形成中概括能力的培养

下面以映射概念为具体例子 (见下表) 。

2.数学概念同化中概括能力的培养

下面以幂函数的概念为具体例子。

(1) 概括旧知。学生在其自我数学知识体系的基础上, 概括已经学习的指数函数和对数函数的概念, 并比较它们的不同。其中重点归纳指数函数的特殊性。

【概括能力培养1】

学生用自己的语言陈述已学过的数学概念的过程, 实质是学生用语言提炼和概括自己脑海内知识体系的过程。学生不可以用书上的原本概念回答, 必须用自己的语言表达出同样的意思, 强调概念的原创概括性。

(2) 解释新知。在学生基本明了指数函数和对数函数的概念后, 教师将幂函数的概念在黑板上给出:一般地, 形如y=xa (a为常数) 的函数, 称为幂函数。引导学生比较幂函数和指数函数的区别, 给出幂函数图象。

学生对照教师给出的幂函数概念和图象, 回顾前一阶段自己概括的旧知识, 在旧知识的基础上, 发掘新知识 (幂函数概念) 和旧知识 (指数函数) 的区别, 找出两者本质属性的不同之处、相似之处和易混淆之处。

完成自我比较新旧知识后, 学生向全班展示其发掘的关键概念并给出易混淆的点。最后在教师的引导下, 全班对幂函数的概念进行充分剖析, 并掌握新概念 (幂函数) 与旧概念 (指数函数) 的不同, 突出两者的关键属性和易混淆点。

【概括能力培养2】

学生在自我对比新旧概念的过程中, 需要在自己的知识理解的基础上, 概括出新概念与旧概念的不同, 总结归纳出新概念的关键属性以及两者的易混淆点。

新课程高中数学概念教学的反思 篇11

胡 钊

（甘肃省通渭县第二中学甘肃 通渭 邮编743300）

摘要 数学概念教学是“双基”教学的重要组成部分，也是中学数学教学中至关重要的一项内容，还是数学基础知识和基本技能教学的核心。正确理解概念是学好数学的基础,本文针对如何进行新课标下的数学概念教学进行探讨。关键词 数学概念 数学素养 思维品质

高 中数学新课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。数学 是由概念与命题等内容组成的知识体系，它是一门以抽象思维为主的学科，而概念又是这种思维的语言。概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和 基本技能教学的核心，因此抓好概念教学是提高数学教学质量的重要环节。

一、注重概念的本源，概念产生的基础

由于数学概念本身具有的严密 性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主，让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，这不利于创新 型人才的培养。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。

引 入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经 历数学家发现新概念的最初阶段。在概念引入时要培养学生敢于猜想的习惯，形成数学直觉、发展数学思维，从而获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的 重要因素。教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想（如函数、空间观念、运算、数形结合、向量、导数、统计、、算法等）要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。

二、在体验数学概念产生的过程中认识概念

高中数学《与函数概念》教学设计 篇12

张献洛

现在，很多高中教师在教学中只重视解题、而忽视了概念，造成解题与数学概念脱节的现象。有些教师认为概念教学就是对概念作解释，只要求学生记忆，没有对概念进行深入地了解。在教学活动中，学生是学习的主体，教学过程也是学生学习的过程，只有学生积极参与了教学活动，才能收到良好的教学效果，由于数学课的特点是逻辑性强，趣味性少，学生听课难引兴趣。为此在新课的引入中，根据教学内容，创设引入的教学情境，及早激发学生的兴奋点，吸引他们的注意力，调动其学习的非智力因素----兴趣，就显得尤为重要。一节“概念课”讲完以后，就完成了它的任务，剩下的时间就是赶紧做题，造成学生对概念只是一知半解，不能很好地理解和运用概念，从而影响了学生的解题质量。如何搞好新课标下数学概念课的引入教学呢？

每一个数学概念都有它产生的背景，而要让学生理解概念，首先要了解它产生的历史背景，通过大量实例分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能使学生初步掌握概念。下面，我就如何引入概念来谈一谈自己的看法。

概念的引入是概念教学第一步，这一步如何做、怎样做，都直接影响到学生对概念的理解和掌握。一般可以采用如下引入方法：

一、以实际问题引入概念

以实际问题引入是指利用学生的生活实际和所熟悉的事物及实例，从具体的感知引出概念。从实际问题出发，引入概念使得抽象数学概念贴近生活，使学生易于接受，还可以让学生认识数学概念实际意义，增强数学应用意识。因此在教学中要尽可能的使抽象的数学概念用学生所接触过的、恰当的实例进行引入。

例如在讲授“异面直线”概念的教学过程中，可先展示正方体模型，让学生找出两条既不平行又不相交的直线，当学生找出时。老师告诉学生像这样的两条直线我们就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线的定义”这个问题，让学生互相讨论，并尝试叙述，经过反复修改补充后，简明、准确、严谨的定义为：

我们把不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线。在此基础上，再让学生找出教室中的异面直线，最后画出异面直线的图形。学生经过此过程对异面直线的概念就有了明确的认识。

再如学习指数函数时，教师可以这样引入：让学生做一个折纸游戏，将一张厚度约为0.1毫米的报纸进行对折1次、2次、3次、„30次，你知道会有多高吗？学生动手去折，折到7-8次时，就折不动了。用计算器算一算，对折30次，结果大约为1087千米。若我们把折叠次数用x表示，得到的高度用y表示,那么y与x 又有怎样的关系？于是我们得到

这个函数。通过引入，我们即让学生体会到生活中的指数函数，还让学生感受到了指数函数的增加的速度，体会到了指数爆炸。

二、以复习旧知引入概念

以复习旧知引入是指利用学生已经学过的概念引出新的概念。许多数学概念之间都有着密切的联系，一些新概念是建立在已有的旧概念的基础之上，是旧概念的延伸和发展。利用学生已经学过的概念引出新的概念，可以加强新旧知识间的内在联系，让学生弄清知识的来龙去脉和前因后果，帮助学生建立概念体系，使学生学到的知识是完整的、系统的。利用这种方法引入概念，还能充分调动学生学习的积极性、主动性。

例如在讲解任意角的概念时，我们可以先复习初中定义的角的概念，并说明初中研究角的范围只局限在0º到360º之间，然后举出实例如：钟的指针转过的角度显然超过了0º到360º的范围，自行车的车轮在转动时，转过的角度也明显的超过了0º到360º的范围,从而引入“任意角”的概念.再如在讲授函数的单调性时，讲解单调递增函数的概念时，先给学生举了一个例子：初中时,我们学过了一次函数y=kx+b，并画过它的图像，从图像上，我们可以看到y随着x的增加而增加，把这句话用数学语言翻译出来，然后在把解析式抽象化，就能得到递增函数的概念。由于y随x的增加而增加是同学们在初中经常见到的，对他们来说一点也不会感到陌生，比较容易接受，这就一下子拉进了学生与新概念的距离。

又如，在讲授立体几何中异面直线距离的概念时，传统的方法是直接给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教师可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，我们可以发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

三、故事式引入

数学的发展史本身就是一部多姿多彩的故事史，有数学家呕心沥血孜孜求索的故事；有闪耀广大劳动人民聪明与智慧的故事；有我国古代的数学家为人类做出不朽贡献的故事 „„ 这些故事既能启迪学生的智慧、拓宽他们的视野，又是很好的引入素材。

例：在等差数列求和公式一节引入中，给学生讲德国数学家高斯小时候解一道算术题的故事。

德国数学家高斯（1777--1855）是一位伟大的数学家。高斯上学后不久，一次教师布置了一道数学题： “ 把从 1 到 100 的自然数加起来，和是多少？ ” 小高斯略略思索就得到了答案 5050，这使老师非常吃惊。那么，高斯用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？通过这故事，激发了学生探寻等差数列求和的规律的强烈欲望。

又如在专题讲授换元法时，用 “ 曹冲称象 ” 中以石代象，“ 孔明草船借箭 ” 中以借箭代造箭的故事作为引入；在讲授正难则反易的数学解题思想时，用 “ 司马光砸缸 ” 救人是通过变人离开水难而水离开人易的故事作比喻引入。这些故事耐人寻味，独具匠心，给人耳目一新的感觉，同时也体现了数学思想无时不在，博大精深之处。在讲授立体几何的祖口恒原理及二项式定理时，适当介

绍一些我国的数学史作为引入，既使学生了解一些古典的数学史，同时也能对学生进行适时的爱国主义教育。

通过用这些古典的、现代的故事启迪学生，激发学生的学习热情，使学生体会到数学就在身边，数学就在生活中，达到提高学生学习兴趣，教育学生的目的。

利用演示或实验，借助教具，可以揭示椭圆、双曲线、抛物线、正弦函数图像等等的产生；学生通过动手及不断观察、思考、比较，从而积累了比较丰富的感性认识，清楚、明白这些定义的产生过程，就易于理解，便于接受，有助记忆，并且来自于形象感知的概念，印象也比较深刻。

四、通过学生实验引入概念

学生通过自己动手实验，得到的结论可在脑海中留下深刻的印象。如在讲授椭圆的概念时，我们可让学生在课前每人准备一张硬纸板，一条细线绳，两个小钉子。上课时，教师指导学生将两个小钉子固定在硬纸板的不同位置，让绳子长度大于两个钉子之间的距离，再用铅笔将绳子拉紧开始画线，最后画出的曲线就是椭圆图形。然后再改变绳子长度，让绳子长度等于两钉子间距离，再画图，此时得到的图形是一条线段。再让绳子长度小于两钉子间距离，此时我们不能画出图形。在此基础上，学生可根据画图过程归纳出椭圆的概念。这样能使学生不知不觉地从具体到抽象，由感性认识逐步上升到理性认识。同样由学生亲自实验，然后归纳概念。此方法也可用于双曲线和抛物线概念教学。

五、通过概念产生的背景引入概念

在数学概念的教学中，适当介绍与数学概念产生相关的历史事件和人物，不仅可以激发学生的学习兴趣、开阔学生的学习视野，而且可以让学生了解概念产生的社会和历史背景。教师在授课时以新概念的产生背景为基础，在学生已有的知识结构的基础上，建立适合新概念的教学情境，从而引入新的概念。为学生更好地理解、把握概念的实质垫定了基础。

例如在对数概念一课的学习中，可让学生课前收集与对数发展相关的资料并在课堂进行交流。通过这种方式，学生不仅能够了解对数概念产生的历史背景——不仅仅是为了解决生活中航海、天文学中数的繁杂计算，更重要的是将对数

与指数概念联系起来，这对数学的发展是非常重要的。再如学到解析几何和微积分部分时，可以向学生介绍解析几何的创始人是笛卡尔，微积分的创始人是牛顿、莱布尼茨，以及他们在文艺复兴后对科学、社会人类思想进步的推动作用。

再如在讲复数的概念时，教师可从数的发展历史讲起：在几千年前，人们为了记数的需要而产生了自然数的概念；后来人们为了表示相反意义的量引进了负数概念；人们为了分配一个整体的量的需要，引入了有理数概念„„到了16世纪人们要解形如x²+1=0这样的方程,在实数集内显然无解,从而引入了单位复数i, 数集的每一次扩充都解决了原有数集不能解决的一些问题.六、通过类比、联想引入概念

类比、联想引入是指根据事物之间的相互联系，由一个事物想到另一个事物的引入方法。由于数学知识间存在着类似、平行、递进、对比、从属、因果等关系，如果学生能将两个看似互不相关的知识联系起来，不仅能增强学生的思维能力，而且使知识更容易理解、掌握。

例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教师可以引导学生回忆我们初中学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念，以及相反数、倒数的概念。乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。

又如在向量概念教学时，提示学生联想物理学中的力、加速度等具有怎样的特点，它们与质量、时间等标量有怎样的区别，从而可自然地引入向量的概念。在学习等比数列的概念和性质时，可与等差数列进行类比；在学习余弦函数的定义、图象、性质时可与正弦函数加以比较，这样学生既容易理解掌握，又强化了知识之间的联系，使学生能灵活运用它们解题。

另在教学中，注意选编一些具有探索性、应用性的内容，且选择适当的教学手段和教学方法，利用数学学科特有的数与形的表象关系，知识结构上的内在逻辑关系等，都是很好的激趣方式。

“ 教学的艺术，是人类最伟大的艺术（列宁）”，教学最忌照本宣科，尤其是每节课的开头，俗语说 “ 万丈高楼平地起 ”，良好的开端是成功的基础，教师根据教学内容不同，努力创设不同的激趣情境，使枯燥抽象的数学课堂变得妙趣横生，欢声笑语，再通过教师的适当引导，将引入的兴趣转化为所讲的主题，无疑为提高教学效率，增强学生的学习兴趣，更好地完成教学目的，起到事半功倍的作用。