一元二次方程的解法教学设计及反思

一元二次方程的解法教学设计及反思（精选8篇）

一元二次方程的解法教学设计及反思 篇1

发布者： 欧小毅

发布时间： 8/9/2011 PM 2:20:17 一元二次方程的解法教学设计及反思

学习目标

1、一元二次方程的求根公式的推导

2、会用求根公式解一元二次方程．

3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯 学习重、难点

重点：一元二次方程的求根公式． 难点：求根公式的条件：b-4ac≥0

学习过程：

一、自学质疑：

1、用配方法解方程：2x2-7x+3＝0．

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、交流展示：

刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax+bx+c＝0(a≠0)呢?

三、互动探究：

一般地，对于一元二次方程ax+bx+c＝0

(a≠0)，当b-4ac≥0时，它的根是

222

2用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法

由此我们可以看到：一元二次方程ax+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．

注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号．

(2)在运用求根公式求解时，应先计算b-4ac的值；当b-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．

四、精讲点拨：

例

1、用公式法解下列方程：

(1)；

(2)． 总结:其一般步骤是：

(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)(2)求出b-4ac的值．(先判别方程是否有根)

(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根． 例

2、解方程：

（1）2x2-7x+3＝0

（2）x2-7x-1＝0(3)2x2-9x+8＝0

(4)9x2+6x+1＝0

五、纠正反馈： 做书上第Ｐ90练习。

222

2六、迁移应用：

例

3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．

例

4、求方程 的两根之和以及两根之积

拓展应用:关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则;方程的另一根是

教学反思：学生能运用公式解一元二次方程，但对求根公式的推导过程掌握比较困难。

“一元二次方程的解法——配方法”教学设计及反思

作者： 潘艳(初中数学

贺州八步初中数学二班)

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发表日期：

2011-10-08 19:43:38

教学设计

一、教学目标

1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.2.培养思考能力和探索精神.二、教学重点和难点

1.重点：用配方法解一元二次方程.2.难点：配方.三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知 1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；

解：原方程化成.开平方，得

，x1=，x2=

.(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成.开平方，得

，x1=，x2=

.（二）尝试指导，讲授新课

（师出示下面的板书）

直接开平方法：

第一步：化成什么2＝常数；

第二步：开平方降次；

第三步：解一元一次方程.师：上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程 ；第三步解一元一次方程，得到两个根.师：按这三步，我们来做一个题目.（师出示例1）例1 解方程：x2-4x+4=5.（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）

解：原方程化成(x-2)2=5.开平方，得x-2=，x1=+2，x2=-+2.（三）试探练习，回授调节 2.完成下面的解题过程：

解方程：9x2+6x+1=4；

解：原方程化成开平方，得

x1=

（四）尝试指导，讲授新课 师：下面我们再来做一个题目.（师出示例2）

x2=

.，.例2 解方程：x2+6x-16=0.师：（指准板书）怎么解这个一元二次方程？（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2＝常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）师：下面我们一起来化.师：（指准方程）要把这个方程化成什么2＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：解：移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：x2+6x+32=16+32），左边x2+6x+32等于什么？（稍停）等于(x+3)2（边讲边板书：(x+3)2），右边16+32等于25（边讲边板书：＝25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方＝常数这种样子.师：方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+ 3=±5（边讲边板书：开平方，得x+3=±5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：x1=2，x2=-8）.师：（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在 方程两边加上32，把方程的左边配成(x+3)2.这样做叫什么？叫配方（板书：配方）.师：像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：配方法）.师：下面请大家做几个有关配方法的练习.（五）试探练习，回授调节 3.填空：

(1)x2+2·x·2+

；=(x+

(2)x2-2·x·6+

；=(x-

(3)x2+10x+

=(x+)2；(4)x2-8x+

=(x-)2.4.完成下面的解题过程： 解方程：x2-8x+1=0；

解：移项，得

配方，得

开平方，得

x1=

，x2=

5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.（六）归纳小结，布置作业

..)2)2，师：这节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.课外补充作业： 6.填空：

(1)x2-2·x·3+

；=(x-

(2)x2+2·x·4+

；=(x+

(3)x2-4x+

=(x-

(4)x2+14x+

=(x+

7.完成下面的解题过程： 解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得

配方，得

开平方，得

x1=，x2=)2)2)2；，.)2..8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.四、板书设计

直接开平方法、配方法

例1

例2 第一步：化成什么2＝常数； 第二步：开平方降次； 第三步：解一元一次方程.配方法解方程教学反思

本节共分3课时，第一课时引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第3课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。

在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：

1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。

2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。

3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。

因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。

分解因式法解一元二次方程的教学设计和反思

发布者： 冯文娟

发布时间： 20/9/2011 PM 8:37:49 分解因式法解一元二次方程的教学设计和反思

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.会用分解因式法解能分解因式的一元二次方程。

2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。

（二）过程与方法目标

1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

2．会用分解因式法（提公因式法，公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。

3．通过设置问题串，学生体会分析问题的思考方法。、（三）情感与态度目标

通过学生探讨一元二次方程的解法，知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。体验成功的喜悦，感受数学学习的乐趣，增加学习数学的兴趣。

二、教学重点、难点：

教学重点：应用分解因式法解一元二次方程。教学难点：形如“x²＝ax”等方程的解法。

三、教学方法：列举法、讲授法、练习法等

四、教学过程：

一、创设问题情境，导入新课： 1．复习提问

（1）什么叫做因式分解？分解因式有那些方法？（2）方程（x－2）（x＋3）＝0是一元二次方程吗？如何解方程（x－2）（x＋3）＝0？试一试。

2.如果把（x－2）（x＋3）＝0转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

二、探索新知：

例1 解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可变形x（x＋2）＝0 ∴ x＝0或x＋2＝0 ∴ x1=0，x2=-2．

分析：第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”。第二步，对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程就是用因式分解法解一元二次方程．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

课堂练习1：解方程①3x2-6x=0；②2x2=x；③3（x-2）-x（x-2）＝0． 分析③题：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．则 x-2＝0或3-x＝0． 拓展与延伸：.解方程（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演． 体会步骤及每一步的依据．

例2 用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

分析：用十字相乘法分解等式左边为（x＋5）（x-3），原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．

解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0． 得，x＋5＝0或x-3＝0． ∴ x1＝-5，x2＝3．

总结因式分解的步骤：①方程化为一般形式；②方程左边因式分解；③至少一个一次因式等于零，得到两个一元一次方程；④两个一元一次方程的解就是原方程的解．

课堂练习2：①y2-y-6=0；②2x2+9x-5=0； 学生练习、板演、评价．教师引导，强化． 例3 解方程（3x＋2）2=4（x-3）2

分析：根据平方差公式，原方程可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．，再进一步变为[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0。

22解：原式可变形为（3x＋2）-4（x-3）＝0。

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0 即：（5x-4）（x＋8）=0． ∴ 5x-4＝0或x＋8＝0． ∴x1＝，x2＝-8．

课堂练习3： 9（2x＋1）2=（3x-1）2

学生练习、板演、评价．教师引导，强化。

（三）随堂练习：

① ﹙x＋2﹚﹙x－4﹚＝0

② 9x2+42x=-49

③

4x﹙2x＋1﹚＝3﹙2 x＋1﹚

④ y2-16y+64=0 ⑤ 9x2-12=0

（四）课堂总结：

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，展示了由“二次”转化为“一次”的过程。

作业：教材P．21中1、2．.五、板书设计

分解因式法解一元二次方程

一、例题

例1．„„ 例2„„例3„„

二、因式分解法的步骤

（1）（2）（3）（4）

三、练习

教学反思

一元二次方程的解法教学设计及反思 篇2

有这样一道关于反正切等式的竞赛题目: 找出3个正整数x, y, z, 它们满足等式.下解之.

1.解法一 (代数法 )

先找出2个正整数a, b (不妨设a<b) 使得arctan1/a+arctana1/b=45°1.

由1式 , 有

移项, 整理可得 (a-1) (b-1) =2,

由于a, b是正整数, 从而a=2, b=3.

即

同理, 找出2个正整数c、d (不妨设c<d) 使得

类似地, 由3式, 有

即移项、整理可得:cd-3 (c+d) -1=0,

分解因式, 有: (c-3) (d-3) =10

由于c, d是正整数, 从而可得

从而可以得到两组满足题意的解:

2.解法二 (用几何法 )

讨论如何找出3个正整数a, b, c (不妨设a<b<c) 使得

如图1建立平面直角坐标系, 点A的坐标为 (0, 1) , B1的坐标为 (i, 0) (i为非负整数) , 记∠ABiBj=∠i, 注意到因此 , 可转换为几何问题 :求正整数a, b, c (不妨设a<b<c) 使得∠a=∠b+∠c.

若要证∠a=∠b+∠c, 根据三角形外角定理有:∠a=∠b+∠BaABb, 故需要证明∠c=∠BaABb. 可以通过证明△ABaBb∽△BaBA证明角相等 , 故只需证

由题意得, ∠AB0B1=90°, B0, Ba, Bb, Bc共线.

则:AB0=1, B0Ba=a, B0Bb=b, B0Bc=c, BaBb=b-a, BcBa=c-a,

由勾股定 理可算得 :

由以上分析过程, 只要1+a2= (c-a) (b-a) , 则∠a=∠b+∠c.此时, 有:运用此结论两次则可找到满足题意的3个正整数.

二、结论及题目推广

由上述解题过程, 可得如下结论:

结论1:重复上述过程, 即可得到一系列等式, 如下:

因此, 可从等式左边项的个数及等式右边的值这两个方面对原题进行改编和推广.例如:

(解法类似前面过程 , 此处不再证.) 推广1:找出4个正整数x1, x2, x3, x4使之满足下列等式

推广2:找出3个正整数x1, x2, x3, 使之满足下列等式

结论2:由上述过程亦可知, 找出2个正整数a、b (设a>b) 使得实际上是找出a、b使得故只需找n2+1的正约数 . 设n2+1的表示x的正约数个数 ) .

由于约数是成对出现的, 故k为偶数, 4的解组有

因此, 亦可从求解的个数对原题进行改编和推广.例如:

推广3: 求出成立的所有正整数解组a、b (设a>b) .

解 :由结论2, 所求解组 的个数由于197是质数 , 则其正约数个数只有2个 , 即1和197, 从而原题所求解组的个数为1组, 为

推广4:求满足的整数解n的个数.

解:由结论2, 设n2+1的正约数 ( 按数值从小到大依次为 ) 为n1, n2, …nk, 其中n1=1, nk=n2+1,

则ni=1.nk+1-i=2.故i=1, 从而nk=n2+1=2, 解得n=1.

故满足原式的整数解只有1个.

结论3:Fn为Fibonacci数, n、k为非负整数.

证明:由Fibonacci数列的性质, F2n+1-FnFn+2= (-1) n.当n为偶22数时 (设n=2k) , 有

一元二次方程的解法教学设计及反思 篇3

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响 ，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称具体做法注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如 ，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程： 错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解： ， ， ，∴ 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程： 或原式=

正解：

总之，会解一元一次方程是很重要的最基本，解题步骤较小学显得繁琐，学生容易出现错，就需要我们平时多细心，做适量的题，才能真真达到掌握的目的！

参考文献：人民教育出版社七年级上册

《分式方程的解法》教学反思 篇4

本节课是北师大版数学八年级下册第三章《分式》的第四节“分式方程”的第二课时，本节课作为分式方程的第二节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是对前一节内容的深化，又为以后学习“分式方程的应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有承上启下的作用。

课程标准要求：会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的 分式不超过两个）。根据新课标、教师用书及学生的学习情况，将本节课的学习目标细化为：

1、通过自学课本88-89页例1，例2，会归纳出解分式方程的基本思路及方法,并会模仿例题解简单的分式方程。

2、通过合作交流，会归纳出解分式方程的一般步骤。

3、通过自学课本89页议一议及90页，知道增根产生的原因及验根的必要性，并会归纳出验根的方法。

4、会熟练解分式方程，并会检验根的合理性

解分式方程的基本思路是－－把分式方程转化为整式方程，方法是去掉分式方程的分母，即方程两边同乘以最简公分母，这是分式方程求解的关键。因此确定本节课的学习重点为

1、解分式方程的基本思路及方法

2、会熟练解分式方程 解分式方程学生容易出错，关键不能理解在方程变形的过程中产生增根的原因，可以结合实例让学生了解方程两边同乘的是整式，整式可能为零不能满足方程同解变换的原则，因此本节课的学习难点为

1、增根产生的原因及验根的必要性

2、验根的方法

本节课前，学生已熟悉等式的性质，并能熟练地解一元一次方程，能理解去分母、去括号、移项、系数化为1的依据。所以，在上一节课学习分式方程概念的基础上，本节课运用观察、类比的方法，探索解分式方程的方法及各步骤的依据。因此，本节课主要采用问题设计的模式，通过观察、类比、讨论、交流的形式展开教学，特别注重 “精讲多练 ”，真正体现以学生为主体。课堂上主要采用了启发、引导式并针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正。在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演外，自己还在下面及时的发现其他学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决。

在学习过程中，首先复习找最简公分母的方法，为新课中去分母做铺垫，进而引导学生类比解一元一次方程的一般步骤解分式方程，既引出了本节课题，又使学生能积极投入到新知探究环节。

在新知探究过程中，我设置了四个探究环节。通过预习，独立完成探究

（一）提出的问题，让学生明确解分式方程的基本思路及方法，并能模仿例题完成体验练习（其中练习2要让学生注意解分式方程去分母时，方程的各项都要乘以最简公分母。）。在探究

（二）归纳出解分式方程的一般步骤后，引得学生观察方程

3x13xx1，思考求得的x值是方程的解吗？学生在完成体验练习和归纳出解分式方程的一般步骤时，会觉得只要解方程时细心，计算不出错，检验没必要，因此，我设计这道思考题，让学生发现求得的x值代入原方程左右两边均无意义，引发学生思考求得的x值是不是方程的解,从而引出增根。进而思考：增根是什么？是如何产生的？如何检验？带着这些问题，自然进入探究

（三）。增根是本节的难点，学生通过看课本很难深入理解，因此我在探究

（三）中设计了3个问题分散这个难点，让学生通过预习、合作交流完成，理解增根产生的原因和体会验根的必要性，从而会检验根的合理性，顺利突破难点。在探究

（三）完成后，为巩固检验增根的方法，也为再次强化解分式方程的一般步骤，又设计了一道巩固练习。学生正确完成后引导学生观察这几道练习，思考“你发现分式方程有哪些验根的方法？各有何特点？（即探究四）”让学生通过合作交流，归纳出分式方程验根的方法。最后通过一组巩固训练强化本节所学知识。至此，本节课通过由浅入深的练习和诱导，使学生在不知不觉中强化了重点，突破了难点。

1、通过探究

（一）及体验练习，检测目标1的达成--达成度98%。

2、通过探究

（二），检测目标2的达成达成度100%。

3、通过探究

（三）及巩固练习，检测目标3的达成--达成度95%。

4、通过探究

（四）及巩固训练，检测目标4的达成--达成度95%。为了帮助学生从整体上理解本节课所学的知识，构建知识结构，对所学知识及融于其中的思想和方法进行小结，设计了第三个环节 “谈谈你的收获”。学生可以谈本节课的收获，也可以谈在本节课中的疑惑,或对本节课提出意见或建议，给予学生充分的鼓励和正确的评价。

为了检测本节课学生掌握知识的程度，设计了两道检测题，既检验了解分式方程的能力，又巩固了验根的方法，同时检测了目标的达成度。

本节设计了必做和选做两项作业，把作业分为必做题和选做题两种，这样做既可以使学生掌握基础知识，又可以使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。

本节课的设计力求体现：

 培养学生观察、交流、分析、归纳的能力  让学生充分经历知识形成的全过程

一元一次不等式解法反思 篇5

一元一次不等式的解法反思

由于本节课是一节微课，时间简短，基于微课的要求以及微课所面对的是一些个体，因此整个教学活动教师的讲解比较重要。在教学过程中不能急于求成，适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法十分相似，解一元一次方程的依据是等式的性质，而解一元一次不等式的依据是不等式的性质，所以讲授新课之前老师先复习了不等式的性质和前面刚学过的一元一次不等式的定义。对于一元一次不等式解法的教学中采用探究式的教学方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再交流解答过程，并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法，并比较其异同。让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法的步骤是相同的，只是第一步去分母和最后一步系数化为1，可能使得不等号的方向改变。

一元一次方程的解法教学设计 篇6

富裕一中 张传河

一、教材分析：

1、主要内容：一元一次方程的解法第一课时

2、教材中的地位与作用：一元一次方程的解法是在学生已经具备了代数初步知识、系统学习了整式加减的基础上安排的，是对整式运算的进一步深化和认识。本节课是在教授了一元一次方程解法第一课时因此尤为重要。同时着力培养学生积极思维的优良品格，逐步形成具体问题具体分析的哲学思想，养成正确思考，善于思考的良好习惯，从而提高分析问题，解决问题的能力。

3、教学重点：熟练运用等式性质和移项解一元一次方程。

教学难点:学生如何在已有的基础上根据不同形式的问题选择合适的解题方法。

二、教学目标：

（1）知识与技能：初步学习一元一次方程的一般解法，进一步巩固等式性质。（2）过程与方法：通过寻找解题方法，提高学生发散思维能力，逐步培养创新意识。

（3）情感、态度与价值观：在教学过程中，充分体现和谐、简洁之美，使学生在获取知识的同时，又能对所学内容产生浓厚的兴趣，增强求知欲。

三、教法方法：自学探究指导法

学法探究：自主、合作、探究学习法 教学手段：多媒体辅助教学

初步设想简单问题由学生自主完成，难度稍大同桌或小组互助完成，知识拓展由小组间互助完成，即同桌对学，小组对学，互查互助，学友展示师傅补充。

四、课前准备

1、导学案的使用:由于七年级是课改的年段，教师在新课前一天将学习目标、学习内容、思路和方法等以“预习案”的形式明确给学生，学习目标、思路和方法要有层次性和逻辑性。并印发“探究案”和“测评案”（三案合一），有意识地引导学生在课前自学。

2、分组：两个差异较大的学生结成一个学习对子，即：师傅和学友。三个学习对子为一个学习小组。桌椅按照面对面排列。每一对学习对子中的师傅负责徒弟的学习，六人中挑选综合能力最优者为组长，负责本组合作学习的总组织者和协调者。相邻的两个小组为结对组。班级同学般6人一组，其中优中差相结合，不仅考虑数学学科同时考虑其他学科，由于学生各科不均衡，师徒角色有时会转化。

五、教学流程 一）、基础知识链接

本环节设置三个方面的内容分别是（1）温故知新复习巩固难点重现。（2）概念回顾承上启下识记运用。（3）新知初探自主学习合作认知。

1、复习回顾

(1)下列是一元一次方程的是（）

A、x2+x=0 B、x-y=0 C、y-2=0 D、110xm(2)、如果3x+2=0是关于x的一元一次方程，那么m=__(3)如果(k+1)x|k|+21=0是一元一次方程,则k=_______

2、等式的性质

（1）等式的性质1：等式的两边加（或减）(或式子）结果仍相等。（2）等式的性质2：等式的两边乘以同一个数，或除以 结果仍相等

3、移项：把等式一边的某一项 移到等号的另一边叫做移项。（1）x+3=7移项得x=7-()(2)3x+4=5x移项得4=5x-()学生通过观察分析、独立思考，自主探究，学会解决问题。二）、基础知识巩固

在新知初探的基础上引进对移项的探究，旧知识与新知识结合更利于掌握移项的理论基础。本环节设置6道题分成3个层次同桌互助、小组互助、对组合作乃至全班大范围交流。

小组探究，合作互助（试解下列一元一次方程）（1）-2x=4（2）x+5=2

（3）-5y=-3y+2（4）3m+7=32-2m(5)x-3=3x+1(6)2.5y+10y-15=6y-21.5、2 本环节为解决问题的核心初级阶段尽量由学生完成，成熟之后由学生自主或互助完成，机动灵活地调整教学方式，进行教学实施 三）、基础知识拓展

本环节是将探究完全放手给学生通过重点重现，难点分解，小步距教学，变换问题的呈现方式，学生的学习方式，并对学生灵活学习方法进行探究，引导学生以学习小组的形式进行合作学习。并通过组内、组间交流，让他们在集体的思想碰撞中，寻求答案。既攻破了疑难，又锻炼了学生的能力。1．如果-3x2a-1 +6=0是一元一次方程，那么a=。

2、方程(a2-1)x2+(a-1)x+1=0是关于x的一元一次方程，则a=。

3、当m= __ 时,方程2x+m=x+1的解为x=－4.4.若x＝2是方程2x－a＝7的解，那么a＝___ 5．如果5a2b2m+1与-2a2bm+3是同类项，则m=。

6.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝1有相同的解，那么m＝_____ 四）当堂检测

巩固训练，稳步提升，习题数量少，难易适中，有利于学生建立自信心，个人认为学习与孩子们的快乐成长相比较学生的快乐更重要。五）归纳总结知识提升

归纳总结纳入系统，交流反思提高认知 六）、布置作业巩固提高（课后跟踪训练）

这组题的设计目的是“趁热打铁”，进一步激发学生学习兴趣，加深所学知识的印象。采用形式完全由学生自主合作完成，努力培养学生的观察能力、思维能力，增加学生“成就感”激发学生的求知欲。

1、解方程：

（1）2x12x

1（2）53(y)3

3（3）-5x-7=2x-11

2a-9a2、若与互为相反数，求a的值。

323、用一根长10cm的铁丝围成一个长方形，已知长比宽多1.4cm，求长方形的长和宽。

4、求作一个方程,使它的解为-5,且未知数的系数为2，试列出一个满足条件的方程。

5、在“希望工程”义演中，成人票8元，学生票5元，一共售出1000张票。所得的票款可能是6932元吗？如果可能。成人票比学生票多售出多少张？

本环节设计构想是加深对所学知识的理解，并能得到运用和发展，并且使知识技能转化为能力，真正做到知识的“活学活用”。

六、设计说明

一元二次方程的解法教学设计及反思 篇7

关键词：数学思想,数形结合法,一元二次不等式的解法

教学实践表明:中小学数学教育的现代化, 主要不是内容的现代化, 而是数学思想、方法及教学手段的现代化, 加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键.因此, 中学数学应该重视数学思想的教学, 数形结合法是中学数学中一种基本的重要的数学思想.

一、数形结合的内涵

恩格斯认为:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数与形是数学中的两个最古老, 也是最基本的研究对象, 它们在一定条件下可以相互转化.“数”与“形”反映了事物两个方面的属性, 数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系.所谓数形结合, 就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形之间的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.

二、数形结合的意义

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好, 隔裂分家万事非.”数形结合思想通过“以形助数, 以数解形”, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 能够变抽象思维为形象思维, 从而使问题得到简捷解决.数形结合能力的提高, 有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质, 有利于扎实打好数学基础, 有利于数学素质的提高, 同时必然促进数学能力的发展.

三、数形结合法的应用

在中学数学中, 数形结合的思想方法应用广泛.常见的如在解方程和解不等式问题中, 在函数的值域、最值问题中, 在求复数和三角函数问题中, 应用数形结合思想, 不仅直观发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化了解题过程.在教学中要培养学生数形结合的思想意识, 做到胸中有图, 见数想图, 以开阔他们的思维视野.

下面着重探讨数形结合法在一元二次不等式解法教学中的应用.

下面以x2-x-2>0 (<0) 的解法为例进行分析:

一元二次不等式x2-x-2>0 (<0) 对应一元二次方程x2-x-2=0, 可求得两根为x1=-1, x2=2, 一元二次方程x2-x-2=0对应的二次函数y=x2-x-2的图像与x轴有两个交点P1 (-1, 0) , P2 (2, 0) , 一元二次方程x2-x-2=0的根其实就是对应函数y=x2-x-2的图像与x轴的交点的横坐标.

根据函数y=x2-x-2的简图1, 函数y=x2-x-2的图像上的点M (x, y) 具有以下性质:

由此可知, 不等式x2-x-2>0的解集是 (-∞, -1) ∪ (2, +∞) , 不等式x2-x-2<0的解集是 (-1, 2) .一般地, 对于二次函数y=ax2+bx+c, 使它的图像在x轴上方的自变量x的范围就是ax2+bx+c>0的解集;使它的图像在x轴下方的自变量x的范围就是不等式ax2+bx+c<0的解集.

例1解不等式x2-x-12>0.

分析求抛物线y=x2-x-12与x轴交点的横坐标, 即求方程x2-x-12=0的实根, 然后通过观察二次函数y=x2-x-12的简图写出不等式的解集.

解方程x2-x-12=0的根为x1=-3, x2=4.

由函数y=x2-x-12的简图2, 得原不等式的解集是 (-∞, -3) ∪ (4, +∞) .

点评数形结合法解一元二次不等式直观形象, 简洁明快, 比他法更容易被中职学生接受.

例2解不等式-4x2+5x-1>0.

分析将不等式化为二次项系数为正值的不等式, 然后仿照例1 (用数形结合法) 求解.

解原不等式可化为4x2-5x+1<0.

方程4x2-5x+1=0的根为.

由函数y=4x2-5x+1的简图3, 得原不等式的解为.

例3解不等式x2-10x+25>0.

分析首先要求出一元二次方程x2-10x+25=0的根, Δ= (-10) 2-4×1×25=0, 方程有两个相等的实根, 说明抛物线y=x2-10x+25与x轴只有一个交点, 画出抛物线y=x2-10x+25的简图, 便可求出不等式的解集.

解方程x2-10x+25=0有两个相等的实根x1=x2=5.

由二次函数y=x2-10x+25的简图4, 可得原不等式的解集是{x x≠5, x∈R}, 用区间可表示为 (-∞, 5) ∪ (5, +∞) .

例4解不等式x2-x+3>0.

分析一元二次方程x2-x+3=0的根的判别式Δ= (-1) 2-4×1×3<0, 方程无实根, 这说明抛物线y=x2-x+3与x轴无交点.画出抛物线的简图5, 便可求得不等式的解集.

解∵方程x2-x+3=0无实根, ∴抛物线y=x2-x+3与x轴不相交, 位于x轴的上方, 所以不等式x2-x+3>0的解集为 (-∞, +∞) .

由以上例子不难发现, 一元二次不等式的解集与一元二次方程的根紧密相关, 而二次函数的图像就相当两者之间的桥梁.数形结合法很好地解决了它们之间的关系, 使得问题的解决变得简洁化、快捷化.

下面将一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0的解集列表如下:

综上所述, 在教学中我们可以将数形结合法解一元二次不等式ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0 (a>0) 的一般步骤归纳如下: (1) 化成标准形式ax2+bx+c>0 (a>0) 或ax2+bx+c<0 (a>0) . (2) 判断所对应的二次方程的根的情况;如有根, 则求出其根. (3) 画出所对应的二次函数的简图. (4) 根据简图写出不等式的解集.

数形结合思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化几何问题代数化数形结合法以形助数, 以数解形”, 在一元二次不等式解法教学中要反复强调的两个问题是: (1) 数要求得准确; (2) 形要画得正确 (根据中职学生水平只要求他们掌握二次函数简图的画法, 图形力求简洁) .中职学生数学基础较差, 相当一部分同学连因式分解法解一元二次方程都不会, 更不用说画好二次函数图像了.所以在本节教学开始之前, 务必花时间复习与巩固一元二次方程的解法和二次函数图像的画法.只有这样才能确保在一元二次不等式解法教学中顺利使用数形结合法.

数形结合法有利于提高思维的深刻性, 因此数形结合法不应仅仅作为一种解题方法, 而应作为一种基本的、重要的数学思想, 作为数学知识的精髓, 作为将知识转化为能力的途径来学习研究和掌握应用.数形结合法要求教师在长期的教学过程中潜移默化地让学生掌握, 仅仅靠几节课专门讲授数形结合法解题的例子, 是不能使学生真正理解和掌握数形结合法的

参考文献

[1]沈文选.中学数学思想方法.长沙:湖南师范大学出版社, 1999.

[2]人民教育出版社职业教育中心.数学.提高版 (第一册) .北京:人民教育出版社, 2001.

一元二次方程的解法教学设计及反思 篇8

【关键词】再创造；一元二次不等式；数形结合

2011年暑假笔者攻读教育硕士时，学习徐稼红老师《数学教育学》课程，接触到了数学教学原则中的“再创造”原理，然后又学习了“再创造”原理提出者——荷兰著名数学家弗赖登塔尔撰写的《作为教育任务的数学》（中译本）和《数学教育再探——在中国的讲学》（中译本），对“再创造”原理有了更全面的认识：数学学习主要是进行“再创造”，或者称为“数学化”，而这个“化”的过程就是学生本人把要学的东西去发现创造出来，教师的任务是去引导和帮助学生进行这种再创造活动，而不是将现成的知识填鸭式的灌输给学生。笔者深受启发，正逢新学期开学，所任教班级为江苏省四星级普通高中的高一教改实验班，学生的基础较好，于是将“再创造”原理运用在平时的数学教学过程中。本文是根据“再创造”原理指导下的“一元二次不等式解法”（第一课时）的教学过程整理而成，供各位同仁参考、斧正。

一、低起点引入，激发“再创造”动机

问题1：画出函数y=x+2的图象，根据图象回答以下问题：

①方程x+2=0的解集为_____；②不等式x+2>0的解集为_____；③不等式x+2<0的解集为_____。

学生们很快做出图并正确的回答完三个问题。分别为{﹣2}；（﹣2，+∞）；（-∞，-2）

并请同学来总结：不等式ax+b>0（a≠0）的解集为：当a>0时，不等式解集为（-，+∞）；当a<0时，不等式的解集为（-∞，-)。

设计说明：解一元一次不等式的内容，学生们在初中就接触过，能够非常轻松就完成并都能得出正确结论，不仅复习了一元一次不等式的解法，还强调了一次项的系数正负问题。这为接下来求解一元二次不等式奠定了基础，也激发了学生探索发现更高次不等式解法的动机和兴趣。根据“再创造”原理这是纵向数学化的开始，即从低次解不等式开始，逐步转向高一次不等式解法的探索发现。

二、顺利过渡，实施“再创造”计划

问题2：画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答以下问题：①哪些x的值使得y=0；②哪些x的值使得y>0；③哪些x的值使得y<0.

学生们运用描点法画出函数y=x2-3x+2的图象，三个问题也很快得到答案。分别为x=1或者3；x<1或x>3；1

由此引导学生得出：①方程x2 -3x+2=0的解集为{1，3}；②不等式x2-3x+2>0的解集为{x| x<1或x>3}；③不等式x2-3x+2<0的解集为{x|1

设计说明：这是特殊到一般中的“特殊”过程，先通过一个简单、具体的二次函数将解一元二次不等式的基本步骤呈现出来，与前面解一元一次不等式的步骤相呼应，同时也是在强调一个重要的数学思想——数形结合。这样设计的目的，一方面可以树立学生接下来“再创造”的信心，另一方面也是为一元二次不等式解法打下知识基础——即三个“二次”之间的联系。

三、填写表格，初得“再创造”成果

问题3：已知函数y=ax2+bx+c(a>0)，填写以下表格

根据以往积累的经验和刚才的学习，学生们顺利的完成表格。

设计说明：这是从特殊到一般的“一般”过程，根据刚才特殊例子的启发，学生填写表格时遇到的困难并不大，少数几个学生在填写时出了一点点偏差，笔者通过巡视时一一指导正确完成。通过这个表格，学生利用数形结合从理论上学会解二次项系数大于零的一元二次不等式，同时进一步体会了三个“二次”之间的联系。弗莱登塔尔认为：学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，形式化而不是形式，算法化而不是算法，这个设计环节就是指导学生完成解一元二次不等式的数学化过程，接下来的环节是要应用学生再创造出来的数学化的知识，同时也是在实践中不断完善数学化的知识体系。

四、方法应用，实践中升华“再创造”成果

问题4：解下列不等式：①3x2-2x-1<0；②-x2+2x<-3；3.x2-x≥1；④1

解不等式①：因为方程3x2-2x-1=0的两个根为x1=-，x2=1，根据函数y=3x2-2x-1图象可知原不等式的解集为{x|-

余下的解题过程略。

四道例题解完后引导学生得出解一元二次不等式的基本步骤（学生“再创造”的最终成果）：整理二次项的系数→求出对应二次方程的根（因式分解或者求根公式）→大于取两边小于取中间（无解或者是重根时根据图象和不等式中不等方向来确定）

注：二次项系数为负时可以通过两边同乘以（-1）将原不等式转化为二次项系数为正的不等式来处理（同时需要注意不等号要改变方向）；也可以通过开口向下的二次函数图象来解决。

总之，解一元二次不等式的两种基本途径是：其一是通过二次函数图象观察得出结果；其二是在熟悉了二次函数的基础上通过因式分解或者求根公式找出二次方程的根，用大于取两边，小于取中间来得出结果。

设计说明：华罗庚先生说过，与其说学数学，还不如说做数学。学生虽然在上一个环节中得出了解一元二次不等式的基本结论，但实践是检验真理的唯一标准，在应用数学化的过程中还有一些需要注意的细节：问题4中的不等式①可以通过因式分解得出二次方程的根，同时老师也在黑板上详细板书，规范解题过程；问题4中的不等式②二次项系数为负，少数学生套用第①题小于取中间就错了，老师可以通过图象解释错因，可以指导学生认识到两种处理途径（上文的“注”）；问题4中的不等式③用因式分解不能得到二次方程的根，只能依靠求根公式来解，提示学生求二次方程的根要两条腿走路，因式分解和求根公式并重；问题4中的不等式④是不等式组问题，一方面两个不等式要同时成立，另一方面当二次方程的判别式等于0时，二次不等式的求解要借助观察图象来得到。弗莱登塔尔对于“往哪儿指导”问题的答案是“到一种活动中去”，这个环节就是到一种活动中去，在实践活动中升华“再创造”的成果，得到纵向数学活动的最终结果。

五、留下思考，为下次“再创造”埋下伏笔

思考题：解不等式 x2-(+)x+1<0

设计说明：含参不等式的解法也是解二次不等式的重要构成部分，是下一课时的主要内容，笔者将这个问题作为这一课时的思考题，不仅是考察学生课后“再创造”的能力，也是为下一课时的“再创造”埋下伏笔。

六、教学后记

与其说让学生学习数学，不如说让学生学习数学化，这与我们经常说的“授人以鱼不如授人以渔”有些相通的道理。《普通高中数学课程标准》也指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。本节课通过指导学生“再创造”一元二次不等式的解法，在教师的指导下，学生成为学习的主体，通过自己主动去创造出的解法，比老师强加于学生的解题方法，理解更深，效果更好，通过课后作业质量的反馈，效果非常好。当然，要补充说明的是：笔者所面对的学生是教改实验班的学生，学生素质较高，适合有指导的再创造，要是学生本身的学习能力较低，再创造的能力也会大打折扣，教师在指导时要有针对性，否则会让这部分学生创造不出来所想要的结果，几次这样的课程下来，会让这部分学生“习得性无助”，丧失学习数学的兴趣，更谈不上去再创造了。

参考文献：

[1]弗莱登塔尔著.陈昌平，唐瑞芬等编译.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[2]弗莱登塔尔著.刘易竹，杨刚等译.数学教育再探——在中国的讲学[M].上海：上海教育出版社，1999.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社，2003.