分式与分式方程练习题

分式与分式方程练习题（推荐13篇）

分式与分式方程练习题 篇1

1、化简下列分式

-2ac24-a2x2-162x1-（1）

（2）

（3）

（4）222x-4x-2a-2a14abc2x+8

2、计算

5x-5y9xy22a2b5xy（-2xb）（1）

（2）

（3）

xy15x23x2yx2-y2

a2-b2a-bca11-

（6）-（4）

2（5）abbcx-33+x4a+12aba+3b

（7）

a3a+12a112abnn++（+）（-）（1+）（1-）

（8）

（9）222a-1a-11-aabbamm21m2+n2m2n2m-62m+2（）（5n）（++2）（10）m1+2

（11）

m9m+3mnn2nm

3、解方程

（1）111x-12x11=2+3==+

(2)

(3)x1x1x-2（4）xx21x24=1

（6）1x2+1=x+12x4

x23+x2x+35）13x6=34x8

（7）2x+3+32=72x+6

分式与分式方程练习题 篇2

一、去分母时漏乘不含分母的项致错

【错解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=1, 解得x=6.当x=6时, 由于分母2x-5=2×6-5=7≠0, 所以, x=6是原方程的解.

【剖析】把x=6代入原方程, , 故x=6不是原方程的解.原方程去分母时, 由于右边漏乘 (2x-5) , 因此解答有误.另外, 用简便法验根时, 解方程的过程必须正确, 否则, 将求得的未知数的值代入方程两边同乘的整式, 即使整式的值不为零, 这个未知数的值也不一定是原方程的解.

【正解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=2x-5, 解得x=0.经检验, x=0是原方程的解.

二、违背等式的性质致错

【剖析】由于方程两边同时除以 (5-x) , 违背了等式的性质, 这将缩小未知数的取值范围, 造成方程失根.

【正解】方程两边通分, 得

三、忽视分数线的括号作用致错

【剖析】此题解答出错是因为忘记了分数线具有括号的作用.分数线除了可以代替除号和比号外, 还起着括号的作用.当减数的分子是一个多项式, 应看作一个整体, 因此, 去分母时, 要把减数的分子作为一个整体加上括号.

四、破坏方程同解原理致错

两边同时除以 (2x-5) , 得x2-5x+6=x2-5x+4.故原方程无解.

【剖析】方程中约去含未知数的代数式, 破坏了方程同解原理, 会造成失根.

五、忽视验根致错

【错解】原方程去分母, 整理得x+5=10.解得x=5.所以, 原方程的解为x=5.

【剖析】解分式方程时, 一般要将原方程去分母, 化为整式方程来解.为了去分母, 要在方程两边同乘含未知数的式子, 这就可能破坏方程的同解变形而引入增根.因此, 解分式方程时, 必须将求得的未知数的值代入原方程的分母进行检验.如果发现某个分母的值为0, 那么该未知数的值即为增根.上面的解答就是因为忽视了验根而致错.

【正解】去分母后, 整理得x+5=10, 解得x=5.

检验:当x=5时, 分母x-5和x2-25的值都为0, 相应的分式无意义.所以, 原方程无解.

六、忽视特殊情况致错

七、忽视原方程可能有增根致错

∴当a=-4时, 原方程只有一个实数根x=1;当a=-8时, 原方程只有一个实数根x=-1.

综上所述, 同学们在求解分式方程时, 为了避免上述错误, 应该从以下两方面努力:

1.加强基础知识的学习, 在理解的基础上加强练习, 在练习中提高自己.

2.认真审题, 仔细分析, 周密思考, 慎重求解, 切忌思维定式而导致错误.

只有这样, 今后在解分式方程时才不易出错.

分式方程检测题 篇3

1. 下列分式方程中，有解的是（）.

A．= 0 B．= 0

C．= 0 D．= 0

2. 要使与互为倒数，则x的值为（）.

A. 0 B. -1

C. D. 3

3. 若关于x的方程 = 无解，则m的值为（）.

A. 10或6B. 10或 - 6

C. 10D. - 10

4. 某林场原计划在一定期限内固沙造林240 km2，实际每天固沙造林的面积比原计划多4 km2，结果提前5天完成任务.设原计划每天固沙造林x km2，根据题意，下列各方程正确的是（）.

A．+ 5 =B．- 5 =

C．+ 5 =D．- 5 =

5. 甲、乙两班学生参加植树造林活动.已知每天甲班比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x棵，则（）.

A.= B.=

C.= D.=

6. A、B两地相距36 km.甲、乙两人从A地出发去B地，乙先走0.5 h，甲才出发，甲的时速是乙的时速的1.2倍，结果两人同时到达B地.若设乙的时速为x km，则下列方程中正确的是（）.

A.=+ 30B.-=

C.-= D.=-

二、填空题

7. 方程 = 的解是〓〓.

8. 方程 = 的解是〓〓.

9. 轮船顺水航行150 km所需时间与逆水航行120 km所需时间相等.已知水流速度为3 km/h，设轮船在静水中的速度为x km/h，由题设可列方程为〓〓.

10. 社区艺术节需用红纸花3 000朵.某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务.但在实际制作时有10名同学因排节目而没有参加，这样，参加劳动的同学平均每人制作的花比原定全班同学平均每人所制作的花多15朵.设这个班共有x名同学，则可列方程为〓〓.

11. 某校师生到距学校20 km的公园义务植树.甲班师生骑自行车先走，45 min后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，则汽车的速度是〓〓.

三、解答题

12. 解下列分式方程：

（1）-= 1.

（2）-= .

（3）+= .

（4）+= .

13. 已知 += ，求 + 的值.

14. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： += .若v = f + 2，试用f表示u，并求当f = 6 cm时u的值.

15. 华联超市用50 000元从外地采购回一批T恤衫.由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元.商场在出售时统一按每件80元的标准出售.为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.商场在T恤衫生意上盈利多少元？

16. 小颖和几位同学去文具店购买练习本.该文具店规定，如果购买本数达到一定数量，则可以按批发价购买.于是他们凑了60元钱以批发价购买，这样购得的练习本比用零售价购得的练习本多30本.若每本练习本的批发价是零售价的，问：每本练习本的零售价是多少元？

17. 甲、乙两人合做一项工作，两人合做2天后，由乙独做1天就可完成.已知乙独做全部工作所需天数是甲独做所需天数的1.5倍.甲、乙两人单独做各需多少天？

18. 某项工程，甲、乙两人合做，8天可以完成，需费用3 520元；若甲独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，共需3 480元.问：

（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？

（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

19. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可租用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变.若甲、乙两车单独运这批货物，则分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，甲车共运了180 t；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，乙车共运了270 t.

（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？

分式方程练习题及答案 篇4

分式方程练习题及答案

一选择

1.下面是分式方程的是（）

A.B.C.D.2.若 得值为-1，则x等于()

A.B.C.D.3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（）

A.B.C.D.4.分式方程 的解为（）

A.2 B.1 C.-1 D.-

25.若分式方程 的解为2，则a的值为（）

A.4 B.1 C.0 D.2

6.分式方程 的解是（）

A.无解 B.x=2 C.x=-2 D.x=2或x=-2

7.如果关于x的方程 无解，则m等于（）

A.3 B.4 C.-3 D.58.解方程 时，去分母得()

A.（x-1）（x-3）+2=x+5 B.1+2（x-3）=（x-5）(x-1)

C.(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)D.(x-3)+2(x-3)=x-5

二、填空

9.已知关于 的分式方程 的根大于零，那么a的取值范围是.10.关于 的分式方程 有增根 =-2，那么k=.11.若关于 的方程 产生增根，那么m的值是.12.当m= 时，方程 的解与方程 的解互为相反数.13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为.14.如果，则A= ；B=.三、解答题

15.解分式方程

16.已知关于 的方程 无解，求a的值？

17.已知 与 的解相同，求m的值？

18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：

小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”

爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的 倍，用 元给汽车加的油量比去年少 升.”

小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”

聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？

19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：

⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？

⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？

参考答案

一、选择

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.A 8.C

二、填空

9.a<2 10.1 11.1 12.m=-3 13.14.3，2三、解答题

15.⑴ 解：方程变形为

两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.⑵ 解：两边同时乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18, ,经检验 是原方程的解.（3）解：方程两边同时乘以想x(x2-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.（4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)

整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2.17.解：，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得，故m=10.18.解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要 天，乙单独完成该项目需要 天，依题意可列方程组为

初二数学分式方程练习题及答案 篇5

1．分式方程2．已知公式252的解是________． =3的解是________；分式方程x3x1x4mxPP1，则x=________． 2，用P1、P2、V2表示V1=________．3．已知y=

6nxV2V14．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（）A．20m20mm20m20小时 B．小时 C．小时 D．小时 m20m2020m20m5．我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，•恰能如期完成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，•余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x，下面所列方程错误的是（）

2x23+=1 B．= xx3xx31111xC．（+）×2+（x-2）=1 D．+=1 xx3x3xx3A．6．物理学中，并联电路中总电阻R和各支路电阻R1、R2满足关系求总电阻R．

111=+，若R1=10，R2=15，RR1R27．为改善环境，张村拟在荒山上种植960棵树，由于共青团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得

方程_______ _．

8．某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（）A．拓展创新题

10．某车间有甲、乙两个小组，•甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此，甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加工1 800•个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？2s2sssss B． C．+ D．+ ababababab

9．用35克盐配制成含盐量为28%的盐水溶液，则需要加水多少克？

11．甲、乙两工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1•天后，再由两队合作两天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的各需多少天？

12．大华商场买进一批运动衣用了10 000元，每件按100•元卖出，全部卖出后所得的利润刚好是买进200件所用的款，•试问这批运动衣有多少件？

13．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、•a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨，•若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨，问：（1）乙车每次所运货物是甲车所运货物的几倍？（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，•货主应付车主运费各多少元？（按每运１吨付运费20元计算）

14．一小船由A港到B港顺流需行6h，由B港到A港逆流需行8h．一天，•小船早晨6点由A港出发顺流到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1h后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港到B港漂流多少小时？（2）•救生圈是何时掉入水中的？

2，求甲、乙两队单独完成3

答案: 1．x=

9609602PV6ny，x=2 2．V1=22 3． 4．A 5．D 6．6 7．-=4 8．D

xx2034myP19．90克 10．甲：500个/•时 乙：400个/时 11．甲队：4天 乙队：6天 12．200件

13．•乙车是甲车的2•倍，•甲2160元，乙、丙各4 320元．

14． 本题的关键是（1）弄清顺流速度、•逆流速度和船在静水中速度与水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出包含的相等关系．

解：（1）设小船由A港漂流到B港用xh，则水速为1111 ∴-=+

6x8x1． x 解得x=48．

经检验x=48是原方程的根．

答：小船按水流速度由A港漂流到B港要48h．

1，小船顺流由A港到B•港用4811116h，逆流走1h，同时救生圈又顺流向前漂了1h，依题意有（12-y）（-）=（+）×1，解

648848（2）设救生圈y点钟落入水中，由问题（1）可知水流速度为得y=11．

分式与分式方程练习题 篇6

（二）解方程：53． x1x1

若方程6m1有增根，则它的增根是()(x1)(x1)x1

D．1和 A．0B．1C．

如果关于x的方程a1x3 有增根，那么a的值是． x22x

阅读下面材料，并完成下列问题．

22222222＝3+的解为x1=3，x2＝；x+＝4+的解为x1=4，x2＝；x+＝5+ x33x44x5

2的解为x1=5，x2＝． 5

22(1)观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程x+＝a+的解是； xa

22(2)试求出关于x的方程x+＝a+的解的方法证明你的猜想； xa不难求得方程x+

x2x22a(3)利用你猜想的结论，解关于x的方程． x1a2

某市为治理污水，需要铺设一段全长为3 000 m的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道?

(1)如设原计划每天铺设管道x m，可列方程为__________________．

(2)题意同上，问题改为：实际铺设管道完成需用多少天?

设实际铺设管道完成需x天，可列方程为__________________．

若a，b都是正数，且11ab2－=，则2=______． ababab2

分式方程

课后练习参考答案

x= 是原方程的根． 详解：53，x1x1

5(x+1)=3(x，5x+5=3x，2x=，x= ．

检验：将x= 代入原方程，左边=右边=，所以x= 是原方程的根．

D． 详解：根据增根的意义，使分母为0的根是原方程的增根．故令(x+1)(x

解得x= 或x=1

1．详解：分式方程去分母得：a+3(xx，根据分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，将x=2代入得：a，故答案为：1，222a1；x1=a，x2=；x1=a，x2=1+=． aaa1a1

222详解：(1)猜想：x的方程x+＝a+的解是x1=a，x2=． xaax1=a，x2=

(2)去分母，得到ax+2a=ax+2x，∴ax(xa)+2(ax)=0，∴(xa)(ax，22

x1=a，x2=2． a

2(3)解方程(x[x(xx+2)÷(xxa+=a+2 a12 a1

x+22=a+ x1a1，(x两边同加所以xa22=(a x1a122a1，或者x因此 x1=a，x2=1+=． a1a1a1

(1)30003000=30； x(125%)x

30003000×(1+25%)． xx30(2)

详解：此题是一题多变，(1)根据提前30天完成任务这一等量关系可列方程：设原计划每天铺设管道xm，实际每天铺设管道(1+25%)xm，根据题意，得30003000=30； x(125%)x

(2)根据实际施工时，每天的功效比原计划增加25%这一等量关系，可列方程：设实际铺设管道完成用x天，则原计划用(x+30)天，根据题意，得30003000×(1+25%)． xx30

1． 2

详解：由整体代换法：把112ba222化为－=，b－a=2ab，abababab

中得2aba2b2ab2ab=即a－b=－2ab，代入

正确理解分式方程的增根 篇7

1.增根的定义

分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.

2.增根产生的原因

我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.

在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.

3.增根的检验

由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.

4.增根的确定

【例1】 分式方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x{}^2-4}$的增根是.

分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.

【例2】 当m何值时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$会产生增根?

分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.

解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.

假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;

假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得

时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$产生增根.

5.增根与无解

若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如$\frac{x}{x-1}=1$, 去分母后的整式方程本来就无解, 所以原分式方程也无解.

【例3】 当m=时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$无解?

对分式方程检验的认识 篇8

原来，检验分式方程是为了防止“无解”出现.

如：=这一方程，我们将方程两边同乘（x-5）（x+5）得x+5=10. 解这个整式方程得x=5，到这一步，或许在你认为就已经结束了，但并非如此. 我们将x=5代入（x-5）（x+5），发现（x-5）（x+5）的值为零，那么这个分式方程就无解了，也就是说：x=5只是x+5=10这个整式方程的解，却不是=这个分式方程的解.这时，=就无解.

看来，分式方程的检验并不是多此一举，而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.

那有没有不必检验的情况呢？有！

如：=. 我们把它化简为x-1

=x+1. 这一步，我们是根据分式的基本性质变形的，所以不要检验.

刘老师点评：不少同学对分式方程为什么一定要写出“验根”这样的步骤很不理解，认为在七年级学习一元一次方程时，并没有这样严格的要求，何以到了八年级就提出这样的“多余”步骤呢？从小杨的这篇写作中可以发现，分式方程的验根目的是检验第一步“去分母”可能潜在的风险，也就是说这是对自己解法的一种完善和风险评估，并不像七年级一元一次方程检验那样，仅是检查是否笔误、粗心之类的步骤. 当然，小杨最后指出的从约分的角度解分式方程，由于离开了“去分母”这样的风险步骤，自然也可以不写验根的必要步骤.

分式方程教学反思 篇9

（一）本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法。学生不是停留在会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境，使学生的思维得到发挥。

在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主探究的舞台，营造了锻练思维的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力。在课堂教学中，我时时注意营造思维氛围，让学生在探究中学会思考、表达。

在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：

1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。

2．分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。

3.解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母

4．对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。

在教学方法上，我采用类比渗透思想方法进行教学，通过与一元一次方程解法相比较，启发引导学生自主探究、归纳分式方程的解法。运用类比教学法具有以下三方面的优点：

1.通过复习一元一次方程的解法，学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比，让学生在解分式方程时有法可循，而不会觉得无从下手。

2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较，让学生既可以温习旧知识，又可以加深对新知识的记忆。

3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比，更能突显分式方程解法中验根的重要性。

分式方程教学反思

（二）教师想方设法为学生设计好的问题情景，同时给学生提供充分的思维空间，学生在参与发现和探索的过程中思维就会创在一个又一个的点上，这样的教学日积月累对于培养学生的创新意识和创新能力是有巨大的作用的。我认为学好数学最好的方法是在发现中学习，在学生的再创造中学习，并引导学生去学习。

教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。()再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题。

班级的学生有整体的特点，当一定存在个体差异。如果要求每一个教学目标都人人过关，实属不智行为。效率是整体利益的平衡结果，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间利益，这会造成新的教学问题。所以在集体教学时，把握大多数，将整体利益平衡好，这样的集体教学才是有效率可言的。当然教师在教学过程还是要关注每一位学生，关注其是否在听教师的讲解分析，以及自身是否在积极思考问题。千万不可只顾自己按照教案设计去讲，而忽视学生的思维。

分式方程教学反思

（三）本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。

本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。

我认为比较成功的1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。

2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。

3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。

2023分式方程教案 篇10

知识与技能

理解分式的基本性质。

运用分式的基本性质进行分式变形。

过程与方法

通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，体会类比的思想方法；利用数形结合的思想验证分式的基本性质。

情感态度与价值观

在研究解决问题的过程中，树立合作交流意识与探究精神。

重点

理解并掌握分式的基本性质。

难点

运用分式的基本性质进行分式变形。

教学流程

活动1 复习分数的基本性质

活动2 类比探究得到分式的基本性质

从分数的变形着手，为类比学习新知做铺垫。

猜想得到分式的基本性质。

学习例1和例2，掌握分式的基本性质的应用。

通过一组练习题，巩固并拓展知识，培养学生的运算能力。

归纳、梳理本节的知识和方法。

问题情境

师生行为

设计意图

【问题情境】

（1）如果将一个面积为1的圆对折，每一份面积是多少？（ ）

（2）你还能举出与 相等的分数吗？

（3）刚才分数变形过程的依据是什么？

教师提出问题

学生思考交流，回答问题

在活动中教师要关注：

学生对学过的知识是否掌握得较好；学生对新知识的探究是否有浓厚的兴趣。

通过具体例子，引导学生回忆前面学段学过的分数的基本性质，再用类比的方法猜想出分式的基本性质。在这个活动中，首先激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自己生成的过程。

【探究与思考一】

问题

如何用语言和式子表示分式的基本性质？

应用分式的基本性质时需要注意什么？

教师提问

学生思考、议论后在全班交流。

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。这特别质叫做分式的基本性质。用式子表示为：

其中A，B，C是整式。

学生归纳以下要点：

①分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换；

②所乘（或除以）的必须是同一个整式；

③所乘（或除以）的整式应该不等于零。

在活动中教师要关注：

能否用数学语言表述新知识；

学生对“性质”的运用注意事项是否理解。

教师引导学生用语言和式子表示分式的基本性质，这是学生运用类比的方法可以做到的。在这一活动中，学生的知识不是从老师那里直接复制或灌输到头脑中来，而是让学生自己去类比发现、过程让学生自己去感受、结论让学生自己去总结，实现了学生主动参与、探究新知的目的。

活动3初步应用分式的基本性质

例2填空：

教师提出问题。

学生先独立思考问题，然后分小组讨论。

教师参与并知道学生的数学活动，鼓励学生勇于探索、实践，灵活运用分式基本性质进行分式的恒等变形。让学生总结出解题经验：

对于第（1）题，看分母如何变化，想分子如何变化；对于第（2）题，看分子如何变化，想分母如何变化。

在活动中教师要关注：

学生能否紧扣“性质”进行分析思考；

学生能否逐步领会分式的恒等变形依据

学生是否能认真听取他人的意见。

例2是分式基本性质的运用，让学生研究每一题的特点，紧扣“性质”进行分析，以期达到理解并掌握性质的目的。

活动4练习巩固拓展知识

利用分式的基本性质，将下列各式化为更简单的形式：

①

②

不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：

① ②

③ ④

你能从中发现规律吗？

教师出示问题训练单。

学生先独立思考，并安排三名同学板演。

教师巡视，注意对学习有困难的学生进行个别辅导

对问题（2），学生思考、归纳后，在小组进行交流，并综合各小组中同学的不同见解得出结论。

在活动中教师要关注：

大部分学生能否准确、熟练地完成任务；

学生能否用数学语言表述发现的规律；

学生在运算中表现出来的情感与态度是否积极。

通过思考问题，鼓励学生在独立思考的`基础上，积极地参与到对数学问题的讨论中来，勇于发表自己的观点，善于理解他人的见解，在交流中获益。第二个问题实际上指明了分式的变号法则。这一法则在分式的变形中经常用到，学生对此又极易出现错误，所以要予以足够重视，进行有针对性地讲解。

活动5小结评价布置作业

问题

分式的基本性质是什么？

运用分式基本性质时的注意事项；

经历分式基本性质得出的过程，从中学到了什么方法？受到什么启发？

布置课后作业：

第11页第4题、第12页第12题。

教师提出问题。

学生在教师的引导下整理知识、理顺思维。

在活动中教师要关注：

学生对本节课的学习内容是否理解；

学生能否从获取新知的中领悟到其中的数学方法。

学生对学习情况进行反思，主要包括：对自己的思考过程进行反思；对学习活动涉及的思想方法进行反思；对解题思路、过程和语言表述进行反思；等等。帮助学生获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验。

类比联想以旧引新世界

师生互动探究新知

练习反馈巩固应用

引导小结

布置作业

优点：

学情分析明确，教学目标设计合理，重难点适当。

缺点：

上传的教学活动例题不明确。

分式方程的根与增根 篇11

分式方程的根与增根

能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。

例题1：解方程 ①

解：两边同乘以（x+3）（x-3），得

（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②

解这个方程得：x1=-3，x2=6

检验：当x=-3时，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；

当x=6时，（x+3）（x-3）≠0，左边=，右边=，左边=右边。

所以：x=6是原方程的解。

说明：显然，方程①中未知数的取值范围是x≠3且x≠-3，而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以求得的x值恰好使最简公分母为0，x的值就是增根。本题中方程②的解x=-3，恰好使公分母为0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。

增根是如何产生的

从例题1可以看出x=-3虽然是整式方程的根，但却使得最简公分母为0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是说，所得的整式方程与原方程已经不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的过程中产生的。其实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。

例题2：使关于x的方程产生增根的a的值是多少呢？

要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。

解：去分母并整理，得：

（a2-2）x-4=0

因为原方程的增根为x=2，

把x=2代入（a2-2）x-4=0，

得a2=4

所以a=±2

说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。

解分式方程如何避免增根

以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：

对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为，即（x-6）=0，得x=6。也就是说，我们可以先把方程的一切非零项移到左边，通过恒等变形将方程的左边化成一个分式，右边是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并约去，就可以得到一个新方程并且与原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的产生。

不容忽视的增根

分式方程的增根问题与一元二次方程根的几种情况相结合会使问题更加复杂化，也使得这一类问题的答案对学生们而言更加的扑朔迷离。下面通过几个例题解析一下与增根有关的此类问题。

例题3：当k为何值时，方程只有一个实数根，并求出此实数根。

解：原方程可化为：x2+2x-k=0

（1）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1

（2）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，

所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。

又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。

综上所述，原方程的根为：

（a）当k=-1时，原方程只有一个实数根x=-1；（b）当k=0时，原方程只有一个实数根x=-2；（c）当k=3时，原方程只有一个实数根x=-3。

在分式方程教学中，教师要深入钻研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何产生的，并引导学生正确理解、完整掌握、准确解答分式方程的增根问题，从而真正提高学生的解题能力，提高教学效果。

分式与分式方程练习题 篇12

了解何为分式方程时, 课本从三个实例让学生根据实际经验得到了三个方程undefined;undefined;undefined, 根据这三个方程先让学生看一看说一说有什么共同特点, 在新教材中, 课本并没有刻意强调分式方程的定义而只是给出形式上的感知。然后学生自己根据对分式方程的认识试一试写出一个分式方程, 从而在潜意识里真正了解什么是分式方程。在这个过程中, 一切以学生的感知为重, 让学生自己感受到分母中含有未知数的方程就是分式方程, 从中让学生经历建模的过程, 经历由具体到一般的抽象、概括分式方程概念的过程, 从而体会分式方程的模型思想。

新课程要求教师从教中解放出来, 让学生自主学习。以学为主, 以教为辅是我在教学过程中要努力做到的标准。在求解分式方程时我先给出一个整式方程, 即24x=20 (x+1) , 学生在解这个整式方程的过程中, 很好的回顾了解法思路, 接着抛出问题:你能解分式方程undefined吗?提示学生观察刚刚解完的整式方程想一想怎么解这个分式方程, 大部分学生发现只要将分式方程undefined的两边同乘各分式的最简公分母x (x+1) , 就可以得到一元一次方程24x=20 (x+1) 。随即给出例题1 解方程:undefined, 让学生通过刚刚的经验自己试一试解题。学生口述, 教师板演解题格式:解:方程两边同乘x (x-2) 得

3 (x-2) -2x=0

解之得 x=6

学生归纳:求分式方程的解, 只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母, 有时就可以将分式方程转化成一元一次方程来解。在这个基础之上给出例题2 解方程:undefined, 学生板演解题过程:

解:方程两边同乘3 (x-2) 得

3 (5x-4) =4x+10-3 (x-2)

解之得 x=2

这时, 有学生提出疑问了, 这个解x=2会使原分式方程的分母为0, 大部分学生开始讨论:1, 这个使原分式方程没有意义的解怎么办 2, 怎么会出现这个使原分式方程没有意义的解?教师及时点拨, 为了使原分式方程有意义, 分式方程一定要检验。如果能使原分式方程有意义, 那么求出的就是原方程的解;如果能使原分式方程没有意义, 那么求出的就是增根, 则原方程无解。并且立即在2个例题后面补充检验过程。那么怎么会出现增根的呢?学生观察解题步骤, 一致认同增根产生在去分母这一步。教师点拨:看一看整式方程24x=20 (x+1) 和分式方程undefined中对未知数的取值要求一样吗?进而让学生理解, 正是在分式方程转化成一元一次方程的过程中扩大了未知数的取值范围, 才有了增根的出现, 再次强调解分式方程一定要检验。随即让学生练一练:

undefined

在这个学习解分式方程的过程中让学生经历观察、抽象、类比、猜想等思维过程.所以, 评价应关注学生在这些具体活动中的投入程度——能否积极主动地参与各种活动, 如:在分式方程学习中, 有无检验分式方程根的意识?等等.其次是看学生在这些活动中的思维发展水平——能否独立思考, 能否用数学语言 (分式、分式方程) 表示自己的想法, 能否反思自己的思维过程发现新的问题, 如:解分式方程与解一元一次方程有哪些联系与区别等。

分式方程的难点是 解含字母常量的分式方程。针对含字母常量的分式方程我专门开设了一节课, 在选题上注重让学生观察比较, 逐步提高难度。其中学生的主体地位贯穿于自主学习的始终, 在学习活动中, 要让学生感受到自己是学习的主人, 教师应该同学生一起探索数学知识发生、发展过程以及解题思路。当学生在学习过程中出现了困难, 教师要不时地鼓励学生回顾思路, 有可能的话让学生进行表述, 教师对学生思路中的合理部分给以肯定, 并给出适当的帮助, 让学生觉得只有自己真正参与到课堂教学中来, 才能收到良好的效果。教师先给出例1:若方程undefined的一个解为x=-2, 求代数式k+k-1的值。让学生分析:既然x=-2是这个分式方程的解, 则把它代入方程, 等式成立。解得undefined, 从而undefined。给出例2:若分式方程undefined有增根, 试求m的值。让学生分析:有增根是指x=±2。教师提问:那么可以仿照上一题把x=±2代入分式方程解得m的值吗?从而让学生感知这一题的解题思路和例1有区别, 应该把m先当已知数解得undefined, 再把x=±2代入求出m的值。改变例2:若分式方程undefined无解, 试求m的值。让学生讨论:有增根和无解有区别吗?教师提示:有增根是指定未知数x的值, 无解除了有增根之外对字母常量有范围要求, 因而学生得到在例2的基础之上还要考虑m-1=0, m=1时undefined无意义, 所以原分式方程也无解。给出例3:已知关于x的方程undefined有一个正数解, 求m的取值范围。学生根据比较例1, 例2的经验, 先解得x=6-m。让学生讨论:对于这个分式方程有一个正数解要考虑什么?学生得出:x>0且x≠3, 解得6-m>0且6-m≠3。为师者“授之以鱼不如授之以渔”, 在这里, 仅仅灌输给学生大量的知识是不够的, 通过看一看, 比一比, 试一试, 想一想, 从易到难逐渐让学生掌握吸收知识、消化知识的方法, 才能真正达到事半功倍的教学效果。

教案《分式方程的应用》 篇13

教学目标

知识目标：经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，体验分式方程模型的思想，会用分式方程解决简单的实际问题。能力目标：

1、经历“实际问题情境——提出问题——解决问题”，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识。

2、通过分式方程的实际应用，提高学生的思维水平和应用意识。

情感目标：

1、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱，进行节约用水、用电、环保和森林防火等方面的教育。并对学生进行“心系灾区，大爱无疆”的情感教育。

2、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的方法的能力，体会数学的应用价值.教学重点：

1、列分式方程解决实际问题

2、列分式方程解应用题的步骤，教学难点：根据实际问题找相等关系正确列分式方程，教法和学法：启发引导，提出问题，自主探索与解决问题，合作交流 课前准备：投影仪、多媒体课件.教学过程

一、创设情境，领悟规律

观看火灾视频，创设情景，让学生在实际问题中提出问题及解决问题的能力。（以及火灾导出的森林保护法）

二、实际应用，建立模型

1、实际问题与应用

今年，我国云南普林因为一支香烟头引发了特大森林火灾，火势平均达到5.0亩/分钟，立即报119，消防队接到消息立即出发到12千米的普林灭火，消防车装载着所需材料先出发10分钟后，组织人员乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达普林，已知吉普车速度是消防车速度的1.5倍，最终经过6小时扑灭大火。

2、老师提出问题：

（1）因为一支香烟头引发了特大森林火灾，你们会想到什么后果吗？（2）同学们！根据我们所学的数学知识，结合上述情景，你能解决哪些问题？

3、学习森林保护法（出示）

4、学生提出问题（未知）

5、根据学习提出的问题来解决（板书）

方法总结：方程应用题的解决关键是确定等量关系，两个等量关系中牵扯的未知量可以作为提问的问题，解决分式方程应用题的步骤：审、找、设、列、解、验、答）

三、拓展知识，灵活应用

（结合“节能环保”的主题引出今天的问题情景）

(2009中考题)我县为了治理污水，需要铺设一条全长550米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的功效比原计划增加10℅，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？

（学生先独立思考，后小组交流分析寻找解决应用题的关键：找出等量关系，再独立设出未知数列方程解决）

四、课堂练习，巩固新知

【练习】根据我国的绿化要求，某甲、乙两村参加退耕还林植树活动，已知甲村每天比乙村多植树100棵，甲村植1000棵树所用的天数与乙村植800棵所用的天数相等，试求甲、乙两村每天各植树多少颗？

五、学习小结，提高认识

列分式方程解应用题的一般步骤；

1.审:分析题意，找出问题中的数量及数量关系； 2.设:选择恰当的未知量设未知数（注意单位）； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出分式方程； 4.解:解分式方程；

5.验:检验（是否是分式方程的根，是否符合题意）； 6.答:注意单位和语言完整。