哈工大概率论与数理统计学习心得（精选11篇）
学完《概率论与数理统计》这门课程，了解掌握了一些相关的基础知识与方法，并对该学科有了更加深刻的认识，实在是获益匪浅。本文围绕概率论发展、对本课程学习的一些想法、个人感悟与收获等方面对本课程学习过程中的一些心得体会进行了简单的总结。
一、概率论与数理统计发展简史
概率是与人们的日常生产生活联系十分紧密的一门学科。因此自人类文明发端以来，概率这个概念就已被人们有意无意地渗透到了日常生活中。人们常说估计如何如何，这里的“估计”包含着概率的含义，只不过在大多数人那里“概率”没有形成独立的知识体系，人们只是根据生活经验对他进行简单地应用而已。随着技术革命带来的科技的飞速发展，概率论才逐渐形成一套完备的知识体系。数理统计是在概率论的基础上发展起来的，因此发展时间也稍微晚些。顾名思义，概率论是一门研究事情发生的可能性大小的学问。对概率论的研究始于意大利的文艺复兴的赌场中人们要求找到掷骰子决定胜负的规则。随着18、19世纪科学的进步，游戏起源的概率论被应用到这些领域中，这也大大推动了概率论本身的发展。后来，瑞士数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。这标志着概率论成为了数学的一个分支。随后法国数学家棣莫弗和拉普拉斯又导出了中心极限定理的原始形式。之后，拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初在物理学的刺激下，人们开始研究随机过程。
这方面柯尔莫哥洛夫、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，其发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。古典时期是描述性的统计学形成和发展阶段，是数理统计的萌芽时期；近代时期是数理统计的形成时期，数理统计的主要分支建立起来；近代时期计算机的应用推动了数理统计在理论研究和应用方面不断地向纵深发展，并产生一些新的分支和边缘性的新学科。如今，概率论与统计的方法已从单纯的解决实际问题的工具渗透到人们日常生产生活中的各个领域，广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中，与人们的距离越来越近，对经济社会的发展所作出的贡献也越来越大。
二、学习本课程的感悟与收获
高中的时候学习过概率的知识，记得相比数学里的其他章节如解析几何、函数等内容要简单不少。于是再次学习概率之时想当然地认为应该会很容易学。但学到一定程度后发现想学好这门课也并非易事。首先，高中所学的概率只是简单的古典概率以及一几种最简单的概率分布，大学课程在此基础上增加了连续性随机变量的概率以及多维随机变量的概率等知识。知识的容量大幅度增加了；其次，大学的课程理论体系更加完备，每条公式定理都提出了完整的理论背景基础；最后，本课程相比高中课程增加了数理统计的内容，这部分内容知识密度较大，理论公式较多，所要求的思想方法新颖独特，掌握起来有一定难度。首先，说一下对这门课程最大的一点感触。刚开始学这门课程是由于对课程特点了解不深，走了一些弯路。学过两章之后发现概率论的学习有一个很重要的规律：有些内容需要下一番功夫才能吃透，但一旦掌握了这些知识，与该知识点有关的所有题目基本都会做了，即知识点往深层次挖掘的潜能不大。这是因为基本上没打雷题目的解决都有一个相对固定的套路，的方法性很强，自由发挥度并不大。这点与其他某些数学课程，如数学分析有很大不同。鉴于此，必须下一番功夫吃透课本上的知识，并辅以少量习题帮助消化。这样就能很好地掌握概率论的知识，而不用像数分等课程一样去搞题海战术。从这个意义上说，只要肯努力，概率论的学习还是相对容易的。
其次，相信大家都注意到了，概率论的学习要求有较好的高数基础，尤其是定积分功底一定要好。如连续性随机变量概率密度需要定积分的知识，多维离散型随机变量需要二重积分的知识，随机变量的数字特征中用到无穷区间上广义积分的知识等。对于数学基础不好的同学来说，开课之前好好补充一下基础知识很重要。第三，在学习过程中要结合实际加强对概念、公式与定理的理解。一切理学都是现实生活的抽象提炼与概括。概率论尤其如是。它与现实生活联系十分紧密。譬如对随机变量的数字特征的理解。随机变量的期望，方差等都有鲜明的实际含义。期望反应了随机变量取值的平均值，而方差、标准差反映了随机变量取值的离散程度。若单单从数学的角度理解这两个概念必然不能充分体会其实际背景，不利于对知识的掌握，同时也背离了提出这两个概念的初衷。又如数理统计部分的知识，更是需要我们结合实际背景对每个概念做深入地理解。
以上就是我学习《概率论与数理统计》这门课程的一些感悟与收获。
三、概率论与数理统计发展前景展望
作为工科类学生，我们学习概率论与数理统计主要是为了把它作为有利的工具应用到工程实践当中，因而课程的工具性很强。例如产品检验评估等领域都离不开概率论的知识。对于专门研究数学的学生来说，这门课程的意义就远非这么简单了。他们所学的相关知识系统完备而有深刻，概率统计理论与方法的知识与方法几乎可以应用在所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。如气象、水文、地震预报、人口控制及预测，寻求最佳生产方案要进行实验设计和数据处理，在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型等。其应用领域十分广泛，应用价值很大。
学习策略教学 (Learning Strategy Instruction) 的概念是20世纪80年代后期才被学者们使用的。它是指教师系统地教授学习策略, 引导学生理解、掌握学习策略, 帮助学生形成运用学习策略进行学习的习惯, 促进学生自主学习能力发展的教学活动。进行学习策略教学可以改进学生的学习方式, 尤其可以有效改善智力发育较为迟钝的学生的学习, 提高学生学习的自主性和主动性, 从而真正实现学生学会学习的目的。目前高校教学还处在一个非成熟阶段, 学生还没有脱离高中的学习模式, 需要老师手把手式的教导, 老师也本着认真负责的态度, 每个知识点都详细介绍, 每种方法都灌输到学生头脑中, 每堂课都是内容满满的, 没有空闲时间, 这样一来老师和学生都感觉很累, 但效果也不明显。授人以鱼, 不如授人以渔, 如果能够培养学生独立自主学习能力, 不但学生能解决在学校学习中碰到的各种问题, 对于以后走出社会也会起到极大的帮助。
2 策略教学的实施程序
2.1 教师本身应该接受培训, 理解策略教学理论
在实施策略教学之前, 老师应该掌握一套完整的策略教学理论, 否则就谈不上传授学生。所以老师一般也需要先进行学习策略教学培训, 这个培训的必要性是由学习策略教学的重要性和学习策略教学的困难性共同决定的。
2.1.1 学习策略教学的重要性。
学习策略教学可以培养学生的学习兴趣, 提高学生的学习效率, 这是教学取得高效率的一个重要保障。这种方法还强调针对学生的实际特点和实际问题进行对症下药的指导, 照顾学生的个别差异性, 努力发展学生良好的情感和态度的学习策略, 使学生建立积极的自我情绪管理, 这无疑可以提高学生学习的内在动机, 提高学习的自主性和主动性。
2.1.2 学习策略教学的困难性。
第一, 策略教学尚缺乏公认的适当的理论指导;第二, 策略教学尚未形成完整体系;第三, 策略教学的困难来自策略学习的内隐性、概括性和认知发展水平的制约性。
2.1.3 学习策略教学教师培训的主要内容。
教师自身应该掌握学习策略的知识主要有:a.关于学习策略的基本知识, 包括学习策略的定义、分类、重要性及与其他类别知识的关系, 与学生个性、学习任务、知识背景等变量的关系等;b.关于学习策略的具体知识, 包括各种通用学习策略和各个学科的特殊策略;c.关于学习策略研究进展的基本情况, 包括已取得的成绩、存在的问题及发展趋势等;d.关于学生的学习策略学习与进展的知识, 要使原本外在的学习策略通过教学内化为学生自己的策略, 必须适合学生的心理发展水平和学习特点以及已有的学习策略水平和策略学习帮助学生学会自我监控和调节等。
2.2 培养学生掌握自主学习策略的具体方法
通过几年的概率论与数理统计课程教学经验, 对于在这门学科中如何培养学生自主学习策略还处于探索阶段, 只是得到了一些初步结果。
2.2.1 教学与专业学科相结合策略。
选定教材, 制定教学大纲和教学计划, 尤其是在学期前至少应该备好半个学期的课, 这样对整个教学知识点有个初步了解。还需要对不同专业的教学大纲也有熟悉, 如统计专业和信息与计算科学这2个专业4年开些什么课程, 毕业之后会从事什么行业, 这些都属于我们应该熟悉的内容, 这样一来, 在课堂教学中就能利用策略教学与学科内容相联系的方法, 通过课堂教学进行经常性的“渗透”, 即结合概率论与数理统计学科的特点和具体学习任务, 有针对性地进行具体的学习方法的指导。这种方法对提高学生的学习效率、发展学生的个性、促进教师的发展都具有重大作用, 它可以在教学中收到事半功倍的效果。
2.2.2 转变教师教学观策略。
现代的教师仅停留在传统的“要使学生获得一杯水, 教师必须要有一桶水”的水平是远远不够的, 教师还应具备将学生引向水源的能力, 也就是让学生学会学习。提高大学生概率论与数理统计自学能力教师要转变传统的教学观念, 要树立以教师为主导、学生为主体的自主学习观念。在教学中, 教师应是课堂教学的组织者。作为课堂教学的组织者, 应做到教学互动, 在课后要进行反思。教师应是学生发展的引领者, 教师应以教师的发展引领学生的发展, 使学生得益于课内, 受益于课外, 把主要精力转到激发学生的内在动机以及培养学生能力和积极个性上来, 把教学的重心放在如何促进学生的学习上, 从而真正实现教是为了不教。要给学生留有思考空间和交流讨论发表见解的时间, 平等地与学生进行交流, 共同解决问题。教师应是教学评价的激励者。教师要多表扬学生的优点, 积极营造一种宽松和谐的学习环境, 充分发挥学生的自主性学习。
2.2.3 多媒体技术策略。
现代多媒体技术飞速发展, 在课堂中起着重要的作用。现代化的教学手段能使课堂教学生动、形象、感染力强, 总能使学生在兴趣盎然的情景下去接受知识。因此, 恰当、有效地运用现代教学手段能激发学生的学习兴趣和内部参与动机, 能使不同水平、不同层次的学生都参与课堂教学。因此在教学中要注意恰当、直观、有效地选用现代化的教学手段, 能更快激发学生主体参与动机。
2.2.4 课堂教学评价策略。
课堂教学对学生的主体要以鼓励为主, 以能促进学生主体性的发展为原则, 以能充分发挥学生的主体性为宗旨, 通过教学以学生的主体, 把表扬和奖励带进课堂, 评出学生的自信心, 评出学生的成功感, 评出师生情感的交流, 评出学生主动要求发展的欲望, 使教学评价成为学生主体性充分发挥和发展的手段。
2.2.5 教学活动设计策略。
学生活动的设计是教学设计的重点, 活动设计中应充分尊重学生的主体性, 教师要给学生活动的时间和空间, 为学生的活动和发展创造条件, 课堂上是否充分发挥学生的主体性, 要看学生是否参与、如何参与和参与多少。因此在学生活动设计中应解决学生能否参与、如何参与、参与面多大的问题, 要把学生要活动、要思考、要发展、要创新的需求融于活动中。在设计活动时, 教师应注意调动学生的多种感观, 即让学生动眼看老师的板书和演示;动耳听老师的讲授和同学的回答;动脑思考课堂上的问题;动口回答教师的提问;动手演算例题、习题和作图。只有动口、动手、动脑活动贯穿教学的始终, 才能让学生参与教学的全过程, 才能充分发挥学生的主体作用。最终实现让学生在活动中发展, 学生在活动中学会学习、学会求知、学会思维.通过教学活动达到解决学习问题, 完成教学任务, 成就教学目标。因为策略学习的不唯一性和不确定性, 教师上课之前可以准备多种策略, 在课堂中, 教师集中许多学习策略并引导学生对其运用的策略进行推敲, 使之重新系统化, 形成各自的策略运用特色。经过大约1个月的时间观察, 教师基本能了解到学生的需要、能力、个性等存在着差异, 策略教学如果能够与学科内容相关就能反映出这些差异。因此教师在1个月之后的教学活动之前, 要对学生的认知行为、情感等特点进行诊断, 并以此为重新设计学生策略教学任务的依据。一旦与学生能力和特性相一致的适合某种任务的学习策略被选择使用, 教师和学生就建立了策略、策略教学目标和何时运用何种策略的教学体系。这样设计出来的策略教学体系能够反映出学生之间的差异性, 能够满足学生的不同需要, 能够适应学生的不同能力发展。这也是分层次教学的一种补充。比如我在几何概型的教授过程中, 我采用的是 (下转228页) (上接192页) 如下的学习策略:a.概念的介绍。几何概念的枯燥会导致一些学生不愿意听课, 那我就会通过加入学习策略来培养学生的学习兴趣, 提高学生的学习动机。b.例题的选择。通过选择难易程度不同的例题把学习任务分解为小的单元, 使之适应学生的个性差异。c.强调重点难点。几何概型具有独特的性质, 它的样本空间比较难于确定和计算, 所以要给学生介绍如何快速确定样本空间的方法, 使学生能够正确处理和应用学习策略。d.情感疏通。通过控制和个别指导等形式, 帮助学生减轻学习压力、紧张情绪和焦虑度。e.练习和思考。通过练习和抽查, 来验证策略教学的效果性, 找到能够启动学生学习积极性的学习策略, 并能总结学习策略的意义、功能和应用程序等。
2.2.6 课后创新教育策略。
课外开展创新教育系列活动, 是对课堂教学的有力补充, 能加强与有关学科的联系, 增强学生的创新意识。可开展主题演讲赛, 如“小概率事件在超市促销活动中的应用”、“抓阄原理”等;教师不只是教给学生知识, 更重要的是引导他们在探索中掌握学习概率论与数理统计知识的基本方法, 为今后的自主学习打下坚实的基础。要引导学生通过写日记或其他记录方式, 记下自己学习的过程、方法、体会, 对学习进行自我评价和自我监控, 调整下一阶段的学习方法和策略;通过互动让学生交流学习方法和心得, 随时了解每个学生对学习策略的实施情况, 及时进行个别指导;要求学生留心自己的解题错误, 并备有专门记录和纠正错误的记录本;学会创造和把握运用概率论与数理统计的机会。
2.2.7 考试策略。
现行的考试应试制度, 某种程度上束缚着学生创新意识的培养, 所以我们不管考试形式如何, 最终都要有利于激励学生创新, 所以可以在现有的单纯理论笔试的基础上, 一是试卷上可以设计5选3方案, 二是可以增设包含一定应用能力的附加题, 三是结合平时学生创新能力的附加分。素质教育是科学的、前瞻的、现代的教育, 是以培养和塑造人的综合素质为目标的复合型教育, 而创新则是个体综合素质中最具生命力的一种特殊素质, 是推动个体顺应环境、挖掘潜力、走向成功的内在动力。所以我们的教学和考试策略都要体现一定的创新性。
3 结论
有效的策略教学不仅要求学生及时掌握所学策略, 还要求他们在日常学习中持续地运用所学策略, 并适时予以调整和改进, 直至能活学活用。因此说, 有效的学习策略是自主学习的重要保障。没有好的学习策略, 我们只能事倍功半。而学习策略都是在学习中逐渐摸索出来的, 这需要我们有恒心和耐心, 在不断的教学中逐渐摸索探究, 找到适合学生个体的有效的学习策略。
参考文献
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学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。我们对统计知识的教学出现了偏差。我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。
对统计思想和概率意义的理解，是教学的重点，也是难点。不要把统计教学变成单纯的数据处理和计算技巧的讲解；不要把概率教学变成复杂的概率计算的训练；不要纠缠一些无关紧要的细节而干扰主题。由于对于这部分知识，学生具备一些基础，所以教学要针对学生的问题进行设计，而不能仅仅依据自己的主观臆断或凭经验。例如对于三种事件的教学，有的教师将时间均匀分配。这种课堂的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。根据初中学生的能力水平，可以突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。教师要明白你想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。这是教学中应遵循的规律。特别是这些新增内容，教师要在前期对学生的掌握情况作充分的调查，以增强教学的针对性。概率的统计规律性本身就是通过实验发现的，用样本推断总体的方法，可以认为是实验科学。
《概率论与数理统计》由于其理论及应用的重要性，目前在我国高等数学教育中，已与高等数学和线性代数渐成鼎足之势。
学生们在学习《概率论与数理统计》时通常的反映之一是“课文看得懂，习题做不出”。概率论习题的难做是有名的。要做出题目，至少要弄清概念，有些还要掌握一定的技巧。这句话说起来简单，但是真正的做起来就需要花费大量的力气。不少学生在学习时，只注重公式、概念的记忆和套用，自己不对公式等进行推导。这就造成一个现象：虽然在平时的做题过程中，自我感觉还可以;尤其是做题时，看一眼题目看一眼答案，感觉自己已经掌握的不错了，但一上了考场，就考砸。这就是平时的学习过程中只知其一，不知其二，不注重对公式的理解和推导造成的。比方说，在我们教材的第一章，有这样一个公式：A-B=bar(AB)=A-AB，这个公式让很多人迷糊，因为这个公式本身是错误的，在教材后面的例题1-15中证明利用了这个公式，很多人就用教材上这个错误的公式套用，结果看不懂。其实这个公式正确的应该是A-B=AbarB=A-AB.这是一个应用非常多的公式，而且考试的时候一般都会考的`公式。在开始接触这个公式的时候就应该自己进行推导，发现这个错误，而不是看到这个公式之后，记住，然后运用到题目中去。大家在看书的时候注意对公式的推导，这样才能深层次的理解公式，真正的灵活运用。做到知其一，也知其二。
现在概率统计的考试试题难度，学员呼声不一，有的人感觉非常难，而且最让他们难以应对的是基础知识，主要涉及排列组合、导数、积分、极限这四部分。现在就这部分内容给大家分析一下。说这部分是基础，本身就说明这些知识不是概率统计研究的内容，他们只是在研究概率统计的时候不可缺少的一些工具。即然这样，在考试中就不会对这部分内容作过多的考察，也会尽量避免大家在这些方面丢分。分析到这里，就要指出一些人在学习这门课的“战术失误”。有些人花大量的力气学习微积分，甚至学习概率统计之前，将微积分重新学一遍，这是不可取的。对这部分内容，将教材上涉及到的知识选出来进行复习，理解就可以。万不能让基础知识成为概率统计的拦路虎。学习中要知道哪是重点，哪是难点。
如何掌握做题技巧?俗话说“孰能生巧”，对于数学这门课，用另一个成语更贴切――“见多识广”。对于我们自考生而言，学习时间短，想利用“孰能生巧”不太现实，但是“见多识广”确实在短时间内可以做到。这就是说，在平时不能一味的多做题，关键是多做一些类型题，不要看量，更重要的是看多接触题目类型。同一个知识点，可以从多个角度进行考察。有些学员由于选择辅导书的问题，同类型的题目做了很多，但是题目类型却没有接触多少。在考试的时候感觉一落千丈。那么应该如何掌握题目类型呢?我想历年的真题是我们最好的选择。
平时该如何练习?提出这个问题可能很多人会感到不可思议。有一句话说得好“习惯形成性格”。这句话应用到我们的学习上也成立。这么多年以来，有些人有很好的学习习惯，尽管他的学习基础也不好，学习时间也有限，但是他们能按照自己知道的学习规律坚持学习，能够按照老师说得去思考、前进。我们大多数人都有惰性，一个题目一眼看完不会，就赶紧找答案。看了答案之后，也就那么回事，感觉明白了，就放下了。就这样“掰了很多玉米，最后却只剩下一个玉米”。我们很清楚，最好的方法是摘一个，留一个。哪怕一路你只摘了2个，也比匆匆忙忙摘了一路，却不知道保留的人得到的多。平时做题要先多思考，多总结，做一个会一个，而且对于做过的题目要经常地回顾，这样才能掌握住知识。就我的辅导经验而言，绝大多数人还是在这个问题上出现了问题。
新课标《小学数学统计与概率》学习体会
学习了《小学数学统计与概率》的知识，我对数学统计与概率有了更新的认识。随着社会的发展，实际生活已经离不开对数据的分析，离不开统计，统计的应用越来越广泛。新课程标准理念下也将统计与概率作为重要的学习内容。
对于这个领域的学习，重要的绝不仅仅是画统计图、求平均数等技能的学习，而是要让孩子“亲近”数据，加强对孩子数据分析观念的培养。课标强调学生要更新学习观念，学习有用的数学，教师也要更新教学观念，注重学生学习的可持续发展。我觉得统计与概率的学习对学生日后的社会实践生活是非常有用的，新课标就非常重视学生的“数据分析观念”，当中有这样的描述：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面说明只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”新课标将统计与概率中的“统计观念”改名为“数据分析观念”，体现了新课标对这一模块的重视。更体现了统计与概率这一知识在小学阶段学习的重要性。总之，统计与概率的内容，主要是让学生感受生活中的数学知识，联系实际，体会统计思想给我们带来的方便，通过调查实际生活的问题，调动起学习的积极性，转化为数学知识，并用学过的知识解决实际问题。培养学生的“数据分析观念”对学生将来的发展非常有用。特别是对于当下的信息社会，“数据分析观念”显得尤为重要。
学过《交通规划》这门课程后，我对本专业有了一个较为全面清晰的认识。本课程通过从交通规划基本理论、城市交通专项规划、公路网规划三个方面详细解析，让我了解了公路的发展规划的理论体系，同时更加深入的认识了我国交通规划的现状和发展历程，下面将我的学后心得、构想总结如下：
一、关于交通
世界上许多大都市都面临或曾经面临过交通发展瓶颈的问题，哈尔滨也不例外。个人以为哈尔滨目前的发展趋势，交通拥挤问题会越来越严重，特别是每逢冬季遇到较大的降雪时，全市交通几乎瘫痪。不仅影响了市民生活，也降低了运营效率。作为一个千万人口的超级城市，点对点交通需要的时间应该是很准确的，但以我们目前的交通现状，特别是高峰期，你根本不知道什么时候才能到达目的地，因此浪费的时间和经济成本更是无法计数。成功解决交通瓶颈的范例是人口稠密的日本东京。我们知道，虽然东京的私家车饱有度很高，但由于轨道交通极为发达，所以绝大多数人不会开车上班的。轨道交通的优势是准时高效，比如一个站到另一个站需要几分钟，延误的时间仅以秒计，所以在日本东京那边我们去访问人家，很容易计算你从这个点到那个点多少时间，很少有迟到的。现代化的思路重构城市交通的流动空间，从国际经验来看，一个特大城市的交通设计应该以节能高效轨道交通为主，就如我们正在进行的地铁和轻轨规划建设一样。
二、交通不仅是地铁
在国际上地铁跟轻铁是连在一起的。你看国际上大的城市伦敦也好，巴黎、东京包括我们香港都是把地铁跟轻轨连在一起，成为一个网络。假如只有一条地铁，它不是网络是没有用的，只有多几条地铁，形成网络才可行，但这成本比较贵，但是假如把地铁与轻轨连接成一个大的网络，经济效果就好多了。
三、未来50年哈尔滨的流动空间——关于将哈尔滨市市区内铁路改造为城市交通的构想 哈尔滨市委办公厅王幼平说：京哈、滨洲、滨北、拉滨、哈牡等五条铁路在哈市中心区交汇，形成三个环状网络，即中心环、跨江环、西南环，其中由哈尔滨站、滨江站、太平桥站、哈东站、东门站、香坊站、王兆屯站构成的中心环，正穿过占哈尔滨市人口70%左右的人口密集区。铁路的这种网络分布，使哈尔滨市的城市空间被分割得七零八落，并致使哈尔滨市的公共交通、公共环境和公共卫生存在致命性缺陷，根本难以改变。
1如果将处于哈尔滨市中心的铁路和站舍迁出城外，利用现有的路网建设城市轨道交通系统，哈尔滨市就可以以较低的成本，建立起世界上比较发达的城市公共交通体系。这套体系除已有的中心环、跨江环和西南环外，在现规划的三环路西段建高架轻轨，与京哈、滨洲线相连形成西部环。这样，整个哈尔滨就会有线线相连、环环相扣、江南江北相接、四通八达的轨道系统紧密地融为一体，整个城市就如同建立在一个高速运转的车轮之上（城市轻轨的运行时速在60公里以上，而哈尔滨市公共汽车的运行时速只有10-30公里），并且，铁路沿线将由目前的卫生死角变成最繁华、最亮丽的风景线。有这样一套城市轨道交通体系，再配之以公路路网，足可以保证哈市未来50年对公共交通的需要，并彻底终结哈尔滨市几百万普通百姓因公共交通落后所带来的出行难。
应当说，将哈尔滨市市区内铁路改造为城市轨道交通目前正是时机：其一，在国家东北振兴战略框架下，铁道部正对哈尔滨枢纽总图进行规划，我们应将这一构想尽快形成城市规划方案，融入到新的哈尔滨枢纽总图规划之中。其二，目前王万连接线刚刚开始修建。我们应积极向铁道部争取，将规划的货运专线改成客货两用线，并将该线路往北延伸，与滨北线在呼兰镇相连接。其三，哈大高速铁路正在规划，我们应积极争取，将哈大终点站（也即哈尔滨火车站）向西南迁移（大致在省外运国际集装箱公司一带），并在江北万宝镇附近修建北站。最后，也是最关键的一点，哈铁局目前正在进行体制改革，剥离办社会和辅业，减员增效。若铁路改轨道交通，可以大量安排富余人员，这对铁路系统成功改制意义重大。总之，这是一个利在当前，功在千秋的构想，并且机不可失。哈尔滨市应该做好规划和论证工作，并积极争取铁路部门的支持，使构想变成现实。
四、对新型交通，交通调查和交通管理的构想
（一）新型交通
在一次课上，老师跟我们介绍了BRT（快速公交系统）这一新型公共客运系统。多名同学发言参与了介绍自己见过的BRT形式。但同时也有很多同学并没有见过这一系统。于是老师让我们自己动手查资料并作为作业写一篇BRT的简介。我觉得这种讲课方式很好的激发了我们的学习主动性，自己动手查询得到的东西比在课堂上听老师做一番简单的介绍效果要更好。我通过查阅资料得知，BRT是快速公交系统（Bus Rapid Transit）的简称，是一种来源于巴西库里蒂巴介于快速轨道交通（Rapid Rail Transit，简称RRT）与常规公交（Normal Bus Transit，简称NBT）之间的新型公共客运系统，是一种大运量交通方式，通常也被人称作“地面上的地铁系统”。它是利用现代化公交技术配合智能交通和运营管理，开辟公交专用道路和建造新式公交车站，实现轨道交通运营服务，达
到轻轨服务水准的一种独特的城市客运系统。我还得知，哈尔滨近期也将会兴建这一新型公交系统，我对此十分期待。
（二）交通调查
交通调查指的是交通量、车速、交通运行特征、起迄点、交叉口、交通事故、交通环境等调查的统称。
交通调查是我们学习这门课的一种必需的实践。我们曾前往省政府旁展开了一次交通调查。我们主要调查了文昌街和中山路交叉口的交通流量。因为该路口交通流量较大，我们采取了团队分工合作的方法。每个组员负责观察从某一特定车道转入另一车道的车辆的具体数目，另安排一组员观测红绿灯周期。一个多小时的调查使我们体验到，得出第一手资料有时是要付出大量的实践和劳动的。而通过自己亲手调查得出的成果也让我们很有成就感。
通过这次调查的统计数据及观测表明，文昌街对于省政府片区的交通疏导起到了主导作用。但是由于西南东北想直行的车辆数较多，西北东南向直行的车辆很少，红灯停放时间过长，绿灯通行时间过于紧凑，建议可以稍微调整时间间隔，以提高此区域的交通，争取做到尽善尽美。总的来说，由于文昌桥的打通，此区域道路通行能力较佳，基本不会出现大规模的阻碍现象。八车道的道路对大流量的交通也提供了重大的保障，车辆能够基本保持平稳流畅通行，对于该区域的民生建设都有着很重大的促进作用，同时顺畅的交通也为经济的迅速发展提供了坚强的后盾。
通过这次调查，我们也认识到了团队合作的重要性。在调查过程和后期数据处理中，我们因为团队分工合作节省了不少时间。
（三）交通管理和控制
结合所学和自己的一些调查及经历，我觉得哈市的公交管理和控制并不尽如人意，没有很好的兼顾乘客安全、方便、舒适的交通需求心理。
导致哈尔滨公交服务水平不高和公交工作人员服务意识不强的原因是多方面的。其中公共交通的管理和控制不当要对此负很大部分的责任。
城市公共交通是系统工程。之所以强调公共交通是一个系统工程，是由于城市公共交通必须作为一个系统来加以重视、统筹和规划，才能有效全面地解决好，其不仅只是解决体制问题,或线网规划等问题。目前哈尔滨市市内交通运营归口市公用管理局；市外交通运营归口市交通局；酝酿中的轻轨、地铁运营又归口市建委；路面管理归口于各分支交警队，全面统筹、规划及协调难度非常大。
哈尔滨市目前将不可竞争的有限的公交资源，用多元竞争的方式对动态公交进行分散经营；再简单地将静态公交和动态公交进行分割经营，带来诸多难以解决、协调的问题。如高昂的公交站场建设费与极其有限、又在水涨船高的公交站场租赁管理费之间形成的差距和矛盾，根本无法以成立经营静态公交公司的方式所能弥合。
公交属于公用事业。公共物品不具备竞争性和排他性的，公共物品的竞争必定将损害消费者利益。公共交通的供给通过行政审批来实行，会出现公交市场利益的不对称；如果仅由市场来组织生产，又会出现供给不均衡。公交民营化运作可以减轻政府的负担，但是需考虑将市场化作用过于夸大。因为公交私营化细分程度越大，规模越不经济，重复建设越多，资源配置越缺乏效率，公交市场利益越不对称，公交服务质量越差，公交车违章和事故率越高。乘客的服务体验也越差。
关键词：教学改革,案例教学,疑问式教学,实验教学
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科, 在自然科学和社会科学中有着重要的作用, 也是全国高等院校类大部分专业的重要基础课程。这门课程有自己独特的概念和方法, 内容丰富, 理论深刻, 它的理论与方法渗透到生活的方方面面, 已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中, 是近代数学的重要组成部分。常言道:“教无定法”, 教学没有固定的模式, 条条大道通罗马, 教师可以根据教材的内容和学生特点灵活安排, 变换自己的教学方法和手段, 在教学过程中以知识点为主线, 围绕知识点学的需要组织课堂教学, 坚持以启发诱导为核心, 激发学生学习的兴趣, 引导学生积极主动开展思维活动, 为此, 本文对多元化教学模式下概率论与数理统计课程的教学改革作一些探讨, 具体实施了案例教学、疑问式教学, 实验教学。
案例教学是一种启发式教学, 是指在教学过程中, 教师适时提出与教学内容密切相关的案例, 通过对案例进行分析、讨论, 甚至辩论分析, 达到学习、理解课堂知识点的目的, 通过从问题到理论, 再从理论到应用, 实现知识传播和能力培养相结合的教学目的。在案例式教学中, 学生有很多参与课堂的机会, 通过对案例的分析、讨论来提高学生的学习兴趣, 激活学生的思维潜能, 从而提高教学效果。案例选择必须具有目的性和针对性, 要注意挑选能与教学内容密切结合并符合学生的认知规律的案例, 任何理想化的、脱离实际的例子都会给学生以误导, 从而失去教学的意义。这门课程我们通常选用的案例有:生日问题;概率与密码问题;血液检验问题;交通 (运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等) 分析问题;公交大巴车门高度设计问题, 怎样由脚印长度估计罪犯身高问题;排队等待问题;销售量为随机的存储模型问题, 及当前流行的福利彩票中奖问题等等。当然, 在课堂上不是要一味地讲解案例, 也不是案例越多越好, 而是要把握好案例与课堂知识点的结合, 不能公式化, 在教学过程中要充分体现“实践一理论一实践”的认识过程, 做到理论与实际的有机结合。
学起于思, 思起于疑, 学习和思维是从疑问开始的。
如我们以概率统计中Bernoulli大数定律的讲授为例, 我们先提出问题, 以抛掷硬币实验为例, 将一枚均匀的硬币抛掷n次, 记事件A:“正面向上”, 设n次实验中正面向上的次数为ηn, 试验表明, 事件A在n次试验中出现的频率随n增加会逐渐稳定趋于一常数1/2 (事件A的概率) 。显然, 这里说的稳定和接近都只是抽象的描述, 如何用具体的数学语言去刻画, 这个现象是否就是微积分中对极限的描述?换言之, 是否有?即频率的极限就是概率?因此, 我们的问题是:如何刻画趋于1/2?
接下来我们来分析问题:若成立, 对一切nN, 都有
成立, 但是随试验结果不同而变化的, 不论N取多大的数, 试验结果出现n次正面仍有可能发生, 当取小于1/2时, , 即不成立, 事实上, 根据Bernoulli概型, 当, n次都出现正面这个事件的概率为零。因此, 事件A在n次试验中出现的频率随n增加稳定趋于1/2的准确描述为。于是我们就得到了Bernoulli到大数定律 (证明略) 。
信息化时代下, 传统的教学方法与手段已不适应社会对统计学人才的培养, 目前大多数概率论的教学过于强调基础理论的严谨和系统性, 侧重抽象理论介绍及繁琐的计算, 忽略了这门课程的实践性与应用性。因此, 将数学软件 (SPASS, MATLAB) 引入课堂开展实验教学十分必要, 不仅可以培养学生的动手能力还可以增强学生对知识的理解能力, 结合数学实验的演示, 使得一些抽象的定理更为直观, 学生也更易理解定理内容, 提高学习效果。由于受到学时的限制, 我们可以抽6-8学时安排相关的数学试验, 如:随机试验的模拟与概率的近似计算, 常见随机变量分布的随机模拟, 大数定律及中心极限定理, 方差分析与回归分析的设计等等。
总之, 如何学好概率论这门课程还需要师生的共同努力, 需要积极地推进课程改革建设, 以面向应用型人才培养, 增强学生的动手能力和应用概率统计方法解决实际问题为目标, 探索新的教学模式, 调动学生学习的积极性, 让学生学以致用, 发挥数学在各个领域中的重要作用。
参考文献
[1]邓华玲, 傅丽芳, 孟军, 尹海东.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学, 2004, 20 (1) :34-37.
[2]赵姝淳.概率论与数理统计创新教学模式初探[J].高等教育研究学报, 2001, 24 (1) :49-52.
【关键词】翻转课堂 大学数学 概率统计 课堂教学
【中图分类号】G64【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0145-01
1.翻转课堂
翻转课堂（Flipped Classroom）是一种不同于传统教学的新型教学模式，它要求学生在课前预先学习知识点，再在课堂上讨论巩固，也就是课上与课下的“翻转”。一般来说，实施翻转课堂的教师需要利用计算机技术将知识点讲解过程录制成视频交给学生观看，并配上相应题目给学生自查。回到课堂上之后，学生与老师再充分交流，合作探究，完成知识点的内化过程。
翻转课堂最早起源于美国科罗拉多州WoodlandPark High School，该校老师乔纳森·伯尔曼和亚伦·萨姆斯将学习内容录制成微视频上传到网上供缺课学生观看。2007年，他们又全面要求学生在家里观看教学视频，回到学校之后再对学生进行辅导。这种学习方法取得良好成效并最终在美国中小学教育中得到了广泛应用。如今，不仅仅是中小学教育，大学课堂也在逐步引进翻转课堂。
国内方面，对于翻转课堂还处于理论和探究的阶段，笔者就大学课程中概率论与数理统计之“期望的定义与性质”部分进行翻转课堂的尝试，并总结了翻转课堂在大学数学课程实施过程中的一些问题，且针对这些问题采取了相应的解决办法。
2.翻转课堂的实施
2.1课前自学
课前教师需录制教学微视频供学生进行自主学习。这种视频时间一般控制在十分钟以内，因为对学生而言，如果视频过长，内容过多，注意力容易分散，不利于学习。再者，多个知识点融在一个视频当中，也不方便学生在有疑问的时候查找观看。因此，我们在录制视频的时候讲究短小精悍针对性强。本节“期望的定义与性质”就被细分成了4个部分并录制了相应的4个微视频。
另外在每个视频中都给出了若干较为基础的题目用于学生自测学习情况。
2.2课中内化
课堂讨论和探究的阶段共两次课，分组完成。
第一次课，学生刚看完视频，对知识点还比较生疏，讨论的目的在于熟悉基础知识点。课上，每个小组分别对本节的内容进行讲解，并配以例题展示。讲解完之后其它同学可对讲解小组所讲内容进行提问和补充。第一次课结束之后，再留给学生一些较难的实际背景下的期望问题，让学生在课下讨论解决。
第二次课，每组从上述题目中随机抽取一道讲解，其他组做相应的提问或补充。接着，再给出一些题目让学生在课上练习，对还存在问题的学生及时给予纠正和指导。最终使得学生能够灵活运用期望的实际含义和性质解决实际背景下的期望问题。
需要说明的是，对于大学数学这种基础课程，教师面对的往往是将近100人的课堂，这导致讨论课的时间和秩序不好把握。为此，我们要求每组学生只选择一部分内容讲解。又为了避免学生只关心自己讲解的部分而忽略了其它内容，所以每组讲完之后其它同学可以就本节任一知识点进行提问和补充。另外，为了让所有学生都积极参与，我们把讲解，提问，回答每个部分都设置了严密的加分规则并与学生的期末成绩挂钩，以此促进了学生积极性，让学生尽量参与到讨论中。
2.3课后升华
讨论课后，大部分学生已经能够准确理解期望的概念并应用，但是要最终吸收内化，还需要学生更多地去探究与思考。因此我们要求学生自选切入点，完成一篇与本节内容相关的小论文。
3.翻转课堂的反思
目前，翻转课堂在我国的发展还处于尝试和适应的阶段，结合我国高校的具体情况不免存在一些问题：
首先，翻转课堂考验了教师录制和制作视频的能力。好的视频不仅仅是机械地录制，还需要在剪辑，音效甚至视频合成上花功夫。这对长期以传统方式教学的教师来说难度很大，工作量也很大。
其次，实施翻转课堂的网络平台不够完善，没有办法对学生课下的自主学习进行实时监控。
对于基础课程来说，还有一个问题是人数众多，虽然前面我们已经在控制讨论课的节奏和秩序上想了一些办法，但是课上还是避免不了超时和吵闹的情况。
最后，由于数学不是专业课，多数学生不愿意在这门课程上花费时间。无论是课前的自主学习还是课后的小论文，学生完成的情况都不太理想。
4.结语
翻转课堂作为一种新兴的教学模式是对传统教学的颠覆，对学生和老师的极大挑战。如果能适应这种教学模式，学生的自学能力和创新能力都能够得到很好的锻炼，但如果没有解决前面说到的这些问题，就达不到期望的教学效果。所以，翻转课堂的“本土化”，还需要慢慢地摸索。
参考文献：
[1]卢强.翻转课堂的冷思考：实证与反思[J].电化教育研究，2013（8）.
[2]胡运红，杨建雅，王鹏岭.翻转课堂教学模式下的大学数学微课探究——以线性代数的某知识点为例[J].运城学院学报，2015（6）.
随机事件及其概率
（1）排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n
种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n
种方法来完成，则这件事可由m×n
种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：，（7）概率的公理化定义
设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1°
0≤P(A)≤1，2°
P(Ω)
=1
3°
对于两两互不相容的事件，…有
常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件的概率。
（8）古典概型
1°，2°。
设任一事件，它是由组成的，则有
P(A)=
=
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P()=1-
P(B)
（12）条件概率
定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
…………。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足，则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立，且，则有
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件满足
1°两两互不相容，2°，则有。
（16）贝叶斯公式
设事件，…，及满足
1°，…，两两互不相容，>0，1，2，…，2°，则，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。，（，…，），通常叫先验概率。，（，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了次试验，且满足
u
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
u
次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；
u
每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率。
第二章
随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。
显然分布律应满足下列条件：
（1），（2）。
（2）连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
1°。
2°。
（3）离散与连续型随机变量的关系
积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布函数
设为随机变量，是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–
∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1°；
2°
是单调不减的函数，即时，有；
3°，；
4°，即是右连续的；
5°。
对于离散型随机变量，；
对于连续型随机变量。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。
当时，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即
a≤x≤b
其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0，xb。
当a≤x1 指数分布,0，其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。 X的分布函数为,x<0。 记住积分公式： 正态分布 设随机变量的密度函数为，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。 具有如下性质： 1°的图形是关于对称的； 2° 当时，为最大值； 若，则的分布函数为 。 参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。 如果~，则~。 （6）分位数 下分位表：； 上分位表：。 （7）函数分布 离散型 已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 第三章 二维随机变量及其分布 （1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。 设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij，称 为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … xi pi1 … … 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2） 连续型 对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a 则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2） （2）二维随机变量的本质 （3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即 当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 （4） （5）对于 .（4）离散型与连续型的关系 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为； Y的边缘分布为。 连续型 X的边缘分布密度为 Y的边缘分布密度为 （6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为； 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 （7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 （8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y D1 O x 图3.1 y D2 O x 图3.2 y D3 d c O a b x 图3.3 （9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： 分布 设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为 我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则 t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数的概率密度为 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 F分布 设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).第四章 随机变量的数字特征 （1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) 方差 D(X)=E[X-E(X)]2，标准差，矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)=,k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即 =，k=1,2,….①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 νk=E(Xk)= k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即 = k=1,2,….切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。 （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C （2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 （4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n t分布 0 (n>2) （5）二维随机变量的数字特征 期望 函数的期望 ＝ ＝ 方差 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即 与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称 为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。 ||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为： （6）协方差的性质 (i) cov (X,Y)=cov (Y,X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii) cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 （i） 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。 （ii） 若（X，Y）～N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 （1）大数定律 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi） 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为 伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有 （2）中心极限定理 列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量为具有参数n,p(0 （3）二项定理 若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 （4）泊松定理 若当，则 其中k=0，1，2，…，n，…。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章 样本及抽样分布 （1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设为总体的一个样本，称 （） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩，，,其中，为二阶中心矩。 （2）正态总体下的四大分布 正态分布 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 t分布 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中表示自由度为n-1的分布。 F分布 设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数 其中 表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 与独立。 第七章 参数估计 （1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。 若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称 为样本的似然函数。 若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（）=E（X），E（S2）=D（X） 有效性 设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。 一致性 设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 则称为的一致估计量（或相合估计量）。 若为的无偏估计，且则为的一致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即 那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态总体的期望和方差的区间估计 设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度，查表找分位数； （iii）导出置信区间。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii) 查表找分位数 （iii）导出置信区间 未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 (ii)查表找分位数 （iii）导出置信区间 方差的区间估计 （i）选择样本函数 （ii）查表找分位数 （iii）导出的置信区间 第八章 假设检验 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值计算统计量之值K； 将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=； 此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 已知 N（0，1） 未知 一、填空题（7*3’=21’） 1、A 和B均为随机事件，P(A)+P(B)=0.7，P(AB)=0.2，则P(AB)P(AB)两者的和为（）。2、10件产品中有4件次品，从中任意取2件，则第2件产品为次品的概率为（）。 3、设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为（）。 4、设则期望方差 5、设随机变量服从参数为的泊松分布，则应用切比雪夫不等式 6、设随机变量的方差 二、选择题（5*3’=15’） 1、设为对立事件，则下列概率值为1的是（） 2、设随机变量概率密度为分布函数，则下列正确的是（）、3、设是随机变量的概率密度，则一定成立的是（） A、定义域为B、非负 C、D4、C、4/9D、1/35、设X1,X2,…Xn是正态总体X-N（µ,σ2）其中σ已知，µ未知，则下列不是统计量的是（） A、B、C、X-µD、∑（Xn/σ） 三、计算题（6个题共64分） 1、（10分）假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后，以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(>=2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。 2、设随机变量X的概率密度为：f（x）=Ae(-A)x, x∈R, /*A乘以e的负A次方再乘以x,大家都懂的，嘿嘿*/，求系数A及分布函数。 3、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为：f(x,y)=(e(-y),0 （1）（X,Y）分别关于X,Y的边缘概率密度； （2）判断X与Y是否相互独立并说明理由； （3）计算P(X+Y<=0).4、设随机变量X服从E(λ),其中λ未知，且λ>0，设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，试求总体参数的矩估计和最大似然估计 5、（10分）某车间生产硫磺，从长期实践中知道，直径X服从正态分布N(u,0.2*0.2),从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位MM）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求u的0.9双侧置信区间。（题目告诉了t分布中对应的n，阿尔法的值，由于不清晰，大家自己去查书，考试时题目中会给出，嘿嘿） 【关键词】《概率论与数理统计》 措施 特色 《概率论与数理统计》是独立学院院校各专业开设的一门基础课程，涉及面及应用领域都很广。《概率论与数理统计》是一门研究随机现象的科学，它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科相比都有较大的差异，学生学习起来感到较为困难，难以理解与掌握。为了让学生更好地学习这门课程，近期我们基础部承担了《概率论与数理统计》的课程建设，结合之前的《概率论与数理统计》教学改革的实践，在课程建设的过程中受到了很多启发，获得了很多有用的教学经验。 由于《概率论与数理统计》课程具有相对独立的全新的数学思想，具有要求基础高、概念抽象、做题方法灵活、应用广泛的特点，加上三本院校学生数学基础相对薄弱，如果仍然沿用传统的“灌输式”教学方式，未必能收到良好的教学效果。 一、教学结构与教学内容方面 《概率论与数理统计》的主要应用在数理统计部分，而且高中新课改已经把概率论的基本知识以及古典概率、几何概率的计算作为高考重点，我们在不影响课程体系完整性的前提下，应适当减少概率论部分的内容和教学时数，相应地增加统计部分的教学内容及教学时数。 在教学内容组织上，不注重过于复杂的概率的计算，而是强调概念的直观意义和各种模型的实际背景，注重模型化的思想方法和概率思想方法的训练。完善适用于不同专业特点的教学内容，根据不同的专业特点，配备与所学专业相关的例题，设置课外思考题、讨论题。比如对于经济类的学生增加“库存与收益”“保险赔付”等方面的例题或思考题，以激发他们的学习兴趣，培养专业基础技能。 二、师资队伍建设方面 加强对青年教师的培养，提高他们的业务能力。教研室对青年教师实行“导师负责制”。教研室每学期对新教师进行业务能力培训，给每一位新教师指定一名教学经验丰富、责任心强的老教师为指导教师，负责指导新教师备课、撰写教案、上课前的反复试讲工作。教研室要求新老教师相互听课。通过对青年教师教学过程中的跟踪指导，帮助他们提高教学水平，尽快地过好教学关，达到提高教学质量的目的。另外，教研室还给青年教师创造进一步学习提高的机会，选派青年教师参加国家精品课程骨干教师高级研修班，以开阔思路，提高他们的业务能力，推动课程的建设与发展。 三、加强实践教学，编制题库 在数学实验课程中，应针对独立学院学生的特点设计综合性实验，让学生在教师指导下，运用所学的知识和计算机技术，独立完成综合性实验课题，写出分析报告。将数学建模融入实践教学中来，教师提出一些实际问题编入题库，要求学生用概率统计的方法建模并加以解决，这样既提高了学生学习概率统计的积极性，又培养了学生应用概率统计的能力。 四、课堂教学方面 教学过程中要根据学生所学的听课反应，及时调整讲课的节奏。讲课的最终目的是为了让学生理解和掌握所学内容和知识，做到以学生为中心，一切以学生为主。课堂上要随时观察学生的听课情况，并及时听取学生的意见，以控制讲课节奏和方式。如果发现某些内容学生难以理解，要及时从另一个角度帮助学生理解这部分内容。同时，根据学生作业和试卷上的得分情况，总结各知识点教学的成功和不足之处，及时发现问题，调整讲课的节奏和方法。 五、实施案例教学法 在《概率论与数理统计》课堂教学中实施案例教学也是教学改革的必然要求。案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与相互讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法，它是连接理论和实践的桥梁。将理论教学与实际案例有机地结合起来，使得课堂讲解生动而清晰，可收到良好的教学效果。同时，案例教学可以促进学生全面地看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好应用，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 【参考文献】 [1]运怀立.概率论的思想与方法[M].北京：中国人民大学出版社，2008. [2]郝晓斌，董西广.数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J].经济研究导刊，2010（16）：244-245. [3]刘清梅.统计与概率的思想方法及其联系[J].考试周刊，2008（18）.概率论与数理统计C卷 篇10
哈工大概率论与数理统计学习心得 篇11
