相交线与平行线知识点归纳（共11篇）
一、相交线
1.相交线：两条直线相交，有且只有一个交点。（反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。）
2.对顶角----特点：（1）有一个公共定点（2）两边互为反向延长线-----性质：对顶角相等
3.邻补角：两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
----特点：（1）有一个公共定点（2）有一条公共边（3另一边互为反向延长线
-----性质：邻补角互补（和为180°）
4.垂线：同一平面内，两条直线相交，所成的夹角均为90°时，称这两条直线互相垂直。
垂直是两直线相交的特殊情况。注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a。
垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，一定要用直角符号表示出来。
---性质：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短
----点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。
注：①、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等。反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
二、平行线
1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线。-----特点：没有交点，平行线永不相交。
2.平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论----如果有一条直线与其它两条直线平行，那么另外两条直线也平行。
3.三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角
形成方式-------两条直线被第三条直线所截（这两条直线不一定平行，）
特别注意：① 三角形的三个内角均互为同旁内角；
② 同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的，这两条直线也可以不平行，也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
名称-----同位角（4对）内错角（2对）同旁内角（2对）（成对出现）
4.平行线的判定方法----（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行（4）如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
5.平行线的性质-------（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补
6.两条平行线间的距离-----就是两条平行线间的垂线段的长度。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
三、命题
判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果„„那么„„”的形式。
1.2.3.四、平移
1.2.定义：一个图形沿着一定的方向平行移动。特点----（1）平移后图形的形状、大小不变，位置改变 定义：判断一件事情的语句 组成----(1)题设（如果„„）（2）结论(那么„„)分类----（1）真命题(2)假命题
（2）对应点所连接的线段平行（或在同一直线上），对应角相等。
特征：发生平移时，新图形与原图形的形状、大小完全相同（即：对应线段、对应角均相等）； 对应点
之间的线段互相平行（或在同一直线上）且相等，均等于平移距离。
画法：掌握平移方向与平移距离，利用对应点（一般指图形的顶点）之间连线段平行、连线段相等性质
关键词：图式教学,概念图,思维导图
数学人教版七年级下册《相交线与平行线》单元与七年级上册《几何图形初步》单元相比, 对学生的学习要求有较大的提高, 在内容呈现上既注重直观性, 又充分体现了认知过程, 给学生提供了探索、交流的空间。这一章的教学担负着一些技能的培养、能力的训练, 既有几何语言、图形方面的, 也有说理、推理方面的。这些内容, 都是进一步学习空间与图形知识的基础。所以在本章教学中, 笔者尝试采用图式教学模式, 即借助概念图、思维导图来帮助学生辨析知识点之间的关系。
一、借助概念图, 辨析概念之间的差异性……
概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示, 是用来组织知识的工具。它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中, 然后用连线将相关的概念和命题连接, 连线上标明两个概念之间的意义关系。在本单元中, 可以借助于概念图以视觉化形式呈现两角关系概念之间的联系, 凸显知识结构的细微差别。
第一小节的主要内容是相交线所成的角──邻补角、对顶角。学生已经掌握了余角、补角的概念, 它们与新概念之间有怎样的联系呢?笔者设计了下图:
在图1中, 学生容易发现“邻补角”与“补角”的异同点, 能够识别命题“邻补角互补”与“互补的角是邻补角”孰真孰假。学生也可以感受到教材难度的渐进性, 从单纯的研究数量关系, 过渡到对两角之间“关系”的全面认识。在本节内容的教学中, 应重点强调邻补角、对顶角位置上的特征。设计一些易混淆的命题让学生辨析, 如“两个角互补且有公共顶点、公共边, 那么这两个角是邻补角”、“相等且有公共顶点的两个角是对顶角”等, 让学生熟悉对顶角、邻补角的共同特征, 为以后区别同位角等奠定了基础。
第三小节, 认识同位角、内错角、同旁内角, 笔者设计了区别五种角的关系的概念图 (见图2) 。
这幅概念图有两方面的优势:
1.“识别码”是分类的重要依据。
当相交的直线只有3条时, 学生容易辨认角的关系。但随着条数的增加, 图形逐渐变得复杂, 就会出现混淆或者找不全某种关系的角。
例如:如图3, △ABC中, 直线BD与边AC交于点D, 图中有同旁内角吗?如果有, 请找出所有的同旁内角。图中有同位角吗?
识别三线八角的“识别码”是截线, 图3中共有4条直线。在寻找同旁内角的时候, 可以把这4条直线分别当成截线, 然后找出截线同侧, 被截线之间的角, 即可不重不漏地找出所有的同旁内角。如果不强调两种“识别码”之间的区别, 学生在练习中, 容易把∠ABD、∠ABC看成同位角。他们会把直线AB看成截线, 把直线BD、BC看成被截线, 认为这两个角在截线同侧, 被截线同方向。通过图2, 学生就能发现“问题”, 这两个角居然具备对顶角、邻补角的“识别码”:公共端点!所以它们不是同位角。
2. 理解同位角、内错角、同旁内角只表示特殊的位置关系。
在学习命题时, 学生受“对顶角相等”定理的负迁移, 认为“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”都是真命题。通过图2的比较, 可以让学生对概念的理解更加深刻, 不被表征的相似所迷惑, 从内在逻辑关联性上理解知识。
二、构建思维导图, 直观呈现思维的开放性
思维导图是学生把要学习的主题用方框或圆圈围起, 以画图的形式来表达自己的思想。主题可以用关键词和图象来表示, 把中心主题作为起始节点, 放射状地画出多条射线, 每条射线的末端是和主题相关联的次级节点 (次主题) , 而每一个次级节点可以成为一个新的中心主题, 以相同的方式继续向外发散, 产生更多的思维节点。
本章教学的重点是垂线的概念与平行线的判定与性质。因为这些知识是“图形与几何”领域的基础知识, 是以后学习几何的基本工具。学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识, 因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的。
在教学垂线的判定时, 笔者设计了开放式思维导图, 如图4。
学生总结出判断两直线相交得到的夹角为90°的方法各异, 有对顶角互补、邻补角相等、夹角所在的三角形另两个角和为90°等。学生在绘制思维导图的过程中, 会不断产生新的发现。这种发现激发了学生的探究能力和创造性, 变被动学习为主动学习。
在教学平行线的判定时, 为了循序渐进地提高学生的推理能力, 笔者尝试让学生自主构建思维导图, 将说理的过程视觉化、结构化。基于构建垂直判定思维导图的经验, 学生顺利地设计出自己的思维导图。
平行线的性质与判定:
平行线的判定知识点之间的关系:
如果说图6是学生对垂线的判定思维导图 (图4) 的简单模仿, 那么图7就是对知识点之间关系融会贯通后创造性的神来之笔。这种创造性体现在思维导图表现形式上的创新, 由树状发散结构转变为循环互生的关系链, 改变了图6单线思维的状态, 启发了学生的联想力和创造力。
三、整合教材, 明晰章节之间知识的延展性
教材是课堂教学的蓝本, 教师就是要将教材这个“原著”创编为教学“演出”的“剧本”, 对教材内容进行重新优化整合, 着眼于学生数学思维能力的提升, 是提高课堂教学质量的关键。数学人教版七年级下册教材所包含的内容依次为相交线与平行线、实数、平面直角坐标系等。笔者主张整合教材内容, 改变教学顺序:在相交线与平行线这个单元之后紧跟平面直角坐标系单元, 因为这两个单元在知识点之间有着密切的联系, 整合后使逻辑关系更清晰, 如图8。
教学顺序的调整, 可以使学生在学习平面直角坐标系单元新知识的同时, 对相交线与平行线单元的核心概念有更深刻的认识, 有利于渗透数形结合的思想。
图式教学, 可以用教师完全呈现的概念关系图, 也可以由学生自主构建思维导图。在分析与构建的过程中, 能将分散的数学知识点系统化, 抽象的数学原理形象化, 复杂的思维过程静态化, 提高学生的推理能力, 为实现由实验几何到论证几何的过渡打下基础。
参考文献
[1]井翠清.概念图教学法[J].现代阅读, 2011 (10) .
[2]傅锦国.巧用思维导图构建知识网络[J].科技创新与应用, 2013 (2) .
在同一平面内，任意画两条直线，只可能有相交和平行两种情况.
对于相交，同学们不仅要知道邻补角、对顶角，而且要知道“三线八角”；对于平行，同学们不仅要知道平行线的判定，而且要知道平行线的性质.
一、生活中的平行
在生活中，大量物品的设计中运用了平行，
你能说出它们的原理吗？你能通过自己的方法，利用生活中随处可见的材料“做”平行线吗？你能用平行解决生活中的小问题吗？
1.交通中的平行，
衣食住行，正常的生活运转中自然是少不了交通了，表1展示了交通中的平行.
人行横道指的是在车行道上用斑马线等标线或其他方法标示的、规定行人横穿车道的步行范围，斑马线是保证人们安全行走的必要交通标线，通常采用白色矩形平行排列的方式，如图1所示.这样的标线比较整齐，容易划定行人行走的安全区域，并且比较醒目，
如果不采用平行线的画法会怎么样呢？如果用相交线，那么，就会出现图2的样子，显得比较乱，也不能有效划定行人行走的安全区域.
随着生活水平的提高，越来越多的人掌握了驾驶车辆的技能，在倒车中也应用着平行，图3是一辆车倒人车库的简图，
试想一下，如果车在车库门口停到了合适的距离，但是车身没有与墙壁保持平行，会出现什么样的情况呢？就会出现图4的情况，在车缓慢进入车库时，车身会与墙壁相碰撞.
2.物品中的平行.
表2展示了物品中的平行.你能分析出它们在设计中是怎样应用平行的吗？
铝合金窗的上窗架和下窗架是平行的（如图5），这样是为了确保矩形玻璃能顺利地被推拉.
在潜望镜中，两个镜面是平行放置的，如图6所示.光线进入遇到镜面，然后反射到另一个镜面，进而再反射进入人眼，
由镜面反射可知，∠1与∠2相等，∠3与∠4相等.由于两个镜面是平行放置的，故∠2与∠3相等.于是，∠1=∠2=∠3=∠4，入射光线和反射到人眼的光线就是平行的，这样通过潜望镜所看见的物体形状不发生改变.
二、动手“做”平行线
利用身边的一些东西，我们可以轻松地“做”平行线.下面是A同学“做”平行线的过程，看你是否可以得到一些启发.
1.猜想.
怎样用最简单的方法，用最少的材料“做”平行线？
我们已经学过：同位角相等，两直线平行.据此能否在纸上折出平行线呢？
接下来要做的活动可以分解为：
①折出一个角.
②再折出另一个角，使其与已折出的角相等.
2.动手制作.
如表3中图7～图10所示.
你能试着像A同学一样折出相互平行的折痕吗？
其实，我们身边有很多东西（比如纸、量角器、直尺、三角板……），借助这些东西，我们可以“做”平行线，
反思整个过程，如果想要折出平行线，我们就要在头脑中思考这样的问题：
平行线具有什么样的特征？
应该利用什么东西来进行怎样的操作才能“做”平行线？
“做”平行线后，怎样证明所“做”的两条线是平行的？
看过A同学“做”平行线的整个过程，想必你也深受启发吧！
想一想，还有什么样的方法能够“做”平行线呢？
我们可以利用“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”（即“同位角相等，两直线平行”），也可以利用“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”等“做”平行线，
选定理论依据后，想一想利用什么东西“做”平行线，比如：纸、量角器、三角板……
教学目标
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化, 梳理本章的知识结构.2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形.3.使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质,理解平移的性质,能利用平移设计图案.重点、难点
重点:复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用.难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用.教学过程
一、复习提问
本章相交线、平行线中学习了哪些主要问题?教师根据学生的回答,逐步形成本章的知识结构图,使所学知识系统化.二、回顾与思考
按知识网展开复习.1.对顶角、邻补角。
(1)教师提出问题,由幻灯片出示.①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角?指出图(1)中具有这两种位置的角.(1)(2)(3)②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线AB,CD的位置关系如何? ③如图(3)中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4是怎么位置关系的角?(2)学生回答.(3)教师强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角,要抓住对顶角的特征,有公共顶角,角的两边互为反向延长线;邻补角的特征:有公共顶有一条公共边,另一边互为反向延长线。
(4)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等, 你得到什么结论? 让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补, 但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那么问题中每个角的度数就随之确定,为90°角, 这时两条直线互相垂直.2.垂线及其性质.(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线性质用.作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以AB⊥CD, 这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。
作为性质用时写成:如图(2),因为AB⊥CD,所以∠AOD=90°。这是由“形”到“数”的说理。
(2)如图(4),直线AB、CD、EF相交于点O,CD⊥EF,∠1=35°,求∠2的度数.(4)(5)(6)鼓励学生用不同方法求解.(3)垂线性质1和性质2.让学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯一的.学生思考: ①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的? 如图(5),AB⊥L,BC⊥L,B为重足,那么A、B、C三点在同一②条直线上吗?为什么? ③点到直线的距离、两条平行线的距离.初中阶级学习了三种距离,即是距离,就要懂得的共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别:两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离.学生练习:①如图(6),四边形ABCD,AD∥BC,AB∥CD,过A作AE⊥BC,过A作AF⊥CD,垂足分别是E、F,量出点A到BC的距离和AB、CD平行线间的距离.②请归纳一下与垂直有关的知识中,有哪些重要结论? 如垂线的性质1、2,又如两种直线都垂直于第三条直线,这两条直线平行, 一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直……
3.同位角、内错角、同旁内角.只要求学生从图形中找出同位角,内错角,同旁内角.练习:如图(7),找出∠
1、∠
2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角.(7)4.平行线判定与性质
(1)怎样判别两条直线是否平行.(2)平行线有什么特征?(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.教师使学生进一步明确:平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断,而性质则是“形”到“数”的说理,在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。
学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a∥c,理由是________;当______时, b∥c,理由是_________;当a∥b,b∥c时,______∥______,理由是_________.(8)(9)(10)②如图(9),AB∥CD,∠A=∠C,试判断AD与BC的位置关系?为什么? 教师根据学生情况酌情给予引导.5.关于平移,让学生思考:(1)图形平移时,连接对应点有什么关系?(2)如何确定图形平移的方向和平移的距离?(3)你能用平移设计一些图案吗? 练习:如图(10),平移四边形ABCD,使点B移动到点B′,画出平移后的四边形A′B′C′D′.三、作业
1.课本P39.1~8.2.补充作业:
一、选择题：（每小题3分，共30分.各小题只有唯一的正确答案，请将正确答案填在题后的括号内.）
1、两个角互为补角，那么这两个角（）
A、都是锐角B、都是钝角
C、一个锐角，一个钝角D、一个锐角一个钝角或两个都是直角
2、下列说法正确的是（）
A、相等的角是对顶角B、互补的两个角一定是邻补角C、直角都相等D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等
3、张雷同学从A地出发沿北偏东500的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西200的方向行驶到C地，则∠ABC的度数为（）、400B、300C、200D、1004、下列说法中，正确的是（）
A、相等的两个角是直角B、一个角的补角一定是钝角
C、同旁内角互补D、如果同位角不相等，两条直线一定不平行
5、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是（）
A、等量代换B、两直线平行，同位角相等C、平行公理D、平行于同一直线的两条直线平行
6、如图9，已知AB∥CD，AE⊥AB，BF⊥AB，∠C＝∠D＝1200，那么∠CBF是∠EAD的（）
A、5倍B、15倍C、4倍D、4倍
DA
C
E
BF
C
D
B
图10
图1
1图97、如图10，如果AB∥CD，则、、之间的关系是（）0
A、180B、1800
00
C、180D、2708、如图11，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；
④∠1与∠3是同位角。其中正确的个数是（）、4个B、3个C、2个D、1个
9、下列说法错误的是（）
A、两条直线平行，内错角相等B、两条直线相交所成的角是对顶角
C、两条直线平行，一组同旁内角的平分线到相垂直D、邻补角的平分线互相垂直
10、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度
数是（）
A、第一次右拐50°，第二次左拐130° B、第一次左拐50°，第二次右拐50° C、第一次左拐50°，第二次左拐130° D、第一次右拐50°，第二次右拐50°
二、填空题：（每小题3分，共21分。把每小题的正确答案填在各题对应的横线上。）
11、两条不互相垂直的直线相交所成的4个角中，对顶角有____对，邻补角有_____对，互补的角有
___对。
12、如图1，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝800，那么∠EDC的度数为。
13、如图2，AB∥CD，FE平分∠GFD，GF与AB交于H，∠GHA＝400，那么∠BEF的度数是。
ABE
CB
B图
1CFD图2B图3C图4C14、如图3，AD∥BC，∠DAC＝600，∠ACF＝250，∠EFC＝1450，则直线EF与BC的位置关系是。
15、如图4，按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，并使∠
1＝
1200，AB⊥BC，则∠2的度数为。
16、如图5，∠1＝820，∠2＝980，∠3＝800，则∠4＝。
17、如图6，若AB∥DC，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有个。
三、完成下面的证明推理过程，并在括号里填上根据（每空1分，本题共23分）
18、已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.求证：EG∥FH.证明：∵AB∥CD(已知）A∴∠AEF=∠EFD.()
B
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD.()GH
∴ ∠=
C
2∠AEF，F
D
∠=
2∠EFD，（角平分线定义）∴∠=∠，∴EG∥FH.（）
19、已知，如图，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求证：FG∥BC。
证明：∵CF⊥AB，DE⊥AB（已知）
∴∠BED＝900，∠BFC＝900
（）∴＝（）
∴ED∥（）∴＝∠BCF（）又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝（）
AA
∴FG∥BC（）
四、做一做（本题6分）
20、已知△ABC、点D，过点D作△ABC平移后的图形，使点A移动到点D。
五、计算与证明：（每小题8分，共40分）
21、如图，已知：∠3=125°，∠4=55°，∠1=118°，求：∠2的度数。
22、已知，如图，AC∥DF，∠1＝∠A。求证：AB∥DE。
23、如图，已知∠1+∠2=180，∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关
系，并对结论进行说理。
B24、如图，∠1=300，∠B=600，AB⊥AC（10 分）① ∠DAB+∠B=
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？ 1D
试说明理由。
BC25、（10分）已知：如图AE⊥BC于点E，∠DCA=∠CAE，试说明CD⊥BC
D A
BEC25、已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得四个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性.结论：（1）（2）
（3）（4）选择结论，说明理由。
BABAPAB
P
B
PC
D
C
D
C
D
C
P
1.如图，∠1=∠A，试问∠2与∠B相等吗？为什么？ 2.如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD.3.如图，直线ml,nl，∠1=∠2，求证：∠3=∠4.4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数．第二组---相信自己
5.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.6．如图，BD平分∠ABC，•DF•∥AB，•DE•∥BC，•求∠1•与∠2•的大小关系． 7．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，求证：∠3=∠4.8．如图，已知∠ABC＋∠ACB=110°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O与BC平行，求∠BOC的度数.第三组-----善于思考
9．如图，已知： DE∥AB，DF∥AC，试说明∠FDE=∠A.10．如图，AB∥CD，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE，求∠B的度数.11．如图，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数.12．如图，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试问AC⊥DG吗？请写出推理过程.第四组---转弯抹角
13．如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R.14．如图，已知∠1=∠2, ∠B=∠C，你能得出∠A=∠D的结论吗？
15．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，•∠3=80°．求∠BCA的度数 16．如图，AD⊥BC，FG⊥BC，且∠1=∠2，求证：∠BDE=∠C.4 第五组------感受乐趣
17．如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，若∠DBC=15°，求∠BOD的度数.18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′ 的位置．若∠EFB＝65°，求∠AED′的度数.19．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150°，则∠BEF的度数是多少？ 20．一个长方形ABCD沿PQ对折，A点落到A′位置，若∠A′QB=120°,求∠DPA′的度数.第六组-----寻找规律
21．如图，AB∥CD，EM、FN分别平分∠PEB、∠PFN，求证：EM∥FN.22．如图，AB∥CD，EM、FN分别平分∠AEF、∠DFE，求证：EM∥FN.23．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，求证：AE⊥CE． 24．如图，OC为平角AOB内的一条射线，OE、OB分别平分∠AOC、∠BOC，求证：OE⊥OF.6 第七组------添加辅助线
25．如图，l1//l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3的度数是多少？ 26．如图，AB∥CD，150°，2110°，则∠3度数是多少？
27．如图，已知直线a∥b，在C、D之间有一点M，如果点M在C、D之间运动，问∠
1、∠
2、∠3之间有怎样的关系？这种关系是否发生变化？
28．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E= 140º，求∠BFD的度数。第八组-----角度利用
29．如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，求证：AB∥EF.30．如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.31．如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，判断AB和CD的位置关系，说明理由． 32．如图，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA平分∠EBF的道理.33.如下图，AB∥CD，分别探索下面四个图形中∠P与∠A、∠C的关系.第九组----典型考题
34．如下图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案），选一个答案进行证明.35．如图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°，求证：DA⊥AB.36．如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，求BF与AC的位置关系，说明理由． 37．如图，∠1与∠3互余, ∠2与∠3的余角互补, ∠4 =110°，求∠3的度数.第十组------突破极限
38．如下图，已知AE//BD，∠1=130o，∠2=30o，求∠C的度数 ．
1. 方程思想
几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解.
例1如图1，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2 ∶3 ∶ 4，求∠α、∠D、∠B的大小.
解： 设∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.
因为 FC∥AB∥DE，所以 ∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°.从而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°-3x°.
又因为∠1+∠2+∠α=180°，所以有
（180-3x）+（180-4x）+2x=180.
解得x=36.
所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.
[评注：]解决这类问题，不仅要熟悉图形的性质，还要善于进行等量代换，把未知量和已知量逐步联系起来.当解决问题的过程比较复杂时，思路要清晰，语言表达要严密.
2. 转化思想
在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化.转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化.
例2如图2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED∥BC.试判断∠1与∠2的关系，并说明理由.
解： 因为BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC=90°.故BD∥FG，从而可知∠2=∠3.
因为ED∥BC，所以∠1=∠3.
故∠1=∠2.
[评注：]这道题涉及“相交线与平行线”这一章中的重要知识点，大家要能灵活运用平行线的性质、判定定理.要看准“三线八角”，分清平行线的判定与性质，并能通过图形将条件灵活转化.
例3如图3，一条公路GA修到湖边时，要拐弯绕湖而过.第一次拐弯形成的角是∠A，且∠A=120°；第二次拐弯形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐弯形成的角是∠C，这时的道路CD恰好和第一次拐弯之前的道路GA平行.你知道∠C是多少度吗？
解： 如图3，过点B作EF∥GA，则∠1=∠A=120°.
因为∠ABC=150°，所以∠2=∠ABC-∠1=150°-120°=30°.
因为GA∥CD，EF∥GA，所以EF∥CD.
故∠2+∠C=180°.
从而可得∠C=180°-∠2=180°-30°=150°.
[评注：]在解题的过程中，有时仅利用现有条件不容易得出结果，这时我们就要巧妙添加辅助线，将问题与条件进行转化.
3. 分类讨论思想
在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题.这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论.
例4在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，请你尝试探索∠ABC和∠DEF的关系.
解： 如图4，有两种不同的情况.
在图4（1）中，因为DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.
在图4（2）中，因为DE∥AB，所以∠ABC+∠1=180°.又因为EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC+∠DEF=180°.
[评注：]题中没有给出图形，我们画图时要考虑可能存在的所有情况，以免漏解.
【责任编辑：潘彦坤】
十亿分之一秒——在计算机上测量时间
一个电脉冲在十亿分之一秒里行进了8 英寸．光在十亿分之一秒里掠过了一英尺．今天的计算机每秒钟能运算百万次．
让我们感受一下一台大型计算机能够以多快的速度进行工作，假定我们考虑的时间为半秒．在半秒时间内计算机能够执行以下任务：
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教学过程
一、读一读,看一看
教师在轻松欢快的音乐中演示第五章章首图片为主体的课件.学生欣赏图片,阅读其中的文字.师生共同总结:我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线.本章要研究相交线所成的角和它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直,垂线的性质, 研究平行线的性质和平行的判定以及图形的平移问题.二、观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角
教师出示一块布片和一把剪刀,表演剪刀剪布过程,提出问题:剪布时,用力握紧把手,引发了什么变化?进而使什么也发生了变化? 学生观察、思想、回答,得出: 握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小.如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.教师点评:如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.三、认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质
1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 学生思考并在小组内交流,全班交流.当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时, 教师引导学生用几何语言准确地表达,如: ∠AOC和∠BOC有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.∠AOC和∠BOD有公共的顶点O,而是∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.2.学生用量角器分别量一量各个角的度数,以发现各类角的度数有什么关系,学生得出有“相邻”关系的两角互补，“对顶”关系的两角相等.3.学生根据观察和度量完成下表:
两直线相交 所形成的角 分类 位置关系 数量关系 教师再提问:如果改变∠AOC的大小, 会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗? 4.概括形成邻补角、对顶角概念.(1)师生共同定义邻补角、对顶角.有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.(2)初步应用.练习1:下列说法,你同意吗?如果错误,如何订正.①邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两角的另一条边共同一条直线上.②邻补角可看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.③邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角? 5.对顶角性质.(1)教师让学生说一说在学习对顶角概念后,结果实际操作获得直观体验发现了什么?并说明理由.(2)教师把说理过程,规范地板书: 在图1中,∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD,所以∠AOC与∠BOC互补,∠AOC 与∠AOD互补,根据“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地有∠AOC=∠BOD.教师板书对顶角性质:对顶角相等.强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆: 对顶角的概念是确定二角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.(3)学生利用对顶角相等这条性质解释剪刀剪布过程中所看到的现象.四、巩固运用
1.例:如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.教学时,教师先让学生辨让未知角与已知角的关系,用指出通过什么途径去求这些未知角的度数的,然后板书出规范的求解过程.2.练习:(1)课本P5练习.(2)补充:判断下列图中是否存在对顶角.五、作业
1.课本P9.1,2,P10.7,8.2.选用课时作业设计.课时作业设计
一、判断题: 1.如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角, 那么它们互为邻补角.()2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补.()
二、填空题: 1.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________.若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.(1)(2)2.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________.三、解答题: 1.如图,直线AB、CD相交于点O.(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.2.两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补, 那么它的所成的各角的度数是多少? 课时作业设计答案:
一、1.× 2.∨
二、1.∠AOF,∠EOC与∠DOF,160 2.150
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20130519 初一数学下精品提高班___________． 11 ． 如 图，直 线 AB、CD 相 交 于 点 O，OE⊥ AB，O 为 垂 足，如 果 ∠ EOD=36°，则
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道路两旁的耕地面积，应如何改道？请说明理由，并画出改道的图形．
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如果AE是直线，那么不用想拉，呵呵，直接E点就是C点了。
由于可以是曲线，所以才有了其他不同的选择，因为用线围图形的时候，相等面积时候，圆所需要的线最少，知道吧。
不过这里不需要求出来最小是多少，所以不管它是不是圆弧拉，但我们可以得到它与正方形边上的交点肯定没达到C，第一种情况：E在CB或者CD上，显然正方形对称只考虑一种就可以了，不妨设它在CB上，先不管AE是什么样的曲线，我们连接AE，肯定的知道AE是比线段AE长，(两点之间线段最断嘛)。
因为三角形ABE当中AE是斜边，所以很容易得到：
曲线AE>线段AE>AB=2
第二：E在AB或者AD上的情况，同样只考虑在AB上，也不管AE是什么东东，哈哈。
在AE曲线上任意取一点F，不与AE重复就是，连接AF，EF。肯定的，曲线AE=曲线AF+曲线EF>线段AF+线段EF
三角形AEF中，AF+EF>AB，不用说了吧。三角形两边和大于第三边。
所以
曲线AE>AB=2
其实，有需要的时候，我们可以把AE的最小值算出来的，在这里我就不罗嗦拉
证明：因为∠1与∠3互补
所以DE//BC
所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等)
所以∠2=∠4(对顶角相等)
所以∠1=∠2(等量代换)
(电脑打不出“因为”,“所以:,在写证明过程中,将因为和所以改成三个点的样子)
第二：E在AB或者AD上的情况，同样只考虑在AB上，也不管AE是什么东东，哈哈。
在AE曲线上任意取一点F，不与AE重复就是，连接AF，EF。肯定的，曲线AE=曲线AF+曲线EF>线段AF+线段EF
三角形AEF中，AF+EF>AB，不用说了吧。三角形两边和大于第三边。
所以
曲线AE>AB=2
其实，有需要的时候，我们可以把AE的最小值算出来的，在这里我就不罗嗦拉
证明：因为∠1与∠3互补
所以DE//BC
所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等)
所以∠2=∠4(对顶角相等)
所以∠1=∠2(等量代换)
二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】
1.已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．
1、如图已知，AB∥CD.AF,CF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的一、平行线之间的基本图 交点；求证：F
1B
2AEC.E F
C
D
B2、已知AB//CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ E
D3、将题变为如下图：AB//CD此时A、AEF、EFD和D的关系又如何？你能找出其中的规律吗？
CD4、如图，AB//CD，那么A、C与AEC有什么关系？ E
C
D
E
C E B3、已知：如图
2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC
⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.三、两组平行线构造平行四边形
1．已知：如图，AB是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于G． 求证：AB∥CD ．
2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证DF∥AC．
D
F
42A
(第22B 题)
C
五、寻找角之间的关系
1、如图2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证： AD∥BE。D
3．如图12，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB∥CD；（2）∠2 +∠3 = 90°．
六、翻折
图10
3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
四、证特殊角
1、AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是．
图7 图82、AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF，过点F作 PFEP垂足为P，若∠PEF＝30，则∠PFC＝_____．
3、如图，已知：DE∥AC，CD平分∠ACB，EF平分∠DEC，∠1与∠2互余，求证：DG∥EF.A1、如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和
为．
2、如图（1），已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若
D
5.如图已知直线a∥b，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．
ADC′=20°，则∠DBC=的度数为。
1题）
C
第16题
4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落
在边AB上的点C′处，则∠BDC=__________．
6.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.（1）若∠DEF=20，则图③中∠CFE度数是多少？
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示.图
D F C
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