函数的单调性复习方法与技巧

函数的单调性复习方法与技巧（通用11篇）

函数的单调性复习方法与技巧 篇1

一、知识点

1、函数单调性的定义；

2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：

（1）从定义入手

（2）从图象入手

（3）从熟悉的函数入手

（4）从复合函数的单调性规律入手

（5）从导数入手

注：先求函数的定义域

3、函数单调性的证明：定义法；导数法。

4、一般规律

（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；

（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；

（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（4）设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfgx在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。

二、例题选讲

例

1、求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性。

11y1x2y1xx2x33y13xx23x6 3

练习(变式一)求下列函数的单调区间:

1yx2x32ylog12x2x12

2例

2、如果二次函数fxx(a1)x5在,1上是增函数，求f(2)的取值范围。1

2

例

3、讨论函数fxxaa0的单调性。)x

2ax例

4、是否存在实数a，使函数fxlogax在区间2,4上是增函数？如果存在，说明a

可取哪些值；如果不存在，请说明理由。

练习：（变式一）函数fxlog

备例1.设函数fxax8x9在1,上是增函数，求a的取值范围。x21ax其中a1，证明f(x)在区间0,上是单调函数。

2.（考例4）已知函数f(x)的定义为R，对任意的实数x1,x2都满足f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)>0，且f(2)=3.（1）试判断f(x)的奇偶性和单调性；

函数的单调性复习方法与技巧 篇2

函数的单调性描述的是两变量之间关系的刻画, 常被应用于解不等式, 求最值, 求取值范围等问题中, 高中数学教师可用函单调性的解题思路, 引导学生思考以上的问题, 并引导学生掌握新的解题技巧. 下面结合具体例子来说明函数单调性的几种常用应用方法和解题技巧.

一、函数的单调性在解方程中的应用

方程是一种求解的等式, 它与多种数学知识共通, 并同时存在多种不同求解方法, 教师在进行函数的单调性教学时, 学生往往已经经过了多种基础方程与函数知识的学习, 所以对这些题, 他们已经有一套既有的解题思路, 且能够对方程与函数之间的关系进行自我总结. 然而如果将函数的单调性用到解方程中, 可以给解方程带来新的变化, 教师要做的, 就是在这一基础上, 利用函数的单调性, 对学生的思路进行进一步的扩宽与培养.

现以x3+ 2x + (x + 1) 3+ 1 = 0这一题为例:

由函数单调性的概念, 原方程变形为x3+ x + [ (x + 1) 3+ (x + 1) ] = 0.

设f (x) = x3+ x它在区间 ( - ∞ , + ∞ ) 内为单调增函数, 且f (- x) = - f (x) 为奇函数.

原方程化为:f (x) + f (x + 1) = 0, 即f (x + 1) = - f (x) = f ( - x) .

因为f (x) 是单调函数. 所以x + 1 = - x

即 x = -1/2.

经检验x = -1/2为此方程的解.

以上题为例, 利用函数的单调性来解方程, 就是利用函数单调性的概念, 来求出原方程中f (x) 的单调区间. 以往学生可以用解方程的思路求方程的解, 如果将函数的单调性用到解方程中, 方程的解题方法就能增加.

参看以上的整个解题过程, 该题的结构特征是解题的重点. 学生只要充分注意到题目结构, 就能对方程的解做出迅速的解决. 教师在教授这种方法时, 还可以同时启发学生的思维, 同一道题, 你们能同时运用多少种解法?哪种解法更简洁?学生将学过的知识纵向的比较, 会对数学知识有更深的见解.

二、函数的单调性在不等式中的应用

在学习数学时, 部分学生虽然按照教师的要求熟记公式概念, 但在实际解题时, 往往会因为知识结构的缺陷而导致解题过程失误, 同时他们会发现, 套用例题的解法来做题, 比套用公式的出错率低, 他们因此而走向错误的解题思路.

一旦出现这种情况, 教师就要想办法对学生的思路予以纠正, 就拿不等式来说, 教师可以引导学生将函数的单调性运用在不等式中, 利用它的分类, 换元, 数形结合等方式来求解, 通过证明不等式的过程, 来培养学生自觉运用函数中的数学思维思考问题的能力.

现以一题为例.

已知a、b、c∈R, | a| < 1, | b| < 1, | c| < 1, 求证ab + bc+ ca + 1 > 0.

解:构造函数f (x) = (b + c) x + bc + 1, 只需证x∈ (- 1, 1) 时f (x) > 0恒成立.

当b + c = 0时, f (x) = 1 - b2> 0恒成立.

当b + c≠0时, 一次函数f (x) = (b + c) x + bc +1, 在x∈ (- 1, 1) 上是单调的.

因为f (1) = bc + b + c + 1 = (b + 1) (c + 1) > 0.

所以f (x) = (b +c) x +bc +1在x∈ (-1, 1) 上恒大于零.

综上, 当| a| < 1, | b| < 1, | c| < 1时, (b + c) a + bc + 1> 0恒成立, 从而得证.

在这个例题中, 不等式通过联想构造函数, 同时常量作为变量的瞬时状态, 被置于构造函数的单调区间. 以单调性来证明不等式, 解题方法较为统一, 教师如果能引导学生运用这样的方法解题, 就可以有效培养他们的逻辑能力, 当他们发现用概念解题也不会出错时, 他们的数学思维就会得到自行纠正.

三、函数的单调性在求参数的取值范围中的应用

有些学生在解较难或较复杂的数学题时, 有时会因为已知条件的属性太多, 或不认真等原因, 因为漏掉条件而出错, 如何让学生有效的利用已知条件求取未知, 是教师培养学生掌握解题技巧的关键.

教师要让学生明白, 函数的单调性求参数的取值范围, 是将问题转化为不等式的恒成立问题, 它需要的数学思想与数学方法较多, 在大多数情况下, 题目中的所有条件都要运用, 并且缺一不可. 对学生来说, 它主要考验知识点的结合与应用, 这也相当于要求教师在前期教学中打好扎实的基础, 要做到这一点, 教师首先就要让学生明白, 健全完整的数学思维是很重要的, 只有将学到的知识科学的学以致用, 才能让它为自己创造更多的价值. 以下题为例:

已知a为实数, f (x) = (x2- 4) (x - a) , 若f (x) 在 ( - ∞ , - 2]和[2, + ∞ ) 上都是递增的, 求a的取值范围.

解:f ' (x) = 3x2- 2ax - 4在 ( - ∞ , - 2]和[2, + ∞ ) 上非负.

f ' (x) = 3x2- 2ax - 4的图象为开口向上且过点 (0, - 4) 的抛物线, 由条件得

所以a的取值范围为[- 2, 2].

函数单调性教学实录与反思 篇3

关键词：函数单调性；实录；数学思维

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-049-03

本课教学目标：（1）通过观察函数的图像，直观说出函数的单调性和单调区间；（2）由特殊到一般发现、探究函数的单调性，并会用数学语言描述函数的单调性；（3）通过例题的探究，会模仿例题用函数单调性的定义证明函数的单调性。

教学重点是函数单调性的应用，难点是发现、探究函数单调性的定义，有意识培养学生的数学思维习惯。

一、课堂实录

1、函数单调性概念的生成

师：初中我们学习过一元一次函数和一元二次函数，请同学们作出函数 的图象以及 的图象。

（由学生展示 以及 的列表和图象，略。）

师：对于函数的图 的图像，你观察到什么？ >0）的图象，你又观察到什么？它们的图像有什么共同特征？

生：图像是上升的。

师：能否确切一点，图像是如何上升的？

生：从左向右看，图像是上升的。

师：很好。这是我们从小养成的直观经验，它是我们数学思维的起点，这种直观感觉往往为我们解决数学问题指明了方向，但仅仅有直观描述还不够，还需用更简明的逻辑方式来表述。换句话说，就是用抽象的数学语言描述直观的形，具体到上面的函数图形，这种上升的趋势，你能用变量 、 描述吗？

生： 随 的增大而增大。

师：这位同学的回答不仅看出了图像的变化，还结合了函数概念的本质即自变量 和函数 来讨论。非常好。这是我们初中研究问题的思维方式，经验型思维向逻辑思维过渡，但这种描述还是建立在直观的基础上，就是把这种直观感知用数学的语言来描述。那么，我们是否还能用数学式子来刻画这种函数 随自变量 的变化而变化的关系呢？请同学们观察函数 的列表，自变量 的两个值，与之相对应的函数 的的两个值，你能用数学式子来表示吗？（同学们陷入思考）

生：表1中取两组变量，当 。

生：表1中再取两组变量 ，有 。

生：我们也取了两组值，也有当 。那我们能不能说对任意的有x1、x2，和相应的y1、y2。当 ，都有 。

（师将探寻的目光转向同学，但没有作出回答。同学们就此展开了讨论，得到了肯定的答案。）

师：那也就是说，对与函数 来说，图像是上升的，即 随 的增大而增大；还可以表示为对于函数定义域内的任意两个变量 、 ，当 ，都有 。反过来成立吗？即能不能说对于函数定义域内的任意两个变量当 、 ，当 ，都有 ；也可以说 随 的增大而增大；也可以说函数的图像是上升的？

生：可以，因为这里的 、 是任意的。

师：同学们考虑一下我们刚才从对自变量 取特殊值1、2或2、3或其他两个值时得到的结论推广到一般。反过来，对于任意函数我们能否通过两组特殊值当 。就得到这个函数的图像是上升的呢？

生：（在黑板上画出一个函数的图像，略），在此图像上取这样的两个点，当 时，有 ，而图象是先下降再上升的，这说明这里的任意性不能用特殊值代替。

师：很好。这种由特殊值成立，推广到一般结论，是我们数学中常用的一种思维方法，体现了规律的发现过程。但是这种只有特殊值成立，而一般结论不一定成立。

师：象满足这样的数量关系的数学式子的函数在这个区间上是增函数。这个区间就叫做函数的单调增区间。你能确切的给出函数是增函数的定义吗？

生：对于函数 在其定义域内的某个区间I上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间上是单调增函数，该区间叫该函数的单调增区间。

师：在这里为什么要强调定义域内的某个区间上，而不是整个定义域呢？

生：比如，我们开始做的函数 的图像，在想 时，图像是下降的，函数在 时不是增函数；而当 时，图像是上升的，即函数在 才是增函数。

师：你认为函数在 时是什么函数呢？

生：应该是减函数。两个相对嘛。

师：很好，这位同学运用了类比推理。那你能给减函数下个定义吗？

生：对于函数 在其定义域内的某个区间 上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间 上是单调减函数。

师：很好，非常准确地定义了函数的单调增区间和单调减区间。函数的增减性，我们称为函数的单调性。刚才我们探讨的函数单调性的过程，就是一个严谨的逻辑思维的过程，希望大家能好好体会。

（通过课堂上经历函数单调性概念的生成过程，体验逻辑思维的展开。）

2、函数单调性概念剖析和应用

师：请同学们认真阅读我们刚刚探讨的函数单调性的概念，你认为哪些词语比较关键，请指出来。

生：定义域内的某个区间上，是指特定的区间，说明不一定是整个定义域；任意两个变量 、 而不能用具体数值来代替。

师：回答的很好，函数的单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，是函数的局部性质。尽管是局部性质，也是在一定区间上的本质属性，即刚才说的特定区间的性质，它为我们认识函数带来了方便，也可以推广到对其他事物的认识。在定义域内就是某一事物存在的条件，定义域变化，函数将会发生变化，事物的性质也会发生变化，这就需要具体问题具体分析。还有同学要补充吗？

生：单调区间是定义域的子集。

师：很好，这位同学又结合函数的三要素进行了分析。刚才，我们讨论了函数单调性的概念，用直观感知了单调函数图象的变化，即儿童时代的思维形式，这是我们思维的逻辑起点；在直观描述的基础上，同学们用语言定性地描述了单调函数的变化，即用少年时代的思维方式，已经带有明显的逻辑思维特点；最后我们又用数学表达式定量地刻划了函数的单调性，即我们用严密的逻辑思维方式准确表述了函数单调性，这是典型的数学思维方法，具体说来，就是我们使用了数学思维中的数形结合、集合、对应等逻辑思维方法。而这种思维方法是我们学习数学常用的的方法，我们要逐步适应它，从思想上接受它，并自觉的使用它，而不是让今后的教学内容适应你。

下面我们结合具体例题，体会函数单调性的实际应用。

例1观察函数的图像，写出函数的单调区间。学生自主完成，没有难度。学生之间交流后到黑板上展示。

师：这是应用了直观感知来解决问题，是不是我们学习了高中数学知识，直观感知的思维就可以否定呢，当然不是，直观感知往往会给我们指出问题的方向，有了方向，才有努力的目标。

这里还要注意一个问题，函数的单调性是在某个区间上体现的，同样是单调性相同的两个区间，即本题中的两个单调性相同的区间能合在一起吗？举出例子。

生：不能。在同一个区间上取值时，函数是单调的，当两个值取在不同区间时，就不能满足，所以这两个值没有任意性。

（有些同学有疑惑，同组展开讨论。）

师：例2，用定义证明函数 在( 上是增函数。请同学们讨论一下如何用定义证明函数的单调性。

生：在区间( 任取两个值 、 ，当 时，总有 。

师：请你把你的想法展示给大家。

生：（在黑板上完整地展示过程）在区间（ 上任取两个值 、 ，当 时， , ， ，故 ，即 ，亦即 。所以函数 在 时是增函数。

师：从这里大家可以体会逻辑推理的严谨性，以及用定义证明的形式化方法。数学本身就是形式化的科学，形式化在数学的学习中有很多应用。咱们讨论的函数的单调性的证明就是形式化的应用。观察函数的图象可以直观感知函数的变化趋势，以及确定函数的单调区间，但它不能代替严格的证明。

师：同学们，我们再观察函数 与函数 的整体图像，大家下去思考函数图像具有怎样的性质，这是我们下一节要讨论的内容。下面同学们回顾本节学习内容，并作出小结。

（师生共同总结，略。）

二、教学分析和反思

函数的性态常常可以用图像清晰的表现出来。学习函数单调性时，用简单的函数的图像更容易时学生观察和概括。本节课就是引导学生通过概括“函数单调性”概念，结合一次、二次函数理解函数单调性及其几何意义，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质。这节课内容比较简单，但从简单中让学生理解函数单调性的实质，体验数学的思维方式与方法。课堂中始终贯穿思维方法这条主线，在学习数学知识的同时，和同学们一起数学的思考，数学的概括；学习内容的设置注重知识的结构化和内在一致性，使得知识的学习具有连贯性；课堂组织形式灵活多样，为学生发现、探索新知创造条件。这节课能够获得学生认同，我认为主要有以下方面的原因：

1、精心设计教学内容与组织形式，使学生的课堂学习始终贯穿数学思维方法的探索与体验

教师的课堂组织形式要致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。人们只有通过练习解决问题和努力于发现，方能学会探索方法。一个人越有这方面的实践经验，就越能把学习所得归纳成一种解决问题的习惯，在学习时体会发现、概括的快乐，培养学生学习的兴趣。而这种良好的思考、探索的习惯不仅有利于数学的学习，也有利于培养他们对生活的兴趣和热爱。本节课，不管是概念的教学还是应用概念解决数学问题，都是学生在教师的引导下，单人或小组探索、发现、归纳、总结及应用，通过这种教学的方式，形成学生思考的习惯，培养学生思考的能力和意识。在本节课上，教师教授数学概念的过程的方法：教师通过适当的引导，设置相应的问题，课堂讨论等形式，使学生进入学习的情境，使学生自行推论出函数单调性的概念，并经历由特殊到一般的逻辑推理过程。在运用概念解决问题时，通过教师相应的引导、适当的举例、课堂讨论等形式，让学生自行推论出相关的解题过程，把所学习的数学概念应用于解决数学问题。在教学的过程中，问题的设置是一个关键，是提起学生兴趣把握教学内容逐步推演展开课堂教学内容的钥匙。教师要精心抛锚：课堂初始要精心设计；课程过程中，要根据回答的问题、情景随机应变，让学生根据抛出的问题开展思索、探讨。

2、充分利用学习卷（导学案），注重教学过程的结构化形式和内在一致性

数学课堂的教学要呈现出一定的结构化特征。主要步骤如下：在学习卷的编写中将新授知识与学生的原有知识相联系；本节课就通过简单的一元一次函数、一元二次函数的直观图形和函数单调性对接，从对图形的逐步严密的描绘中概括函数的单调性。通过学生对学习卷的预习明确学生对已有知识的掌握程度以及对新授知识的初步了解，在此基础上，教师提出本节问题，师生共同探究，学生动手操作，共享实验结果；整理实验数据；验证、修改假设；探讨规律；明确尚未解决的问题，为下一个教学内容做铺垫。

上述教学步骤使得学生的知识习得过程具有联贯性。学生可以根据原有的知识，设计实验，逐步推演，获得新知，并成为下一轮学习的基础。

3、关注数学知识系统性，教学活动建构在学生已有认知、思维、情感上

本节课从学生的已有知识出发，师生共同经历了函数单调性的形成过程，了解了函数单调性概念的实质；获得了探讨规律的一般方法；形成了函数单调性的概念及其应用；发展了学生的逻辑思维能力。

教师的课堂组织形式只有建立在学生已有知识的基础上，才能激发学生的求知欲；在此基础上把握学生思维发展的特点，才能致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。课堂上特别关注学生的讨论，鼓励学生发言，肯定学生发言的视角、内容，激发学生的热情和思考的深入在学习中使同学们探索、表现、成功的快乐。

课堂教学在知识学习的过程中，实现师生间、生生间情感的交流，使情绪、情感、知识、思维、活动互相交融，师生共同完成学习活动，始终体现“教师为主导，学生为主体”新课程教学理念。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版［M］．北京：人民教育出版社2009.

[2]普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003.

[3]钱佩玲．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，2008.

[4]〔美〕R•柯朗，H•罗宾．什么是数学—对思想和方法的基本研究［M］．上海：复旦大学出版社，2008.

函数单调性教学与反思 篇4

教学内容：

（一）引入课题

我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说出人口出生的大致变化情况。我们可以很方便地从图象观察出人口出生的变化情况，对今后的工作具有一定的指导意义。

下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的单调性。

（二）形成概念

1、观察引入

演示动画（1）函数y=2x+1随自变量x 变化的情况

（2）函数y=-2x+1随自变量x 变化的情况

（设计意图：由初中知识过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性）

2、步步深化

演示动画(3)函数y=x2随自变量x 变化的情况，设置启发式问题：

(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点？

(2)指出在y轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律？(3)如果在y轴右侧部分取两个点（x1，y1），（x2，y2），当x1

(4)如何用数学符号语言来描述这个规律？

教师补充：这时我们就说函数y=f(x)=x2在(0,+ )上是增函数.(5)反过来，如果y=f(x)在(0,+ )上是增函数，我们能不能得到自变量与函数值的变化规律呢？ 类似地分析图象在y轴的左侧部分。

（设计意图：通过启发式提问，实现学生从“图形语言”“文字语言”“符号语言”多方面认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换，另外，我认为学生对“任意性”较难理解，特设计了（3）、（4）问题，步步深入，从而突破难

点，突出重点。）

3、形成概念

注意：（1）变量属于定义域

（2）注意自变量x1、x2取值的任意性

（3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1)

（设计意图：体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。）

（三）深化概念

例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.(通过讲解例1，让学生学会通过观察图象写出函数的单调区间。)例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1

11xx－=21,（注意变形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ )，得x1x2>0, 又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)= 1在(0,+ )上是减函数.x(此题是为了进一步加强证明的规范性，严谨性)（设计意图：通过例题的教学，有助于学生内化所学的概念，建构新的知识体系，在例题教学中通过学生的交流，实现师生互动；通过教师针对性点评，有利于深刻理解概念。）

（四）即时训练 课堂练习：

1、书P60 练习1（请同学口答）

2、判断函数f(x)=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你

1x的结论.（设计意图：一个新知识的出现，要达到熟练运用的效果，仅仅了解是不够的，一定量的“重复”是有效的，也是必要的，所谓“温故而知新”、“熟才能生巧”。）反思：

函数单调性是函数的一个重要性质，并且学生是头一次接触函数的单调性，陌生感强。函数单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，这样会增加学生的负担，不利于学生学习兴趣的激发。学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念。进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应。学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量x的增大函数值y增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势通过一组常见的具体函数例子，引导学生借助初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的图象，从函数图像分析入手，使学生对增、减函数有一个直观的感知。从图象直观感知函数的单调性，完成对函数单调性的第一次认识。

教学中，通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征。进一步给出函数单调性的定义。然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念。

函数的单调性 篇5

（学生朗读．）

师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．

师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）

师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．

（指图说明．）

师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．

（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）

生：较大的函数值的函数．

师：那么减函数呢？

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．

（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）

师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

（学生思索．）

学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的`函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．

（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）

师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．

师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

师：“属于”是什么意思？

生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

生：可以．

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

（让学生思考片刻．）

生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．

师：那么如何来说明“都有”呢？

生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．

（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

三、概念的应用

例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

（用投影幻灯给出图象．）

生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，

（增或减）．反之不然．

例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

（指出用定义证明的必要性．）

师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a―b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

所以f（x）是增函数．

师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

小．

（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

调函数吗？并用定义证明你的结论．

师：你的结论是什么呢？

上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．

生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

上是减函数．

（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：

（1）分式问题化简方法一般是通分．

（2）要说明三个代数式的符号：k，x1・x2，x2-x1．

要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？

（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

五、作业

1．课本P53练习第1，2，3，4题．

数．

=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

课堂教学设计说明

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．

《函数的单调性》教学目标 篇6

《函数的单调性》

教学目标： 1.知识目标 ①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； ②会求函数的单调区间.2.能力目标 ①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力.②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力.③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感目标 培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验.教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.教学难点：函数单调区间的求法.《简单的幂函数》

教学目标：

1．了解指数是整数的幂函数的概念;能通过观察总结幂函数的变化情况和性质;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法

3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力，引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图和画图中获得乐趣。教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念.教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

《正比例函数》

教学目标：知识与技能： ⑴理解正比例函数及正比例的意义；

⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系； ⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

过程与方法： ⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作 实践，体验“描点法”； ⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法

情感态度与价值观： 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合 作交流、独立思考的学习习惯．

教学重点： 理解正比例和正比例函数的意义

教学难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系

《体积和体积单位》

☆【教学目标】

1.让学生初步建立起空间大小的概念，知道“体积”的含义，发展学生的空间观念。2.让学生通过观察、操作、实验体会并理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方毫米。

3.初步掌握计量物体的体积的方法，能选择恰当的体积单位估算常见物体的体积。4.培养学生的实验能力、观察能力以及合作学习的能力，扩展学生的思维，进一步发展学生的空间观念。

【教学重点】使学生感知物体的体积，初步建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的体积观念。【教学难点】帮助学生建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的表象，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

☆ 【教学目标】

1、通过实验观察，使学生理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。

2、使学生知道计量物体的体积，就要看它所含体积单位的个数。

3、使学生初步了解体积单位与长度单位、面积单位的区别和联系。

4、通过学生对体积意义的探索，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力。

【教学重点】使学生感知物体的体积，掌握体积和体积单位的知识。

【教学难点】使学生建立体积是1立方米、1立方分米、1立方厘米的空间观念，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

《轴对称与坐标变化》

教学目标 【知识目标】：

1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。【能力目标】： 1．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力。【情感目标】 1．丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。2．通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知

欲，能积极参与数学学习活动。3．通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点： 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。

教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

《倍的认识》

☆教学目的：

1、初步建立“倍”的概念，理解“几倍”与“几个几”的联系。

2、培养学生观察、推理、迁移能力及语言表达能力。

3、培养学生善于动脑的良好学习习惯和对数学的学习兴趣。

4、培养他们的创新意识和实践操作能力。

教学重点：初步建立“倍”的概念。理解和掌握：“一个数是另一个数的几倍”的含义 ☆教学目标：

1、基本目标

（1）学生紧密联系生活实际，通过操作，把“倍”的概念与学生已有的认识基础“份”联系起来，理解“倍”的含义，建立“倍”的概念。

（2）学会分析一个数是另一个数的几倍的实际问题的数量关系。（3）学生在学习过程中体会数学知识之间的内在联系，发展观察、比较、抽象、概括和合情推理能力。（4）学生在情境中探究解题的过程，体会探究带来的成功体验。

2、发展目标

（1）学生充分体验数学与日常生活的密切关系，培养生活中的数感。（2）培养学生积极探究、大胆尝试的自主学习能力和同学间协作互助的精神。

（3）学生进一步体会数学与现实生活的联系，培养学生认真观察、善于思考的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和信心。

教学重点：建立“倍“的概念。

判断常见函数单调性的几种方法 篇7

由于单调性的确定方法多样, 是一个系统的复杂工程, 为降低难度, 经我多年研究, 确定函数的单调性可以有顺序地选择以下方法.

方法一:判断函数是否是已知的8个初等函数然后按其性质直接得出单调性;

方法二: 判断函数是否为已知的8个初等函数的复合函数, 可用“同则增、异则减”的方法确定函数的单调性;

方法三:求导数, 由导数的正负确定函数的单调性;

方法四:利用定义进行证明, 确定单调性.

因为以上四种方法我们是有顺序地选择的, 所以在研究函数的单调性方面, 方向明确, 思路清晰, 效果显著.

下面我以2013年全国高考 (山东) 卷真题为例说明单调性的确定方法过程.

例1.【2013年山东理8题】

函数y=xcosx+sinx的图像大致为 ()

分析:直接作图显然不可能, 所以只有通过“性质”排除. “性质”中我们首先分析单调性.因为不属于方法一、二两类故选用方法三.

∵y′=2cosx-xsinx, 当x∈ (0, π ) 时 , y是增函数 , 结合f (π/6) =-π<0函数的奇偶性, 故选D.

点评:1.研究函数的性质是作“草图”的重要手段, 所以图像问题也是性质问题, 进而考查了单调性、奇偶性知图像;2. 单调性的确定有顺序, 方法固定, 因此成了解决问题的切入点, 降低了本题的难度.

例2.【2013年山东理12题】

点评 :1.最值问题就是函数的单调性问题 , 我们连续 使用方法一、方法二确定函数的单调性, 问题得解;2.为使用“方法”将代数式作合理简化、变形, 达到使用“方法”的目的.

例3.【2013年山东理21题】

设函数 (e=2.71828…是自然对数的底数, c∈R) .

(1) 求f (x) 的单调区间, 最大值;

(2) 讨论关于x的方程|lnx|=f (x) 根的个数.

点评:1.对于“复杂”函数的单调性, 很自然、合理地使用方法三 (因为方法一二无法解决) ;2.图像问题、最值问题、零点问题等, 几乎都是单调性问题.

关于复合函数的单调性问题 篇8

一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：

例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a•0>0g(1)=2-a•1>0 ，解得a<2，∴1

二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：

例2讨论函数y=㏑(x2－4x+3)的单调性

解：令y= ㏑u，u= x2－4x+3，由x2－4x+3>0知函数的定义域为x＜1或x＞3

因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，

在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：

例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )

(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]

解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，

在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，

根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得

2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .

例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u

∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及

[ ，+∞)是u的取值范围)

因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ )

所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ()

(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；

(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则

(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，

由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，

u在x∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，

由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，

在x∈(0， 1]上是减函数，

∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数.

函数的单调性教学设计 篇9

设计理念

新课程背景下的数学教学既要注重逻辑推理，又要关注直觉思维的启迪，不仅要让学生学会，更要让学生会学，要让学生学习的过程成为其心灵愉悦的主动认知的过程．基于以上设计理念，对于本节课，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价等六个方面进行简单说明。

一、教材分析

函数的单调性是在研究函数的概念之后的第一个函数的性质，既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容奠定了基础，同时为初高中知识的衔接起着承上启下的作用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。根据函数单调性在教材中的地位和作用及课程标准的要求，本节课教学目标如下： 知识与技能

使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判定函数单调性的方法； 过程与方法 通过探究活动渗透“ 数形结合”思想，使学生明白考虑问题要细致缜密，说理要严密明确。

情感态度与价值观 感受数形结合的数学之美，使学生认识到事物在一定条件下可以相互转化的辨证观点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成．

虽然高一学生对函数单调性有一定的感性认识，但抽象思维能力还有待加强．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成与应用．

二、教法学法

1．在教法上采取了：通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性，从而正确形成概念 ． 2．在学法上重视了：让学生利用图形直观启迪思维，通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．

3．教学手段：借助信息技术辅助教学，提供直观感性材料，他不仅可以激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，促进师生交流，提高课堂的交互性。

三、教学过程

下面我们来重点探讨本节课的教学设计和整合点分析。

以课前学案的形式，布置个学习小组利用几何画板作出下列函数的图象。意在健全学生的基础认知结构，熟练几何画板的操作，同时可以感受函数图象变化趋势，为教学做好准备。

教学情境引入，采用天气预报声音文件和幻灯片同步播放的方式。在传统教学模式中，恰当地创设情境往往受很多条件的限制，而幻灯片展示图片资料方便快捷，天气预报声音文件的使用激发学生的学习兴趣。

教师趁势展开定义生成的探究活动。要生成定义就要由描述性语言过渡到数学语言，这是认知过程中一个质的飞跃。也是本节教学的一个难点。我借助几何画板的同步直观演示，帮助学生探究增函数的一大重大特征：因变量随着自变量的增大而增大。进一步引导学生探究发现，在某些区间因变量随着自变量的增大而减小。自变量在给定区间变化的重要性。从而生成了增函数的概念。利用信息技术突破了本节课的教学难点。在定义生成的规程中，我们发现有大容量的板书，借助幻灯片展示文本信息，方便快捷。教师可以借助多媒体帮助学生分析图象，进一步理解函数概念。

组织学生小组探究函数的单调性，并请小组代表展示探究成果。

学生刚接触定义，运用并判断函数单调性的能力有待提高.而小组合作可提高学习热情，画图观察便于学生先根据“形”判断单调性；实物展示平台展示绘图成果便于绘图经验的示范与推广．

在交流与练习中，观察函数图象规律是“数形”结合解题的关键，但手绘图象往往耗时较长.学生借助几何画板软件分析函数的单调性，信息技术的介入帮助学生“数形”结合解题，使其体会到手脑并用、成功解决问题的快乐．教师运用数学实验室无线局域网络的辅助教学,可将主机切换到各小组的操作界面。不仅实现了小组实验表现和结论的展示，又实现了实验资源的共享。解决了在传统教学模式中，各小组间的交流与比较非常困难.作业布置，引导学生运用所学的知识解决生活中的常见问题“糖水加糖甜更甜”的生活现象。通过数学建模，构造以糖的份量为自变量的xy浓度函数，通过操作几何画板，学生可以轻松地发现随着糖x1份量的增加，糖水的浓度也增大，从而运用数学知识解决了化学问题。也让学生意识到知识来源于生活，更能应用于生活。

教学反思，本节课的教学是以实验活动为中心，以探索数学规律为出发点，以学生的可持续发展探究能力为培养目标。是将信息技术与课堂教学整合的一次新的尝试。在教学过程中，大量加工处理并使用了声音、图片、动画、几何画板、实物展示平台等多种信息技术，进而突出重点，突破难点。不仅把信息技术作为教学的辅助手段，也作为促进学生自主学习数学知识的认知工具和情感激励工具。

教学评价。参与程度、合作意识、思考习惯、发现能力。尤其是在分小组实验中，基础薄弱的同学容易产生厌怠的情绪，而且承担的任务量较小。针对这种现象，采用分层教学。

总之，这节课达到了预设与生成的辩证统一。从课后反馈的效果来看，我的教学是成功的。最后，是我的板书设计。谢谢大家！

（一）创设情境 提出问题

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．首先创设情景，通过两个问题，引发学生学习的好奇心．

（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2009年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

（二）探究发现 建构概念

[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。

[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当家集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．

时，都有

”，最后由大

（三）自我尝试 运用概念

1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？

（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：，，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．

[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画的草图和标出的单调区间，并指出学生回答时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．

[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．

[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．

[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．

[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和步骤：取值、作差变形、定号、判断．

[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

（四）回顾反思 深化概念

[教师活动]给出一组题：

1、定义在R上的单调函数函数还是单调减函数？

2、若定义在R上的单调减函数取值范围吗？

[学生活动]学生，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的互相讨论，使学生在探求问题的解答和问题的解决过程中，深切体会本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：

（1）阅读教材

（2）书面作业：

必做：教材 P43 1、7、11 选做：二次函数一吗？

在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯

满足，你能确定实数的满足，那么函数

是R上的单调增探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．

[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

四、教学评价

函数的单调性教学设计 篇10

1．设计构思： 1.1设计理念：

本设计基于学生的认知规律，在设计时将尽可能采用探索式教学，让学生自己观察，主动去探索。而教学时尽可能够顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决问题（练习）。而教师在整个过程中充当引导者、组织者，注重培养学生的归纳发现能力、理论证明能力、多位拓展能力等。

1.2教材地位和作用：

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅是前面所学函数知识的延伸，更为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

1.3 教学目标的设计： 重点：函数单调性的概念； 难点：函数单调性的判定及证明； 关键：增函数与减函数的概念的理解。教学目标的确定及依据：

依据教学目标和教育原则，本节知识的特点以及学生已有的知识结构现状，我制定了如下教育教学目标。

（1）、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的基本方法（作差比较法，作商比较法。主要是做差比较法）；了解函数单调区间的概念。

（2）、能力目标：培养学生阅读、自学、分析、归纳能力；抽象思维能力及推理判断的能力和勇于探索的精神。

（3）、情感目标：体会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法。培养学生对数学美的艺术体验。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。培养学生对数学的兴趣。

1.4 教学方法：辅导自学法、讨论探究法、讲授法。

教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示知识的发生过程，提高课堂效率，使教学目标更完美地体现。我将运用现代信息技术辅助课堂教学。使用投影仪对学生探究的成果进行展示。

1．5教学过程： 课题引入（引入---设疑----激趣）-------新授概念（自主探究---成果展示---总结强调）概念应用1（总结探究-------延伸过渡调）概念应用2（引导探究----总结归纳）应用探究（实践-------总结提高）课后延展（再实践-------再提高）2．实施方案

设疑：观察给出的函数的图象，并指出在定义域内的上升与下降情况。激趣：如何用x与 f(x)来描述上升的图象？如何用x与 f(x)来描述下降的图象？

（意图：明确目标、引起思考。给出函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。用提问的方式，简单介绍本节课的主要内容，激发学习兴趣要求学生带着问题阅读教材，通过问题的解决掌握基本内容。有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。）

成果展示 总结强调：

1、单调区间如何理解和划分？

2、增、减函数的定义用语言如何描述？（可以结合初中对函数的描述进行引导）

3、如何从图形上判断单调性？

（意图： 通过展示自学成果，加深对概念的多方理解，让部分学生体会学习的乐趣，从而激发和带动其他同学的学习积极性。另外强调两点：

1、必须在函数定义域上来讨论函数增减性；

2、对于定义域内的某个区间的任意两个自变量成立）

总结探究：对一次函数y=kx+b

1、k的正、负对函数的单调性有何影响？

2、b的变化对函数的单调性有何影响？

（意图：通过讨论使学生深入理解和掌握概念，培养学生的抽象思维能力，培养学生研究数学的能力，学会归纳总结。）

延伸过渡：一般函数除从图形上判断单调性，还有其它证明和判断方法吗？ 引导探究：在例2 的证明中在由x1>x2

时

判断f(x1)，f(x2)大小时 的基本方法是什么？还有其它方法吗？（作商法）

总结归纳：

1、作差时的基本变形有那些？（主要用：分解因式、配方等）

2、什么时候可以用作商法？（意图：学生难以从例题中归纳出判断(证明)方法及步骤，所以在详细讲解的过程中，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。另外通过探究加深对基本方法的掌握，拓宽解题思路使学生容易突破本节的难点，掌握本节重点）

应用探究；

1、函数f(x)=1的定义域什么？ x12、函数f(x)=在定义域上也是减函数吗？

x3、课堂实践（练习）

（意图：通过此题的探究、辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯）。

课后延展：、作业，思考

1、比较一次函数y=2x+3和二次函数y=x2的图象上有最低点和最高点吗？

2、通过图象观察函数值有最大或最小值吗？

浅谈函数单调性的应用 篇11

1． 函数单调性应用的常见几类问题

1．1 定义证明函数的单调性

利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念

例1 讨论f(x)=1-x2在区间［-1,1］上的单调性

解：设x1,x2∈［-1,1］且x1＜x2即-1≤x1＜x2≤1

则f(x1)-f(x2)=1-x21=1-x21-(1-x22)1-x21+1-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x21+1-x22

当x1＞0，x2＞0时x1+x2＞0那么f(x1)＞f(x2)

当x1＜0，x2＜0时x1+x2＜0那么f(x1)＜f(x2)

故f(x)=1-x2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x2在区间［0,1］上为减函数

1．2 利用函数单调性比较大小

比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.

例2 比较20062007与20072006的大小

解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时nn+1＜(n+1)n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)n下面构造函数f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)n

构造函数f(x)=xx+1(x+1)x(x≥3)则有

f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)x=(x2+2x+1)x+1-(x2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)x＞0

所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加

因为f(3)=3443=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)n＞1

即nn+1＞(n+1)n 所以20062007＞20072006

1．3 求函数最值

根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决

例3 已知数列{an}中，a1=1且点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

（1） 求数列{an}的通项公式

（2） 若f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值

解:（1） 因为点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

所以an+1-an=1 由{an}是首项和公差为1的等差数列 故an=n

（2） 因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n

f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n

=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0

所以f(n)为增函数 由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)min=712

1．4 函数单调性在不等式中的应用

不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.

例4 a,b∈R+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.

解 由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜ab≤a+b22=14

令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x2

显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数 当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254

所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254

1．5 利用单调性解决数列问题

数列{an}中的an是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.

例5 已知an=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),

若an＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值

解 因为an=1n+1+1n+2+…+13n+1 an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4

则an+1-an=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3

=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0

所以an+1>an所以数列｛an｝是递增数列

{an}min=a1=12+13+14=1312

则由2b-5＜1312可解得b＜7324

2. 函数单调性在高考中的应用

函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.

例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？

解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22

又y=2x是增函数 所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)

1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立

2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34

即34≤x＜134≤x＜1

3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解

综上x取值范围34,+∞