导数的应用教学反思

导数的应用教学反思（精选8篇）

导数的应用教学反思 篇1

1、知识与技能（1）掌握利用导数研究函数的单调性、极值、闭区间上的最值的方法步骤。

（2）初步学会应用导数解决与函数有关的综合问题。

2、过程与方法

体验运用导数研究函数的工具性，经历运用数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法解决有关函数问题的过程。

3、情感态度与价值观

培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。

二、重点、难点

重点：应用导数解决与函数的单调性、极值、最值，零点等有关的问题。难点：深刻理解运用导数研究函数的工具性以及应用导数解决与函数有关的综合问题。

三、学习过程 １．知识梳理：

函数的单调性与导数

（１）设函数 y=f(x)在某区间可导，若f ´(x)>0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)<0,则y=f(x)在该区间上是_____________． 若f ´(x)=0,则y=f(x)在该区间上是_____________．

（２）函数 y=f(x)在某区间可导，f ´(x)>0（f ´(x)<0）是函数 y=f(x)在该区间上单调增（减）的____________________条件

函数的极值与导数

（１）函数f(x)在点

附近有定义，如果对

附近的所有点都有f(x)

如果对

附近的所有点都有f(x)>f（）则f（）是函数f(x)的一个________；

求函数y=f(x)的极值的方法是 当f ´()=0时，如果在 x0 附近的左侧f ´(x)>0,右侧 f ´(x)<0,那么f（）是___________．

如果 附近的左侧f ´(x)<0,右侧 f ´(x)>0,那么f（）是______________．（２）f ´(x)=0是函数 y=f(x)在 处取得极值的_______________条件.函数的最值与导数

函数f(x)在［a,b］内连续，f(x)在（a,b）内可导，则函数f(x)在［a,b］内的最值是求f(x)在（a,b）内的极值后，将f(x)的各极值与___________比较，其中最大的一个是_________,最小的一个是__________.师生活动：学生课前自主探究，课上教师点评。

[设计意图]：知识梳理,辨识易错点，帮助学生形成良好的认知结构。2.自主探究，成果展示

问题

1、求下列函数的单调区间（1）.㏑x（2）

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数单调性的方法与解题步骤，这类问题容易忽略函数的定义域;单调区间的规范定写法（不用“ ∪ ”）以及使导数为零的点的处理（导数大于零是函数为增函数的充分不必要条件），因此针对以上可能出现的问题，首先让学生独立思考，针对出现的问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整的解决

问题

2、已知 在R上是单调减函数，求 的取值范围。

变式1 若函数f(x)= x³-3ax+2的单调递减区间为(0,2)，求实数a的取值范围； 变式2 若函数f(x)= x³-3ax+2在区间(0,2)上单调递减，求实数a的取值范围.[设计意图]：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查，“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给的区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给的区间是恰好是函数的单调区间，因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯。

问题

3、已知函数f(x)=x³-ax²-bx+ 在x=1处有极值10，（1）求a、b的值;

（2）函数f(x)是否还有其它极值？（3）求函数f(x)在区间[-1，4]上的最值。

[设计意图]：设计上述问题，主要目的是使学生进一步熟练用导数研究函数极值、最值的方法与解题步骤，导数为零是函数有极值的非充分非必要条件。首先让学生独立思考，此题很多同学可能求出a、b的值后忘记检验，针对出现的问题，通过学生讨论，争论，教师讲评，达到对问题的共识。

问题4、试讨论函数f(x)=x³-6x²+9x-10-a(a ∈R)零点的个数

[设计意图]：此题旨在培养学生运用导数解决与函数有关的综合问题。函数、方程、不等式是相互联系不可分割的一个整体，导数作为研究函数的一种工具，必然也是研究方程、不等式的工具，讨论函数零点的个数也是利用导数求函数极值深层次的应用，应让学生细心体会，并能灵活运用。

问题

5、已知函数f(x)=x³-x²-2x+5当x ∈[-1，2]时，f(x)

变式：（1）若将f(x)m呢？

（3）若将f(x)

（4）若将当x ∈[-1，2]时，f(x)

[设计意图]：运用导数研究与函数有关的恒成立问题也是利用导数求函数极值深层次的应用，是非常重要的一种题型，在高考题中经常出现，对培养学生的思维能力及解决综合题的能力很有帮助。

3、当堂检测、巩固落实

（1）、函数f(x)= 3x³-x+1的极值为_________________________（2）函数f(x)=㏑x-ax(a>0)的单调增区间为_________________________（3）函数f(x)=x³-6x²+9x-10零点的个数为________________________（4）已知函数f(x)=x³-12x+8在区间[-3, 3 ],上的最大值为M最小值为m则M-m=______

（5）已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx 在x=1处存在极小值-1，求a、b的值，并求f(x)的单调区间

（6）已知函数 f(x)=x³+ax²+bx+c 在x=-与x=1时都取得极值． ⑴ 求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

⑵ 若对x  [-1, 2 ],不等式 f(x)

[设计意图]：强化训练，巩固所学知识。

四、小结与反思

通过本节课的学习你学到了哪些知识？

掌握了那些数学思想方法？

你认为解题中易出错的地方在哪里？

五、作业 P31第2T,6T.六、课后反思_______________________________________________________

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[设计理念]：体现“生本”理念，从学生的已有经验出发设计问题，让学生经历知识的发生发展过程，在合作交流中形成能力，增长智慧。

[设计亮点]：根据学生的实际情况，设计问题从基础入手，抓住“核心”知识，逐步加深难度，针对在利用导数解决函数的单调性、极值、最值等问题和解题中常见的错误设计一系列的“变式”问题，环环相接，使学生始终处于积极的思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础。

[设计中遇到的问题及解决办法] 在设计的过程中，由于导数在函数中的应用较广泛，如何在有限的时间内使学生高效率的掌握这些知识，形成基本能力成为设计的难点，为了解决上述问题，本文在设计中选取了有利于学生能力形成的核心知识，通过变式整合知识，从而达到提高课堂教学效率的目的。

[教学效果] 课堂上学生积极参与，在师生合作交流中完成知识的建构和能力的提升，课堂教学效果良好。

[教后反思]：

导数的应用教学反思 篇2

一、注重对学生学习兴趣的培养

兴趣, 对人们从事实践活动, 获得知识, 发展智能, 提高能力等是一种强大的动力。微积分的内容在我国的中学教材中几进几出, 根据以往的情况, 《标准》对这部分内容的教育价值、定位、处理上的变化和变化的缘由作出了诠释, 教材也充分体现了《标准》的要求。微积分在数学中的重要地位不言而喻, 那么如何使学生主动接受这一重要的知识及其中蕴涵的数学思想和方法呢?首重任务是要培养学生的学习兴趣。好的开端是成功的一半, 在教学中要引导学生认真阅读本章的导言:“……, 它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造, 被誉为数学史上的里程碑……”。开篇就把学生的思维带入一个充满憧憬的情景中, 在教学中教师又结合具体实例和相关的史料, 使学生产生渴求新知, 探求未知领域的欲望。另外, 教师又创设情境, 引出一些学生常见的但以旧知无法解决的问题, 激发学生的学习兴趣, 使他们把探寻的目光聚焦于“导数”。

二、寓德教学于数学教学之中

微积分是全面认识数学价值的一个较好的载体, 且在现代社会中随处可见 (如运动速度、绿地面积、工厂的“三废”排污率, 人口的增长率, 环境问题等等) 。在教学过程中我们结合教材中的实际例子, 使学生在学知识的同时随之产生一种责任感, 使命感。另外在定积分内容的教学中, 除渗透“以直代曲”的数学思想外, 通过介绍我国古代的相关的数学成就 (如介绍祖冲之的伟大贡献等) , 激发学生的学习兴趣, 培养民族责任感, 激发学生的热情, 树立为振兴中华, 开创未来的崇高理想和为科学献身的远大志向。由于导数及其应用的内容涉及知识较多, 方法灵活, 在教学中除安排学生完成教材上的练习外, 还应适当的增加一些思考题, 给学生一个反复思索的平台, 这种再创造的过程自然可以培养学生的创新能力, 而一段时间的反复思索则可以锻炼学生的坚持性, 培养他们坚忍不拔、百折不挠的意志品质。

三、数学教学中要注意学生的创新意识的培养

21世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代, 社会的信息化, 经济的全球化使创新精神与实践能力成为影响整个民族生存状况的基本因素。由此培养学生的创新精神我国基础教育改革的目标之一。在这章的教学中, 对教材中设置的思考问题应引起足够的重视。如:不同的初始值对求方程的近似解有影响吗?如果有, 影响在什么地方?等等, 教师要积极引导学生对这些问题进行探索, 鼓励学生进行独立思考, 并在此基础上大胆提出新问题。正如当代著名的数学家马丁·加德纳斯所说:“你考虑的可能性越多, 就越容易找到诀窍, 这是所有具备创造能力的数学家的奥秘之一。”

四、在教学中, 加强思维深刻性的培养

中学数学教学的一个重要任务就是对学生进行基础知识教学的同时, 加强对学生思维能力的培养, 并使学生形成良好的思维品质。这其中思维品质的六个方面:广阔性、深刻性、灵活性, 组织性, 批判性、创造性中, 思维的深刻性在本章的教学中也要作为一个重要的内容, 应予以关注。而思维的深刻性是指学生善于深入思考问题, 准确把握问题的本质和规律性联系, 不为表面现象和各种干扰所迷惑的思维品质。在本章导数概念的引入时, 教材中安排几个典型的问题 (如气球膨胀, 高台跳水等) , 这些问题设置为学生建立导数的概念架设了一座桥梁, 我们在教学中应紧紧围绕这些问题, 由表及里, 由浅入深, 层层剖析, 引导学生透过现象看本质———变化率———导数。又如在定积分的教学中, 从曲边梯形的面积出发到汽车行驶的路程这些实际问题入手, 总结归纳出解决这类问题的“四步曲”:分割、近似代替, 求和、取极限。教学的重点应放在思想方法上, 再结合教材中的思考问题以及练习, 不仅使学生建立起导数和定积分的概念, 同时使学生体会到解决数学问题的一般方法, 即从特殊到一般, 从具体到抽象这一认知过程, 培养学生思维的深刻性。

五、通过教学培养学生的自主学习的能力

“要培养工程师使之能适应明天的技术, 那么主要的力量应放在教会学生如何学习, 因为学生将不得不活到老学到老。”所以我们必须对学生的终身教育奠定基础。不仅要传授给学生知识, 还应说培养学生自主学习的能力。这是智力竞争时代的迫切要求, 也是深化教育改革的重要课题之一。在导数及其应用一章的教学中, 利用教材中设置的大量的探索问题, 思考问题作为培养学生自主探索的题材, 培养学生的自己学习的能力。如在变力作功问题中, 探究:如果物体在变力F (x) 的作用下做直线运动, 并且物体沿着与F (x) 相同的方向从x=a移动到x=b (a

论《导数及其应用部分》的教学 篇3

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

（责任编辑 刘 馨）

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02

高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。

课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。

一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述

大纲版教科书是这样定义的：

一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）；极大值与极小值统称为极值。

课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？

二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？

在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。

近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。

我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。

导数的应用教学反思 篇4

陈吾婷

在备《导数的概念》第一课时，对课本内容作了一定的调整，设计了这样的过程：由芝诺著名的一个悖论“飞矢不动”引入，然后利用瞬时速度来解释飞矢在某一点的速度是存在的，然后再转到曲线切线的讨论上来。

应该说，这样的思路很自然，也很有趣。但是在第一节课实际的实施过程中，出现一些问题，使得学生在芝诺悖论之后，就慢慢地变成了“无声”的状态，这主要是一些推导中复杂的符号使然。第一节下课后，很快地做了一个反思，总结了如下几点：

1．在推导瞬时速度时，应该先讲清楚牛顿的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求极限。这样再进行推导，学生就有了方向，而不会象第一节课那样，听得慢，看着复杂的符号就头晕。

在学习理论中，有个“先行组织者”的概念，“先行组织者”是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料，它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。可能在对于这样牵涉到复杂符号的推导时，更需要有这样的一个前提准备。要不然学生就弄不清方向，从而被符号所困。

2．也是在推导瞬时速度时，应该做一个图解，使学生更清楚地看到增量的意义。第一节课正是没有给出图解，虽然对增量做了一定的强调，但是学生对增量的理解依然是抽象而非具体的。

3．推导完瞬时速度后，应该点出对“飞矢不动”悖论的反驳，即在某一点是有速度的。第一节课中忘了说明这一点了，就使得学生不知道“飞矢不动”这个情境有什么用，也不知道与瞬时速度有什么联系。

4．在介绍完曲线的切线后，给出一个很好的例子，即y=|x|在x=0处有没有切线，可以先增加另一个变式——求x=1处的切线，这会使学生认识得更深刻一点。最后最好能指出正如某一点的瞬时速度只有一个一样，某一点的切线也应该只有一条。

经过课间几分钟的反思与调整，第二节课果然清晰了许多，也生动了许多。学生听得也饶有兴致。

课后，有两个学生也分别提出了两个很好的问题。第一个问题是在刚才这一例子中，没有斜率难道就没有切线吗？第二个问题是如果切线垂直于x轴，按导数的解释，如果斜率无穷大——即以前通常所说的极限不存在，那么切线不是也不存在吗？

导数在高中数学教学中的应用 篇5

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数证明不等式

证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证

(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna

在0-lna时,t′(x)>0

t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数

则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数

则p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一个常数x0=-lna(0

导数的应用4—恒成立问题 篇6

高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3.变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。

“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。A组：

1．（1）实数k为何值时不等式ex

kx对任意xR恒成立？（2）实数k为何值时关于x的不等式lnxkx

恒成立？

2．已知函数f(x)x3ax2x1,aR，若函数f(x)在区间23,1

3

内是减函数.求a的取值范围.3．已知函数f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，当x≥1

时，f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－e－

x，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

5．若关于x的方程x2

2alnx2ax（a＞0）有唯一解，求实数a的值．

6．已知f(x)ln(x1)，g(x)11

x1，试证：对任意的x＞0，都有f(x)g(x)成立．

7．已知函数f(x)ex

kx，xR。

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

B组：

1．设函数f(x)

sinx

2cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2．设函数f(x)

lnx

1x

lnxln(x1)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．设函数f(x)

xlnx

(x0且x1)。1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知2x

xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函数f1x

.(I)求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式(1

1n)na

e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.5．设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．

（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln111n1n2n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足

S22

n3n2anSn1，an0，n2，3，4，…．（I）证明：数列

bn2

（n≤2）是常数数列； bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列；

（III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n的增大而单调递增．

7．已知函数f(x)x2

|x1|,g(x)x3ax(a0)，若x1[1,2],x2[2,3]，使得

f(x1)x1

导数的应用教学反思 篇7

一、导数概念的教学

在导数概念的教学中要注意新课的引入和学生的启发, 通过几个具体的例子, 让学生体会观察它们的共同特点, 从而引出导数。教材从变化率入手研究导数, 用形象直观的“逼近”方法定义导数:从函数的平均变化率到瞬时变化率, 再到函数y=f (x) 在x=x0处的导数, 进而到函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内导函数 (导数) 。建议导数概念课以多媒体课件的形式展示, 激发学生学习的兴趣和参与度。例如, 用几何画板展示割线逼近切线, 曲线的切线与曲线不止有一个交点。

二、导数运算的教学

为了使学生能用基本初等函数的导数公式与运算法则求简单函数的导数, 教材在直接给出导数公式及运算法则后, 安排了大量的例题和练习题, 学生通过例题和习题的模仿、操作, 从而熟练掌握此知识点。在导数运算教学中要给学生一定的自主学习时间, 老师只作适当引导, 不必花时间去大讲特讲。其他初等函数的导数公式也可以通过导数定义推导而得, 但教材不作要求, 教学时要准确把握, 不要偏移重心, 影响教学效果。

复合函数的导数对于文科学生没有涉及, 教学中不必再提及。理科生教学中不必介绍复合函数的严格定义, 也不要求证明复合函数的求导公式, 因此建议教学中多配备几个例题, 引导学生理解简单复合函数的复合过程, 知道复合过程中的自变量、因变量及中间变量分别是什么。教学参考明确要求会求形如f (ax+b) 的函数的导数即可, 老师在教学中选用例题、习题时一定要注意这一点, 不作过多的引申。

三、导数的应用教学

导数的应用这部分内容的重点是微积分的基本思想。导数是研究函数的重要工具, 利用这个工具研究函数的单调性, 体会导数在研究函数中的优越性。

(1) 函数的单调性与导数的关系:教学中老师结合实例, 如高台跳水, 一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数的图象, 让学生利用几何图形, 观察探索并了解单调性与其导函数正负之间的关系, 学生只需归纳得出结论即可, 不需要严格证明。一定要注意, 这里要强调函数y=f (x) 在某点附近的增减情况。如果在整个区间上恒有f' (x) >0 (x<0) , 那么函数y=f (x) 在整个区间上单调递增 (递减) 。

(2) 函数的极值和最值与导数的关系:在该节教学中还是要让学生先通过对大量函数图象的观察, 直观感受函数在某些特殊点 (极值点) 的函数值与附近点的函数值大小之间的关系, 以及函数在这些点的导数值与附近函数的增减情况。在教学中一定要强调, 极大值和极小值是局部性质, 反映的是函数在某点附近的性质, “极大值不一定大于极小值”, 让学生知道“f ' (x0) =0 是函数取得极值的必要不充分条件”。对于函数的“连续”, 只需要让学生根据图象可直观地感受到函数图象在x=x0处及其附近“不断”即可。本节的重点是利用导数求函数的单调区间以及函数在区间内的极值、最值。

(3) 运用导数知识分析解决实际应用问题:在工农业生产、生活等实际问题中, 常常需要研究一些成本最低、利润最大、用料最省的问题, 此类问题称为优化问题。教学中要设计探究活动, 引导学生总结出解答此类问题的一般步骤: (1) 建立函数关系; (2) 求极值点, 确定最大 (小) 值; (3) 回归优化方案。从而培养学生应用数学思想和数学建模的能力。

四、定积分的教学

教材安排了两类典型的问题———求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体的位移这两个实例, 一个是定积分的几何背景, 一个是定积分的物理背景。教学中要启发引导学生, 通过类比求圆的面积的过程, 引出求曲边梯形面积的基本思想:在局部小范围内“以直代曲”和“逼近”的思想;教学过程中可以利用多媒体给学生们演示“无限分割”让学生们加深体会其数学思想。求变速直线运动物体的路程也是定积分的概念的一个重要背景, 应注意引导学生类比求曲边梯形面积的过程, 让他们自己独立解决问题。

引出定积分概念后, 说明定积分的含义及定积分中符号的含义;有了求曲边梯形面积的经验, 可通过“思考”引导学生分析定积分的几何意义;对于教科书中定积分的三个基本性质, 不要求学生证明, 帮助学生从几何直观上感知性质的成立即可。

导数的应用 篇8

函数的单调区间，就是解[fx>0]或[fx<0]，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求[fx]的定义域；（2）求出[fx]；（3）解不等式[fx>0]或[fx<0]即可得到单调区间.

例1 已知函数[f(x)=(a+1)lnx+ax2+1]，讨论函数[f(x)]的单调性.

分析 参数[a]的取值会影响[f(x)]的符号，所以应对参数[a]进行分类讨论.

解 [f(x)]的定义域为（0，+∞）.

[f(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x] .

当[a≥0]时，[f(x)]＞0，

故[f(x)]在（0，+∞）单调增加.

当[a≤-1]时，[f(x)]＜0，

故[f(x)]在（0，+∞）单调减少.

当[-10]；[x∈(-a+12a,+∞)]时，[f(x)<0].故[f(x)]在[(0,-a+12a)]单调增加，在[(-a+12a,+∞)]单调减少.

点拨 （1）求导数的问题定义域优先；（2）求单调区间时等号可不可取（函数不恒为零）；（3）含有参数应对其进行分类讨论.

例2 已知[fx=ex-ax-1]在定义域R上单调递增，求[a]的取值范围.

分析 [fx]在R上单调递增[⇔][fx≥0]在R上恒成立.

解 ∵[fx]在R上单调递增，

∴[fx≥0]在R上恒成立.

∴[ex-a≥0]，即[a≤ex]在R上恒成立，

∴[a≤exmin].又[ex>0]，∴[a≤0].

点拨 已知函数[ fx]是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时，应令[fx≥0][(f′x≤0)]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立求解），然后检验参数的取值能否使[fx]恒等于0. 若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若[fx]不恒为0，则由[fx≥0(fx≤0)]恒成立解出参数的取值范围.

例3 已知函数[fx=ln21+x-x21+x]，求函数[f(x)]的单调区间.

分析 求出导函数后应对导数的符号进行研究讨论.

解 函数[f(x)]的定义域是[(-1,+∞)]，

[f(x)=2ln(1+x)1+x-x2+2x(1+x)2=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x(1+x)2.]

设[g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,]

则[g(x)=2ln(1+x)-2x.]

令[h(x)=2ln(1+x)-2x,]

则[h(x)=21+x-2=-2x1+x.]

当[-10,][h(x)]在（-1，0）上为增函数.

当[x＞0]时，[h(x)<0,][h(x)]在[(0,+∞)]上为减函数.

所以[h(x)]在[x=0]处取得极大值，而[h(0)=0],所以[g(x)<0(x≠0)]，函数[g(x)]在[(-1,+∞)]上为减函数. 于是，

当[-1g(0)=0.][f(x)>0,][f(x)]在（-1，0）上为增函数.

当[x＞0]时，[g(x)

故函数[f(x)]的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[(0,+∞)].

点拨 为了研究导数函数的性质，有时候需要用再求导数的方法来研究（二次求导）.

2．研究函数的极值和最值

求函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数[f(x)]；（3）求方程[f(x)=0]的全部实根；（4）检查方程[f(x)=0]的根左右两侧[f(x)]的符号，如果左正右负，那么[fx]在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么[fx]在这个根处取得极小值.为判断方程[f(x)=0]的根左右两侧[f(x)]的符号，可用列表的方法：用方程[f(x)=0]的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.

例4 已知函数[y=f(x)=lnxx].

（1）求[y=f(x)]的最大值；

（2）设实数[a>0]，求函数[F(x)=af(x)]在[a,2a]上的最小值.

分析 最值是所有极值和端点值中最大和最小值，求最值须先求极值.

解 （1）令[f(x)=0]，得[x=e].

当[x∈(0,e)]时，[f(x)>0]，[f(x)]在[(0,e)]上为增函数.

当[x∈(e,+∞)]时，[f(x)<0]，[f(x)]在[(e,+∞)]上为减函数.

[∴fmax(x)=f(e)=1e].

（2）[∵][a>0]，由（1）知：[F(x)]在[(0,e)]上单调递增，在[(e,+∞)]上单调递减.

[∴][F(x)]在[a,2a]上的最小值为[min{F(a),F(2a)}].

[∵F(a)-F(2a)=12lna2]，

[∴]当[0

[Fmin(x)=][F(a)=lna].

当[20]，

[Fmin(x)=F(2a)=12ln2a].

点拨 求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.

3．研究方程的根的个数

求方程的根的个数可以转化为求相应函数的零点的个数，而零点的个数可以利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质得到.

例5 设函数[fx=2x3-3a+3x2+18ax][-8a]，[x∈R]，当方程[fx=0]有三个不等的正实数解时，求实数[a]的取值范围.

分析 [fx=0]的根的个数就是[fx]与[x]轴交点的个数.

解 [f(x)=6x2-6a+3x+18a=6x-3x-a,]

显然，[x=3,x=a]是极值点.

依题意：当方程[fx=0]有三个不等的正实数解时，有

[a>0,f0=-8a<0,f3fa<0,][⇒a>0,-a<0,19a-27a-1a-8a>0.]

[∴18.]

点拨 方程[fx=0]有三个不等的正实数解[⇔]函数[fx]与[x]正半轴有三个不同交点.

例6 已知定义在[(0,+∞)]上的两个函数[fx=x2-alnx,gx=x-ax]，且[fx]在[x=1]处取得极值，求方程[fx=gx+6]的解的个数．

分析 [fx=gx+6]解的个数等于[fx-gx][-6]的零点的个数.

解 [f(x)=2x-ax]，

[f(1)=2⋅1-a1=0，∴a=2].

于是问题转化为[G(x)=f(x)-g(x)-6=x2-2lnx][-(x-2x+6)=0]在[0,+∞]上解的个数.

[Gx=2x-21x-1+1x=2x2-2-x+xx]

[=x-12xx+2x+x+2x]，

[Gx>0⇒x>1;Gx<0⇒0

又[G1=-4<0]，

[∴Gx=x2-2lnx-(x-2x+6)=0]在[0,+∞]上有2个解.

[∴fx=gx+6]的解的个数为2．

点拨 [fx=gx]方程的根的个数[⇔]函数[y=fx,y=gx]交点的个数[⇔]函数[hx=fx][-gx]零点的个数.