高中数学常用函数图像（通用12篇）
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。
二、学生学习况情分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想
1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、【解析】法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合参加我校组织的两个课题《对话——反思——选择》和《新课程实施中同伴合作和师生互动研究》的研究，在本课的教学中我努力实践以下两点：
⑴.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。⑵.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
3.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标
根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和【解析】式这两种不同角度研究函数学学习
数学学习总结资料
数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
五、教学重点与难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、【解析】式归纳指数函数的性质。
六、教学过程：
（一）创设情景、提出问题(约3分钟)问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,„„一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗？
学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝2。
问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。
学生回答: y与 x之间的关系式,可以表示为y＝0.84。
设计意图：看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0
（二）导入新课
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。
设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数y＝
2、y＝0.84 分别以01的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。
（三）新课讲授
1．指数函数的定义 一般地，函数的含义：数学学习xxxx 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
数学学习总结资料
设计意图：为按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，引导学生用区间表示：（0，1）∪（1，+∞）问题：指数函数定义中，为什么规定“
”如果不这样规定会出现什么情况？
设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢？这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。
对于底数的分类，可将问题分解为：
(1)若a<0会有什么问题？（如(2)若a=0会有什么问题？（对于
x，则在实数范围内相应的函数值不存在）都无意义），(3)若 a=1又会怎么样？（1无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。
设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R；并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。
教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。
1：指出下列函数那些是指数函数：
.2：若函数
是指数函数，则a=------设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。2．指数函数的图像及性质
在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象
设计意图：对于
时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。
数学学习
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利用几何画板演示函数征。由特殊到一般,得出指数函数 的图象，观察分析图像的共同特的图象特征,进一步得出图质：
（1）观察总结a>1,0
x
-x
设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。
为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边。
大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。
设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。
（四）巩固与练习
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例1： 比较下列各题中两值的大小
教师引导学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。
（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。例2：已知下列不等式 , 比较m,n的大小 :
设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
（五）课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你又掌握了哪些数学思想方法？你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗？
设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。
（六）布置作业
1、练习B组第2题；习题3-1A组第2题
2、观察指数函数的图象，比较a,b,c,d,的大小。
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设计意图：课后思考的安排，激发学生的学习兴趣，主要为学有余力的学生准备的。并为下一节课讲授指数函数图像随底数a变化规律作铺垫。
（七）板书设计：
八、教学反思
1、本节课不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。、要通过函数图象来研究指数函数的性质，学生的作图能力还是很差，在以后的教学过程中一定要加强作函数图象的练习
九、教学点评
本节课注重了让学生动手操作、猜想归纳、小组讨论、全班交流。学生在操作中加深对指数函数图象及其性质的运用；学生在猜想归纳中，可培养自己的创造性思维；学生在小组讨论中，有机会表达自己的想法，也学会听取别人的观点。学生在交流中相互启发，在不同观点、创造性思维火花的相互碰撞中，发现问题、探索问题、解决问题。但课上练习的题量较少，根据时间可以适当增加一些练习。总体来说作为一节新授课，这堂课还是很好的，很多方面都有可取之处。
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1. 问题式教学法的基本含义
所谓问题式教学法,指的就是与教学的主体内容形式相互联系的一种教学方法。它是一种旨在研究学生们所感兴趣的问题的有效方法,能够提升学生的整体智力能力,同时对于提高学生的学习效率也有着十分重要的意义。
这种问题式教学法的运用,能够使学生提出问题并解决问题,这样就能够充分地开发学生的思维,培养学生的创新能力,使学生自主地创新学习方式。
2. 问题式教学法在高中数学课堂 教学中的应用
第一,要提出问题。在高中数学教学中,教师要对所学的内容提出具有针对性的问题,这样才能够把数学课堂的教学内容充分地表现出来,从而使学生对所要学习的内容进行彻底的了解。数学教师所提出的具有针对性的问题一定要和学生所要学习的内容有着紧密的联 系,只有这样才可以使学生在发现问题的过程中,养成自己解决问题的能力,同时还可以充分地调动学生学习数学的主动性和积极性,进而使学生在最短的时间内进入学习状态。数学教师通过提出具有针对性的问题这种方式,充分地激发学生学习数学的兴趣,从而使学生学习数学的效率有所提升。
第二,要积极引导学生,提升学生的学习效率。高中的数学知识需要学生有缜密的逻辑思维。教师在数学教学中通过对学生的观察,往往会发现其实大家对数学的逻辑问题都难以理解,这就需要教师把数学知识进行整合与分解,让学生可以更好地理解知识,然后再把知识的难度一点点地加深,从而让学生完全地理解。
在高中数学的教学过程中,教师一定要积极地对学生进行引导,同时要对所传授的内容进行逐层剖析,从而使学生更喜欢学数学,进而提升学生的学习效率。
第三,要解决问题。在教师提出问题后,学生要对问题进行分析与讨论,在这一过程中,学生要解决问题就一定会想出一些新的办法,这时就需要教师对学生想出的新的解题方法进行判断,看其是否正确。学生要在教师的引导之下,养成多动脑的习惯,充分发挥自己的思维能力,想办法解决问题。
3. 问题式教学方法在高中数学教 学实践中应用的意义
当前随着我国教育改革进程的发展,高中数学的教学方法也在随之变化。其中问题式教学方法在高中数学教学中的运用是最为突出的,其具有十分重大的意义。
问题式教学方法在高中数学教学中的运用,使学生养成了对数学学习的兴趣,充分地调动了学生学习数学的积极性,培养了学生的逻辑思维能力,从而整体提升了学生的数学素养。在高中数学教学实践中,对于遇到的问题都是要通过师生间相互的交流,才能得以解决,所以问题式教学方法在高中数学教学实践中的运用,还可以培养学生的协作精神。
在高中数学教学实践中,教师要转变教学理念,充分地认识问题式教学方法的深刻内涵,并充分地发挥教学组织能力,把数学中的理论知识进行分解与转换,从而使学生能够更好地学习数学这门课程。
关键词：高中物理；三角函数
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2016）07-0257-01
高中物理对数学的应用模型可以简单地概括为函数模型、三角模型、图像模型、不等式模型等。三角及余弦函数普遍应用于解决物理问题。
一、三角函数的基本应用
例题1 如图1所示，质量为m的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？[2]
解析：小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图2所示。
二、三角函数求物理极值
（一）利用辅助角三角函数公式求物理极值。
小结
物理试题的求解过程就是一个将物理问题转化为数学问题经过求解还原为物理结论的过程。因此在进行高考物理复习的同时，要特别注意数学模型在物理问题中的应用。
我说课的内容是正切函数的性质和图像。
教材理解分析
《1,4.3 正切函数的.性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容
学习目标
1、掌握正切函数的性质及其应用
2、理解并掌握作正切函数图象的方法;
3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。
学情分析
由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。
根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：
在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。教学过程共有这样几个方面
一、复习引入
(1)画出下列各角的正切线
(2)复习相关诱导公式
二、探究新知
探究一 正切函数的性质
探究二 正切函数的图像
三、新知运用
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
四、课堂练习
1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。
2、 观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：
(1) ; (2) ; (3)
关键词：军校考试 张为臻 军考大纲 军校考试培训 军考数学
函数图像
在数学中，函数 f 的图形(或图象)指的是所有有序对(x, f(x))组成的集合[1]。具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对(x1, x2)，则图形就是所有三重序(x1, x2, f(x1, x2))组成的集合，呈现为曲面(参见三维计算机图形)。
图象性质
1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
2.性质：在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
3.k，b与函数图象所在象限。
当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小;张为臻博客
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四 象限。
4.(1)函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。(2)值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。(3)单调性定义：对于给定区间上的函数f(x)。
特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
一. 对数函数的概念
1. 定义：函数 的反函数 叫做对数函数.
由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?
教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为 ，对数函数的值域为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 .
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.
二.对数函数的图像与性质 (板书)
1. 作图方法
提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图.同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图.
由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图.
具体操作时，要求学生做到：
(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等).
(2) 画出直线 .
(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分.
学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出
和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：
2. 草图.
教师画完图后再利用投影仪将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：
然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)
3. 性质
(1) 定义域：
(2) 值域：
由以上两条可说明图像位于 轴的右侧.
(3) 截距：令 得 ，即在 轴上的截距为1，与 轴无交点即以 轴为渐近线.
(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称.
(5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图像是上升的
当 时，在 上是减函数，即图像是下降的.
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：
学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来.
最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)
那么如何快速有效地解决此类问题呢?下面结合近几年的高考题谈一谈此类问题的常用解决方法。
一、利用函数的性质解决
要注意挖掘所给函数解析式本身的隐含条件, 即函数性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、正负性、极值点等, 同时对于单调性不好识别的函数有时还要注意导数的应用。
例1, 2013新课标 (1) 文第9题:函数f (x) = (1-cosx) sinx在-◎π, π◎的图像大致为 ()
解析:首先因为f (-x) =-f (x) 可知函数为奇函数, 排除B。
其次只考虑x∈[0, π], 的情形即可, 又当x∈[0, π], 时, f (x) ≥0, 于是排除A。
选项C, D的差别是单调区间或极值点位置不同, 所以可以利用导数研究。
又因为f' (x) =sin2x-cos2x+cosx=-2cos2x+cosx+1,
本例利用了函数的奇偶性、值域、极值 (利用导数) 等性质。
例2, 2013福建文5:函数f (x) =ln (x2+1) 的图象大致是 ()
【解析】根据函数解析式可知函数的定义域为R, 故排除B选项
依题意得f (-x) =ln (x2+1) =f (x) , 即函数f (x) 为偶函数,
即函数f (x) 的图像关于y轴对称, 故排除C;
又函数的值域为点[0, +∞], 排除D.故选A.
本例通过利用函数的定义域、值域、奇偶性轻松解决。
二、利用特殊点和极限思想解决
求解已知函数解析式判断函数图像的题目的另一有效手段是利用特殊值进行判断, 即在已知函数的图像上选取特殊点, 判断选项中的图像是否过这些点, 若不满足则排除;注意特殊值的选定, 一要典型, 能定性说明问题;二要简单, 便于推理运算。
当然有时利用函数的变化趋势也可以进行选项的排除与筛选。
例3, 2011山东:函数的图象大致是 () .
解析:首先因为f (-x) =-f (x) 可知函数为奇函数, 排除A。
因为f (2π) =π, 排除B。
在x→+∞时, 函数值选项分别趋于正无穷, 排除D, 故选C。
本例通过利用函数的奇偶性, 特殊值, 极限思想轻松解决。
三、利用图像变换解决
例4, 2012湖北6:已知定义在区间0, , 2◎上的函数y=f (x) 的图像如图所示,
则y=-f (2-x) 的图像为 ()
答案B。解析:f (x) 与-f (2-x) 的图像的变换关系是
f (x) 关于y轴对称f (-x) 向右平移2个单位长度,
f (2-x) 关于x轴对称-f (2-x) 。
当然此题也可用特殊值法解决:当x=0时, y=-f (2) =-1;排除A, D。
当x=1时, y=-f (1) =-1排除C, 故选B。
本例利用了函数图像的变换或特殊值。
但不管怎么讲，最终还是要落实到对知识点的理解与掌握上.下面笔者选一道典型题目进行讲解，以提高学生对本部分内容的复习效率.
首先，要理清知识要点，函数部分主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图像与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图像的对称性等.其次，要精选例题，这是正确引导学生提高学习能力的关键.
实践证明，教师精心设计例题，科学引导学生复习，不仅可以提高学生学习数学的兴趣，最终也可以达到提高学生的数学成绩及综合素质的目的.
（责任编辑钟伟芳）
笔者在与学生谈心交流函数学习方法时发现，学生也谈得有理有据，如：1.先跟随老师系统讲解基础内容、基础例题；2.动手做一些基础题；3.自己把知识系统总结一下：概念、基本题型、基本思想方法；4.总结一些题型的解题通性通法.其实也还有一些学生有这样的想法误区，就是有一个万能的技巧可以套，不用花费多大的力气，就可以把成绩提高上去，或者还有一些速成的技巧，可以短暂地提高某次考试的成绩.我们应该谨记的是：（1）平常的考试都是难得的发现自己学习盲点的机会，哪些地方薄弱，就重点训练哪些地方，考试完了，就让成绩排名见鬼去吧！（2）课前做好预习工作，课堂认真听讲，完成老师布置的作业.要紧跟老师的步伐，不要自己另搞一套.要知道，老师毕竟是过来人，有丰富的经验.不要舍本求源，要听老师的话，高质量完成老师布置的任务.千万不要厌恶老师，和老师对着干.要学会包容老师，就算老师出点错也很正常，不要全盘否定.（3）买个笔记本，专门收集错题.并坚持一个月回顾一遍.（4）不要抠得太细，以题目会做为度.（5）以题目带知识点，这是一条捷径.（6）该记的记，该背的背，不要以为理解了就行.
但不管怎么讲，最终还是要落实到对知识点的理解与掌握上.下面笔者选一道典型题目进行讲解，以提高学生对本部分内容的复习效率.
首先，要理清知识要点，函数部分主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图像与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图像的对称性等.其次，要精选例题，这是正确引导学生提高学习能力的关键.
实践证明，教师精心设计例题，科学引导学生复习，不仅可以提高学生学习数学的兴趣，最终也可以达到提高学生的数学成绩及综合素质的目的.
（责任编辑钟伟芳）
笔者在与学生谈心交流函数学习方法时发现，学生也谈得有理有据，如：1.先跟随老师系统讲解基础内容、基础例题；2.动手做一些基础题；3.自己把知识系统总结一下：概念、基本题型、基本思想方法；4.总结一些题型的解题通性通法.其实也还有一些学生有这样的想法误区，就是有一个万能的技巧可以套，不用花费多大的力气，就可以把成绩提高上去，或者还有一些速成的技巧，可以短暂地提高某次考试的成绩.我们应该谨记的是：（1）平常的考试都是难得的发现自己学习盲点的机会，哪些地方薄弱，就重点训练哪些地方，考试完了，就让成绩排名见鬼去吧！（2）课前做好预习工作，课堂认真听讲，完成老师布置的作业.要紧跟老师的步伐，不要自己另搞一套.要知道，老师毕竟是过来人，有丰富的经验.不要舍本求源，要听老师的话，高质量完成老师布置的任务.千万不要厌恶老师，和老师对着干.要学会包容老师，就算老师出点错也很正常，不要全盘否定.（3）买个笔记本，专门收集错题.并坚持一个月回顾一遍.（4）不要抠得太细，以题目会做为度.（5）以题目带知识点，这是一条捷径.（6）该记的记，该背的背，不要以为理解了就行.
但不管怎么讲，最终还是要落实到对知识点的理解与掌握上.下面笔者选一道典型题目进行讲解，以提高学生对本部分内容的复习效率.
首先，要理清知识要点，函数部分主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图像与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图像的对称性等.其次，要精选例题，这是正确引导学生提高学习能力的关键.
实践证明，教师精心设计例题，科学引导学生复习，不仅可以提高学生学习数学的兴趣，最终也可以达到提高学生的数学成绩及综合素质的目的.
我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------.
1.6.(板书)
这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗?
由学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 .
问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的函数关系.
由学生回答: .
在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为.
一. 的概念(板书)
1.定义:形如 的函数称为.(板书)教师在给出定义之后再对定义作几点说明.
2.几点说明 (板书)
(1) 关于对 的规定:
教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若 会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在.
若 对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 .
(2)关于的定义域 (板书)
教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以的定义域为 .扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.
(3)关于是否是的判断(板书)
刚才分别认识了中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是,请看下面函数是否是.
学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以写成 ,也是指数图象.
最后提醒学生的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.
3.归纳性质
作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.
函数
1.定义域 :
2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数
4.截距:在 轴上没有,在 轴上为1.
对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于 轴上方,且与 轴不相交.)
在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故 的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.
此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当 越小,图象越靠近轴, 越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.
二.图象与性质(板书)
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.
2.草图:
当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示底数的条件是 且 ,取值可分为两段)让学生明白需再画第二个,不妨取 为例.
此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即 = 与 图象之间关于 轴对称,而此时 的图象已经有了,具备了变换的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到 的图象.
最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认为无需再画,则追问其原因并要求其说出性质,若认为还需画,则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较,再找共性)
由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:
以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满.
填好后,让学生仿照此例再列一个 的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质,教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性质.
3.性质.
(1)无论 为何值, 都有定义域为 ,值域为 ,都过点 .
(2) 时, 在定义域内为增函数, 时, 为减函数.
(3) 时, , 时, .
总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.
三.简单应用 (板书)
1.利用单调性比大小. (板书)
一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.
例1. 比较下列各组数的大小
(1) 与 ; (2) 与 ;(3) 与1 .(板书)
首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.
解: 在 上是增函数,且< .(板书)教师最后再强调过程必须写清三句话:
(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.
(2) 自变量的大小比较.
(3) 函数值的大小比较.
后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.
例2.比较下列各组数的大小(1) 与 ; (2) 与 ;(3) 与 .(板书)
先让学生观察例2中各组数与例1中的区别,再思考解决的方法.引导学生发现对(1)来说 可以写成 ,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说 可以写成 ,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)
最后由学生说出 >1, <1, > .
解决后由教师小结比较大小的方法
(1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)
一、数学学习兴趣的培养
在大多数人眼里，数学是枯燥无味的，相当多的学生仅仅是为了考学而学习数学，这样就很难学好数学。要学好数学我觉得关键是提高学生学习数学的兴趣，所以数学教学重在培养学生的兴趣，有了兴趣，学生才能乐意走进课堂，去品味学数学的情趣，才会有展示自我能力的欲望。那么，如何培养学生的数学学习兴趣呢?学生能否对数学产生兴趣，主要依赖于我们的教学实践，与我们的教学内容和教学方法的选择和应用密切相关。
二、深入了解学生，因材施教
深入了解学生，不但要了解学生表面的行为，更要了解学生内心的活动。俄国教育家乌中斯基早就指出：“如果教育学希望从一切方面去教育人，那么就必须首先也从一切方面去了解人。”现在的学生，你不去了解他，研究他，就不能很好地理解他;而如果不能理解他，那就很难提高教育的效率。平时在工作中，应重视研究自己的学生，研究学生的行为及产生这种行为的原因，然后，努力正确地理解学生，从而采取有效的教育方法，将会有较大的收获。
数学是一门实用性学科，实际数学教学中我们不仅要根据教学内容更要结合学生实际、社会现实、生活现状等具体情况来确定对学生的教学方式。不同年级、不同体性、不同时段的不同学生有着不同的知识层次和不同的学习需求。教学中，教师必须充分把握住学生的自身特点及其各阶段的心理变化，及时调整教学内容及教学方法，从而量身制定出相应的教学方案，切实做到因材施教。千万不可将教师自己的多年所学，一成不变的教授给每一位学生。“一招行天下”的思想，在一对一教学中尤为大忌。
三、能突出重点、化解难点
每一堂课都要有一个重点，而整堂的教学都是围绕着这个重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
四、切实重视基础知识、基本技能和基本方法
众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去”悟”出某些道理。结果是多数学生”悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套;照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。
五、关爱学生，及时鼓励
1.增加学生的成功体验
对学生来说，过多的失败，很容易摧毁他们对生活的希望，导致其建立失败者的自我形象。相反，适度的成功体验往往能帮助他们形成成功者的自我认识，从而成为不断上进的动力源泉。因此，教育工作者要设法创设顺境，增加学生对学校生活的积极美感，对未来生活的美好预期，帮助学生构筑美好的自我形象。当然，成功体验并不否定挫折教育。适当的挫折有助于学生自信心的增强，关键在于教师如何引导学生认识失败与挫折，并从中学会不屈不挠、战胜自我的精神。
2.榜样法帮助学生树立自信心
利用学生模仿力强的特点，教师可以有针对性地选取具有深刻教育意义的事例介绍给学生，并注意引导、帮助他们得出正确的结论，为增强其自信心提供活生生的依据。在具体做法上，既可列举成功的正面事例，也可列举一些虽有优越的天赋条件和良好的成才外部环境，但由于自信心不足而导致自己打败自己的反面事例。
高中数学高效教学技巧
引导学生积极主动参与教学过程
由于数学教学的本质是数学思维活动的展开，因此数学课堂上，学生的主要活动是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动。教师不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，才能使学生主体性得到充分的发挥和发展，才能不断提高数学活动的开放度。这就要求我们在教学过程中为学生创造良好的主动参与条件，提供充分的参与机会，具体应注意以下几点：
运用探究式教学，使学生主动参与。
教学中，在教师的主导下，坚持学生是探究的主体，根据教材提供的学习材料，伴随知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动，教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲。只有达到这样的境地才会真正实现主动参与。
巧创激趣情境，激发学生的学习兴趣。
教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与教学。
运用变式教学，确保其参与教学活动的持续的热情。
关键词： 高中数学 学习兴趣 函数教学 有效策略
函数教学的出发点是激发学生的学习兴趣，因此教学中的通俗易懂就显得比较重要。兴趣能激发学生的学习热情，只有这样才能益于学生接受课堂知识，使学生在短时间内获得更好的学习效果。数形结合法教学法是一种经过实际运用并论证的科学有效的教学方法，在图像、多媒体等的形象展示与科学演绎下，加上教师适当地引导可将难懂的数学知识以更形象、简单的方式展现给学生，而且益于学生在较短时间内接受和理解，是一种值得提倡的数学教学方法。函数是高中数学教学的核心内容，在解决很多数学问题时几乎都要用到函数这一工具。函数的教学在于启发学生的思维，为数理化的学习打下基础，逐渐在解决生活中的问题时建立起数学建模的思想。因此必须对新课改下高中数学的函数教学研究给予重视。
一、紧密结合教材，营造良好学习氛围，激发学生兴趣
授课教师可根据教材知识的内容，将知识在教案中转化成其他问题的形式，让学生融入一种与知识相关问题的情景中，让学生通过对问题的观察思考，试着寻找适合的不同方法，从而积累所学知识点，丰富感性认识，在问题情境中逐步提高解决问题的能力。教学中提出与所学知识点相关的问题，突出重点，启发思考。在高中数学课堂教学中引导教学法的运用，不仅可以增强学生的求知欲，而且可以促进课堂的有序进行，提高课堂教学效率。
例如，在讲“函数模型及其应用”一课时，教师提供函数和方程的相关公式及相应的图像等，通过类比，讨论提出大胆猜想。通过相应的例题使学生感受建立函数的方法，首先就是结合图形，通过数形达到解决函数问题的目的，同时解决了函数和方程的区别问题。
二、学生为主导，引入数形结合教学思想
教材的研读需要达到把握课本基础知识，教师培养学生研读的基本技能，就需要重视数学思想方法的应用，更应注重对学生进行数学思想方法的培养，将这些思想引入课堂，学生把握了这些思想对今后的数学学习和数学知识的应用将产生深刻的影响。对于高中生不应该只是对当前知识的学习，更应该将解决问题的思想拓展到其他问题，从高中阶段就重视引入数学思想的教学方法，将为学生后续学习打下坚实的解题的思想基础。
例如，在讲“函数与方程”的时候，从问题的数量关系入手，根据学生的预习情况，将问题转化为不同的设问，可将未知数与图形结合起来，适当设定未知数，结合定义和已知条件、隐含条件，建立已知量和未知量之间的数量关系，以方程式或方程组的形式表达出来，从而使问题得到解决的思想方法，因此数形结合思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。
三、增加教学的多样性，提高学习效率
数形结合的形式可以是静态的图像等，也可以是动态的媒体文件等。将教材中的难以理解的数学思维转化为可以接受的形象化的数形，将函数的几何特征与数形紧密结合在一起，对于教师来说，可以不用针对教学内容制作枯燥乏味的教案，再进行按部就班的讲解；对于学生来说，将这种方法引入教学不仅可以对知识进行形象化处理，还能接受到动态的数形结合，在愉悦身心的同时学到了知识，提高了学习效率。
例如，在上《指数函数》时，我可以利用课件的优势，将单纯的作图方式转化为动态的作图方式，通过转化使学生理解指数函数的增长速率与指数函数的特征，当中省了许多列表描点的时间，同时利用此课件除了可弥补教学教具的不足外，还可以让学生在多元化的教学氛围中，提高对指数函数特性的理解，加深印象，从而提高课堂学习效率。
四、注意学生的接受能力，把握引导作用
数形结合教学也有一定的不足之处，如果教师只是一味按照自己的教学思路授课，完全不顾学生的感受或者是学生的接受能力，则效果肯定不佳。因此，教师在课堂教学中，应适当走动，尽量用身体语言提示、交流教学信息，加上适当的形象化语言教学，调节课堂气氛，也调动学生积极参与教学，加强对学生心理产生的正面效应，发挥数形结合教学和教师引导的双重作用，提高课堂教学效率。
例如，在讲《幂函数》一节时，学生对定义的理解，主要在于书上的介绍，很少学生能自己感悟出幂函数定义。于是教师制作了一个实践性的教案，为学生提供教学用具，教师提供y=x，y=x ，y=x ，y=x ，y=x 等典型的幂函数的图像，让学生看得真切，清晰，充分鼓励学生进行猜想和假设，更有利于学生接受，从而有助于培养学生的观察、归纳、发现能力及创新意识。
五、以学生为中心，掌握数形结合的应用
数形结合教学要求教师对教材有较深的理解，能够将知识点化为相应的形象化的数形结合课件。增强教学课件的交互性，使教案能根据教学需要而随意调整，保证课堂的完整性和有序性。注重考虑学生的接受能力和反馈情况，根据学生的兴趣增加教学内容。教学过程中也可以将課件交给学生，让学生根据自己掌握的知识进行讲解，让学生把握“自己的教学进度”，这样能充分体现学生的积极性和自主学习能力。
六、结语
函数教学要考虑到逐层深入地培养学生的接受能力，可采用数形结合的教学策略，这种方法的应用能使其更好地为我们的教学服务。教师应根据教学需要对教案进行合适的选择和设计，使其贯穿教学，这可以帮助教师把课堂教学变得更生动，对知识的学习更容易理解；同时也能帮助学生对知识的理解更深入和牢固，使其对今后的继续教育更容易接受。
参考文献：
[1]徐保国.新课程下高中函数教学设计改进与完善探讨.中国校外教育，2014（35）.
一、根据实际问题的意义, 观察图像, 经过逻辑推理和分析, 直接得到答案
例1 (广东省·广州卷) 如图是广州市某一天内的气温变化图像, 如图, 下列说法中错误的是 ( ) .
A.这一天中最高气温是24℃
B.这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C.这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D.这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
解析 由气温变化图像可得最高气温是24℃, 最低气温是8℃, 故A, B正确.又从图像得:2时至14时曲线呈上升趋势, 而0时至2时和14时至24时曲线呈下降趋势, 则C正确, D错误, 应选D.
点评 这类函数图像信息中考题的特点:内容广泛, 既有生活现象, 也有童话故事, 不需要大量计算, 要求学生不但要仔细观察图像, 而且会能够进行逻辑推理分析, 去掉不合题意的答案, 找出正确答案, 主要考查学生的观察识图能力和逻辑推理能力.
二、根据函数图像信息, 通过分段计算, 确定答案
例2 (黑龙江省·哈尔滨卷) 明明骑自行车去上学时, 经过一段先上坡后下坡的路, 在这段路上所走的路程s (单位:千米) 与时间t (单位:分) 之间的函数关系如图所示.放学后如果按原路返回, 且往返过程中, 上坡速度相同, 下坡速度相同, 那么他回来时, 走这段路所用的时间为 ( ) .
A.12分
B.10分
C.16分
D.14分
解析 观察图像得到明明去时先上坡后下坡, 放学回家也是先上坡后下坡, 根据往返过程中, 上坡速度相同, 下坡速度相同, 可以把往返过程中的路程、时间、速度列表如下:
因此回来时共用时12+2=14 (分) , 故选D.
点评 这类函数图像信息中考题的特点:根据图像的转折分段运用列表计算的方法, 把图像中反映的数据分段计算, 确定答案.试题大多是老行程问题试题改为现在用图像信息描述的试题, 关键是学生能够从图像中看出来回上下坡的路程和时间的值, 因此, 它不仅考查了学生的数学知识, 而且考查了学生的识图能力和数形结合的数学思想.
三、根据函数图像信息, 通过建立一次函数模型, 把问题转化为一次函数的数学问题, 进行解决
例3 (四川省·成都卷) 某航空公司规定, 旅客乘机所携带行李的质量x (kg) 与其运费y (元) 由如图所示的一次函数图像确定, 那么旅客可携带的免费行李的最大质量为 ( ) .
A.20 kg
B.25 kg
C.28 kg
D.30 kg
解析 要求出免费行李的最大质量x值, 图像上没有标出, 必须先求出y与x的函数解析式, 由图像得y与x是一次函数关系, 故设y=kx+b, 把x=30, y=300和x=50, y=900分别代入, 解方程组得
∴免费行李的最大质量为20 kg, 应选A.
点评 这类函数图像信息中考题的特点:根据函数图像信息, 建立一次函数模型, 应用待定系数法求出一次函数的解析式, 通过解方程求出相应变量的值, 得到答案.主要考查学生的一次函数的知识应用与数学建模思想.
四、根据函数图像信息, 分别求出两个函数解析式, 进行比较分析, 得出合理答案
例4 (贵州省·贵阳卷) 小颖准备到甲、乙两个商场去应聘.如图, l1, l2分别表示了甲、乙两商场每月付给员工工资y1, y2 (元) 与销售商品的件数x (件) 的关系.
(1) 根据图像分别求出y1, y2与x的函数关系式;
(2) 根据图像直接回答:如果小颖决定应聘, 她可能选择甲商场还是乙商场?
解析 观察图像得到直线l1经过原点, 直线l2不经过原点, 则y1与x是正比例函数关系, y2与x是一次函数关系, 可用待定系数法解得y1=15x, y2=5x+400.由解析式结合图像可得甲商场按销售件数计算工资, 每件15元;乙商场保底工资400元, 再按每件5元计算工资.因此, 当销售件数大于40件时, 小颖选择甲商场;当销售件数小于40件时, 小颖选择乙商场;当销售件数等于40件时, 小颖选择甲商场和乙商场一样.
五、根据函数图像信息, 建立二次函数模型, 运用二次函数的最值性, 解决生活中的最优化问题
例5 (山东省·青岛卷) 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1 (元) 与销售月份x (月) 满足关系式undefined, 而其每千克成本y2 (元) 与销售月份x (月) 满足的函数关系如图所示.
(1) 试确定b, c的值;
(2) 求出这种水产品每千克的利润y (元) 与销售月份x (月) 之间的函数关系式;
(3) “五·一”之前, 几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
解 (1) 观察图像可得, 抛物线经过点 (3, 25) 与 (4, 24) , 因此把这两点坐标代入函数式undefined,
得
undefined
解得
undefined
(2) 因利润=售价-成本,
得undefined
所以这种水产品每千克的利润y (元) 与销售月份x (月) 之间的函数关系式undefined
(3) 根据二次函数的最值性可求得x=6时, 利润y值最大, 但x=6>5, 不合题意.
undefined
在对称轴x=6左侧y随x的增大而增大.由题意x<5, 所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润undefined (元) .
点评 这类函数图像信息中考题的特点:根据函数图像信息, 先要理解函数图像所表示的实际含义, 运用待定系数法求出二次函数的解析式, 建立二次函数模型, 应用二次函数的最值性解决生活中的最优化问题.这类试题对学生要求较高, 加大学生对知识应用的考查力度.从知识点上看, 涉及的都是基础知识, 但从能力上讲, 要求学生理解一次函数和二次函数的关系, 需要学生具有较好的分析问题和解决实际问题的能力.
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